CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA 1 Prof Raul Brito

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1 MMC, MDC, Múltiplos e Divisores CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA Prof Raul Brito SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O sistema de numeração que usamos é o sistema de numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em grupos de dez. Dezenas cada grupo de 0 unidades dezenas = 0 unidades Centenas cada grupo de 0 dezenas centenas = 00 unidades Milhar cada grupo de 0 centenas milhar = 000 unidades Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou casa) no numeral: Ex: casa das unidades (ordem das unidades) 8 casa das dezenas (ordem das dezenas) 7 casa das centenas (ordem das centenas) A partir de 000, os números são indicados por quatro ou mais algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em classes de três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta) º º 0º 9º 8º 7º 6º º 4º º º º º Ordem das unidades º Ordem das dezenas º Ordem das centenas 4º Ordem das unidades de milhar º Ordem das dezenas de milhar 6º Ordem das centenas de milhar 7º Ordem das unidades de milhão 8º Ordem das dezenas de milhão 9º Ordem das centenas de milhão 0º Ordem das unidades de bilhão º Ordem das dezenas de bilhão º Ordem das centenas de bilhão FORMA POLINOMIAL Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos escrever da seguinte forma: 48 = ou ATENÇÃO! Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo sistema de numeração as notações. Para um número de dois algarismos: N = [ab] forma polinomial: N = 0 a + b Para um número de três algarismos: N = [abc] forma polinomial: 00 a + 0 b + c

2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU NÚMEROS NATURAIS Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o que chamamos de números naturais: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,... O sucessor de um número natural n é escrito (n + ), e o antecessor de n é (n ) Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as seguintes notações: I. n, n +, n +,... consecutivos II. n, n +, n + 4,... consecutivos pares III. n +, n +, n +,... consecutivos ímpares OPERAÇÕES: I Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número o que chamamos de soma. a + b + c = S, onde: a, b e c são as parcelas e S é a soma. II Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos: a b = D ou a b = R, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e D ou R é o resto ou diferença. III Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número ou (fator) o que chamamos de produto. a b c = P, onde: a, b e c são fatores e P o produto. É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto. IV Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata. Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde a b 0. Dizemos que b é divisor de a quando existe q também inteiro tal que a = b q, onde: a é dividendo, b é divisor e q é o quociente. Relação Fundamental da Divisão (R.F.D) a b r q a b q r, onde 0 r b. a é o dividendo; b é o divisor; q é o quociente e r o resto. NÚMEROS PRIMOS O que é número primo? A seguir estão representados os números naturais de a 0:

3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU Fazendo um círculo no número e, em seguida, apagando todos os outros números que são divisíveis por, que números permanecem? Agora, circulando o número e apagando todos os outros números que são divisíveis por, quais ficam? Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o, e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis por, quais ainda continuam? Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no primeiro número não assinalado e apagando os demais números que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números assinalados com o círculo. Veja os números que permanecem: Esses números que ficaram assinalados com o circulo são números primos. Você sabe o que é um número primo? Um número natural, maior que, é primo quando só é divisível por e por ele mesmo. Os números,,, 7, e, por exemplo, são números primos. Cada um deles é divisível por exatamente dois números: e ele mesmo. Números como 4, 6, 8, 9, 0, e são chamados números compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois números. Um número natural, maior que, é composto quando é divisível por mais de dois números naturais. Observações: Pelo texto acima, os números 0 e não entram na classificação de primo ou composto. O número 0 é divisível por mais de dois números naturais (é divisível por, por, por, por 4, etc.). Por isso, é considerado número composto. Já o número, que só e divisível por ele mesmo, não é considerado primo nem composto. Como reconhecer um número primo Há infinitos números primos. Para saber se um número é primo, devemos dividi-io sucessivamente pelos números primos (,,, 7, etc.) e verificar o que acontece: Encontrando um resto zero, o número não é primo. Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só precisamos fazer as divisões até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Veja: 97 não é divisível por, porque não é par. 97 não é divisível por, porque a soma dos seus algarismos ( = 7) não é divisível por.

