Material Didático. Física Elementar. Fevereiro Universidade Federal do Pará. Equipe de Física:

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1 Física Elementar Material Didático Equipe de Física: (PCNA Fevereiro de 201) Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação) Rosana Paula de Oliveira Soares José Benício da Cruz Costa (Orientação) Fevereiro 2014 Universidade Federal do Pará Monitores: Moisés Andrade de Jesus Rodrigo de Souza Batista Anderson Silva Tavares Horácio Lisboa Paulo Henrique Marinho Rodrigues

2 Equipe de Professores Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação Geral) Matemática: Rosana Paula de Oliveira Soares (Coordenação) Alessandra M. de Souza Lopes Rita de Cássia Carvalho Silva Química: Shirley Cristina Cabral Nascimento (Coordenação) Marlice Cruz Martelli Ana Rosa C.L.M. Duarte Física: Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação) José Benício da Cruz Costa

3 Sumário 1.CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A NATUREZA DA FÍSICA GRANDEZAS E DIMENSÕES ANÁLISE DIMENSIONAL CONVERSÃO DE UNIDADES INCERTEZAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS ANÁLISE VETORIAL BÁSICA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES ESCALARES E VETORES SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES COMPONENTES DE UM VETOR VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES OPERAÇÕES COM VETORES MULTIPLICAÇÃO DE VETORES EXERCÍCIOS CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO (1D) OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM REFERENCIAIS POSIÇÃO E DESLOCAMENTO VELOCIDADE ESCALAR E VETOR VELOCIDADE GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS: VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA ACELERAÇÃO ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA ACELERAÇÃO CONSTANTE APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA CORPOS EM QUEDA LIVRE ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA CINEMÁTICA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM COEFICIENTE ANGULAR E INCLINAÇÃO CONCEITO NOTAÇÕES PROPRIEDADES DA DERIVADA APLICAÇÃO NA FÍSICA APLICAÇÃO NA ENGENHARIA INTEGRAL OBJETIVO CONCEITODE INTEGRAL NOTAÇÃO PROPRIEDADES DA INTEGRAL APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA LEIS DE NEWTON ª. LEI DE NEWTON ª. LEI DE NEWTON RELAÇÃO ENTRE FORÇA E ACELERAÇÃO ª LEI DE NEWTON DIAGRAMA DE CORPO LIVRE EXERCÍCIOS

4 6. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON OBJETIVO DE APRENDIZAGEM FORÇA GRAVITACIONAL FORÇA NORMAL ATRITO TENSÃO EXERCÍCIOS REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS

5 1.CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES. 1.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: VOCÊ APRENDERÁ: O conceito de física e a sua natureza. As grandezas fundamentais e as unidades usadas pelos físicos para medi-las. Análise dimensional. Conversão de unidades e como não perder de vista os algarismos mais significativos nos seus cálculos. Conceitos básicos de trigonometria. 1.2 A NATUREZA DA FÍSICA: A ciência e a engenharia se baseiam em medições e comparações. Assim precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações. A física é uma ciência experimental, e assim como a química e a matemática, forma a base de todas as engenharias. Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de TV, uma nave espacial, um reator ou até mesmo uma ratoeira mais eficiente, sem antes entender os princípios básicos da física. 1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES: Os experimentos físicos exigem medidas, e normalmente usamos números para descrever os resultados das medidas. Qualquer número usado para descrever um fenômeno físico denomina-se grandeza física. Por exemplo, duas grandezas físicas para descrever você são o seu peso e a sua altura. Para cientistas e engenheiros, em grande parte do mundo, o sistema padrão utilizado é conhecido como Sistema Internacional ou SI. Existem outros sistemas como CGS e o sistema de Engenharia Britânico (BE). UNIDADES SI CGS BE Comprimento Metro(m) Centímetro Pé(ft) (cm) Massa Quilograma Grama(g) Slugs(sl) (kg) Tempo Segundo(s) Segundo(s) Segundo (s) RELAÇÕES IMPORTANTES 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 kg = 1000 g 1 ton = 1000 kg 1 h = 60 min = 3600 s 1 min = 60 s Tabela 1.1 Relações entre os diversos sistemas de unidades 1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL: Em física, o termo dimensão é usado para se referir à natureza física de uma grandeza. A preocupação com a dimensionalidade de uma grandeza ou de uma fórmula antecede a questão da unidade usada. Por exemplo, para medir a distância entre dois objetos podemos utilizar fita métrica graduada em centímetro, decímetro ou metro. Entretanto, ninguém discute que essa medida deverá ser feita a partir de uma unidade de comprimento. Em outras palavras, a análise dimensional é usada para verificar relações 5

