APROXIMAÇÃO DO LIMITE SUPERIOR DE UM GRÁFICO CUSUM BINOMIAL

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1 XXX ENCONTRO NACIONA DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Matuidad dsafios da Eghaia d Podução: comtitividad das msas, codiçõs d tabalho, mio ambit. São Calos, SP, Basil, a5 d outubo d. APROXIMAÇÃO DO IMITE SUPERIOR DE UM GRÁFICO CUSUM BINOMIA Elisa Hig (UFSC dmah@joivill.udsc.b Robt Way Samohyl (UFSC samohyl@ds.ufsc.b Custodio da Cuha Alvs (UNIVIE custodio.alvs@uivill.t Est atigo asta uma fomulação dita aa aoximação do limit suio d cotol h d um gáfico d somas acumuladas (CUSUM uilatal suio aa vaiávis com distibuição biomial. É ossívl calcula st aâmto h aa valos édtmiados da ooção sob cotol (, ooção qu s dsja aidamt dtcta (, tamaho da amosta o valo sado do úmo d amostas até a missão d um alam falso (AR. Paa avalia a fómula são alizadas algumas comaaçõs com xmlos da litatua, alicação da abodagm makoviaa simulaçõs. Os sultados cotados toam a fomulação oosta uma oção às fomas sts d cálculo do limit suio h. Palavas-chavs: Gáfico CUSUM, limit suio, distibuição biomial

2 . Itodução O gáfico d cotol d somas acumuladas (CUSUM é idicado à dtcção d quas sistts mudaças a caactística da qualidad moitoada m um ocsso. Esta famta, qu cotmla a mmóia d cotol statístico d um ocsso, foi iicialmt oosta a Iglata o Pag (954 como uma altativa aos tadicioais gáficos d Shwhat. Est gáfico icooa ditamt, toda a sqüêcia d ifomaçõs dmacado as somas acumuladas dos dsvios m lação ao valo-alvo (valo omial (AVES SAMOHY, 4. Um gáfico CUSUM biomial, objto d studo dst tabalho, xamia cumulativamt o úmo d ão cofomidads uma sqüêcia d amostas d tamaho. Tm como objtivo a dtcção qu d aumtos ou duçõs da ooção d its ão-cofoms (BOURKE, (HAWKINS & OWE, 998 (WU ET A., 8. Emboa o gáfico CUSUM sja mais ftivo qu o gáfico d Shwhat aa quas modadas altaçõs a ooção, o gáfico d cotol d Shwhat é aida utilizado com maio fqüêcia o moitoamto d atibutos. O ojto d um gáfico CUSUM ão é tivial, ou sja, sua utilização ittação comaadas ao ojto d um gáfico d Shwhat são mais tabalhosas (UCAS, 5 (WU ET A.,8. Nst tabalho é oosta uma foma mais simls d calcula o itvalo d dcisão d um CUSUM aa vaiávis com distibuição biomial. O limit suio h d um CUSUM uilatal suio od s calculado d foma dita. É uma altativa simls diat das oçõs d cálculo xistts. O tabalho stá assim dliado: a sção astam-s os cocitos tóicos, a sção a fomulação oosta, a sção 4 um studo comaativo com valos da litatua xistt alicado a abodagm makoviaa, a sção 5 as coclusõs cosidaçõs fiais.. Gáfico CUSUM aa vaiávis com distibuição biomial Um gáfico CUSUM biomial uilatal suio é alicado aa dtcta um aumto o valo sado d its ão cofoms, do valo omial o aa, od so, s cosod ao acéscimo (% m. Sja uma séi d amostas alatóias Y i, i=,,..., iddts, d tamaho, com distibuição biomial. O gáfico CUSUM é obtido atavés da statística Ci max(, Ci X i k, i,,... ( m lação a amosta Y i, od a Ci é a statística CUSUM com C o u, u h b X i é o úmo d its ão-cofoms a amosta Y i ; c k é uma costat, domiada d valo d fêcia do CUSUM, qu dd da magitud d mudaça s qu s dsja dtcta; d h é o limit suio d cotol do CUSUM. S o ocsso stá sob cotol, as somas acumuladas dfiidas m ( dscvm um cuso alatóio com média ( zo. Poém s a média muda aa algum valo acima,

