Programação Linear (PL) Solução do problema (método gráfico)

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Rui Barroso Faro
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1 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Método Gráfico - solução dos exercícios do item Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução do problema (método gráfico) Possível para duas variáveis 1

2 Exemplo 1 Uma determinada empresa automobilística fabrica carros de luxos e caminhonetes. A empresa acredita que os mais prováveis clientes são homens e mulheres com altos rendimentos. Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por uma campanha de propagandas na TV, e comprou 1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de programa: comédia e transmissão de futebol. Cada comercial durante o programa de comédias é visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homens com grande poder aquisitivo Exemplo 1 Cada comercial durante a transmissão de futebol é visto por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de homens com grande poder aquisitivo. Um minuto de comercial durante o programa de comédias custa $50000, e durante a transmissão de futebol $ A empresa gostaria que pelo menos 28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda. Obter a programação matemática que irá permitir a empresa atender as suas necessidades de propaganda a um mínimo custo. 2

Cada comercial durante o programa de comédias é visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homens com grande poder aquisitivo. 4.3.

3 Exemplo 1 Min Z = 50 X X2 7 X1 + 2 X X X Exemplo 2 Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada veículo precisa ser trabalhado nas seções de pintura e montagem. Se a seção de pinturas trabalhar só com caminhonetes, 40 por dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando só com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se a seção de montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50 podem ser montados por dia. O mesmo número é possível para carros se este for o único produto na linha. Cada caminhonete contribui $300 para o lucro, e cada carro $200. Obter a formulação matemática que determinará a programação de produção que maximizará o lucro da empresa. 3

Se estiver trabalhando só com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se a seção de montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50 podem ser montados por dia.

4 Exemplo 2 Max Z = 3 X1 + 2 X2 1/40 X1 + 1/60 X2 1 1/50 X1 + 1/50 X Exemplo 3 Supondo que a empresa do exemplo anterior, por necessidades dos vendedores, tem de produzir pelo menos 30 caminhonetes e 20 carros diariamente, qual será a nova formulação do problema? 4

2 - Exemplo 3 Supondo que a empresa do exemplo anterior, por

5 Exemplo 3 Max Z = 3 X1 + 2 X2 1/40 X1 + 1/60 X2 1 1/50 X1 + 1/50 X2 1 X1 30 X Exemplo 2 max Z = 2X 1 1X 2 sujeito a: X 1 X 2 1 2X 1 + X 2 6 X 1 0 X 2 0 5

6 Formulações Exemplo Exemplo 2 Min Z = 50 X X2 7 X1 + 2 X X X Exemplo 3 Max Z = 3 X1 + 2 X2 1/40 X1 + 1/60 X2 1 1/50 X1 + 1/50 X2 1 X1 30 X2 20 Max Z = 3 X1 + 2 X2 1/40 X1 + 1/60 X2 1 1/50 X1 + 1/50 X Exemplo 2 max Z = 2X1-1X2 sujeito a: X1 X2 1 2X1 + X2 6 Soluções gráficas 6

2 - Exemplo 2 Min Z = 50 X1 + 100 X2 7 X1 + 2 X2 28 2 X1 + 12 X2 24 4.3.

7 Exemplo 1 Uma determinada empresa automobilística fabrica carros de luxos e caminhonetes. A empresa acredita que os mais prováveis clientes são homens e mulheres com altos rendimentos. Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por uma campanha de propagandas na TV, e comprou 1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de programa: comédia e transmissão de futebol. Cada comercial durante o programa de comédias é visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homens com grande poder aquisitivo Exemplo 1 Cada comercial durante a transmissão de futebol é visto por 2 milhões de mulheres e 12 milhões de homens com grande poder aquisitivo. Um minuto de comercial durante o programa de comédias custa $50000, e durante a transmissão de futebol $ A empresa gostaria que pelo menos 28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda. Obter a programação matemática que irá permitir a empresa atender as suas necessidades de propaganda a um mínimo custo. 7

8 Exemplo 1 Min Z = 50 X X2 7 X1 + 2 X X X Exemplo 1 - Solução Solução única 8

9 Exemplo 2 Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada veículo precisa ser trabalhado nas seções de pintura e montagem. Se a seção de pinturas trabalhar só com caminhonetes, 40 por dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando só com carros, 60 por dia é sua capacidade. Se a seção de montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50 podem ser montados por dia. O mesmo número é possível para carros se este for o único produto na linha. Cada caminhonete contribui $300 para o lucro, e cada carro $200. Obter a formulação matemática que determinará a programação de produção que maximizará o lucro da empresa Exemplo 2 Max Z = 3 X1 + 2 X2 1/40 X1 + 1/60 X2 1 1/50 X1 + 1/50 X2 1 9

Se a seção de montagem estiver trabalhando só com caminhonetes, 50 podem ser montados por dia. O mesmo número é possível para carros se este for o único produto na linha.

10 Exemplo 2 - Solução Múltiplas soluções Exemplo 3 Supondo que a empresa do exemplo anterior, por necessidades dos vendedores, tem de produzir pelo menos 30 caminhonetes e 20 carros diariamente, qual será a nova formulação do problema? 10

dos vendedores, tem de produzir pelo menos 30 caminhonetes e

11 Exemplo 3 Max Z = 3 X1 + 2 X2 1/40 X1 + 1/60 X2 1 1/50 X1 + 1/50 X2 1 X1 30 X Exemplo 3 - Solução Sem solução 11

12 Exemplo 2 max Z = 2X 1 1X 2 sujeito a: X 1 X 2 1 2X 1 + X 2 6 X 1 0 X Exemplo 2 - Solução Sem fronteira 12

13 Possibilidades quanto a resposta possível para os problemas de PL: Caso 1: a formulação tem solução única; Caso 2: a formulação tem múltiplas soluções; Caso 3: a formulação não tem solução; Caso 4: a formulação não tem fronteira, a região de solução permite arbitrários valores para Z. E qualquer outra formulação, com maior número de variáveis, também sempre se enquadrará em um destes casos. 13

Caso 4: a formulação não tem fronteira, a região de solução permite arbitrários valores para Z.

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