A TEORIA GERAL DAS SEQUÊNCIAS DA CONCEITOGRAFIA AO OS FUNDAMENTOS DA ARITMÉTICA DE FREGE.

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1 A TEORIA GERAL DAS SEQUÊNCIAS DA CONCEITOGRAFIA AO OS FUNDAMENTOS DA ARITMÉTICA DE FREGE. João Vitor Schmidt (IC-Voluntária), Ernesto M. Giusti (Orientador), Universidade Estadual do Centro-Oeste/Departamento de Filosofia/Guarapuava, PR. CIÊNCIAS HUMANAS / FILOSOFIA Palavras-chave: Gottlob Frege, Conceitografia, Fundamentos da Aritmética. Resumo: Pretende-se apresentar a Teoria Geral das Sequências enquanto parte do programa logicista de Frege tanto na Conceitografia de 1879, onde é formulado, quanto no Os Fundamentos da Aritmética de 1884, onde é pressuposto. Apresentaremos primeiro seu fundamento lógico e filosófico em 1879, para em seguida mostrar, como conclusão, as consequências filosóficas e matemáticas que Frege pretende com tal teoria. Introdução Na parte III da Conceitografia de , Frege descreve, com bases no seu cálculo proposicional e de predicados, aquilo que chamou de Teoria Geral das Sequências. Nela, apresenta definições formais para uma sequência. Seu objetivo é mostrar conceitos chaves da matemática de modo lógico, analítico, e sem o uso da intuição. Mais tarde, em 1884 em seu Os Fundamentos da Aritmética 2, o uso da Teoria Geral das Sequências é retomado já sob o intuito de fundamentar a aritmética de forma lógica 3. Apresentaremos seu sistema lógico, as definições centrais em tal teoria, e suas consequências filosóficas e matemáticas em ambas as obras. Revisão de literatura É sem exageros que a Conceitografia é considerada uma obra revolucionária no campo da lógica. Das suas contribuições destacamos a axiomatização de um cálculo proposicional, a análise de proposições em termos de função e argumento 4, uma teoria da quantificação 5, um sistema lógico aonde as derivações são levadas apenas em função da forma das expressões, e uma noção lógica de sequências. Como o nome leva, sua motivação era matemática: apresentar um sistema lógico simbolicamente escrito, e que ainda assim, expressasse relações lógicas entre conteúdos. Frege pretendia também dar conta das deficiências inferenciais da linguagem ordinária. 1 FREGE, G. Conceitografia: uma linguagem formular do pensamento puro decalcada sobre a aritmética. Doravante BG, do termo alemão Begriffsschrift. 2 FREGE, G. Os Fundamentos da Aritmética. Doravante FA. 3 A ideia de número, e a série dos naturais iniciada por 0. 4 Abandonando, portanto, a análise sujeito-predicado que era dominante na lógica. 5 E com ela a axiomatização do cálculo de predicados de primeira ordem.

