Softwares de Programação Matemática

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1 Softwares de Programação Matemática Prof. Dr. Claudio Barbieri da Cunha Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Transportes SOFTWARES PARA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Pacotes stand-alone rodam independentemente utilizam algum tipo de linguagem, com mais ou menos recursos, num ambiente de editor de texto os mais sofisticados são usados por analistas de P.O. e possuem recursos para interface com bancos de dados (SQL) Exemplos: Lindo, GAMS, AMPL resolvem problemas de programação linear (PL ou LP), programação linear inteira (PI ou IP ou MIP), programação quadrática e programação não linear Bastante poderosos: alguns possuem algoritmos especializados para resolver determinados tipos de problemas, selecionáveis pelo usuário 1

2 Pacotes integrados a planilhas eletrônicas mais amigáveis e fáceis de usar bastante disseminados nos últimos anos Exemplos: Solver (vem com o MS-Excel) e What s Best (WB) resolvem problemas de programação linear (PL ou LP), programação linear inteira (PI ou IP ou MIP) não possuem algoritmos especializados para resolver determinados tipos de problemas dificuldades para representar alguns tipos de problemas (por exemplo, de natureza espacial) dificuldade em problemas de grande porte Bibliotecas de programas (DLL s) Permitem integração com softwares aplicativos da empresa e soluções customizadas O SOLVER DO MICROSOFT EXCEL Ferramenta de otimização de uso geral Integrada à planilha eletrônica Excel Uma versão simples, que permite resolver problemas de pequeno e médio portes, já vem com o Excel Resultados da otimização na própria planilha Permite resolver problemas de programação linear, linear inteira e alguns tipos de problema não lineares. Cada vez mais populares, em função da facilidade de uso em planilha Maiores informações: 2

3 Terminologia da interface do Solver o Definida para atender usuários de planilhas eletrônicas e não especialistas em P.O. (evitar jargão específico) o Evolução do recurso Atingir Meta do Solver Célula de destino = célula da planilha que contém a fórmula que calcula o valor da função objetivo em função das células que correspondem às variáveis de decisão Células variáveis = células que contém variáveis de decisão Submeter às restrições = células que contém as expressões e constantes relativas às restrições do modelo Como acionar o Solver? A partir do menu Ferramentas do MS-Excel 3

4 E se o Solver não estiver instalado? Procurar na Opção Suplementos do menu Ferramentas Se ele não aparecer, é preciso reinstalar o Excel (Suplemento) Exemplo de estruturação de problemas no Solver 4

5 Examinando a janela para os parâmetros do Solver Função Objetivo variáveis restrições Para o Excel, tudo tem que estar em células. A função objetivo, as variáveis e as restrições. Para tanto, precisamos definir as células onde estarão as variáveis, e calcular a função objetivo e as restrições com fórmulas que usem estas células Tela de entrada de dados do Solver Problema do Navio 5

6 Características do Solver Assume como default que o modelo é não linear porque a maioria das funções disponíveis no Excel tem natureza não linear Portanto deve-se especificar nas Opções sempre que o problema for linear (do contrário pode-se não obter a solução ótima global e sim local) Não garante solução ótima global para problemas não lineares, exceto se houver apenas um único ponto de mínimo Usuário deve especificar células correspondentes às variáveis de decisão (seleção múltipla) e função objetivo As restrições do modelo matemático não ficam na planilha Nomes para blocos de células podem ser utilizados para identificar a função objetivo, as variáveis de decisão e as restrições no Solver Y=f(X) Minimização - Ótimos Global e Locais Ótimo Local Ótimo Local Ótimo Global X Em problemas não lineares, o Solver encontra algum ponto de ótimo local 6

7 Tela de opções de processamento do Solver Opções de processamento Precisão: erro admissível de arredondamento em todos os modelos (linear, inteiro e não inteiro) Tolerância: utilizada apenas para programação inteira (em relação ao resultado contínuo) Convergência, Estimativas, Derivadas, Pesquisar: problemas não lineares 7

8 Problemas de escala Em geral ocorrem em modelos com variáveis de diferentes escalas (algumas variáveis expressas em unidades e outras em milhares ou milhões) Pode levar a um falso negativo: Solver indicar que o modelo não é linear quando na verdade é. Importante preencher as células correspondentes às variáveis de decisão com valores da mesma ordem de grandeza esperada para a solução antes de rodar o Solver não deixar vazias ou em branco Os valores preenchidos não precisam ter alguma lógica ou serem viáveis para o problema de otimização (isto é, podem violar restrições) Problema de convergência Ocorre tanto quando são utilizadas funções do Excel que tornam o modelo não linear ( a maioria das funções, incluindo SE, MAX, etc.) Ou há multiplicação de células contendo variáveis de decisão Ou problemas de escala (ordem de grandeza das variáveis) 8