3 tão uma tdêcia ascdt s vlaá a soma acumulada C i. S Ci ultaassa o limit suio d cotol h, diz-s qu o ocsso stá foa d cotol statístico. Dv-s cosida isso como uma vidêcia d qu a média do ocsso mudou uma busca d causas assialávis dv s alizada (CRUZ ET A., 9. O limit suio h do CUSUM é dtmiado m fução do AR, qu é o valo sado do úmo d amostas cssáio até qu um alam falso sja mitido, do AR, o úmo d amostas até a missão d um alam vdadio. Há váios ocdimtos a litatua aa o cálculo do AR do AR aa um CUSUM biomial. Um dls é abodagm makoviaa od algumas dsvatags são aotadas como a cssidad d uso d um ogama comutacioal. Quado o xmlo, o é muito quo, a matiz d tasição d obabilidads da cadia d Makov od s muito gad, sultado m gad sfoço comutacioal (BROOK & EVANS, 97 (HAWKINS, 99 (REYNODS & STOUMBOS, 999. Outa liha, objto d studo dst atigo, stá basada as aoximaçõs d Wald (947, a xtsão dst tabalho oosta o Sigmud (985. As aoximaçõs iiciais d Wald (947 igoam o xcsso da statística tst da azão d obabilidad sqücial ( SPRT - Squtial Pobability Ratio Tst sob os limits d acitação ou jição ao fim do tst, além disso ão são cosidadas muito acuadas. Paa algumas distibuiçõs tcts à família xocial é dsvolvida uma toia basada a coção d difusão ( coctd diffusio qu aoxima o limit do valo sado do xcsso da statística SPRT sob as lihas d acitação jição coigido st xcsso. O icíio dsta aoximação é substitui a codição d assio alatóio da statística d cotol o um ocsso d movimto bowiao cotíuo, qu só é válido aa distibuiçõs fotmt ão aitméticas (SIEGMUND, 985 (REYNODS & STOUMBOS, 999. Nss stido, a distibuição biomial ão atd aos ssuostos básicos qu dvm s cosidados aa a coção. Ryolds & Stoumbos (999 cotoam sta limitação com a adoização da vaiávl Y i, aoximado a um ocsso d movimto bowiao com um agumto d ajust d cuvas usado aa calcula ss xcsso. O limit suio h coigido é dotado o b (quação. b h,, 5 ( Ryolds & Stoumbos (999 iclum sta coção as aoximaçõs d Wald. Postiomt stdm sta toia aa dtmia as mdidas d dsmho d um CUSUM biomial. A quação dota o cálculo do AR com o limit h coigido la quação (REYNODS & STOUMBOS,. AR od b b l (4 ( l (5 (

4 O valo d fêcia k (quação 7 cosidado ótimo aa o CUSUM biomial é o msmo utilizado o Ga (99 aa o gáfico SPRT. (6 A quação mit qu s calcul ditamt o AR, uma vz cohcidos a ooção sob cotol (, a ooção cosidada foa d cotol qu s dsja dtcta aidamt (, o tamaho da amosta ( o limit suio (h. Como sta abodagm via qu k h fossm múltilos d um úmo itio m ( m /, aa facilita a costução do gáfico, otou-s o ão adota ssa simlificação.. Fómula aa o cálculo do limit suio h É ossívl cota o aâmto h utilizado a quação aa um valo é-dtmiado d AR mdiat um método uméico aa solução d quaçõs. Métodos itativos, volvdo ou ão a utilização d divadas, odm s utilizados. Emboa os cusos comutacioais atuais tom a alicação dsss métodos simls, a scolha d valos iiciais adquados é cssáia aa a covgêcia dos msmos. Assim, ocuou-s uma foma d aoximação qu mita o cálculo dito do aâmto h, sm a cssidad d mga métodos itativos. Paa atigi ss objtivo mgou-s a fução ambtw su dsvolvimto m séi. Pocuou-s alica a mtodologia utilizada o Rogso (6 aa aoxima o valo do aâmto h do CUSUM biomial. O auto dsvolvu uma fómula dita aa o cálculo d h d um CUSUM aa moitoamto da média d um ocsso, atido da fómula d aoximação d Sigmud (985. Alicou a fução ambtw sua avaliação uméica, dscitas o Colss t al (996 Chaau-Blodau & Moi ( sctivamt. Paa um dado agumto x, a fução ambtw toa os valos W(x qu satisfazm a quação 8. W ( x W( x x (8 S o agumto x é gativo óximo d zo, a fução od s xadida d acodo com a quação 9. ( (6 9 ambtw {, x}... (9 6 Com l( l( l( x x Ests ocdimtos odm s alicados ao cálculo do h d um CUSUM biomial. Rsolvu-s a quação aa b, qu sultou a quação. b AR ( [ ] ambtw x od a quatidad t colchts da quação, foi dsvolvida, d acodo com a quação, cosidado-s dois, tês, quato cico tmos. Com aas dois tmos, ão toux bos sultados. Po st motivo somt são aalisadas as quaçõs dsvolvidas com tês ou mais tmos. ( 4

