Derivadas de funções complexas

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1 Capítulo 3 Derivadas de funções complexas 3.. Introdução O primeiro estudo sistemático das funções complexas e das suas aplicações a problemas de análise, hidrodinâmica e cartografia deve-se a L. Euler, em Contudo, funções deste tipo tinham sido anteriormente consideradas por outros matemáticos, com destaque para J. d Alembert que utiliou funções complexas em 75, no âmbito do estudo do movimento de fluidos. Euler obteve, então, condições necessárias para a diferenciabilidade de uma função complexa, embora não as tenha explorado completamente. Estas condições resultam da forma especial das funções lineares complexas, dado que a diferenciabilidade de uma função num ponto corresponde a poder ser aproximada por uma função linear numa viinhança desse ponto. Por volta de 85, A.L. Cauchy deu um sentido preciso à noção de derivada de uma função, tornando rigorosa a noção de limite da sua raão incremental, na sequência de uma ideia de d Alembert cerca de 75. Cauchy deu passos decisivos no estudo das funções complexas com base nas condições necessárias de diferenciabilidade obtidas por Euler, mas só com o trabalho de B. Riemann 3, em 85, é que estas condições são plenamente exploradas. Ficaram conhecidas por condições de Cauchy-Riemann. Podem ser expressas por equações que relacionam as derivadas parciais das partes real e imaginária da função. Estabelecem que a diferenciabilidade de funções complexas Jean le Rond d Alembert (77-783). Augustin Louis Cauchy ( ). 3 Bernhard Riemann (86-866). 3

2 4 Derivadas de funções complexas implica fortes restrições de interligação das suas partes real e imaginária, ausentes na diferenciabilidade de funções de R em R. As transformações lineares definidas pelas derivadas de funções complexas diferenciáveis num conjunto aberto correspondem a relações geométricas de semelhança do domínio para o contradomínio, isto é, transformações que preservam ângulos entre rectas e expandem (ou contraem) comprimentos uniformemente em todo o espaço. Como as derivadas de uma função definem transformações lineares que são boas aproximações locais da função, as propriedades referidas tendem a ser satisfeitas pela função, no limite quando se tende para um ponto de diferenciabilidade. Euler chamava-lhes transformações infinitesimamente semelhantes para traduir a ideia de, na viinhança de cada ponto, tenderem a definir transformações de semelhança no sentido da geometria elementar (triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais com a mesma constante de proporcionalidade). Estas transformações foram consideradas nos trabalhos de Euler de 777 sobre cartas geográficas da Rússia, de cuja elaboração foi encarregado pela Academia das Ciências de S. Petersburgo. Na verdade, um aspecto essencial para o uso prático de mapas é que o traçado de rumos definindo um ângulo de direcção de percurso com uma direcção de referência (por exemplo, com o Norte magnético ou celeste) possa ser feito marcando o mesmo ângulo numa carta plana, o que exige a preservação de ângulos na construção de mapas planos da superfície do globo terrestre e, portanto, a propriedade de corresponderem a transformações infinitesimamente semelhantes. A designação transformações conformes, utiliada para transformações do plano com as propriedades geométricas referidas, foi introduida apenas em 789 por S. Schubert, académico de S. Petersburgo. 3.. Diferenciabilidade e derivadas de funções complexas Seja f : Ω C uma função definida num conjunto aberto não-vaio Ω C. Dise que f é diferenciável num ponto Ω se existe o limite da raão incremental de f entre Ω e quando : f ( ) f ( ) f ( ) = lim. A f ( ) chama-se a derivada de f em. Se f é diferenciável em todos os pontos do conjunto aberto que contém um conjunto não-vaio S Ω, di-se que f é holomorfa em S. O conjunto de todas as funções holomorfas em S designa-se por H (S). Chamase função inteira a uma função que é holomorfa em C, isto é, o conjunto das funções inteiras é H ( C). (3.) Exemplos:. A função complexa f ( ) = só é diferenciável no ponto =. Na verdade, com iθ h = r e, r >, θ R, obtém-se

3 3.3. Transformações conformes 5 f ( ( + h)( + h ) = h + h) f ( ) iθ iθ h h + h + h h = h = e + + r e iθ iθ iθ Como lim ( e + + r e ) = e +, verifica-se que para este limite 4 varia r com θ, pelo que lim ( f ( + h) f ( )) / h não existe, e para = o limite existe e é h ero. Portanto a derivada de f só existe no ponto = e, neste caso, é nula.. As funções complexas constantes f ( ) = c são holomorfas em C e têm derivada nula em todos os pontos. Na verdade, f ( + h) f ( ) c c f ( ) = lim = lim =. h h h h 3. A função identidade f ( ) = é holomorfa em C e tem derivada f ( ) = em todos os pontos. Na verdade, f ( + h) f ( ) ( + h) lim = lim = lim =. h h h h h n 4. As funções potência de expoente inteiro positivo, f ( ) =, com n N, são n holomorfas em C e têm derivada f ( ) = n em todos os pontos. Na verdade, da fórmula binomial de Newton 5 obtém-se n n( n ) n n n n n f ( + h) f ( ) ( + h) nh + h + Λ + nh + h = = h h h e, portanto, f ( + h) f ( ) n n( n ) n n n n f ( ) = lim = lim n + h + Λ + n h + h = n. h h h. As derivadas nos exemplos anteriores foram calculadas directamente a partir da definição, como limites de raões incrementais. Contudo, da definição de derivada de funções complexas resultam propriedades de diferenciação de operações de funções análogas às da diferenciação de funções reais e que se estabelecem de forma idêntica. Na verdade, as somas, produtos e quocientes (com denominadores não nulos) de funções complexas diferenciáveis num ponto são diferenciáveis nesse ponto e as composições de funções complexas diferenciáveis em pontos correspondentes são diferenciáveis. As regras de derivação associadas são: f f g fg ( f + g) = f + g, ( fg ) = f g + fg, =, ( f οg) = ( f οg) g. g g Portanto, as somas, produtos, quocientes (com denominadores que não se anulam) e composições de funções holomorfas são funções holomorfas. Mais precisamente, com S C, se f, g H ( S) tem-se ( f + g), ( fg) H ( S) e ( f / g) H( S \ g [{ }]) ; se g H ( S), f H ( g( S)) tem-se ( f οg) H ( S). Em particular, o conjunto das funções 4 O limite indicado é a derivada direccional da correspondente função em R no ponto segundo o vector (cosθ,sin θ ). 5 Isaac Newton (64-77). ( x, =

