Probabilidade e Estatística

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2 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Reitora MARGARETH DE FÁTIMA FORMIGA MELO DINIZ Vice-Reitor EDUARDO RAMALHO RABENHORST EDITORA DA UFPB Diretora IZABEL FRANÇA DE LIMA Vice-Diretor JOSÉ LUIZ DA SILVA Supervisão de Editoração ALMIR CORREIA DE VASCONCELLOS JÚNIOR Supervisão de Produção JOSÉ AUGUSTO DOS SANTOS FILHO CONSELHO EDITORIAL Prof Dr. Lucídio Cabral...(UFPB) Prof Dr. Daielle Rousy...(UFPB) Prof. Ms. Eduardo de Sataa Medeiros...(UFPB)

3 Adrea Vaessa Rocha Probabilidade e Estatística Editora da UFPB João Pessoa 2014

4 Capa - Projeto gráfico: Reato Arrais e Eduardo Sataa Editoração eletrôica: Eduardo de Sataa Medeiros Alexadre Catalogação a publicação Uiversidade Federal da Paraíba Biblioteca Setorial do CCEN R672p Rocha, Adrea Vaessa. Probabilidade e Estatística / Adrea Vaessa Rocha; editor: Eduardo de Sataa Medeiros Alexadre. João Pessoa: Editora da UFPB, João Pessoa: Curso de Liceciatura em Computação a Modalidade à Distâcia / UFPB, Juho de : il. ISBN: XXX-XX-XXX-XXXX-X (PENDENTE) Curso de Liceciatura em Computação a Modalidade à Distâcia. Uiversidade Federal da Paraíba. 1. Estatística. 2. Teoria dos Cojutos. 3. Probabilidade. 4. Variáveis Aleatórias. 5. Esperaça de Variável. 5. Distribuições discretas. 6. Distribuições Cotíuas. 7. Iferêcia estatística. I. Título. BS-CCEN CDU Todos os direitos e resposabilidades dos autores. Este livro e sua versão mais recete pode ser baixado em: EDITORA DA UFPB Caixa Postal 5081 Cidade Uiversitária João Pessoa Paraíba Brasil CEP: Impresso o Brasil Prited i Brazil

5 Probabilidade e Estatística i

6 Sumário 1 Estatística Descritiva Coceitos Básicos Defiições importates Tabelas Estatísticas Série Croológica ou Temporal Série Geográfica Série Específica Distribuição de Frequêcia Costrução de uma distribuição de frequêcia Gráficos Estatísticos Histograma Polígoo de Frequêcia Gráfico de Lihas Gráfico de Coluas Gráfico em Barras Gráfico de Setores Medidas de Posição Média Aritmética Moda Mediaa Medidas de Dispersão Amplitude Desvio Médio Variâcia Desvio Padrão Coeficiete de Variação Atividades ii

7 2 Teoria dos Cojutos e Cotagem Teoria dos Cojutos Comparação etre cojutos Uião de cojutos Iterseção de cojutos Difereça etre cojutos Complemetar de um cojuto Propriedades etre as relações etre cojutos Cotagem Regra da multiplicação Regra da adição Permutação Arrajos Combiações Biômio de Newto Atividades Defiições Básicas Fudametos de Probabilidade Noções de Probabilidade Espaços Amostrais Fiitos Resultados Equiprováveis Probabilidade Codicioal Teorema da Multiplicação Teorema da Probabilidade Total Teorema de Bayes Evetos Idepedetes Atividades Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Cotíuas Fução de Distribuição Acumulada Variáveis Aleatórias Mistas Fuções de Variáveis Aleatórias Atividades iii

8 5 Esperaça de uma Variável Aleatória Variáveis aleatórias idepedetes Esperaça matemática Esperaça de uma Fução de Variável Aleatória Propriedades da Esperaça Variâcia de uma variável aleatória Propriedades da variâcia Atividades Pricipais Distribuições Discretas A Distribuição Beroulli A Distribuição Biomial A Distribuição Geométrica Perda de Memória A Distribuição Pascal (ou Biomial Negativa) Geeralização do Biômio de Newto Distribuição Pascal Distribuição Hipergeométrica Distribuição Poisso Aproximação da distribuição biomial pela Poisso Distribuição Poisso Atividades Pricipais Distribuições Cotíuas Distribuição Uiforme A Distribuição Normal Padroização e Tabulação da Distribuição Normal Aproximação da Distribuição Biomial pela Normal A Distribuição Expoecial Perda de Memória A Distribuição Gama A Fução Gama Distribuição Gama Atividades iv

9 8 Itrodução à Iferêcia Estatística Defiições Básicas Amostragem Tipos de Amostragem Distribuição Amostral Distribuição Amostral da Média Teorema Cetral do Limite Distribuição Amostral da Proporção Distribuição Amostral da Difereça etre Médias Distribuição Amostral da Difereça etre Proporções Iferêcia Estatística Estimação Potual Propriedades dos Estimadores Algus Estimadores Potuais Importates Estimador para a Média Estimador para a Variâcia Estimador para a Proporção Estimação Itervalar Itervalo de Cofiaça para a Média Itervalo de Cofiaça para a Proporção Itervalo de Cofiaça para a Difereça de Médias Regressão e Correlação Correlação Diagrama de Dispersão Coeficiete de Correlação de Pearso Regressão O Poder Explicativo do Modelo Atividades Respostas das Atividades Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo v

10 A Apêdice - Tabela da Distribuição Normal Ídice Remissivo 137 vi

11 Prefácio Este livro foi desevolvido para a itrodução do tema Probabilidade e Estatística, ão tedo a ambição de eglobar toda esta vasta área do cohecimeto humao. Probabilidade e Estatística são as áreas do cohecimeto humao que lidam com a icerteza. Ambas lidam com experimetos em que existe alguma variável (ou variáveis) que ão temos cotrole, e portato, mesmo matedo as mesmas codições, um experimeto pode forecer vários resultados diferetes. Probabilidade e Estatística podem ser vistas como ciêcias iversas. Quado se estuda probabilidade, cohecemos o modelo em estudo completamete, e estamos iteressados em saber como os resultados do experimeto se comportam (por exemplo, saber qual a probabilidade de sair um resultado específico). Já a estatística, temos um cojuto de dados, mas ão sabemos qual o modelo probabilístico que gerou estes dados, e portato, teta-se descobrir, a partir destes dados, qual o modelo probabilístico que gerou estes dados. Feômeos aleatórios estão cada vez mais presetes em ossas vidas, e cada vez mais estamos iteressados em tetar eteder estes feômeos. Gráficos estatísticos estão cada vez mais presetes em otícias, e é importate saber iterpretar esses gráficos corretamete. Quado vemos os resultados de uma pesquisa eleitoral, é bom sabermos iterpretar o seu sigificado, etc.. Vale a pea citar também que ferrametas estatísticas são utilizadas pelos bacos, para defiir o redimeto em fudos de ivestimeto ou poupaça, também são utilizadas pelas seguradoras para defiir qual o valor do seguro que você tem que pagar (a prática eles calculam o seu risco), etc.. Para um aluo, probabilidade e estatística podem ser úteis da seguite forma: i) são úteis para realizar pesquisa cietífica; ii) são úteis caso o aluo queira trabalhar em baco, seguradora, motadoras, istituições fiaceiras em geral, cotrole de qualidade da produção de algum item, etc..; iii) são úteis o dia-a-dia. Fializamos essa primeira parte do prefácio mostrado um exemplo de como a probabilidade pode mostrar como a ossa ituição os egaa. Supoha que temos uma sala com 50 pessoas. Qual a probabilidade de que pelo meos duas delas façam aiversário o mesmo dia do ao? Quado falamos dia do ao, estamos falado dia e mês, ão apeas dia. Temos 365 dias (vamos descosiderar o ao bissexto) e 50 pessoas. A ituição os diz que essa probabilidade ão deve ser muito grade. Etretato, esta probabilidade é de 97%! Público alvo O público alvo desse livro são os aluos de Liceciatura em Computação, a modalidade à distâcia 1. Ele foi cocebido para ser utilizado uma disciplia de Probabilidade e Estatística. 1 Embora ele teha sido feito para ateder aos aluos da Uiversidade Federal da Paraíba, o seu uso ão se restrige a esta uiversidade, podedo ser adotado por outras uiversidades do sistema UAB. vii

12 Como você deve estudar cada capítulo Leia a visão geral do capítulo Estude os coteúdos das seções Realize as atividades o fial do capítulo Verifique se você atigiu os objetivos do capítulo NA SALA DE AULA DO CURSO Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros itegrates do curso Leia materiais complemetares evetualmete dispoibilizados Realize as atividades propostas pelo professor da disciplia Caixas de diálogo Nesta seção apresetamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durate o texto. Cofira os sigificados delas. Nota Esta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão. Dica Esta caixa é utilizada quado desejamos remeter a materiais complemetares. Importate Esta caixa é utilizada para chamar ateção sobre algo importate. Cuidado Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela. Ateção Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo potecialmete perigoso. Os sigificados das caixas são apeas uma referêcia, podedo ser adaptados coforme as iteções dos autores. viii

13 Cotribuido com o livro Você pode cotribuir com a atualização e correção deste livro. A tabela a seguir resume os métodos de cotribuições dispoíveis: Tabela 1: Métodos para cotribuição do livro Método de cotribuição Issue track Habilidades ecessárias Iscrição o site do github Preechimeto de um formulário Descrição Cosiste em acessar o repositório do livro e submeter um erro, uma sugestão ou uma crítica através da criação de um Issue. Quado providêcias forem tomadas você será otificado disso. Submissão de correção Realizar fork de projetos Atualizar texto do livro Realizar PullRequest Cosiste em acessar os arquivos fotes do livro, realizar a correção desejada e submetê-la para avaliação. Este processo é o mesmo utilizado a produção de softwares livres. Importate Quado for eviar sua cotribuição lembre-se de iformar qual a versão e págia do livro que está se referido. Cotribuição através do Issue track Para cotribuir com um erro, sugestão ou crítica através de um evio de uma mesagem acesse: ix

14 Figura 1: Exemplo de cotribuição através do Issue track Atividades No fial de cada capítulo há uma seção Atividades com exercícios para serem resolvidos. O sigificado dos ícoes relativos aos exercícios são: Resposta dispoível a reposta do exercício se ecotra dispoível o Capítulo 9 [128]. Nota Você pode cotribuir eviado respostas ou soluções dos exercícios. Baixado a edição mais ova deste livro Nós estamos costatemete atualizado o osso material didático. Todas as versões deste livro ecotram-se dispoíveis para dowload. Dica Acesse para baixar a versão mais ova deste livro. x

15 Capítulo 1 Estatística Descritiva OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Cohecer os coceitos básicos da estatística e, pricipalmete, a difereça etre população e amostra Costruir uma tabela estatística Cohecer os tipos de variáveis estatísticas Costruir um histograma Idetificar e eteder o sigificado dos gráficos estatísticos Cohecer e saber calcular as pricipais medidas de posição Cohecer e saber calcular as pricipais medidas de dispersão 1.1 Coceitos Básicos A Estatística é a ciêcia voltada para a costrução de técicas e métodos que permitem tomar decisões os mais deferetes setores do cohecimeto. O que hoje se cohece por Estatística, é justamete esse cojuto de ferrametas de pesquisa que evolve, etre outros, o plaejameto do experimeto a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, os processos de iferêcia estatística, bem como a aálise e o processameto das iformações coletadas Defiições importates Na estatística temos algumas defiições importates: População: Qualquer cojuto de iformação que teha etre si uma característica comum que delimite os elemetos pertecetes a ela. Amostra: É um subcojuto de elemetos pertecetes a uma população. Variável: Dados referêtes a uma característica de iteresse, coletados a partir de uma amostra. Ceso: Exame de todos os elemetos da população. 1 / 140

16 Amostra População Figura 1.1: População e Amostra Variável Figura 1.2: Exemplo de variável Temos dois tipos de variáveis: Nomial : Qualitativa Ordial : sexo, cor dos olhos. classe social, grau de istrução. Discreta : Quatitativa Cotiua : úmero de filhos. altura, peso, salário. 2 / 140

17 1.2 Tabelas Estatísticas Na estatística é fudametal apredermos a represetar os dados que serão aalisados por meio de tabelas. Uma tabela deve apresetar a seguite estrutura: Cabeçalho; Corpo; Rodapé. O cabeçalho deve coter o suficiete para que sejam respodidas as questões: O que está represetado? Ode ocorreu? Quado ocorreu? Além disso, a tabela é um quadro que resume um cojuto de dados dispostos segudo lihas e coluas de maeira sistemática Série Croológica ou Temporal Um exemplo muito comum e muito útil de tabela é dado pelas séries temporais. Uma série temporal cosiste em uma sequêcia umérica cujos valores variam com o tempo. Abaixo vemos como iserir os dados de uma série temporal em uma tabela: Vedas da Compahia Alfa: Aos Vedas em R$ 1.000, Fote: Departameto de Marketig Série Geográfica Muitas vezes o dado de iteresse pode depeder a posição geográfica de ode foram coletados. Assim, uma série geográfica cosiste em uma sequêcia umérica obtidas em diferetes regiões em um determiado istate do tempo. Empresas Fiscalizadas em 2008 Regiões Número de Empresas Norte Nordeste Sudeste Sul Cetro-Oeste Fote: Mesário Estatístico. 3 / 140

18 1.2.3 Série Específica Uma série importate é formada por dados agrupados por alguma espécie ou característica comum. Assim, uma série específica é uma série umérica agrupada por tipo. Temos o exemplo abaixo: Matrículas a Pós-graduação da UFPB Áreas de Esio Matrículas Ciêcias Biológicas 125 Ciêcias Exatas e Tecologia 158 Ciêcias Humaas 128 Fote: Serviço de Educação e Cultura. 1.3 Distribuição de Frequêcia Uma distribuição de frequêcia é uma tabela que cotém um resumo dos dados obtido em uma amostra. A distribuição é orgaizada em formato de tabela, e cada etrada da tabela cotém a frequêcia dos dados em um determiado itervalo, ou em um grupo. Abaixo vemos um exemplo simplificado de tabela de distribuição de frequêcia: Altura dos Aluos da UFPB Alturas em metros Número dos Aluos 1,50 1,60 5 1,60 1, ,70 1, ,80 1,90 3 Fote: Serviço de Saúde. Na próxima subseção aprederemos a costruir uma distribuição de frequêcia completa Costrução de uma distribuição de frequêcia Para ilustrar como se costrói uma distribuição de frequêcia, ós vamos cosiderar um exemplo específico. Assim, supoha que uma pesquisa foi feita, e o seguite cojuto de dados foi obtido: Dados Brutos: A primeira coisa que fazemos é ordear os dados do meor para o maior, formado o rol de dados: Rol de dados: Em seguida, calculamos a amplitude total, ou seja, o maior valor obtido a amostra subtraído do meor valor obtido a amostra: 4 / 140

19 Amplitude Total R: R = = 15. Vamos agora defiir as variáveis de iteresse, ou seja, para cada valor distito obtido a amostra, atribuiremos uma variável diferete: Variável X i : X 1 = 21, X 2 = 22, X 3 = 23, X 4 = 24, etc. O próximo passo é calcular a frequêcia absoluta das variáveis, ou seja, vamos calcular quatas vezes cada valor aparece a sequêcia. Por exemplo, o valor 21 aparece 3 vezes, o valor 22 aparece 2 vezes, etc.. Assim, obtemos: Frequêcia Absoluta F i F 1 = 3, F 2 = 2, F 3 = 2, F 4 = 1, etc. Vamos calcular, agora, o tamaho amostral, ou seja, o úmero de observações obtidas a amostra. Desta forma, temos: Tamaho Amostral : = 30. Queremos, agora, dividir a amostra em uma quatidade de grupos que formarão os itervalos. Cada grupo é chamado de classe, assim, queremos defiir o úmero de classes a ser cosiderado a tabela de distribuição de frequêcia: Número de Classes K: K = 5 para 25 e K, para > 25. Fórmula de Sturges K 1 + 3,22log. Logo, pela primeira regra temos K = 30 5,48 6, e pela seguda regra K 1 + 3,22log30 5,75 6. Desta forma, em ambos os casos temos K = 6, que será o valor cosiderado. O próximo passo é saber o comprimeto de cada itervalo a ser cosiderado, ou seja, calcular a amplitude de cada classe. Queremos que todas as classes teham a mesma amplitude e portato, temos: Amplitude das Classes h: h = R K. Daí, para o osso caso, h = 15 6 = 2,5 3. Vamos agora defiir os limites das classes. Ou seja, defiir os itervalos propriamete ditos. Para tato, começamos com o meor valor obtido da amostra, ou equivaletemete, o primeiro valor do rol de dados, e vamos somado a amplitude para defiir cada limite de itervalo: 5 / 140

20 Limites das Classes: Em seguida, calculamos os potos médios das classes, que ada mais é que a média aritmética etre os limites das classes: Potos Médios das Classes pm i : pm 1 = = 22,5, pm 2 = = 25,5,,etc. Agora, calculamos as frequêcias dos dados em cada itervalo e, chamada de frequêcia absoluta, e também a frequêcia acumulada, chamada de frequêcia absoluta acumulada, que cosidera a soma das frequêcias dos itervalos ateriores até o itervalo cosiderado: Frequêcia Absoluta Acumulada F ac : Classes pm i F i F ac , , , , , , Total Em seguida, iclui-se as frequêcias relativas dos dados, ou seja, para cada itervalo calcula-se f i = F i /. A frequêcia relativa, os iforma a proporção dos dados que pertecem a um determiado itervalo. Frequêcia Relativa f i : Classes pm i F i F ac f i , , , , , , , , , , , ,03 Total ,00 Para fializar, calculamos a frequêcia acumulada relativa, ou seja, calculamos para cada itervalo f ac = F ac /: 6 / 140

21 Frequêcia Relativa Acumulada f ac : Classes pm i F i F ac f i f ac , ,23 0, , ,27 0, , ,07 0, , ,13 0, , ,27 0, , ,03 1,00 Total , Gráficos Estatísticos Histograma O histograma é uma represetação gráfica da distribuição de frequêcia. O histograma é formado por uma justaposição de retâgulos de bases com mesmo comprimeto. O comprimeto da base é justamete a amplitude do itervalo e a altura do retâgulo é dada pela frequêcia absoluta do itervalo. Assim, uma vez feita a distribuição de frequêcia, a costrução do histograma é uma tarefa muito simples. Abaixo vemos um exemplo de histograma: F i Classes Figura 1.3: Histograma Polígoo de Frequêcia O polígoo de frequêcia é uma represetação gráfica obtida após ligar os potos médios de cada classe etre si. Se já tivermos um histograma, basta ligar os potos médios das bases superiores dos retâgulos. 7 / 140

22 Abaixo vemos um exemplo de polígoo de frequêcia obtido a partir de um histograma: F i Classes Figura 1.4: Polígoo de Frequêcia Obtido a Partir de um Histograma Abaixo vemos um exemplo cotedo apeas o polígoo de frequêcia: F i Classes Figura 1.5: Polígoo de Frequêcia Obtido a Partir de um Histograma Gráfico de Lihas Supoha que temos duas variáveis, por exemplo, podemos ter os dados de uma série temporal, dode uma variável seria o valor obtido, e a outra variável seria a data em que o valor foi obtido. Outra 8 / 140

23 possibilidade seria colocar dados de uma série geográfica, ode uma variável seria formada pelos dados e a outra seria a localização geográfica. O gráfico de lihas etão é formado costruido potos o plao (a partir das duas variáveis) e, em seguida, estes potos são ligados por segmetos de retas. Abaixo vemos um exemplo de gráfico de lihas de uma série temporal Redimeto Período Figura 1.6: Gráfico de lihas Gráfico de Coluas Um gráfico de coluas é formado por uma coleção de coluas, com bases de mesmo comprimeto, e igualmete espaçados. O eixo horizotal do gráfico cosiste das diferetes categorias cosideradas, e o eixo vertical é proporcioal ao valor do dado. Abaixo vemos um exemplo de gráfico de coluas: 9 / 140

24 Pessoas por categoria Categorias Figura 1.7: Gráfico de coluas Gráfico em Barras O gráfico em barras pode ser etedido como uma variação do gráfico de coluas. De fato, o gráfico em barras é formado por uma coleção de barras, de mesma altura e igualmete espaçadas. Etretato, este caso o eixo vertical represeta as diferetes categorias cosideradas e o eixo horizotal é proporcioal ao valor dado. Abaixo vemos um exemplo de gráfico em barras: Pessoas por classe Baixa Média Alta Figura 1.8: Gráfico em barras 10 / 140

25 1.4.6 Gráfico de Setores O gráfico de setores, que também é popularmete cohecido como gráfico pizza, é um gráfico em que um círculo é dividido em setores (que podem ser pesados como as fatias da pizza), ode cada setor represeta uma categoria cosiderada pelo cojuto de dados, e os âgulos dos setores são proporcioais aos valores dos dados em cada categoria. Assim, quato maior o valor obtido, maior será o âgulo do setor (e assim, maior será a fatia da pizza). Abaixo vemos um exemplo de gráfico de setores: Sul Sudeste Norte Cetro Oeste Nordeste Figura 1.9: Gráfico de setores 1.5 Medidas de Posição As medidas de posição são valores que represetam a tedêcia de cocetração dos dados observados. As mais importates são as medidas de tedêcia cetral. As três medidas de tedêcia cetral mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediaa Média Aritmética É um valor que represeta uma característica do cojuto de dados. Essa característica é tal que a soma dos dados é preservada. A média é obtida a partir de todos os elemetos da distribuição e do tamaho da amostra. Notação: represetamos a média de um cojuto de dados por X (lê-se x barra). Cálculo da Média Aritmética + Dados ão agrupados (brutos) - média aritmética simples. 11 / 140

26 No caso de uma lista de dados ão-agrupados, calculamos a média aritmética pela fórmula: X = X i. Exemplo 1.1 Exemplo de cálculo de média aritmética com dados brutos Cosidere os dados 2,3,7 e 8. Etão, = 4 e X = = 20 4 = 5. Dados agrupados - média aritmética poderada. No caso em que temos os dados agrupados, ou seja, sabemos a frequêcia de cada observação, o cálculo da média aritmética pode ser simplificado. Assim, a média aritmética pode ser cálculada pela fórmula: X i F i X =. Exemplo 1.2 Exemplo de cálculo de média aritmética poderada Cosidere a seguite tabela: Assim, X = = 6,78. Tempo de Serviço (X i ) F i X i F i Total Dados agrupados em itervalos - média aritmética poderada No caso em que temos os dados agrupados em itervalos, utilizamos a média aritmética poderada, ode os pesos são dados pelo poto médio do itervalo. Assim, a média aritmética é calculada pela fórmula: X = X i pm i, Exemplo 1.3 Exemplo de cálculo de médias com dados agrupados em itervalos Cosidere a seguite tabela: Aos (X i ) F i pm i X i pm i Total Assim, X = = 6, / 140

27 1.5.2 Moda Defiimos a moda de um cojuto de dados como o valor mais frequete deste cojuto. Notação: represetamos a moda de um cojuto de dados por Mo. Exemplo 1.4 Exemplo de modas 1, 2, 4, 5 e 8 - ão existe valor mais frequete - ão existe moda (Amodal). 2, 2, 3, 7 e 8 - Mo = 2 (Uimodal). 1, 1, 10, 5, 5, 8, 7, 2 - Mo = 1 e 5 (Bimodal). Dados agrupados - Neste caso, a moda é defiida como classe modal, isto é, a classe com a maior frequecia. Exemplo 1.5 Exemplo de cálculo de classe modal Cosidere a seguite tabela: Assim, Mo = 8 (F 3 ). Tempo de Serviço (X i ) F i Total 18 Dados agrupados em itervalos: Neste caso, utiliza-se a fórmula de Czuber: ode: [ Mo = l Mo + h(f Mo F at ) 2F Mo (F at + F Pos ) ], h é a amplitude itervalar, F Mo é a frequêcia da classe modal, l Mo é o limite iferior da classe modal, F at é a frequêcia da classe aterior à classe modal, F Pos é a frequêcia da classe posterior à classe modal. 13 / 140

28 Exemplo 1.6 Exemplo de cálculo de moda pela fórmula de Czuber Cosidere a seguite tabela: Aos (X i ) F i Total 21 Assim, h = 4,F Mo = 10,l Mo = 4,F at = 4 e F pos = 7. Daí [ ] 4 (10 4) Mo = 4 + = 6, (4 + 7) Mediaa Defiimos a mediaa de um cojuto de dados como o valor que divide um cojuto de dados (ordeados) em duas partes com a mesma quatidade de dados. Notação: represetamos a mediaa de um cojuto de dados por Md. O elemeto mediao (E Md ) apota o local (os dados) ode a mediaa está localizada. A mediaa será o valor assumido a posição E Md. Dados ão agrupados (brutos) No caso de dados brutos, se o tamaho amostral () é ímpar, temos que E Md = ( + 1)/2. Note que o caso tamaho amostral é par, teremos dois valores possíveis para o elemeto mediao: /2 e / Neste caso a mediaa será a média dos valores assumidos estas posições. Exemplo 1.7 Exemplo de cálculo de mediaa para dados brutos 1, 2, 4, 5 e 8. Como é ímpar, temos E Md = 3, e Md = 4. 2, 2, 3, 7, 8 e 10. Aqui é par, assim E Md,1 = 6/2 = 3 e E Md,2 = 6/2+1 = 4. Daí Md = (3+7)/2 = 5. Dados agrupados Neste caso, olhar a frequêcia acumulada ajuda a ecotrar a médiaa. Caso 1: ímpar. 14 / 140

29 Exemplo 1.8 Exemplo de cálculo de mediaa com dados agrupados para ímpar Cosidere a seguite tabela:\vfill Faltas (X i ) F i F ac Total 11 - Como = 11, temos que E Md = (11 + 1)/2 = 6. Daí Md = 3. Note que a frequêcia acumulada idica que as posições de 2 até 8 temos o valor 3. Caso 2: par. Exemplo 1.9 Exemplo de cálculo de mediaa com dados agrupados para par Cosidere a seguite tabela: Tempo de Serviço (X i ) F i F ac Total 18 Neste caso = 18, daí temos E Md,1 = 18/2 = 9 e E Md,2 = 18/2+1 = 10. Portato Md = (8+8)/2 = 8. Note, ovamete, que a frequêcia acumulada idica que as posições de 9 até 18 temos o valor 8. Dados agrupados em itervalos Neste caso, utilizamos E Md = /2 idepedetemete de ser par ou ímpar. A classe mediaa é a primeira classe tal que F ac E Md. Portato, defiimos a mediaa pela fórmula [ ] EMd F ac,at Md = l Md + h, ode, l Md é o limite iferior da classe mediaa, h é a amplitude do itervalo, F Md F ac,at é a frequêcia acumulada da classe aterior à classe mediaa, F Md é a frequêcia da classe mediaa. 15 / 140

30 Exemplo 1.10 Exemplo do cálculo da mediaa para dados agrupados em itervalos Cosidere a seguite tabela: Aos (X i ) F i F ac Total 21 Assim, E Md = 21/2 = 10,5, e desta forma temos que a seguda classe é a classe mediaa. Daí l Md = 4,h = 4,F ac,at = 4 e F Md = 10. Portato, [ ] 10,5 4 Md = = 6, Medidas de Dispersão As medidas de dispersão medem o grau de variabilidade dos elemetos de uma distribuição; O valor zero idica ausêcia de dispersão; A dispersão aumeta à medida que aumeta o valor da medida de dispersão. Exemplo 1.11 Exemplo de motivação para as medidas de dispersão Notas de aluos em cico avaliações, UFPB, Aluos Notas Média Atôio João José Pedro Observa-se que: * As otas de Atôio ão variaram; As otas de João variaram meos do que as otas de José; As otas de Pedro variaram mais do que as otas de todos os outros aluos. Pricipais Medidas de Dispersão: Amplitude, Desvio Médio, Variâcia, Desvio Padrão, Coeficiete de Variação. 16 / 140

31 1.6.1 Amplitude A amplitude os forece uma idéia do campo de variação dos elemetos. Mais precisamete, ela forece a maior variação possível dos dados. A amplitude é dada pela fórmula A = X max X mi. Exemplo 1.12 Exemplo de cálculo de amplitude No exemplo aterior: A Atôio = 0; A João = 2; A José = 10; A Pedro = 10. Nota A amplitude ão mede bem a dispersão dos dados porque, usam-se apeas os valores extremos, ao ivés de utilizar todos os elemetos da distribuição Desvio Médio Desejado-se medir a dispersão dos dados em relação a média, parece iteressate a aálise dos desvios em toro da média. Isto é, aálise dos desvios: d i = (X i X). Mas a soma de todos os desvios é igual a zero. Isto é: d i = (X i X) = 0. Logo, será preciso ecotrar uma maeira de se trabalhar com os desvios sem que a soma dê zero. Dessa forma, defie-se o desvio médio. Dados ão agrupados (brutos): Neste caso, calculamos o desvio médio como: DM = d i = X i X. Nota Veja que os desvios foram cosiderados em módulo, evitado-se assim que a soma fosse ula. Dados agrupados: 17 / 140