5 5 Utilizado tês tmos substituido b la quação, a quação s toa igual a: ( ( AR h ( od: ( ( ( ( l AR ( l( ( A iclusão d mais tmos sultaia toicamt m uma aoximação mais acuada. Assim, as quaçõs 4 5 cotém 4 5 tmos com dfiidos las quaçõs 4 5. ( ( AR h ( (4 ( AR h 6 9 (6 ( (5 Essas tês quaçõs (, 4 5 focm aoximaçõs aa o limit suio h. 4. Acuácia Nsta sção algus sultados iiciais quato a acuácia das aoximaçõs são astados. Iicialmt os valos obtidos aa h com as quaçõs, 4 5 são comaados aos sultados da alicação d um método uméico itativo aa a solução da quação aa b, ftuado a coção dada la quação. Rotias foam dsvolvidas com o acot GNU R (R Dvlomt Co Tam, 9 (Aêdic A aa tal fim. Alicou-s aa aos sguits dados: vaiado d, a,4; = 5, 5, ; AR = 5, 5,,,, 5 s vaiado d a % Quato mais óxima d zo fo a quatidad q= AR, os sultados distaciam-s mais do sado (a aiz. Valos aa q suios 6 mitm tabalha com lativa folga aa s 5% (quaçõs 4 5. Também ão é aoiada aa altaçõs muito quas m. Ests sultados ddm também da magitud d, AR. Valos quos d ão oduzião sultados acuados aa valos mos d s. Paa o msmo valo d, aumtado AR /ou (tamaho da amosta há uma ssívl mlhoa os sultados d h iclusiv aa s mos. Assim, aa algumas situaçõs scíficas, como, /ou AR muito quos s < 5% comda-s cota h mdiat a xtação da aiz, ou outo método.

6 Paa ilusta, a figua asta-s um gáfico comaativo, aa =,5, = AR =. A cuva m to cosod a aoximação calculado a aiz o um método uméico. Pcb-s qu quato maio o valo d, mais acuada é a aoximação, iclusiv com mos tmos. Figua - Comaação t os valos h: aiz (h.cd das aoximaçõs h ( tmos, h ( tmos, - quação, 4 tmos (h quação 4 5 tmos (h quação 5 Comaado os gáficos (figua vifica-s qu as quaçõs 4 5 são mais acuadas do qu da quação, aa um msmo valo d, ou s(%, o qu é sado m vitud do maio úmo d tmos. Já a quação 4, com um tmo a mos qu a quação 5, asta sultados similas a sta, com oucas vaiaçõs. A cuva m azul (h mosta como ficam os sultados com aas dois tmos o dsvolvimto (quação, bm ouco acuados aa uma faixa maio d valos qu as dmais aoximaçõs. É imotat avalia também s, aa o aâmto h calculado, as aoximaçõs toam o sultado, AR, sado. Foam tão alizadas duas aáliss, uma comaado com os valos oduzidos lo algoitmo d Hawkis, outa utilizado simulação. Na tabla cotam-s os sultados aa um AR alvo d, =,5 =. Utilizou-s aas a quação 4 sta aális. Na simulação foam gadas amostas com distibuição biomial d tamaho = obabilidad. Alicou-s um gáfico CUSUM com os aâmtos k calculado la quação 7 h la quação 4, aotado-s o úmo da amosta od há a imia idicação d um alam falso. Est ocdimto foi licado vzs calculada a média (colua 6. Com os msmos valos d k h calculou-s o AR utilizado-s o algoitmo d Hawkis (colua 5, com abodagm makoviaa, do acot suvillac do GNU R (HÖHE, 7. 6

