Programação Linear Inteira GNU Linear Programming Kit

Transcrição

1 Programação Linear Inteira Eduardo Camargo de Siqueira Pesquisa Operacional Análise e Desenvolvimento de Sistemas

2 CONTEÚDO 1 Introdução 2 3

3 GLPK. Resolvedor de problemas lineares, incluindo problemas de programação inteira. Código aberto, disponível gratuitamente. Farta documentação.

4 INSTALAÇÃO DO GLPK Windows: - Linux (debian/ubuntu e derivadas): - sudo apt-get install glpk.

5 AJUDA DO GLPK Pacote disponível em: Manuais em PDF (diretório doc). Exemplos (diretório examples). Lista de Discussão:

6 FORMATOS CONHECIDOS Formatos conhecidos para entrada de programas lineares: MPS - Mathematical Programming System: Padrão da indústria. Pouco intuitivo, confuso e com limitações. LP - CPLEX LP le format: Padrão criado para uso com o resolvedor CPLEX. Mais fácil e prático do que o formato MPS. Aceito nos principais resolvedores modernos. Arquivos podem ser convertidos para MPS.

7 FORMATO LP COMPONENTES Função-objetivo. Restrições. Informações de variáveis. Limites. Variáveis inteiras genéricas. Variáveis binárias.

8 PROBLEMA DA DIETA Suponha que uma certa dieta esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e uma salada. Sabendo-se que os requisitos nutricionais são expressos em termos de vitaminas e controlados por suas quantidades mínimas. O objetivo é determinar a quantidade de cada alimento que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que os requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo. Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Requisito mínimo A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg C 50 mg 20 mg 10 mg 30 mg 70 mg D 80 mg 70 mg 10 mg 80 mg 250 mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real

9 PROBLEMA DA DIETA Variáveis de decisão: x i = quantidade do alimento do tipo i, sendo i = 1 (leite), i = 2 (carne), i = 3 (peixe) e i = 3 (salada). Função objetivo: Min f (x) = 2x 1 + 4x 2 + 1, 5x 3 + x 4

10 PROBLEMA DA DIETA Restrições: Demanda de vitamina A: 2x1 + 2x2 + 10x3 + 20x4 11 Demanda de vitamina C: 50x1 + 20x2 + 10x3 + 30x4 70 Demanda de vitamina D: 80x1 + 70x2 + 10x3 + 80x4 250 Restrições de Não-negatividade: x1; x2; x3 0

11 PROBLEMA DA DIETA - FORMATO LP dieta.lp M i n i m i z e Obj : 2 x1 + 4 x x3 + x4 S u b j e c t t o VitaminaA : 2 x1 + 2 x x x4 >= 1 VitaminaC : 50 x x x x4 >= 70 VitaminaD : 80 x x x x4 >= 250 End RESOLVENDO glpsol cpxlp dieta.lp -o solucao.txt

12 MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA CAPITÃO CAVERNA S.A. A Capitão Caverna S.A., localizada em Pedra Lascada, aluga 3 tipos de barcos para passeios marítimos: jangadas, supercanoas e arcas com cabine. A companhia fornece juntamente com o barco um capitão para navegá-lo e uma tripulação que varia de acordo com a embarcação: uma para jangadas, duas para supercanoas e três para arcas. A companhia tem 4 jangadas, 8 supercanoas e 3 arcas e em seu corpo de funcionários: 10 capitães e 18 tripulantes. O aluguel é por diárias e a Capitão Caverna lucra $50 por jangada, $70 por supercanoa e $100 por arca. Faça um modelo de programação matemática que determine o esquema de aluguel que maximiza o lucro.

13 CAPITÃO CAVERNA S.A. Variáveis de decisão: x i = número de embarcações do tipo i a serem alugadas, sendo i = 1 (jangada), i = 2 (supercanoa) e i = 3 (arca com cabine). Função objetivo: Max f (x) = 50x x x 3

14 CAPITÃO CAVERNA S.A. Restrições: Número de capitães: x1 + x2 + x3 10 (Há somente 10 capitães) Número de tripulantes: x1 + 2x2 + 3x3 18 (Há somente 18 tripulantes) Quantidade de jangadas: x1 4 (O número de jangadas está limitado a 4) Quantidade de supercanoas: x2 8 (Há apenas 8 supercanoas) Quantidade de arcas com cabine: x3 3 (Há apenas 3 arcas com cabine disponíveis) Integralidade e não-negatividade: x1; x2; x3 Z +

15 CAPITÃO CAVERNA S.A. Max f (x) = 50x x x 3 sujeito a x 1 + x 2 + x 3 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 18 x 1 4 x 2 8 x 3 3 x 1 ; x 2 ; x 3 Z +

16 CAPITÃO CAVERNA S.A. - FORMATO LP caverna.lp Maximize Obj : 50 x x x3 S u b j e c t t o Capitaes : x1 + x2 + x3 <= 10 T r i p u l a n t e s : x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 18 Jangada : x1 <= 4 Supercanoa : x2 <= 8 Arcas : x3 <= 3 G e n e r a l x1 x2 x3 End RESOLVENDO glpsol cpxlp caverna.lp -o sol.txt

