Cap.08: Dinâmica II: Movimento no Plano

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1 Cap.08: Dinâmica II: Movimento no Plano Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo. Fundamental que o aluno tenha lido o capítulo. 8.1 Dinâmica em duas dimensões A equação da segunda lei de Newton é geral, determina a aceleração em qualquer sistema de coordenadas e de qualquer tipo de movimento, linear ou no plano. Os componentes X e Y do vetor aceleração: As equações de posição e de velocidade são: Aplicação: Exemplo 8.1 Movimento dos projéteis O movimento dos projéteis, sem a resistência do ar, foi estudado no Cap. 4 e concluiu-se que o a trajetória é parabólica. O efeito resistivo do ar, força de arraste, sobre um corpo em movimento foi estudado no Cap. 6 e esta força é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade e está dirigida no sentido contrário ao movimento, F D = A v 2 /4. Deduzir a Eq.8.4: Dedução feita em sala de aula.

2 A figura abaixo representa a trajetória y(x) do movimento da bola lançada no ar. A resolução numérica da eq. 8.4, acima, foi realizada com os valores vo = 25,0m/s, A= 2,00 x 10-3 m 2, m = 5,00x10-3 g. Os ângulos de lançamentos escolhidos são 30 0, 60 o (as linhas tracejadas) e 45 o, linha contínua. O alcance máximo da bola não corresponde a um ângulo de lançamento de 45 o. O alcance máximo de 14,5m atingido corresponde quando a bola é lançada com ângulo de 30 o e as trajetórias não são parabólicas. No vácuo, o alcance máximo será aproximadamente 64,0m e as trajetórias são parabólicas. y m x m Na figura ao lado estão representadas as variações das velocidades vy(t), linha tracejada, e vx(t), linha contínua, em ângulo de lançamento de 60 o. O tempo de voo sem a resistência do ar é 4,40s. O tempo de movimento da bola com a resistência do ar lançado neste ângulo é t=2,60s. Diferentemente de movimento da bola num meio desprovido de ar, o componente horizontal da velocidade, vx, não é constante, diminui com o tempo e lentamente após o tempo de 1,0s. Aproximadamente neste instante o componente vertical da velocidade é nula, v y =0, quando a bola alcança a altura máxima, 8,0m. v m s t s

3 Responda a questão Pare E Pense Velocidade e aceleração no movimento circular uniforme Num movimento circular uniforme existe somente a aceleração centrípeta dada pela Eq Obs. O autor, na página 213, escreve: O sistema de coordenadas XY no centro do círculo e a partícula em movimento circular são representadas na Fig.(HS01) Os vetores unitários radial, ˆr, e tangencial, ˆt, foram apresentados nas aulas. As relações destes vetores unitários com os do sistema cartesiano são, conforme a figura ao lado, x rcos ; y rsen r rr ˆ xi ˆ yj ˆ x ˆ ˆ y r i ˆj r r rˆ cos i ˆ sen ˆj eˆt é + /2 ˆt sen i ˆ cos ˆj Os dois vetores unitários ˆr e ˆt definem a orientação dos eixos do sistema de coordenadas polares cilíndricas, (r,, z). Um corpo em movimento circular é descrito por este sistema de coordenadas. Vale lembrar que o raio r tem como origem o centro do círculo, o ângulo começa do eixo x positivo crescente no sentido anti-horário e z, eixo longitudinal do cilindro, é o eixo perpendicular ao plano XY. Dessa forma expressamos sempre o vetor aceleração radial ou centrípeta na forma 2 v a ˆ c r r

