Os primeiros passos no caminho das inequações

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1 Prática Pedagógica Os primeiros passos no caminho das inequações Para ensinar o assunto, é importante considerar o que a garotada já sabe a respeito da resolução de equações e valorizar a estratégia de substituir a incógnita por alguns números a fim de conferir se eles são válidos NOVA ESCOLA Beatriz Vichessi Márcia Scapaticio Dentre as dificuldades apresentadas pelos alunos do 9º ano que fizeram a Prova Brasil em 2011, uma delas aponta para as inequações polinomiais de 1º grau. A questão que abordava o tema era similar a esta: "A figura abaixo mostra uma balança ao final de uma pesagem. Em cada um dos pratos, há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos representados na mesma unidade de medida. A expressão matemática que relaciona os pesos nos pratos da balança é: (A) 3x - 5 < 8-2x (B) 3x - 5 > 8-2x (C) 2x + 8 < 5 + 3x (D) 2x + 8 > 5 + 3x." O material de análise das soluções dos estudantes revela que somente cerca de 30% escolheu a resposta correta (C). A alternativa (D) foi marcada por 20% e o restante se dividiu entre (A) e (B). Esse cenário é um indício de que, além de ter problemas para ler a figura na linguagem matemática, a moçada parece não conhecer como funciona o uso dos sinais de maior (>) e menor (<). "Interpretar o desenho e representá-lo matematicamente requer compreender que o prato da esquerda (com três esferas de peso x e 5 quilos) é mais pesado que o da direita (com duas esferas de peso x + 8 quilos), pois está mais para baixo. Implica também saber que as escritas matemáticas são 3x + 5 e 2x + 8 respectivamente e, por fim, que, se o primeiro prato é mais pesado que o segundo, isso indica que ele é maior numericamente. Sendo assim, 3x + 5 > 2x + 8", diz Carlos Eduardo Mathias, docente do Departamento de Matemática Aplicada e do Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino da Universidade Federal Fluminense (UFF).

2 Avaliando as fragilidades, também é possível concluir que a resolução de inequações está longe de ser um assunto bem resolvido. Afinal, para lidar com esse tema, as habilidades cobradas na Prova Brasil são básicas. Como reverter esse quadro e ajudar a turma a conquistar autonomia para analisar e trabalhar com o conteúdo? Para começar, é importante entender que o ensino das inequações marca duas rupturas epistemológicas: - Igualdades e desigualdades Até então, os alunos lidaram somente com expressões aritméticas e algébricas marcadas por igualdades, como = 395 e x = O sinal de igual assegura que ambos os lados da expressão têm o mesmo valor. No novo assunto, um lado da expressão sempre é maior ou menor que o outro. - Uma só resposta versus muitas ou infinitas soluções Antes, as expressões estudadas tinham como resposta só um valor possível. Com as inequações, existem infinitas possibilidades. Isso varia de acordo com as condições apresentadas no enunciado do problema. O passo seguinte é apostar no que os jovens já sabem. É natural e bem-vindo que eles sugiram experimentar um ou dois valores para ocupar o lugar da incógnita e testar se funcionam. Nas ilustrações desta reportagem, você confere as soluções apresentadas pela turma do 8º ano da EM Presidente Castello Branco, em Joinville, a 176 quilômetros de Florianópolis, para os problemas propostos pela professora Elaine Kelm. Embora frágil, a estratégia marcada pela tentativa e pelo erro deve ser considerada e usada para que os alunos a reconheçam como insuficiente. Apresentando contraexemplos e recorrendo a resultados diferentes, porém válidos (que certamente vão aparecer nas resoluções dadas pela turma), você pode propor que os jovens analisem e sigam em frente. Para isso, deverão buscar saídas mais completas a fim de sistematizar o conhecimento, usando a linguagem matemática canônica. Também é interessante encaminhar a discussão propondo que a garotada solucione problemas com equações, um tema já conhecido - e inequações. Para fazer uma ponte entre os dois conteúdos, proponha desafios como este: "Considerando os números inteiros e sabendo que x + 4 =10, resolva x + 4 > 10". O objetivo é que, encontrando a resposta para a primeira expressão (x = 10-4, quer dizer, x = 6), a garotada se apoie nela e apresente x > 6, ou seja, x pode ser qualquer número maior que 6. Vale provocar os alunos e pedir que eles provem que acertaram, conferindo quais números funcionam e quais não: - na igualdade, se x é 6, temos = 10, o que é verdade. - na desigualdade, se x pode ser qualquer número inteiro maior que 6, há