7 Esava-s qu aoximação ão astass bos sultados aa gads altaçõs. As fómulas têm oigm os tabalhos d Sigmud (985, a aoximação d Sigmud aa o AR oduz bos sultados aas aa quos a modados valos do aâmto d itss, sdo ouco fil aa gads valos, sultado qu o tmo até a ocoêcia d um alam falso sja mo do qu o sado (HAWKINS & OWE, 998 (ROGERSON, 6. s (% k h AR HAWKINS AR simulado,55 5,5,9 96 9,6 5,49 5, 97,65 5,7, 87 86,7 4 5,95, 94 9,75 5 6,7 9, 8,8 6 6,9 8,,85 7 6,6 7, 4 9,9 8 6,8 6, ,95 9 7, 6, , 7,4 5, Tabla : Valos d AR com algoitmo d Hawkis simulados aa h (quação 4 k( SPRT No tato, os valos simulados ficam óximos dos sultados da abodagm makoviaa, aa toda a faixa aalisada. A aoximação com a quação 4 é uma oção a s ivstigada aa o ojto d um gáfico CUSUM aa quas modadas altaçõs. 4. Comaação com valos da litatua Esta sção tm o objtivo aalisa os sultados da alicação das quaçõs, 4 5 m algus xmlos da litatua. A tabla mosta os sultados aa o cálculo d h utilizados as quaçõs citadas aos dados do atigo d GAN(99. Nss atigo h é obtido o cadias d Makov. O valo d (sob cotol é igual a,5 aa (foa d cotol assumm-s os valos,5,,56,,59,,6,,65,,68 (colua. O tamaho da amosta é =. O itvalo d dcisão h dss atigo stá a colua. Nas dmais coluas stão os valos aoximados d h sctivos os lativos. k h Raiz E(% Eq. E(% Eq. 6 E(% Eq.7 E(%,5 5,,75,6 4,8,6 7,,8,87,66 4,59,56 5,9 8,9 7,96,8 7,99,64 7,97,75 7,95,86,59 5,44 5, 5,, 5,4,7 5,, 5,,,6 5,57,4,99,4,,7,99,4,99,4,65 5,7,57,5,6,5,5,5,6,5,6,66 5,78,,9,8,9,8,9,8,9,8,68 5,88,5,6,7,6,7,6,7,6,7 Tabla : Valos d h aoximados aa comaação A figua ilusta os valos aa d k h da tabla. Obsva-s, m ambos, qu as aoximaçõs (quaçõs 4 5 stão óximas dos valos d GAN (99. Comaado-s com sts, o o lativo é ifio a %, m todas as quaçõs, xcto aa =,5, od o mo o lativo é o da quação 6 (,87%. Um sgudo xmlo sá comaa as aoximaçõs com algus sultados d Hawkis (99. Na éoca, ão havia litatua qu mitiss cofima valos d AR aa CUSUM com distibuição biomial. Os sultados foam tão comaados com aoximaçõs à 7

8 distibuição d Poisso. Paa h =, k =, = =.4, o AR calculado d 554, é cosidado cosistt comaado com o valo assitótico d 548. Alicado as quaçõs, 4 5, h é 9,89 (o lativo =,%. Paa o AR = 87, =,96, = 5, k = ( =,47 h =, aoximado-s com as quaçõs, 4 5, h é 9,87 (o lativo =,%. 5 h o GAN(99 Raiz Eq z Eq 4 Eq k Figua : Valos d h aa comaação 5. Coclusõs cosidaçõs fiais A fomulação oosta é uma altativa às atuais fomas d calcula o limit suio h d um gáfico CUSUM biomial uilatal suio. Rsultados aciais dicioam a alicação dsta à ocdimtos CUSUM lajados aa dtcta quas modadas altaçõs a média. Dv-s, o tato, t cautla a alicação das fómulas quado a altação m fo muito qua (ifio a 5%, associada a valos quos d /ou AR. Na comaação com valos da litatua os sultados foam satisfatóios. No tato, há aida a cssidad d aofudamto da ivstigação, icialmt o qu diz sito à alicação dstas aoximaçõs dlimitação d faixas d uso. A avaliação sob a ótica do AR também é fudamtal. Atualmt stão sdo alizados studos aa dtmia a acuácia a cisão da quação 4, aoximação com quato tmos. Esss studos comaativos iclum sultados d ogamas comutacioais (abodagm makoviaa técicas d simulação. Rfêcias 8