2 Assim, BG pretende ser um sistema lógico com (a) um número limitado de símbolos primitivos 6, (b) um número limitado de regras de inferências 7 e (c) um número limitado de axiomas 8. Isto resume as partes I e II da BG. Na parte III o intuito é mostrar que a noção de Sequência [reihe] é logicamente demonstrável. Isto porque ela é o fundamento lógico do qual não só pensamos, mas estabelecemos as ciências, tendo em vista que em ambas apresentamos relações entre objetos. Assim, é possível mostrar suas propriedades lógicas com o aparato da BG. A parte III e a teoria das sequências condensam objetivos tanto filosóficos quanto matemáticos. Matematicamente, ela é o primeiro passo de Frege para mostrar o logicismo, a tese de que a aritmética possui fundamentos lógicos, pois a estrutura relacional entre os números, isto é, os teoremas e princípios básicos envolvendo tais números como o princípio da indução todos estão fundamentados em proposições lógicas da teoria geral das sequências 9. Frege procura, assim, demonstrar que a noção de sequência, ou séries numéricas é logicamente derivável. Isto daria conta de uma prova lógica do chamado princípio da indução matemática 10. Ele é importante para Frege pois uma prova lógica de toda aritmética precisa demonstrar também uma prova de toda série dos números naturais, via indução matemática. Isto também implica em objetivos filosóficos, pois Frege pretendia: (a) provar, contra Kant, que sequências não necessitavam da intuição, e assim (b) mostrar a possibilidade de juízos analíticos extensivos. Kant considerava que todos os juízos matemáticos eram juízos sintéticos a priori, tendo por fundamento a intuição 11, sendo assim juízos que estendem nosso conhecimento. O logicismo, tese que Frege vindica, nega ambos os postulados. Coffa nos mostra que o logicismo, em seus aspectos gerais, consistiu em uma crítica à intuição no fundamento das ciências, e na tese de 6 Os símbolos são: (1) Traço de conteúdo; (2) Traço de juízo; (3) Condicionalidade; (4) Negação; (5) Identidade de Conteúdo; (6) Função e (7) Generalidade. BG Frege define explicitamente uma, o modus ponens, onde de A B e A, conclui-se B (BG. 6); mas usa-se exaustivamente de outra, a Substituição uniforme de conteúdos asseríveis, onde se A é uma lei lógica (tautológica), qualquer lei A' derivada dela por substituição de variáveis livres (não quantificadas) é também uma lei lógica. A descrição é de ALCOFORADO, P.; DUARTE, A.; WYLLIE, G. Os primeiros escritos lógicos de Gottlob Frege. 8 Que Frege chama de juízos do pensamento puro. Nove são assumidos, sendo seis axiomas para um cálculo proposicional e três que completam um cálculo de predicados. 9 ALCOFORADO, P.; DUARTE, A.; WYLLIE, G. Os primeiros escritos lógicos de Gottlob Frege. p.34.. p O princípio da indução matemática refere-se a um princípio de prova indutiva. Informalmente, uma prova indutiva [...] é o ato de adivinhar um padrão, ou regra, ou predizer um comportamento futuro baseado em experiências passadas. A indução matemática é uma forma de raciocínio que prova, sem dúvidas, alguma regra ou padrão particular, usualmente infinito. Assim, o princípio da indução matemática afirma que, se para um dado número inteiro b a sentença/propriedade P é verdadeira (premissa 1), também o será para b+1 (premissa 2), e que assim, para qualquer número n b, P é verdadeira para n. In: GUNDERSON, David. S., Handbook of Mathematical Induction: theory and applications. pp Intuições são representações singulares e imediatas de objetos dispostas no espaço e/ou no tempo. Junto com Conceitos (representações universais mediatas), dariam a base do nosso conhecimento, pois conceitos seriam preenchidos por intuições. Porque a matemática usa de intuições na construção de seus objetos, ela iriam além de simples conceitos e assim ampliaria nosso conhecimento. In: KANT, I. Crítica da Razão Pura. 7.ed. Fundação Calouste Gulbenkian: Lisboa, 2010.

3 que juízos analíticos 12 seriam extensivos, negando também a necessidade de juízos sintéticos a priori. Neste ponto, Coffa indica, Bolzano já teria antecipado Frege 13. O ponto central de ambos era o de que a analiticidade de um juízo tornar-se-ia função de justificação lógica e não de apreensão de seus conceitos. Se logicamente pode-se justificar a verdade de um juízo, ele é analítico. Do contrário, é sintético. Sobre isso, em FA, Frege afirma que se em uma prova [...] esbarra-se apenas em leis lógicas gerais e definições, tem-se uma verdade analítica, pressupondo-se que sejam também levadas em conta as proposições sobre as quais se assenta a admissibilidade de uma definição 14. Em BG, os axiomas servem-lhe enquanto leis lógicas. As definições de uma sequência somam-se a isto para mostrar que os resultados (proposição 133) estendem nosso conhecimento de maneira analítica. Resultados e Discussão Para Frege, a estratégia era mostrar que com o sistema lógico estabelecido e definições explícitas e fecundas 15, era possível mostrar a analiticidade de uma proposição matemática (133), sem recorrer à intuição, e apresentando conteúdos novos. Apresentou, assim, quatro definições para sequências. Uma sequência é uma aplicação de uma função diádica, ou seja, uma função de dois lugares, ou relação, a um par ordenado de objetos: f(γ, ). Frege também se refere à relação como um procedimento, que podemos ler como é o resultado de uma aplicação do procedimento f a Γ 16. As definições eram 17 : (a) Propriedade Hereditária: Her δ,α (F(α), f(δ,α)) = df ( b)(fb ( a)( fba Fa)) (b) Ancestralidade: Anc γ,β f(x γ,y β) = df ( F)(Her γ,β (F(α), f(δ,α)) (( a)(fxa Fa) Fy)) (c) Pertinência: Anc* γ,β (x γ, z β) = df Anc γ,β f(x γ, z β) (x=z) (d) Procedimento Muitos-para-um: Func δ,ε f (δ,ε)= df ( a)( b)(fab ( c)(fac b = c)) Partindo delas, Frege prova inúmeros teoremas. Apenas dois não são utilizados para provar outros: os teoremas (98) e (133) 18, e servem-lhe de exemplos de proposições analíticas provadas em BG 19. O primeiro demonstra a transitividade da relação ancestral, já a segunda aponta que de uma função f unívoca, e da ancestralidade de x para m e y, m pertence à sequência f que começa por m ou precede m na sequência f: (98): Anc γ,β (f(x γ,y β)) Anc γ,β (f(y γ,z β)) Anc γ,β (f(x γ,z β)) 12 Aqueles que, na tradição Kantiana, partiriam tão somente de simples conceitos e de sua análise. 13 In: COFFA, Alberto. Kant, Bolzano and the emergence of logicism. In: DEMOPOLOUS, William (ed). Frege's Philosophy of Mathematics. Cambrige: Harvar University Press, FA Definições fecundas, para Frege, referem-se àquelas estipulações de sinais que permitem alcançar novos conhecimentos, porque permitem um reagrupamento dos conceitos utilizados de modo a evidenciar relações não antes estabelecidas. Sobre o papel das definições fecundas na prova da proposição (133) em BG, ver MACBETH, Danielle. Diagrammatic reasoning in Frege's Begriffsschrift. 16 BG Utilizaremos a notação padrão da lógica de predicados, ao invés da notação própria de Frege, por razões de espaço. 18 BG. 28 e A observação é de Boolos. In: BOOLOS, George. Reading the Begriffsschrift. In: DEMOPOLOUS, William (ed). Frege's Philosophy of Mathematics. Cambrige: Harvar University Press, 1995.