6 matemáticas quanto à consistência das suas dimensões. Na mecânica, parte da Física que envolve a cinemática e a dinâmica, a totalidade dos conceitos básicos dessa área pode ser expressa em termos de uma combinação de dimensões fundamentais. São elas: Comprimento [L], Tempo [T], Massa [M] Exemplo: Considere um carro que parte do repouso e acelera até uma velocidade v em um tempo t. Desejamos calcular a distância x percorrida pelo carro, mas não temos a certeza de se a relação correta é x =.v.t² ou x =.v.t. Podemos verificar as grandezas em ambos os lados da equação para vermos se possuem as mesmas dimensões da seguinte maneira: Na equação, aplicamos as dimensões [L], [T], teremos: [L] = [ ].[T]² [L]= [L].[T] A dimensão do lado esquerdo da equação não coincide com a dimensão do lado direito. Logo, a relação não está correta, pois não faz sentido trabalharmos com uma fórmula do tipo POSIÇÃO = VELOCIDADE. Afinal, estamos medindo posição ou velocidade? Daí a necessidade de que a dimensão do lado esquerdo da fórmula seja igual à do lado direito e, caso seja composta por mais de uma parcela, essas devem ter a mesma dimensionalidade entre si e a mesma compatibilidade com a descrição da fórmula em questão. Portanto, toda fórmula, independentemente do contexto em questão, deve ser dimensionalmente consistente. Caso contrário deve ser reanalisada ou simplesmente descartada. Lembre-se disso ao final das suas resoluções de problemas e exercícios! Para a equação,temos: [L] =[ ]. [T] [L] = [L] A dimensão em ambos os lados coincidem, logo essa equação está dimensionalmente correta. 1.5 CONVERSÕES DE UNIDADES Uma vez que qualquer grandeza pode ser medida em diferentes unidades é importante saber como converter um resultado expresso em uma unidade(s) para outra(s) unidade(s). A conversão pode envolver uma única unidade, como por exemplo, converter 1km para metros, 1km = 10 3 m. Pode também envolver mais de uma unidade. Por exemplo, converter uma velocidade dada em km/h para m/s. Neste caso, precisamos expressar quilômetro em metros e hora em segundos. Em todos os casos de conversão de unidades pode-se afirmar que não há nada mais envolvido que as operações de multiplicação e divisão. As regras de conversão podem ser sintetizadas a partir de um cálculo simples envolvendo regra de três. É necessário que se diga, embora óbvio, que só é possível converter uma unidade para outra unidade quando sabemos o quanto vale uma unidade de medida em termos da outra e vice-e-versa. Façamos o caso da conversão de velocidade de km/h m/s. Sabemos que 1 quilômetro possui 6