32 DM = d i F i = X i X F i. Nota X i represeta um valor idividual, o caso de uma distribuição de frequêcia simples, ou o poto médio da classe (pm i ), o caso de uma distribuição de frequêcia em classes. Importate O desvio médio é mais vatajoso que a amplitude, visto que leva em cosideração todos os valores da distribuição. No etato, ão é tão frequetemete empregado, pois ão apreseta propriedades matemáticas iteressates Variâcia A variâcia é a medida de dispersão mais utilizada. É o quociete etre a soma dos quadrados dos desvios e o úmero de elemetos. Assim, temos a seguite defiição de variâcia populacioal: Dados ão agrupados - (brutos): Neste caso, a variâcia é dada pela fórmula: Dados agrupados: σ 2 = N d 2 N i N = (X i X) 2. N Aqui, podemos utilizar a frequêcia para simplificar a fórmula: σ 2 = N di 2 F N i N = (X i X) 2 F i. N Nota σ 2 idica a variâcia populacioal e lê-se sigma ao quadrado ou sigma dois. Neste caso, X e N da formúla represetam a média populacioal e o tamaho populacioal, respectivamete. Temos aida a seguite defiição de variâcia amostral: Dados ão agrupados - (brutos): Neste caso, a fórmula é dada por S 2 = di 2 1 = (X i X) / 140

33 Dados agrupados: Podemos, ovamete, utilizar as frequêcias para simplificar a fórmula: S 2 = di 2 F i 1 = (X i X) 2 F i. 1 Nota X i represeta um valor idividual, o caso de uma distribuição de frequêcia simples, ou o poto médio da classe (pm i ), o caso de uma distribuição de frequêcia em classes. Importate Fórmulas práticas para os cálculos das variâcias são dadas a seguir: ou σ 2 = 1 N [ N Xi 2 F i (N X i F i ) 2 ] N S 2 = 1 1[ Xi 2 F i ( X i F i ) 2 ] que foram obtidas por trasformações as respecitivas fórmulas origiais Desvio Padrão Temos também outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da variâcia, chamada de desvio padrão. Assim, σ = σ 2 é o desvio desvio padrão populacioal e S = S 2 é o desvio desvio padrão amostral. Nota Para o cálculo do desvio padrão deve-se primeiramete determiar o valor da variâcia e, em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado. Exemplo 1.13 Exemplo de cálculo das medidas de dispersão Calcular a amplitude, o desvio médio, a variâcia e o desvio padrão da seguite distribuição amostral: X i F i Total / 140

34 Cálculo da amplitude: A = X max X mi = 11 5 = 6. Cálculo do desvio médio: Primeiramete é preciso do valor da média. Assim, X i F i X i F i Total X i F i X = = = 8,06. Para o cálculo do DM são abertas ovas coluas: Portato, Cálculo do variâcia amostral: X i F i X i F i X i X = d i d i F i ,06 = 3,06 6, ,06 = 1,06 3, ,06 = 0,06 0, ,06 = 0,94 3, ,06 = 2,94 5,88 Total ,24 DM = d i = 19,24 = 1, Observe que o cálculo será facilitado, pois sabe-se que: = 16; X i F i = 129. Resta ecotrar X 2 i F i. Para tato, uma ova colua é cosiderada a tabela. Portato, S 2 = = = 1 15 Logo, a variâcia amostral S 2 = 2,86. X i F i X i F i Xi 2 F i Total [ Xi 2 F i ( X i F i ) 2 ] 1 [1083 (129)2 ] = 1 [ 16[ ] / = = 2,86. ]

35 Cálculo do desvio padrão amostral: Como S = S 2, logo S = 2,86 = 1,69. Dessa forma, podemos observar que a distribuição possui média 8, 06. Isto é, seus valores estão em toro de 8,06 e seu grau de cocetração é de 1,2, medido pelo desvio médio e de 1,69, medido pelo desvio padrão Coeficiete de Variação Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de cocetração em toro da média de séries distitas. É dado por CV = S X 100. ode, S é o desvio padrão amostral e X é a média amostral. O coeficiete de variação é expresso em porcetages. Exemplo 1.14 Exemplo de cálculo do coeficiete de variação Numa empresa, o salário médio dos homes é de R$ 4.000,00, com desvio padrão de R$ 1.500,00, e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.200,00. Etão: Para os homes: Para as mulheres: CV = = 37,5% CV = = 40% Logo, podemos cocluir que os salários da mulheres apreseta maior dispersão relativa do que o dos homes. Diz-se que a distribuição possui pequea variabilidade, ou dispersão, quado o coeficiete der até 10%; média dispersão quado estiver acima de 10% até 20%; e grade dispersão quado superar 20%. Algus aalistas cosideram: Baixa dispersão: CV 15%; Média dispersão: 15% < CV < 30%; 1.7 Atividades 1. Em um estado, foram pedidos para 35 empresas os úmeros de empregados demitidos o ao de Os resultados iformados pelas empresas estão dados abaixo: a) Costrua uma tabela de distribuição de frequêcia para estes dados. 21 / 140

36 b) Costrua um histograma para estes dados. 2. Costrua uma tabela de distribuição de frequêcia e histograma para o seguite cojuto de dados: Calule a média aritmética dos dados da questão Calcule a média aritmética dos dados da questão Calcule a moda dos dados da questão Calcule a moda dos dados da questão Calcule a mediaa dos dados da questão Calcule a mediaa dos dados da questão Calcule o desvio médio dos dados da questão Calcule o desvio médio dos dados da questão Calcule a variâcia amostral e populacioal dos dados da questão Calcule a variâcia amostral e populacioal dos dados da questão Calcule o coeficiete de variação dos dados da questão Calcule o coeficiete de variação dos dados da questão 2. Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 22 / 140

37 Capítulo 2 Teoria dos Cojutos e Cotagem OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Eteder o que é um cojuto, um elemeto de um cojuto Eteder as relações etre cojutos Cohecer os pricipais métodos de cotagem Saber a difereça etre combiação e arrajo e como aplicar essas defiições em problemas práticos Cohecer o biômio de Newto O objetivo deste capítulo é apresetar os pré-requisitos ecessários para estudar probabilidade. 2.1 Teoria dos Cojutos Cojuto é uma coleção de objetos. A atureza desses objetos é arbitrária, ou seja, podemos ter cojuto de qualquer coisa. Por exemplo, podemos ter cojutos de pessoas; cojutos de úmeros; cojutos de letras; podemos ter até cojutos de cojutos! Nós represetaremos cojutos por letras maiúsculas A,B,C,... Chamamos os objetos que formam o cojuto de elemetos. Assim, para descrever um cojuto, basta listar seus elemetos. Existem três maeiras de descrever os elemetos de um cojuto A: Listado os elemetos. Por exemplo, A = {1,2,3,4,...}; Descrevedo os elemetos. Por exemplo, A é o cojuto de todos os úmeros iteiros; Colocado codições. A = {x;x é úmero real e 0 x 1}. Nota É importate observar a otação. Sempre escreveremos os elemetos que formam um cojuto etre chaves. O poto-e-vírgula, quado estiver etre chaves deve ser lido como tal que. Por exemplo, o cojuto A = {x;x é úmero real e 0 x 1}, lemos, A é o cojuto dos úmeros reais tais que 0 x / 140

38 Quado o objeto x é elemeto do cojuto A, dizemos que x pertece a A, e escrevemos x A. Aalogamete, se x ão é elemeto do cojuto A, dizemos que x ão pertece a A, e escrevemos x / A. Existe um cojuto que ão possui ehum elemeto. Esse cojuto especial é chamado de cojuto vazio e é deotado por /0. Importate É muito importate otar que o cojuto vazio /0 ão possui ehum elemeto, portato ão há chaves a sua otação. O cojuto {/0} NÃO é o cojuto vazio, e sim um cojuto com um elemeto, e esse elemeto é o cojuto vazio Comparação etre cojutos Sejam A e B dois cojutos. Dizemos que A é subcojuto de B, e escrevemos, A B se todo elemeto de A é elemeto de B. Ou seja, se sempre que x A, temos que x B. Se existe x A tal que x / B, dizemos que A ão é subcojuto de B, e escrevemos A B. Exemplo 2.1 Exemplo de comparação etre cojutos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Etão, temos que B A, mas C A, A C, A B, C B e B C. Exercício Mostre que para todo cojuto A, o cojuto vazio é subcojuto de A, ou seja, que /0 A. Solução Supoha que /0 A, etão por defiição, isso sigifica que existe x /0 tal que x A. Como /0 ão possui ehum elemeto, é impossível ecotrar o tal elemeto x. Portato, a afirmação /0 A é falsa. Isso mostra que /0 A. Defiição: Igualdade de cojutos Dizemos que os cojutos A e B são iguais, e escrevemos A = B, se todo elemeto de A é elemeto de B e todo elemeto de B é elemeto de A. Equivaletemete, temos que A = B se, e somete se, A B e B A Uião de cojutos Supoha que temos dois cojutos A e B. Podemos defiir um terceiro cojuto, chamado de cojuto uião de A e B, formado pelos elemetos de A e pelos elemetos de B. Matematicamete, escrevemos A B = {x;x A ou x B}. 24 / 140

39 Exemplo 2.2 Exemplo de uião de cojutos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Etão, A B = {1,2,3,4,5}, Nota Se A B, etão todo elemeto de A já é elemeto de B, e portato A B = B. De maeira geral, dados cojutos A 1,A 2,A 3,..., defiimos o cojuto formado pela uião dos cojutos A 1,A 2,..., como o cojuto que cotém todos os elemetos de A 1, de A 2, etc.. Matematicamete, temos: A i = {x;existe i tal que x A i }. Exercício Foreça a defiição da uião de cojutos A 1,A 2,...,A. Solução Defiimos a uião de cojutos A 1,...,A, como o cojuto formado pelos elemetos de A 1,...,A, ou seja, é o cojuto A i = {x;x A 1 ou x A 2,..., ou x A } Iterseção de cojutos Supoha que temos dois cojutos A e B. Cosidere agora o cojuto formado pelos objetos que são elemetos de A e também são elemetos de B. Este cojuto é chamado de cojuto iterseção de A e B. Escrevemos este cojuto, matematicamete, como A B = {x;x A e x B}. Exemplo 2.3 Exemplo de iterseção de cojutos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Etão, A B = {2,4}, A C = {3,5} e B C = /0. Nota Se A B, etão todo elemeto de A é elemeto de B, assim os elemetos que estão em A e B, são os elemetos de A. Ou seja, A B = A. 25 / 140

40 De maeira geral, dados cojutos A 1,A 2,A 3,..., defiimos a iterseção etre os cojutos A 1,A 2,A 3,... como o cojuto formado pelos elemetos que estão simultaeamete em todos os cojutos. Escrevemos esse cojuto matematicamete como A i = {x;x A 1,x A 2,...}. Exercício Foreça a defiição da iterseção de cojutos A 1,A 2,...,A. Solução Defiimos a iterseção de cojutos A 1,...,A, como o cojuto formado pelos elemetos que estão simultaeamete A 1,...,A, ou seja, é o cojuto A i = {x;x A 1 e x A 2,..., e x A } Difereça etre cojutos Supoha que temos dois cojutos A e B. Cosidere agora o cojuto formado por objetos que são elemetos de B, mas ão são elemetos de A. Esse cojuto é chamado de B meos A, e é deotado por B \ A. Matematicamete, temos B \ A = {x;x B e x / A}. Exemplo 2.4 Exemplo de difereça de cojutos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Etão, A \ B = {1,3,5}, A \C = {1,2,4}, B \C = {2,4}, B \ A = /0, C \ A = {7} e C \ B = {3,5,7} Complemetar de um cojuto Um caso particular e importate de difereças de cojuto é o complemetar. Esta defiição é particularmete útil o curso de probabilidade. Supoha que temos um cojuto de referêcia, digamos M. Dado qualquer cojuto A M, defiimos o complemetar de A (em M), como o cojuto A c = M \ A. Ateção Quado está claro o cotexto quem é o cojuto de referêcia, o cojuto A c é referido apeas como complemetar de A. O complemetar de A é descrito como o cojuto dos elemetos que ão pertecem a A. Fica claro que é o cojuto dos elemetos que ão pertecem a A, mas pertecem ao cojuto de referêcia M. 26 / 140

41 2.1.6 Propriedades etre as relações etre cojutos Valem as seguites idetidades etre uião, iterseção e complemetação etre cojutos:\\ A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C); A /0 = /0; A /0 = A; (A B) c = A c B c ; (A B) c = A c B c ; (A c ) c = A. 2.2 Cotagem Vamos agora itroduzir técicas de cotagem Regra da multiplicação A primeira técica é cohecida como regra da multiplicação. Para ilustrar a técica, cosidere o seguite exemplo: Exemplo 2.5 Exemplo para ilustrar a regra da multiplicação Ferado possui 10 pares de meias e 3 pares de sapatos. Sabedo que Ferado pode utilizar qualquer par de meia com qualquer sapato, de quatas formas diferetes, ele pode combiar pares de meias com sapatos? Vamos começar colocado rótulos os sapatos: sapato 1, sapato 2 e sapato 3. O sapato 1 pode ser usado com 10 pares de meias; o sapato 2 também pode ser usado com 10 pares de meias; e o sapato 3 também pode ser usado com 10 pares de meias. Portato, como Ferado pode utilizar o sapato 1, o sapato 2 e o sapato 3, ele poderá fazer = 30 combiações diferetes etre pares de meias e sapatos. Resumido, cada sapato pode ser associado a 10 pares de meias, e como temos 3 sapatos, o total de combiações é 30 = Por isso o ome regra da multiplicação. Pois multiplicamos o úmero de sapatos pelo úmero de pares de meias. A regra geral é dada por: Regra da multiplicação Supoha que temos 2 tipos de objetos: tipo 1 e tipo 2. Supoha que cada objeto do tipo 1 pode ser combiado com todos os objetos do tipo 2. Assim, se temos objetos de tipo 1 e m objetos de tipo 2, teremos m combiações possíveis etre objetos de tipo 1 e objetos de tipo / 140

42 2.2.2 Regra da adição Vamos agora ilustrar outra técica de cotagem, que é cohecida como a regra da adição. motivar, cosidere o seguite exemplo: Para Exemplo 2.6 Exemplo para ilustrar a regra da adição Paulo tem 15 blusas de maga comprida e 10 blusas de maga curta e apeas uma calça. Sabedo que Paulo ão usa duas blusas ao mesmo tempo, de quatas formas ele pode se vestir? Como Paulo só possui uma calça, o que determia a quatidade de formas de se vestir é a quatidade de blusas. Como Paulo possui 25 = blusas, segue que Paulo pode se vestir de 25 formas diferetes. Assim, como Paulo ão pode usar uma blusa de maga comprida e outra de maga curta ao mesmo tempo, segue que temos que escolher uma úica blusa etre o total de blusas que é dada pela soma etre a quatidades de blusas de maga comprida e blusas de maga curta. A regra geral é dada por: Regra da adição Supoha que temos objetos de dois tipos, digamos tipo 1 e tipo 2. Supoha que temos objetos do tipo 1 e m objetos do tipo 2. Temos etão + m formas de escolher um objeto (de qualquer tipo) etre os objetos dispoíveis. Outra forma de escrever essa regra é a seguite: supoha que temos formas de executar uma tarefa usado o procedimeto 1, e m formas de executar essa mesma tarefa usado o procedimeto 2. Sabedo que ão podemos usar os dois procedimetos cojutamete, esta tarefa pode ser realizada de + m formas diferetes Permutação Supoha que temos k objetos orgaizados em uma determiada ordem. Se mudarmos a ordem em que estes objetos estão colocados, dizemos que fizemos uma permutação etre esses objetos. Uma perguta importate é saber qual o úmero de permutações possíveis etre estes k objetos. Para ilustrarmos a ideia cosidere o seguite exemplo: Exemplo 2.7 Exemplo de permutações Quatas filas diferetes podemos formar com Pedro, Paulo, Carlos e João? Também poderíamos escrever a perguta como: Qual o úmero de permutações possíveis etre quatro pessoas? Vamos eumerar as posições: primeira, seguda, terceira e quarta. Para a primeira posição temos 4 escolhas possíveis. Agora, supodo que já escolhemos a primeira posição, qualquer que seja a primeira pessoa escolhida, temos possibilidades para a seguda posição. Aalogamete, temos 2 possibilidades para a terceira posição e apeas uma para a quarta. Pela regra da multiplicação, temos = 24 possibilidades. 28 / 140

43 Notação O úmero! é chamado de fatorial de e é dado por! = ( 1) ( 2) Por exemplo, 6! = No exemplo aterior, o úmero de possibilidades é 4! = 24. Fialmete, temos a regra da permutação: Permutações Supoha que temos objetos, etão o úmero de permutações desses objetos é! Arrajos Supoha que temos objetos, de quatas formas podemos escolher k objetos etre esses objetos, sabedo que a ordem em que esses objetos são escolhidos importa? O úmero de formas é chamado de úmero de arrajos. Cosidere o seguite exemplo: Exemplo 2.8 Exemplo de arrajos Supoha que uma corrida de rua tem 1000 atletas iscritos. Quatos pódios podemos formar com esses 1000 atletas? Um pódio cosiste de três pessoas, ordeadas pelo campeão, vice-campeão e terceiro lugar. Assim, temos 1000 formas de escolher o campeão, 999 formas de escolher o vice-campeão e 998 formas de escolher o terceiro lugar. Portato, temos pódios possíveis. Note que = 1000! 997!. Assim, a regra dos arrajos é: Arrajo Supoha que temos objetos dispoíveis. Etão, o úmero de formas de escolher k objetos, ode a ordem em que os objetos foram escolhidos importa, é dada por A,k =! ( k)!. No exemplo aterior, podemos pesar as pessoas como 1000 objetos, e queríamos escolher 3 objetos, ode a ordem importa (a ordem determia o campeão, vice-campeão e terceiro lugar), e portato o úmero de formas é A 1000,3 = 1000! 997! Combiações Supoha que estamos o mesmo ceário dos arrajos, ou seja, temos objetos e queremos escolher k objetos. Etretato, supoha que a ordem ão importa mais. Assim, só estamos iteressados o úmero de formas de escolher os k objetos, mas a ordem em particular pela qual os objetos foram escolhidos ão importa. O úmero de tais formas é dado pelo úmero de combiações possíveis. Cosidere o seguite exemplo: 29 / 140

44 Exemplo 2.9 Exemplo de combiações Supoha que uma empresa possui 1000 fucioários, e que o presidete da empresa gostaria de saber o úmero de equipes de 3 pessoas que podem ser formadas com esses 1000 fucioários. Qual o úmero que o presidete procura? Note que este exemplo é muito parecido com o dos arrajos, iclusive temos 1000 objetos e queremos escolher 3. Etretato o fato da ordem ão importar muda tudo. Como em uma equipe a ordem das pessoas ão importa, devemos levar essa iformação em cosideração. Vamos etão figir que a ordem importa, etão a quatidade de formas seria A 1000,3 = 1000! 997!. Observe agora que para cada equipe de formada por 3 pessoas, temos 3! pódios possíveis a se formar. Desta forma, se C é o úmero de equipes de 3 pessoas que podemos formar com 1000 fucioários, etão 3! C é o úmero de pódios que podemos formar com 1000 pessoas, pois cada equipe forece 3! pódios (aqui utilizamos a regra da multiplicação). Como sabemos que o úmero de pódios possíveis é A 1000,3 = 1000! 997!, segue que C = A 1000,3 3! = 1000! 3!997!. Assim, temos a regra geral das combiações: Combiação Supoha que temos objetos e queremos escolher k objetos, ode a ordem em que os objetos foram escolhidos ão importa. Etão temos C,k =! k!( k)! formas de escolher esses k objetos. C,k é chamado o úmero de combiações de, k-a-k. Nota ( ) Este úmero de combiações possui uma otação especial, a saber, k =! k!( k)!, e são chamados de coeficietes biomiais. Cuidado Observe que em geral o úmero de arrajos é bem maior que o úmero de combiações. De fato, temos que A,k = k!c,k. Portato, é importate ão cofudir arrajos com combiações porque os resultados podem ser muito diferetes Biômio de Newto Sejam a,b úmeros reais, e seja um úmero atural. Etão, temos que (a + b) = (a + b)(a + b) (a + b). }{{} termos 30 / 140

45 É fácil saber, pela distributividade, que o resultado da multiplicação será uma soma da forma: (a + b) = (a + b) (a + b) = C 0 a +C 1 a 1 b + C b. Assim, queremos determiar quais são os valores de C i, para i = 0,...,. Observe que C i é o úmero de termos da forma a i b i que aparecem após a expasão do termo (a + b). Este úmero é dado pelo úmero de formas em que podemos escolher ( i) parcelas da multiplicação iguais a a (automaticamete as i parcelas restates serão de termos iguais a b). Como a ordem das parcelas ão importa, o úmero de formas é justamete o úmero de combiações de, ( i)-a-( i), e é dado por C i = C,( i) =! ( i)!i! = C,i = ( i). Portato, temos a fórmula do biômio de Newto: ( ) ( (a + b) = a i ) a i b i + + ( ) b = i=0 ( ) a i b i. i 2.3 Atividades 1. Verdadeiro ou Falso? a. {a,a,b,c} = {a,b,c}; b. {a,{a}} = {a}; c. {a} {a,{a}}; d. {a} {a,{a}}; e. {{a}} {a,{a}}; f. {a,b} {a,{a,b}}; g. {a,b} {a,{a,b}}; h. b {a,{a,b}}; i. /0 {/0}; j. /0 = {/0}; k. /0 {/0}; l. {/0} {{/0}}; m. {/0} {{/0}};. {/0} = {{/0}}. 2. Sejam A = {1,2,3,4,{5},{6,7}}, B = {4,{5},6,7} e C = {5,6,7}. Determie os seguites cojutos: a. A \ /0; b. A \ A; 31 / 140

46 c. A \C; d. C \ A; e. A \ B; f. B \ A; g. B \C. 3. Seja M = {1,2,3,4,{1},{2},{3},{4}}. Sejam A = {1,{2},3,{4}} e B = {{1},2,{3},4}. a. Mostre que A e B são subcojutos de M, e coclua que podemos falar sobre o complemetar de A e sobre o complemetar de B (ambos com relação a M); b. Determie os cojutos: A c, B c, A B c, A c B, A c B c, A B, A A c e B B c. c. Determie os cojutos: A B, A c B, A c B c, A B c, A A c e B B c. 4. Quatas palavras cotedo 3 letras diferetes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras? 5. Para fazer uma viagem João Pessoa-Salvador-João Pessoa, posso ir de carro, ôibus ou avião. De quatos modos posso escolher os trasportes se ão desejo usar a volta o mesmo meio de trasporte da ída? 6. Quatos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com cico alterativas por questão? 7. De quatos modos 3 pessoas podem setar-se em 5 cadeiras em fila? 8. O departameto de computação cietífica de uma uiversidade possui 20 professores. De quatos modos podem ser escolhidos um chefe de departameto, um coordeador da gradução e um coordeador de pós-graduação? 9. Quatos são os aagramas da palavra CAPÍTULO? 10. Quatos são os aagramas da palavra CAPÍTULO que têm a letra C o primeiro lugar E a letra A o segudo lugar E a letra P o terceiro lugar? 11. João tem 10 frutas diferetes e deseja fazer vários tipos de saladas de frutas, ode cada salada cotém exatamete 4 frutas. Quatos tipos de saladas de frutas ele pode fazer? 12. Em uma prova, o estudate deve escolher exatamete 7 questões etre 10 dispoíveis. Quatas escolhas ele tem? 13. De quatos modos podemos escolher 6 pessoas, icluido pelo meos duas mulheres, em um grupo de 7 homes e 4 mulheres? Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 32 / 140

47 Capítulo 3 Defiições Básicas OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: As pricipais defiições da probabilidade Recohecer um modelo com resultados equiprováveis e modelos com resultados que ão são equiprováveis Eteder e saber aplicar o coceito de probabilidade codicioal Saber euciar e aplicar o teorema da probabilidade total e o teorema de Bayes Saber a defiição e ituição de evetos idepedetes Modelos Matemáticos Modelo Determiístico: Um modelo o qual as codições impostas ao modelo determiam o resultado do experimeto. Modelo Probabilístico: Modelos os quais, mesmo matedo as mesmas codições, o resultado do experimeto pode variar. Isso se deve a um fator aleatório o qual ão podemos cotrolar. Experimeto aleatório Cosiste em um experimeto em que, mesmo matedo as mesmas codições, o resultado do experimeto pode variar. Exemplo 3.1 Exemplos de experimetos aleatórios 1. Laçar um dado e observar o resultado. 2. Jogar três moedas e cotar o úmero de vezes que o resultado foi cara. 3. Medir o úmero de ascimetos a cidade de João Pessoa a última hora. 33 / 140

48 3.1 Fudametos de Probabilidade Defiição: Espaço amostral Espaço amostral é o cojuto de todos os resultados possíveis de um experimeto. Deotamos o cojuto de todos os resultados por Ω. Exemplo 3.2 Espaços amostrais associados aos exemplos ateriores 1. Ω = {1,2,3,4,5,6}; 2. Ω = {0,1,2,3}; 3. Ω = {0,1,2,3,...},Ω = {0,1,2,..., },... Nota Observe que o último exemplo tivemos mais de uma opção de espaço amostral. Isto ão cotradiz a defiição de espaço amostral. De fato, podemos ter mais de uma opção de espaços amostrais, o importate é que cada uma dessas opções coteha todos os resultados possíveis. Defiição: Eveto Seja Ω o espaço amostral de um experimeto. Todo cojuto A Ω tal que podemos calcular a probabilidade de A é chamado de eveto. Destacamos dois evetos importates: 1. Ω é chamado de eveto certo; 2. /0 é chamado de eveto impossível. Nota O cojuto de todos os evetos possui uma estrutura chamada de σ-álgebra. Apesar da defiição de σ-álgebra ser muito simples, ão há ecessidade de estudarmos σ-álgebras, pois todos os cojutos que utilizaremos ao logo do livro serão evetos. Além disso, as aplicações ode é realmete ecessário o uso de σ-álgebras fogem do escopo deste livro. Como cada eveto é um cojuto, vale a pea descrever os evetos obtidos após realizarmos as operações clássicas de cojutos etre evetos. 34 / 140

49 Exemplo 3.3 Evetos A B: é o eveto A ou B ; A B: é o eveto A e B ; A c : é o eveto ão ocorrêcia de A ; A B: sigifica que se o eveto A ocorre, etão o eveto B ocorre. A B = /0: sigifica que A e B são evetos mutuamete excludetes, ou seja, a ocorrêcia de A implica que B ão ocorre, e a ocorrêcia de B implica que A ão ocorre. Defiição: Partição Dado um espaço amostral Ω, uma partição P = {A α,α I} de Ω é uma coleção de evetos, A α, idexados por α, tais que: Para todo α β, A α A β = /0; α I A α = Ω. Portato, temos que os evetos de uma partição são dois-a-dois mutuamete excludetes e sua uião é todo o espaço amostral. Exemplo 3.4 Exemplo de partição Se Ω = {1,2,3,4}, etão {A 1,A 2 }, ode A 1 = {1,2,3} e A 2 = {4}, é uma partição de Ω. 3.2 Noções de Probabilidade Defiição: Medida de Probabilidade Seja E um experimeto. Seja Ω um espaço amostral, e seja E um eveto de Ω. Dizemos que P é uma medida probabilidade em Ω se para todo eveto A, temos que P(A) é um úmero ão-egativo, chamado de probabilidade de A, tal que 0 P(A) 1; P(Ω) = 1; (Aditividade fiita) Se A e B forem evetos mutuamete excludetes, temos que P(A B) = P(A) + P(B); (Aditividade cotável) Se A i,i = 1,2,3,... forem evetos dois-a-dois mutuamete excludetes, etão, ( ) P A i = Provaremos agora algumas cosequêcias desta defiição. Teorema Seja /0 o cojuto vazio, etão P(/0) = 0. P(A i ). 35 / 140

50 Demostração Para qualquer eveto A, podemos escrever A = A /0. Como A e /0 são mutuamete excludetes, decorre da aditividade fiita que P(A) = P(A /0) = P(A) + P(/0). Desta forma, P(/0) = 0. Teorema Seja A c o eveto complemetar de A. Etão P(A c ) = 1 P(A). Demostração Podemos escrever Ω = A A c. Além disso, A e A c são mutuamete excludetes. Portato, pela aditividade fiita, temos que 1 = P(Ω) = P(A A c ) = P(A) + P(A c ). Desta forma, segue que P(A c ) = 1 P(A). Teorema Sejam A e B dois evetos quaisquer. Etão P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Demostração Temos que A B = A (B A c ) (faça um deseho) e B = (A B) (B A c ). Desta forma, temos que como A e B A c são mutuamete excludetes, vale P(A B) = P(A) + P(B A c ). Por outro lado, temos que A B e B A c também são mutuamete excludetes. Portato, segue que P(B) = P(A B) + P(B A c ) P(B A c ) = P(B) P(A B). Jutado as duas equações, obtemos que Mais geralmete temos o P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Teorema (Pricípio da iclusão e exclusão) Sejam A 1,A 2,...,A evetos quaisquer. Etão, P(A 1 A 2 A ) = + i< j<k P(A i ) P(A i A j ) i< j P(A i A j A k ) + + ( 1) 1 P(A 1 A ). Teorema Sejam A e B dois evetos. Supoha que A B, etão P(A) P(B). Demostração Temos que B = A (B A c ), com A e B A c sedo mutuamete excludetes. Desta forma,p(b) = P(A) + P(B A c ). Por outro lado, P(B A c ) 0. Portato, temos que P(B) P(A). Exercício Mostre que a coleção de itervalos {(,+1] : R} é uma partição do cojuto dos úmeros reais R. Solução Deote por [x] a parte iteira do úmero real x. Temos que para todo x real, vale x ([x] 1,[x]] ([x],[x] + 1]. 36 / 140