4 (133): Func δ,ε f (δ,ε) ((Anc γ,β f(x γ,m β) (Anc γ,β f(x γ,y β) ( Anc γ,β f(y γ,m β) (Anc* γ,β (m γ,y β)))) Muitas das proposições demonstradas são matematicamente úteis, provadas em termos lógicos. A noção de Sucessor de BG, por ser lógica, fundamenta a de indução matemática. Em FA Frege se dedica a mostrar que a noção de Número Cardinal é igualmente lógica, e para mostrar que todo número natural possui um sucessor, as definições de BG são retomadas. O primeiro passo é definir o número cardinal e o número Para mostrar, em seguida, uma definição do número 1, e demonstrar que ele segue imediatamente após o número 0 na série dos naturais, o uso das definições de sequências é retomado. A noção de Sucessor é assim reescrita: se todo objeto com que x mantém a relação Φ cai sob o conceito F, e se em geral, para qualquer d, caso d caia sob o conceito F, todo objeto com que d mantém a relação Φ cai sob o conceito F, então y cai sob o conceito F, qualquer que seja o conceito F" 21. Ela nada mais é que a forma lógica da definição antes mostrada, resumindo que x precede a y na série Φ". Isso, como vimos, é essencial para uma prova da série dos naturais por indução. Frege afirma: Apenas por meio desta definição de seguir em uma série torna-se possível reduzir o modo de inferência de n a (n + 1), que aparentemente é peculiar à matemática, às leis lógicas gerais 22. O uso da pertinência é retomado para, e.g., mostrar a relação n segue na série natural dos números imediatamente após m 23, ou para provar que todo número n da série f possui um sucessor 24. Conclusões De maneira breve, apresentamos a noção de Sequência da Conceitografia de Frege e como ele a retoma no Os Fundamentos da Aritmética. Apresentamos os resultados filosóficos e matemáticos de Frege, sobretudo a prova de uma proposição analítica e ampliativa do conhecimento (133), e a prova do princípio de indução matemática. As provas de Frege, por serem extensas, não puderam ser expressas aqui. Referências 1. ALCOFORADO, Paulo.; DUARTE, Alessandro.; WYLLIE, Guilherme. Os primeiros escritos lógicos de Gottlob Frege. São Paulo: Ramon Llull, DEMOPOLOUS, William (ed). Frege's Philosophy of Mathematics. Cambrige: Harvard University Press, FREGE, Gottlob. Os fundamentos da aritmética. Col. Os pensadores. 3.ed. São Paulo: Abril Cultural, FREGE, Gottlob. Conceitografia: uma linguagem formular do pensamento puro decalcada sobre a aritmética. In: ALCOFORADO, P.; DUARTE, A.; WYLLIE, G. Os primeiros escritos lógicos de Gottlob Frege. São Paulo: Ramon Llull, GUNDERSON, David. S., Handbook of Mathematical Induction: theory and applications. Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, KANT, Immanuel. Crítica da Razão Pura. 7.ed. Fundação Calouste Gulbenkian: Lisboa, Em FA números são asserções de conceitos. Uma definição então assere uma igualdade de extensões de conceitos. A definição de Número cardinal é: o número que convém ao conceito F = a extensão do conceito equinumérico ao conceito F. A definição do número 0 é: 0 = o número que convém ao conceito equinumérico ao conceito `diferente de si próprio `. FA. 68 e FA FA FA FA. 82.

5 7. MACBETH, Danielle. Diagrammatic reasoning in Frege's Begriffsschrift. Revista Synthese. Springer Netherlands, Volume 186, Fevereiro de 2012.