Breve introdução ao uso de solvers para resolver problemas de programação linear

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1 Breve introdução ao uso de solvers para resolver problemas de programação linear Professor: Geraldo Robson Mateus Monitor: Diego Mello da Silva UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Departamento de Ciência da Computação Pesquisa Operacional 3 de maio de 2010 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

2 Sumário 1 Definições 2 Linguagens de Modelagem 3 Pacotes Comerciais 4 Exemplos 5 Referências Bibliográficas Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

3 O que é um LP Solver? Wikipedia: Solver é um termo genérico para definir uma parte de um software matemático (programa de computador ou biblioteca) que resolve um problema matemático. Ele pega a descrição do problema de alguma forma e calcula uma solução para o mesmo. A ênfase está em criar um programa ou biblioteca que pode ser facilmente aplicada à outros problemas similares. Um LP solver é, dessa forma, um pacote de software capaz de resolver problemas de programação matemática linear. Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

4 Pacotes comerciais para PL Existem diversos pacotes comerciais e gratuítos disponíveis para resolver problemas de programação linear. Em geral, eles diferem entre sí pelos métodos implementados e tipos de problemas que são capazes de resolver. São exemplos deles: ILOG CPLEX (IBM): Simplex, Pontos Interiores, Barrier, Branch & Bound. Resolve problemas de programação inteira, programação linear de larga escala, programação quadrática, problemas com restrições quadráticas convexas. Gnu Linear Programming Kit (GLPK): Simplex Primal/Dual, Pontos Interiores Primal/Dual, Branch & Cut. Resolve problemas de programação linear e programação inteira mista. Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

5 AMPL AMPL (A Mathematical Programming Language) consiste em uma linguagem algébrica descritiva usada para modelar problemas de programação linear [Fourer, 1990]. AMPL permite separar o modelo (representação simbólica da classe de problemas) dos dados necessários para especificar uma instância particular do problema [Gay, 2001] Permite expressar o problema na forma do modelador, mas de uma maneira que o computador possa compreender o modelo Evita erros ao traduzir o modelo em estruturas de dados computacionais que podem ser resolvidas pelos algoritmos É uma linguagem suportada por vários pacotes comerciais disponíveis no mercado Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

6 GNU MathProg (GMPL) Consiste em um subconjunto da linguagem AMPL, compartilhando muitas partes da sintaxe dessa poderosa linguagem de modelagem Em um processo denominado de tradução, um programa chamado tradutor de modelo analisa a descrição do modelo e o traduz em estruturas de dados internas Tais estruturas de dados podem ser usadas: para a geração de instâncias de problemas de programação matemática diretamente por um programa solver para obter a solução numérica do problema Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

7 Componentes de um modelo de PL em AMPL/GMPL Conjunto: qualquer coleção desordenada de objetos pertinentes ao modelo. Parâmetro: qualquer valor numérico pertinente ao modelo, fornecido pelo usuário. Variável: valores numéricos determinados através da resolução do problema (variáveis de decisão). Objetivo: qualquer expressão linear de parâmetros e variáveis. Restrição: qualquer igualdade/desigualdade linear de parâmetros e variáveis. Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

8 ILOG CPLEX ILOG CPLEX é um dos pacotes comerciais mais utilizados para resolver problemas de programação linear e programação inteira Suporta arquivos de entrada escritos no formato das linguagens de modelagem AMPL e GMPL Resolve problemas de programação linear, assim como diversas extensões de PL: Problemas Fluxo de Rede: uma caso especial de PL que permite ao CPLEX resolver mais rapidamente explorando a estrutura do problema Programação Quadrática: problemas de PL onde a função objetivo é expandida para permitir termos quadráticos Programação Inteira Mista: problemas onde algumas (ou todas) das variáveis de decisão é restrita a possuir um valor inteiro na solução Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