51 Portato, vale x (, + 1], ou seja, R (, + 1]. Z Por outro lado, Z,(, + 1] R. Daí (, + 1] R. Portato, cocluímos que Z Z R = (, + 1]. Z 3.3 Espaços Amostrais Fiitos Seja Ω um espaço amostral associado a um experimeto aleatório E com um úmero fiito de resultados possíveis. Etão Ω pode ser escrito da seguite forma: Ω = {ω 1,...,ω }, para algum úmero atural. A cada eveto simples {ω i }, i = 1,...,, associamos um úmero p i,i = 1,..., de tal forma que duas codições sejam satisfeitas: 1. p i 0 para todo i = 1,...,; 2. p p = 1. Assim, defiimos a probabilidade da ocorrêcia do resultado ω i,i = 1,..., como sedo P({ω i }) = p i. Supoha que tehamos um eveto A cosistido de k resultados possíveis, ou seja, A = {ω j1,...,ω jk }, ode j 1,..., j k assumem valores etre 1 e. Pela propriedade da aditividade cotável, a probabilidade do eveto A é dada por P(A) = P({ω j1 }) + + P({ω jk }) = p j1 + + p jk. Exercício Supoha que somete três resultados sejam possíveis em um experimeto, a saber, a 1,a 2 e a 3. Além disso, supoha que a 1 seja duas vezes mais provável de ocorrer do que a 2, o qual, por sua vez, é duas vezes mais provável de ocorrer do que a 3. Determie as probabilidades de ocorrêcia de a 1,a 2 e a 3. Solução Sejam p 1, p 2 e p 3 as probabilidades de ocorrêcias de a 1,a 2 e a 3, respectivamete. Etão, temos do euciado que p 1 = 2p 2 e que p 2 = 2p 3. Como sabemos que p 1 + p 2 + p + 3 = 1, temos que 4p 3 + 2p 3 + p 3 = 1, ou seja, p 3 = 1/7. Isto forece p 1 = 4/7, p 2 = 2/7 e p 3 = 1/ Resultados Equiprováveis Supoha que temos um experimeto com resultados possíveis e que todos esses resultados sejam equiprováveis, isto é, todos os resultados possuem a mesma probabilidade de ocorrêcia. Neste caso, dizemos que o experimeto possui resultados equiprováveis. Digamos que os resultados possíveis do experimeto são a 1,...,a. 37 / 140

52 Sejam p 1, p 2,..., p as probabilidades de ocorrêcias dos evetos a 1,a 2,...,a, respectivamete. Etão, como todos os resultados possuem a mesma probabilidade de ocorrêcia, temos que p 1 = p 2 = = p = p. Além disso, sabemos que p p = 1, ou seja, p = 1, o que por sua vez implica que p = 1/. Utilizado a propriedade de aditividade cotável da probabilidade podemos cocluir o seguite resultado: Seja A um eveto que cotém k resultados possíveis, etão P(A) = k/. Este método de avaliar a probabilidade do eveto A ormalmete é euciado da seguite maeira: P(A) = úmero de resultados favoráveis a A. úmero de resultados possíveis Exercício Um dado é laçado e todos os resultados são igualmete prováveis. O eveto A ocorrerá se, e somete se, um úmero maior do que 4 aparecer, isto é, A = {5,6}. Calcule P(A). Solução Como temos 6 resultados possíveis e 2 resultados favoráveis, temos que P(A) = 2/6 = 1/ Probabilidade Codicioal Supoha que temos a seguite situação: Um lote é formado por 100 moitores de computador. Foi verificado que este lote, temos 80 moitores em perfeito estado e 20 moitores defeituosos. Supoha que dois moitores são retirados do lote ao acaso. Cosidere etão os evetos: A = O primeiro moitor é defeituoso e B = O segudo moitor é defeituoso. Supoha que a retirada dos moitores seja com reposição. Isto é, o primeiro moitor é retirado, verifica-se se é defeituoso ou ão, e é colocado de volta ao lote. Neste ceário, temos 20 casos favoráveis ao eveto A, etre 100 casos possíveis, e 20 casos favoráveis ao eveto B, também etre 100 casos possíveis. Desta forma, o ceário com reposição, temos que P(A) = P(B) = 1/5. Etretato temos um segudo ceário possível: que a retirada dos moitores seja feita sem reposição, isto é, o primeiro moitor é retirado, verifica-se se este é defeituoso, e em seguida um segudo moitor é retirado (sem que o primeiro seja devolvido ao lote), dode após a retirada, verifica-se se o segudo moitor é defeituoso ou ão. Neste ceário, aida temos 20 casos favoráveis ao eveto A e 100 casos possíveis. No etato, para o eveto B o problema ão se tora fácil, pois ão sabemos se o mometo da retirada do segudo moitor teremos 19 casos favoráveis ou 20 casos favoráveis. Isto depederá se o eveto A ocorreu ou ão. A úica coisa certa é que temos 99 casos possíveis para o eveto B. A fim de resolver este problema vamos itroduzir um ovo coceito, o de probabilidade codicioal. Assim que tivermos desevolvido a teoria o suficiete para resolver o problema acima, termiaremos a solução dele. Defiição: Probabilidade codicioal Sejam agora, A e B dois evetos associados a um experimeto E. Supoha que P(A) > 0, etão deotamos por P(B A) a probabilidade do eveto B ocorrer codicioada à ocorrêcia do eveto A. Esta probabilidade codicioal é defiida como P(B A) = P(A B). P(A) 38 / 140

53 Cuidado Vale a pea relembrar que a probabilidade codicioal P(B A) estamos supodo que P(A) > 0. Importate Sempre que calculamos a probabilidade codicioal P(B A), o que estamos fazedo a prática é reduzir o espaço amostral origial Ω para um espaço amostral de evetos favoráveis à ocorrêcia do eveto A. Esse espaço amostral é chamado de espaço amostral reduzido. Exercício Dois dados equilibrados (ode todos os resultados são equiprováveis) são laçados. Os resultados são registrados como o par ordeado (x 1,x 2 ), ode x 1 represeta o resultado obtido o laçameto do primeiro dado, e x 2 represeta o resultado do laçameto do segudo dado. Cosideremos os evetos: A = {(x 1,x 2 );x 1 + x 2 = 10} e B = {(x 1,x 2 );x 1 > x 2 }. Calcule P(A B) e P(B A). Solução Escrevedo os evetos A,B e A B explicitamete, temos que e A = {(5,5),(4,6),(6,4)}, B = {(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2), (4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)} A B = {(6,4)}. O úmero de casos totais é 36, pois temos 6 casos possíveis para o primeiro laçameto e 6 casos possíveis para o segudo laçameto. Assim, como os resultados são todos equiprováveis, temos que P(A) = 36 3 = ,P(B) = 36 = e P(A B) = 36. Assim, segue que P(A B) = P(A B) P(B) = 1/36 5/12 = 15 1 P(A B) e P(B A) = P(A) = 1/36 1/12 = Teorema da Multiplicação A mais importate cosequêcia da defiição da probabilidade codicioal é obtida ao escrevermos: P(A B) = P(A B)P(B) ou equivaletemete, P(A B) = P(B A)P(A). Estas igualdades são chamadas de Teorema da multiplicação ou Teorema do produto. Existe uma geeralização para mais de dois evetos e ela é a seguite: Dados evetos A 1,A 2,...,A, temos que P(A 1 A 2 A ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A A 1 A 1 ). 39 / 140

54 Exercício Uma caixa cotém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas. Retira-se ao acaso 3 lâmpadas sem reposição. Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem boas. Solução Sejam os evetos A i = {A i-ésima lâmpada é boa}, para i = 1,2,3. Queremos calcular a probabilidade do eveto A 1 A 2 A 3. Sabemos, pelo teorema da multiplicação, que P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ). Vamos etão calcular cada uma dessas probabilidades separadamete. Iicialmete, temos 4 resultados favoráveis ao eveto A 1, etre 6 resultados possíveis, logo P(A 1 ) = 4 6 = 2 3. Agora, vamos cosiderar o espaço amostral reduzido para calcular P(A 2 A 1 ). Dado que A 1 ocorreu, e como estamos sem reposição, para a retirada da seguda lâmpada teremos 3 lâmpadas boas, e um total de 5 lâmpadas. Logo, P(A 2 A 1 ) = 3 5. Aalogamete, para calcular P(A 3 A 1 A 2 ), observe que se $A_1$ e $A_2$ ocorreram, etão para a retirada da terceira lâmpada, teremos 2 lâmpadas boas e um total de 4 lâmpadas. Desta forma, P(A 3 A 1 A 2 ) = 2 4 = 1 2. Fialmete, jutado estas probabilidades obtemos que P(A 1 A 2 A 3 ) = = Teorema da Probabilidade Total Seja Ω o espaço amostral de um experimeto E, e seja B 1,B 2,...,B k uma partição de Ω. Assim, dado um eveto A qualquer, temos que A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B k ). Observe que como os evetos A B 1,A B 2,...,A B k são dois-a-dois mutuamete excludetes, podemos aplicar a aditividade cotável da probabilidade, que é válida para evetos mutuamete excludetes, e escrever P(A) = P(A B 1 ) + + P(A B k ). Essa forma acima é chamada a primeira forma do Teorema da probabilidade total. Vamos agora para a seguda forma. Escrevedo cada termo P(A B i ) = P(A B i )P(B i ) e, daí, obtemos a seguda forma do teorema da probabilidade total: P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + + P(A B k )P(B k ). Agora já temos teoria suficiete para resolver o problema dos moitores apresetado o iício da seção: Exercício Cosideremos o exemplo do lote com 20 moitores defeituosos e 80 moitores em perfeito estado, o qual extraímos duas peças sem reposição, e queremos calcular a probabilidade do eveto B = {O segudo moitor é defeituoso}. 40 / 140

55 Solução Relembre a defiição do eveto A: A ={O primeiro moitor é defeituoso}. Pelo teorema da probabilidade total, segue que P(B) = P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ). Já sabemos que P(A) = 1 5. Isto forece também, pela propriedade do complemetar P(Ac ) = 1 P(A) = 4 5. Vamos calcular agora P(B A) e P(B A c ) separadamete. Dado que o eveto A ocorreu, e sabedo que estamos sem reposição, para o segudo moitor, teremos 99 moitores dispoíveis e etre eles, apeas 19 são defeituosos. Assim, P(B A) = Aalogamete, temos que se A c ocorreu, etão o primeiro moitor escolhido estava em perfeito estado. Assim, este ceário, para a escolha do segudo moitor, teremos 20 moitores defeituosos dispoíveis etre o total de 99 moitores. Assim P(B A c ) = Jutado todas as iformações, temos que P(B) = = = 1 5. Etão, curiosamete, apesar das cotas serem completamete diferetes, e de estarmos sem reposição, este caso, as probabilidades também são iguais. Note que isso é uma coicidêcia e ão ocorre em geral. Cuidado Note que embora o exemplo acima as probabilidades com reposição e sem reposição coicidiram, isto ão ocorre sempre! Teorema de Bayes Assim como o teorema da probabilidade total, seja Ω um espaço amostral associado a um experimeto E, e seja B 1,B 2,...,B k uma partição de Ω. Temos etão, pela defiição da probabilidade codicioal que P(B i A) = P(A B i),i = 1,2,...,k. P(A) Usado o teorema da multiplicação, temos que P(A B i ) = P(A B i )P(B i ). Além disso, pelo teorema da probabilidade total, temos que P(A) = k j=1 P(A B j)p(b j ). Portato, jutado essas fórmulas com a defiição da probabilidade codicioal, obtemos: P(B i A) = P(A B i)p(b i ),i = 1,...,k. j=1 P(A B j )P(B j ) Esta fórmula é cohecida como Teorema de Bayes. Exercício Numa turma de ciêcias da computação da UFPB, 1% dos homes e 4% das mulheres possuem meos de 1,60m de altura. Além disso, 60% dos estudates são homes. Se um estudate é selecioado ao acaso e é verificado que tem meos de 1,60m de altura. Qual é a probabilidade desse estudate ser homem? 41 / 140

56 Solução Defia os evetos A = {Estudates com meos de 1,60m}, M = {Estudates do sexo femiio} e H = {Estudates do sexo masculio}. Pelo euciado, sabemos que P(A H) = 0,01, P(A M) = 0,04, P(H) = 0,6 e P(M) = 1 P(H) = 0,4. Além disso, pelo teorema de Bayes, segue que P(H A) = P(A H)P(H) P(A H)P(H) + P(A M)P(M) = 0,01 0,6 0,01 0,6 + 0,04 0,4 = Evetos Idepedetes Cosidere dois evetos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral Ω. Dois evetos A e B são idepedetes quado a probabilidade de ocorrer um dos evetos ão é modificada pela ocorrêcia do outro. Ou seja, dizemos que A e B são idepedetes quado P(A B) = P(A) ou P(B A) = P(B). Assim, se A e B são evetos idepedetes, etão P(A B) = P(A)P(B). Nota Observe que se vale a recíproca dessa última afirmação, ou seja, se vale a idetidade acima, etão os evetos são idepedetes. Exercício Supoha que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Sejam os evetos: A = {o primeiro dado mostra um úmero par} e B = {o segudo dado mostra o úmero 5 ou 6}. Calcule P(A),P(B),P(A B),P(A B) e P(B A). Solução Escrevedo explicitamete, temos que Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)}, ode Ω possui 36 elemetos, ode A possui 18 elemetos, A = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)}, ode B possui 12 elemetos, e A B = {(2,5),(2,6),(4,5),(4,6),(6,5),(6,6)}, ode A B possui 6 elemetos. Portato, temos que P(A) = = ,P(B) = 36 = 1 3 e P(A B) = 36 6 = 1 6. Observemos que P(A B) = 1 6 = = P(A)P(B). Logo, pelo que vimos acima, os evetos são idepedetes e desta forma, P(A B) = P(A) = 1 2, e P(B A) = P(B) = 1 3. Podemos também verificar diretamete: P(A B) = P(A B) P(B) = 1/6 1/3 = 1 P(A B) 2 e P(B A) = P(A) = 1/6 1/2 = / 140

57 Podemos geeralizar este resultado para evetos. Isto forece a seguite defiição: Defiição: evetos idepedetes Sejam A 1,A 2,...,A evetos em um mesmo espaço amostral Ω. Dizemos que A 1,...,A são evetos idepedetes se, e somete se, para k = 2,3,...,, e todas as escolhas possíveis de ídices i 1,...,i k, ode cada i j é um úmero etre 1 e, e eles são diferetes, vale a igualdade P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ). Nota Neste caso, temos 2 1 relações a serem verificadas. Exercício Supoha que um par de moedas hoestas sejam laçadas. Cosidere os evetos: A = {cara a primeira moeda}, B = {cara a seguda moeda} e C = {cara em exatamete uma moeda}. Mostre que os evetos A,B e C são dois-a-dois idepedetes, mas ão são idepedetes. Solução Observe que Ω = {(cara,cara),(cara,coroa),(coroa,cara),(coroa,coroa)}. Note que Ω possui 4 elemetos. Temos que A = {(cara,cara),(cara,coroa)}, B = {(cara,cara), (coroa,cara)}, C = {(cara,coroa),(coroa,cara)}. Além disso, segue que A B = {(cara,cara)}, A C = {(cara,coroa)}, B C = {(coroa,cara)}. Portato, temos que P(A) = 4 2 = 2 1,P(B) = 2 4 = 1 2,P(C) = 2 4 = 1 2. Por outro lado, temos que latexmath:[p(a B) = 4 1 = = P(A)P(B), P(A C) = 1 4 = = P(A)P(C) e P(B C) = 12 = P(B)P(C). 1 4 = 1 2 Isso mostra que os evetos A, B e C são dois-a-dois idepedetes. Etretato, temos que A B C = /0, e desta forma, P(A B C) = = P(A)P(B)P(C). Logo, os evetos A,B e C ão são idepedetes. 3.7 Atividades 1. Sejam A, B e C três evetos em um espaço de probabilidade. Expresse os seguites evetos em termos de A,B e C: a) Apeas A ocorre; b) A e B ocorrem, mas C ão ocorre; c) Os três evetos ocorrem; d) Pelo meos um dos três ocorrem; e) Nehum dos três ocorrem; f) Exatamete um dos três ocorre; 43 / 140

58 2. Extraem-se 4 cartas de um baralho com 52 cartas. Qual é a probabilidade de que 2 sejam vermelhas e 2 sejam pretas? 3. Qual a probabilidade de que os aiversários de 12 pessoas sejam em meses diferetes? 4. Quatro úmeros são sorteados ao acaso, sem reposição, do cojuto {0,1,2,...,9}. Calcule a probabilidade de que: a) Os quatro úmeros sorteados podem ser ordeados de forma cosecutiva, por exemplo, {1,2,3,4}. b) Todos sejam maiores do que 5. c) O úmero 0 seja escolhido. d) Pelo meos um seja maior do que 7. e) Todos sejam ímpares. 5. Sejam A e B dois evetos em um espaço de probabilidade tais que P(A) = 1/2, P(B) = 1/4 e P(A B) = 1/5. Calcule as probabilidades dos seguites evetos: a) A ão ocorre; b) B ão ocorre; c) Pelo meos um etre A e B ocorrem; d) A ão ocorre e B sim; e) B ão ocorre e A sim; f) Ocorre exatamete um de A e B; g) Não ocorre ehum de A e B; h) Pelo meos um de A e B ão ocorre. 6. Escolhe-se ao acaso um úmero etre 1 e 50. Sabedo que o úmero é primo, qual é a probabilidade de que seja ímpar? 7. Em um programa de auditório o participate laça um dado hoesto 6 vezes. Ele gaha um prêmio de participação se obtiver o mesmo úmero pelo meos duas vezes, e gaha um prêmio milioário se a face 6 aparecer pelo meos quatro vezes. Qual a probabilidade de que o participate: a) Gahe o prêmio de participação? b) Gahe o prêmio milioário? c) Teha gaho o prêmio milioário dado que gahou o prêmio de participação? 8. Em um curso preparatório para o vestibular, 1/3 dos estudates são do sexo masculio e 2/3 são do sexo femiio. A proporção dos rapazes que estudam matemática é 20% e apeas 10% das moças estudam matemática. Obteha as probabilidades de que: a) Um estudate escolhido ao acaso estude matemática. b) Um estudate de matemática escolhido ao acaso seja do sexo femiio. 9. Laça-se um dado duas vezes. Cosidere os evetos: A = {Foi obtido 2 ou 5 o primeiro laçameto} e B = {A soma das faces obtidas os dois primeiros laçametos é pelo meos 7}. 44 / 140

59 A e B são idepedetes? 10. Dois estudates, Pedro e Paulo, estão matriculados a turma de Probabilidade e Estatística. Pedro comparece a 80% das aulas e Paulo comparece a 60%. Suas preseças as aulas são idepedetes. Calcule a probabilidade de que, em determiado dia: a) pelo meos um dos estudates compareça a aula. b) apeas um deles esteja presete. Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 45 / 140

60 Capítulo 4 Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Saber a defiição de variável aleatória Saber idetificar variáveis aleatórias discretas Eteder o que é e como calcular a fução de probabilidade de uma variável aleatória discreta Saber idetificar variáveis aleatórias cotíuas Eteder o que é e como calcular a fução de desidade de uma variável aleatória cotíua Saber a defiição e como calcular a fução de distribuição acumulada Saber a relação etre a fução de distribuição acumulada e fução de probabilidade (o caso de variáveis aleatórias discretas) Saber a relação etre a fução de distribuição acumulada e fução de desidade (o caso de variáveis aleatórias cotíuas) Saber a defiição e exemplos de variáveis aleatórias mistas Eteder o que são e como trabalhar com fuções de variáveis aleatórias Imagiemos que existe a defiição de que a temperatura de João Pessoa é cosiderada quete se é maior do que 27 graus Celsius, é cosiderada cofortável se está etre 20 e 27 graus Celsius, e é cosiderada fria se é meor do que 20 graus Celsius. Supoha que osso espaço amostral para o experimeto medir a temperatura de João Pessoa pela mahã. Supoha que osso espaço amostral, que cotém todos os resultados possíveis para a temperatura, é Ω = R. Se queremos determiar se a temperatura é fria, cofortável ou quete, a melhor ferrameta para isso é defiir uma fução X : Ω {fria,cofortável,quete}. Ou seja, uma fução que associa a cada valor de temperatura, a quatidade fria, cofortável ou quete. Por exemplo, X(10) = frio; X(34) = quete, e X(22) = cofortável. Neste exemplo, foram medidas temperaturas, 10, 34 e 22, respectivamete. Essa fução X que utilizamos é o que chamamos de uma variável aleatória. Ou seja, é um rótulo que damos para os valores possíveis o espaço amostral. Na prática, o mais comum é utilizar variáveis aleatórias, ode associamos cada valor do espaço amostral a um úmero real, ao ivés de um cojuto arbitŕario. Isso se deve ao fato, de que existem muitas 46 / 140

61 distribuições de probabilidade cohecidas tomado como valores úmeros reais. Portato, ao cosiderar uma variável aleatória que toma valores reais, estamos pegado um problema de probabilidade geérico, e trasformado um problema de probabilidade de úmeros reais, e assim podemos utilizar toda a teoria de distribuições discretas e cotíuas para resolver o problema. Desta forma, mais precisamete, temos a Defiição: Variável Aleatória Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma fução X que associa a cada elemeto ω Ω um úmero real X(ω) R. Exemplo 4.1 Exemplo de variável aleatória Supoha que sorteamos 3 pessoas em João Pessoa e observamos se é homem ou mulher. Supoha que queremos saber o úmero de mulheres sorteadas. Para isso, defia a variável aleatória X : Ω R, ode X pode assumir os valores, 0,1,2 e 3. Se deotamos homem por H e mulher por M, temos que Ω = {MMM,MMH,MHM,HMM,MHH,HMH,HHM,HHH}, e portato X(MMM) = 3,X(MMH) = X(MHM) = X(HMM) = 2,X(MHH) = X(HMH) = X(HHM) = 1,X(HHH) = 0. Defiição: Imagem Iversa Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma variável aleatória. Dado qualquer subcojuto B R, defiimos a imagem iversa de B pela variável aleatória X como o cojuto X 1 (B) = {ω Ω;X(ω) B}. Ou seja, X 1 (B) cosiste dos elemetos de Ω que são levados o cojuto B pela variável aleatória X. A partir da imagem iversa de X 1 (B) podemos costruir uma ova medida de probabilidade iduzida pela variável aleatória X. Defiição: Probabilidade iduzida pela variável aleatória X Defiimos a probabilidade P(X B) como sedo P(X 1 (B)), ou seja, como a probabilidade do eveto X 1 (B). Da mesma forma, defiimos P(X = a) como sedo P(X 1 ({a})), ou seja, a probabilidade da variável aleatória assumir o valor a. Exercício Escreva o que sigifica P(X b) para algum úmero real b. Solução Seguido a mesma ideia da defiição, temos que P(X b) deve ser defiido como a probabilidade de X ser meor ou igual a b, assim, é a probabilidade de X pertecer ao itervalo da reta (,b]. Portato, P(X b) = P(X 1 ((,b])). Exercício Supoha que a cidade de João Pessoa, temos a mesma quatidade de homes e de mulheres, e que cada sorteio de pessoas é feito com reposição e idepedetemete do(s) sorteio(s) aterior(es). Seja X a variável aleatória que idica o úmero de mulheres sorteadas. Calcule: P(X = 0),P(X = 1),P(X = 2) e P(X 2). Solução Temos que P(X = 0) = P(HHH) = 1 8 ; P(X = 1) = P({HHM,HMH,MHH}) = P(HHM) + P(HMH) + P(MHH) = 8 3 ; P(X = 2) = P(HMM,MHM,MMH) = P(HMM) + P(MHM) + P(MMH) = 3 8. Fialmete, P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = = / 140

62 Poderíamos também ter resolvido utilizado a técica de tomar complemetares. Como X só pode assumir valores 0,1,2 e 3, temos que, P(X 2) = 1 P(X > 2) = 1 P(X = 3) = 1 P(MMM) = = Variáveis Aleatórias Discretas Como falamos ateriormete, osso objetivo em cosiderar variáveis aleatórias tomado como valores úmeros reais, se deve ao fato de haver uma teoria bem completa em toro dessas variáveis aleatórias. Detre as variáveis aleatórias reais, existem dois grades grupos: as variáveis aleatórias discretas e as variáveis aleatórias cotíuas. Nosso objetivo esta seção cosiste em defiir, e apresetar vários exemplos de variáveis aleatórias discretas. Defiição: Variável aleatória discreta Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma variável aleatória. Se existe uma sequêcia úmeros a 1,a 2,a 3,..., tais que X só pode assumir um dos valores dessa sequêcia. Etão dizemos que X é uma variável aleatória discreta. Nota Note que apesar da sequêcia a 1,a 2,a 3,... ser uma sequêcia ifiita, o cojuto de valores possíveis para a variável aleatória X pode ser fiito ou ifiito eumerável. Por ifiito eumerável, ós queremos dizer um cojuto ifiito que pode ser idexado pelo cojuto dos úmeros aturais, ou seja, pelo qual podemos escrever uma sequêcia umérica cobrido todos os úmeros. No caso de variáveis aleatórias discretas, sabemos que vale a seguite idetidade: P(X {a 1,a 2,a 3,...}) = 1, pois X ecessariamete só assume valores esse cojuto {a 1,a 2,a 3,...}. Portato, utilizado a aditividade cotável da medida de probabilidade, obtemos 1 = P(X {a 1,a 2,a 3,...}) = P(X = a i ), e portato temos que P(X = a i) = 1, e além disso, sabemos que para cada i, vale P(X = a i ) 0. Estes fatos motivam a seguite defiição: Defiição: Fução de probabilidade Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω R uma variável aleatória discreta, e seja a 1,a 2,a 3,..., o cojuto de valores possíveis de X. Defiimos a fução de probabilidade da variável aleatória X como uma fução p(a i ), que associa a cada a i a probabilidade da variável aleatória X assumir o valor a i, isto é, defiimos p(a i ) = P(X = a i ). Nota Pelo que já vimos, uma fução de probabilidade satisfaz as seguites propriedades:. para todo i, p(x i ) 0;. p(x i) = / 140

63 Exercício Supoha que uma ura cotém 6 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. Quatro bolas são tiradas aleatoriamete da ura, com reposição, e é observada a cor da bola, ates da bola ser devolvida à ura. Seja X a variável aleatória que idica o úmero de bolas vermelhas que foram retiradas da ura. Obteha a fução de probabilidade de X. Solução Deote por V a bola vermelha e por A, a bola azul. Pelas iformações do problema, temos que a probabilidade de se retirar uma bola vermelha é 4 10 e a de se retirar uma bola azul é Assim, P(V ) = 4 10 = 0,4 e P(A) = 6 10 = 0,6. O espaço amostral do problema é dado por Ω = {VVVV,VVVA,VVAV,VAVV, AVVV,VVAA,VAVA, VAAV, AVAV, AAVV, AVVA,VAAA, AVAA, AAVA, AAAV, AAAA}. É fácil ver que o cojuto de valores possíveis para a variável aleatória X é {0,1,2,3,4}. Assim: p(0) = P(X = 0) = P(AAAA) = (0,6) 4 ; p(1) = P(X = 1) = P(AAAV, AAVA, AVAA,VAAA) = P(AAAV ) + P(AAVA) + P(AVAA) + P(VAAA) = (0,6) 3 0,4 + (0,6) 3 0,4 + (0,6) 3 0,4 + (0,6) 3 0,4 = 4(0,6) 3 0,4; p(2) = P(X = 2) = P(VVAA,VAVA,VAAV, AVAV, AAVV, AVVA) = P(VVAA) + P(VAVA) + P(VAAV ) + P(AVAV ) + P(AAVV ) + P(AVVA) = (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 + (0,6) 2 (0,4) 2 = 6(0,6) 2 (0,4) 2 ; p(3) = P(X = 3) = P(VVVA,VVAV,VAVV, AVVV ) = P(VVVA) + P(VVAV ) + P(VAVV ) + P(AVVV ) = (0,4) 3 0,6 + (0,4) 3 0,6 + (0,4) 3 0,6 + (0,4) 3 0,6 = 4(0,4) 3 0,6; fialmete, p(4) = P(X = 4) = P(VVVV ) = (0,4) Variáveis Aleatórias Cotíuas As variáveis cotíuas são aquelas a qual a variável aleatória pode assumir uma quatidade ãoeumerável de valores. Isto faz com que a probabilidade de assumir um valor específico seja 0. Ou seja, se X é uma variável aleatória cotíua, para todo úmero real a, temos que P(X = a) = 0. A ituição para este fato iusitado, é que temos tatos valores possíveis para X, que faz com que a probabilidade de assumir um valor em particular seja 0. Neste caso, a probabilidade de X assumir um valor é trocada pela probabilidade de X pertecer a um itervalo da reta. Além disso, o cálculo da probabilidade, a soma é trocada por uma itegral, coforme veremos a próxima defiição. Defiição: Variável Aleatória Cotíua Dizemos que X é uma variável aleatória cotíua se existe uma fução real f : R R, a qual chamamos de fução de desidade de X, que satisfaz as seguites codições: 49 / 140

