Experimento para o cálculo da densidade de um corpo

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1 Formação Continuada nas Áreas de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias Programa de Melhoria e Expansão do Ensino Médio Curso: "Experimentos em Física: uma coletânea de episódios interessantes" Prof. Beto Pimentel Experimento para o cálculo da densidade de um corpo Juscelene Coelho Petizero Dionízio CIEP Austin - Nova Iguaçu - RJ Mário Eduardo Gomes Fraga CE Heitor Lira - Rio de Janeiro - RJ Rio de janeiro, outubro/ 2005

2 APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA O principal objetivo do estudo da Hidrostática justifica-se porque ela aborda assuntos muito próximos do cotidiano do estudante e presta-se a realização de várias experiências muito simples. Embora a Hidrostática não possa ser considerada um tópico fundamental da Física, ela geralmente provoca interesse entre os estudantes e, então, acreditamos ser útil sua inclusão na programação dos cursos de Física do ensino médio. As leis da Hidrostática, de um modo geral, foram descobertas experimentalmente em época anterior ao estabelecimento das leis de Newton. Entretanto, após a estruturação das leis de Newton, verificou-se que os princípios da Hidrostática podem ser deduzidos a partir delas. Em outras palavras o princípio da Hidrostática pode ser considerado como uma aplicação das leis de Newton ao caso dos fluidos em equilíbrio e o empuxo é uma conseqüência da variação da pressão com a profundidade, conforme a fig. II (pág.4, Roteiro do Aluno). Normalmente, ao analisar o princípio de Arquimendes, a preocupação excessiva com o cálculo matemático do valor do empuxo e com as soluções de problemas numéricos envolvendo esse cálculo faz com que um aspecto conceitual importante desse estudo seja omitido. Trata-se da causa do empuxo, isto é, o fato de ele ser devido à variação da pressão com a profundidade. Em virtude dessa omissão, o empuxo se apresenta para os alunos como uma força de origem misteriosa porque não fica estabelecida uma relação entre um fato novo (o empuxo) e fatos já analisados anteriormente (a variação da pressão com a profundidade). E para calcular o valor da densidade de um corpo qualquer, utilizando o princípio de Arquimedes, pode-se determinar seu volume e densidade através da balança hidrostática (fig. Abaixo), conforme está indicado no roteiro do aluno. 2

3 Arquimedes ( ac) ROTEIRO DO ALUNO O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES No século III a.c., o grande filósofo, matemático e físico Arquimedes, realizando experiências cuidadosas, descobriu uma maneira de calcular o empuxo que atua em corpos mergulhados em líquidos. Suas conclusões foram expressas através de um princípio, denominado princípio de Arquimedes, cujo enunciado é o seguinte: todo corpo mergulhado em um líquido recebe um empuxo vertical, para cima, igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo. Uma das histórias mais conhecidas sobre os trabalhos de Arquimedes refere-se à genial solução dada por ele ao Problema da coroa do Rei Hieron.O rei havia prometido aos deuses, que o protegeram em suas conquistas, uma coroa de ouro. Entregou, então, certo peso de ouro a um ourives para que esse confeccionasse a coroa. Quando o ourives entregou a encomenda, com o peso igual ao do outro que Hieron havia fornecido, foi levantada a acusação de que ele teria substituído certa porção de ouro por prata. Arquimedes foi encarregado, pelo rei, de investigar se essa acusação era, de fato, verdadeira. Conta-se que, ao tomar banho (em um banheiro público) observando a elevação da água à medida que mergulhava seu corpo, percebeu que poderia resolver o problema. Entusiasmado, saiu correndo para casa, atravessando as ruas completamente despido e gritando a palavra grega que se tornou famosa: Eureca! Eureca! (isto é: achei! Achei! ). E realmente Arquimedes conseguiu resolver o problema da seguinte maneira: 1 - Mergulhou em um recipiente completamente cheio de água uma massa de ouro puro, igual a massa da coroa, e recolheu a água que transbordou. (fig. a) 2 - Retornando o recipiente cheio de água mergulhou nele a massa de prata pura, também igual à massa da coroa que transbordou. Como a densidade da prata é menor do que a do ouro, é fácil perceber que o volume de água recolhido, nesta 2ª operação, era maior do que a 1ª (fig. B). 3 - Finalmente, mergulhando no recipiente cheio de água a coroa em questão, constatou que o volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na 1ª e na 2ª operações (fig.c). Ficou, assim, evidenciado que a coroa não era realmente de ouro puro. Comparando os três volumes de água recolhidos, Arquimedes conseguiu até mesmo, calcular a quantidade de ouro que o ourives substituiu por prata. Procure acompanhar, na figura, o raciocínio feito por Arquimedes para resolver o problema da coroa do rei de Siracusa. 3