9 ILOG CPLEX CPLEX é disponibilizado de 3 maneiras diferentes, para cobrir as necessidades de seus usuários: CPLEX Callable Library: permite aos programadores embutir otimizadores ILOG CPLEX em aplicações escritas em C, VBasic, Fortran ou qualquer outra linguagem que permita chamar funções escritas em C. A biblioteca é disponibilizada através dos arquivos cplex.dll e cplex.lib (Plataforma Windows) e pelos arquivos libcplex.a, libcplex.so e libcplex.sl (Plataforma UNIX) ILOG Concert Technology: biblioteca de classes e funções em C++, Java e.net que permite definir modelos para problemas de otimização e utilizar algoritmos para resolvê-los. Provê estruturas de dados e estruturas de controle que permitem integrar a parte de otimização com o restante da aplicação em tempo real (por exemplo, para adicionar restrições ao programa em tempo de execução) CPLEX Interactive Optimizer: Programa executável que permite ler um problema interativamente ou a partir de arquivos escritos nos padrões de entrada conhecidos, e entrega a solução do problema interativamente ou a partir de arquivo de saída. Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

10 GNU GLPK Consiste em uma implementação em ANSI C do algoritmo simplex duas-fases, do método dos pontos interiores primal-dual do do método branch-and-bound para resolver programação inteira mista Inclui um solver para problemas de PL e PI construído a partir dessa rotinas (glpsol), e suporta a linguagem de modelagem GMPL Fornece um pré-solver opcional, que transforma o problema em um que possua propriedades numéricas melhores para o algoritmo simplex característica esta particularmente útil para problemas de otimização de larga-escala Permite utilizar a biblioteca GLPK em programas escritos em C Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

11 Comandos: AMPL show show <objeto> expand expand <objeto> model <file.mod> data <file.dat> option solver cplex option cplex_options <opções> solve quit Exibe os nomes dos conjuntos, variáveis, parâmetros, restrições e função objetivo do modelo Quando informado, exibe a implementação do conjunto, variável, parâmetro, restrição ou função objetivo informada Exibe o modelo PL atual, com os dados instanciados. Útil para depuração do modelo Exibe o objeto instanciado Informa qual é o arquivo de modelo a processar Informa qual é o arquivo de dados contendo a instância a resolver Escolhe o CPLEX para resolver o modelo Configura opções do CPLEX via AMPL. Por exemplo, pode-se usar sensitivity para retornar dados de análise de sensibilidade, e primalopt para usar o método primal simplex (outras opções permitem usar métodos dual simplex, otimizador barrier, otimizador inteiro misto e otimizador de redes Resolve o modelo instanciado usando o solver definido Encerra a execução do AMPL Tabela: Comandos AMPL para análise de sensibilidade - variáveis Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

12 Análise de Sensibilidade: AMPL A análise de sensibilidade permite-nos exibir custos reduzidos, shadow prices, e os intervalos para os coeficientes da função objetivo e dos right-hand-sides display <var name>.rc display <var name>.down display <var name>.up display <var name>.current Exibe o custo reduzido da variável especificada Exibe o parâmetro inferior da faixa de coeficientes da função objetivo da variável especificada para o qual a base atual ainda permanece ótima Exibe o parâmetro superior da faixa de coeficientes da função objetivo da variável especificada para o qual a base atual ainda permanece ótima Exibe o valor atual dos coeficientes da função objetivo da variável especificada Tabela: Comandos AMPL para análise de sensibilidade - variáveis Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

13 Análise de Sensibilidade: AMPL A análise de sensibilidade permite-nos exibir custos reduzidos, shadow prices, e os intervalos para os coeficientes da função objetivo e dos right-hand-sides display <constr name> display <constr name>.dual display <constr name>.slack display <constr name>.down display <constr name>.up display <constr name>.current Exibe o shadow price da restrição informada Exibe as variáveis duais da restrição especificada Exibe as variáveis de folga da restrição especificada Exibe o parâmetro inferior da faixa do righthand-side da restrição especificada para o qual a base atual ainda permanece factível, e ótima Exibe o parâmetro superior da faixa do right-hand-side da restrição especificada para o qual a base atual ainda permanece factível, e ótima Exibe o valor atual do right-hand-side da restrição especificada Tabela: Comandos AMPL para análise de sensibilidade - restrições Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