64 Para todo x real, f (x) 0; f (x)dx = 1; Se f (x) satisfaz as duas primeiras codições, etão temos que para quaisquer a e b, < a < b <, vale P(a X b) = b a f (x)dx. Nota Note portato, que pela defiição, para checar se uma fução f (x) é uma fução de desidade é suficiete verificar duas coisas: 1. se para todo x real, temos f (x) 0; 2. se f (x)dx = 1. Importate Como mecioamos ateriormete, a defiição de variável aleatória cotíua implica que para todo a real, P(X = a) = 0. De fato, como X possui uma fução de desidade f, temos que P(X = a) = a a f (x)dx = 0. Uma cosequêcia deste fato é que P(a X b) = P(a < x < b) = P(a < x b) = P(a X < b). Exercício Supoha que X seja uma variável aleatória cotíua com a fução de desidade { 2x, 0 < x < 1; f (x) = 0, caso cotrário.. a. Mostre que f (x) é uma fução de desidade; b. Calcule P(X 1/2); c. Calcule P(X 1/2 1/3 X 2/3) (probabilidade codicioal). Solução a. Temos da defiição de f (x) que para todo x real, f (x) 0. Basta verificar agora que f (x)dx = 1. Note que f (x) = 0 fora do itervalo [0,1], e portato f (x)dx = Assim, f (x) é fução de desidade b. P(X 1/2) = 1 0 1/2 0 2xdx = x = 1. 2xdx = x 2 1/2 = / 140

65 c. P(X 1/2 1/3 X 2/3) = P(1/3 X 1/2) = = P(1/3 X 1/2) 1/2 1/3 2xdx 2/3 1/3 2xdx 1/2 x 2 1/3 2/3 x 2 = /3 = 5/36 3/9 4.3 Fução de Distribuição Acumulada Na teoria matemática da probabilidade é possível mostrar que, dada uma variável aleatória X, a probabilidade de qualquer eveto pode ser obtida a partir das probabilidades P(X a), ode a é úmero real. Ou seja, cohecedo P(X a) para todo a real, sigifica dizer que cohecemos P(X A) para qualquer eveto A. Este resultado é um importate resultado de Teoria da Medida, e mostra o quão rica é a fução F(a) = P(X a). Por cota disso, ela recebe um ome: Defiição: Fução de Distribuição Acumulada Seja Ω um espaço amostral, e seja X : Ω R uma variável aleatória discreta ou cotíua. Defia a fução F X : R R dada por F X (a) = P(X a), ode a é úmero real. F X é deomiada a fução de distribuição acumulada da variável aleatória X, ou simplesmete fução de distribuição. Se X for uma variável aleatória discreta, etão F X (a) = ode a soma é feita sobre os idíces j, tais que a j a. Se X for uma variável aleatória cotíua, etão F X (a) = p(a j ), j;a j a a f (x)dx. Exercício Seja X uma variável aleatória discreta tomado valores 0,1 e 2. Supoha que sua fução de probabilidade é dada por p(0) = 1/2, p(1) = 1/3 e p(2) = 1/6. Obteha F X. Solução Se a < 0, etão F X (a) = P(X < a) P(X < 0) = 0. Como F X (a) = P(X a) 0, segue que para todo a < 0, F X (a) = 0. Supoha agora, 0 a < 1, etão F X (a) = P(X a) = P(X = 0) = p(0) = 1/2. Seja agora, 1 a < 2. Etão, F X (a) = P(X a) = P(X = 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1) = 1/2 + 1/3 = 5/6. Fialmete, se a 2, etão F X (a) = P(X a) = P(X 2) = / 140

66 Assim, 0, a < 0 1/2, 0 a < 1, F X (a) =. 5/6, 1 a < 2, 1, a 2. Exercício Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade { 2x, 0 < x < 1; f (x) = 0, caso cotrário.. Já sabemos que f é fução de desidade por um exercício aterior. Obteha sua fução de distribuição F X. Solução Temos que se a < 0, etão P(X a) P(X < 0) = 0. Assim, para a < 0, temos F X (a) = 0. Para 0 a 1, temos P(X a) = Assim, para 0 a 1, vale F X (a) = a 2. a Fialmete, se a > 1, etão P(X a) = P(X 1) = 1. Portato, para a > 1, segue F X (a) = 1. Desta forma, 0 2xdx = x 2 a 0 = a2. 0, 0 a < 0, F X (a) = a 2, 0 a 1,. 1, a 1. Nota Observe que se a b, etão sempre que X(ω) a, teremos X(ω) a b, o que implica, X(ω) b. Assim, vale a iclusão de cojutos {ω Ω;X(ω) a} {ω Ω;X(ω) b}. Logo, P(X a) P(X b). Portato, temos que se a b, etão F X (a) F X (b), ou seja, F X é uma fução ãodecrescete. Nota É possível mostrar que para qualquer variável aleatória X, vale lim a F X (a) = 0 e lim a F X (a) = 1. Importate Note aida que se X é uma variável aleatória discreta com cojuto de valores possíveis dado por {a 1,a 2,a 3,...}, ordeados de tal forma que a 1 < a 2 < a 3 < a 4 <..., etão temos que p(a i ) = P(X = a i ) = P(X a i ) P(X a i 1 ) = F X (a i ) F X (a i 1 ). Ou seja, podemos obter a fução de probabilidade de X a partir da fução de distribuição de X desta forma. 52 / 140

67 Nota Note que esta última observação os diz que se temos uma fução de distribuição de uma variável aleatória discreta, etão o cojuto de valores que a variável aleatória X pode assumir é exatamete o cojuto dos potos de descotiuidade da fução de distribuição F X. Assim, se a 1 é o meor poto de descotiuidade de X, etão P(X = a 1 ) = F X (a 1 ), e depois disso, se F X é descotíua o poto a i, etão teremos que P(X = a i ) = F X (a i ) F X (a i 1 ). Exercício Supoha que X é uma variável aleatória discreta com fução de distribuição F X dada por Obteha a fução de probabilidade p(a i ). 0, a < 0, 1/4, 0 a < 1, F X (a) = 1/2, 1 a < 2, 1, a 2. Solução Os potos de descotiuidade da fução de distribuição F X são 0, 1 e 2. Portato, pelo que vimos, temos que p(0) = F X (0) = 1/4, p(1) = F X (1) F X (0) = 1/2 1/4 = 1/4, e fialmete, p(2) = F X (2) F X (1) = 1 1/2 = 1/2. Temos um resultado aálogo para variáveis aleatórias cotíuas. Importate Seja agora X uma variável aleatória cotíua. Etão, vale que F X (x) = x f (t)dt. Ou seja, estamos dizedo que F X é uma primitiva para a fução de desidade f. Desta forma, podemos recuperar a fução de desidade, a partir da fução de distribuição, por simples derivação em todos os potos em que F X for derivável: f (a) = df X(a) da = F X(a). Exercício Supoha que X é uma variável aleatória cotíua com fução de distribuição F X dada por { 0, a < 0, F X (a) = 1 e a, a 0.. Obteha a fução de desidade f (x). 53 / 140

68 Solução Sabemos que a fução de desidade f (x) é dada pela derivada da fução de distribuição em todos os potos em que esta for derivável. Assim, se x < 0, temos que f (x) = F X (x) = 0. Se x > 0, etão f (x) = F X (x) = e x. Em x = 0, F X ão é derivável, etão podemos supor f (x) = 0, já que o valor de uma fução em um úico poto ão altera o valor da itegral. Portato, a fução de desidade f da variável aleatória X é dada por { 0, 0 x 0, f (x) = e x., x > Variáveis Aleatórias Mistas Podemos ter também um terceiro tipo de variável aleatória: a variável aleatória mista. Ela cosiste em uma variável aleatória cuja probabilidade é uma mistura etre as variáveis aleatórias cotíuas e discretas. Assim, se X é uma variável aleatória mista, etão existem úmeros reais a 1,a 2,a 3,..., tais que para algum i, P(X = a i ) > 0, e tais que P(X = a i ) = p < 1, ou seja, isso garate que ela tem esse comportameto da variável aleatória discreta, mas ão é uma variável aleatória discreta, pois a soma ão é igual a 1. Assim, seja F X a fução de distribuição da variável aleatória X. Defiimos a parte discreta da fução de distribuição de X como F d X (x) = i;a i x P(X = a i ). Defia p(a i ) = P(X = a i ), etão dizemos que a fução p é a fução de probabilidade da parte discreta da variável aleatória X. Nota Note que se X fosse uma variável aleatória discreta, teríamos F X = F d X. Agora, defia FX c(x) = F X(x) FX d (x), a parte cotíua da fução de distribuição da variável aleatória x X. Assim, se X é uma variável aleatória mista, existe uma fução f (t) 0, tal que FX c(x) = f (t)dt, e f (t)dt = 1 p. Dizemos que a fução f é a fução de desidade da parte cotíua de X. Nota Observe etão que se X é uma variável aleatória discreta, etão FX c (x) = 0, para todo x; e se X é uma variável aleatória cotíua, etão FX d(x) = 0, dode temos F X(x) = FX c(x). Portato, podemos cocluir que F X (x) = FX c(x) + Fd X (x), ou seja, vale: F X (x) = P(X x) = x 54 / 140 f (t)dt + P(X = a i ). i;a i x

69 Assim, supoha que é dada uma fução de distribuição F X de uma variável aleatória mista X, e que queremos ecotrar a fução de probabilidade da parte discreta de X, e a fução de desidade da parte cotíua de X. Para tato, começamos procurado por potos de descotiuidade de F X. Supoha que temos os potos a 1,a 2,..., etão, para ecotrar a fução de probabilidade da parte discreta de X, basta calcular para cada i, o úmero p(a i ) = P(X = a i ) = P(X a i ) P(X < a i ). Uma vez, ecotrada a fução de probabilidade da parte discreta de X, defiimos F c X (x) = F X(x) F d X (x), e obtemos a fução de desidade da parte cotíua de X por derivação: f (x) = Fc X (x), ou seja, derivamos a parte cotíua da fução de distribuição F X. Exercício Seja X uma variável aleatória mista com fução de distribuição 0, x 0, F X (x) = x, 0 < x < 1/2, 1,x 1/2. Obteha a fução de probabilidade da parte discreta de X e a fução de desidade da parte cotíua de X. Solução Observe que F X só possui apeas um poto de descotiuidade o poto x = 1/2. Assim, temos que a fução de probabilidade da parte discreta é dada por p(1/2) = P(X 1/2) P(X < 1/2) = F X (1/2) P(X < 1/2) = 1 1/2 = 1/2. Pois, como para x < 1/2, vale, P(X < x) = x, temos, P(X < 1/2) = 1/2. Portato, temos que se x < 1/2, etão FX d(x) = 0, e se x 1/2, etão Fd X (x) = 1/2. Daí, se x < 1/2, FX c(x) = F X(x) FX d(x) = x, e se x 1/2, temos Fc X (x) = F X(x) FX d (x) = 1 1/2 = 1/2. Desta forma, temos que 0, x 0, FX(x) c = x, 0 < x < 1/2,. 1/2,x 1/2. Assim, derivado, obtemos que a fução de desidade da parte cotíua de X é dada por { 0, x 0 ou x 1/2, f (x) =. 1, 0 < x < 1/ Fuções de Variáveis Aleatórias Defiição: Fução de uma Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória tomado valores reais. Seja Im(X) = X(Ω) = {X(ω); ω Ω} a imagem de X, ou seja, o cojuto dos valores que a variável aleatória X pode assumir. Seja g : Im(X) R uma fução real. Etão, a fução Y = g(x) é uma ova variável aleatória, e dizemos que Y é uma fução da variável aleatória X. 55 / 140

70 Relembre a defiição de imagem iversa: para um subcojuto dos reais A R a imagem iversa de A pela fução g é o cojuto g 1 (A) = {x Im(X);g(x) A}. Assim, temos que para todo eveto A R, vale P(Y A) = P(g(X) A) = P(X g 1 (A)). Portato, podemos calcular probabilidades com relação à variável aleatória Y a partir diretamete de probabilidades evolvedo apeas a variável aleatória X. Exemplo 4.2 Exemplo de fução de variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória discreta tomado valores o cojuto 1,2,3,... Supoha que P(X = ) = (1/2). Defia a fução g : {1,2,3,...} R dada por f (2k) = 1, k = 1,2,3,..., e f (2k 1) = 1, para k = 1,2,3,... Ou seja, g(x) é igual a 1 se x é par, e é igual a -1 se x é ímpar. Desta forma, defiido Y = g(x), temos que { 1, se X for par, Y = 1, se X for ímpar. Assim, temos que P(Y = 1) = P(g(X) = 1) = P(X g 1 ({1})). Note que g(x) = 1 se, e somete se, x é par, ou seja, g 1 ({1}) = {2,4,6,...}. Assim, P(Y = 1) = P(X {2,4,6,...}) = (1/2) 2 + (1/2) 4 + (1/2) 6 + = 1/4 + (1/4) 2 + (1/4) 3 + = 1/4 1 1/4 = 1/3. Por outro lado, P(Y = 1) = 1 P(Y = 1) = 1 1/3 = 2/3. Observe que outra forma equivalete de calcular P(Y = 1), seria observar que Y = 1 se, e somete se, X é par, e portato {Y = 1} = {X {2,4,6,...}}. E portato, P(Y = 1) = P(X {2,4,6,...}). Exemplo 4.3 Exemplo de fução de variável aleatória cotíua Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade dada por f (x) = 2x, se x (0,1), e 0 caso cotrário. Seja Y = 3X + 1. Vamos ecotrar a fução de desidade de Y, que deotaremos por f Y (y). Primeiramete, ote que como Im(X) = (0, 1), e assim Im(Y ) = (1, 4). Observe, agora, que P(Y y) = P(3X + 1 y). Sabemos que 3X + 1 y se, e somete se, X (y 1)/3. Portato, vale F Y (y) = P(3X + 1 y) = P(X (y 1)/3) = F X ((y 1)/3). Fialmete, se y 0, etão F Y (y) = P(Y y) = 0, e se y 4, temos F Y (y) = P(Y y) = 1. Portato, se y < 0, etão f Y (y) = F Y (y) = 0, e se y > 4, etão f Y (y) = F Y (y) = 0. Agora, se y (1,4), temos que F Y (y) = F X ((y 1)/3), e portato, pela regra da cadeia f Y (y) = F Y (y) = F X((y 2((y 1)/3) 1)/3) 1/3 = f ((y 1)/3) 1/3 = = 3 2(y 1). 9 Exercício Cosidere X variável aleatória cotíua com a desidade do exemplo aterior. Seja g(x) = e x. Obteha a fução de desidade de Y = g(x) = e X, f Y (y). Solução Como Im(X) = (0,1), temos que Im(Y ) = (1/e,1). Assim, se y < 1/e, etão F Y (y) = P(Y y) = 0, e se y > 1, etão F Y (y) = P(Y y) = 1. Isto implica que se y < 1/e, f Y (y) = F Y (y) = 0, e se y > 1, temos f Y (y) = F Y (y) = 0. Falta cosiderarmos y (1/e,1). Assim, temos que Y y se, e somete se, e X y, que por sua vez, vale se, e somete se, X l(y). Portato, F Y (y) = P(Y y) = P(X l(y)) = 1 F X ( l(y)). Ode temos que P(X l(y)) = 1 P(X < l(y)) = 1 P(X l(y)) = 1 F X ( l(y)), 56 / 140

71 pois P(X = l(y)) = 0, já que X é uma variável aleatória cotíua. Desta forma, obtemos, usado a regra da cadeia, que para y (1/e,1), f Y (y) = F Y (y) = (1 F X ( l(y)) = f X ( l(y)) 1 y = 2l(y). y Exercício Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade f. Seja Y = X 2. Ecotre a fução de desidade da variável aleatória Y, f Y. Solução Observe que X 2 0. Daí, se y < 0, segue que F Y (y) = P(Y y) = 0, e portato, para y < 0, vale f Y (y) = 0. Supoha agora que y 0, e ote que Y y se, e somete se, X 2 y. Esta última desigualdade vale se, e somete se, X 2 y 0. Resolvedo essa iequação, obtemos que X 2 y 0 se, e somete se, X y e X y. Assim, vale a igualdade etre os cojutos {Y y} = { y X y}. Portato, como X é variável aleatória cotíua, segue que, F Y (y) = P(Y y) = P( y X y) = P(X y) P(X < y) = F X ( y) F X ( y). Daí, pela regra da cadeia, vale que F Y (y) = f ( 1 y) 2 y f ( y) 1 2 y = 1 2 y ( f ( y) + f ( y)). Portato, f Y (y) = 1 2 y ( f ( y) + f ( y) ). 4.6 Atividades 1. Seja X uma variável aleatória discreta com fução de probabilidade dada por p(x) = cx, x = 1,...,6. Ecotre: a) o valor de c; b) a probabilidade de X ser um úmero ímpar. 2. Seja X uma variável aleatória discreta com fução de probabilidade dada por p(x) = c 4 x, x = 0,1,... Obteha: a) o valor de x. b) a probabilidade de X ser um úmero par. 57 / 140

72 3. Seja X uma variável aleatória discreta com fução de distribuição dada por 0, se x < 0, Calcule: a) a fução de probabilidade de X. b) P(X = 0 X é par). 1/2, se 0 x < 1, 3/5, se 1 x < 2, F(x) = 4/5, se 2 x < 3, 9/10, se 3 x < 4, 1, se x Uma ura cotém cico bolas umeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaeamete. Obteha a fução de probabilidade das seguites variáveis aleatórias: a) o maior úmero sorteado; b) a soma dos úmeros retirados. 5. Verifique que as seguites fuções são desidades: a) b) f (x) = 3(1 x) 2,0 x 1. c) f (x) = 4xe 2x, x 0. 1/8, se 0 x 2, f (x) = 3/4, se 4 x 5, 0, caso cotrário. 6. Seja X uma variável aleatória cotíua com desidade dada por Calcule: a) o valor de c; b) a probabilidade de X ser maior do que 2; c) a fução de distribuição de X. f (x) = c x 3, x Ecotre a desidade de Y = e 2X, ode X é uma variável aleatória cotíua com desidade dada por f (x) = e x, x > Ecotre a desidade de X, se X é uma variável aleatória cotíua com desidade dada por f (x) = 1 2π e x2 /2, x R. 9. Seja X uma variável aleatória com desidade dada por 1/2, se 1 < x < 0, f (x) = e x /2, se x 0, 0, caso cotrário. Obteha a desidade de Y = X / 140

73 Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 59 / 140

74 Capítulo 5 Esperaça de uma Variável Aleatória OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Eteder o que é a esperaça de variáveis aleatórias Cohecer as propriedades da esperaça Saber calcular a esperaça Eteder o que é a variâcia de variáveis aleatórias Cohecer as propriedades da variâcia Saber calcular a variâcia Vamos começar itroduzido uma otação que será útil ao estudar o coceito de esperaça matemática: variáveis aleatórias idepedetes. 5.1 Variáveis aleatórias idepedetes Relembre a defiição de evetos idepedetes: sejam Ω um espaço amostral, A e B evetos de Ω. Etão, dizemos que os evetos A e B são idepedetes se P(A B) = P(A)P(B). Esta defiição motiva a defiição de idepedêcia etre variáveis aleatórias: Defiição: Variáveis Aleatórias Idepedetes Sejam X : Ω R e Y : Ω R duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são idepedetes se para todos os evetos A,B R, vale a fórmula: P(X A e Y B) = P(X A)P(Y B). Nota Sejam X e Y são duas variáveis aleatórias discretas. Supoha que X toma valores o cojuto {a 1,a 2,a 3,...} e que Y toma valores o cojuto {b 1,b 2,b 3,...}. Etão, é possível mostrar que X e Y são idepedetes se, e somete se, para cada a i e b j, temos P(X = a i,y = b j ) = P(X = a i )P(Y = b j ). 60 / 140

75 5.2 Esperaça matemática Vamos começar motivado a defiição de esperaça. A esperaça pode ser pesada como uma geeralização da média. De fato, supoha que temos 10 pesos. O primeiro possui 1 quilo, o segudo 2 quilos,..., o décimo 10 quilos. Supoha que uma pessoa escolhe um peso aleatoriamete, ode todos os pesos possuem a mesma probabilidade de serem escolhidos. Qual o peso médio? Temos 1 quilo com probabilidade 1/10, 2 quilos com probabilidade 1/10,..., 10 quilos com probabilidade 1/10. Assim, o peso médio é m = 1/10 + 2/ /10 = 5,5. Mais geralmete temos a Defiição: Esperaça de Variáveis Aleatórias Discretas Seja X uma variável aleatória discreta tomado valores o cojuto {a 1,a 2,a 3,...}. Seja p(a i ) = P(X = a i ) sua fução de probabilidade. Etão, defiimos a esperaça, ou valor esperado, de X como: E(X) = a i p(a i ), se a série a i p(a i ) covergir, ou seja, se a série a ip(a i ) covergir absolutamete. Caso a série em questão ão covirja absolutamete, dizemos que a esperaça de X ão existe. É claro que se X toma apeas uma quatidade fiita de valores, digamos a 1,...,a, etão a esperaça de X é dada por E(X) = a i p(a i ). Nota Observe que como a soma p(a 1 )+ + p(a ) = 1, podemos pesar esta esperaça como uma média poderada, etre os valores a 1,...,a, com os pesos p(a 1 ),..., p(a ). Note aida que se todos os valores forem igualmete possíveis, ou seja, se para cada i, p(a i ) = 1/, etão a esperaça será dada simplesmete pela média aritmética etre os valores possíveis: E(X) = 1 a i. Exemplo 5.1 Exemplo de esperaça de variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória que toma valor 1 com probabilidade p, e valor 0 com probabilidade 1 p. Temos etão que E(X) = 0p(0) + 1p(1) = p(1) = P(X = 1) = p. Vamos agora defiir esperaça para variáveis aleatórias cotíuas. Defiição: Esperaça de Variáveis Aleatórias Cotíuas Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade f. Defiimos a esperaça de X como E(X) = f (x)dx, 61 / 140

76 se x f (x)dx <. No caso da itegral imprópria acima divergir, dizemos que a esperaça de X ão existe. Exemplo 5.2 Exemplo de esperaça de variável aleatória cotíua Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade dada por { 1 f (x) = b a, a < x < b, 0, caso cotrário. Portato, b x E(X) = a b a dx = 1 b a x2 2 = b2 a 2 2(b a) = (b+a)(b a) 2(b a) = a+b 2. b a 5.3 Esperaça de uma Fução de Variável Aleatória Defiição: Esperaça de fução de variável aleatória Seja X uma variável aleatória e seja Y = H(X), para uma fução real H. Temos etão dois casos: Se X for uma variável aleatória discreta tomado valores em {a 1,a 2,...}, e se p é a fução de probabilidade de X, temos que E(Y ) = E(H(X)) = H(a i )P(X = a i ) = H(a i )p(a i ). Se X for uma variável aleatória cotíua com fução de desidade f, etão temos que E(Y ) = E(H(X)) = H(x) f (x)dx. Exemplo 5.3 Exemplo de esperaça de fução de uma variável aleatória discreta Vamos relembrar um exemplo estudado quado itroduzimos fuções de variáveis aleatórias: seja X uma variável aleatória discreta tomado valores o cojuto 1,2,3,... Supoha que P(X = ) = (1/2). Defia a fução g : {1,2,3,...} R dada por f (2k) = 1, k = 1,2,3,..., e f (2k 1) = 1, para k = 1,2,3,... Ou seja, g(x) é igual a 1 se x é par, e é igual a -1 se x é ímpar. Desta forma, 62 / 140

77 defiido Y = g(x), temos que E(Y ) = E(g(X)) = = = = = = = = g(2i)p(x = 2i) + P(X = 2i) + (1/2) 2i (1/2) 2i (1/2) 2i 2 = 1/4 1 1/4 = 1/3. (1/2) 2i (1/4) i g(i)p(x = i) g(2i 1)P(X = 2i 1) ( 1)P(X = 2i 1) (1/2) 2i 1 2 (1/2) 2i (1/2) 2i Portato, E(Y ) = 1/3. Note que, quado apresetamos o exemplo o Capítulo 4, vimos que Y só assume os valores 1 e 1. Além disso, calculamos sua fução de probabilidade: P(Y = 1) = 2/3 e P(Y = 1) = 1/3. Desta forma, usado diretamete a defiição de esperaça de variáveis aleatórias discretas, temos: E(Y ) = ( 1) 2/ /3 = 2/3 + 1/3 = 1/3. Logo, vemos que ão há cotradição etre as defiições, e as esperaças sempre vão coicidir. Importate Como vimos o exemplo aterior, a hora de calcular a esperaça de fuções de variáveis aleatórias discretas, temos duas opções: Calcular diretamete, usado a fução de probabilidade de X, através da fórmula E(Y ) = E(H(X)) = H(a i )P(X = a i ); Obter a fução de probabilidade de Y e depois calcular a esperaça de Y diretamete: E(Y ) = ode Y toma valores em {b 1,b 2,...}. b j P(Y = b j ), j=1 63 / 140

78 Exemplo 5.4 Exemplo de esperaça de fução de uma variável aleatória cotíua Supoha que X é uma variável aleatória cotíua com fução de desidade { e x f (x) = 2, x 0, e x 2, x > 0. Tome Y = X, etão E(Y ) é dada por E(Y ) = E( X ) = = 0 x ex 2 dx + x f (x)dx 0 x e x 2 dx. Observe que itegrado por partes, obtemos que F(x) = xe x + e x é uma primitiva para xe x e que G(x) = xe x e x é uma primitiva para xe x. Daí, 0 x ex 2 dx = 1 2 ( xex + e x ) 0 = 1 2 e x e x 0 2 dx = 1 2 ( xe x e x ) = Fialmete, jutado todas as iformações, obtemos 0 x ex E(Y ) = 2 dx + x e x 0 2 dx = = 1. Assim como o caso de variáveis discretas, podemos calcular a esperaça de Y diretamete. Para isto, vamos obter a fução de desidade de Y. Observe que como X é variável aleatória cotíua, P(X = y) = 0 para todo y real. Assim, como Y 0, segue que para todo y 0: F Y (y) = P(Y y) = P( X y) = P( y X y) = P( y < X y) = F X (y) F X ( y). Desta forma, por derivação, obtemos que a fução de desidade de Y, f Y (y) é dada por e f (y) = 0, se y < 0. Portato, E(Y ) = f Y (y) = f (y) + f ( y) = e y 2 + e y 2 = e y, y f Y (y)dy = 0 ye y dy = (ye y e y ) = 1, 0 dode usamos que H(y) = ye y e y é primitiva de ye y. Assim como o caso de fuções de variáveis aleatórias discretas, as duas formas de calcular a esperaça forecem o mesmo resultado. Importate Como vimos o exemplo aterior, e o caso de fuções de variáveis aleatórias discretas, a hora de calcular a esperaça de fuções de variáveis aleatórias cotíuas, temos duas opções: Calcular diretamete, usado a fução de desidade de X, através da fórmula E(Y ) = E(H(X)) = H(x) f (x)dx; Obter a fução de desidade de Y, f Y (y), e depois calcular a esperaça de Y diretamete: E(Y ) = y f Y (y)dy. 64 / 140

79 5.4 Propriedades da Esperaça Nessa seção vamos apresetar várias propriedades da esperaça matemática e demostrar algumas delas. Propriedades da esperaça (Esperaça da costate): Seja c R um úmero real, e seja X a variável aleatória costate igual a c, ou seja, P(X = c) = 1. Etão E(X) = c.. (Sial da esperaça): Se X 0, etão E(X) 0, e se X 0, etão E(X) 0. (Multiplicação por costate): Seja c R um úmero real, e seja X uma variável aleatória. Etão E(cX) = ce(x). (Soma de variáveis aleatórias): Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer, etão E(X +Y ) = E(X) + E(Y ). (Combiação liear de variáveis aleatórias): Sejam X 1,X 2,...,X variáveis aleatórias, e c 1,c 2,...,c úmeros reais. Etão ( ) E i X i = c c i E(X i ). (Produto de variáveis aleatórias idepedetes): Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes, etão Demostração E(XY ) = E(X)E(Y ). (Esperaça da costate): Note que X é uma variável aleatória discreta que toma apeas o valor c, e portato E(X) = cp(x = c) = c. (Sial da esperaça): Vamos demostrar o caso X 0 para variáveis aleatórias discretas e para variáveis aleatórias cotíuas. Os casos de variáveis aleatórias mistas e X 0 ficam como exercícios para o leitor. Seja X variável aleatória discreta, X 0, tomado valores o cojuto {a 1,a 2,...}. Como X 0, segue que para todo i, temos a i 0. Além disso, P(X = a i ) 0. Logo, E(X) = a i P(X = a i ) 0. Seja, agora, X variável aleatória cotíua, X 0, com fução de desidade f (x). Etão, como X 0, vale f (x) = 0 se x < 0. Daí E(X) = x f (x)dx = 0 x f (x)dx 0. (Multiplicação por cotate): Vamos demostrar para variáveis aleatórias discretas e para variáveis aleatórias cotíuas. O caso de variáveis aleatórias mistas fica como exercício para o leitor. 65 / 140