7 1000 metros e que 1 hora possui 3600 segundos (60x60s). Logo, 1km/h=1000m/3600s 0,2778m/s. Sabemos quanto vale 1km/h em m/s. E quanto vale 1m/s em termos de km/h? Vamos para a regra de três! 1 km/h ,2778 m/s x m/s A leitura é feita da seguinte forma: 1km/h vale 0,2778m/s. 1m/s (que ainda não sabemos quanto vale em km/h) em termos de km/h vale x (incógnita). Em seguida fazemos uma multiplicação em diagonal (repare que de um lado temos somente uma unidade (km/h) e do outro lado somente a outra unidade (m/s)). Assim ficamos com 1km/h.1m/s = x.0,2778m/s Para finalizar passamos dividindo o termo que está multiplicando x. Portanto, x, que é igual a 1 km/h escrito em termos de unidade de velocidade em m/s vale 3,6m/s. A forma de montar uma regra de três é sempre simples. Mas atenção! Fazer uma mudança de unidades não altera a dimensão da grandeza que você está trabalhando! Exemplo 1: A maior queda d água do mundo é Salto do Anjo na Venezuela, com uma altura total de queda de 3212ft. Expresse esta queda em metros. Obs.: ft é o símbolo de uma medida de comprimento no sistema métrico inglês. ft é a contração de feet do idioma inglês que quer dizer pé. 1 pé, ou melhor, 1ft=30,48cm=0,3048m Estratégia de raciocínio: 1ft = 0,3048m. A pergunta é: quanto vale 3212ft expresso em metros? Vale x metros. É o que queremos descobrir. Vamos montar nossa regra de três! 1 ft ,3048 m 3212 ft x A regra de três foi montada corretamente. Agora é só fazer a multiplicação em diagonal e isolar o fator x. 3212ft.0,3048m = x.1ft x = 979,0m Não se esqueça de fazer o corte nas dimensões também! ft do lado esquerdo corta com ft do lado direito da equação e a resposta é dada em metros, conforme desejamos. 1.6 INCERTEZAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS As medidas sempre envolvem incertezas. Em muitos casos, a incerteza de um número não é apresentada explicitamente. Em vez disso, ela é indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou algarismos significativos, do valor da medida. Por exemplo, medimos a espessura da capa de um livro e encontramos o valor 2,91mm, esse valor apresenta três algarismos significativos. Com isto, queremos dizer que os dois primeiros algarismos são corretos, enquanto o terceiro 7

8 dígito é incerto. O último dígito está na casa dos centésimos, de modo que a incerteza é aproximadamente igual a 0,01mm. 1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS: A trigonometria é uma área da matemática muito aplicada na física, sobretudo nos tipos de problemas tratados pela mecânica. Em especial, três funções trigonométricas básicas são mais utilizadas. São essas: o seno, o cosseno e a tangente de um determinado ângulo. Podemos definir essas funções a seguir em termos de símbolo que aparecem no triângulo retângulo abaixo: Figura Triângulo Retângulo Pelo teorema de Pitágoras, determina-se que: h = comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo h 0 = comprimento do cateto oposto ao ângulo θ h a = comprimento do cateto adjacente ao ângulo θ Em que: O seno, o cosseno e a tangente são números sem unidades (nem dimensões) porque cada um é a razão entre os comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Exemplo: Em um dia de sol, um edifício alto faz sombra de 67,2 m de comprimento. O ângulo entre os raios de sol e o chão é de θ = 50,0º, como mostrado na figura abaixo. Determine a altura do edifício. Figura 1.2- Edifício Alto e suas projeções. Estratégia de raciocínio: Desejamos determinar a altura do edifício. Para isso, analisamos as informações contidas no triângulo retângulo sombreado da figura dada. São elas: a altura como comprimento h 0 do cateto oposto ao ângulo θ, o comprimento da sombra é o comprimento h a do cateto adjacente ao ângulo θ. Sabemos que a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente é a tangente do ângulo θ que pode ser usada para se determinar a altura do prédio. Solução: Usamos a função tangente conhecida da seguinte maneira, com θ = 50,0º e h a = 67,2 m: Desse modo: Assim: O valor de tan 50,0º é determinado usando-se a calculadora. Exemplo: A profundidade de um lago aumenta gradativamente com um ângulo θ, como indicado na figura abaixo. Por questões de segurança, é necessário se determinar a profundidade do lago em várias distâncias a partir da margem. Para 8