4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 4 97 não é divisível por, porque não termina em zero ou não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto. O quociente (8) é maior que o divisor (7). 97 não é divisível por, porque nessa divisão ocorre resto 0. O quociente (7) é maior que o divisor (). 97 não é divisível por, porque nessa divisão ocorre resto. O quociente () é maior que o divisor (). 97 não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto 0. O quociente () é menor que o divisor (7). Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o divisor, concluímos que 97 é número primo. ALGORITMO DA DIVISÃO Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único par de números inteiros (q, r) tal que D = d q + r e 0 r d. Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D é o dividendo e d é o divisor). dividendo resto D d r q divisor D d q r onde 0 r d quociente CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro. Estas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Um número natural N é divisível por: se seu algarismo da unidade é par: Ex.: se a soma de seus algarismos é divisível por. Ex.: 9678 ( = 4) 4 se o número formado por seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Ex.: 6796 ou 00 se seu algarismo da unidade é 0 ou. Ex.: ou 6 se é divisível por e por. Ex.: * 8 se o número formado por seus três últimos algarismos é divisível por 8. Ex.: 4796 ou se a soma de seus algarismos é divisível por 9. Ex.: 6487 ( = 6) 0 se seu algarismo das unidades é 0. Ex.: * Divisibilidade por 7

5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU Um número com mais de algarismos é divisível por 7 quando a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma das classes pares é zero ou múltiplo de 7. Exemplo: 088 é divisível por 7? ª classe ª classe ª classe Soma das classes ímpares = 88 Soma das classes pares = 8 Diferença = 7 Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que 088 também é múltiplo de 7. Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos forem necessários até que se torne maior ou igual à soma das classes pares. Divisibilidade por Um número é divisível por, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a sorna dos algarismos de ordem par é zero ou múltiplo de. Exemplo: 074 é divisível por? Note: algarismos de ordem ímpar algarismos de ordem par Soma das ordens ímpares = 9 Soma das ordens pares = 8 Diferença 9 8 = Logo, o número não é divisível por e o resto na divisão por é. Observação Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos quantos forem necessários até torná-ia maior ou igual à soma dos algarismos de ordem par. DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO Existe um método prático para obter todos os divisores de um número. Veja como vamos achar os divisores de 8: ) Fatoramos o número ) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. 8 9 ) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicação e o número. Na linha seguinte (a linha do fator ), colocamos o produto de pelo número que está na linha acima dele ( ) ) Na linha seguinte (a linha do fator ), colocamos o produto de pelos números que estão nas linhas acima dele, à

6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 6 direita do traço ( e 6) ) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma só vez (como o produto de e já foi anotado, registramos = 9 e 6 = 8). 8 9 Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 8:,,, 6, 9 e 8 QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO NATURAL Se N = ª b c 7 d..., a quantidade de divisores (positivos) de N, dada por: n[d(n)] = (a + ) (b + ) (c + ) (d + )... Exemplo: O número de divisores positivos de 90 é: n[d(90)] ( ) ( ) ( ) Observação Para encontrar os divisores de 90 faça: 90 4, 6 9, 8, 0,, 0, 4, 90 Logo os divisores de 90 são D(90) = {,,,, 6, 9, 0,, 8, 0, 4, 90} RESTO DA DIVISÃO Resto da divisão por e por. O resto da divisão de um número por ou é o mesmo que o da divisão do algarismo das unidades por ou. Exemplos:.77 (7 : ) resto.77 (7 : ) resto. ( : ) resto. ( : ) resto (é o próprio algarismo das unidades do nº). Observação No caso da divisão por, temos ainda a opção de utilizarmos a seguinte regra prática: Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é zero, e se for ímpar o resto será um. Resto da divisão por e por 9.