4 6 Derivadas de funções complexas holomorfas num conjunto S C é um espaço linear complexo com a soma e a multiplicação por escalares complexos usuais. (3.) Exemplos n k. As funções polinomiais P ( ) = k = a k são funções inteiras, visto que são somas de produtos de constantes por potências de expoentes inteiros não negativos, as quais são funções inteiras. As regras de derivação de operações de funções dão n k P ( ) = ( k + ) a. Assim, a derivada de uma função polinomial de grau n é k = k + uma função polinomial de grau n.. As funções racionais P( ) / Q( ), onde P, Q são funções polinomiais e Q não é o polinómio ero, são holomorfas no seu domínio, isto é, no conjunto de pontos onde o denominador Q() não é ero, dado que são quocientes de funções inteiras. As derivadas de funções racionais podem ser calculadas pela regra de derivação do quociente de funções e a fórmula de derivação de polinómios do exemplo anterior. Note-se que a função definida por f ( ) f ( ) f ( )( ), se (3.3) E (, ) =, se = satisfa lim E(, ) =. Por outro lado, a função T : C C, com T, é ( ) = f ( ) uma transformação linear no espaço linear complexo C. Assim, dada a correspondência entre pontos de C e de R, a diferenciabilidade de uma função complexa f = ( u, v) num ponto = ( x, y ) C corresponde à diferenciabilidade da função ( u,v), definida em pontos do espaço linear real R e com valores neste espaço, no ponto ( x, y ), com derivada dada por uma transformação linear em R que corresponde a uma transformação linear no espaço linear complexo C. Designando (A, B) = f ( ), pode-se escrever a transformação linear T na forma T ( x, = ( A + i B).( x + i = ( Ax B + i ( Bx + A = ( Ax By, Bx + A. A representação matricial da correspondente transformação linear em R, na base canónica, coincide com a matri Jacobiana da função ( u,v) no ponto x, y ) e é A B B = A. ( Portanto, há consistência com a observação em Álgebra Linear das representações matriciais das transformações lineares em R que correspondem a transformações lineares complexas em C serem, na base canónica de R, as matries de componentes reais com as duas componentes na diagonal principal iguais e as outras duas componentes simétricas uma da outra.

5 3.3. Transformações conformes 7 Ficou provado o resultado seguinte. (3.4) Teorema (equações de Cauchy-Riemann): Se f : S C, com S C, é diferenciável num ponto S e f = ( u, v), então no ponto ( x, y ) = verifica-se =, =. Além disso, a derivada f é dada por cada uma das fórmulas seguintes: def def f f f = + i =, f = i = i, f = i, f = + i. É claro que as equações de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação das partes real e imaginária de funções complexas diferenciáveis, mas também estabelecem restrições às próprias partes real e imaginária, o que é concretiado com casos particulares nos exemplos seguintes. (3.5) Exemplos:. Seja f = ( u, v) uma função complexa holomorfa numa região Ω C, cuja parte real é u( x, = x xy y. A equação de Cauchy-Riemann v / = / é, neste caso, v / ( x, = x y. Primitivando em ordem a y obtém-se v ( x, = xy y /+ K( x), onde a constante de primitivação em ordem a y se representa por K(x) dado que pode depender de x. A outra equação de Cauchy-Riemann, u / = v /, também tem de ser satisfeita, o que equivale a x y = ( y + K (x)) e, portanto, a K ( x) = x, ou seja, K( x) = x / +c, onde c é uma constante real. Assim, uma função holomorfa numa região com a parte real dada tem necessariamente de ter parte imaginária da forma v( x, = x / + xy y / + c, onde c é uma constante real.. Seja f = ( u, v) uma função complexa definida num conjunto aberto Ω C, cuja parte real é u ( x, = x + y. Procedendo de forma análoga obtém-se / ( x, = x, v ( x, = xy + K(x), y = ( y + K ( x) ), o que é impossível. Portanto, não há funções complexas holomorfas com parte real u (x, y ) = x + y. A diferenciabilidade de uma função complexa num ponto corresponde aos acréscimos dos valores da função numa viinhança do ponto em relação ao valor nesse ponto serem bem aproximados por uma função linear complexa, no sentido dos erros de aproximação convergirem para ero quando os pontos no domínio convergem para o ponto considerado. Geometricamente, esta situação corresponde ao gráfico da função em R associada à função complexa admitir um plano tangente (não vertical) no ponto correspondente ao ponto considerado. Esta tangência a um plano não vertical (gráfico de uma função contínua em R ) implica que a função seja contínua no ponto de diferenciabilidade.

6 8 Derivadas de funções complexas (3.6) Teorema: Se Ω C é um conjunto aberto e f : Ω C é diferenciável num ponto Ω, então é contínua em. f Dem. Com E(, ) definida para numa viinhança de pela fórmula (3.3), tem-se f ( ) f ( ) = f ( )( ) + E(, ). Como lim E(, ) =, é lim f ( ) f ( ) =, pelo que é contínua em. Q.E.D. f As equações de Cauchy-Riemann num ponto são necessárias para a diferenciabilidade nesse ponto. O exemplo seguinte mostra que não são suficientes. (3.7) Exemplo: Considera-se a função complexa f ( ) = xy, onde ( x, =. Com ( u, v) = f, verifica-se u ( x,) =, u(, = e v( x, =, pelo que ( / )(,) =, ( / )(, ) =, ( / ) =, ( / ) =. Portanto, as equações de Cauchy-Riemann iθ são satisfeitas no ponto ero. Por outro lado, com h = r e, r >, θ R, tem-se f ( h) f () r (cosθ )(sinθ ) sin θ = = e iθ h r e Os valores desta função variam com θ, por exemplo, o valor da função é ero para θ =, e é (/,-/) para θ = π / 4. Portanto, lim ( f ( h) f ())/ h não existe. Seguese que f não é diferenciável no ponto ero, mas as equações de Cauchy-Riemann h verificam-se nesse ponto. iθ. Sabe-se do estudo de funções em R que uma condição suficiente para a diferenciabilidade de uma função num conjunto aberto não-vaio é que as duas componentes reais da função sejam C nesse conjunto, isto é, as suas derivadas parciais existam e sejam contínuas no conjunto. Esta propriedade permite estabelecer condições em que as equações de Cauchy-Riemann são necessárias e suficientes para diferenciabilidade de uma função complexa. (3.8) Teorema: Seja Ω R um conjunto aberto não-vaio e u,v : Ω R funções C. Então a função complexa f = ( u, v) é holomorfa em Ω se e só se as equações de Cauchy-Riemann se verificam em Ω. Dem. Nas condições dadas, a função ( x, α ( u( x,, v( x, ) em R é diferenciável em Ω. A derivada é uma transformação linear em R que corresponde a uma transformação linear no espaço linear complexo C se e só se a sua matri Jacobiana, na base canónica de R, tem as componentes na diagonal principal iguais e as outras duas componentes simétricas, ou seja, se e só se são satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann. Q.E.D. (3.9) Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares Em certos casos é útil considerar as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. As relações entre coordenadas cartesianas x, y e coordenadas polares r, θ são

