Sistemas Lineares 2016

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1 Sistemas Lineares (Uel 016) A Internet armazena uma quantidade enorme de informações. Ao fazer uma busca na rede, os sites são listados em ordem decrescente segundo o seu grau de importância. Considere que, para calcular o grau de importância, são analisados três fatores: a quantidade de pessoas que se inscrevem no site, a quantidade de atualizações do site e a quantidade de visualizações do site. Cada um desses fatores recebe uma pontuação determinada. - Para que o site obtenha 9000 pontos e seja considerado de grande importância, são necessárias 600 pessoas inscritas, 600 atualizações e 800 visualizações. - Para que o site obtenha 6300 pontos e seja considerado de média importância, são necessárias 300 pessoas inscritas, 600 atualizações e 300 visualizações. - Para que o site obtenha 000 pontos e seja considerado de importância satisfatória, são necessárias 100 pessoas inscritas, 100 atualizações e 300 visualizações. A partir dessas informações, determine a pontuação obtida por um site que apresenta 900 pessoas inscritas, 450 atualizações e 700 visualizações. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão.. (G1 - ifpe 016) Cristina resolveu empilhar seus 48 livros de duas coleções, de Matemática e de História. Seus livros de Matemática possuem 8 cm de espessura cada um, enquanto que os livros de História possuem 5 cm de espessura cada um. No fim da organização, Cristina viu que a pilha de livros tinha 31cm de altura. Quantos livros de Matemática Cristina possui? a) 7 b) 5 c) 3 d) e) 1 3. (Upe-ssa 016) Um PA mais dois PE mais um PI vale 15. Quatro PA mais cinco PE mais sete PI vale 63. Seis PA mais oito PE mais nove PI vale 89. Nessas condições, quanto vale um PA mais um PE mais um PI? a) 11 b) 1 c) 15 d) 5 e) 8 4. (G1 - ifba 016) O Sr. João tem três filhos: Jessé, Jesselan e Jessenildo. A idade de Jessé é metade da idade de Jessinildo mais quatro anos; a idade de Jesselan é igual à de Jessé mais 3 anos; e a soma da idade dos três filhos é igual a 35 anos. De acordo com estas informações, a idade de Jesselan é igual a: a) 10 anos. b) 11 anos. c) 1 anos. d) 13 anos. e) 14 anos. Página 1 de 11

2 5. (Unicamp 016) Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w, x y 1, y z, w z 3. Logo, a soma x y z w é igual a a). b) 0. c) 6. d) (Ueg 016) Um jovem vendedor recebe um salário mensal fixo de R$ 1.000,00, mais uma comissão de R$ 50,00 por produto vendido. Se ele vender mais de 100 produtos, essa comissão passa a ser de R$ 100,00 por produto vendido. A função que descreve o salário mensal desse vendedor, na qual y é o salário recebido (em reais) e x a quantidade de produtos vendidos, é x, se 0 x 100 a) y x, se x x, se 0 x 100 b) y 100x, se x x, se 0 x 100 c) y 100x, se x , se 0 x 100 d) y x, se x (G1 - ifpe 016) De acordo com dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), na relação entre as populações masculina e feminina no Brasil, observou-se, em 000, o total de 9 homens para 30 mulheres. Disponível em: < Acesso em: 10 jan. 009 (adaptado). Se, no ano de 000, a população brasileira era de 177 milhões de habitantes, qual o número de homens e de mulheres no referido ano? a) 75 milhões de homens e 10 milhões de mulheres. b) 77 milhões de homens e 100 milhões de mulheres. c) 87 milhões de homens e 90 milhões de mulheres. d) 70 milhões de homens e 107 milhões de mulheres. e) 65 milhões de homens e 11 milhões de mulheres. 8. (G1 - utfpr 016) Determine os valores de x e y na proporção x 8, sabendo que y 10 x y 144. a) x 80 e y 60. b) x 64 e y 80. c) x 73 e y 71. d) x 71 e y 70. e) x y 7. Página de 11