4 Por que um pedaço de isopor flutua quando colocado na água? Uma das respostas possíveis é que a densidade do isopor é menor que a densidade da água. Isto significa que as partículas que constituem o isopor são mais afastadas entre si que as partículas que constituem a água. O isopor ocupa mais volume para uma mesma quantidade de matéria. Define-se densidade (d) de um corpo de massa m que ocupa um volume v como sendo a razão entre m e v. d = m / v (g/cm 3 ). A densidade de um corpo também pode ser determinada utilizando-se a balança hidrostática. Observe: A balança hidrostática tem seu funcionamento baseado em princípios bem simples e imediatos. Uma balança está em equilíbrio quando em seus dois pratos se encontram corpos de pesos iguais (supondo-se iguais os braços de balança). A um dos pratos é preso um fio delgado. Amarrado ao fio está o corpo cuja densidade se procura e que vai ser imerso num recipiente com água. No outro prato são colocadas massas marcadas (corpos de massas conhecidas), destinadas a equilibrar a balança, as quais têm, em conjunto, uma massa igual à do corpo. Assim, é possível determinar o volume v do corpo em estudo, embora aproximadamente. Determinados a massa m e o volume v, o quociente m/v fornece a densidade procurada. Observe que o princípio de Arquimedes nos mostra como calcular o valor do empuxo. Por exemplo: quando mergulhamos um corpo qualquer em um líquido, verificamos que este exerce, sobre o corpo, uma força de sustentação, isto é, uma força dirigida para cima, que tende a impedir que o corpo afunde no líquido. É também esta força que faz com que uma pedra pareça mais leve quando imersa na água ou em outro líquido qualquer.(fig. I). Fig. I fig. II 4

5 Lembrando que pelo princípio de Arquimedes o valor do empuxo que atua em um corpo mergulhado em um líquido é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo, Então: E = P L E = m L. g como m L = d L. V L E=d L. V L Fórmula do empuxo Onde: m L = massa do líquido deslocado d L = densidade do líquido V L = volume do líquido deslocado Além do empuxo E, age no corpo seu peso P c. P c = m.g P c = d c.v c.g Onde: P c = peso do corpo m c = massa do corpo V c = volume do corpo d c = densidade do corpo Vamos estudar agora, alguns casos particulares de empuxo: 1. Corpo flutuando parcialmente imerso No equilíbrio temos: E = P d L.V L.g = dc.v c.g e, portanto, d c / d L = V L / V c Sendo v L a parte do volume do corpo que fica imersa, concluímos que a razão entre a densidade do corpo e a densidade do líquido é igual à fração do volume do corpo que fica imersa no líquido. 2. Corpo totalmente imerso Se a densidade do corpo for igual à densidade do líquido, o corpo ficará em equilíbrio totalmente imerso em qualquer posição no interior do líquido. Neste caso, o volume do líquido deslocado é o próprio volume do corpo (V L =V c =V) Da condição de equilíbrio: E = P c d L.V.g = d c.v.g e, portanto d c = d L 5