7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 7 O resto da divisão de um número por ou 9 é o mesmo que o da divisão da sorna dos valores absolutos dos sem algarismos, por ou 9. Exemplos:.97 ( ) : : resto.97 ( ) : 9 : 9 resto Resto da divisão por 4. O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades de seu numeral por 4. Exemplo: 496 ( : 4) resto Resto da divisão por 6. O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da divisão da sorna do algarismo das unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes. Exemplo: Qual o resto da divisão de 4 por 6? 4 4 ( ) quádruplo Logo Soma dos algarismos res tantes 6 Assim o resto procurado é. Resto da divisão por 7. Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o resto, efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. Exemplo: Qual o resto da divisão de 88 por 7? 8 8 ª Classe ª Classe ª Classe Soma das classes ímpares 8 + = 96 Soma das classes pares = 8 Diferença = Corno não é múltiplo de 7 ternos que o número 88 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será: resto 7 Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o resto. Exemplo: Qual o resto da divisão de 40 por 7? 40 ª Classe ª Classe ª Classe Soma das classes ímpares + = 4 Soma das classes pares = 40 Diferença = Como não é múltiplo de 7, temos que o número 40 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será. Resto da divisão por 8. O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das centenas, dezenas e das unidades de seu numeral por 8. Exemplo: 874 (74 : 8) resto 6 Resto da divisão por 0. O resto da divisão de um número por 0 é o algarismo das unidades do numeral desse número. Exemplo:. resto

8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 8 Resto da divisão por. Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par não seja um número múltiplo de, porém maior que, pode-se obter o resto efetuando-se a divisão da diferença obtida por. Exemplo: Qual o resto da divisão de 8987 por? algarismos de ordem ímpar algarismos de ordem par Soma das ordens ímpares = Soma das classes pares = 6 Diferença = 6 Como 6 não é múltiplo de, temos que o número não é divisível por e o resto de sua divisão por será: 6 resto 4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Múltiplo de um número natural é o produto dele por um número inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 7 (indicado por M(7)) é: 7 (0) 0 7 ( ) 7 7 ( ) 4 7 ( ) 7 ( 4) 8 M(7) {0, 7, 4,, 8,, 4,...) 7 ( ) 7 ( 6) 4... MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Definição: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns e não comuns de a e b, tomados com o maior expoente. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Definição: O máximo divisor comum (MDC) entre os números inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns de a e b, tomados com o menor expoente. PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC DE DOIS NÚMEROS ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto deles e o MDC é. Ex.: MMC(7, 9) = 6; MDC(7, 9) = ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o MMC e o menor é o MDC. Ex.: MMC(6, 6) = 6; MDC(6, 6) = 6 ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números. a b = MMC(a, b) MDC(a, b) Ex.: 0 MMC(, 0) MDC(, 0) 00 60

9 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM Questão Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e AB representados em notação posicional. Sabendo que B =.A e que a diferença entre AB e AB vale 80, determine o valor de A + B. Questão O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 4, inclusive e N, é a) 84. b) 86. c) 40. d) 60. e) 6. Questão O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos que necessitava para a reforma do banheiro de sua casa. O Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede onde utilizaria os azulejos era retangular e media, metros de altura por 6, metros de comprimento. E por uma questão de economia ele gostaria de utilizar o menor numero possível de azulejos quadrados. Antes que o vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários para revestir toda a parede, o Sr Francisco esclarecer que ele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes entre um azulejo e outro. João ficou todo feliz e disse: papai eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a seu pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar. Pergunta-se: a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar o numero de azulejos, nas condições acima? b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João c) Qual a medida do lado do azulejo? Questão 4 Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor com o quociente vale 6, calcule o dividendo. Questão Ache um número de dois algarismos XY sabendo que a soma dos seus algarismos vale 6 e que, subtraindo 6 unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversa YX.