7 3.3. Transformações conformes 9 x = r cosθ, y = r sinθ. A transformação de coordenadas no domínio de funções u( x,, v( x, pode ser expressa na forma u ( x, = u( r cosθ, r sinθ ) = U ( r, θ ), v ( x, = v( r cosθ, r sinθ ) = V ( r, θ ). Com a regra de derivação da função composta, obtém-se U U cosθ r sinθ r = θ x y V V r θ sinθ r cosθ As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são def u v def = = A, = = B, x y pelo que U U Acosθ Bsinθ r( Asinθ + Bcosθ ) V r = θ V r θ Asinθ + Bcosθ r ( Acosθ Bsinθ ) e, portanto, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são V U U V (3.) = r, = r. θ r θ r (3.) Exemplos. Considera-se a função complexa f ( ) = e. Com f = ( u, v) e = ( x,, verifica-se x e = e (cos y + isin, pelo que, = e x x u( x cos y e v ( x, = e sin y. Tem-se = e x cos y, = e x sin y, = e x sin y, = e x cos y. Estas funções são contínuas e satisfaem as equações de Cauchy-Riemann em C. Conclui-se do teorema (3.8) que e é uma função inteira. A sua derivada é x x ( e ) = + i = e cos y + ie sin y = e. Portanto, tal como no caso real, a derivada da exponencial é ela própria.. As funções complexas coseno e seno foram definidas por i i i i e + e e e cos =, sin =. i Como somas, produtos e composições de funções inteiras são inteiras, conclui-se que as funções complexas coseno e seno também são funções inteiras. As suas derivadas são i i i i i i i i e (cos ) + e ie ie e e ie ie = = = sin, cos ) + (sin = = i i =. Portanto, tal como para as correspondentes funções reais, a derivada do coseno complexo é o simétrico do seno e a derivada do seno complexo é o coseno.

8 3 Derivadas de funções complexas A tangente complexa é tan = (sin ) /(cos ). Como é um quociente de funções inteiras, esta função é holomorfa no seu domínio, isto é, no conjunto onde o denominador não se anula, C\{ C: = π / + π k, k Z}. A derivada é cos + sin (tan ) = =. cos cos Também neste caso, permanece válida a fórmula da derivação da tangente real. 3. De forma análoga, conclui-se que as funções complexas coseno hiperbólico e seno hiperbólico são funções inteiras e que as suas derivadas são (cosh ) = sinh, (sinh ) = cosh. A tangente hiperbólica é holomorfa no seu domínio. A sua derivada é (tanh ) = / cosh. 4. Como se viu na secção.6, o logaritmo complexo pode ser definido por escolhas em infinitos valores, mas podem considerar-se funções dadas por cada ramo do logaritmo ln, por exemplo, ln + i ( Arg + kπ ), com k Z fixo. Cada um destes ramos do logaritmo complexo está definido em C\{} e é descontínuo no semieixo real negativo, com a parte imaginária a aproximar-se de ( k + )π quando os pontos do domínio se aproximam deste semieixo pelo semiplano complexo superior (Im > ) e de ( k ) π quando os pontos do domínio se aproximam deste semieixo pelo semiplano complexo inferior (Im < ). As partes real e imaginária de cada um destes ramos são, em coordenadas polares r,θ com r e i θ = e θ ] ( k ) π,( k + )π ], respectivamente U ( r, θ ) = ln r e V (r, θ ) = θ. Verifica-se U / r = / r, U / θ = e V / r =, V / θ =. Estas funções são contínuas e satisfaem as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares no conjunto (r, θ ) ], + [ ]( k ) π,( k +) π [, o qual corresponde em coordenadas cartesianas a C\{( x, ) C: x < }. É claro que a continuidade de U ( r, θ ), V ( r, θ ) no conjunto indicado implica a continuidade das partes real e imaginária u ( x,, v( x, de cada ramo do logaritmo considerado no conjunto C\{( x,) C: x < }. Conclui-se do teorema (3.8) que cada uma destas funções logaritmo é holomorfa no conjunto referido. A sua derivada pode ser facilmente ln calculada pela regra de derivação da função composta, derivando e =. Obtém-se ln e (ln ) = e, portanto, (ln ) = /, o que generalia a fórmula análoga para a derivada da função real logaritmo. 5. As potências complexas de base complexa foram definidas na secção.7 por w w ln + w α = e, para C \{} e w C \ Q. Para R, pode ser escolhido de + infinitos valores, tal como ln, e, para R, convencionou-se tomar para ln o w logaritmo real, o que dá uma única possibilidade para os valores de que corresponde ao valor principal do logaritmo complexo. Cada um dos ramos do logaritmo complexo w ln acima considerados corresponde a um ramo da potência complexa α, o qual é uma função complexa definida em C\{( x,) C: x < }, tal como o correspondente ramo w de ln. A fórmula acima dá cada ramo de α como composição de funções holomorfas, pelo que também é uma função holomorfa no seu domínio. A derivada de w cada ramo f de α, nos pontos de C\{( x, ) C: x < }, calcula-se facilmente pelas regras da derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se

9 3.3. Transformações conformes 3 w w ln w ln w w f () = ( ) = ( e ) = e = w, o que generalia a fórmula análoga para a derivada da função real potência definida para bases positivas. Para C \{} e w Q, com w = p / q em termos mínimos, p Z, q N \{}, p / q w wln temos = = e, pelo que as conclusões anteriores também se aplicam neste caso. A situação de potências inteiras positivas, w N foi considerada no exemplo (3..4), dando a mesma fórmula de derivação, e para potências inteiras negativas w N w obtém-se = (/ ) = ( w ( w w w ) ) = ) w w /( ) ( w / = w, também em concordância com a fórmula de derivação anterior. 6. As exponenciais complexas de base complexa foram definidas na secção.7 por w w ln w α = e, para, w C, com. Considerando a função potência complexa w f ( w) = definida em C por um dos ramos do logaritmo, de acordo com a fórmula acima, verifica-se que esta função é uma composição de funções inteiras e, portanto, também é uma função inteira. A sua derivada calcula-se facilmente pelas regras da derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se w wln wln w f ( w) = = e = e ln = (ln ) ( ) ( ), o que generalia a fórmula análoga para a derivada das exponenciais reais de bases positivas. 7. Na secção.8 obteve-se a relação arccos = ± i ln( + ) = ± i ln( + i ). Para definir uma função correspondente a um ramo desta relação há que escolher o sinal, escolher um ramo da rai quadrada que aparece na última parcela da expressão e um ramo do logaritmo. Podemos escolher o valor principal do logaritmo, o ramo da rai quadrada definido no plano sem o semieixo real negativo e que assume valores de parte imaginária positiva e o sinal negativo na expressão acima. Para que não esteja no semieixo real negativo, temos de excluir do domínio os números reais da união de intervalos ], ] [, + [. Se + i pertence ao semieixo real negativo, atendendo a que i é o seu recíproco, também este pertence ao semieixo real negativo e a sua soma é um número real negativo. Como já se excluiu o intervalo ], ], resta verificar que para ],[ é > e + i não é real, para concluir que podemos considerar a função arccos = i ln( + i ) definida na região Ω = C \ (], ] [, + [), considerando o valor principal do logaritmo (ver Figura.). É de notar que esta função dá para números reais [, ] o valor da função real usual arccos que tem contradomínio [,π ]. A função fica definida por composições, produtos e somas de funções holomorfas, pelo que é uma função holomorfa em Ω. A derivada desta função arccos calcula-se facilmente pela regra de derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se (arccos ) = + i i + i i = + i i =.