3 9. (G1 - ifba 016) Carlos comprou um celular e uma bicicleta. Posteriormente, ele teve necessidade de vendê-los. O celular foi vendido com 0% de prejuízo, e a bicicleta com 0% de lucro. Carlos vendeu cada um por R$ 960,00. No final da transação: a) não houve nem lucro nem prejuízo. b) houve um lucro de R$ 80,00. c) houve um prejuízo de R$ 80,00. d) houve um lucro de R$ 400,00. e) houve um prejuízo de R$ 400, (Ucs 016) Em uma lanchonete, Luana consumiu uma unidade de cada um dos produtos A e B e pagou R$ 9,50; Renata consumiu uma unidade dos produtos B e C pelo que pagou R$ 11,00; e Fernanda pagou R$ 10,60, tendo consumido uma unidade dos produtos A e C. Joice consumiu uma unidade de cada um dos produtos A, B e C, e pagou o valor de R$ 15,70. Tendo como base o valor pago por suas colegas, Luana, Renata e Fernanda, o valor pago por Joice a) está correto. b) excede em 15 centavos o valor que ela teria de pagar. c) excede em 0 centavos o valor que ela teria de pagar. d) é 10 centavos a menos do que ela teria de pagar. e) é 5 centavos a menos do que ela teria de pagar. 11. (G1 - ifpe 016) Em um estacionamento, há triciclos e quadriciclos, totalizando 17 veículos e 61 rodas. Quantos triciclos há nesse estacionamento? a) 10 b) 8 c) 7 d) 17 e) 1 1. (Uepa 015) A produção na atividade agrícola exige escolhas racionais e utilização eficiente dos fatores produtivos. Para administrar com eficiência e eficácia uma unidade produtiva agrícola é imprescindível o domínio da tecnologia e do conhecimento dos resultados dos gastos com os insumos e serviços em cada fase produtiva da lavoura. Um agricultor decidiu diversificar a plantação nas três fazendas que possui plantando feijão, milho e soja. A quantidade de sacos de 60 Kg produzidos com as colheitas de feijão, milho e soja por fazenda e a receita total obtida em cada uma das fazendas está registrado no quadro abaixo. Fazendas Quantidade de sacos de 60 Kg produzidos Receita total por fazenda (em R$) Feijão Milho Soja A ,00 B ,00 C ,00 Tomando por base as informações contidas no quadro, esse agricultor vendeu o saco de milho por: a) R$ 5,00 b) R$ 40,00 c) R$ 60,00 d) R$ 65,00 e) R$ 80,00 Página 3 de 11

4 13. (Ucs 015) Em um condomínio de um prédio de apartamentos houve uma despesa extra de R$ 7.00,00. Cinco condôminos não se dispuseram a pagar as suas partes desse extra e, devido a isso, para integralizar o total, os demais foram obrigados a pagar R$ 10,00 a mais cada um. Quantos são os condôminos desse prédio? a) 15 b) 0 c) 30 d) 60 e) (Unicamp 015) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z x y 3z 0 7x 8y mz 6, onde m é um número real. Sejam a b c números inteiros consecutivos tais que (x,y,z) (a,b,c) é uma solução desse sistema. O valor de m é igual a a) 3. b). c) 1. d) 0. x y z (Uece 015) Em relação ao sistema x my z 0, pode-se afirmar corretamente que mx y z 0 a) o sistema admite solução não nula apenas quando m 1. b) para qualquer valor de m, a solução nula (x 0, y 0, z 0) é a única solução do sistema. c) o sistema admite solução não nula quando m ou m. d) não temos dados suficientes para concluir que o sistema tem solução não nula. 16. (Fatec 015) Uma pesquisa recente do Banco Central do Brasil apontou que a cada 10 moedas que um brasileiro recebe, ele guarda exatamente 4 moedas e põe em circulação as outras 6. Suponha que um brasileiro tem o comportamento indicado pela pesquisa e: - recebeu 10 moedas nos valores de R$ 1,00, R$ 0,50 e R$ 0,5, totalizando R$ 5,00; - gastou um total de R$,00, utilizando apenas moedas de R$ 0,50 e R$ 0,5. Com base nessas suposições, podemos afirmar corretamente que esse brasileiro guardou a) três moedas de R$ 0,50 e uma moeda de R$ 0,5. b) uma moeda de R$ 1,00 e três moedas de R$ 0,5. c) uma moeda de R$ 0,50 e três moedas de R$ 0,5. d) duas moedas de R$ 0,50 e duas moedas de R$ 0,5. e) duas moedas de R$ 1,00 e duas moedas de R$ 0, (Ufjf-pism 3 015) Quatro formandos da UFJF, André, Bernardo, Carlos e Daniel, se juntaram para organizar um churrasco. O número de convidados de Daniel é igual à soma do número de convidados de Bernardo e de Carlos. O número de convidados de Carlos é igual à soma do número de convidados de André e Bernardo. A soma do número de convidados de Bernardo, Carlos e Daniel é oito vezes o número de convidados de André. Sabendo que cada formando convidou pelo menos uma pessoa, e, no máximo, 15 pessoas, determine o número de convidados de cada formando. Página 4 de 11