4 Obs. Na página 213, o autor afirma que o eixo r aponta da partícula para o centro do círculo. Isto não é correto! O sistema de coordenadas cilíndricas, apresentado em aula, tem como origem no centro do círculo, dessa forma o eixo r aponta do centro do círculo para a partícula. O centro do círculo pode ser a origem do sistema inercial, lugar em que não há nenhuma força e está em repouso ou a velocidade constante. A partícula num movimento circular não constitui um sistema inercial, pois contraria a primeira lei de Newton, ela está sob a ação de uma força, a força, comumente, denominada centrípeta. Responda a questão Pare E Pense Dinâmica do movimento circular uniforme Uma partícula ( carro, espaçonave e outros corpos) em movimento circular uniforme possui uma aceleração dirigida para o centro do círculo. Pela segunda lei de Newton, uma força, direcionada para o centro do círculo, mantém a partícula em sua trajetória circular. Esta força por estar direcionada para o centro do círculo é, comumente, denominada força centrípeta. Esta força não é novo tipo de força. Veremos que ela pode ser uma força de atrito, uma força gravitacional, a força exercida pela lateral do carro ou por uma corda ou qualquer outra força. Dizemos: Uma força centrípeta acelera (taxa de variação da velocidade) um corpo modificando a direção de sua velocidade, sem alterar o módulo da velocidade do corpo. Expressão: Estudar o Exemplo 8.3: Girando o carrinho em um círculo horizontal. Nesta figura, qual a direção do percurso quando a corda é cortada? Qual lei de Newton você utiliza em sua resposta?

5 Estudar o Exemplo 8.4, o veículo faz uma curva numa rodovia não inclinada. Responder: (a) A velocidade máxima depende da massa do veículo? (b) Suponha que a pista esteja úmida. O que pode acontecer com o carro na curva ao atingir a velocidade calculada no Exemplo 8.4? Estudar o Exemplo 8.5, o veículo faz uma curva numa rodovia inclinada. A equação final deste exemplo depende da massa do carro? (a) Se a rapidez do carro é de 13,4 m/s e o raio da curva é de 35,0m, a que ângulo a curva deveria ser inclinada para que o carro não dependa do atrito para fazer a curva sem derrapar? (b) O que acontece com o carro, se o motorista tenta fazer a curva com velocidade maior que 13,4m/s? Faça o diagrama de corpo livre. (c) O que acontece com o carro, se o motorista tenta fazer a curva com velocidade menor que 13,4m/s? Faça o diagrama de corpo livre. Pergunta : Imagine que, numa futura colonização em Marte, esta mesma estrada fosse construída neste planeta. Ela poderia ser percorrida com a mesma velocidade? Explicar. Carro em uma curva: Imagine um passageiro sentado no assento traseiro de um carro que se move com grande velocidade escalar constante ao longo de uma estrada plana. O carro vira à esquerda fazendo uma curva na forma de um arco de círculo de raio r, o passageiro desliza para a direita sobre o assento e então fica comprimido contra aparte lateral do carro durante o movimento curvilíneo do veículo. Como se explica isso? Enquanto o carro está fazendo uma curva, ele está, digamos, em movimento circular uniforme; ou seja, ele possui uma aceleração dirigida para o centro do círculo. Pela segunda Lei de Newton, uma força deve ser a causa desta aceleração. Além disso, a força deve também estar dirigida para o centro do círculo. Denomina-se essa força de força centrípeta. No caso do movimento deste carro, a força centrípeta é uma força de atrito exercida pela estrada sobre os pneus; ela faz com que a trajetória curvilínea seja possível. Para que o passageiro no carro possa deslocar em movimento circular uniforme juntamente com o veículo, também deve existir um força centrípeta sobre ele. Essa força centrípeta é exercida pelo assento sobre o passageiro. Entretanto, essa força não sendo suficiente para acompanhar o movimento circular, o passageiro desliza lateralmente sobre o assento até pressionar a porta. Desta forma, a compressão exercida pela parte lateral do carro fornece a