10 3 Derivadas de funções complexas Para arcsin = π / arccos pode-se tomar o ramo de arccos acima considerado. Como se trata de uma diferença de funções holomorfas em Ω, conclui-se que também é holomorfa em Ω. A sderivada obtém-se aplicando as regras de derivação: (arcsin ) = ( π / arccos ) =. O resultado seguinte dá algumas condições simples que implicam que uma função holomorfa numa região seja constante em toda essa região. Ilustram, mais uma ve, que a existência de derivada de uma função complexa numa região impõe restrições fortes de interligação entre as suas partes real e imaginária, e os seus módulo e argumento. (3.) Teorema: Seja f uma função holomorfa numa região Ω C. Se a derivada de f é nula em Ω, então f é constante em Ω. O mesmo acontece se é constante em Ω qualquer das funções seguintes: a parte real, a parte imaginária, o módulo ou o argumento de f. Dem. Se a derivada de f = ( u, v) é nula, então u /, /, /, / são todas nulas em Ω. Segue-se que as funções u e v são constantes em todos os segmentos de recta contidos em Ω e paralelos aos eixos coordenados. Como Ω é um conjunto aberto e conexo, qualquer par dos seus pontos pode ser ligado por uma linha poligonal contida em Ω cujos segmentos são paralelos a um dos eixos coordenados. Conclui-se que tanto u como v são constantes em Ω e, portanto, o mesmo acontece a f. Se u (ou v ) é constante em Ω, então é f = / i / = f = / + i / = ), pelo que f é constante em Ω. Se f é constante em Ω, então u + v também é constante em Ω. Derivando esta expressão em ordem a x e em ordem a y, e aplicando as equações de Cauchy- Riemann a esta última equação obtém-se u + v =, u + v =, u + v =. O sistema de duas equações constituído pela primeira e a última destas equações é equivalente à equação matricial u v = u x v u O determinante da primeira matri é ( u + v ). Se u + v se anula num ponto, como é constante em Ω anula-se em toda esta região e f é igual a ero em Ω. Se u + v não se anula em Ω, então a primeira matri na equação matricial acima é não-singular em todos os pontos de Ω e, em consequência, / = / = em Ω, o que implica f = / i / = em Ω, pelo que f é constante em Ω. Se o argumento de f é constante em Ω, então ou v é nula em Ω e f = / + i / = em Ω implica que f é constante em Ω, ou existe uma (ou

11 3.3. Transformações conformes 33 constante c R tal que u = cv em Ω. Neste último caso, a parte real da função ( + ic ) f = ( + ic)( u + iv) é u cv = em Ω, pelo que ( + ic) f =. Como ( + ic), resulta que f é igual a ero em Ω. Q.E.D. A consequência seguinte das equações de Cauchy-Riemann é muito útil para a representação geométrica de funções holomorfas (podia já ter sido observada no caso particular do exemplo (.)). Mais uma ve, verifica-se que a diferenciabilidade de uma função complexa num conjunto aberto impõe fortes restrições de interligação entre as suas partes real e imaginária, neste caso com uma expressão geométrica muito simples. (3.3) Teorema: Se f = ( u, v) H ( Ω), então as curvas de nível de u e de v intersectam-se ortogonalmente (ver Figura 3.). Dem. Das equações de Cauchy-Riemann resulta que o produto interno dos gradiantes de u e de v satisfa u v =,, = + = =. Portanto u e v são ortogonais, o que é equivalente à ortogonalidade das curvas de nível de u e de v. Q.E.D.

12 34 Derivadas de funções complexas Figura 3.: Intersecção ortogonal das curvas de nível das partes real (traço grosso) e imaginária (traço fino) de funções holomorfas (exemplos:, /, e, tan, ln, arccos ) 3.3. Transformações conformes Para analisar a forma como transformações definidas num plano deformam o espaço, é útil observar o seu efeito em curvas contidas nos domínios das transformações. As noções de curva e de caminho em subconjuntos de C são análogas às correspondentes noções em subconjuntos de R. Em particular, um caminho em Ω C é uma função contínua definida num intervalo limitado e fechado de números reais com valores em Ω. Chama-se curva γ * em Ω ao contradomínio de um caminho γ em Ω. Um caminho regular é um caminho C cuja derivada nunca se anula. Para um caminho regular γ : [ a, b] C, a derivada γ ( t) é um vector tangente à curva γ * no ponto γ (t), para todo t a,b. [ ] γ θ γ β β θ Figura 3.: Transformação de curvas por uma função holomorfa Seja Ω C um conjunto aberto, f H (Ω) e γ : [ a,b] Ω um caminho regular. Então β = f ογ também é um caminho. A curva correspondente é a imagem pela função f da curva representada pelo caminho γ (Figura 3.). Da regra de derivação da função composta obtém-se β ( t) = f ( γ ( t) ) γ ( t), para t [a, b]. Portanto, sendo f C, β é um caminho regular se e só se f ( ), para γ *. Além disso, ( ) ) arg β ( t) = arg f γ ( t) + argγ ( t, para t [ a, b] com f ( γ ( t) ). Assim, se f ( ) o ângulo entre as tangentes dirigidas γ ( t ) e β ( t ), respectivamente, ao caminho γ em = γ ( t ) e ao caminho β em w = f ( ), é igual a arg f ( ). Portanto, caminhos regulares que formam um ângulo θ em são