10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 0 Questão 6 O estoque de um depósito atacadista de cereais está constituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 9 sacas de trigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 7kg cada. Os cereais disponíveis devem ser reembalados em sacas menores, todas com o mesmo peso, com o maior peso possível em cada saca, sem misturar os cereais e sem sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque ficará distribuído em n sacas. O valor de n é: a) 9 c) b) 0 d) Questão 7 - (UECE) Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de em meses em A, de 8 em 8 meses em B e de em meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de 00. Coincidirão novamente em: a) outubro de 0. d) algum mês de 004. b) setembro de 00. e) fevereiro de 0. c) setembro de 0. Questão 8 Seja N = Sabe-se que os restos das divisões de N por, 8 e 9 são respectivamente n, p e q. Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale: a) 76 d) 9 b) 84 e) 96 c) 88 Questão 9 O número 9788: a) é divisível por 7. b) na divisão por 7 deixa resto. c) na divisão por 7 deixa resto. d) na divisão por 7 deixa resto. e) na divisão por 7 deixa resto 4. Questão 0 De forma a não machucar as belas maças que comprou na feira, a governanta da casa de uma família arruma as frutas em uma cesta de vime. Porém, ao deixá-la sozinha por alguns instantes, não percebe que: o dono da casa pegou frigobar do quarto; sua patroa pegou no trabalho; 6 o filho mais velhos pega para si das frutas e colocou no das restantes e levou para comer 4 do restante para comer com os amigos no lanche da faculdade; o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente e das restantes para comerem. Quando ela chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide guardar as frutas restantes não mais uma cesta, e sim um prato pequeno. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente? a) 8 d) b) e) 8 c) 4

11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU Questão Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um document6o egípcio de cerca de 60 a.c., no qual um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 8 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria básica e geometria. É um dos mais famosos antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de hoje, juntamente com o Papiro de Moscou. Disponível em: Acesso em: 7 nov. 0. No papiro de Rhind, entre outras informações, encontra-se a expansão de frações como soma de outras frações de numerador, como por exemplo x Nessa expressão, o valor de x é igual a a) 4. d) 60. b) 0. e) 6. c). Questão Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco quilos cada uma, ou amarelas, pesando dois quilos cada uma. Na primeira caixa, das bolas são azuis. O peso total das bolas da segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira caixa. Qual a fração de bolas azuis da segunda caixa? a) 4 d) b) 7 8 c) e) Questão Júlia, ansiosa pelo dia do seu aniversário, fez a conta para saber quantos dias ainda faltavam para o seu aniversário. Após alguns cálculos, descobriu que, se ao passar do total de dias e, em seguida, mais 6 do que restou, ainda faltariam 0 dias para o seu aniversário. Dessa forma, quantos dias faltavam inicialmente para tão esperada data? a) 0 d) 0 b) 4 e) 4 c) 6

12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU Questão 4 Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois caminhos. No primeiro, ele passa pela casa de Maria e os dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra Maria na frente do cinema; nesse caso, ele anda km a menos que no primeiro caminho, mas o dobro do que Maria terá que caminhar. Qual é a distância entre a casa de Maria e o cinema? a) km d) 4 km b) km e) 6 km c) km Questão Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um deles contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é a) b) c) d). e). Questão 6 0 A geratriz da dízima,8... é a) 7. d) 0. b). e) 9. c) 6... a b, então a + b vale: Questão 7 Um pedreiro poderia fazer um muro em 40 dias e outro pedreiro faria o mesmo muro em 60 dias. Trabalhando os dois juntos, em quantos dias concluiria o muro? a). d) 6. b) 0. e) 8. c) 4. Questão 8 Três torneiras são abertas simultaneamente. A primeira consegue encher o tanque completamente cheio em h. A segunda em 4h. A terceira torneira consegue esvaziar o mesmo completamente cheio em h. Determine o tempo para que o tanque fique completamente cheio, com as três torneiras abertas nas condições do problema. Questão 9 Rafael tem da idade de Roberto e é anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto apresenta 4 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é a) 7 d) 48 b) 60 e) c) 8