80 Seja, etão, X variável aleatória discreta, e supoha que X toma valores o cojuto {a 1,a 2,...}. Etão, cx é fução da variável aleatória discreta, daí E(cX) = ca i P(X = a i ) = c a i P(X = a i ) = ce(x). Supoha agora que X é variável aleatória cotíua com fução de desidade f (x). Etão, cx é fução de uma variável aleatória cotíua, e segue que E(X) = cx f (x)dx = c f (x)dx = ce(x). (Soma de variáveis aleatórias): A demostração foge do escopo do livro. (Combiação liear de variáveis aleatórias): Usado a propriedade da soma de variáveis aleatórias vezes, temos que ( ) E i X i = c E(c i X i ). Usado a propriedade da multiplicação por costate, obtemos o resultado desejado: ( ) E i X i = c E(c i X i ) = c i E(X i ). (Produto de variáveis aleatórias idepedetes): Foge do escopo do livro. 5.5 Variâcia de uma variável aleatória Vamos agora utilizar a esperaça para defiir uma oção de variabilidade da variável aleatória: a variâcia. A variâcia de uma variável aleatória mede o quato a variável aleatória flutua em toro da esperaça. Ou seja, mede quato os valores da variável aleatória X podem se afastar da esperaça. Vale observar também que se a variâcia de X for igual a zero, etão X ão varia ada, com relação à esperaça, e portato a variável aleatória X é costate igual à esperaça de X. Defiição: Variâcia de uma variável aleatória Seja X uma variável aleatória. Defiimos a variâcia de X como Var(X) = E [ (X E(X)) 2]. Nota Observe que como (X E(X)) 2 0, temos pela propriedade do sial da esperaça que E [ (X E(X)) 2] 0, e portato Var(X) 0. Uma oção muito útil em estatística é dada pela raiz quadrada da variâcia (pois a variâcia é maior ou igual a zero). Mais precisamete, seja X uma variável aleatória, etão o úmero Var(X) é chamado de desvio padrão de X, e é deotado por σ X. O seguite resultado forece uma simplificação do cálculo da variâcia: 66 / 140

81 Proposição Seja X uma variável aleatória, etão Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Demostração Temos que como E(X) é um úmero real costate, podemos utilizar as propriedades: esperaça da multiplicação por costate; esperaça da costate; e esperaça da soma, para obter: Var(X) = E [ (X E(X)) 2] = E [ X 2 2XE(X) + E(X) 2] = E(X 2 ) 2E(XE(X)) + E(X) 2 = E(X 2 ) 2E(X) 2 + E(X) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2. Importate É possível mostrar que se Var(X) = 0, etão P(X = E(X)) = 1. Ou seja, X é uma variável aleatória costate. Quato maior o valor da variâcia, mais a variável aleatória pode se afastar da esperaça, ou seja, maior a oscilação da variável aleatória em toro da esperaça. Exemplo 5.5 Exemplo de variâcia de uma variável aleatória discreta Seja X a variável aleatória discreta que toma valor 1 com probabilidade p e toma valor 0 com probabilidade 1 p. Etão, temos que E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p. Daí, Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = E(X 2 ) p 2 = 0 2 (1 p) + 1 p p 2 = p(1 p). Exemplo 5.6 Exemplo de variâcia de uma variável aleatória cotíua Seja X variável aleatória cotíua com fução de desidade 1 + x, 1 x 0, f (x) = 1 x, 0 x 1, 0, caso cotrário. Comece otado que E(X) = = = x(1 + x)dx + x + x 2 dx + ) 0 ( x x x(1 x)dx x x 2 dx ) 1 ( + x x3 3 = 1/2 + 1/3 + 1/2 1/3 = / 140

82 Além disso, Logo, Var(X) = E(X 2 ) = 1/6. E(X 2 ) = = = x 2 (1 + x)dx + x 2 + x 3 dx + ) 0 ( x x x 2 (1 x)dx x 2 x 3 dx ) 1 ( + x x4 4 = 1/3 1/4 + 1/3 1/4 = 1/ Propriedades da variâcia Nesta seção vamos apresetar algumas propriedades da variâcia e provar algumas delas. Propriedades da variâcia (Variâcia da costate): Seja c R um úmero real, e seja X a variável aleatória costate igual a c, ou seja, P(X = c) = 1. Etão, Var(X) = 0. (Soma por costate): Seja X uma variável aleatória e seja c R uma costate. Etão, Var(X + c) = Var(X). (Variâcia da soma de variáveis idepedetes): Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes. Etão, Var(X +Y ) = Var(X) +Var(Y ). (Variâcia da multiplicação por costate): Seja X variável aleatória, e seja c R uma costate. Etão, Var(cX) = c 2 Var(x). (Variâcia de uma fução afim de X): Sejam a,b R, e seja X variável aleatória. Etão, Var(aX + b) = a 2 Var(X). Demostração (Variâcia da costate): Observe que se X é costate igual a c, temos pela propriedade da esperaça que E(X) = c. Daí [ Var(X) = E (X E(X)) 2] = E[(c c) 2 ] = 0. (Soma por costate): Usado as propriedades da esperaça, temos diretamete que [ Var(X +c) = E (X +c E(X +c)) 2] [ = E (X +c E(X) c) 2] [ = E (X E(X)) 2] = Var(X). (Variâcia da soma de variáveis idepedetes): Foge do escopo do livro. (Variâcia da multiplicação por costate): Usado as propriedades da esperaça, temos que [ Var(cX) = E (cx E(cX)) 2] = E [(cx ce(x)) 2] [ = E c 2 (X E(X)) 2] = c 2 E [(X E(X)) 2] = c 2 Var(X). 68 / 140

83 (Variâcia de uma fução afim de X): Usado a variâcia da soma por costate, temos que Var(aX + b) = Var(aX), e usado a variâcia da multiplicação por costate obtemos Var(aX) = a 2 Var(X). Combiado as duas igualdades obtemos Var(aX + b) = a 2 Var(X). Exercício Seja X uma variável aleatória cotíua com fução de desidade { 1 f (x) = b a, a < x < b, 0, caso cotrário. Ecotre Var(X). Solução Já vimos o exemplo de esperaça de variável aleatória cotíua que E(X) = a+b 2. Temos agora que b E(X 2 ) = x 2 1 a b a dx = 1 b b a a 1 ( b 3 = b a 3 a3 ) 3 = b3 a 3 3(b a). Mas observe agora que temos o produto otável: Portato, segue que Fialmete, temos (b a)(a 2 + ab + b 2 ) = a 2 b + ab 2 + b 3 a 3 a 2 b ab 2 = b 3 a 3. E(X 2 ) = b3 a 3 3(b a) = (b a)(a2 + ab + b 2 ) 3(b a) = a2 + ab + b 2. 3 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = a2 + ab + b 2 3 Resumido, Var(X) = (b a) 2 /12. (a + b)2 4 = a2 2ab + b 2 12 = (b a) Atividades 1. Duas bolas são escolhidas aleatoriamete de uma ura cotedo 4 bolas azuis, 3 vermelhas e 2 larajas. Supoha que gahamos 10 reais para cada bola azul selecioada, gahamos 1 real para cada bola laraja, porém perdemos 8 reais para cada bola vermelha. Seja X o osso lucro. a) Determie a fução de probabilidade de X; b) Calcule a esperaça e variâcia de X. 2. Exatamete uma etre 6 chaves parecidas abre uma determiada porta. Teta-se uma chave após a outra. Qual o úmero médio de tetativas ecessárias para se coseguir abrir a porta? 3. Ciqueta pessoas laçam uma moeda hoesta dez vezes. Obteha a média e a variâcia do úmero de pessoas que obtêm exatamete 5 caras. 69 / 140

84 4. Seja X uma variável aleatória cotíua com desidade a) Mostre que f é, de fato, uma desidade; f (x) = 1 x 2, x 1. b) A esperaça de X existe? Se sim, quato vale? 5. Seja X uma variável aleatória com distribuição de Laplace (também cohecida como expoecial dupla), ou seja, X tem desidade Obteha: a) E(X); b) E( X ); c) Var(X); f (x) = 1 2 e x, x R. Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 70 / 140

85 Capítulo 6 Pricipais Distribuições Discretas OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Cohecer as pricipais distribuições discretas Saber a difereça etre a distribuição biomial e hipergeométrica Saber a difereça etre a distribuição geométrica e biomial egativa Eteder a defiição da distribuição Poisso e como utilizar a distribuição Poisso para aproximar a distribuição biomial Aqui apresetaremos as pricipais distribuições de variáveis aleatórias discretas, ou seja, apresetaremos a fução de probabilidade de algumas variáveis aleatórias importates. Além disso, apresetaremos algumas propriedades dessas variáveis aleatóriais, tais como esperaça e variâcia. O objetivo dessa seção é que o estudate saiba recohecer qual distribuição utilizar em cada situação. 6.1 A Distribuição Beroulli A primeira e mais simples distribuição é a distribuição Beroulli. É a distribuição de uma variável aleatória que só pode assumir dois valores: 0 e 1. Esta distribuição é bastate útil, pois ormalmete usa-se a iterpretação do resultado 1 como sucesso e 0 como fracasso. Mais precisamete, temos a Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Beroulli Seja X uma variável aleatória discreta tomado os valores 0, 1. Seja p, a probabilidade de X assumir o valor 1, isto é, seja P(X = 1) = p. Etão, pela probabilidade do complemetar, segue que P(X = 0) = 1 p. Podemos escrever de forma compacta a fução de probabilidade de X como P(X = i) = p i (1 p) 1 i, i = 0,1. Se X satisfaz a defiição acima dizemos que X segue distribuição de Beroulli com parâmetro p, e deotamos X Ber(p). 71 / 140

86 Esperaça Seja X Ber(p), etão E(X) = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) = p. Dica Observe que como X só assume valor 0 ou 1, temos que X = X 2, e portato, E(X) = E(X 2 ). Variâcia Seja X Ber(p), etão Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = E(X) (E(X)) 2 = p p 2 = p(1 p). Exemplo 6.1 Ode surge o uso da distribuição Beroulli A distribuição Beroulli aparece aturalmete em várias situações. Algus exemplos icluem: Laçameto de moedas; Ecotrar produtos perfeitos ou defeituosos; Gahar ou perder um sorteio. 6.2 A Distribuição Biomial A melhor maeira de ilustrar a distribuição biomial é com o seguite exemplo: Exemplo 6.2 Exemplo de distribuição biomial Supoha que temos uma ura com um certo úmero de bolas, dode com probabilidade p retiramos bolas azuis e com probabilidade 1 p retiramos bolas vermelhas, se a retirada for ao acaso. Supoha que etão que bolas são retiradas com reposição (ou seja, a probabilidade de tirar uma bola azul, ão muda após as retiradas). Se X é a variável aleatória dada pelo úmero de bolas azuis que foram retiradas etre as bolas, dizemos que X segue distribuição biomial com parâmetros e p. Importate Olhado para o exemplo aterior é possível observar que podemos pesar uma distribuição biomial como uma distribuição que surge de distribuições de Beroulli. De fato, se X i é a variável aleatória que é igual a 1 se a i-ésima bola retirada foi azul, e zero caso cotrário, temos que X i Ber(p). Observe que como as retiradas das bolas são idepedetes, as variáveis aleatórias X i são idepedetes. Desta forma, é fácil ver que o valor de X é dado pela soma X i. Pois teremos retirado k bolas azuis se, e somete se, tiver k variáveis aleatórias X i sedo iguais a 1. Desta forma, podemos (e devemos) iterpretar uma variável aleatória seguido distribuição biomial como soma de variáveis aleatórias idepedetes seguido distribuição Beroulli. 72 / 140

87 Vamos agora calcular a probabilidade em questão. Note que para termos k bolas azuis etre bolas retiradas, devemos ter exatamete k bolas vermelhas. Como as retiradas de bolas são idepedetes, e a probabilidade de se obter uma bola azul é p, segue que a probabilidade de termos k bolas azuis e k bolas vermelhas é p k (1 p) k. Para cocluirmos o cálculo da probabilidade, devemos calcular de quatas formas podemos retirar k bolas azuis e k bolas vermelhas, se retiramos um total de bolas. Esta quatidade é dada pelo úmero de subcojutos de k elemetos em um cojuto com elemetos. Para eteder esta cota, podemos pesar que temos um cojuto com bolas bracas. Tomado um subcojuto com k elemetos, é a mesma coisa que retirar k bolas. Etão pitamos essas k bolas retiradas de azul, e as bolas restates pitamos de vermelho. Desta forma, temos uma maeira de retirar k bolas azuis etre um total de bolas retiradas. Assim, vemos que quado olhamos para todos os subcojuto de k elemetos, estamos olhado para todas as formas de retirarmos k bolas azuis etre bolas dispoíveis. ( Fialmete, o úmero de subcojutos de k elemetos de um cojuto com elemetos é dado por ) k. Portato, temos que se X é a variável aleatória dada pelo úmero de bolas azuis retiradas após retirarmos bolas, temos que P(X = k) = ( ) p k (1 p) k, k k = 0,...,. Esta é a fução de probabilidade de uma distribuição biomial. Portato, podemos forecer a seguite Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Biomial Seja X uma variável aleatória dada pelo úmero de sucessos em esaios de Beroulli, ou seja, o úmero de sucessos obtidos em variáveis aleatórias de Beroulli idepedetes. Etão, dizemos que X segue distribuição biomial, deotamos por X Bi(, p), e sua fução de probabilidade é dada por ( ) P(X = k) = p k (1 p) k, k = 0,...,. k É importate verificar que a ossa cota está correta, e que, de fato, a fução de probabilidade dada acima tem soma total igual a 1. Isto segue diretamete do biômio de Newto: ( ) P(X = k) = p k (1 p) k = (p + 1 p) = 1. k=0 k=0 k Esperaça E(X) = = = k=0 k=1 k=1 ( ) k p k (1 p) k k! k k!( k)! pk (1 p) k! (k 1)!( k)! pk (1 p) k. 73 / 140

88 Faça agora a mudaça de variável m = k 1. Isto implica k = m + 1, e portato, cotiuado, Assim, E(X) = p. E(X) = = = k=1 1 m=0 1 m=0 = p! (k 1)!( k)! pk (1 p) k! m!( m 1)! pm+1 (1 p) m 1 ( 1)! m!(( 1) m)! p pm (1 p) ( 1) m 1 m=0 = p(p + 1 p) 1 = p. ( 1)! m!( 1 m)! pm (1 p) ( 1) m Importate Temos outra forma de calcular a esperaça usado esaios de Beroulli. Como mecioamos, se X i Ber(p) são idepedetes para i = 1,...,, etão, X i Bi(, p). Fazedo X = X i, temos que X Bi(, p), e usado a propriedade de soma de esperaça, segue que ( ) E(X) = E i = X E(X i ) = pois, como vimos a distribuição Beroulli, E(X i ) = p. p = p, Variâcia Vamos começar calculado E(X 2 ): E(X 2 ) = k=0k 2( ) p k (1 p) k k ( ) = k(k 1 + 1) p k (1 p) k k=1 k ( ) = k(k 1) p k (1 p) k ( ) + k=2 k k p k (1 p) k k=1 k ( ) = k(k 1) p k (1 p) k + E(X) k=2 k ( ) = k(k 1) p k (1 p) k + p. k k=2 Vamos etão calcular o último somatório do lado direito: ( ) k(k 1) p k (1 p) k! = k=2 k k(k 1) k=2 k!( k)! pk (1 p) k! = (k 2)!( k)! pk (1 p) k. k=2 74 / 140

89 Façamos agora a mudaça de variável m = k 2, daí k = m + 2. Portato, ( ) k(k 1) p k (1 p) k = k=2 k Assim, jutado as cotas, temos que Fialmete, obtemos = 2 m=0 2 m=0! m!( 2 m)! pm+2 (1 p) 2 m ( 2)! ( 1) m!( 2 m)! p2 p m (1 p) 2 m = ( 1)p 2 2 m=0 = ( 1)p 2 (p + 1 p) 2 = ( 1)p 2. ( 2)! m!( 2 m)! pm (1 p) 2 m E(X 2 ) = ( 1)p 2 + p = (p) 2 + p p 2 = (p) 2 + p(1 p). Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = (p) 2 + p(1 p) (p) 2 = p(1 p). Exercício Um servidor de um jogo olie possui 20 slots dispoíveis, ou seja, aceita até 20 jogadores simultaeamete. A probabilidade, em qualquer hora do dia, de que um desses slots esteja dispoível é de 40%, e que a dispoibilidade dos slots são idepedetes. Qual a probabilidade de um par de amigos ecotrarem dois slots dispoíveis? Solução Seja X o úmero de slots dispoíveis o jogo. Sabemos, pela defiição do problema que X Bi(20, 0.4). Queremos calcular P(X 2). Note que P(X 2) = 1 P(X = 1) P(X = 0). Daí, ( ) 20 P(X = 0) = (0.4) 0 (0.6) 20 = (0.6) 20 ; 0 e Desta forma, P(X = 1) = ( ) (0.6) 19 = (0.6) 19 = 8 (0.6) P(X 2) = 1 (0.6) 20 8(0.6) 19. Nota Observe que a hipótese de idepedêcia o exemplo acima ão é realista, porém é ecessária para ser possível trabalhar matematicamete. Caso cotrário seria muito complicado. Suposições desta atureza para facilitar a resolução prática de problemas são muito comus. 75 / 140

90 6.3 A Distribuição Geométrica Supoha que uma pessoa tem uma moeda que pode ser desoesta, ou seja, assume cara com probabilidade p, e coroa com probabilidade 1 p. Vamos agora cosiderar o experimeto aleatório: laçar esta moeda sucessivamete até obter cara. Qual a probabilidade da cara ser obtida o laçameto úmero k? Ou colocado uma forma mais matemática, se X é a variável aleatória dada pelo úmero do laçameto o qual a cara foi obtida, qual é a probabilidade P(X = k)? A resposta é simples. Para obtermos cara o laçameto úmero k, esta pessoa terá que ter obtido coroa em todos os k 1 laçametos ateriores e ter obtido cara exatamete o k-ésimo laçameto. Como os laçametos das moedas são idepedetes, temos que esta probabilidade é P(X = k) = p(1 p) k 1, k = 1,2,... Essa variável aleatória X é uma variável aleatória que segue distribuição geométrica. Mais precisamete, Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Geométrica Sejam X 1,X 2,X 3,... variáveis aleatórias idepedetes seguido distribuição Beroulli com parâmetro p. Seja X a variável aleatória dada pela ocorrêcia do primeiro sucesso, ou seja, o meor ídice i, tal que X i teve sucesso. Etão, dizemos que X segue distribuição geométrica com parâmetro p, e deotamos X G(p). A fução de probabilidade de X é dada por P(X = k) = p(1 p) k 1, k = 1,2,... Primeiro vamos observar que a ossa cota está correta e, de fato, a fução descrita acima é uma fução de probabilidade. Temos claramete que p(1 p) k 1 0, e pela soma dos termos de uma progressão geométrica, temos k=1 p(1 p) k 1 = p k=1 (1 p) k 1 1 = p 1 (1 p) = p p = 1. Ates de calcularmos a esperaça e variâcia da distribuição geométrica utilizaremos os seguites resultados sobre séries geométricas e suas derivadas: Defiido a fução f (r) = k=0 rk, temos que ela coverge para 0 r < 1, e vale a igualdade f (r) = r k = 1 k=0 1 r ; Temos que para todo 0 r < 1, f é ifiitamete difereciável, e sua derivada, para 0 r < 1 é dada por f (r) = Para 0 r < 1 a seguda derivada de f é dada por kr k 1 1 = k=1 (1 r) 2 ; 76 / 140

91 f (r) = k(k 1)r k 2 2 = k=2 (1 r) 3. Esperaça Temos que E(X) = = p k=1 k=1 kp(1 p) k 1 k(1 p) k 1 1 = p (1 (1 p)) 2 = p 1 p 2 = 1 p. Variâcia Para ecotrar E(X 2 ) vamos calcular primeiro E[X(X 1)], usado a fórmula da seguda derivada da série geométrica: Assim, segue que: E[X(X 1)] = k(k 1)p(1 p) k 1 k=2 = p(1 p) k=2 k(k 1)(1 p) k 2 2 = p(1 p) (1 (1 p)) 3 = p(1 p) 2 p 3 2(1 p) = p 2. E[X(X 1)] = E(X 2 X) = E(X 2 ) E(X) = E(X 2 ) 1 p. Ou seja, Fialmete, E(X 2 ) = E(X 2 ) + 1 p = 2(1 p) p p = 2 2p p 2 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 2 p p 2 + p p 2 = 2 p p 2. 1 p 2 = 1 p p Perda de Memória Exemplo 6.3 Ilustração da perda de memória da distribuição geométrica Supoha que João está laçado moedas até o resultado sair cara. Supoha que esta João já laçou a moeda 12 vezes, e aida ão saiu cara, isto sigifica que a probabilidade do resultado sair cara o próximo laçameto será maior do que era 12 jogadas atrás? 77 / 140

92 A resposta é ão. Não importa o quato tempo João teha esperado, a probabilidade do próximo laçameto sempre será 1/2. Esta propriedade da distribuição geométrica é chamada de perda de memória. Mais precisamete, seja X uma variável aleatória seguido distribuição Geométrica com parâmetro p. Etão, temos que para todo par de iteiros positivos, m,, vale De fato, temos que P(X > m + X > m) = P(X > m + X > m) = P(X > ). P(X > m +,X > m) P(X > m) = P(X > m + ), P(X > m) o etato, usado a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita, temos P(X > m + ) = p(1 p) k 1 = k=m++1 Aalogamete, P(X > m) = (1 p) m. Logo, P(X > m + X > m) = P(X > m + ) P(X > m) = p(1 p)m+ 1 (1 p) = (1 p)m+. (1 p)m+ (1 p) m = (1 p) = P(X > ). Isto prova a perda de memória. Observe que aqui, a realidade, mostra mais do que falamos. Não só diz que a próxima probabilidade ão muda, mas essecialmete diz o seguite: se João já esperou um certo tempo m para sair cara, e a cara aida ão saiu, as probabilidades de sair cara dali para frete são as mesmas de como se ele tivesse começado a laçar aquele mometo. Ou seja, a distribuiçã geométrica esquece todo o passado que já foi executado. 6.4 A Distribuição Pascal (ou Biomial Negativa) Geeralização do Biômio de Newto Ates de defiirmos esta distribuição, vamos rever rapidamete um pouco de teoria matemática presete em cursos de cálculo. Existe uma classe de fuções reais, tais que a seguite fórmula, cohecida como expasão em série de Taylor, é verdade f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + = 2 k=0 f (k) (a) (x a) k, k! ode f (k) (a) deota a k-ésima derivada de f o poto a, e f : I R, ode I R é um itervalo aberto. As fuções tais que essa expasão é válida são cohecidas como fuções aalíticas. Importate Cohecemos várias fuções aalíticas: a fução expoecial; seo; co-seo; logaritmo; poliôimos e frações de poliômios. 78 / 140

93 Um caso particular importate é dado pelas fuções do tipo f (x) = (1 x) r 1 = 1 (1 x) r+1, ode r é um úmero atural. Como f é fração de poliômios, temos que f é aalítica. Assim, cosiderado o poto a = 0, temos f (x) = (1 x) r 1 ; f (x) = ( r 1)(1 x) r 2 ; f (x) = ( r 2)( r 1)(1 x) r 3,..., e em geral, temos f (k) (x) = ( r k)( r (k 1)) ( r 1)(1 x) r k 1. Defiido o coeficiete biomial geeralizado como ( ) r ( r)( r 1)...( r k + 1) =, k = 0,1,2,..., k k! podemos escrever Aplicado o poto a = 0, temos por sua vez, usado a série de Taylor, obtemos, (1 x) r 1 = f (x) = ( ) r 1 f (k) (x) = ( 1) k k! (1 x) r k 1. k k=0 ( ) r 1 f (k) (0) = ( 1) k k!, k f (k) (0) x k = k! k=0 ( ) r 1 ( 1) k x k = k k=0 ( r 1 k ) ( x) k. Assim, temos o biômio de Newto geeralizado: ( r 1 (1 x) r 1 = k k=0 ) ( x) k. Observe que vale também a igualdade: ( ) r + k (r + k)(r + k 1) (r + 1)r = k k! k ( r k)( r (k 1)) ( r 1)( r) = ( 1) k! Daí, vale também a fórmula do biômio de Newto geeralizado: ( ) r + k (1 x) r 1 = x k. k k=0 ( ) r 1 = ( 1) k. k Distribuição Pascal A distribuição de Pascal (ou Biomial Negativa) é uma geeralização atural da distribuição geométrica. Para etedermos melhor esta distribuição, voltemos ao exemplo do laçameto de moedas. 79 / 140

94 Se uma pessoa tem uma moeda que pode ser desoesta, ou seja, assume cara com probabilidade p, e coroa com probabilidade 1 p. Supoha que temos o seguite experimeto aleatório: laçar uma moeda sucessivamete até obter r caras. Qual a probabilidade da r-ésima cara ser obtida o laçameto k? Ou, escrevedo de uma maeira matematicamete mais precisa, se X deota a variável aleatória dada pelo úmero do laçameto pelo qual a r-ésima cara foi obtida, qual é a probabilidade P(X = k)? Vamos calcular essa probabilidade por partes. Comece otado que X = k, se e somete se, o k- ésimo laçameto o resultado foi cara e os k 1 laçametos ateriores, obtemos r 1 caras. O úmero de formas de isso acotecer é simples: escolher r 1 resultados para sair cara, etre k 1 resultados possíveis, ou seja, temos ( k 1 r 1) possibilidades. Fialmete, como em um total de k laçametos, saíram r caras e k r coroas, e temos ( k 1 r 1) possibilidades, a probabilidade é dada por ( ) k 1 P(X = k) = p r (1 p) k r, k = r,r + 1,..., r 1 ode k r, pois para obter r caras, temos que o míimo ter k laçametos. Importate Observe que se r = 1, temos que X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p. Mais precisamete, Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Pascal Sejam X 1,X 2,... variáveis aleatórias idepedetes seguido distribuição Beroulli com parâmetro p. Seja X a variável aleatória dada pela ocorrêcia do r-ésimo sucesso, ou seja, o ídice i, tal que X i é o r-ésimo sucesso. Etão, dizemos que X segue distribuição Pascal (ou biomial egativa) com parâmetros r e p, e deotamos X Pas(r, p). A fução de probabilidade de X é ( ) k 1 P(X = k) = p r (1 p) k r, k = r,r + 1,..., r 1 Vamos ( começar mostrado que a fução acima é, de fato, uma fução de probabilidade. Claramete, k 1 r 1) p r (1 p) k r 0, e, temos aida que usado a mudaça de variável j = k r, k=r ( k 1 r 1 ) p r (1 p) k r = j=0 = p r j=0 ( j + r 1 r 1 ( j + r 1 j = p r 1 (1 (1 p)) r = p r 1 p r = 1, ) p r (1 p) j ode usamos o biômio de Newto geeralizado e usamos que ( ) j + r 1 = ( j + r 1)! ( ) j + r 1 =. r 1 (r 1)! j! j ) (1 p) j 80 / 140

95 Nota A distribuição de Pascal, ou Biomial Negativa, recebe o ome de biomial egativa, por utilizar o biômio de Newto geeralizado (com expoete egativo) para calcular sua esperaça e variâcia, assim como para mostrar que a soma das probabilidades é igual a 1. Importate Existe uma caracterização da distribuição Pascal em termos de soma de variáveis aleatórias seguido distribuição geométrica: sejam X 1,X 2,...,X r variáveis aleatórias idepedetes seguido distribuição Geométrica com parâmetro p. Assim, defiido X = r k=1 X k, temos que X segue distribuição Pascal com parâmetros r e p. A ituição é que para termos a posição do r-ésimo sucesso, cotabilizamos a posição do primeiro sucesso com a variável X 1, adicioamos a variável X 2 para obter a posição do segudo sucesso,...,, adicioamos a variável X r para obter a posição do r-ésimo sucesso. Ou seja, cada variável geométrica X i represeta o tempo que temos que esperar etre os sucessos, até a obteção de um sucesso. Esperaça Temos que, fazedo a mudaça j = k r, ( ) k 1 E(X) = k p r (1 p) k r k=r r 1 ( ) j + r 1 = ( j + r) p r (1 p) j j=0 r 1 = p r ( j + r) ( j + r 1)! j (1 p) j=0 (r 1)! j! = p r ( j + r)! j (1 p) j=0 (r 1)! j! = p r r ( j + r)! (1 p) j j=0 r! j! = p r ( ) j + r r (1 p) j j=0 j = rp r ( ) j + r (1 p) j j=0 j = rp r 1 (1 (1 p)) r+1 = r p. 81 / 140