6 força centrípeta necessária para o passageiro acompanhar o carro em movimento circular uniforme (uma razão pelo uso do cinto de segurança). Estudar o Exemplo 8.6: Uma pedra em uma funda. A expressão obtida da velocidade da pedra depende da massa. À medida que aumenta o valor da velocidade o que acontece com o ângulo do cipó? Concluir a resposta analiticamente. Converta a expressão final do Exemplo 8.6 em independente da massa da pedra. Este Exemplo é o mesmo modelo do pêndulo cônico apresentado em aula. Responda a questão Pare E Pense Órbitas circulares O modelo explicativo de órbita ao redor de um planeta é de um corpo em constante queda. Neste item deve-se considerar o satélite de massa m numa órbita circular ao redor de um planeta de massa M: mafmar ; - ˆˆ Fr c g c g GMm GM ma c a (=g; Eq.(8.13) 2 c 2 r r Note-se que g não é constante, diminui com a distância r. A medida de r é a partir do centro do planeta. A Eq.(8.14), na sua forma correta, deve ser escrita como v orb GM r Verifica-se a velocidade orbital independe da massa do corpo em órbita. Problema: Calcular a velocidade orbital de um satélite a uma distância h =320 km da superfície da Terra. Orbitando a Terra: O astronauta no ônibus espacial flutua em sua cabine durante a órbita ao redor da Terra. O que está acontecendo? Tanto astronauta como ônibus espacial estão em movimento circular uniforme e possuem acelerações dirigidas para o centro do círculo ( centro da Terra). Pela segunda lei de Newton, forças centrípetas devem ser a causa destas acelerações. Desta vez, as forças centrípetas são as

7 forças gravitacionais ( a atração sobre o astronauta e sobre o ônibus espacial) exercidas pela Terra e dirigidas radialmente em direção ao centro da Terra. Tanto no carro como no ônibus espacial, o passageiro e o astronauta estão em movimento circular uniforme; apesar de ambos experimentarem sensações diferentes em cada situação. No carro, o passageiro é comprimido contra a parte lateral, ele sente a pressão lateral. No ônibus espacial, o astronauta flutuando pela cabine não tem a sensação de qualquer força atuando sobre ele. Por que esta diferença? A diferença está na natureza das duas forças centrípetas. No passageiro, a força centrípeta é a compressão do corpo em contato com a parte lateral do carro. No astronauta, a força centrípeta é a atração gravitacional da Terra sobre cada átomo do corpo. É uma força sem contato, não há compressão ou empurrão sobre o corpo do astronauta, isto é, nenhuma sensação de força (conhecida como ausência de peso). Esta ideia é enganosa, existe a atração exercida pela Terra sobre o astronauta, só que ela é um pouco menor do que se estivesse na superfície da Terra, pois a força gravitacional diminui com o quadrado da distância ao centro da Terra. 8.5 Forças fictícias As forças reais satisfazem as três leis de Newton, ou seja, medido pelo observador no referencial inercial. As medidas das forças realizadas pelo observador não inercial são chamadas forças fictícias. Exemplos de forças fictícias: 1. O trem freia bruscamente e o passageiro acelera para frente, e ele pode concluir que uma força atuou sobre ele e provocou sua aceleração. Explicar que essa força é fictícia. 2. O exemplo anterior é da mudança na sua velocidade. Outro exemplo de uma força fictícia devido a uma mudança na direção do vetor velocidade pode-se citar um carro fazendo uma curva. O passageiro é deslocado lateralmente em direção à porta do veículo e ele explica que este deslocamento é devido a atuação de uma força sobre ele. Explicar que essa força é fictícia. 3. Uma pequena esfera de massa m pendurada em uma corda do teto de um vagão, que está acelerando para a direita, fig.(a). Os dois observadores, inercial, (A), e não inercial, (B), concordam que a corda faz um ângulo com relação à vertical. O observador não inercial diz que uma força causa o desvio da corda observado da vertical. (a) Ambos os observadores veem o vagão acelerando? (b) O modelo utilizado para a esfera pelos observadores é o mesmo, ou seja, ela está em equilíbrio estático, dinâmico ou somente em uma direção? (c) Aplicar a segunda lei de Newton na forma de componentes à esfera de acordo com os observadores inercial e não inercial. (d) Como o módulo da força fictícia está relacionado com a aceleração do vagão medido pelo observador inercial (A)?