17 CAPITÃO CAVERNA S.A. - SOLUÇÃO sol.txt Problem : Rows : 5 Columns : 3 (3 i n t e g e r, 0 b i n a r y ) Non z e r o s : 9 Status : INTEGER OPTIMAL O b j e c t i v e : Obj = 680 (MAXimum) No. Row name A c t i v i t y Lower bound Upper bound 1 C a p i t a e s T r i p u l a n t e s Jangada S u p e r c a n o a A r c a s 2 3 No. Column name A c t i v i t y Lower bound Upper bound 1 x x x3 2 0

18 CAPITÃO CAVERNA S.A. - FORMATO LP caverna.lp Maximize Obj : 50 x x x3 S u b j e c t t o Capitaes : x1 + x2 + x3 <= 10 T r i p u l a n t e s : x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 18 Bounds 0 <= x1 <= 4 0 <= x2 <= 8 0 <= x3 <= 3 G e n e r a l x1 x2 x3 End

19 CAPITÃO CAVERNA S.A. - SOLUÇÃO sol.txt Problem : Rows : 2 Columns : 3 (3 i n t e g e r, 0 b i n a r y ) Non z e r o s : 6 Status : INTEGER OPTIMAL O b j e c t i v e : Obj = 680 (MAXimum) No. Row name A c t i v i t y Lower bound Upper bound 1 C a p i t a e s T r i p u l a n t e s No. Column name A c t i v i t y Lower bound Upper bound 1 x x x

20 CAPITÃO CAVERNA S.A. - ALTERAÇÕES Agora a companhia passa a ter 5 jangadas, 6 supercanoas e 5 arcas e em seu corpo de funcionários: 5 capitães e 10 tripulantes. Ainda mais, se o lucro do aluguel fosse $45 por jangada, $80 por supercanoa e $90 por arca. O que mudaria no modelo? É possível fazer um modelo genérico para esse problema.

21 CAPITÃO CAVERNA S.A. - ALTERAÇÕES Max f (x) = 45x x x 3 sujeito a x 1 + x 2 + x 3 5 x 1 + 2x 2 + 3x 3 10 x 1 5 x 2 6 x 3 5 x 1 ; x 2 ; x 3 Z +

22 CAPITÃO CAVERNA S.A. - MODELO GENÉRICO Para fazer um modelo genérico desse PPLI, façamos as seguintes convenções: emb : Conjunto dos diferentes tipos de embarcação = {Jangada, Supercanoa, Arca}. l i : Lucro proporcionado pelo aluguel da embarcação do tipo i. cap i : Número de capitães necessários para comandar a embarcação do tipo i. trip i : Número de tripulantes necessários para trabalhar na embarcação do tipo i. disp i : Número disponível de embarcações do tipo i. ntrips : Número de tripulantes disponíveis. ncapitaes : Número de capitães disponíveis.

23 CAPITÃO CAVERNA S.A. - MODELO GENÉRICO O modelo genérico relativo ao problema em questão pode ser assim formulado: Max f (x) = sujeito a i emb i emb i emb l i x i cap i x i ncapitaes (Número de capitães) trip i x i ntrips (Número de tripulantes) x i disp i i emb x i Z + i emb

24 FORMATO MathProg Formato de mais alto nível, incluindo abstrações: Comandos Conjuntos Parâmetros Facilita a geração de problemas grandes e complexos. Permite a separação entre o modelo e os dados.

25 CAPITÃO CAVERNA S.A. - MODELO GENÉRICO O modelo genérico relativo ao problema em questão pode ser assim formulado: Max f (x) = sujeito a i emb i emb i emb l i x i cap i x i ncapitaes (Número de capitães) trip i x i ntrips (Número de tripulantes) x i disp i i emb x i Z + i emb

26 CAPITÃO CAVERNA S.A. - FORMATO MathProg caverna.mod s e t E ; / Conjunto de Embarcações / param l {E } ; / Lucro por Embarcação / param cap {E } ; / C a p i t ã e s p o r Embarcação / param t r i p {E } ; / T r i p u l a n t e s p o r Embarcação / param d i s p {E } ; / D i s p o n i b i l i d a d e p o r Embarcação / param n t r i p s ; / T o t a l de t r i p u l a n t e s / param n c a p s ; / T o t a l de c a p i t ã e s / v a r x { e i n E} >= 0 i n t e g e r ; / I n t e g r a l i d a d e e não n e g a t i v i d a d e / s. t. c a p i t a e s : sum{ e i n E} cap [ e ] x [ e ] <= n c a p s ; / R e s t r i ç ã o de C a p i t ã e s / s. t. t r i p u l a n t e s : sum{ e i n E} t r i p [ e ] x [ e ] <= n t r i p s ; / R e s t r i ç ã o de T r i p u l a n t e s / s. t. e m b a r c a c o e s { e i n E } : x [ e ] <= d i s p [ e ] ; / R e s t r i ç ã o de Embarcações / maximize l u c r o : sum{ e i n E} l [ e ] x [ e ] ; / Lucro do a l u g u e l / end ;