96 Importate Vale a pea otar que utilizado a caracterização de X como soma de variáveis aleatórias idepedetes seguido distribuição geométrica, temos que ode X i G(p). Daí, ( r E(X) = E X = X i ) = r r X i, E(X i ) = r 1 p = r p. Variâcia Vamos começar calculado E[X(X + 1)]: E[X(X + 1)] = = k=r j=0 = p r j=0 = p r j=0 ( ) k 1 k(k + 1) p r (1 p) k r r 1 ( ) j + r 1 ( j + r + 1)( j + r) p r (1 p) j r 1 ( j + r + 1)( j + r) ( j + r 1)! j (1 p) (r 1)! j! ( j + r + 1)! j (1 p) (r 1)! j! = p r r(r + 1) ( j + r + 1)! j (1 p) j=0 (r + 1)! j! = p r ( ) j + r + 1 r(r + 1) (1 p) j j=0 j = r(r + 1)p r ( ) j + r + 1 (1 p) j j=0 j = r(r + 1)p r 1 = r(r + 1) p 2. (1 (1 p)) r+2 Portato, temos que E[X(X +1)] = E(X 2 +X) = E(X 2 )+E(X). Como E(X) = r/p e E[X(X + 1)] = r(r + 1)/p 2, temos que E(X 2 ) = Fialmete, a variâcia é dada por r(r + 1) p 2 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = r2 + r rp p 2 r p = r2 + r rp p 2. r2 p 2 = r rp r(1 p) p 2 = p Distribuição Hipergeométrica Assim como a distribuição biomial, vamos ilustrar a distribuição hipergeométrica com um exemplo: 82 / 140

97 Exemplo 6.4 Exemplo de distribuição hipergeométrica Supoha que temos uma ura com N bolas, das quais bolas são azuis, e N bolas são vermelhas. Supoha que m bolas foram retiradas aleatoriamete da ura sem reposição. Se X é a variável aleatória dada pelo úmero de bolas azuis que foram retiradas etre as m bolas, dizemos que X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros N,,m. Vamos agora calcular a probabilidade em questão. Queremos calcular a probabilidade de termos k bolas azuis. Note que temos m retiradas de bolas, ( etre as quais queremos k bolas azuis e m k bolas vermelhas. O total de bolas azuis é, etão temos ( k) formas de selecioar estas bolas azuis e como temos N bolas vermelhas, temos N m k) formas de) selecioar as bolas vermelhas. Como temos N bolas o total, e queremos selecioar m bolas, temos formas de selecioar m bolas. Portato, a probabilidade é dada por ( N m ( N ) P(X = k) = k)( m k ( N. m) Temos etão a Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Hipergeométrica Supoha que temos N objetos para selecioarmos. Supoha que temos formas de obter uma seleção boa, e N formas de obter uma seleção ruim. Supoha que tomemos uma amostra de tamaho m, sem reposição, e seja X i a variável aleatória que assume valor 1, se a i-ésima seleção foi boa e assume valor 0, se a i-ésima seleção foi ruim. Etão se X deota o úmero de seleções boas, ou seja, se X = m dizemos que X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros N,, m, deotamos por X HG(N,,m), e sua fução de probabilidade é dada por X i, ( N ) P(X = k) = k)( m k ( N, k = 0,...,m. m) Vamos mostrar que a fução acima é uma fução de probabilidade. Claramete, ( k)( N m m k) 0. Para ( N m) mostrar que a soma sobre todos os valores de k é igual a 1, vamos obter uma idetidade de coeficietes biomiais. Cosidere o coeficiete de x m a expasão de (1 + x) N em biômio de Newto. Este coeficiete é dado por ( N m). Por outro lado, sabemos que (1 + x) N = (1 + x) (1 + x) N. Vamos olhar etão o coeficiete de x m a expasão de (1 + x) (1 + x) N, que é igual a ( N m). Mas, observe que (1 + x) (1 + x) N = = ( ( )x i=0 i ( i ( j=0 j N i=0 i)( N j=0 )( N i j ( N )x j) j ) ) x i. 83 / 140

98 Assim, o coeficiete de x m a expasão de (1 + x) (1 + x) N é dado por ( )( ) N. k m k m k=0 Portato, otado que o coeficiete de x m a expasão de (1 + x) (1 + x) N é igual ao coeficiete de x m a expasão de (1 + x) N, pois (1 + x) N = (1 + x) (1 + x) N, chegamos à idetidade de Chu- Vadermote: ( ) ( )( ) N N =. m k m k Dividido ambos os lados por ( N m), temos m k=0 m k=0 ( N ) k)( m k ( N = 1. m) m k) Isto é o que queríamos provar, pois P(X = k) = ( k)( N ( N m). Esperaça Temos que E(X) = = = = = = = = = m k=0 m k=1 m k=1 m k=1 m k=1 m k=1 = m N ( N ) k k)( m k ( N ( m) N ) k k)( m k ( N ( )( m) N ) m k k ( k N m)! k k!( k)! ( N m k ( N m)! (k 1)!( k)! ) ( 1)! (k 1)!( k)! ( )( N ) 1 m k ( k 1 N ) m) m k=1 m k=1 m k=1 = m N, ( 1 )( N k 1 m k ( 1 k 1 ( N m) )( N m k ) N/m ( N 1) m k=1 ( m 1 1 )( N k 1 m k ( N 1 ) m 1 ) ( N m k ( N m) ) ( N m k ( N m) ) ode a última igualdade utilizamos a idetidade de Chu-Vadermote com a tera (N 1, 1,m 1). 84 / 140

99 Nota Podemos também utilizar a caracterização de X como a soma X = m ode X i deota a variável aleatória que assume valor 1 se a i-ésima seleção foi boa, e assume valor 0 se a i-ésima seleção foi ruim. Observe que temos seleções boas, etre um total de N possibilidades, ou seja, para cada i, as variáveis X i possuem a mesma fução de probabilidade: daí, E(X i ) = /N, e portato, ( m ) E(X) = E i = X X i, P(X i = 1) = N, m E(X i ) = m N = m N. Variâcia Utilizado a mesma técica da esperaça é possível mostrar que Var(X) = m(n )(N m) N 2. (N 1) 6.6 Distribuição Poisso Vamos começar motivado a defiição da distribuição de Poisso por meio da aproximação cohecida como lei dos evetos raros. Também é cohecida como aproximação da distribuição biomial pela distribuição Poisso. Para tato, cosidere o seguite exemplo: Exemplo 6.5 Motivação para a distribuição de Poisso Supoha que uma empresa tem uma liha telefôica dedicada exclusivamete a reclamações. Num período fixado de 4 horas (por exemplo 08:00 às 12:00) essa liha recebe em média 500 ligações. Etretato, essas ligações ocorrem aleatoriamete ao logo dessas 4 horas. Assim, sabemos que ao logo dos dias, teremos uma quatidade média de 500 ligações ao fial das 4 horas, mas ão sabemos em que mometos essas ligações são recebidas, em o úmero exato de ligações recebidas em cada dia. A perguta que surge é: Qual a probabilidade de termos k ligações o período de 4 horas o dia de hoje? Respoder a perguta acima ão é uma tarefa trivial, e essa resposta evolve o uso da distribuição de Poisso. Para resolver este problema, divida o itervalo de 4 horas em subitervalos, de mesmo tamaho, dado por 4/ horas, ode > 500. Como 500 é o úmero médio de ligações recebidas durate todo o período, é esperado que tehamos o máximo uma ligação em cada itervalo (observe que se é muito grade, o itervalo fica muito pequeo, e a probabilidade de termos duas ligações o mesmo itervalo é próxima de zero, assim essa aproximação faz setido). 85 / 140

100 Assim, temos aproximadamete uma probabilidade 500/ de termos uma ligação em cada itervalo. Como temos itervalos, a probabilidade de termos k ligações o total é dada pela probabilidade de escolhermos k itervalos etre os itervalos dispoíveis: temos ( k) formas de escolher esses k ( ) k ( ) itervalos, e cada escolha dessas tem probabilidade 500 k Resumido, se X deota a variável aleatória cujo valor é o úmero de ligações recebidas hoje durate as 4 horas, temos que P(X = k), ou seja, a probabilidade de termos k ligações é aproximadamete ( ) (500 ) k ( P(X = k) ) k. k Em outras palavras, X segue aproximadamete distribuição biomial (, 500/). Observe que o valor esperado dessa aproximação biomial é dado por 500, o que mostra que a aproximação está cosistete com o problema em questão. Fialmete, para sabermos a probabilidade exata, temos que calcular o limite do lado direito quado tede a ifiito. Faremos isso a próxima subseção. Nota Vale a pea observar que calcular a probabilidade do exemplo aterior usado a aproximação acima sem calcular o limite é uma tarefa computacioalmete complicada, pois evolve cálculo de fatoriais de úmeros muito grades. Por este motivo também, é muito comum usar uma aproximação iversa: se temos uma variável aleatória X seguido distribuição biomial com parâmetros e p, ode é muito grade, é mais fácil calcular uma aproximação desta probabilidade usado a distribuição Poisso Aproximação da distribuição biomial pela Poisso Baseado o exemplo da seção aterior, supoha que temos uma taxa média λ > 0, e cosidere a sequêcia de variáveis aleatórias X 1,X 2,..., ode cada X segue distribuição Bi(,λ/). Observe que precisamos que seja grade para que λ/ < 1 e portato seja uma probabilidade. Nosso objetivo esta seção é calcular o limite ( ) (λ ) k ( lim P(X = k) = lim 1 λ ) k. k 86 / 140

101 Nota Para calcular o limite em questão, precisaremos relembrar algus fatos básicos de cálculo em uma variável. Relembre que o úmero de Euler, e, é defiido como e = lim (1 + 1 ). Utilizado a regra de L Hopital, podemos mostrar que para todo x R e x = lim (1 + x ). Desta forma, se tomarmos x = λ a expressão acima, obtemos, e λ = lim (1 λ ). Fialmete, para cada k atural fixado (costate, ão muda com ), temos que lim (1 λ ) k = 1, e portato ( ) ( lim 1 λ ) k 1 λ = lim ( ) k = e λ. 1 λ Para começarmos a calcular o limite, observe que para cada k, temos ( )! ( 1) ( k + 1) = =. k k!( k)! k! Desta forma, temos P(X = k) = = ( ) (λ k ( 1) ( k + 1) k! ) k ( 1 λ ) k = 1 k ( 1) ( k + 1)λ k! ( 1) ( k + 1) = λ k k! = λ k k! = λ k k! ( λ ) k ( 1 λ k (1 λ (1 k λ 1 k + 1 ( 1 λ ( 1 1 ) ( (k 1) 1 ) k ) k ) k ) k )( 1 λ ) k. Temos que valem os seguites limites: ( lim 1 1 ) ( (k 1) ) 1 = 1, e lim (1 λ ) k = e λ. Portato, obtemos lim P(X λ k = k) = lim k! = λ k k! e λ. ( 1 1 ) ( 1 87 / 140 (k 1) )( 1 λ ) k

102 Este é o valor do limite procurado o fial do exemplo, e assim, voltado ao exemplo:.motivação para a defiição da distribuição Poisso Relembremos que se X deota a variável aleatória cujo valor é o úmero de ligações recebidas hoje durate as 4 horas, temos que P(X = k), ou seja, a probabilidade de termos k ligações é aproximadamete ( ) (500 ) k ( P(X = k) ) k. k Em outras palavras, X segue aproximadamete distribuição biomial (,500/). O valor exato da probabilidade é etão dado por ( ) (500 ) k ( P(X = k) = lim ) k 500 k = k k! e 500. Importate Este resultado de aproximação também pode ser usado para calcular aproximações de probabilidades de distribuições biomiais quado é muito grade. Mais precisamete, se temos uma variável aleatória X seguido distribuição biomial com parâmetros e p, e é muito grade, podemos aproximar esta probabilidade por P(X = k) (p)k e p. k! Distribuição Poisso Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Poisso Supoha que temos ocorrêcias de evetos em um itervalo (de tempo ou espaço) I. Supoha que temos um úmero médio de ocorrêcias em I é dado por λ > 0, e que a ocorrêcia de cada eveto subsequete é idepedete da ocorrêcia dos evetos ateriores. Etão se X deota o úmero de ocorrêcias do eveto o itervalo I, dizemos que X segue distribuição Poisso com parâmetro λ, deotamos por X P(λ), e sua fução de probabilidade é dada por P(X = k) = λ k k! e λ, k = 0,1,... Para verificar que a fução defiida acima é realmete uma fução de probabilidade, como temos, claramete, que λ k /k!e λ > 0, basta verificar que a soma sobre todos os valores de k é igual a 1. Para tato, relembre a defiição de fução aalítica. É um fato cohecido que a fução expoecial f (x) = e x é aalítica. Como temos que e, em geral, vale f (x) = e x, f (x) = e x, f (x) = e x, f (x) = e x, f (k) (x) = e x. Portato, aplicado em a = 0, temos que f (k) (0) = 1. Assim, obtemos a série de Taylor da fução expoecial, e x f = f (x) = (k) (0) x k 1 = k=0 k! k=0 k! xk. 88 / 140

103 Em particular, obtemos e λ 1 = k=0 k! λ k. Vamos etão mostrar que as probabilidades da Poisso formam, de fato, uma fução de probabilidade: P(X = k) = k=0 λ k k=0 k! e λ = e λ k=0 λ k k! = e λ e λ = 1. Esperaça Temos que Fazedo j = k 1, temos que E(X) = k=0 kp(x = k) = k=0 k λ k k! e λ = k=1 k λ k k! e λ = k=1 λ λ k 1 (k 1)! e λ = λ k=1 λ k 1 (k 1)! e λ. E(X) = λ = λ k=1 j=0 = λe λ e λ = λ. λ k 1 (k 1)! e λ λ j j! e λ Variâcia Vamos começar calculado E[X(X 1)]. Daí, E[X(X 1)] = = = = = k=0 k=0 k=2 k=2 k=2 Fazedo a mudaça de variável j = k 2, temos que E[X(X 1)] = k(k 1)P(X = k) k(k 1) λ k k(k 1) λ k k! e λ k! e λ λ k (k 2)! e λ λ 2 λ 2 k=2 = λ 2 j=0 = λ 2 e λ e λ = λ / 140 λ k 2 (k 2)! e λ. λ k 2 (k 2)! e λ λ j j! e λ

104 Porém, como temos que E[X(X 1)] = E(X 2 ) E(X), e portato E(X 2 ) = E[X(X 1)] + E(X) = λ 2 + λ. Portato, temos que Var(X) = E(X 2 ) (EX) 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ. Desta forma, uma variável aleatória com distribuição Poisso com parâmetro λ possui esperaça e variâcia iguais a λ. 6.7 Atividades 1. Quize pessoas portadoras de determiada doeça são selecioadas para se submeter a um tratameto. Sabe-se que este tratameto é eficaz a cura da doeça em 80% dos casos. Supoha que os idivíduos submetidos ao tratameto curam-se (ou ão) idepedetemete us dos outros. Seja X o úmero de pessoas curadas detre os 15 pacietes submetidos ao tratameto. a) Qual a distribuição de X? b) Qual a probabilidade de que os 15 pacietes sejam curados? c) Qual a probabilidade de que pelo meos dois ão sejam curados? 2. Um aluo estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 aleatoriamete para uma prova. O estudate sabe resolver 9 dos 12 problemas. Seja X o úmero de exercícios resolvidos por ele a prova. a) Qual a distribuição de X? b) Qual a probabilidade do aluo resolver pelo meos 5 exercícios da prova. 3. Um estudate preeche ao acaso um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (uma das quais é a correta) para cada uma de 10 questões. a) Qual a distribuição do úmero de respostas certas? b) Qual a probabilidade de que o estudate obteha 9 ou mais respostas certas? c) Qual a probabilidade de que acerte pelo meos duas questões? 4. Em uma pizzaria com etrega a domicílio, 30% dos pedidos por telefoe são de mais de uma pizza. Certo dia, o doo decide madar um bride ao cliete que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza. Seja X o úmero de pedidos recebidos até o gahador gahar o bride. a) Qual a distribuição de X? b) Determie o meor úmero de pedidos ecessários para garatir que o bride saia com probabilidade maior do que 0,9. 5. Um vededor que vai de porta em porta, cosegue cocretizar uma veda em 40% das visitas que faz. Este vededor pretede efetuar o míimo duas vedas por dia. Seja X o úmero de visitas feitas até que a seguda veda seja efetivada. a) Qual a distribuição de X? b) Calcule a probabilidade de que o vededor faça o máximo seis visitas para cocluir as duas vedas. 6. O úmero X de acidetes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semaa segue distribuição Poisso. Sabedo que a porcetagem de semaas em que ocorre um acidete é um terço da porcetagem de semaas em que ão acotece ehum, calcule: 90 / 140

105 a) o parâmetro da distribuição; b) a probabilidade de que ocorra um acidete em uma semaa e também um a semaa seguite, sabedo que acidetes em semaas diferetes são idepedetes; 7. Se uma variável aleatória tem distribuição Poisso e P(X = 0) = 1/2, quato vale a variâcia de X? 8. Supoha que 1% das lâmpadas de efeite de atal de certa marca apresetem defeito. Estime a probabilidade de que uma caixa com 30 lâmpadas coteha o máximo uma lâmpada com defeito. (Dica: Aproxime essa probabilidade pela distribuição Poisso) 9. Sabe-se que 0,6% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usado a aproximação da Biomial pela Poisso, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos: a) tehamos exatamete 4 parafusos defeituosos; b) ão tehamos mais do que 4 parafusos defeituosos; c) ecotrem-se pelo meos 3 parafusos defeituosos. Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 91 / 140

106 Capítulo 7 Pricipais Distribuições Cotíuas OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Cohecer as pricipais distribuições cotíuas Saber utilizar a tabela da distribuição ormal Cohecer a distribuição Expoecial e Gama Saber utilizar a distribuição ormal para aproximar a distribuição biomial Aqui apresetaremos algumas das pricipais distribuições cotíuas. Para tato, apresetaremos suas fuções de desidade. Além disso, apresetaremos algumas propriedades destas distribuições, tais como esperaça e variâcia. 7.1 Distribuição Uiforme Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Uiforme Supoha que X seja uma variável aleatória cotíua que assuma valores o itervalo [a, b], o qual a e b sejam ambos fiitos. Se a fução de desidade de X for dada por { 1 f (x) = b a, a x b, 0, caso cotrário, dizemos que X é uiformemete distribuída sobre o itervalo [a,b], e deotamos X U[a,b]. Uma variável aleatória uiformemete distribuída represeta o aálogo cotíuo dos resultados equiprováveis o seguite setido: Para qualquer subitervalo [c, d], ode a c < d b, P(c X d) é a mesma para todos os subitervalos que teham o mesmo comprimeto. Ou seja, P(c X d) = d c f (x)dx = d c b a, e, por isso, depede uicamete do comprimeto do itervalo. 92 / 140

107 Esperaça Temos que Variâcia Temos que E(X) = E(X 2 ) = b a b a x b a d x = x2 b 2(b a) = b2 a 2 a 2(b a) = a + b 2. x 2 b a dx = x3 b 3(b a) = b3 a 3 a 3(b a) = a2 + ab + b 2. 3 Portato, obtemos que Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = a2 + ab + b 2 3 (a + b)2 4 = (b a)2. 12 Exemplo 7.1 Exemplo de aplicação da distribuição uiforme Um poto é escolhido ao acaso o segmeto de reta [0,2]. Qual será a probabilidade de que o poto escolhido esteja etre 1 e 3/2? Seja X a variável aleatória que represeta a coordeada do poto escolhido. Temos que X U[0,2], daí { 1/2, 0 x 2, f (x) = 0, caso cotrário, e P(1 X 3/2) = 3/ dx = 1 ( 3 ) = A Distribuição Normal Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Normal A variável aleatória X, que assume valores a reta, < x <, tem distribuição ormal se sua fução de desidade é da forma f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2, < x <, ode < µ < e σ > 0, e deotamos X N(µ,σ 2 ). Na figura abaixo apresetamos gráficos das fuções de desidade da distribuição ormal para algus valores de µ e σ 2 : 93 / 140

108 f(x) (0;0.2) ( 2;0.5) (0;1) (0;5) x Figura 7.1: Exemplo de fuções de desidade da distribuição ormal para valores de µ e σ 2 descritos o par ordeado (µ;σ 2 ) Esperaça e Variâcia Temos que se X N(µ,σ 2 ), etão E(X) = µ e Var(X) = σ Padroização e Tabulação da Distribuição Normal Temos que se X N(µ,σ 2 ), etão a variável padroizada Z = X µ σ terá distribuição ormal padrão, ou seja, Z N(0,1), e sua fução de desidade é dada por Logo, temos que f (z) = 1 2π e z2 2, < z <. P(a Z b) = b a 1 2π e z2 2 dz. Desta forma, dada uma variável aleatória X N(µ,σ 2 ), podemos padroizá-la a variável Z, e obter as probabilidades a partir da tabela de valores da fução de distribuição da ormal padrão Φ(z) = P(Z z) = z 1 2π e z2 2 dz. Nota Observe que a padroização dividimos por σ, que é o desvio padrão da variável aleatória ormal. Não dividimos pela variâcia. 94 / 140

109 A distribuição ormal padrão satisfaz a seguite propriedade se simetria: Φ( x) = 1 Φ(x). Importate A idetidade de simetria acima os diz que podermos calcular as probabilidades P(Z x) a partir das probabilidades P(Z x). Assim, como a tabela da ormal apresetada o apêdice ão cotém valores egativos de x, para calcularmos estas probabilidades, utilizamos a fórmula acima. Exemplo 7.2 Exemplo de cálculo de probabilidades utilizado a tabela da ormal Seja Z N(0,1). Vamos calcular as probabilidades P(0 Z 1),P(Z 1,93),P( 2,55 Z 1,2) e P(Z 1,93). Observe iicialmete que P(0 Z 1) = Φ(1) Φ(0). Olhado para a tabela da ormal (que pode ser ecotrada o Apêdice deste livro), obtemos que Φ(1) = 0,8413 e Φ(0) = 0,5. Portato P(0 Z 1) = Φ(1) Φ(0) = 0,8413 0,5 = 0,3413. Para a próxima probabilidade, temos que P(Z 1,93) = 1 P(Z 1,93) = 1 Φ(1,93). Olhado para a tabela o apêdice, obtemos P(Z 1,93) = 1 Φ(1,93) = 1 0,9732 = 0,0268. A próxima probabilidade deve ser observada com cuidado, pois temos um valor egativo, e se olharmos a tabela, ão há valores egativos, e portato, teremos que usar a simetria da distribuição ormal. Assim, P( 2,55 Z 1,2) = Φ(1,2) Φ( 2,55) = Φ(1,2) (1 Φ(2,55)) = Φ(1,2) + Φ(2,55) 1 = 0, , = 0, Fialmete, P(Z 1,93) = Φ(1,93) = 0,0268. Veremos agora mais algus exemplos de aplicações da distribuição ormal. Exemplo 7.3 Exemplo de aplicação da distribuição ormal Supoha que as alturas dos aluos de ciêcias da computação da UFPB seguem distribuição ormal com média 1,60m e desvio padrão 0,30m. Seja X a variável aleatória que idica a altura de um aluo de ciêcias da computação da UFPB escolhido ao acaso. Ecotre a probabilidade de um aluo medir: a) Etre 1,50m e 1,80m; Queremos calcular P(1, 50 X 1, 80). Observe que Temos etão que: Z = X 1,60 0,30 N(0,1). P(1,50 X 1,80) = P(1,50 1,60 X 1,60 1,80 1,60) = P( 0,1 X 1,60 0,2) = P( 0,1/0,3 (X 1,60)/0,30 0,2/0,3) = P( 1/3 Z 2/3) = Φ(0,67) Φ( 0,33) = Φ(0,67) (1 Φ(0,33)) = Φ(0,67) + Φ(0,33) 1 = 0, , = 0, / 140

110 b) Mais de 1,75m; Queremos calcular P(X 1, 75). Temos etão que: P(X 1,75) = P(X 1,60 1,75 1,60) = P(X 1,60 0,15) = P((X 1,60)/0,30 0,15/0,3) = P(Z 1/2) = 1 P(Z 1/2) = 1 Φ(0,5) = 1 0,6915 = 0, c) Meos de 1,48m; Queremos calcular P(X 1, 48). Temos etão que: P(X 1,48) = P(X 1,60 1,48 1,60) = P(X 1,60 0,12) = P((X 1,60)/0,30 0,12/0,3) = P(Z 4/10) = Φ( 0, 4) = 1 Φ(0,4) = 0, d) Qual deve ser a altura míima para escolhermos 10% dos aluos mais altos? Queremos ecotrar um valor c, tal que P(X > c) = 0,10. Assim, temos que P(X > c) = P(X 1,60 > c 1,60) = P((X 1,60)/0,30 > (c 1,60)/0,3) = P(Z > (c 1,60)/0,3) = 1 Φ((c 1,60)/0,3). Assim, queremos ecotrar c, tal que 0,1 = 1 Φ((c 1,60)/0,3), ou seja, Φ((c 1,60)/0,3) = 0,9. Seja z = (c 1,60)/0,3, temos que Φ(z) = 0,9. Olhado para a tabela, vemos que z = 1,28. Logo, (c 1,60)/0,3 = 1,28, o que implica que c = 1,6 + 0,384 = 1,984. Desta forma, a altura em questão é 1,98m Aproximação da Distribuição Biomial pela Normal Vimos o capítulo de variáveis aleatórias discretas que podemos aproximar a distribuição biomial pela distribuição Poisso. A aproximação da distribuição biomial pela Poisso é boa quado o parâmetro p da distribuição biomial é pequeo. Se este valor for grade, a aproximação pela distribuição Poisso é pobre. Neste caso, devemos aproximar pela distribuição ormal. Proposição: Aproximação da distribuição biomial pela ormal Supoha que X é uma sequêcia de variáveis aleatórias tais que X Bi(, p). Etão, vale o seguite resultado: ( lim P X p ) z = Φ(z), p(1 p) ode Φ(z) é a fução de distribuição da ormal padrão. Desta forma, vale a aproximação para grade: ( x p P(X x) Φ ). p(1 p) 96 / 140

111 Exemplo 7.4 Exemplo de aplicação da aproximação da biomial pela ormal Supoha que laçamos uma moeda hoesta 200 vezes. Obteha a probabilidade do úmero de caras estar etre 45% e 55% dos laçametos (icluido os extremos). Ou seja, se X deota o úmero de caras obtidas após os 200 laçametos, temos que X Bi(200,1/2), e queremos calcular P(90 X 110) = P(X 110) P(X 89). Como o parâmetro p da biomial ão é pequeo, ou seja, ão está próximo de zero, a aproximação ideal é dada pela ormal. Assim, como p(1 p) = 7,07 e p = 100, pela proposição aterior, temos que P(90 X 110) Φ( ,07 Logo, a probabilidade é de aproximadamete 0,8187. ) Φ( ,07 = Φ(1,41) Φ( 1,27) = Φ(1,41) (1 Φ(1,27)) = Φ(1,41) + Φ(1,27) 1 = 0, , = 0, ) Nota No exemplo aterior: A probabilidade exata é dada por 0,8626. A probabilidade obtida pela aproximação de Poisso é dada por 0,7065. Vemos que a aproximação é, de fato, muito pobre este caso. O motivo da aproximação ser ruim é que a aproximação da biomial pela Poisso supõe que a probabilidade p da biomial tede a zero quado tede a ifiito, o que ão acotece o exemplo aterior. 7.3 A Distribuição Expoecial A distribuição expoecial é uma distribuição muito utilizada a prática para modelar tempo de falha de objetos. Por exemplo, pode ser usada para modelar o tempo que demora até uma lâmpada falhar. Ela possui um parâmetro, λ, que pode ser iterpretado da seguite forma: 1/λ é o tempo de vida médio do objeto. Mais precisamete, temos a Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Expoecial Uma variável aleatória cotíua X assumido valores ão-egativos é dita seguir distribuição expoecial com parâmetro λ > 0, se sua fução de desidade é dada por { λe λx, x 0, f (x) = 0, x < 0. Deotamos X Exp(λ). 97 / 140

112 Observe que f (x) é, de fato, uma fução de desidade, pois f (x) 0 para todo x, e, além disso, f (x)dx = λe λx dx 0 = λ e λx λ = λ 1 0 λ = 1. Na figura abaixo apresetamos gráficos das fuções de desidade da distribuição expoecial para algus valores de λ: f(x) (1.5) (0.5) x Figura 7.2: Exemplo de fuções de desidade da distribuição expoecial para valores de λ descritos o parêtese (λ) Podemos também calcular a fução de distribuição de uma variável aleatória seguido distribuição expoecial explicitamete: F(x) = P(X x) = x 0 λe λx dx = λ e λx λ x [ ] 0 = λ e λx para x 0, e F(x) = 0, se x < 0. λ = 1 e λx, Em particular, obtemos P(X > x) = e λx. Esperaça Temos que 1 λ E(X) = 0 xλe λx dx. Itegrado por partes com dv = λe λx dx e u = x, temos que v = e λx e du = dx, e portato, E(X) = xe λx e λx dx 0 0 = 0 + e λx λ 0 = 1 λ. 98 / 140