8 Força centrífuga? O veículo ao fazer uma curva, ele constitui um referencial inercial ou não inercial? Força centrífuga? Ao resolver problema envolvendo um movimento circular uniforme, é muito comum incluir uma força extra para fora m v 2 /r para manter o corpo no lugar ou para mantê-lo em equilíbrio; essa força para fora é usualmente chamada de força centrífuga. Resista a essa tentação, por que esse procedimento é simplesmente errado! Apresentaremos aqui três motivos para isso. Em primeiro lugar, o corpo não fica no lugar; ele está em movimento constante descrevendo uma trajetória circular. A direção da velocidade varia constantemente, portanto ele não está em equilíbrio. Em segundo lugar, caso existisse uma força orientada para fora (centrífuga) para equilibrar a força orientada para dentro, não existiria nenhuma força resultante para dentro para causar o movimento circular uniforme, e o corpo deveria mover em linha reta (primeira lei de Newton). Em terceiro lugar, a quantidade m v 2 /r não é uma força. Ela corresponde ao membro m a de F res = m a e não deve aparecer em F res. É verdade que o passageiro de um carro que se desloca seguindo a trajetória circular de uma estrada plana tende a deslizar para fora da curva em resposta a uma força centrífuga. Porém esse passageiro está em um sistema acelerado, um sistema de referência não inercial no qual não vale nem a primeira nem a segunda lei de Newton. O que realmente ocorre é que o passageiro tende a manter seu movimento retilíneo, enquanto o lado externo do carro se desloca para dentro do passageiro à medida que o carro faz a curva. Em um sistema inercial não existe nenhuma força centrífuga atuando sobre o corpo. Obs. No texto, pag. 222, em vez de pássaro, poderia ser um guarda rodoviário parado no acostamento da pista. A gravidade em uma Terra que gira. Obs. Terra, quando planeta, se escreve com maiúscula. Minha correção: O sistema de coordenadas utilizado é fixo no centro do planeta, considerando somente a sua rotação. A figura ao lado apresenta duas posições, uma no equador e outra na latitude, nas quais são calculadas os efeitos da rotação da Terra na medida da aceleração da gravidade, chamada aceleração da gravidade efetiva. (Texto extraído das minhas notas sobre a gravitação.)

9 g = g 0 0,03 = 9,80 m/s 2.

10 8.6 Por que a água fica no balde? Qual é a condição para que o vagão de montanha russa não se desprenda dos trilhos no topo do loop? O que acontece com o vagão de montanha russa se a força normal, N, for nula e negativa? Qual é a expressão da velocidade mínima com que o vagão pode completar o círculo? Explicar. Comente a semelhança desta velocidade com a da Eq, 8.14 Caso da água no balde. Um fio suficientemente forte deve estar amarrado ao balde tal que a tensão no fio faz o papel semelhante ao do trilho sobre o vagão. (a) Expressar a tensão no fio, T, nos casos em que c, c e c, Fig Responda a questão Pare E Pense Movimento circular não uniforme Quais são as acelerações envolvidas no movimento circular não uniforme? O vagão de uma montanha russa, ao percorrer um loop, acelera ao descer por uma lado e desacelera ao subir pelo outro. Represente, na figura ao lado, os vetores acelerações centrípeta, tangencial e resultante nos pontos A e B indicados. Por causa da definição do sistema de coordenadas polares apresentada nas aulas, a força radial sempre está dirigida em direção ao centro do círculo. A direção da força tangencial é um vetor tangente ao círculo apontando no sentido anti-horário ou horário.

11 Responda a questão Pare E Pense 8.5. Problemas Nos problemas abaixo, primeiro construir o diagrama de corpo livre e depois aplicar a segunda lei de Newton Respostas: (30.) 5,5 m/s. (31) coeficiente de atrito estático (concreto-borracha) = 1,0; 0 e tan(15 ) v rg 34 m / s 0 1 e tan(15 )

12 Resp. Calcular a velocidade angular máxima possível da moeda sob a ação da força de atrito estático em direção ao centro da plataforma. Esta velocidade calculada é maior do que 60 rpm, portanto a moeda não escorregará para fora da plataforma. Resp. Falta o coeficiente de atrito estático, 0,80. Descreverá um círculo horizontal. Resp. (A) -9,8 m/s 2 ; (B) -12,9 m/s 2 ; (C) -6,7 m/s 2.

13 Resp. Identifique a força de 1000N citado no texto. O coeficiente de atrito estático entre o concreto e a borracha é 1,0. (a) acelerações tangencial, 0,667m/s 2, centrípeta, 1,78 m/s 2, e resultante, 1,90 m/s 2, e 21 o. (b) t= 24s. Construir o diagrama vetorial da aceleração do item (a).