13 3.3. Transformações conformes 35 transformados pela função f em caminhos que formam o mesmo ângulo (Figura 3.3). Também se tem f ( ) f ( ) lim = f ( ), θ em pelo que pequenos segmentos de recta com origem em são, no limite quando, contraídos ou expandidos na raão f ( ). Assim, a mudança de escala em resultante da transformação f é independente da direcção (Figura 3.3). Quando uma função satisfa estas duas propriedades di-se que é uma transformação conforme. As observações anteriores ilustram que as funções holomorfas satisfaem restrições geométricas muito fortes, o que já se tinha notado quando se observou que as curvas de nível das partes real e imaginária de uma função holomorfa se intersectam ortogonalmente. w γ β β γ Figura 3.3: Preservação de ângulos e mudança de escala em cada ponto independente da direcção sob transformações definidas por funções holomorfas É claro que os dois tipos de conformidade em Ω, para uma função f : Ω C, implicam que f ( ) existe: o seu módulo é a raão de contracção ou expansão de pequenos segmentos com origem em, e o seu argumento é, para cada caminho regular γ que passa por, a diferença entre os argumentos das tangentes dirigidas do caminho β = f ογ em w = f ) e do caminho γ em. ( Na verdade, como se vê no resultado seguinte, sob a hipótese adicional de existência e continuidade das derivadas parciais f /, f /, com ( x, = numa viinhança de, o primeiro tipo de conformidade por si só já implica a existência de f ( ). Por outro lado, sob a mesma hipótese, o segundo tipo de conformidade implica a existência de f ( ) ou da derivada f ) ( da conjugada de f. ( ) (3.4) Teorema: Seja B r ( ) C um círculo aberto centrado num ponto C e f : Br ( ) C uma função tal que nos pontos = ( x, Br ( ) as derivadas f /, f / existem e são contínuas. Então: ) A condição de conformidade de preservação dos ângulos entre caminhos regulares em é equivalente à existência de derivada de f em diferente de ero. ) A condição de conformidade de uma raão de expansão (ou contracção) constante de pequenos segmentos de recta com origem em, no limite quando os comprimentos dos

14 36 Derivadas de funções complexas segmentos tendem para ero, é equivalente à existência de derivada de f, ou da sua conjugada, em diferente de ero (no último caso f preserva os valores absolutos de ângulos entre caminhos regulares que se intersectam em mas inverte os seus sentidos). Dem. Já se sabe que a existência de derivada de f em diferente de ero implica a validade das duas condições de conformidade. Como os valores absolutos de complexos conjugados são iguais e os ângulos definidos por complexos conjugados não nulos são iguais em valor absoluto mas de sentidos contrários, a existência de derivada de f em diferente de ero implica a validade das duas condições de conformidade, tendo em consideração que a preservação de ângulos é com inversão de sentidos. Do teorema (3.8) sabe-se que, nas condições da hipótese do presente teorema, a existência de derivada de f (ou f ) em é equivalente à validade das equações de Cauchy-Riemann de f (ou f ) em, pelo que basta mostrar que, separadamente, cada uma das condições de conformidade implica a validade das equações de Cauchy- Riemann em e a não anulação da derivada de f (ou f ) em. Observe-se que para um caminho regular : a, b Ω, com ( t ) =, ( x ( t), y( t)) = ( t ) e w ( t) = f ( ( t)), é x = ( + ) /, y = ( ) /(i) = i ( ) /, f f f f f f w = x + y = i + + i, y onde as derivadas parciais de f são calculadas em e as derivadas de x, y,, w são calculadas em t. [ ] Se os ângulos entre caminhos regulares em são preservados por f, então w f f f f (3.5) = i + + i deve ser diferente de ero e ter argumento independente de. Quando percorre todos os possíveis valores complexos, o quociente / percorre a circunferência do plano complexo de raio e centro na origem, pelo que os valores de (3.5) percorrem a circunferência com centro em ( f / i f / ) / e raio ( f / + i f / ) /. Ora a única situação em que o argumento permanece constante corresponde ao raio ser nulo, isto é, a f / x = i f /. Com ( u, v) = f, esta equação equivale a / = / e v / = u / que são as equações de Cauchy-Riemann. Portanto, neste caso, f é diferenciável em. Como a expressão (3.5) tem de ser diferente de ero, o seu segundo termo é ero e f / x = i f /, resulta que a expressão (3.5) é igual a f / e, das fórmulas para a derivada de f no teorema (3.4), concluiu-se f ( ) = f /. Por outro lado, se pequenos segmentos de recta com origem em são, no limite quando os seus comprimentos tendem para ero, expandidos (ou contraídos) numa raão constante, segue-se que w / é diferente de ero e independente de, pelo que o valor absoluto de (3.5) tem de permanecer constante quando percorre todos os possíveis valores complexos. Como os valores de (3.5) percorrem uma circunferência,

15 3.3. Transformações conformes 37 os seus módulos só permanecem constantes se o raio da circunferência é nulo ou o centro está na origem. Como se viu acima, a primeira situação implica a validade das equações de Cauchy-Riemann e, portanto, a diferenciabilidade de f em. Por seu lado, a segunda situação corresponde a f / = i f /, ou seja a f / x = i f /, o que implica a validade das equações de Cauchy-Riemann da conjugada de f e, portanto, a sua diferenciabilidade em. O facto de ( f ) ( ) = f / = f / prova-se de forma idêntica ao caso anterior. Q.E.D. (3.6) Exemplos: As funções holomorfas que foram consideradas em secções anteriores fornecem exemplos de transformações conformes. Em seguida, consideram-se três exemplos específicos mais detalhadamente.. A transformação exponencial Considera-se a função exponencial f ( ) = e = e x (cos y + isin, com ( x, =. Como a exponencial é uma função periódica de período i π, cada faixa horiontal do plano complexo com largura π é transformada em todo o contradomínio da exponencial, isto é, em C \{}. / / Figura 3.4: Transformação do plano definida pela exponencial complexa As rectas verticais x = a são transformadas em circunferências de centro na a origem e raio e (Figura 3.4). Em particular, o eixo imaginário é transformado na circunferência de raio, as rectas verticais do semiplano direito são transformadas em circunferências de raio maior do que e as rectas verticais do semiplano esquerdo são transformadas em circunferências de raio menor do que. Por outro lado, as rectas horiontais y = b são transformadas em semirectas com extremidade na origem, mas não a contendo, que faem o ângulo b com o semieixo real positivo (Figura 3.4).

16 38 Derivadas de funções complexas / / Figura 3.5: Transformação de um rectângulo definida pela exponencial complexa Uma ve que as rectas horiontais são ortogonais às rectas verticais, as suas imagens têm de ser curvas ortogonais, pois ( e ) = e para todo C, o que é confirmado pelo facto das semirectas que passam pela origem serem ortogonais às circunferências de centro na origem. Em particular, a função exponencial transforma rectângulos de altura inferior a π em sectores de coroas circulares, definindo uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos (Figura 3.5). Por outro lado, rectângulos de altura superior a π são transformados em coroas circulares, não sendo injectiva a correspondência definida entre os dois conjuntos.. Transformações de Möbius Chama-se transformação de Möbius 6 a uma função da forma a + b f ( ) =, c + d com a, b, c, d C e ad bc (o exemplo (.) é o caso particular com a =, b = c =, d = ). Veremos num dos capítulos finais que estas transformações desempenham um papel fundamental no esclarecimento da diversidade possível das transformações conformes. Note-se que a( c + d) c( a + b) ad bc f ( ) = =, ( c + d) ( c + d) desde que c + d. Assim, se c a derivada existe e é diferente de ero em C \{ d / c} ; se c = a derivada existe e é diferente de ero em C. Portanto, as 6 August Ferdinand Möbius (79-868). As transformações de Möbius também são conhecidas por transformações homográficas, transformações lineares fraccionárias ou transformações bilineares fraccionárias.