3 inúmeros valores possíveis. Se usarmos 7, temos > 10, o que é verdade - pois 11 > 10. Se x for 8, obtemos >10 e assim por diante. Atenção! Pode parecer óbvio que 6 não seja um valor válido para x, como a própria resposta obtida indica (x > 6). Mas isso pode não estar claro para os alunos. É importante problematizar o uso do número 6, pedindo que a turma faça o mesmo teste já realizado com outros números: > 10? Como a soma será 10, ficará evidente que ele não atende ao enunciado. Esse é um cuidado que não deve ser deixado de lado, pois há inequações que apresentam os sinais de maior igual e menor igual e quando eles aparecem - aí sim - o número encontrado é considerado válido. Reta numérica ajuda na compreensão dos resultados Após a introdução ao tema, Mathias recomenda não deixar de desafiar a turma a lidar com exemplos em que a incógnita aparece com o sinal negativo. Com isso, é possível colocar em debate outras particularidades das inequações. Peça que a garotada encontre o valor de x em -2x > 8, considerando os números inteiros. Recorrendo ao que já sabem, é esperado que os alunos alcancem o seguinte: -x > 8/2, ou seja, -x > 4. Frente a isso, retome que o enunciado pede o resultado de x, e não de -x. Alguns estudantes podem sugerir multiplicar a expressão inteira por (-1), fazendo x ficar positivo, e 4, negativo. Questione-os: "Teremos x > -4, essa resposta é válida?" Para analisar esse caso, Mathias sugere recorrer à reta numérica. Pergunte ao grupo quais são os números maiores que -4. É normal alguns estudantes recorrerem à lógica dos números positivos e afirmarem -5, -6, -7, -8 etc. Se isso ocorrer, faça um pequeno intervalo para recuperar o conceito de maior e menor no universo dos números negativos. Esclarecido que os valores maiores que -4 estão à direita dele, peça que os alunos testem os valores com -2x > 8 e marquem os resultados na reta. Se x for -3, teremos -2 (-3) > 8? 6 > 8. No entanto, isso é falso. No caso de um número positivo, como 6, teremos -2 (6) > 8, ou seja, -12 > 8. Outra resposta falsa, conforme mostra a figura abaixo: Feito isso, é possível explicar aos alunos que, quando recorremos à multiplicação por (-1) nas inequações, não só o valor dos números muda, passando do negativo para o positivo, ou vice-versa, como também ocorre no caso das equações. O sinal também é alterado. Multiplicar -x > 4 por (-1) resulta em x < -4, ou seja, x pode ser -5, -6, -7, -8 etc. (em outras palavras, qualquer número inteiro menor que -4). Para ter certeza, basta experimentar: se x for -5, temos -2 (-5) > 8, que resulta em 10 > 8, o que é verdade. Como você pode notar, trabalhar esse conteúdo requer discutir algumas