9 Janela de resultados Usuário pode selecionar os relatórios de saída (criados em pastas separadas do modelo) Os relatórios só estão disponíveis para problemas de programação linear e não para os de programação inteira ou não linear Limitações do Solver Versão Padrão (distribuída como Excel) 200 variáveis de decisão sem limite no número de restrições lineares Versões mais avançadas até 16 mil variáveis de decisão algoritmos de otimização mais eficientes 9

10 Programação Linear Software Lindo Lindo (Linear, Interative, e Discrete Optimizer) é um software interativo para resolução de problemas de programação Linear Quadrática Inteira Utilizado para resolução de problemas reais de até mais de variáveis de decisão, dispõe de características que mostram os passos e quadros intermediários do método simplex. Encontrado em LINDO Versão Windows Maiores informações no site 10

11 Lindo Comandos e Operadores de Comparação Comandos MAX - Inicia um problema de maximização MIN - Inicia um problema de minimização ST, S.T., Subject To ou Such That - indica o final da função objetivo e inicio das restrições; END - Termina a entrada de um problema; é facultativo para modelos simples que não exigem comandos especiais. O Lindo não aceita modelos com restrição de estritamente menor (<), pois no mundo real problemas assim não acontecem. Portanto são operadores de comparação: Igual =; Menor ou igual <= ou <; Maior ou igual >= ou >; LINDO Usuário deve utilizar um editor de texto para escrever cada uma das expressões do modelo matemático E também para alterar dados!!!! Subject to 11

12 LINDO LINDO - Processamento 12

13 What s Best Software para planilhas eletrônicas (1-2-3 e Quattro Pro) Variáveis de decisão, restrições e função objetivo armazenadas em células da planilha Exige cuidado, mais difíceis de localizar Não aceita para PL algumas funções que são aceitas no Solver: TRANSPOR SOMAR PRODUTO... Não apresenta problemas de escala Menor número de variáveis inteiras (até 30) Encontrado em ILOG/CPLEX CPLEX é um produto desenvolvido pela ILOG para Programação linear Programação linear inteira mista Programação quadrática Problemas de fluxo em rede (network Flow). Tecnologias do CPLEX CPLEX callable library (for C) CPLEX interactive optimizer Concert Technology (for C++) Plataformas Windows Unix. Maiores informações em 13

14 // Variaveis IloNumVarArray2 Z(env,n); IloNumVarArray3 Y(env,n); for (int i=0; i<n; i++) { Z[i] = IloNumVarArray(env, n, 0, 1, ILOBOOL); Y[i] = IloNumVarArray2(env,n); for (int k=0; k<n; k++) Z[i][k].setName(str); Y[i][k]=IloNumVarArray(env, n, 0, IloInfinity, ILOFLOAT); for (int l=0; l<n; l++) Y[i][k][l].setName(str); } // creating a model IloModel model(env); // restricoes 1 e 2 for (int i=0; i<n; i++) { IloExpr value(env); for (int k=0; k<n; k++) { value+=z[i][k]; model.add(z[i][k] <= Z[k][k]); // adicionando restricao 2 } model.add(value==1); // adicionando restricao 1 value.end(); } Exemplo de código usando o Concert Technology GAMS General Algebraic Modeling System (GAMS) Linguagem de alto nível para modelagem Pode usar diferentes Solvers (CPLEX, XPRESS, etc.) Maiores informações em SETS I canning plants / SEATTLE, SAN-DIEGO / J markets / NEW-YORK, CHICAGO, TOPEKA / ; PARAMETERS A(I) capacity of plant i in cases / SEATTLE 350 SAN-DIEGO 600 / B(J) demand at market j in cases / NEW-YORK 325 CHICAGO 300 TOPEKA 275 / ; TABLE D(I,J) distance in thousands of miles NEW-YORK CHICAGO TOPEKA SEATTLE SAN-DIEGO ; SCALAR F freight in dollars per case per thousand miles /90/ ; PARAMETER C(I,J) transport cost in thousands of dollars per case ; C(I,J) = F * D(I,J) / 1000 ; VARIABLES X(I,J) shipment quantities in cases Z total transportation costs in thousands of dollars ; POSITIVE VARIABLE X ; EQUATIONS COST define objective function SUPPLY(I) observe supply limit at plant i DEMAND(J) satisfy demand at market j ; COST.. Z =E= SUM((I,J), C(I,J)*X(I,J)) ; SUPPLY(I).. SUM(J, X(I,J)) =L= A(I) ; DEMAND(J).. SUM(I, X(I,J)) =G= B(J) ; MODEL TRANSPORT /ALL/ ; SOLVE TRANSPORT USING LP MINIMIZING Z ; 14