6 3. Peso aparente Considere um corpo totalmente imerso em um líquido. O volume do líquido deslocado é igual ao volume do corpo (V L = V c = V). Sendo d c > d L, de P = d c.v.g e E = d c.v.g, resulta P c > E Em conseqüência, o corpo fica sujeito a uma força resultante vertical, com sentido de cima para baixo, denominada peso aparente, cuja intensidade é dada por: P ap = P c - E Pode-se tomar como exemplo de peso aparente o fato de que um corpo qualquer mergulhado em um líquido parece pesar menos. Isso ocorre porque o peso do corpo é parcialmente contrabalançado pelo empuxo. ATIVIDADE EXPERIMENTAL DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE UM CORPO QUALQUER ATRAVÉS DO PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Realizando medidas com uma balança e usando o princípio de Arquimedes, é possível determinar o volume de um corpo sólido de forma irregular e, conseqüentemente, obter o valor de sua densidade. Nesta experiência você irá usar este método para medir a densidade de uma pedra. 1. Você vai usar uma balança de verdureiro (isto é, balança de molas), como esta da figura abaixo. Por isto, procure obter uma pedra pesando de 2 a 3 kg e,sustentando-a por meio de um barbante, determine seu peso com a balança (se você possuir uma balança mais precisa poderá, evidentemente, usar uma pedra menor). Em seguida, mergulhe a pedra totalmente dentro da água (sem deixar que ela encoste-se ao recipiente), mantendo-a suspensa na balança. Anote a nova leitura do aparelho 2. De posse das duas leituras da balança, responda às questões seguintes: a) Qual é, em kgf, o peso da pedra? E qual é a sua massa em g? b) Qual é, em kgf, o valor do empuxo que a pedra recebeu da água? c) Sabendo que um litro corresponde a um decímetro cúbico, calcule a densidade da água. d) Logo, qual foi o peso da água deslocada pela pedra? E o volume desta água deslocada (em cm 3 )? E o volume da pedra? e) Calcule, agora, em g/cm 3, a densidade da pedra. 6

7 Você poderá proceder também de outra maneira: Usando uma balança comum, determine o peso da pedra. Coloque em um recipiente certa quantidade de água suficiente para que se possa mergulhar a pedra, marque o nível da água, e sustentando-a por meio de um barbante, deverá mergulhála totalmente dentro da água, recolhendo a água que transbordar através de uma mangueira. Em seguida determine o peso da água que transbordou. De posse dessas duas leituras da balança, responda as questões do item 2. (Fig. II- b) ROTEIRO DO PROFESSOR Apesar da Hidrostática constituir-se na análise de uma situação particular (fluidos em equilíbrio), não apresentando, portanto, nenhuma lei de caráter fundamental para o estudo da Física, julgamos importante por se tratar de um assunto muito ligado à vida diária do estudante e que se presta à realização de várias experiências muito simples. Estes fatores fazem com que o estudo da Hidrostática torne-se atraente, despertando significativo interesse entre os alunos. Especificamente, chamamos a atenção do professor para os seguintes pontos: Seria interessante, ao introduzir o conceito de densidade, apresentá-lo de uma maneira muito concreta. Por exemplo: fazer o aluno sustentar, em suas mãos, blocos de mesmo volume, feitos de materiais diferentes, como por exemplo: o chumbo e o alumínio. Ele poderá perceber a densidade de cada material identificando aqueles que possuem maior (ou menor) densidade, devido à diferença entre seus pesos. Os estudantes costumam cometer um erro de linguagem (ou conceitual?) que o professor deve procurar corrigir. Eles costumam dizer, por exemplo: o chumbo é mais pesado que o alumínio. Evidentemente, esta comparação só pode ser 7