113 Variâcia Itegrado por partes duas vezes, obtemos que Portato, E(X 2 ) = 2 λ 2. Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ 2. Exemplo 7.5 Exemplo de cálculo evolvedo a distribuição expoecial Supoha que X Exp(λ). Vamos ecotrar a probabilidade de que X seja maior que seu valor esperado. De fato, como E(X) = 1/λ, queremos calcular: P(X > 1/λ) = 1 F(1/λ) = 1 (1 e λ 1/λ ) = e 1 0,37. Exercício O tempo médio de falha das lâmpadas produzidas em uma certa fábrica é de horas. Sabedo que o tempo de falha destas lâmpadas segue distribuição expoecial, qual é a probabilidade de uma lâmpada falhar o primeiro ao de uso? Solução Primeiro, observe que como o tempo médio de falha é de horas, o parâmetro da expoecial é dado por λ 1 = Como um ao tem 365 dias (em geral ão cosidera-se aos bissextos), temos = 8760 horas em um ao. Assim, queremos calcular P(X 8760) = 1 e e 0,5 0,39. Assim, temos uma probabilidade de aproximadamete 39% de que a lâmpada veha a falhar o primeiro ao de uso Perda de Memória Assim como a distribuição Geométrica é a úica distribuição discreta que possui perda de memória, a distribuição expoecial é a úica distribuição cotíua que possui perda de memória. Mais precisamete, cosidere o seguite exemplo: Exemplo 7.6 Ilustração da perda de memória da distribuição expoecial Supoha que Pedro é fucioário da fábrica de lâmpadas e sua fução é esperar até que uma lâmpada falhe. Supoha que Pedro já esperou 6 meses e a lâmpada aida ão falhou, isto sigifica que a probabilidade da lâmpada falhar os próximos 30 dias será maior do que a probabilidade de falhar os primeiros 30 dias de uso da lâmpada? A resposta é ão. Não importa o quato tempo Pedro teha esperado, a probabilidade de falha os próximos 30 dias sempre será a mesma. Assim como para a distribuição geométrica, esta propriedade da distribuição expoecial é chamada de perda de memória. 99 / 140

114 Mais precisamete, seja X uma variável aleatória seguido distribuição expoecial com parâmetro λ. Etão, temos que para todo par de úmeros reais positivos, t,s, vale De fato, temos que P(X > t + s X > t) = P(X > t + s X > t) = P(X > s). P(X > t + s,x > t) P(X > t) o etato, já vimos que, para todo x > 0, P(X > x) = e λx. Daí, = P(X > t + s), P(X > t) P(X > t + s X > t) = P(X > t + s) P(X > t) = e λ(t+s) e λt = e λs = P(X > s). Isto prova a perda de memória. Observe que aqui, assim como a geométrica, a realidade, mostra mais do que falamos. Não só diz que a próxima probabilidade ão muda, mas essecialmete diz o seguite: se Pedro já esperou um certo tempo t para a lâmpada falhar, e ela aida ão falhou, as probabilidades de falhas dali para frete são as mesmas de como se ele tivesse começado a esperar aquele mometo. Ou seja, a distribuiçã expoecial esquece todo o passado que já foi esperado. 7.4 A Distribuição Gama A Fução Gama Defiição: Fução Gama A fução gama, deotada por Γ( ), é dada por Γ(p) = 0 x p 1 e x dx, p > 0. Realizado a itegral por partes a fução gama, fazedo u = x p 1 e dv = e x dx, temos que Γ(p) = e x x p 1 ( e x (p 1)x p 2) dx 0 0 = 0 + (p 1) e x x p 2 dx 0 = (p 1)Γ(p 1). Se p = um úmero atural, etão teremos que Porém, temos que Γ() = ( 1)Γ( 1) = = ( 1)( 2) 1 Γ(1). Γ(1) = 0 e x dx = 1. Assim, temos que se é um úmero atural, Γ() = ( 1)!, e portato a fução gama geeraliza o fatorial, e pode ser pesada como o fatorial de úmeros reais positivos. 100 / 140

115 7.4.2 Distribuição Gama Defiição: Variável Aleatória Seguido Distribuição Gama Seja X uma variável aleatória cotíua tomado valores ão-egativos. Dizemos que X segue distribuição gama com parâmetros r > 0 e α > 0, se sua fução de desidade for dada por Deotamos X Gama(r, α). f (x) = α Γ(r) (αx)r 1 e αx, x 0. A distribuição gama é mais flexível que a distribuição expoecial, isto é, as desidades podem assumir as mesmas formas das desidades da distribuição expoecial, mas também podem assumir formas diferetes. Isso se deve à iclusão do segudo parâmetro. Na figura abaixo apresetamos gráficos das fuções de desidade da distribuição gama para algus valores de r e α: f(x) (1;0,5) (2;0,5) (9;2) (3;0,5) x Figura 7.3: Exemplo de fuções de desidade da distribuição gama para valores de r e α descritos o par ordeado (r,α) Nota Observe que se X Gama(1,α), etão a realidade X Exp(α). Assim, a distribuição expoecial é caso particular da distribuição gama. Além disso, por este fato, o parâmetro α da distribuição gama é chamado de taxa, e o parâmetro r é chamado de parâmetro de forma. Esperaça e Variâcia É possível mostrar que se X Gama(r,α), etão E(X) = r α e Var(X) = r α / 140

116 Exercício Supoha que o tempo de vida útil, em aos, de uma máquia de lavar é uma variável aleatória X com fução de desidade dada por Determie a distribuição de X. f (x) = xe x/2, x 0. 4 Além disso, se o fabricate forece seis meses de garatia para o produto, qual a proporção de aparelhos que devemos esperar que usem essa garatia? Solução Olhado a fução de desidade, observamos que ão se trata de uma distribuição expoecial, mas que se parece com uma distribuição gama. Comparado a desidade acima com a desidade geral da distribuição gama, vemos que X segue distribuição gama com parâmetros r = 2 e α = 1/2. Como o tempo de vida está sedo dado em aos, queremos calcular a probabilidade P(X 1/2) = 1/2 xe x/2 0 4 dx = 1 4 1/2 0 xe x/2 dx. Para calcular a probabilidade acima, vamos itegrar por partes. Fazedo u = x e dv = e x/2 dx, obtemos que du = dx e v = 2e x/2. Desta forma, P(X 1/2) = 1 2 xe x/2 1/2 = e 1/ /2 0 e x/2 dx = e 1/4 2 e x/2 1/2 0 = e 1/4 2 (e 1/4 1) 0, /2 0 ( 2e x/2 )dx Desta forma, é esperado que aproximadamete 2,65% das máquias de lavar utilizarão o serviço de garatia. 7.5 Atividades 1. Se Y tem distribuição uiforme em (0,5), qual é a probabilidade de que as raízes da equação 4x 2 + 4xY +Y + 2 = 0 sejam ambas reais? 2. Numa população, o ível sérico de colesterol em adultos (medido em mg/dl) é uma variável aleatória com distribuição ormal com parâmetros µ = 225 e σ = 75. Calcule: a) a proporção de pessoas com ível de colesterol etre 200 e 350. b) o valor acima do qual se ecotra o colesterol da parcela de 10% da população que tem os íveis mais elevados. 3. Seja X N(5,16). Obteha: a) P(X 13); b) P(X 1); 102 / 140

117 c) P(4 X 9); d) o valor de a tal que P(X a) = 0,04; e) o valor de b tal que P(X b) = 0,01; f) o itervalo que cotém 95% dos valores cetrais (itervalo simétrico em toro de µ) de X. 4. Em uma fábrica de refrigerate, uma máquia é usada para echer garrafas de 600ml. O coteúdo líquido (em ml) por garrafa varia segudo a distribuição ormal com parâmetros µ = 600 e σ = 4. Calcule: a) a porcetagem de garrafas produzidas com coteúdo iferior a 592ml ou superior a 612ml; b) o coteúdo míimo ecotrado em 96% das garrafas fabricadas. 5. O peso em gramas de recém-ascidos em uma materidade tem distribuição ormal com parâmetro µ = 3000g. Sabe-se que 98% dos bebês ascem com um peso compreedido etre 2,5kg e 3,5kg. Determie: a) o parâmetro σ; b) o peso abaixo do qual ascem 0,4% dos bebês dessa materidade. 6. Se 55% da população de uma cidade é a favor de um projeto proposto pelo prefeito, estime (usado a aproximação da biomial pela ormal) de que, em uma amostra aleatória de 176 pessoas, o máximo 93 sejam favoráveis ao projeto. 7. Seja U uma variável aleatória uiforme o itervalo (a,b). Calcule, para todo 1, E(U ). 8. Seja X uma variável aleatória seguido distribuição Expoecial com parâmetro λ. Calcule E(X ). 9. Obteha a esperaça da área de um triâgulo retâgulo isósceles cuja hipoteusa tem comprimeto uiformemete distribuído o itervalo (2,8). 10. Um computador foi usado para gerar sete úmeros aleatórios idepedetes uiformemete distribuídos o itervalo (0,1). Calcule a probabilidade de que: a) exatamete de três úmeros estejam etre 1/2 e 1; b) meos do que três sejam maiores que 3/ (Distribuição Log-Normal): Seja Y = e X, ode X N(0,1). Ecotre a desidade de Y. 12. Seja X N(0,1). Seja Y = X 2. Obteha a desidade de Y, mostre que Y segue distribuição Gama e determie os parâmetros. (Dica: Use que Γ(1/2) = π.) Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 103 / 140

118 Capítulo 8 Itrodução à Iferêcia Estatística OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Cohecer os pricipais tipos de amostragem Saber o que são estimadores e a difereça etre estimador e estimativa Cohecer a distribuição amostral da média, proporção, difereça de médias e difereça de proporções Saber costruir diversos itervalos de cofiaça Saber realizar uma regressão liear de Y em X e calcular seu coeficiete de determiação 8.1 Defiições Básicas Vamos começar relembrado dois coceitos básicos importates de estatística, a saber, população e amostra. De uma maeira mais precisa, temos a seguite defiição: Defiição: População O cojuto de todos os elemetos, ou resultados, sob ivestigação é chamado de população. Quado estamos lidado com uma população é iteressate observar: Características mesuráveis (expressas por variáveis uméricas); Características qualitativas (expressas por variáveis omiais ou categóricas). Defiição: Parâmetros Populacioais Damos o ome de parâmetros da população ou parâmetros populacioais aos valores uméricos que caracterizam globalmete uma população. Relacioadas à população temos as seguites defiições: 104 / 140

119 Defiição: Amostra e Tamaho Amostral Um subcojuto da população é chamado de amostra. Chamamos o úmero de elemetos da amostra de de tamaho amostral. Importate O objetivo da iferêcia estatística é produzir afirmações sobre dada característica da população a qual estamos iteressados, a partir de iformações colhidas de uma parte dessa população. Esta característica a população pode ser represetada por uma variável aleatória. A relação etre iferêcia e amostragem é ilustrada a figura abaixo: Figura 8.1: Amostragem e Iferêcia Nota Se tivermos iformações completas sobre a distribuição, ão haverá ecessidade de obter amostras. Podemos supor que as variáveis vêm de uma família de distribuições de probabilidade, mas ão podemos supor qual o valor do parâmetro. Por exemplo, podemos supor que os dados seguem distribuição ormal, mas ão podemos iformar os valores das médias e variâcias. Existem casos ode a amostragem é ecessária. úmero de glóbulos bracos. Por exemplo, se quisermos saber o É importate que a amostra seja represetativa da população, ou seja, que o comportameto da amostra seja próximo do comportameto da população. Para garatir isso, é preciso saber escolher bem o tamaho amostral, e que a amostra seja obtida aleatoriamete. 8.2 Amostragem Tipos de Amostragem Temos dois grades grupos de amostragem: 105 / 140

120 Amostragem Probabilística: O mecaismo de escolha dos elemetos da amostra é tal que existe uma probabilidade cohecida de cada elemeto da população vir a participar da amostra. Amostragem Não-Probabilística: Não existe ehum mecaismo probabilístico a seleção da amostra. Tipos de Amostragem Probabilística Amostragem Aleatória Simples (AAS): a. Supomos que a população é homogêea, ou seja, a característica que estamos procurado pode aparecer em qualquer elemeto da população com a mesma probabilidade; b. Procedimeto: Rotular os elemetos da população e sortear os idivíduos que farão parte da amostra. Amostragem Sistemática: a. Supomos que a população é homogêea; b. Procedimeto: Os elemetos da população são ordeados, a retirada do primeiro elemeto é aleatória, e a partir do segudo elemeto a retirada é feita periodicamete (com período determiístico). Por exemplo, o primeiro elemeto é retirado aleatoriamete, e em seguida, retiramos o décimo elemeto depois do primeiro retirado, depois o décimo elemeto após o segudo retirado, e assim por diate. Amostragem Estratificada: a. Supomos que a população é heterogêea, ou seja, a característica que estamos procurado pode variar depededo de ode os dados são retirados. Etretato, supomos que podemos dividir a população em grupos (estratos) homogêeos; b. Procedimeto: A seleção dos elemetos de cada estrato é realizada de forma aleatória, ou seja, realizamos uma amostragem aleatória simples em cada estrato. Amostragem por Coglomerado: a. Supomos que a população pode ser dividida em subgrupos (coglomerados) heterogêeos; b. Procedimeto: A amostragem é realizada sobre os coglomerados, e ão mais sobre os idivíduos da população, ou seja, realiza-se uma amostragem aleatória simples, ode os elemetos escolhidos são os coglomerados a serem utilizados, ao ivés de já se sortear os elemetos da amostra. 106 / 140

121 8.2.2 Distribuição Amostral Iteresse Uma medida que descreva certa característica da população. Normalmete temos iteresse em um parâmetro descohecido da população, seja média, variâcia, ou outro parâmetro. Solução A partir da amostra, podemos costruir uma fução, utilizado apeas os valores obtidos esta amostra, para descrever tal característica. Esta fução é chamada de estatística. Nota Como os valores da amostra são aleatórios, qualquer quatidade calculada em fução dos elemetos da amostra também será uma variável aleatória. Assim, as estatísticas, sedo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade. Formalização do Problema Seja X 1,...,X uma amostra aleatória simples (AAS) de uma população de tamaho. Para realizarmos uma afirmação sobre algum parâmetro θ da população (média, variâcia, etc.), utilizaremos uma estatística T que, como sabemos, é uma fução da amostra, isto é, T = f (X 1,...,X ), para alguma fução f. Nota Quado cohecemos melhor o comportameto da estatística T, ou seja, se cohecemos sua distribuição amostral, que ada mais é que a distribuição de probabilidade da variável aleatória T, poderemos realizar afirmações sobre o parâmetro θ. A distribuição amostral relata o comportameto da estatística T, caso retirássemos todas as possíveis amostras de tamaho Distribuição Amostral da Média Cosideremos uma população idetificada pela variável aleatória X, cujos parâmetros média populacioal µ = E(X) e variâcia populacioal σ 2 = Var(X) são supostos cohecidos. Vamos tirar todas as possíveis amostras de tamaho dessa população e, para ccada uma, calcular a média amostral X dada por X = 1 e em seguida vamos obter algumas propriedades de X. Cosidere a população {1,3,5,7}. Sabemos que a média populacioal é µ = 4,2 e a variâcia populacioal é σ 2 = 4,16. Se retiramos uma amostra de tamaho = 2, segudo amostragem aleatória simples (etão todos os elemetos possuem a mesma probabilidade de serem retirados), a distribuição amostral de X = X 1 + X 2 2 será dada por X i, 107 / 140

122 x Total P(X = x) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1 Assim, e Temos etão a seguite proposição: E(X) = 7 x i P(X = x i ) = 4,2, Var(X) = 2,08. Proposição Seja X uma variável aleatória com média µ e variâcia σ 2, e seja (X 1,...,X ) uma AAS de X. Etão, E(X) = µ e Var(X) = σ 2. Demostração Temos que ( 1 E(X) = E = = 1 = µ = µ. E(X i ) e, usado que a variâcia de soma de variáveis idepedetes é dada pela soma das variâcias, e as propriedades da variâcia, temos: µ ( 1 Var(X) = Var = Var X i ) ( Xi = 1 2 σ 2 = σ 2 2 = σ 2. X i ) ) Teorema Cetral do Limite Vamos agora euciar um dos pricipais resultados da probabilidade modera: o teorema cetral do limite. A demostração deste teorema pode ser ecotrada em livros mais avaçados de probabilidade. 108 / 140

123 Teorema Cetral do Limite Sejam X 1,...,X uma AAS da variável aleatória X, com distribuição comum satisfazedo E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2. Como a amostragem foi AAS, temos que as variáveis são idepedetes. Assim, se é grade, temos que, P(X x) Φ µ,σ 2 / (x), ode Φ µ,σ 2 é a fução de distribuição de uma variável aleatória N N(µ,σ 2 /). Assim, dizemos que X segue aproximadamete distribuição ormal com média µ e variâcia σ 2 /. Podemos fazer a mudaça de variáveis: Z = X µ σ/. Desta forma, o teorema cetral do limite os diz que se é suficietemete grade, temos que Z segue aproximadamete distribuição ormal com média 0 e variâcia 1. Nota No caso em que a distribuição de X é ormal, a distribuição de X será ormal, mesmo para valores pequeos de Distribuição Amostral da Proporção Seja X uma variável aleatória com distribuição Beroulli com parâmetro p, isto é, P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1 p. Temos que E(X) = p e Var(X) = p(1 p). Cosidere uma AAS de tamaho dessa população. Seja S = o úmero de idivíduos com a característica de iteresse da amostra. Sabemos que S Bi(, p). Pelo teorema cetral do limite temos que X tem distribuição aproximadamete ormal, para suficietemete grade. Seja p = X, a proporção amostral. Etão, temos que p aprox. ( p(1 p) ) N p,, ou equivaletemete, Z = X i, p p aprox. N(0,1), p(1 p)/ pois, temos que ( S ) E( p) = E = 1 E(S ) = p = p, e ( S ) Var( p) = Var = 1 p(1 p) 2Var(S ) = 2 = É possível mostrar, a realidade, que vale o seguite resultado: p p aprox. N(0,1), p(1 p)/ p(1 p). ou seja, se trocarmos p(1 p)/ por p(1 p)/, o resultado aida vale. Este resultado será útil a costrução de itervalos de cofiaça. 109 / 140

124 Distribuição Amostral da Difereça etre Médias Em vários problemas práticos, deseja-se comparar duas populações de iteresse. Por exemplo, podemos estar iteressados em avaliar a difereça de desempeho etre duas lihas de produção. Supoha que duas populações de iteresse, X 1 e X 2, com médias µ 1 e µ 2, e variâcias σ 2 1 e σ 2 2, respectivamete. Cosidere duas AAS idepedetes de tamahos 1 e 2 das duas populações. Pelo teorema cetral do limite, a distribuição amostral da difereça (X 1 X 2 ), para 1 e 2 suficietemete grades, será dada por ou equivaletemete, pois, e (X 1 X 2 ) aprox. Z = (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ1 2/ 1 + σ2 2/ 2 ( N µ 1 µ 2, σ σ 2 ) 2, 1 2 aprox. N(0,1), E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = µ 1 µ 2, Var(X 1 X 2 ) = Var(X 1 ) +Var(X 2 ) = σ σ Distribuição Amostral da Difereça etre Proporções Neste caso, supomos que as duas populações de iteresse apresetam distribuição biomial com proporções p 1 e p 2. Cosidere que são feitas duas AAS idepedetes de tamahos 1 e 2. A distribuição amostral da difereça etre proporções ( p 1 p 2 ), para 1 e 2 suficietemete grades, pelo teorema cetral do limite temos ou equivaletemete, ( p 1 p 2 ) aprox. Z = ( N p 1 p 2, p 1(1 p 1 ) + p 2(1 p 2 ) ), 1 2 ( p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) aprox. N(0,1). p1 (1 p 1 )/ 1 + p 2 (1 p 2 )/ Iferêcia Estatística Supoha que alguma característica da população possa ser represetada por uma variável aleatória X, com fução de distribuição F X (x;θ). Supoha que os valores x 1,...,x de uma AAS X 1,...,X de F X (x;θ) possam ser observados. Com base os valores amostrais, desejamos estimar o parâmetro descohecido θ, ou alguma fução deste parâmetro. Neste caso, a estimação poderá ser feita de duas maeiras: Estimação Potual: Estimamos o parâmetro θ por meio de uma estatística T = t(x 1,...,X ), chamada de estimador. Estimação Itervalar: É defiida por duas estatísticas T 1 = t 1 (X 1,...,X ) e T 2 = t 2 (X 1,...,X ), tais que T 1 < T 2, ode o itervalo [T 1,T 2 ] terá uma probabilidade cohecida de coter o parâmetro descohecido θ. 110 / 140

125 8.3.1 Estimação Potual Vamos começar etededo a difereça etre estimador e estimativa. Defiição: Estimador Um estimador é uma estatística, isto é, é uma fução da amostra, que é usada para represetar um valor plausível para o parâmetro descohecido de iteresse. Defiição: Estimativa É valor umérico particular assumido por um estimador. Ou seja, é o valor do estimador aplicado em uma realização da amostra Propriedades dos Estimadores Importate É importate frisar que podem existir vários estimadores para um mesmo parâmetro populacioal. Logo, a escolha do melhor estimador será feita com base em algus critérios. Não-Tedecioso (Também chamados de ão-viesados ou ão-viciados): Dizemos que um estimador T é ão-viesado para o parâmetro θ se o seu valor esperado for igual ao próprio parâmetro, isto é, se E(T ) = θ. Cosistêcia: Dizemos que um estimador T para o parâmetro θ é cosistete se, além de ser ão-viesado, sua variâcia tede a zero quado o tamaho amostral tede a ifiito: lim Var(T ) = 0. Eficiêcia: Sejam T 1 e T 2 dois estimadores ão-viesados para o parâmetro θ, com etão, dizemos que T 1 é mais eficiete que T 2. Var(T 1 ) < Var(T 2 ), 111 / 140

126 Exemplo 8.1 Exemplo de estimador viesado Seja X 1,...,X uma AAS da seguido distribuição uiforme o itervalo [0,θ]. Um estimador atural para θ é dado pelo maior valor ecotrado a amostra, já que sabemos que a distribuição uiforme ão forece valores maiores do que θ. Assim, seja M = max(x 1,...,X ), ou seja, o maior valor da amostra. Vamos mostrar que M é um estimador viesado para θ. Seja X U(0,θ), etão a fução de desidade de X é dada por f X (x) = 1 θ, 0 < x < θ, e f X (x) = 0 caso cotrário. Assim, se F M é a fução de distribuição de M, etão, como as variáveis X 1,...,X são idepedetes, temos que e portato, Além disso, temos que Logo, temos que F M (m) = P(M m) = P(max(X 1,...,X ) m) = P(X 1 m,...,x m) = P(X 1 m) P(X m) = [P(X m)] = [F X (m)], f M (m) = F M(m) = [F X (m)] 1 f X (m). F X (x) = x 0 1 θ dt = x θ, 0 < x < θ. [ m ] 1 1 f M (m) = θ θ = m 1 θ, 0 < m < θ. E(M) = θ m m 1 0 θ = ( m +1 θ + 1 = θ +1 θ + 1 = + 1 θ. ) θ dm = 0 θ θ 0 m dm Assim, temos que M é um estimador viesado. Podemos obter um outro estimador, a partir de M, que seja ão-viesado, dado por M = + 1 M Algus Estimadores Potuais Importates Estimador para a Média O estimador mais utilizado para a média populacioal µ é a média amostral: µ = X = 1 X i. 112 / 140

127 Estimador para a Variâcia Quado a média populacioal µ é cohecida, um estimador para a variâcia populacioal é dado por σ 2 = 1 (X i µ) 2. Caso a média populacioal µ seja descohecida, que é a situação mais comum a prática, a variâcia populacioal pode ser estimada por S 2 = 1 1 (X i X) Estimador para a Proporção Um estimador para a proporção populacioal é dado pela proporção amostral: p = S, ode S é o úmero de elemetos que apresetam uma determiada característica de iteresse etre os elemetos da amostra Estimação Itervalar Supoha que temos um estimador para um certo parâmetro θ dado por θ. Além disso, supoha que temos a seguite aproximação: θ θ σ aprox. N(0,1). Queremos etão utilizar θ e a aproximação acima para costruir um itervalo de cofiaça para θ, ou seja, queremos utilizar θ para costruir um itervalo aleatório, do tipo [T 1,T 2 ], ode T 1 e T 2 depedem de θ tal que P(T 1 < θ T 2 )) 1 α, ode α é um ível de sigificâcia determiado previamete. Normalmete costuma-se escolher α = 0,01,α = 0,05 ou α = 0,10, isto é, estamos afirmado que em apeas em 1%, ou 5%, ou 10%, das amostras possíveis (de mesmo tamaho) da população, o itervalo de cofiaça ão cotém o parâmetro θ. Nestes casos, dizemos que estamos costruido itervalos de cofiaça de íveis de cofiaça de 99%, 95% ou 90%, respectivamete. Observe que a aproximação acima obtida para θ os forece: ( ) ) P C < θ θ σ C = P( θ θ σ C P( θ θ σ Φ(C) Φ( C) = Φ(C) 1 + Φ(C) = 2Φ(C) 1. Por outro lado, ( P C < θ θ σ ) C ) C ( = P Cσ < θ ) θ Cσ ( = P Cσ θ < θ Cσ θ ) ( = P Cσ + θ θ < Cσ + θ ). 113 / 140

128 Jutado as duas equações, obtemos que: ( ) P Cσ + θ θ < Cσ + θ 2Φ(C) 1. Se quisermos um ível 1 α, temos que resolver 2Φ(C) 1 = 1 α o que forece C = Φ 1( 1 α ), 2 ode Φ 1 (1 α/2) é o valor ecotrado a tabela da ormal, tal que a probabilidade de ser meor ou igual a este valor é de 1 α/2. Fialmete, obtemos que um itervalo de cofiaça de ível α para θ é dado por [ Cσ + θ;cσ + θ], ode C é dado por C = Φ 1( 1 α 2 ) Itervalo de Cofiaça para a Média Seja X 1,...,X uma AAS de uma variável aleatória comum X satisfazedo E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2. Etão, seja X a média dessa AAS: X = 1 Vimos que a distribuição amostral da média é, pelo Teorema Cetral do Limite, aproximadamete: X i. X µ σ/ N(0,1). Pelo que vimos a subseção aterior, isto os diz que um itervalo de cofiaça de ível 1 α para a média é dado por [ C σ + X;C σ ] + X, ode C é dado por C = Φ 1( 1 α 2 ). Exemplo 8.2 Exemplo de cálculo de itervalo de cofiaça para a média Supoha que as alturas dos aluos da UFPB teham distribuição ormal com σ = 15cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 aluos obtedo-se X = 175cm. Vamos costruir um itervalo de 95\% de cofiaça para a verdadeira altura média dos aluos. Primeiramete, ote que estamos queredo 1 α = 0,95, o que os forece α = 0,05 e desta forma, 1 α/2 = 0,975. Olhado para a tabela da ormal, vemos que C = Φ 1 (1 α/2) é dado por 1,96. Desta forma, o itervalo de cofiaça é dado por [ 1, ;1,96 15 ] Realizado a cota, obtemos que o itervalo, ao ível de 95% de cofiaça para o verdadeiro valor da altura média dos aluos da UFPB é [ ] 1,72;1, / 140

129 8.3.6 Itervalo de Cofiaça para a Proporção Seja X 1,...,X uma AAS de uma variável aleatória Beroulli X com parâmetro p, isto é, as variáveis X i assumem o valor 1 com probabilidade p, e 0 com probabilidade 1 p. Seja p a proporção da amostra que assume valor 1 (ou em exemplos práticos a proporção da amostra que satisfaz uma determiada codição), etão, temos que p é dado por p = X = 1 Vimos que a distribuição amostral da proporção satisfaz X i. p p aprox. N(0,1). p(1 p)/ Desta forma, utilizado o que vimos a costrução de itervalos de cofiaça, um itervalo de cofiaça de ível 1 α para a proporção é dado por [ p(1 p) p(1 p) ] C + p;c + p, ode C é dado por C = Φ 1( 1 α 2 ). Exemplo 8.3 Exemplo de cálculo de itervalo de cofiaça para a proporção Uma amostra de 300 habitates de uma cidade mostrou que 180 desejavam a água fluorada. Vamos ecotrar o itervalo de cofiaça de 95% para a população favorável a fluoração. Primeiramete, ote que estamos queredo 1 α = 0,95, o que os forece α = 0,05 e desta forma, 1 α/2 = 0,975. Olhado para a tabela da ormal, vemos que C = Φ 1 (1 α/2) é dado por 1,96. Por outro lado, como a proporção estimada dos habitates favoráveis a fluoração é Desta forma, o itervalo de cofiaça é dado por [ 1,96 p = = 0,6. 0,6 0, ,6;1,96 0,6 0,4 ] + 0, Realizado a cota, obtemos que o itervalo, ao ível de 95% de cofiaça para o verdadeiro valor da proporção da população favorável a fluoração é [ ] 0,54;0, Itervalo de Cofiaça para a Difereça de Médias Cosidere duas AAS idepedetes de tamahos 1 e 2 das duas populações. Vimos que a distribuição amostral da difereça (X 1 X 2 ), para 1 e 2 suficietemete grades, satisfaz (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ 2 1 / 1 + σ 2 2 / 2 aprox. N(0,1). 115 / 140