5 18. (Uern 015) Pedro e André possuem, juntos, 0 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com apenas / 3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que Pedro ganhou na disputa foi a) 6. b) 10. c) 1. d) (Fgv 014) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$ ,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ ,00. O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 0 000,00 d) R$ 5 000,00 e) R$ ,00 0. (Uel 014) Uma padaria possui 3 tipos de padeiros, classificados como A, B e C. Essa padaria é bem conhecida na cidade pela qualidade do pão francês, da baguete e do pão de batata. Cada padeiro do tipo A produz, diariamente, 30 pães franceses, 100 baguetes e 0 pães de batata. Cada padeiro do tipo B produz, diariamente, 30 pães franceses, 70 baguetes e 0 pães de batata. Cada padeiro do tipo C produz, diariamente, 90 pães franceses, 30 baguetes e 100 pães de batata. Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C são necessários para que em um dia a padaria produza, exatamente, 40 pães franceses, 770 baguetes e 360 pães de batata? Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. 1. (G1 - cp 014) É hora do lanche da Escola e Leonardo está indeciso. Ele quer comprar um salgado e uma bebida, mas está em dúvida sobre o que vai pedir. O cardápio da lanchonete oferece várias possibilidades, mas ele só tem R$ 6,00 para pagar o lanche. Observe os preços da lanchonete. Alguns deles foram propositalmente omitidos. Salgados Preço Bebidas Preço Hambúrger X Suco de laranja R$ 4,00 Sanduíche de queijo R$ 3,50 Milk-shake Y Batata frita R$ 4,00 Refrigerante R$ 3,50 Quibe R$,00 Guaraná natural R$ 1,50 a) Leonardo observou que, dois hambúrgueres mais um milk-shake custam R$ 16,00 e que um hambúrguer mais um milk-shake custam R$ 11,50. Calcule o preço do hambúrguer e do milk-shake vendidos na lanchonete. b) Apresente todas as possíveis escolhas para o lanche de Leonardo, de maneira que ele possa comprar um salgado e uma bebida com o dinheiro que possui.. (Uepa 014) Uma empresa utiliza o serviço de mala direta como meio de comunicação com seus clientes. O setor financeiro da empresa efetuou levantamento, no mês de agosto, sobre os custos com esse tipo de comunicação, e constatou um gasto de R$54,50, com o envio de 300 malas diretas do tipo normal e 95 do tipo urgente. No mês de setembro, a empresa enviou 300 malas diretas do tipo normal e apenas 40 do tipo urgente, totalizando um gasto de R$194,00. O custo correspondente ao envio de uma mala direta normal é: a) R$1,55. b) R$1,50. c) R$1,00. d) R$0,55. e) R$0,50. Página 5 de 11

6 Gabarito: Resposta da questão 1: Sejam x, y e z, respectivamente, o número de pontos correspondente a cada pessoa inscrita, o número de pontos correspondente a cada atualização e o número de pontos correspondente a cada visualização. Tem-se que 100x 100y 300z 000 x y 3z 0 300x 600y 300z 6300 x y z 1 600x 600y 800z x 3y 4z 45 x 0 y 3z y z 1 5z 15 x 4 y 7. z 3 Por conseguinte, a resposta é Resposta da questão : m h 48 m 7 8m 5h 31 h 1 Portanto, Cristina possui 7 livros de matemática. Resposta da questão 3: Tem-se que x y z 15 z 15 x y 4x 5y 7z 63 3x 10y 46 6x 8y 9z 89 3x 9y 4 x y 4. z 5 Portanto, a resposta é x y z Resposta da questão 4: [D] Sendo E a idade de Jessé, N a idade de Jesselan e O a idade de Jessenildo, pode-se escrever: O E 4 O N E 3 7 O O E N O O 35 O 4 O 1 O 1 N 7 7 N 13 Página 6 de 11

7 Resposta da questão 5: [D] Somando todas as equações do sistema, vem x w 6. Logo, somando essa equação à segunda, obtemos x y z w 6 8. Resposta da questão 6: Montando-se o sistema, tem-se: x, se 0 x 100 y x, se x 100 Resposta da questão 7: [C] h m 177 h 87 h 9 m 90 m 30 Resposta da questão 8: [B] Fazendo os cálculos: x 8 y 10 x y 144 4y 10x 8y x 5 4y 5y 9y y x x 64 Resposta da questão 9: [C] Sendo x o valor pago no celular e y o valor pago na bicicleta, pode-se escrever: 0,8x 960 x 100 pagou R$ 000,00 1,y 960 y 800 vendeu por 960 R$ 190,00 balanço R$ 190,00 R$ 000,00 R$ 80,00 Resposta da questão 10: [B] Sejam a, b e c, os preços unitários dos produtos A, B e C. Tem-se que a b 9,50, b c 11 e a c 10,6. Somando essas equações e simplificando, encontramos a b c R$ 15,55. Em consequência, Joice pagou quinze centavos a mais do que deveria pagar. Página 7 de 11

