SIMULAÇÃO HIGROTÉRMICA DE AMBIENTES: ANÁLISE DO MÉTODO NUMÉRICO DE INTEGRAÇÃO NO TEMPO

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1 Papr CI SIMULAÇÃO HIGROÉRMICA DE AMBIENES: ANÁLISE DO MÉODO NUMÉRICO DE INEGRAÇÃO NO EMPO Grso H. dos Satos Potifícia Uivrsidad Católica do Paraá (PUCPR/CCE), Laboratório d Sistmas érmicos (LS) Rua Imaculada Cocição, 1155 Curitiba-PR, , Brasil ghsatos@rla01.pucpr.br Natha Mds Potifícia Uivrsidad Católica do Paraá (PUCPR/CCE), Laboratório d Sistmas érmicos (LS) Rua Imaculada Cocição, 1155 Curitiba-PR, , Brasil mds@cct.pucpr.br Rsumo. Nst trabalho, procurou-s aalisar comparar m trmos d tmpratura d umidad ra d um ambit, difrts métodos uméricos para gração das quaçõs govrats o domíio do ar, uma vz qu simulaçõs d ambits são ralizadas d forma trasit durat príodos qu podm tr a duração d um ao. No ambit simulado, a difusão d calor através do voltório do solo, o prst modlo, é calculada pla li d Fourir através do método d difrças fiitas, com um modlo uidimsioal para as suprfícis volvts para o solo. Adota-s para as suprfícis xtras, como codição d cotoro, covcção radiação d oda curta d oda loga. O ambit também é submtido a cargas d covcção, radiação, isolação ifiltração. Como gaho ro d rgia, cosidram-s pssoas, quipamtos ilumiação, por outro lado para massa, cosidram-s como gahos a rspiração d ocupats vapors d quipamtos. Para o ambit, adota-s uma formulação do tipo global tato para tmpratura como para massa d vapor d água. Palavras chav: simulação d ambits, métodos uméricos. 1. Itrodução A costrução d ambits trmicamt ificits, faz com qu o cosumo d rgia létrica as dificaçõs brasiliras, rprst mais d um trço do total acioal, sgudo dados da Scrtaria d Ergia do Estado d São Paulo. Como o problma d coomia d rgia atig praticamt o mudo todo, foram dsvolvidos vários programas computacioais d simulação térmica d ambits a partir dos aos 70 80, dstacado-s tr ls NBSLD, HVACSIM, DOE-2, BLAS, ESP-r RADIANCE. No Brasil, dpois da cris d rgia os aos 70, algus grupos d psquisas comçaram uma séri d studos o qu diz rspito à cosrvação d rgia m ambits. Mds t al. (2001) aprstam m alh o stado-da-art m simulação o Brasil. No tato, com bas m algus trabalhos rlacioados o dsvolvimto d softwars d simulação, obsrvous qu a utilização d um método umérico para a gração o tmpo das quaçõs d cosrvação d rgia d massa, pod grar dúvidas m rlação ao método mais apropriado, sdo pla sua robustz, prcisão ou tmpo d simulação. Muitos problmas físicos m gharia são dscritos m forma d variação através das quaçõs difrciais. Uma qustão importat a solução d um sistma d quaçõs difrcias é a forma m qu a variávl idp, st caso o tmpo, é tratada. Nos balaços d rgia d massa o tratamto xplícito muitas vzs é vitado dvido ao pquo passo d tmpo qu dv sr adotado para a solução d um problma. Sabdo-s qu as quaçõs aalíticas os métodos uméricos são quivalts apas o limit quado o passo d tmpo td a zro, a scolha d t é um compromisso importat tr o tmpo d simulação a prcisão do rsultado obtido. Etrtato, a utilização d passos d tmpo muito pquos podm ocasioar rros d arrdodamtos idsjávis. No código DOMUS, Mds t al. (2001), utiliza-s uma abordagm global para o cálculo da tmpratura umidad, od rsolvm-s as quaçõs do balaço d rgia massa d forma aalítica itrativa tr las, ou sja ão simultâa. Apsar da robustz aprstada por st procdimto, l pod xigir um grad úmro d itraçõs dpddo do passo d tmpo scolhido da prcisão rqurida. Grald hatly (1999) dstacam tr os vários métodos para a solução d quaçõs difrciais ordiárias, o método d Eulr Eulr Modificado. Nsts dois métodos a gração o tmpo é fita d maira xplícita. Cláudio Maris (1994) aprstam o modlo para a solução d um sistma d quaçõs difrciais através do método d Eulr, obtdo-s dst modo variávis como a tmpratura umidad simultaamt. Valors d tmpratura umidad podm também sr obtidos simultaamt, d forma aalítica, através da rsolução das quaçõs govrats por pacots matmáticos como o softwar comrcial Matlab, como ilustrado m