14 Unindo o modelo aos dados de um problema Seja um problema de programação linear na forma padrão: min c T x Ax = b x j 0 onde A é uma matriz de m linhas e n colunas. Sejam as instâncias para esses problemas: Instância A = Instância 02 A = 0 «2, b = «e c = C A, A, b A e c = B Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36 1, C A

15 Unindo o modelo aos dados de um problema (2) modelo-forma-padrao.mod /* Dimensões */ param n; param m; /* Matrizes e vetores */ param A {i in 1..m, j in 1..n}; param b {i in 1..m}; param c {j in 1..n}; /* Variável de decisão */ var x {j in 1..n}; /* Função objetivo */ minimize objective: sum {j in 1..n} c[j] * x[j]; /* Restrições */ s.t. constrains {i in 1..m}: sum {j in 1..n} A[i,j]*x[j] = b[i]; s.t. domain {j in 1..n}: x[j] >= 0; end; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

16 Unindo o modelo aos dados de um problema (3) instancia01.dat param n := 4; param m := 2; param A: := ; param b := ; param c := ; end; instancia02.dat param n := 6; param m := 3; param A: := ; param b := ; param c := ; end; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

17 Resolução do PL representado pela instância 02 Resolvendo o problema pelo tableau simplex: z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Tabela: Iteração 01 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Tabela: Iteração 02 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Tabela: Iteração 03 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Tabela: Iteração 04 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

18 Resolvendo pelo solver: GLPK $ glpsol -m modelo-forma-padrao.mod -d instancia02.dat -o resultado.sol Reading model section from modelo-padrao.mod lines were read Reading data section from instancia02.dat lines were read Generating objective... Generating constrains... Generating domain... Model has been successfully generated glp_simplex: original LP has 10 rows, 6 columns, 21 non-zeros glp_simplex: presolved LP has 3 rows, 3 columns, 9 non-zeros lpx_adv_basis: size of triangular part = 3 * 0: objval = e+00 infeas = e+00 (0) * 3: objval = e+02 infeas = e+00 (0) OPTIMAL SOLUTION FOUND Time used: 0.0 secs Memory used: 0.1 Mb ( bytes) Um * indica que uma solução básica factível foi encontrada; objval indica o valor atual da função objetivo (que vai melhorando gradativamente); infeas indica a quantidade de infactibilidade (se uma solução factível é encontrada, deve ser zero ou muito pequeno) Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

19 Resolvendo pelo solver: GLPK Verificando o resultado no arquivo de saída resultado.sol $ cat resultado.sol Problem: modelo Rows: 10 Columns: 6 Non-zeros: 21 Status: OPTIMAL Objective: objective = -136 (MINimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal objective B constrains[1] NS = constrains[2] NS = constrains[3] NS = domain[1] B domain[2] B domain[3] B domain[4] NL domain[5] NL domain[6] NL No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal x[1] B 4 2 x[2] B 4 3 x[3] B 4 4 x[4] B 0 5 x[5] B 0 6 x[6] B 0 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

20 Interpretando o resultado: GLPK O arquivo de saída gerado pelo glpsol fornece as seguintes informações: Seção 1: O valor ótimo da função objetivo (136) Seção 2: Quais restrições limitaram essa solução (i.e., aquelas marcadas com NL ou NU com seu respectivo custo marginal (i.e., o que acontece no custo da função objetivo se relaxarmos a restrição por uma unidade) Seção 3: Os valores ótimos das variáveis de decisão (4,4,4,0,0,0). Para aquelas que estão no limite de seu domínio, apresenta o custo marginal associado se relaxarmos as restrições de domínio/sinal Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