4 questões pontuais, variando as propostas de exercícios, envolvendo situações do cotidiano, apresentando a inequação montada e mesclando o conteúdo com outros, como a geometria. O planejamento que garante tudo isso prepara a turma a encarar as atividades que envolvem as inequações com mais destreza - tanto as cobradas na Prova Brasil, como outras mais complexas - as polinomiais de 2º grau - que aparecerão com frequência nas aulas do Ensino Médio. Testar valores para resolver as inequações Confira as estratégias da turma da EM Presidente Castello Branco, em Joinville. Ainda que insuficientes, elas são ricas para a aprendizagem Problema 1 As medidas de um losango são expressas por números racionais. Sabendo que o perímetro da figura é menor que 20 centímetros, escreva o conjunto das possíveis medidas dos lados, em centímetros. 4,9 x 4 = 19,6. Existem várias possíveis medidas de lado. O mais perto é 4,9. Provavelmente, o estudante fez uma conta de cabeça e descobriu que, para ter o perímetro igual a 20, os lados deveriam medir 5 centímetros. Ele buscou, então, o número racional imediatamente anterior a ele: 4,9, que de fato é uma resposta válida. No entanto, o garoto não considerou que no intervalo entre 4,9 e 5 há infinitos números racionais. x é o lado do losango 4x é o perímetro do losango, então, 0 < 4x < 20 0 < x < 5, ou seja, os lados podem ser qualquer número racional menor que 5. Problema 2 No tanque de um zoológico, o dobro do número de tartarugas menos 3 deve ser menor que a quantidade de jacarés, que é 13. Quantas tartarugas podem ser colocadas no tanque? Tartarugas: 2x -3 Jacarés: 13 2 (8) - 3 = 16-3 = 13 2 (7) - 3 = 14-3 = 11 2 (6) - 3 = 12-3 = 9 2 (5) - 3 = 10-3 = 7 2 (4) - 3 = 8-3 = 5

5 2 (3) - 3 = 6-3 = 3 2 (2) - 3 = 4-3 = 1 Se o número de tartarugas tem de ser menor do que o de jacarés, pode ser uma dessas sete opções. O estudante conseguiu resolver o problema até o meio do caminho. Ao que tudo indica, ele começou a resolução buscando um número que multiplicado por 2, menos 3 resultasse em 13 (o número de jacarés), e foi testando valores inferiores - que resultaram em opções possíveis. Mas se esqueceu de que o enunciado pede que o número de tartarugas não seja igual ao de jacarés - ou seja, deveria ter desconsiderado o 8. Tartarugas: x 2x - 3 < 13 2x < x < 16 x < 8. podem ser colocadas no tanque menos que 8 tartarugas, desde que pelo menos 1 (0 < x < 8), para atender ao enunciado. Problema 3 Descubra quantos alunos podem estar matriculados na classe de Maria, levando em conta que: - O número de alunos é par. - O dobro do número de alunos menos 75 é menor que 7. - O dobro do número de alunos menos 11 é menor que x 2 = = = 3 O número de alunos é 36. É provável que o estudante tenha buscado por um número par cujo dobro se aproximasse de 75 para atender ao enunciado do problema. De fato, 36 preenche essas e a terceira condição. No entanto, não é a única possibilidade. Alunos: x Primeira condição:

6 2x - 75 < 7 2x < x < 82 x < 41 Segunda condição: 2x - 11 < 65 2x < x < 76 x < 38 Para respeitar as três condições, o número de alunos pode ser qualquer par menor que 38, exceto zero (2 < x < 38). Problema 4 Num retângulo, o lado maior mede 4 cm a mais do que o menor. Para que o perímetro seja menor que 20 centímetros, quanto deve medir o maior lado? Possíveis medidas: x = 5 e x - 4 = 1 x = 6 e x - 4 = 2 O estudante se apoiou na linguagem matemática para checar a validade de duas possíveis respostas. Porém não chegou à generalização. 2x + 2 (x+4) < 20 2x + 2x + 8 < 20 4x < 20-8 x < 12/4 x < 3 O maior lado deve medir x+4, desde x < 3, incluindo os números racionais maiores que zero. Se x for 2, por exemplo, o lado maior é 6. Endereço da página:

7 Publicado em NOVA ESCOLA Edição 255, 01 de Setembro de 2012