2 Haslma Littlfild (1999), trtato, obtém-s xprssõs d grad tamaho, torado-s loga a xcução do cálculo. Nst trabalho procurou-s aalisar as difrts abordags citadas acima aplicados à simulação d um ambit ão climatizado, como aprstado m Mds Satos (2000). Utilizou-s uma formulação global para o cálculo da tmpratura umidad. Submtu-s o ambit a cargas d covcção, radiação, isolação ifiltração. Como gahos ros d rgia, cosidraram-s pssoas, quipamtos ilumiação, por outro lado para massa, cosidraram-s como gahos a rspiração d pssoas vapors provits d quipamtos. 2. Modlo Matmático Utilizou-s o prst trabalho um modlo diâmico para aális do comportamto higrotérmico d uma sala sm sistma d climatização. Para isto, adotou-s uma formulação global tato para tmpratura como para a massa d vapor d água. A Eq. (1) dscrv o balaço d rgia, od o ambit é submtido a cargas d codução, covcção, isolação ifiltração. od: E d & t + E& g = ρarcarva (1) E & t = fluxo d rgia qu atravssa a suprfíci d cotrol do ambit m studo (); E & g = fluxo d rgia grado o rior do ambit (); ρ = massa spcífica do ar (kg/m 3 ); ar c = calor spcífico do ar (J/kg-K); ar V = volum do ambit (m 3 ); a = tmpratura ra do ambit ( o C); t = tmpo (s). Na parcla E & t da quação da cosrvação d rgia, cosidram-s as compots dvido à trasfrêcia d calor através das pards (codução), através dos vidros (codução radiação) através das frstas plos mcaismos d ifiltração. O fluxo por codução d calor Q & (t) qu atravssa a suprfíci d cotrol da sala a sr simulada é calculado pla li d Nwto d rsfriamto, como: [ ( t) ( )] & (2) Q( t) = ha t od: h rprsta o coficit d troca d calor por covcção ( 2 / m K ), A, a ára d troca ( m ), (t) 2 a tmpratura da suprfíci ra do voltório da sala ( o C). Essa tmpratura é obtida através da dscrtização do balaço d rgia, m um volum lmtar ro do matrial do voltório, usado a li d Fourir, como aprstado m Patakar (1980): 2 ρ c = λ 2 t x (3) Assim, a tmpratura da Eq. (3), é a tmpratura para um dado volum d cotrol d uma rmiada suprfíci sólida do voltório, calculada m fução das costats trmofísicas do matrial: Massa spcífica (ρ), calor spcífico (c) codutividad térmica (λ). Do lado xtro da sala, as pards, laj, portas jalas ficam xpostas à radiação solar à troca d calor por covcção. Dsta forma, a codição d cotoro da Eq. (3) para o lado xtro (x=0), pod sr xprssa matmaticamt como: λ + ( xt x 0 ) αq r = hxt = x x= 0 (4) od:

3 xt q r ( ) h = troca d calor por covcção (/m 2 ); xt x=0 α = radiação solar absorvida (/m 2 ); λ= codutividad térmica (/m-k). Procdigs of th ENCI 2002, Caxambu - MG, Brazil - Papr CI Do lado ro ão há radiação solar cosidra-s a radiação tr suprfícis ras. Logo, a codição d cotoro para o lado ro (x=l) é scrita como: 4 4 λ = h ( x = L ) + f fεθ( viz x= L) (5) x i= 1 x= L od: f f = fator d forma da suprfíci m rlação ao voltório; ε = missividad da pard; θ = costat d Stfa-Boltzma ( 5,6697x10 /( m K ) = tmpratura das facs das pards vizihas (K). viz = º d suprfícis A tmpratura x L ); = da Eq. (5) quival à tmpratura do -ésimo ó da pard, ou sja, à tmpratura (t) cssária para o cálculo d Q & (t) da Equação (2). Para o piso do ambit, adotou-s uma codição d cotoro d 2ª spéci od s cosidrou um fluxo d calor ulo a uma profudidad d 4 m. Por outro lado, para o tto, cosidrou-s uma prda por radiação d oda loga (R OL ), d forma qu a Eq. (4) assumiss a sgu forma: λ = hxt = x x= 0 ( xt x 0 ) + αqr ( ε ) torol (6) od o trmo ( ε ) to rprsta a missividad do tto. Para o balaço d massa do vapor d`água, cosidra-s a troca por ifiltração os gahos como rspiração d ocupats d gração ra d vapor, rsultado a formulação global: od: m& m& m& d m& if ( xt ) + m& rsp + m& gr = ρ arva, (7) if xt rsp gr ar = fluxo d massa d ar por ifiltração através d portas jalas (kg/s); = umidad absoluta xtra (kg d água/kg d ar sco); = umidad absoluta ra (kg d água/kg d ar sco); = fluxo d massa d água através da rspiração dos ocupats (kg/s); = fluxo d vapor grado ramt (kg/s); ρ = massa spcífica do ar (kg /m 3 ); V = volum do ambit (m 3 ); a = umidad absoluta ra (kg d água/kg d ar sco). O fluxo d massa d água provit da rspiração d idivíduos é calculado através d formulação aprstada m ASHRAE (1993).