13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao número unidades o resto seja igual ao quadrado do algarismo das dezenas. Questão O quociente da divisão de um número N de algarismos pela soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das dezenas excede de o triplo das unidades? Questão - (UECE) O número de algarismos, contados com as repetições, necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: a) 80 b) 8 c) 8 d) 8 Questão 4 - (Fuvest) Abaixo está representada uma multiplicação onde os algarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual o valor de a + b + c? a) b) 8 c) d) 4 e) 7 Questão abc abc 4 Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 8, 4 e 0? Questão 6 Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 8, 4 e 0? Questão 7 Sendo dois números A = e B =, o quociente da divisão do seu MMC pelo seu MDC será: a) b) c) d) e)

14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 4 Questão 8 (UECE) Seja n o menor inteiro positivo para o qual n n n n n n n n,,,,,, e são números inteiros. O produto dos algarismos do número n é: a) 0 b) c) 0 d) 0 Questão 9 (PUC) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia? a) 9 de dezembro b) 0 de dezembro c) de dezembro d) 4 de dezembro e) 8 de dezembro Questão 0 Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 0 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 6 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. a) 9 equipes com 6 participantes cada uma b) 8 equipes com participantes cada uma c) 0 equipes com 4 participantes cada uma d) equipes com participantes cada uma Questão Larissa fez uma viagem de 0km, até chegar à fazenda de seu avô. A viagem foi feita da seguinte forma: 7 percurso, de avião; do resto, de trem; a seguir do que 8 restou, de ônibus; e os demais quilômetros, de carro com tração nas quatro rodas, pois não se chega em carro com tração em duas rodas à fazenda, em época de chuva. Calcule quantos quilômetros percorreu de carro com tração nas quatro rodas. a) b) 4 c) d) 6 e) 7 do

15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU Questão A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 0 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? a) 0 b) c) 8 d) e) 0 Questão Uma assalariado de terminada cidade recebe de forma líquida, ou seja, após os descontos, um salário de apenas 0 reais por mês. Dessa quantia, gasta 4 com aluguel e com alimentação da família. Este mês ele teve uma despesa extra 8 do seu salário foram gastos com remédios, extrapolando o seu orçamento e, consequentemente, fazendo com que ele pedisse um adiantamento. Qual a fração do salário que ele extrapolou? a) b) c) d) e) Questão 4 Em um aniversário, um bolo foi distribuído entre crianças. João ganhou do bolo, Luiz ganhou a metade do que João, Maria ganhou 6 do bolo, Joana ganhou o dobro de Maria e Jorge ganhou o restante do bolo. Então, pode-se afirmar que a fração do bolo dada a Jorge foi: a). 8 b). c). d). 8 e). 9

16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 6 Questão Um feirante vendeu, a R$,00 a dúzia, metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou. Dois terços da outra metade, ele vendeu a R$,0 a dúzia e o restante, a R$,00 a dúzia. Qual foi o valor, em reais, que o vendedor faturou na venda? a) 00 b) 400 c) 00 d) 600 e) 700 Questão 6 Uma pessoa perdeu 7 do que possuía. Em seguida, ganhou 0 reais e ficou com o triplo do que possuía inicialmente. Quanto a pessoa possuía inicialmente? Questão 7 Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou com ; a segunda com e a terceira, que ficou com o resto, recebeu 60 reais a menos do que a primeira. Calcule a quantia. Questão 8 Uma torneira A enche um tanque sozinha em horas. Outra torneira B, sozinha, enche o mesmo tanque completamente em 6 horas. Estando o tanque vazio, abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, o tanque vai encher em quanto tempo? Questão 9 Uma torneira enche um tanque em apenas 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em horas. Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente, a torneira e o ralo. Então, em quantas horas o tanque esvazia-se? GABARITO F F F F4 F 9 6 D D 60 F6 F7 F8 F9 F0 6 C A D A F F F F4 F D D D A A F6 F7 F8 F h h