8 feita com volumes iguais destes metais, isto é, o que se pode comparar são suas densidades. Então, a maneira adequada de expressar aquela idéia é: o chumbo é mais denso do que o alumínio. Ao analisar o princípio de Arquimedes é importante destacar a causa do empuxo, isto é, qual o fato físico que provoca o aparecimento dessa força. Analisando a fig. I (pág.4, Roteiro do Aluno) fica claro que o empuxo é devido simplesmente ao fato de a pressão na parte inferior do corpo ser maior do que na parte superior. Como esta análise não é feita (como na maioria dos textos), o empuxo se apresenta, para os alunos, como uma força de origem um tanto misteriosa, causando, geralmente, uma certa insegurança e insatisfação entre eles. Estas situações apresentadas e discutidas, devem ser analisadas cuidadosamente para que o aluno possa perceber como se pode determinar o valor do empuxo a partir do princípio de Arquimedes. É muito comum encontrar, entre os estudantes, alguns que julguem erroneamente ser E > P quando um corpo está flutuando parcialmente mergulhado (na verdade, quando isto ocorre, é a densidade do líquido que é maior do que a do corpo). Deve ficar claro que realmente temos E > P se o corpo estiver totalmente mergulhado. Entretanto, quando este corpo emerge, o valor de E diminui e quando o equilíbrio é atingido temos E = P. Quando este corpo emerge, o valor de E diminui e quando o equilíbrio é atingido temos E = P. Por se tratar de um assunto ligado ao dia a dia do estudante, desperta grande interesse entre os alunos. É um assunto que pode ser desenvolvido com conceitos e equações relativamente simples. Para avaliação do trabalho realizado: A experiência pode ser realizada dividindo a turma em grupos de dez alunos, para que todos possam efetivamente participar das medições, dos cálculos e na execução do relatório. Na motivação do grupo, seria interessante contar a história de Arquimedes na determinação da quantidade de ouro em uma coroa, feito a motivação vamos para a organização e aplicabilidade da experiência, indicando aos grupos como conseguir os materiais para o experimento e determinar o tempo de elaboração de todo o trabalho, que poderá ter duas aulas para as medições e comentários, e deixando os cálculos e relatório para entrega na próxima aula. Feitas todas as etapas, é chegado o momento das avaliações dos procedimentos realizados por cada grupo (de acordo com as respectivas medições), comentando-os para que a turma possa avaliar as dificuldades encontradas. Exemplos do resultado do trabalho já desenvolvidos com os alunos relacionado com princípio de Arquimedes (do roteiro do aluno): 8

9 Se não dispuser de um dinamômetro ou balança de verdureiro (balança de molas), pode-se utilizar um elástico graduado em substituição a estes dispositivos. No trabalho realizado com os alunos de uma turma de segundo ano do Ensino Médio, foi escolhida uma determinada pedra, e seu peso assinalado na balança foi igual a 1,950 kgf e ao ser mergulhada na água, a leitura da balança passou a ser de 0,950 kgf. Nestas condições obtivemos as seguintes respostas às questões formuladas: a) A pedra pesa 1,95 kgf. Logo a sua massa é de 1,95 kg, ou seja: 1,95 x 10 3 g. b) Evidentemente, o valor do empuxo será igual à diferença entre as duas leituras da balança no ar e na água, isto é, E = 1,95-0,95 E = 1 kgf c) A massa de 1 litro de água é igual a 1 kg 1 litro é, aproximadamente, igual a 1 dm 3, portanto: 1 dm 3 = 1000 cm 3 ou 10 3 cm 3 1 kg = 1000 g, então: d = m / v d=1000 g / 1000 cm 3 d=1 g / cm 3 d) Pelo princípio de Arquimedes, concluímos que a água deslocada pela pedra pesava 1 kgf. Logo, a massa desta água é de 1 kg e, portanto, seu volume é de 1000 cm 3 ou 10 3 cm 3. É claro que este é também o volume da pedra, pois ela está totalmente mergulhada. e) A densidade da pedra será, então: d = m / v d = g / 1000 cm 3 d = 1,95 g / cm 3 Demonstração do trabalho realizado com os alunos: Mostrando os materiais utilizados: 9

10 Realizando as experiências 10

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12 Medindo a densidade de uma abóbora: 12

13 Balança confeccionada de papel, feita por um aluno em sala de aula: Desenho feito por aluno em sala de aula. 13

14 Parte das dificuldades que os alunos encontraram foi conseguir levar para a sala de aula as balanças. Sugiro ao professor que, mesmo pedindo aos alunos esta tarefa, também leve para a sala de aula uma balança ou um dinamômetro por segurança. Bibliografia: MÁXIMO, Antonio e ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. Ed. Scipione. FERRARO, Nicolau Gilberto e TOLEDO, Paulo Antônio de. Física Básica. Ed. Atual. KUHN, Wilfried. Física Prática. Livraria Editora Sul América Ltda. ARRUDA, Miguel A. de Toledo e ANJOS, Ivan Gonçalves dos.física na Escola Atual. Ed. Atual. MARCIANO, Irmão Mário. Física- Ciclo Colegial. Ed. FTD. GUERRA, Andréia; FREITAS, Jairo; REIS, José Cláudio e BRAGA, Marco.Galileu e o nascimento da ciência moderna. Ed. Atual. 14