17 3.3. Transformações conformes 39 transformações de Möbius com c = são conformes em C, e com c são conformes em C \{ d / c}. Começa-se por observar que f é invertível e a sua inversa satisfa dw b f ( w) =, cw + a com da ( b)( c) = ad bc, pelo que a inversa de uma transformação de Möbius também é uma transformação de Möbius. Um caso particular especialmente simples de analisar obtém-se com a = d =, b = c =, nomeadamente a função recíproco R( ) =, cujo domínio e contradomínio são iguais a C \{}. Note-se que R ( i) = i, pelo que conhecendo a imagem de um certo conjunto de pontos S, a imagem da rotação de ângulo π / deste conjunto é o resultado da rotação de ângulo π / da imagem do conjunto S. Vamos ver como esta função transforma rectas e circunferências. As rectas e as circunferências têm equações cartesianas que, com ( x, =, podem ser escritas (3.7) A x + y + Bx + Cy + D =. ( ) Obtêm-se rectas para A =, B e A =, C. Por outro lado, com A, completando quadrados de somas, pode-se escrever a equação anterior na forma B C B + C 4AD x + + y + =, A A 4A pelo que (3.7) representa circunferências para A, B + C raio B + C 4AD / A e centro em ( B /( A), C /(A)). Com as substituições + x + y =, x =, y =, w = = u + iv, u i a equação (3.7) transforma-se sucessivamente em + A + B + C + D =, i A B C D = ww w w i w w, w + w w w A + B C + D ww =, i (3.8) D u + v + Bu Cv + A =. + v = ww, 4AD >, e estas têm w + w u =, w w v =, i ( ) Ora, se (3.7) representa uma recta é A =, B e A =, C e, portanto, (3.8) representa uma recta que passa na origem se D =, e uma circunferência que passa na origem se D. Se (3.7) representa uma circunferência, então A e

18 4 Derivadas de funções complexas B + C 4AD >, pelo que (3.8) representa uma recta que não passa na origem se D =, e uma circunferência se D. Em particular, rectas verticais x = D (da forma (3.8) com A = C =, B = ) transformam-se na recta u = se D =, ou em circunferências D( u + v ) + u = se D. Por analogia com (3.7), estas circunferências têm raio / D e centro em ( /(D),) (Figura 3.6). ( ) / / Figura 3.6: Transformação de uma recta vertical pela transformação de Möbius α / Da análise anterior conclui-se que uma grelha de rectas verticais e rectas horiontais é transformada pela função R ( ) = / numa grelha constituída por circunferências tangentes aos eixos coordenados na origem intersectando-se ortogonalmente e pelos próprios eixos coordenados (Figura 3.7). Figura 3.7: Transformação do plano definida por uma transformação de Möbius Para analisar o caso geral, note-se que se c então a + b bc ad a f ( ) = = +. c + d c c + d c Assim, em geral, uma transformação de Möbius w = f () resulta da composição de três transformações A, R A, na forma w = ( A οr οa )( ), onde, A : α = c + d (homotetia e rotação centradas na origem seguidas de translação)

19 3.3. Transformações conformes 4 R : α = A : α w = α +β (homotetia e rotação centradas na origem seguidas de translação), onde α = ( bc ad) / c e β = a / c. A e A são funções afins e R é a função recíproco considerada anteriormente. Por outro lado, se c =, f ( ) = ( a / d) + b é uma função afim, pelo que corresponde a uma homotetia e rotação seguidas de uma translação. 3. Transformação de Joukovski A transformação de Joukovski 7 é a função J ( ) = +. O seu domínio é C \ {}. Trata-se de uma função racional e, portanto, é holomorfa no seu domínio. A derivada desta função é J ( ) =, pelo que se anula nos pontos e +, e apenas nestes pontos ( ± são pontos fixos da transformação pois J (±) = ±). Assim, a transformação de Joukovski é uma transformação conforme na região C \ {,,}. Note-se que J ( / ) = J ( ), pelo que a imagem de um ponto coincide com a do seu recíproco. iθ iθ iθ Se = e é f ( ) = ( e + e ) / = cosθ. Portanto, a circunferência de raio e centro na origem é transformada no segmento de recta no eixo real entre os números e + (Figura 3.9). Pares conjugados de pontos da circunferência são transformados num mesmo ponto do intervalo [, +, igual à parte real dos pontos considerados. ] iθ Para identificar a imagem da circunferência de raio r, toma-se = re e calcula-se iθ iθ iθ e (3.9) ( ) i X + iy = f r e = cosθ = + + sinθ r e + r r, r r r pelo que X Y + =. r + r 4 r 4 r Portanto, a circunferência de raio r e centro na origem é transformada na elipse de semieixos ( r + / r) / e r / r / ao longo do eixo real e do eixo imaginário, respectivamente. Os gráficos das funções ( r +/ r) / e r / r / em função de r > são como esboçados na Figura 3.8. Segue-se que toda a região exterior à circunferência de raio e centro na origem é transformada no complementar em C do segmento de recta no eixo real de extremos nos números e +, o mesmo acontecendo com o 7 Nicolai Joukovski (847-9).

20 4 Derivadas de funções complexas complementar da origem na região limitada pela circunferência de raio e centro na origem. Figura 3.8: Gráficos das funções ( r + / r) / e r / r / Por outro lado, de (3.9) obtém-se também, para θ tal que cosθ e sinθ, X Y =, cos θ sin θ pelo que as rectas de declive com valor absoluto igual a sinθ / cosθ que passam na origem são transformadas na hipérbole de semieixos sinθ, cosθ ao longo do eixo real e do eixo imaginário, respectivamente (ver Figura 3.9). Estas hipérboles são ortogonais às elipses acima consideradas, uma ve que são imagens de curvas ortogonais por uma transformação conforme. Conclui-se também que o eixo real (excluindo o ero) é transformado na união das semirectas que se obtêm retirando ao eixo real o segmento de recta com extremos nos números e +, enquanto que cada semieixo imaginário é transformado em todo o eixo imaginário (ver Figura 3.9), com os conjuntos { iy : y > } e { iy : < y < } a serem transformados no semieixo imaginário negativo e os conjuntos { iy : < y < } e { iy : y < } a serem transformados no semieixo imaginário positivo.