17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 7 Questão 0 RESOLUÇOES DAS QUESTÕES DE CASA Resolução: Seja N o número procurado. Como ele tem dois algarismos, podemos escrever: N = X Y dezena unidade Podemos escrever N na forma polinomial, ou seja: N = XY = 0X + Y, já que são X dezenas e Y unidades. Do enunciado, temos: X = Y e N X 0X Y X Substituindo o valor de X, temos: 0 Y Y Y 0Y Y 9Y 0 9Y Y Pela fórmula de Bhaskara, encontramos: y y Assim: X Y X. X 9 Resposta: XY = 9 Questão 0 Resolução: Seja N o número procurado. Como ele tem dois algarismos, podemos escrever: N = X Y dezena unidade Podemos escrever N na forma polinomial, ou seja: N = XY = 0X + Y, já que são X dezenas e Y unidades. Do enunciado, temos: N = XY XY X + Y 7 Pelo algoritmo da divisão, temos: XY X Y 7 XY 7X 7Y Usando a forma polinomial: XY 0X Y X Y 7 0X Y 7X 7Y 0X 7X 7Y Y X 6Y X Y Do enunciado, podemos escrever: X Y Assim, substituindo o valor de x encontrado: Y Y 4Y Y Y e X. X 6 Logo o número procurado é XY = 6. Resposta: 6 Questão 0 Resolução: A questão pede para determinarmos a quantidade de algarismos que devemos usar para numerar as páginas de um livro, ou seja, para numerar, por exemplo, a página 0, precisaremos de algarismos, o e o 0 e assim formaremos o número 0. Para numerar a página 48, precisaremos de algarismos, o 4 e o 8, assim formaremos o número 48. Então para numerar as páginas de até 9, precisaremos de: (9 - + )x = 9x = 9 algarismos. Para numerar da página 0 até a 96, precisaremos de: ( )x = 87x = 74 algarismos. (Aqui multiplicamos por porque são números de algarismos) Assim, para numerar as 96 páginas, necessitamos de 9 algarismos (da página até a página 9) + 74 algarismos (da página 0 até a página 96), portanto necessitamos de 8 algarismos. Como encontramos o 9 e o 87? Veja o apêndice no final deste material.

18 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 8 Resposta: 8 algarismos Questão 04 Resolução: Usando o algoritmo da multiplicação, temos: Assim podemos escrever: abc = a + 0b + c a b c 4 = 000a + 00b + 0c + 4 Logo, se abc = abc4, vem: ( a + 0b + c) = 000a + 00b + 0c a + 0b + c = a + 00b + 0c 996 = 700a + 70b + 7c + (7) 48 = 00a + 0b + c = 00a + 0b + c = 00a + 0b + c Como a decomposição de qualquer número em potências de 0 (, 0, 00, ) é única... se = 00a + 0b + c Comparando, temos a = 4, b = e c = 8 Resposta: Alternativa D Questão 0 Resolução: Fatorando cada um dos números, temos: 8 =. 4 =. 0 =.. O MMC é o produto de todos os fatores, com os maiores expoentes: MMC (8, 4, 0) =.. = 60 Resposta: 60 Questão 06 Resolução: Usando a fatoração da questão anterior, temos que o MDC é o produto dos fatores COMUNS, porém com os menores expoentes: MDC (8, 4, 0). = 6 Resposta: 6 Questão 07 Resolução: Como os números já estão fatorados, temos: A =.. e B =.. MMC (A, B) =... MDC (A, B) =. Logo o quociente q vale: q q q 0 Resposta: Alternativa C Questão 08 Resolução: Vamos supor que a questão pedisse o produto dos algarismos do número n para apenas três deles, (vamos pegar os três primeiros apenas para facilitar as contas usadas como exemplo).