4 2.1 Itgração o tmpo As quaçõs difrciais (1) (7) corrspos ao domíio do ar, podm sr scritas como: d = a + b + c (8) d = d + + f (9) Para rsolvr as duas quaçõs acima através d métodos uméricos, utilizou-s primiramt o método simpls d Eulr xplícito, obtido através da utilização dos dois primiros trmos da séri d aylor. Nst método, calculam-s iicialmt a tmpratura a umidad o istat t +1 como: +1 = = d + t d + t +1 (11) (10) od cada valor d é obtido através d sus valors calculados atriormt o caso d um sistma d quaçõs difrciais formado plas variávis cosidra-s : d = f ( t,, ) d = g( t,, ) (12) (13) obtdo-s a tmpratura a umidad absoluta a partir d = + t. f ( t,, 1 ) + (14) = + t. f ( t,, ) + 1 (15) sdo as Eqs. (14) (15) rsolvidas simultaamt. Nst caso, como o rro global é dirtamt proporcioal ao passo d tmpo muito pquos para obtr stabilidad o método. É stablcido-s através do método simpls d Eulr, a icliação d d t, é cssário rduzí-lo a valors o comço do rvalo para rmiar a icliação da fução, o qu ocorrria somt s a fução foss liar. Pod-s corrigir sta técica através do chamado método d Eulr Modificado. Nst método corrig-s, a icliação ro do rvalo cosidrado através d uma média aritmética tr o comço o fim da icliação. Primiramt, stima-s o valor d através do método simpls d Eulr. Dst modo, utilizam-s sts valors para calcular os valors d d +1 valor d , como ilustram as Eqs. (16) (17). d +1 forcdo uma mlhor stimativa ou corrigido o

5 d d = + t (16) 2 d d = + t (17) 2 A gração o tmpo também pod sr fita d forma itrativa como utilizado m Mds Satos (2000) o código DOMUS, (Mds t al. 2001). Nst modlo as quaçõs difrciais (1) (7) são rsolvidas idividualmt d forma itrativa tr si, aprstado-s a forma: = B t ρcv ( A B ) B at + A (18) od = D t ρv ( C + D ) D at C (19) at at são a tmpratura a umidad absoluta a itração atrior, rspctivamt. Para rsolvr as Eqs. (18) (19) simplificaram-s as quaçõs da cosrvação d rgia d massa m: A B = ρcv d (20) od C + D = ρv d (21) A = haii + E& B = C D sdo i=1 i= 1 ha i m& + m& + m& = if xt = m& if g rsp h = o coficit d covcção ra ( / m 2 K ), 2 A = a ára d cada suprfíci do voltório ( m ), i i gr = a tmpratura d cada suprfíci do voltório ( o C), = º d suprfícis