21 3.3. Transformações conformes 43 Com w = f (), obtém-se Figura 3.9: Transformação de Joukovski w = w + + (/ ) = + (/ ) + + = Como w α ( w ) /( w + ) é uma transformação de Möbius cuja inversa é ς α ( ς + ) /( ς ), a transformação de Joukovski w = J () resulta da composição de três transformações, w = (M οqοm )( ), onde M : α =, Q ( ) + : α =, M : α w =. + M e M são transformações de Möbius e Q é a função potência de expoente. Verifica-se M H( C \{ }), Q H( C ) e M H( C \{+}). Como estas transformações são conformes preservam os ângulos entre curvas regulares em todos os pontos dos seus domínios. A transformação Q duplica os argumentos em relação ao ponto =, o qual corresponde ao ponto do domínio = M ( ) = +. Com a função recíproco R ( ) = /, obtém-se que a transformação de Joukovski também é a composição w= (RοM οqοm )(). A função R é uma transformação de Möbius holomorfa em C \ {} e conforme no seu domínio. Assim, as transformações R, M, M preservam os ângulos entre curvas regulares em todos os pontos dos seus domínios, e a transformação Q duplica os argumentos em relação ao ponto =, o qual corresponde, neste caso, ao ponto do domínio = ( M ) () = M() =. Portanto, a transformação de Joukovski duplica tanto os argumentos em relação ao ponto =, como em relação ao ponto =.

22 44 Derivadas de funções complexas Figura 3.: Transformação de Joukovski da região delimitada por duas circunferências tangentes em +, com uma delas a passas no ponto. Qualquer circunferência S que passe nos pontos e + do plano complexo tem centro num ponto ia do eixo imaginário e raio + a, com a. A imagem do arco de S que está no semiplano complexo inferior pela transformação R( ) = / é um arco de circunferência que passa nos pontos e + e pertence ao semiplano complexo superior, ou seja, é o arco da circunferência S pertencente ao semiplano complexo superior. Como J ο R = J, é claro que a imagem do arco de S no semiplano complexo inferior coincide com a imagem do arco de S no semiplano complexo superior. Pode-se verificar que esta imagem é um arco de uma circunferência C que passa nos pontos e +. Designando por α > o ângulo da tangente a S no ponto + com a semirecta com origem neste ponto contida no semieixo real positivo (Figura 3.), obtém-se que a transformação de Joukovski J é uma função bijectiva conforme do interior do círculo delimitado por S para o conjunto U = C \ C e que o arco de circunferência C fa um ângulo α com a semirecta de origem neste ponto contida no semieixo real positivo. Conclui-se, também, que J é uma função bijectiva conforme do exterior desse círculo para U. Observa-se, ainda, que a transformação de Joukovski transforma a região delimitada pela circunferência S e por uma outra qualquer circunferência tangente a S no ponto + numa região semelhante ao perfil clássico da asa de um avião planador, como é ilustrado na Figura 3.. Os exemplos anteriores mostram que as propriedades de conformidade podem ser úteis para obter o traçado das imagens de certas curvas do plano complexo que resultam da aplicação de uma dada função holomorfa. Pode-se assim conseguir uma ideia geométrica da forma como essa função deforma regiões do plano complexo. Além disso, o estudo de transformações conformes tem grande interesse tanto de um ponto de vista estritamente matemático como para aplicações em diversas outras áreas. Por exemplo, as transformações de Möbius foram usadas em electrotecnia no estudo de variações de impedância de circuitos quando certos componentes do circuito são alterados, e a transformação de Joukovski foi usada em 96 para calcular a força de sustentação de um perfil de asa de avião e constituiu a base do primeiro método de cálculo da aerodinâmica de asas de aviões.

23 3.3. Transformações conformes 45 Este último exemplo é um caso particular de uma situação de interesse mais geral que ocorre na resolução de certas equações diferenciais parciais, nomeadamente no âmbito da hidrodinâmica, aerodinâmica, elasticidade e electroestática. Em certos casos de interesse prático é possível resolver com relativa facilidade uma dada equação diferencial numa região adequada, como por exemplo num rectângulo ou num círculo, e usando transformações conformes apropriadas, obter soluções da equação diferencial noutras regiões por simples mudanças de variáveis. Exercícios 3.. Determine o conjunto onde a função complexa dada é holomorfa: y a) f ( x, = x y xy + iy( x ) b) f ( x, = e (cosx + isin x) c) f ( x, = x y + i x y. 3.. Determine os polinómios de duas variáveis em que todos os termos são de grau 4 e não envolvem monómios proporcionais a x y que adicionados à parte real e à parte imaginária da função em 3..c) dão uma função inteira Determine a função holomorfa f = ( u, v) tal que v( x + i = 3x y, x, y R, e f ( ) = Seja Ω C aberto. Prove: f H (Ω) se e só se g H (Ω) com g() = f () Defina uma função numa região apropriada que seja a soma de uma rai quadrada de + com uma rai quadrada de, com complexo, procurando uma região tão grande quanto possível. Determine o conjunto onde a função é holomorfa Resolva o exercício anterior, mas para uma composição de dois logaritmos complexos Seja Ω C uma região e f H(Ω ) tal que f < em Ω. Mostre que Re f > ou Re f < em Ω Di-se que uma função de valores reais u é harmónica num conjunto aberto Ω C se satisfa a equação de Laplace em cada ponto ( x, Ω, isto é, se u = u / + u / =. a) Determine as funções polinomiais de duas variáveis reais em que todos os termos têm grau 3 que são funções harmónicas em C. b) Prove: u é harmónica em Ω se e só se v ( ) = u( ) é harmónica em Ω. c) Prove: As partes real e imaginária de uma função holomorfa com derivada contínua num conjunto aberto são harmónicas nesse conjunto Mostre que se,, Κ, n C estão situados do mesmo lado de uma recta que passa na origem, n então k = k, e que se n então os pontos não podem estar situados do mesmo lado de k= k = uma recta que passa na origem. n 3.. Prove: Todos os eros da derivada de uma função polinomial P( ) = Π k= ( k ) pertencem ao envólucro convexo dos eros dessa função polinomial, i.e., ao menor conjunto convexo 8 que os contém (neste caso é um polígono convexo em que os vértices são eros da função polinomial considerada). 3.. Prove que α não é uma transformação de Möbius. 3.. Determine uma transformação de Möbius que transforma os pontos, i, i, respectivamente, nos pontos,, Determine uma transformação conforme que transforma a intersecção dos círculos do plano complexo < e < no círculo < Determine uma transformação conforme que transforma a região entre as circunferências do plano complexo = e / = / no semiplano Im > Mostre que uma transformação de Möbius tem e como únicos pontos fixos se e só se é uma expansão uniforme. Mostre que uma transformação de Möbius tem como único ponto fixo se e só se é uma translação Seja T uma transformação de Möbius diferente da identidade. Prove: Uma transformação de Möbius S comuta com T se tem os mesmos pontos fixos de T Identifique as transformações de Möbius correspondentes a rotações da superfície esférica de Riemann (exercício.6) em torno de diâmetros Prove: Para cada par ordenado de ternos (,, 3) e ( w, w, w3 ) de pontos distintos de C existe uma e só uma transformação de Möbius que transforma cada k em wk, para k =,, 3. (Sugestão: Comece por mostrar que para cada terno (,, 3) existe uma e só uma transformação de Möbius que transforma cada um destes pontos nos pontos,,, respectivamente). 8 Di-se que C é um conjunto convexo se todos os segmentos de recta com extremidades em estão totalmente contidos em S S. S