21 Resolvendo pelo solver: CPLEX/AMPL Iniciando o interpretador AMPL: $ ampl ILOG AMPL , licensed to "universidad-belo horizonte, braz". AMPL Version (Linux EL) ampl: Define modelo, instância, solver e suas configurações, e resolve o modelo instanciado ampl: option solve cplexamp; ampl: option cplex_options sensitivity ; ampl: model modelo-forma-padrao.mod; ampl: data instancia02.dat; ampl: solve; ILOG CPLEX , licensed to "universidad-belo horizonte, braz", options: e m b use=10 CPLEX : sensitivity CPLEX : optimal solution; objective dual simplex iterations (1 in phase I) suffix up OUT; suffix down OUT; suffix current OUT; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

22 Resolvendo pelo solver: CPLEX/AMPL Exibindo a solução do problema e o valor da função objetivo ampl: display objective, x; objective = -136 x [*] := ; Exibe a solução e os coeficientes da função objetivo (.current) junto com os valores limites (.down e.up) que podemos alterar sem causar uma mudança de base ampl: display x, x.down, x.current, x.up; : x x.down x.current x.up := e e e+20 ; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

23 Resolvendo pelo solver: CPLEX/AMPL Exibe o valor de folga e shadow price das restrições do problema ampl: display constrains.slack,constrains.dual; : constrains.slack constrains.dual := ; Exibe os coeficientes do right-hand-side (i.e., o vetor de recursos b) junto com os valores em que ele pode ser modificado sem causar uma mudança de base ampl: display constrains.down,constrains.current,constrains.up; : constrains.down constrains.current constrains.up := ; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

24 Exemplo: O problema da dieta Descrição Objetivo: comprar comida de forma a determinar uma dieta que cumpra com as necessidades nutricionais mínimas Existem 3 opções de comida: maça, pão e doce Uma maça contém 5 unidades de vitamina A, 5 unidades de vitamina B, e 10 unidades de vitamina C Um pão contém 2 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B e 1 unidade de vitamina C Um doce contém 3 unidades de vitamina A A quantidade mínima diária requerida de cada vitamina é de 30 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina B e 30 unidades de vitamina C Cada maça custa R$ 2,00, cada pão custa R$ 1,00 e cada doce custa R$ 0,20 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

25 Exemplo: O problema da dieta Modelo # Declare sets set Foods; set Nutrients; # Declare variables var quantity{foods} >= 0; # Declare parameters param cost{foods} >= 0; param amount{nutrients, Foods} >= 0; param minimum{nutrients} >= 0; # Objective function minimize obj: sum{j in Foods} cost[j]*quantity[j]; # Declare constraints s.t. minnutr{i in Nutrients}: sum{j in Foods} amount[i,j]*quantity[j] >= minimum[i]; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

26 Exemplo: O problema da dieta Dados da instância set Foods := apples, breads, candies; set Nutrients := vitamin_a, vitamin_b, vitamin_c; param cost := apples 2 breads 1 candies 0.2; param amount: apples breads candies := vitamin_a vitamin_b vitamin_c ; param minimum := vitamin_a 30 vitamin_b 50 vitamin_c 30; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

27 Exemplo: O problema da dieta Resultado Programa Linear glpsol Problem: modelo Rows: 4 Columns: 3 Non-zeros: 10 Status: OPTIMAL Objective: obj = (MINimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal obj B minnutr[vitamin_a] NL minnutr[vitamin_b] NL minnutr[vitamin_c] NL No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal quantity[apples] B quantity[breads] B quantity[candies] B Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

28 Exemplo: O problema da dieta Resultado Programa Inteiro glpsol Problem: modelo Rows: 4 Columns: 3 (3 integer, 0 binary) Non-zeros: 10 Status: INTEGER OPTIMAL Objective: obj = 10.6 (MINimum) No. Row name Activity Lower bound Upper bound obj minnutr[vitamin_a] minnutr[vitamin_b] minnutr[vitamin_c] No. Column name Activity Lower bound Upper bound quantity[apples] * quantity[breads] * quantity[candies] * 3 0 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