6 Aida, foram obtidas as soluçõs d quaçõs difrciais formadas plas Eqs. (8) (9) através do programa Matlab, para as codiçõs iiciais (0) = 0 (0) = 0. A solução dst sistma prmit obtr os valors d tmpratura d umidad simultaamt. 3. Procdimto d Simulação Simulou-s a dificação, localizada a cidad d Curitiba-PR, Brasil, d 25 m 2, aprstada a Fig. (1). Utilizou-s para o clima xtro quaçõs so para tmpratura, umidad rlativa radiação solar, como ilustram as Figs. (2) (3). Cosidrou-s a variação soidal da tmpratura durat o dia tr 15º C 25º C da umidad xtra tr 50% 70%. Admitiu-s a variação da radiação total (dirta mais difusa) com valors tr 6 18 horas, com pico ao miodia. Para o cálculo d cargas d codução utilizado difrças fiitas, cosidraram-s todas as pards com 0,19 m d spssura formadas por 3 camadas: argamassa, tijolo argamassa. As jalas foram cosidradas como uma camada simpls d vidro a porta como sdo d madira maciça, quato o piso, formado por uma camada d madira, cocrto solo. O tto foi cosidrado plao, formado por laj d cocrto. Distribuiu-s a spssura da pard do solo piso ao logo d 21 ós, sdo qu a jala porta utilizaram-s 6 ós. Utilizou-s uma malha uiform, cosidrado as facs do volum d cotrol situadas o mio da distâcia tr os potos odais. Adotou-s para a codição d cotoro para as suprfícis xtras das pards, laj, porta jalas a troca d calor por covcção a xposição à radiação solar. No caso das suprfícis ras cosidrou-s além da troca d calor por covcção, a troca por radiação d oda loga tr las. Para a simulação dos gahos d isolação, utilizaram-s os algoritmos forcidos por Szokolay (1993) para o cálculo dos âgulos d altitud azimut solar m fução da hora do dia. N Figura 1. Dimsõs do ambit utilizado para a simulação (m). mpratura ( C) mpratura Umidad t (h) Umidad Rlativa Figura 2. Variação tmporal da tmpratura xtra da umidad rlativa o príodo 3 dias.

7 Radiação otal (/m²) t (h) Figura 3. Variação tmporal da radiação total o príodo 3 dias. Para a limiação dos fitos das codiçõs iiciais, submtu-s primiramt o código computacioal a uma pré-simulação d 7 dias. 4. Rsultados Discussõs Comparou-s a Fig. (4) a tmpratura ra do ambit, utilizado o método aplicado o Domus (2001) com um passo d tmpo d 100 s 3600 s, o método simpls d Eulr com um passo d tmpo d 0.25 s como rfrêcia o simulado através das quaçõs forcidas plo Matlab para o cálculo da tmpratura umidad absoluta com um passo d tmpo d 100 s 3600 s. A difrça d tmpratura suprior a 4º C tr os passos d tmpo utilizado o método itrativo dv-s a liarização da drivada tmporal através do método das difrças fiitas utilizadas o cálculo da tmpratura do voltório da dificação. 30 mpratura Itra (ºC) mpo (h) Eulr Simpls- =0.25 s Domus - =100 s Matlab - =100 s Domus - =3600 s Matlab - =3600 s Figura 4. mpratura ra do ambit variado o método umérico o passo d tmpo.

8 Para stabilidad do método simpls d Eulr (Figs. 4 5) o método d Eulr modificado (Fig. 5), utilizou-s um passo d tmpo máximo d 0.25 s. A proximidad tr os valors obtidos plo método itrativo utilizado do Domus os outros 3 métodos (Eulr simpls, Eulr modificado, Matlab) obsrvados a Fig. 5, iduz a utilização d um passo d tmpo d 0.25 s para a rdução d rros, porém iviávl m grads príodos d simulação como por xmplo 1 ao. Atribui-s as dscotiuidads obsrvadas o formato da sóid das Figs. (4) (5) aos fitos da radiação total ici o ambit, cosidrado como gaho istatâo o balaço d rgia. 27 mpratura Itra (ºC) Eulr Simpls - =0.25 s Eulr Modificado - =0.25 s Matlab - =0.25 s Domus - =0.25 s mpo (h) Figura 5. mpratura ra do ambit variado o método umérico o passo d tmpo. A ab. (1) idica o tmpo d simulação para um príodo d 10 dias utilizado um passo d tmpo d 0.25 s. Obsrva-s qu tr os métodos utilizados o Matlab é o qu rqur maior tmpo d simulação, mbora as quaçõs aprstadas m axo, possam sr rarrajadas para uma mlhor simplificação,cosqütmt, rqurdo-s um mor tmpo computacioal para rsolvê-las. abla 1. mpo d simulação tr os métodos uméricos. Método mpo d Simulação Domus Eulr Simpls Eulr Modificado Matlab Comparado-s o método utlilizado plo DOMUS o forcido plo Matlab, obsrvou-s um príodo d simulação d 8.4 s 9.6 s, rspctivamt, para um príodo d 1 ao d simulação um passo d tmpo d 3600 s. Aalisou-s a Fig. (6) a umidad rlativa ra calculada através dos divrsos métodos uméricos. Smlhatmt a tmpratura, obsrvou-s proximidad tr os rsultados quado submtidos a um passo d tmpo d 0.25 s. A ifluêcia da tmpratura o cálculo da umidad é ilustrado através da variação do passo d tmpo. Obsrva-s uma variação d até 10 % tr os valors d pico.