130 Desta forma, utilizado o que vimos a costrução de itervalos de cofiaça, um itervalo de cofiaça de ível 1 α para a difereça de médias é dado por [ ] C σ1 2/ 1 + σ2 2/ 2 + X 1 X 2 ;C σ 21 / 1 + σ 22 / 2 + X 1 X 2, ode C é dado por C = Φ 1( ) 1 α 2. Exemplo 8.4 Exemplo de cálculo de itervalo de cofiaça para a difereça de médias Um teste psicológico destiado a medir a precisão com que uma pessoa julga outras pessoas, foi realizado. As otas possíveis do teste variam de 0 a 41. Durate sua elaboração o teste foi aplicado a vários grupos com diferetes de pessoas. De acordo com os resultados observados, vamos costruir um itervalo de cofiaça para a difereça etre as médias dos grupos de homes e de mulheres, com $95\%$ de cofiaça. Homes: = 133, X = 25,34 e σ = 5,05. Mulheres: = 162, X = 24,94 e σ = 5,44. Primeiramete, ote que estamos queredo 1 α = 0,95, o que os forece α = 0,05 e desta forma, 1 α/2 = 0,975. Olhado para a tabela da ormal, vemos que C = Φ 1 (1 α/2) é dado por 1,96. Pelos dados do problema, temos que o itervalo de cofiaça é dado por [ (5,05) 2 1,96 + (5,44)2 (5,05) ,34 24,94;1,96 + (5,44)2 ] + 25,34 24, Realizado a cota, obtemos que o itervalo, ao ível de 95% de cofiaça para o verdadeiro valor da difereça etre as médias dos grupos de homes e de mulheres é [ ] 0,80;1, Regressão e Correlação Correlação Relação Fucioal e Relação Estatística Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacioados. A relação que os liga é perfeitamete defiida e pode ser expressa matematicamete por perímetro = 4l, ode l é o lado do quadrado. Atribuido-se, etão, um valor qualquer a l, é possível determiar exatamete o valor do perímetro. Cosideremos agora a relação etre o peso e a altura de um grupo de pessoas. É evidete que esta relação ão é do mesmo tipo da aterior. Assim, podemos ter duas pessoas com a mesma altura e pesos diferetes, assim como pessoas com mesmo peso e alturas diferetes. Porém, existe uma tedêcia clara de que, quato maior a altura, maior o peso. As relações do tipo perímetro-lado são chamadas de relações fucioais e as relações do tipo pesoaltura são chamadas de relações estatística. Quado duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação etre elas. 116 / 140

131 Diagrama de Dispersão O diagrama de dispersão apreseta os pares ordeados (x i,y i ) de uma amostra aleatória bidimesioal em um plao cartesiao. Esse diagrama os forece uma ideia grosseira, porém útil, da correlação existete. y x Figura 8.2: Exemplo de diagrama de dispersão Correlação Liear Se os potos do diagrama apresetam uma tedêcia liear ascedete, temos correlação liear positiva: y x Figura 8.3: Exemplo de diagrama de dispersão com correlação liear positiva 117 / 140

132 Se os potos apresetam uma tedêcia liear descedete, temos correlação liear egativa y x Figura 8.4: Exemplo de diagrama de dispersão com correlação liear egativa Se os potos apresetam uma tedêcia curvilíea, temos correlação ão-liear y x Figura 8.5: Exemplo de diagrama de dispersão com correlação ão-liear Se os potos apresetam-se dispersos, ão oferecedo uma tedêcia defiida, cocluímos que ão há correlação etre as variáveis em estudo 118 / 140

133 y x Figura 8.6: Exemplo de diagrama de dispersão sem correlação Coeficiete de Correlação de Pearso É usado para idicar o grau de itesidade da correlação liear etre duas variáveis e, aida, o setido dessa correlação: se positivo ou egativo. O coeficiete de correlação de Pearso etre duas amostras (x 1,...,x ) e (y 1,...,y ) é dado por r = x iy i ( x )( ) i y i [ x2 i ( x ) ][ 2 i y2 i ( y ) ], 2 i ode é o úmero de observações. Observe que r [ 1,1]. Temos que Se r = 1, há uma correlação perfeita e positiva etre as variáveis. Se r = 1 há uma correlação perfeita e egativa etre as variáveis. Se r = 0 ão há correlação etre as variáveis. Exemplo 8.5 Exemplo de cálculo do coeficiete de correlação de Pearso Cosidere uma amostra aleatória das variáveis (X,Y ), dada por (x i,y i ) a tabela abaixo: x i y i x i y i xi 2 y 2 i / 140

134 x i y i x i y i x 2 i y 2 i Assim, temos = 5, e portato r = (5 360 (40) 2 )(5 648 (56) 2 ) = 0,4160. Logo, a correlação liear etre as variáveis X e Y é positiva, porém fraca Regressão Podemos dizer que a aálise de regressão tem como objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação etre duas variáveis. A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o ome de variável depedete e a outra variável recebe o ome de variável idepedete. Assim, supodo que X é a variável idepedete e Y é a variável depedete, procuramos determiar através de ajuste de uma reta a relação etre essas variáveis, ou seja, vamos obter a fução defiida por Y = a + bx, ode a e b são os parâmetros da regressão. Etretato, sabemos que essa fórmula ão é exata, assim, existe a preseça de um erro aleatório: Y i = a + bx i + e i, i = 1,...,, ode e i é um erro aleatório que possui valor esperado igual a zero. A maeira que vamos utilizar para determiar valores adequados para a e b é a de miimizar a soma de quadrado dos erros. Ou seja, queremos escolher os valores a e b de tal forma que o osso modelo erre pouco. Este método é chamado de método de míimos quadrados. Assim, dadas as observações (X i,y i ),i = 1,...,, desejamos miimizar e 2 i = (Y i a bx i ) 2. Desta forma, para ecotrarmos o poto de míimo, precisamos calcular as derivadas parciais: e e2 i a e2 i b = 2 = 2 (Y i a bx i ), (Y i a bx i )X i. Assim, como os ossos estimadores â e b são os valores que miimizam a soma de quadrados dos erros, temos que â e b são tais que as derivadas parciais calculadas acima se aulam. Logo, temos que: 2 (Y i â bx i ) = 0 Y i â b i = 0 X / 140 Y i = â + b 1 X i,

135 e portato Por outro lado, temos também que â = Y bx. daí, 2 (Y i â bx i )X i = 0 Y i X i = â Substituido o valor de â a equação acima, obtemos Y i X i = (Y bx) Y i X i â X i + b X i + b X 2 i. X i b X 2 i. X 2 i = 0, Isolado b, obtemos ( b Xi 2 ( ) 2 X ) i = Y i X i ( Y i )( X i ). Isto os forece b = Y ix i ( Y )( ) i X i / X i 2 ( 2/ X i) Costuma-se usar as seguites otações para o umerador e deomiador da expressão que defie b: ( )( ) Y i X i e S Y X = S XX = Y i X i ( ) Xi 2 2 X i. Assim, temos as fórmulas para b e â em otação simplificada: b = S Y X S XX e â = Y bx., Importate Como estamos fazedo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o resultado, a realidade, é um estimador para a verdadeira equação de regressão, e portato, temos Ŷ i = â + bx i, ode Ŷ i é um estimador para Y i. Exemplo 8.6 Exemplo de cálculo das estimativas dos parâmetros em um modelo de regressão Abaixo apresetamos os valores de uma amostra de 10 observações de duas variáveis aleatórias X e Y : 121 / 140

136 y i x i y i x i xi x i y i x i y i x 2 i Daí, e assim Logo, temos a equação S Y X = S XX = = ,5 = 50,5, = ,5 = 58,5, 50, b = = 0,86 e â = 0,86 58, = 0,91. Ŷ i = 0,91 + 0,86X i. Na figura abaixo apresetamos o diagrama de dispersão jutamete com a reta de regressão estimada o exemplo aterior: y x Figura 8.7: Exemplo de ajuste de regressão 122 / 140

137 O Poder Explicativo do Modelo Existe uma medida utilizada para avaliar a qualidade do ajuste. Esta medida é cohecida como coeficiete de determiação ou poder explicativo da regressão. Seu valor forece a proporção da variação total da variável Y explicada pela variável X através da fução ajustada. O coeficiete de determiação é deotado por R 2 e pode ser expresso por ode e R 2 = b 2 S XX S YY ou R 2 = bs Y X S YY, S Y X = S XX = S YY = Y i X i ( ) Xi 2 2 X i, ( ) Yi 2 2 Y i, ( Y i )( X i ) O coeficiete de determiação pode assumir valores o itervalo [0,1], isto é, 0 R 2 1. Quado R 2 = 0, a variação explicada de Y é zero, ou seja, a reta ajustada é paralela ao eixo da variável X. Se R 2 = 1, a reta ajustada explicará toda a variação de Y. Assim, quato mais próximo de 1 estiver o valor de R 2, melhor será a qualidade do ajuste da regressão aos potos do diagrama de dispersão e quato mais próximo de zero, pior será a qualidade do ajuste. Se o poder explicativo for, por exemplo, 98%, isto sigifica que 98% das variações de Y são explicadas por X através da fução escolhida para relacioar as duas variáveis e 2% são atribuídas a causas aleatórias. Na figura abaixo vemos um exemplo o qual R 2 = 1:. y x Figura 8.8: Exemplo cotedo diagrama de dispersão e reta de regressão ajustada para R 2 = / 140

138 Nesta figura vemos um exemplo o qual R 2 < 1, mas é próximo de 1, R 2 = 0,93: y x Figura 8.9: Exemplo cotedo diagrama de dispersão e reta de regressão ajustada para R 2 = 0,93 Nesta figura vemos um exemplo o qual 0 < R 2, mas é próximo de 0, R 2 = 0,32: y x Figura 8.10: Exemplo cotedo diagrama de dispersão e reta de regressão ajustada para R 2 = 0,32 Na figura abaixo vemos um exemplo com R 2 = 0: 124 / 140

139 y x Figura 8.11: Exemplo cotedo diagrama de dispersão e reta de regressão ajustada para R 2 = 0 Exemplo 8.7 Exemplo de cálculo do R 2 Vamos calcular o coeficiete de determiação, R 2, para o exemplo cosiderado a última seção. A saber, temos os valores de uma amostra de 10 observações de duas variáveis aleatórias X e Y : y i x i y i x i xi 2 y 2 i x i y i x i y i x 2 i y 2 i Daí, e S YY = S XX = = ,5 = 52,5, = ,5 = 58,5. Como calculado ateriormete, temos que b = 0,86 e, portato, R 2 = (0,86) 2 58,5 52,5 0, / 140

140 Logo, 83% da variação total está sedo explicada pela regressão. 8.5 Atividades 1. Supoha que as alturas dos aluos da UFPB teham distribuição ormal com σ = 15cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 aluos obtedo-se X = 175cm. Costrua um itervalo de 90% de cofiaça para a verdadeira altura média dos aluos, e outro de ível 99%. 2. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquia, ecotrado-se para uma medida uma média de 5,2mm. Sabedo-se que as medidas têm distribuição ormal com desvio-padrão populacioal de 1,2mm, costrua itervalos de cofiaça para a média com cofiaças de 90%, 95% e 99%. 3. Supoha uma população com σ 2 = 9 e cosidere uma amostra aleatória de tamaho = 36 dessa população, com X = 110. Determie os itervalos de cofiaça para µ, com cofiaça de 90% e 95%. 4. Uma amostra de 300 habitates de uma cidade mostrou que 180 desejavam a água fluorada. Ecotre os itervalos de cofiaça de 90% e 99% para a população favorável a fluoração. 5. Em 50 laces de uma moeda foram obtidas 30 caras. A partir de um itervalo de cofiaça de 96%, pode-se dizer que a moeda é hoesta? 6. Numa amostra de 400 casas, 100 dessas casas são alugadas. Costrua um itervalo de cofiaça para a proporção de casas alugadas, com uma cofiaça de 96% e, supodo a mesma cofiaça, costrua também um itervalo de cofiaça para o úmero de casas alugadas a cidade, uma vez que a cidade possui casas. 7. Um teste psicológico destiado a medir a precisão com que uma pessoa julga outras pessoas, foi realizado. As otas possíveis do teste variam de 0 a 41. Durate sua elaboração o teste foi aplicado a vários grupos com diferetes de pessoas. De acordo com os resultados observados, costrua um itervalo de cofiaça para a difereça etre as médias dos grupos de homes e de mulheres, com 90% de cofiaça. Homes: = 133, X = 25,34 e σ = 5,05. Mulheres: = 162, X = 24,94 e σ = 5, Supoha duas populações ormalmete distribuídas de forma que a população I correspode a variável aleatória X N(µ 1,25) e a população II correspode a variável aleatória Y N(µ 2,40). Com base as amostras obtidas abaixo costrua um itervalo de cofiaça para µ 1 µ 2 com 95% de cofiaça. Amostra da População I - 12, 14, 15, 14, 13, 17, 14, 13. Amostra da População II - 13, 17, 14, 13, 16, 17, 18, Uma pesquisa revelou que das 500 doas de casa cosultadas, 300 preferiram o detergete A. Um fucioário da compahia afirmou que 50% das doas de casa preferem o detergete A. A compahia, tem evidêcia, ao ível de 95% para cofiar o fucioário? 10. Sabe-se por experiêcia que 5% da produção de um determiado artigo é defeituosa. Um ovo empregado é cotratado. Ele produz 600 peças do artigo com 82 defeituosas. Podemos afirmar, ao ível de 90% de cofiaça, que o ovo empregado produz peças com maior ídice de defeitos que o existete? 126 / 140

141 11. A partir da tabela: X i Y i a) Calcule o coeficiete de correlação; b) Determie a reta ajustada; c) Estime o valor de Y para X = Certa empresa, estudado a variação da demada de seu produto em relação à variação de preço de veda, obteve a tabela: Preço (X i ) Demada (Y i ) a) Estabeleça a equação da reta ajustada; b) Estime o valor de Y para X = 60 e X = 120. c) Calcule o coeficiete de determiação da regressão. 13. Pretededo-se estudar a relação etre as variáveis cosumo de eergia elétrica (X i ) e volume de produção as empresas idustriais (Y i ), fez-se uma amostragem que iclui vite empresas, computado-se os seguites valores: Determie: X i = 11.34, Y i = 20.72, X 2 i = 12.16, Y 2 i = 84.96, e X i Y i = a) A equação de regressão de Y para X; b) O coeficiete de determiação da regressão acima; c) A equação de regressão de X para Y ; d) O coeficiete de determiação da regressão acima. Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. 127 / 140

142 Capítulo 9 Respostas das Atividades 9.1 Capítulo , , , , Variâcia amostral = 67,75. Variâcia populacioal = 65, Variâcia amostral = 76,83. Variâcia populacioal = 73, ,69% ,52%. 9.2 Capítulo 2 1. Respostas: a. V; b. F; c. V; d. V; e. V; f. F; 128 / 140

143 g. V; h. F; i. V; j. F; k. V; l. F; m. V;. F. 2. Respostas: a. {1,2,3,4,{5},{6,7}}; b. /0; c. {1,2,3,4,{5},{6,7}}; d. {5,6,7}; e. {1,2,3,{6,7}}; f. {6,7}; g. {{5}}. 3. Seja M = {1,2,3,4,{1},{2},{3},{4}}. Sejam A = {1,{2},3,{4}} e B = {{1},2,{3},4}. a. Justifique!; b. A c = B, B c = A, A B c = A, A c B = B, A c B c = M, A B = M, A A c = M, B B c = M. c. A B = /0, A c B c = /0, A A c = /0 e B B c = / = = ! = ! = / 140

144 9.3 Capítulo 3 1. Respostas: a) A B c C c b) A B C c c) A B C d) A B C e) (A B C) c f) (A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C) 2. (26 2 )( 26 2 ). ( 52 4 ) 12! Respostas: a) 7 ( 10 4 ) b) 1/210 c) 2/5 d) 2/3 e) 1/42 5. Respostas: a) 1/2 b) 3/4 c) 11/20 d) 1/20 e) 3/10 f) 7/20 g) 9/20 h) 4/ /15 7. Respostas: a) 319/324 b) 203/23328 c) 7/ Respostas: a) 2/15 b) 1/2 9. Sim 10. Respostas: a) 0,92 b) 0, / 140

145 9.4 Capítulo 4 1. Respostas: a) 1/21 b) 3/7 2. Respostas: a) 3/4 b) 4/5 3. Respostas: a) P(X = 0) = 1/2,P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 4) = 1/10,P(X = 2) = 1/5. b) 5/8 4. Respostas: a) p(2) = 1/10, p(3) = 1/5, p(4) = 3/10, p(5) = 2/5. b) p(x) = 1/10 se x {3,4,8,9} e p(x) = 1/5 se x {5,6,7}. 6. Respostas: a) 2 b) 1/4 c) F(x) = { 1 x 2, se x 1, 0, se x < f Y (y) = 1 2 y, 0 < y < f Y (y) = (2/π) 1/2 exp{ y 2 /2}, y > y( 1 + e y ), se 0 y < 1, f Y (y) = 1 4 y e y, se y 1, 0, caso cotrário. 9.5 Capítulo 5 1. Respostas: a) p( 16) = 1/12, p( 7) = 1/6, p(2) = 13/36, p(11) = 2/9, p(20) = 1/6. b) E(X) = 4,Var(X) = 108, /2. 3. média = 12,3; variâcia = 9,3. 4. Resposta: b) E(X) = 5. Respostas: a) E(X) = 0; b) E( X ) = 1. c) Var(X) = / 140

146 9.6 Capítulo 6 1. Respostas: a) Biomial com = 15, p = 0,8. b) 0,035 c) 0,83 2. Respostas: a) Hipergeométrica com parâmetros 6, 9 e 12. b) 1/2. 3. Respostas: a) Biomial com = 10 e p = 1/5. b) 4, c) 0, Respostas: a) Geométrica com p = 0, 3. b) 7 5. Respostas: a) Biomial egativa = 2 e p = 2/5. b) 0, Respostas: a) 1/3 b) 0, log(2). 8. 0, Respostas: a) 0,1339 b) 0,2851 c) 0, Capítulo /5 2. Respostas: a) 58,2% b) Respostas: 132 / 140

147 a) 0,9772 b) 0,8413 c) 0,44 d) -2 e) 14,32 f) [ 2, 84, 12, 84]. 4. Respostas: a) 2,41% b) 593ml 5. Respostas: a) 214,6 b) 2431g 6. 0, b +1 a +1 (+1)(b a) 8.!/λ Respostas: a) 35/128 b) 12393/ f Y (y) = y 1 (2π) 1/2 exp{ (log(y)) 2 /2}, y > Y segue distribuição Gama (1/2,1/2). 9.8 Capítulo 8 1. Itervalo de 90% [1, 73; 1, 77]. Itervalo de 99% [1, 71; 1, 79]. 2. Itervalo de 90% [4, 80; 5, 59]. Itervalo de 95% [4, 73; 5, 67]. Itervalo de 99% [4, 58; 5, 82]. 3. Itervalo de 90% [109, 18; 110, 82]. Itervalo de 95% [109, 02; 110, 98]. 4. Itervalo de 90% [0, 55; 0, 65]. Itervalo de 99% [0, 53; 0, 67]. 5. Itervalo de 96% [0,46;0,74]. Como o valor p = 0,5 pertece ao itervalo de cofiaça de 96%, podemos afirmar, com 96% de cofiaça que, sim, a moeda é hoesta. 6. Itervalo de 96% [0,20;0,29]. Baseado o itervalo de cofiaça, temos que se X i é uma variável aleatória idicado que a i-ésima casa é alugada, etão, X i segue distribuição Beroulli com o parâmetro p pertecete a este itervalo. O úmero de casas alugadas etão é dado por N = X i. Portato, N Bi(, p), ode p pertece a este itervalo. Como o úmero esperado de casas alugadas é dado por E(N) = p. 133 / 140

148 Temos que o úmero esperado de casas alugadas pertece ao itervalo 7. Itervalo de 90% [ 0, 61; 1, 41]. 8. Itervalo de 95% [ 7, 09; 4, 09]. [4000, 5800]. 9. Itervalo de 95% [0,56;0,64]. Como 0,5 = 50% ão pertece ao itervalo, e o itervalo cotém, com 95% de cofiaça, a média verdadeira. Temos que com 95% de cofiaça a média verdadeira, isto é, a proporção de doas de casa que preferem o detergete A, é maior do que 50%. Desta forma, a compahia tem evidêcia suficiete para NÃO cofiar o fucioário. 10. Itervalo de 90% [0,11;0,16]. Como 0,05 = 5% ão pertece ao itervalo, e o itervalo cotém, com 90% de cofiaça, a média verdadeira. Temos que com 90% de cofiaça a média verdadeira, isto é, o percetual de artigos defeituosos produzidos pelo ovo empregado, é maior do que 5%. Desta forma, podemos sim afirmar que o ovo empregado produz peças com ídice de defeitos maior do que o existete. 11. a) -0,9921. b) Ŷ = 32,28 1,7X. c) Temos que para X = 0, Ŷ = 32, a) Ŷ = 386,84 1,87X. b) Temos que para X = 60, Ŷ = 274,64. Para X = 120, temos Ŷ = 162,44. c) R 2 0, a) Ŷ = 1,81X. b) R 2 0,30 c) X = 0,4 + 0,16X. d) R 2 0, / 140

149 Apêdice A Apêdice - Tabela da Distribuição Normal P(X x) = Φ(x) = x Φ( x) = 1 Φ(x). 1 2π e y2 /2 dy FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DA NORMAL N(0,1) x / 140

150 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DA NORMAL N(0,1) x / 140

151 Capítulo 10 Ídice Remissivo A AAS, 107 Absoluta Acumulada, 6 Acumulada, 6 Aditividade Cotável, 35 Fiita, 35 Aleatória Simples, 106 Amostra, 1, 104 Tamaho, 104 Amostragem, 105 Aleatória Simples, 106 Estratificada, 106 Não-Probabilística, 105 por Coglomerado, 106 Probabilística, 105 Sistemática, 106 Amostral, 18, 34 Amplitude, 17 Amplitude Total, 4 Aalítica, 78 Aproximação da Biomial, 86 Arrajos, 29 B Bayes, 41 Beroulli, 71 Biômio de Newto, 30 Geeralizado, 79 Biomial, 72 Biomial Negativa, 78 C Ceso, 1 Cetral do Limite, 108 Certo, 34 Coeficiete de Determiação, 123 Coeficiete Biomial Geeralizado, 79 Coeficiete de Variação, 21 Coeficietes Biomiais, 30 Combiações, 29 Complemetar, 26, 36 Codicioal, 38 Cojuto, 23 Complemetar, 26 Difereça, 26 Elemeto, 24 Igualdade, 24 Iterseção, 25 Subcojuto, 24 Uião, 24 Vazio, 24 Cosistêcia, 111 Cosistete, 111 Cotável, 35 Cotíua, 2, 49 Cotagem Regra da adição, 28 Regra da multiplicação, 27 Correlação, 116 de Pearso, 119 Correlação Liear Negativa, 117 Positiva, 117 Correlação Não-Liear, 117 Croológica, 3 D de Coluas, 9 de Determiação, 123 de Dispersão, 16 de Lihas, 8 de Pearso, 119 de Setores, / 140

152 de Tedêcia Cetral, 11 Desidade Parte cotíua, 54 desidade, 49 Depedete, 120 Desvio Médio, 17 Padrão, 19 Desvio padrão, 66 Difereça, 26 Discreta, 2 Discretas, 48 Distribuição, 51, 71 Beroulli, 71 Biomial, 72 Biomial Negativa, 78 Expoecial, 97 Perda de Memória, 99 Gama, 100 Geométrica, 76 Perda de memória, 77 Hipergeométrica, 83 Normal, 93 Padroização, 94 Tabulação, 94 Parte cotíua, 54 Parte discreta, 54 Pascal, 78 Poisso, 85 Aproximação da Biomial, 86 Uiforme, 92 Distribuição acumulada, 51 Distribuição Amostral, 107 Distribuição de Frequêcia, 4 E Eficiêcia, 111 Eficiete, 111 Elemeto, 24 Elemeto Mediao, 14 em Barras, 10 Equiprováveis, 37 Espaço Amostral, 34 Espaço Amostral Partição, 35 Reduzido, 39 Específica, 4 Esperaça Variável Aleatória, 61 Fução de, 62 Variável Aleatória Cotíua, 61 Variável Aleatória Discreta, 61 Estatística, 107, 116 Estimação Itervalar, 110 Potual, 110 Estimador, 110 Cosistete, 111 Eficiete, 111 Não-tedecioso, 111 Não-viciado, 111 Não-viesado, 111 Estimativa, 111 Estratificada, 106 Eveto, 34 Certo, 34 Complemetar, 36 Impossível, 34 Evetos Idepedetes, 42 Mutuamete excludetes, 34 Experimeto Aleatório, 33 Expoecial, 97 Perda de Memória, 99 F Fórmula da Mediaa, 15 Fórmula de Czuber, 13 Fiita, 35 Frequêcia Absoluta Acumulada, 6 Relativa, 6 Acumulada, 6 Frequêcia Absoluta, 5 Fução, 55 Aalítica, 78 Desidade Parte cotíua, 54 desidade, 49 Distribuição, 51 Parte cotíua, 54 Parte discreta, 54 Distribuição acumulada, 51 Gama, 100 Probabilidade Parte discreta, 54 Fução de, 48, 62 Fucioal, / 140

153 G Gama, 100 Geeralizado, 79 Geográfica, 3 Geométrica, 76 Perda de memória, 77 Gráfico de Coluas, 9 de Lihas, 8 de Setores, 11 em Barras, 10 Pizza, 11 H Hipergeométrica, 83 Histograma, 7 I Idetidade de Chu-Vadermote, 84 Igualdade, 24 Imagem iversa, 47 Impossível, 34 Iclusão e Exclusão, 36 Idepedete, 120 Idepedetes, 42, 60 Iduzida por uma variável aleatória, 47 Iterseção, 25 Itervalar, 110 Itervalo de Cofiaça, 113 para a Difereça de Médias, 115 para a Média, 114 para a Proporção, 115 L Lei dos evetos raros, 85 M Média, 11 Média Amostral, 107 Média Aritmética, 11 Poderada, 12 Médio, 17 Método Míimos Quadrados, 120 Míimos Quadrados, 120 Mediaa, 11, 14 Medida Probabilidade, 35 Medidas de Dispersão, 16 de Tedêcia Cetral, 11 Mista, 54 Moda, 11, 13 Modelos Matemáticos, 33 Multiplicação, 39 Mutuamete excludetes, 34 N Não-Probabilística, 105 Não-tedecioso, 111 Não-viciado, 111 Não-viesado, 111 Negativa, 117 Nomial, 2 Normal, 93 Padroização, 94 Tabulação, 94 O Ordial, 2 P Padrão, 19 Padroização, 94 Parâmetros Populacioais, 104 para a Difereça de Médias, 115 para a Média, 114 para a Proporção, 115 Parte cotíua, 54 Parte discreta, 54 Partição, 35 Pascal, 78 Perda de Memória, 99 Perda de memória, 77 Permutação, 28 Pizza, 11 Poisso, 85 Aproximação da Biomial, 86 Polígoo de Frequêcia, 7 Poderada, 12 Potual, 110 População, 1, 104 Populacioal, 18 por Coglomerado, 106 Positiva, 117 Pricípio Iclusão e Exclusão, 36 Probabilística, 105 Probabilidade, 35 Codicioal, 38 Fução de, 48 Iduzida por uma variável aleatória, / 140

154 Parte discreta, 54 Probabilidade total, 40 Q Qualitativa Nomial, 2 Ordial, 2 Quatitativa Cotíua, 2 Discreta, 2 R Reduzido, 39 Regra da adição, 28 Regra da multiplicação, 27 Relação Estatística, 116 Fucioal, 116 Relativa, 6 Acumulada, 6 Resultados Equiprováveis, 37 Rol de dados, 4 S Série Croológica, 3 Específica, 4 Geográfica, 3 Temporal, 3 Série de Taylor, 78 Sistemática, 106 Subcojuto, 24 Idepedetes, 60 Variável, 1 Depedete, 120 Idepedete, 120 Qualitativa Nomial, 2 Ordial, 2 Quatitativa Cotíua, 2 Discreta, 2 Variável Aleatória, 46, 61, 66 Cotíua, 49 Desvio padrão, 66 Discretas, 48 Fução, 55 Fução de, 62 Imagem iversa, 47 Mista, 54 Variâcia, 66 Variável Aleatória Cotíua, 61 Variável Aleatória Discreta, 61 Variâcia, 66 Amostral, 18 Populacioal, 18 Variável Aleatória, 66 Vazio, 24 T Tabelas, 3 Tabulação, 94 Tamaho, 104 Tamaho Amostral, 5 Temporal, 3 Teorema Bayes, 41 Cetral do Limite, 108 Multiplicação, 39 Probabilidade total, 40 U Uião, 24 Uiforme, 92 V Variáveis Aleatórias 140 / 140