19 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 9 Então n seria o mmc de, e 4, ou seja,. Sendo n =, o produto seria. =. Tranquilo até ai? Bem, se fosse n 4 ; n 7 e n =, o produto seria.. = 0. Vejamos o que acontece quando pegamos o. n 9, por exemplo, então n seria o mmc de 4, 7 e 9, fazendo as contas encontramos. Sendo Caso : Pegaremos o, sem pegar um múltiplo de. Vamos pegar, por exemplo, n ; n n = 0, o produto seria.0. = 0. Caso : Pegaremos n ; n múltiplo de 0. Sendo n = 0, o produto seria.0 = 0. Pegaremos agora n ; n 6 e n e n, então n seria o mmc de, e 7, fazendo as contas, encontramos 0. Sendo 7, então n seria o mmc de, e, fazendo as contas encontramos 0. Note que 0 é um e n, então n seria o mmc de, 6 e 7, fazendo as contas encontramos 0. Note que 0 é um 7 múltiplo de 0. Sendo n = 0, o produto seria..0 = 0. Pegaremos agora n 4 ; n e n 9, então n seria o mmc de 4, e 9, fazendo as contas encontramos 80 note que 80 é um múltiplo de 0. Sendo n = 80, o produto seria.8.0 = 0. Note que se n for um múltiplo de 0, o produto dará sempre zero, pois sempre vai aparecer um zero que vai ser multiplicado. Assim, basta verificarmos se n será um múltiplo de 0! Para ser múltiplo de 0, n precisa ser múltiplo de e de ao mesmo tempo, por isso nos preocupamos apenas com o e com o. Ah! Quer dizer que só precisamos nos preocupar com e, pois assim n será múltiplo de 0 e o produto será sempre zero? Sim!! Por isso pegamos apenas o e o. Mas n será múltiplo de, 7 ou 8, por exemplo? Sim, mas ele não deixará de ser múltiplo de 0 que é o que nos interessa. Ah prof entendi agora. Resposta: alternativa A Questão 09 Resolução: Temos que determinar o MMC entre os números, 4 e 6. MMC (, 4, 6) = = Concluímos que após dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 4 de Dezembro. Resposta: 4 de Dezembro Questão 0 Resolução: Temos que encontrar o MDC entre os números 48, 6 e 0. Fatorando cada número, temos: Da decomposição em fatores primos: 48 = 6 =

20 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU 0 0 = O MDC é o produto dos fatores COMUNS com os menores expoentes: MDC (0, 6, 48) = = 6 Assim, o número total de equipes é: = 4 4 : 6 = 9 equipes O número de equipes será igual a 9, com 6 participantes cada uma. Resposta: alternativa A Questão Resolução: Fazendo-se uma análise das informações dadas, tem-se: avião: 7. 0 km 770 km trem: km 76 km ônibus: km carro: x km Assim, temos: x = x = 0 x = 0 04 x = 6 km Resposta: alternativa D Questão Resolução: As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro continha partida e 4 no momento de chegada. Desse modo, João gastou de sua capacidade no momento da do tanque na viagem. Como o tanque gastou 0 litros de gasolina na viagem. Note que esta última conta pode ser pensada como João gastou meio tanque de gasolina e a metade de 0 é. Resposta: alternativa D Questão ª Resolução: Calculando a fração do salário correspondente às suas despesas neste mês com aluguel, alimentação da família e com remédios Conclui-se que ele gastou com essas despesas um total de 40 do salário. ª Resolução: No início ele gastava: 4 40 ou ainda 40 só com remédios. Portanto, ele extrapolou.4. 8 x x x x x, com x = 0 reais, assim temos que os gastos dele era de reais. Com a despesa extra, foram gastos: reais. Assim o 8 8 total gasto com a despesa extra foi de: = reais. Logo, o gasto a mais foi de 0 reais. Assim, a fração do salário é de. 0 40