8 Resposta da questão 11: [C] Considere t triciclo, q quadriciclo logo t q 17 t 7 3t 4q 61 q 10 Portanto, temos 7 triciclos. Resposta da questão 1: Sejam f, m e s, respectivamente, os preços dos sacos de 60kg de feijão, milho e soja. Logo, temos 100f 800m 1500s f 8m 15s f 600m 100s f 3m 6s f 1000m 000s f m 4s 530 Manipulando a primeira equação e usando a terceira, encontramos 4 (3f m 4s) s 060 s Portanto, segue que s R$ 60,00. 3 (4f 3m 6s) m 3s m Resposta da questão 13: [B] m m R$ 5,00. xy 700 (x 5) (y 10) xy 10x 5y x 5y y 600 y 5y 600y y 10y ( 17800) y y 360 x 0 condôminos Resposta da questão 14: Sendo a b c números inteiros consecutivos, temos b a 1 e c a. Em consequência, da primeira equação do sistema, vem a (a 1) 3 (a ) 0 a. Assim, encontramos (x, y, z) (, 3, 4) e, portanto, temos 7 83 m 4 6, implicando em m 3. Página 8 de 11

9 Resposta da questão 15: O sistema admite solução não nula apenas quando m 1 0 m m 1 m m 1 1 m m 1 0 (m 1) 0 m 1. Resposta da questão 16: [E] Ora, se ele gastou R$,00, então ficou com 5 R$ 3,00 e, portanto, só pode ter guardado duas moedas de R$ 1,00 e duas moedas de R$ 0,50, única opção que apresenta o valor restante correto. Resposta da questão 17: Sejam a, b, c e d, com 1a, b, c, d 15, respectivamente, os números de convidados de André, Bernardo, Carlos e Daniel. Tem-se que b 4a c b c d 5 a b c c a b c d 8a d 4a 3 b a 5 c a d 4a Portanto, como a, b, c e d, são naturais, só pode ser (a, b, c, d) (, 3, 5, 8). Note que para a 4, teríamos d Resposta da questão 18: Equacionando e resolvendo o sistema: p a 0 4p a 0 3 a 0 p 4p (0 p) 0 1p 40 p 60 10p 0 p 3 Se Pedro possuía cartões inicialmente e após a disputa quadriplicou seu número de cartões, então este ficou com 8 cartões ao final (4 8). Ou seja, Pedro ganhou 6 cartões na disputa. Página 9 de 11

10 Resposta da questão 19: Sejam a, b e c, respectivamente, as quantias com que os sócios A, B e C entraram na sociedade. Tem-se que a b c a a a b a b a c a c a a b c Portanto, o resultado é a b a a a R$ ,00. Resposta da questão 0: Sejam a, b e c, respectivamente, o número de padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C. Temos 30a 30b 90c 40 a b 3c a 70b 30c a 7b 3c 77 0a 0b 100c 360 a b 5c 18 a b 14 3c 10a 7b 3c 77 c 4 a b 8 10a 7b 71 c a 5 b 3. c Portanto, são necessários 5 padeiros do tipo A, 3 padeiros do tipo B e padeiros do tipo C. Página 10 de 11

11 Resposta da questão 1: a) De acordo com as informações do problema, podemos escrever o seguinte sistema: x y 16 (I) x y 11,50 (II) Fazendo (I) (II), temos: x R$ 4,50 e y R$7,00 Portanto, o preço do Hambúrguer é R$4,50 e o preço do Milk-shake é R$7,00. b) Com R$6,00 Leonardo poderá comprar: I. Hambúrguer + Guaraná natural (R$4,50 R$1,50 R$6,00) II. Sanduíche de queijo + Guaraná natural (R$3,50 R$1,50 R$5,00) III. Batata frita + Guaraná natural (R$4,00 R$1,50 R$5,50) IV. Quibe + Suco de laranja (R$,00 R$4,00 R$6,00) V. Quibe + Refrigerante (R$,00 R$3,50 R$5,50) VI. Quibe + Guaraná natural (R$,00 R$1,50 R$3,50) Resposta da questão : [E] Sejam n e u, respectivamente, o custo de uma mala direta do tipo normal e o custo de uma mala direta do tipo urgente. Tem-se que 60,5 (95 40) u 54,5 194 u 55 u R$ 1,10. Portanto, o resultado é n 40 1,1 194 n 300 n R$ 0,50. Página 11 de 11