29 Exemplo: O problema da dieta Arquivo dieta.run reset; model dieta.mod; data dieta.dat; option solver cplexamp; solve; display quantity; Execução no AMPL/CPLEX $ ampl < dieta.run $ cat dieta.run ampl Resultado no AMPL/CPLEX $ ampl < dieta.run ILOG AMPL , licensed to "universidad-belo horizonte, braz". AMPL Version (Linux EL) ILOG CPLEX , licensed to "universidad-belo horizonte, braz", options: e m b use=10 CPLEX : optimal integer solution; objective MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes quantity [*] := apples 3 breads 4 candies 3 ; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

30 Exemplo: Atribuição de tarefas Descrição do problema Havendo m tarefas e n máquinas aptas a executá-las, determine a atribuição de tarefas à cada máquina de forma a minimizar o custo total de execução. min X X c ij x ij i I j J s.t. X x ij = 1, i I j J X x ij = 1, j J i I x ij 0 Exemplo t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10 t 11 t 12 maq maq maq maq Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

31 Exemplo: Atribuição de tarefas Modelo # Define o número de tarefas e máquinas aptas a executá-las param m >= 0; param n >= 0; # Define o conjunto de tarefas e de máquinas set tasks := 1..m; set machines := 1..n; # Tempo que cada máquina leva para executar cada tarefa param t {machines, tasks} >= 0; # Variável de decisão var x {tasks, machines} binary; # Função objetivo minimize time: sum {i in tasks, j in machines} t[j,i] * x[i,j]; # Restrições do modelo subject to constr {i in tasks} : sum{j in machines} x[i,j] = 1; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

32 Exemplo: Atribuição de tarefas Dados # Número de tarefas param m := 12; # Número de máquinas param n := 4; # Custo, em tempo de execução de cada tarefa por cada máquina param t : := ; Arquivo tarefa.run reset; model tarefa.mod; data tarefa.dat; option solver cplexamp; solve; display x; Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

33 Exemplo: Atribuição de tarefas Resultado no AMPL/CPLEX $ ampl < tarefa.run ILOG AMPL , licensed to "universidad-belo horizonte, braz". AMPL Version (Linux EL) ILOG CPLEX , licensed to "universidad-belo horizonte, braz", options: e m b use=10 CPLEX : optimal integer solution; objective MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes x [*,*] : := ; maq 1 = t 3, t 6, t 8, t 11 e t 12 maq Solução: 2 = nenhuma tarefa maq 3 = t 1, t 4, t 5, t 7, t 9 e t 10 maq 4 = t 2 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

34 Exemplo: Atribuição de tarefas Resultado no GLPK Problem: tarefa Rows: 13 Columns: 48 (48 integer, 48 binary) Non-zeros: 96 Status: INTEGER OPTIMAL Objective: time = 703 (MINimum) No. Row name Activity Lower bound Upper bound time constr[1] 1 1 = 3 constr[2] 1 1 = constr[11] 1 1 = 13 constr[12] 1 1 = No. Column name Activity Lower bound Upper bound x[1,1] * x[1,2] * x[1,3] * x[1,4] * x[12,1] * x[12,2] * x[12,3] * x[12,4] * Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

35 Para saber mais... Robert Fourer, David M. Gay and Brian W. Kernighan AMPL: A Mathematical Programming Language. Management Science 36 (1990) Andrew Makhorin. Modeling Language GNU MathProg Language Reference, Draft Edition, for GLPK Version 4.34 David M. Gay Symbolic-Algebraic Computations in a Modeling Language for Mathematical Programming Symbolic Algebraic Methods and Verification Methods (2001) University of Texas Cplex Tutorial Handout Acessado em Maio/ GNU Linear Programming Kit GNU Linear Programming Kit - Modeling Language GNU MathProg, version 4.9. Disponível em Acessado em Maio/2010 Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36

36 Para saber mais... ILOG AMPL CPLEX Systems Version User s Guide Disponível em AMPL Student Edition Disponível em AMPL Technical Reference Disponível em Diego Mello da Silva (UFMG) PL Solvers 3 de maio de / 36