9 0.7 Umidad Rlativa Itra Domus - = 0.25 s Domus - = 3600 s Eulr Simpls - = 0.25 s Eulr Modificado - = 0.25 s mpo (h) Figura 6. Umidad rlativa ra do ambit variado o método umérico o passo d tmpo. 5. Coclusão Aprstou-s st trabalho uma comparação tr algus métodos uméricos para o cálculo do trasit higrotérmico m um ambit, utilizado-s uma formulação global para os balaços d rgia d massa. Obsrvou-s a partir dos rsultados, a iviabilidad d s usar métodos xplícitos como o d Eulr Simpls Modificado para príodos grads d simulação, como por xmplo d 1 ao. A formulação forcida plo Matlab mostrou-s robusta, porém dvido ao tamaho da formulação aprstou-s mais lto qu o método utilizado plo DOMUS. A utilização d grads passos d tmpo, apsar d aclrar a simulação, aprstou grads difrças quado comparados com pquos passos d tmpo. Esta difrça dv sr atribuída, m grad part, a liarização da drivada tmporal da tmpratura, utilizado-s o método das difrças fiitas, o cálculo da tmpratura do voltório da dificação. Lvado-s m cota a prcisão, o tmpo d simulação a robustz, o método itrativo utilizado o DOMUS (2001) aprstou-s como o mais ficaz robusto a simulação d ambits tratados o prst caso. 6. Agradcimtos Os autors agradcm à CAPES, CNPq Fudação Araucária plo suport fiaciro. 7. Rfrêcias ASHRAE Amrica Socity of Hatig Rfrigratio ad Air-Coditioig Egirig - Hadbook-Fudamtals, , Atlata: ASHRAE. Cláudio, D.M., Maris, J. M., Cálculo Numérico Computacioal, 2º dição, Ed. Atlas, S. Paulo, Brazil, 464 p. Grald, C. F., hatly, P. O., Applid Numrical Aalyis, 6º ditio, Addiso-sly, 700 p. Haslma, D., Littlfild, B., Matlab 5, Makro Books, S. Paulo, 413 p. Mds, N. Satos, G.H., Aális d rasit Higrotérmico d Ambits Não- Climatizados, VIII Ecotro Nacioal d Ciêcias érmicas - ENCI 2000, Porto Algr. Mds N., Olivira R. C., Satos G., 2001, DOMUS 1.0: A Brazilia PC Program for Buildig Simulatio, Itratioal Buildig Prformac Simulatio Associatio Cofrc IBPSA 01, p , Rio d Jairo, Brazil. Patakar, S.V., Numrical Hat rasfr ad Fluid Flow, Szokolay S., 1993, Solar Gomtry, PLEA Passiv ad Low Ergy Architctur Cofrc - NOES, Dpartmt of Architctur at Uivrsity of Quslad, Brisba, Australia.

10 BUILDING HYGROHERMAL SIMULAION: ANALYSIS OF HE NUMERICAL MEHOD FOR INEGRAION IN IME. Grso H. dos Satos Potifical Catholic Uivrsity of Paraá PUCPR/CCE hrmal Systms Laboratory Curitiba PR Brazil Natha Mds Potifical Catholic Uivrsity of Paraá PUCPR/CCE hrmal Systms Laboratory Curitiba PR Brazil Abstract. I this work, it was aalyzd ad compard, i trms of room air tmpratur ad rlativ humidity, diffrt umrical mthods for gratio of th air-domai govrig quatios i tim oc o-stady buildig simulatios ar carrid out for priods as log as o yar. A lumpd approach to prdict th room air tmpratur ad rlativ humidity is usd ad a odimsioal multi-layr modl i fiit diffrcs for th groud ad buildig vlop is mployd. h xtral wathr was simplifid by th us of si fuctios for tmpratur, rlativ humidity ad solar radiatio. o valuat th buildig prformac with thrmal paramtrs, w hav writt a cod which icluds air ifiltratio, coductio loads, ral gais of popl, lights ad quipmt ad short ad log wav radiatio. Kywords. buildig simulatio, umrical mthods.