24 46 Derivadas de funções complexas 3.9. Di-se que, * C são pontos simétricos em relação a uma circunferência C se são colineares com o centro de C e o produto das suas distâncias ao centro de C é igual ao quadrado do raio de C. Chama-se simetria em relação a C à função que transforma cada ponto no seu simétrico * em relação a uma circunferência C. a) Prove:, * C são pontos simétricos em relação a uma circunferência C se e só se toda a circunferência que passa pelos dois pontos é ortogonal a C. b) Mostre que é válida a seguinte construção geométrica simples: o simétrico * de um ponto no interior do círculo delimitado por C em relação a C é a intersecção da recta r que passa por e pelo centro de C com a tangente a C no ponto de intersecção de C com a recta perpendicular a r que passa por (Figura 3.); vice versa, o simétrico de um ponto * no exterior do círculo delimitado por C em relação a C é a intersecção da recta r que passa por * e pelo centro de C com a sua perpendicular que passa no ponto de tangência a C de uma recta que passa por *; o simétrico de cada ponto de C é ele próprio. c) Prove: Toda a transformação de Möbius transforma pontos simétricos em relação a uma circunferência ou a uma recta em pontos simétricos em relação à imagem da circunferência ou recta (propriedade de conservação da simetria). C r * Figura 3.: Determinação geométrica de pontos simétricos em relação a uma circunferência Exercícios com aplicações a hidrodinâmica, electroestática e propagação de calor em equilíbrio 3.. Considera-se um escoamento hidrodinâmico plano estacionário. Isto significa que o campo de velocidades ( u, v) do fluido não varia com o tempo, está definido numa região Ω C e é constante em pontos numa mesma perpendicular ao plano complexo. Supõe-se que o campo de velocidades é C e é lamelar ou irrotacional, isto é, rot ( u, v,) = (,, / / ) =, e solenoidal, isto é, div ( u, v,) = / + / =. A primeira condição corresponde à circulação do campo de velocidades em caminhos fechados que delimitam subconjuntos de Ω ser ero (não há vórtices totalmente contidos em Ω ) e a segunda condição corresponde a um princípio de conservação (há conservação de massa e o fluido é incompressível). Se Ω é simplesmente conexa existem campos escalares potenciais ϕ e ψ tais que ( u,v) = ϕ e ( v, u) = ψ. Chama-se potencial do campo de velocidades à função ϕ. Numa curva de nível ψ( x, = c de ψ, onde u = ψ, fica definida implicitamente em função de de tal forma que ( dy / y(( x ψ / ) + ( ψ / )( / dx) =, pelo que (dx / dt, dy / dt ) = dx / dt) / u)( u, v) e, portanto, a curva de nível é uma linha de corrente ou linha de fluxo, raão pela qual se chama a ψ função de corrente ou função de fluxo. Chama-se potencial complexo do campo de velocidades à função complexa f = ( ϕ, ψ ). Um campo electroestático num conjunto sem cargas eléctricas também é irrotacional e solenoidal, pelo que a cada situação que se considere de um escoamento hidrodinâmico plano estacionário com campo de velocidades irrotacional e solenoidal corresponde uma situação análoga em electroestática plana num conjunto sem cargas eléctricas e vice-versa. A situação é análoga em propagação do calor em equilíbrio, substituindo o potencial do campo de velocidades por temperatura e as linhas de fluxo do fluido por linhas de fluxo de calor. a) Mostre: Uma função complexa definida e em é o potencial complexo de um campo irrotacional e solenoidal se e só se f C Ω f H (Ω). b) Determine o potencial complexo, as linhas de corrente e a velocidade de um escoamento plano de profundidade infinita sobre um leito plano com um obstáculo vertical de altura h perpendicular ao leito e velocidade no infinito perpendicular ao plano do obstáculo e com magnitude (Figura 3.). Este potencial também determina o campo eléctrico na mesma região quando a fronteira é um isolador eléctrico perfeito e a intensidade do campo eléctrico no infinito é perpendicular ao plano da barra condutora na vertical e tem magnitude. Neste caso, o potencial ϕ é o simétrico do potencial eléctrico e as linhas de corrente são as linhas de fluxo do campo eléctrico. Por outro lado, o campo eléctrico na mesma região com intensidade no infinito igual a, mas em que a fronteira é um condutor perfeito, tem potencial proporcional à função de corrente ψ e as linhas de fluxo do correspondente campo eléctrico são as linhas de nível do potencial ϕ do campo de velocidades. (Sugestão: Considere o escoamento no semiplano superior complexo e o obstáculo como um segmento de vertical no eixo imaginário de comprimento h a partir da origem. Determine uma transformação conforme do / domínio no semiplano superior. Mostre que as linhas de fluxo satisfaem y = ψ ( + h /( x + ψ )) ).

25 3.3. Transformações conformes 47 Im ϕ = constante ψ = constante h Figura 3.: Escoamento sobre um leito plano com um obstáculo vertical 3.. Considere f ( ) = arccos como potencial complexo (ver exercício anterior) em electroestática, mostre que as linhas equipotenciais e as linhas de corrente são as representadas na Figura 3.3 e descreva como este potencial permite obter cada um dos campos eléctricos seguintes:. Exterior a um condutor cilíndrico de secção ortogonal elíptica carregado, inclusivamente no caso limite de uma fita condutora;. Entre duas superfícies condutoras cilíndricas com secções ortogonais elípticas confocais, ou entre uma destas superfícies e a fita condutora de secção igual ao segmento entre os focos; 3. Entre folhas conexas de duas superfícies condutoras cilíndricas com secções ortogonais hiperbólicas confocais, ou entre uma destas e um semiplano condutor com aresta a passar pelo foco e pertencente ao plano de simetria da superfície cilíndrica; 4. Entre dois semiplanos condutores complanares de arestas separadas paralelas; 5. Entre um plano e um semiplano ortogonal de aresta paralela ao plano e não o intersectando. Im Re i Re Figura 3.3: Linhas de nível das partes real e imaginária de f ( ) = arccos