9 AVES, C. C. & SAMOHY, R. W. A utilização dos gáficos d cotol CUSUM aa o moitoamto d ocssos idustiais. XXIV Ecoto Nacioal d Eghaia d Podução, Floiaóolis, 4. CRUZ, A. C.; AVES, C. C.; HENNING, E.; NETO, A. S. A alicação d gáficos d cotol d soma acumulada (CUSUM aa moitoamto d um ocsso d usiagm. XVI SIMPEP Simósio d Eghaia d Podução, Bauu, 9. BOURKE, P. D. Saml siz ad th Biomial CUSUM Cotol Chat: th cas of % isctio. Mtika 5: 5-7,. BROOK, D. & EVANS, D. A. A Aoach to th Pobability Distibutio of Cusum Ru gth. Biomtika, Vol. 59, No., , 97. CHAPEAU-BONDEAU, F. & MONIR, A. Numical Evaluatio of th ambtw fuctio ad alicatios to gatio of galizd Gaussia ois with xot ½. IEEE Tas. Sigal Pocss. 5,. 6-65,. GAN, F. F. Dsig of otimal Exotial CUSUM cotol chats. Joual of Quality Tchology. Vol. 6, o.,. 9-4, 994. HAWKINS, D. M. A fast accuat aoximatio fo avag u lgths of CUSUM Cotol Chats. Joual of Quality Tchology, 4,. 7-4, 99. HAWKINS, D. & OWE, D. Cumulativ Sum Chats ad Chatig fo Quality Imovmt, Sig- Vlag, Nw Yok, 998. HÖHE, M. Suvillac: A R ackag fo th moitoig of ifctious disass. Comutatioal Statistics,, , 7. UCAS, J. M. Coutd Data CUSUM's. Tchomtics, Vol. 7, o,. 9-44, 985. R DEVEOPMENT CORE TEAM. R: A aguag ad Eviomt fo Statistical Comutig. R Foudatio fo Statistical Comutig. Via, Austia: 9. Disoívl m:< htt:// REYNODS, M. R. & STOUMBOS, Z. G. A CUSUM Chat fo Moitoig a Pootio Wh Isctig Cotiously. Joual of Quality Tchology, Vol, o.,. 87-8, 999. REYNODS, M. R. & STOUMBOS, Z. G. Moitoig a Pootio usig CUSUM ad SPRT chats m : Fotis i Statistical Quality Cotol. (z, H. J.; Wilich Physika-Vlag, Hidlbg,. ROGERSON, P. A. Fomulas fo th Dsig of CUSUM Quality Cotol Chats. Commuicatios i Statistics Thoy ad Mthods, 5,. 7-8, 6. SIEGMUND, D. Squtial Aalysis: Tst ad Cofidc Itvals, Sig-Vlag, Nw Yok, 985. WAD, A. Squtial Aalysis. Dov Publicatios, Ic., Nw Yok, NY, 947. WU, Z.; JIAO, J.; IU, Y. A biomial CUSUM chat fo dtctig lag shifts i factio o cofomig. Joual of Alid Statistics. Vol. 5, o., 67-76, 8. 9

10 APÊNDICE A PROGRAMAS PARA APROXIMAÇÃO DO IMITE SUPERIOR DO CUSUM h ###fucao aa aoxima h ###aoximacao CD d Ryolds Stoumbos ###com ambtw a solucao aa b (h+cocao ###xadido ambtw m si com,, 4 5 tmos hs.<-fuctio(,,,al { <- -log((-/(- <- log(((-/((- g <- / k <- oud(g, l<-log((x(-(( (g + (- + x( g ( - al/(- + x( g g/(- + x( g l<-log(-log((x(-(( g/(- + x( g + (- + al g/(- + x( g l<-l/l l4<-(l(l-/(l^ l5<-(l(6-9l+l^/(6l^ b<-((-g/(-x(-g-(l-l+al(-/ # tmos b <- ((-g/(-x(-g-(l-l+l+al(-/ # tmos b <- ((-g/(-x(-g-(l-l+l+l4+al(-/ # 4 tmos b <- ((-g/(-x(-g-(l-l+l+l4+l5+al(-/ # 5 tmos h<- b-(/(- h<- b-(/(- h<- b-(/(- h<- b-(/(- stuctu(list(k=k,h=h,h=h,h=h,h=h }