21 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA Resposta: 40 do salário. REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU Questão 4 Resolução: Fazendo a distribuição do bolo: João ganhou Luiz ganhou Maria ganhou Joana ganhou ou ou ou 6 4 Somando as frações, tem-se: Sobrou para Jorge: Resposta: 8. Questão Resolução: Do enunciado, tem-se a informação direta de que a fração correspondente ao preço de R$,00 é. Já a fração correspondente ao preço de R$,0 é obtida calculando-se A fração vendida a R$,00 será dada por: 6 6 Assim: , Portanto, na venda, o feirante faturou R$ 00,00. Resposta: R$ 00,00 Questão 6 Resolução: No início tinha x, então: x perdeu 7, logo a pessoa ficou com 7x x x x x Depois ganhou 0, ficando com x 0. Após esse ganho, ficou com x, temos então uma igualdade: 7 x x x x 0 x 0 x x 6x x x 40 6 Resposta: x = 40,00 Questão 7 Resolução: Uma quantia x será dividida entre três pessoas da seguinte forma:

22 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU ª pessoa: ganhou ª pessoa: ganhou x x ª pessoa: ganhou o restante, ou seja, x x x x 6x 4x x ficando com 60 reais a menos que a primeira, 4x x x 4x x 4x x ou seja, x 60 x 900 Resposta: x = 900,00 Questão 8 Resolução: A torneira A sozinha enche o tanque em h, veja que em h, a torneira A sozinha enche apenas tanque. do A torneira B sozinha enche o tanque em 6h, veja que em h, a torneira B sozinha enche apenas 6 do tanque. Assim as duas torneiras enchem em h, do tanque. Se as duas torneiras enchem metade do tanque em h, para enchê-lo todo, gastarão h. Resposta: t = h Questão 9 Resolução: A torneira sozinha enche o tanque em 4h, logo em h ela enche O ralo sozinho esvazia o tanque em h, logo em h ele esvazia Assim os dois juntos em h: 4 4 do tanque. Ou seja, a cada hora, o tanque faz é esvaziar um doze avos dele. 4 do tanque. Ora, se a cada hora, a fração / do tanque é esvaziada, se aguardarmos um intervalo de tempo vezes maior, ou seja, se aguardarmos horas, o tanque inteiro estará esvaziado. Resposta: t = h Dica importante: como achar quantos números existem num certo intervalo de números? Vamos aprender como encontrar a quantidade de números de a até b, e entre a e b. Vejamos: Caso : Quantidade de números DE a ATÉ b: Ex.: Quantos números tem de até 0? Resposta: Veja que DE tanto ATÉ tanto inclui o primeiro e o último número. Assim temos:, 6, 7, 8, 9 e 0, ou seja, temos 6 números. Ex.: Quantos números tem de 0 até 7? Resposta: temos os números, 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4,, 6 e 7, ou seja, 8 números. Agora vejamos o seguinte: No exemplo, tínhamos os números de até 0, então: 0 =, note que temos 6 números e essa diferença deu.

23 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL AULA REVISÃO DE MATEMÁTICA DO º GRAU No exemplo, tínhamos os números de 0 até 7, então: 7 0 = 7, note que temos 8 números e essa diferença deu 7. Podemos verificar com outros números e veremos que a quantidade de números DE a ATÉ b pode ser encontrada pela expressão: N = b a +, onde a é o primeiro número, b é o último número e N é a quantidade de números. Caso : Quantidade de números ENTRE a e b: Ex.: Quantos números tem entre e 9? Resposta: Veja que ENTRE tanto e tanto, não inclui nem o primeiro, nem o último. Assim temos:, 4,, 6, 7, 8 e 9, ou seja, números. Ex.4: Quantos números tem entre 9 e? Resposta: temos os números: 9, 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 0,, ou seja, números. Agora vejamos o seguinte: No exemplo, tínhamos os números entre e 9, então: 9 = 6, note que temos números e essa diferença deu 6. No exemplo 4, tínhamos os números de 9 até, então: 9 =, note que temos números e essa diferença deu. Podemos verificar com outros números e veremos que a quantidade de números ENTRE a e b pode ser encontrada pela expressão: N = b a, onde a é o primeiro número, b é o último número e N é a quantidade de números.