27 CAPITÃO CAVERNA S.A. - FORMATO MathProg caverna.dat (1/2) d a t a ; / Lucro p o r Embarcação / param : E : l := Jangadas 50 S u p e r c a n o a s 70 A r c a s 100 ; / C a p i t ã e s p o r Embarcação / param : cap := Jangadas 1 S u p e r c a n o a s 1 A r c a s 1 ; / T r i p u l a n t e s p o r Embarcação / param : t r i p := Jangadas 1 S u p e r c a n o a s 2 A r c a s 3 ;

28 CAPITÃO CAVERNA S.A. - FORMATO MathProg caverna.dat (2/2) / D i s p o n i b i l i d a d e p o r Embarcação / param : d i s p := Jangadas 4 S u p e r c a n o a s 8 A r c a s 3 ; param n t r i p s := 1 8 ; / T o t a l de t r i p u l a n t e s / param n c a p s := 1 0 ; / T o t a l de c a p i t ã e s / end ; RESOLVENDO glpsol -m caverna.mod -d caverna.dat -o cavernasol.txt

29 CAPITÃO CAVERNA S.A. - SOLUÇÃO cavernasol.txt Problem : c a v e r n a Rows : 6 Columns : 3 (3 i n t e g e r, 0 b i n a r y ) Non z e r o s : 12 Status : INTEGER OPTIMAL O b j e c t i v e : l u c r o = 680 (MAXimum) No. Row name A c t i v i t y Lower bound Upper bound 1 c a p i t a e s t r i p u l a n t e s embarcacoes [ Jangadas ] embarcacoes [ Supercanoas ] embarcacoes [ Arcas ] l u c r o 680 No. Column name A c t i v i t y Lower bound Upper bound 1 x [ Jangadas ] x [ S u p e r c a n o a s ] x [ A r c a s ] 2 0

30 Comando set s e t I ; / d e c l a r a c o n j u n t o que s e r á i n f o r m a d o d e p o i s / s e t I := ; / d e c l a r a um c o n j u n t o p r e e n c h e n d o com num. de 1 a 10 / s e t A := T r i g o Q u e i j o F i g a d o Salmao E s p i n a f r e ; / d e c l a r a e i n f o r m a e l e m e n t o s de um c o n j u n t o / s e t C i d a d e s ; s e t C a p i t a i s w i t h i n i d a d e s ; / c o n j u n t o c a p i t a i s f i c a r e s t r i t o a s e r um s u b c o n j u n t o de c i d a d e s /

31 Comando param param n ; / p a r â m e t r o que s e r á i n f o r m a d o d e p o i s / param c, > 0 ; / p a r â m e t r o que s e r á i n f o r m a d o d e p o i s e d e v e s e r p o s i t i v o / param n, i n t e g e r, > 0 ; / p a r â m e t r o que s e r á i n f o r m a d o d e p o i s e d e v e s e r p o s i t i v o e i n t e i r o / param c {A } ; / p a r â m e t r o que d e v e s e r i n f o r m a d o p a r a cada e l e m e n t o do c o n j u n t o A / param : c := elementodea1 v a l o r D e C p a r a A 1 elementodea2 v a l o r D e C p a r a A 2... ; / v a l o r do parâmetro c para cada elemento de A /

32 Comando var v a r x >= 0 ; / uma v a r i á v e l p o s i t i v a / v a r x { I, J }, i n t e g e r, >= 0 ; / c r i a uma v a r i á v e l x p a r a cada p a r ( i, j ) de I e J, v a r i á v e l i d e n t i f i c a d a p o r x [ i, j ] / v a r z { i i n I, j i n J } >= i+j ; / c r i a uma v a r i á v e l z p a r a cada p a r ( i, j ) de I e J, v a r i a v e l i d e n t i f i c a d a p o r z [ i, j ], cada v a r i á v e l pode a s s u m i r v a l o r minimo i+j /

33 Comando Adição de Restrições s. t. r : x + y + z, >= 0, <= 1 ; / r e s t r i ç ã o com nome r, r e s t r i n g i n d o o s o m a t ó r i o de x + y + z p a r a o i n t e r v a l o [ 0, 1 ] / s. t. c a p a c i d a d e : sum{ i i n I } p [ i ] x [ i ] <= c ; / uma r e s t r i ç ã o g e r a d a s o b r e o s o m a t ó r i o da v a r i á v e l x [ i ] m u l t i p l i c a n d o uma c o n s t a n t e p [ i ] / s. t. e s t o q u e F i n a l {p i n P} : e s t o q u e [ 1 2, p ] + compras [ 1 2, p ] v e n d a s [ 1 2, p ] >= ; / uma r e s t r i ç ã o s e r á g e r a d a p a r a cada p r o d u t o p /

34 FIM Dúvidas? Obrigado pela atenção!