9 fornecer informações a respeito da profundidade, um guarda-vidas rema até uma distância de 14,0 m da margem em direção ao interior do lago e solta uma linha de pesca com um peso. Medindo o comprimento da linha, o guarda-vidas determina a profundidade como sendo igual a 2,25 m. a) Qual o valor de θ? b) Qual seria a profundidade d do lago a uma distância de 22,0 m a partir da margem? Solução: a) Usando a função arco tangente conhecida, chegamos a: b) Com θ = 9,13º, a função tangente pode ser usada para determinarmos a profundidade desconhecida a uma distância maior da margem, onde h 0 = d e h a = 22,0 m. Conclui-se que: Temos que 3,54 m é maior que 2,25 m, o que já era esperado. Figura Lago e suas projeções. Estratégia de raciocínio: Podemos observar que próximo a margem, os comprimentos dos catetos oposto e adjacente do triângulo retângulo formado na figura do lago são h 0 =2,25 m e h a =14,0 m, em relação ao ângulo θ. Após a identificação dessas informações, podemos usar o arco tangente (tan -1 ) para determinar o ângulo do item (a). Para determinar o item (b), consideramos que os catetos opostos e adjacentes passam a ser os mais afastados da margem onde h 0 = d e h a =22,0 m. Assim, com o valor de θ obtido no item (a), a função tangente pode ser usada para encontrar o valor da profundidade desconhecida. Considerando a forma com que a profundidade do lago aumenta com a distância na figura do lago, é de se esperar que a profundidade desconhecida seja maior do que 2,25 m. 9

10 2. ANÁLISE VETORIAL BÁSICA. 2.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM VOCÊ APRENDERÁ: A diferença entre grandezas escalares e vetoriais e como somar e subtrair vetores algebricamente; O que são as componentes de um vetor e como usá-las em cálculo; O que são vetores unitários e como usálos. 2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES Não é novidade que a física se vale da linguagem matemática para descrever o mundo natural a nossa volta. Tal linguagem se mostra adequada para representar fenômenos naturais ou produzidos em laboratório e também para descrever inúmeras situações presentes em nosso dia-a-dia. Muitos podem achar a linguagem matemática da qual a física se vale como abstrata, mas é esta linguagem abstrata que nos ajuda a entender o que se passa ao nosso redor. Para caracterizar muitos conceitos utilizados na física basta uma única unidade de medida. Como exemplos, citamos: temperatura, massa, tempo. Entretanto, em outros casos precisamos de mais informações para caracterizar uma grandeza física útil para descrever uma situação ou problema de interesse. Por exemplo, ao informar a localização de um determinado lugar a uma pessoa, precisamos não apenas informar o quanto essa pessoa vai andar, mas também para onde se deve ir. Ou seja, devemos informar a rota do percurso. Nem percebemos que estamos lidando com uma grandeza vetorial. Esse exemplo simples (rota de um percurso) de tratamento vetorial torna-se imprescindível para o transporte aéreo. Alguém imagina o voo das aeronaves sem uma determinação precisa de rotas aéreas? Outro exemplo simples para entender a necessidade de haver mais de uma informação para caracterizar grandezas vetoriais pode ser dado com a aplicação de uma força sobre um corpo. De que vale especificar a magnitude da força que é aplicada sobre um corpo sem dizer em que direção e sentido a força é aplicada? Muitos conceitos da física necessitam de uma caracterização vetorial completa para ficar bem definidos. Força é um desses conceitos. Saber caracterizar e manipular vetores é pré-requisito indispensável para a formação de qualquer engenheiro ou profissional da área de exatas. 2.3 ESCALARES E VETORES Algumas grandezas físicas como o tempo, temperatura, volume e massa podem ser descritas por um único número (incluindo quaisquer unidades) fornecendo o seu módulo. Este tipo de grandeza é chamada grandeza escalar. A grandeza vetorial é uma grandeza descrita por um módulo, uma direção e um sentido, e pode, portanto, ser representada por um vetor. Como exemplo já citado, temos a força para puxar ou empurrar um corpo. Para descrever completamente uma força é preciso fornecer o módulo da força, sua direção e o seu sentido (empurrar e/ou puxar). No caso do movimento de um avião, para descrevê-lo é necessário dizer a velocidade que ele se desloca, a direção (norte, sul, leste, oeste) e o sentido do seu movimento. A representação geométrica de um vetor é dada por uma seta, onde o tamanho da seta representa o módulo do vetor, a direção e o sentido da seta fornecem a direção e o sentido do vetor. Algebricamente, podemos designar um vetor por uma letra com uma pequena seta (para a direita) acima da mesma. Outra opção é colocar a letra que designa o vetor em negrito. Em geral, ao longo deste material didático faremos opção pela segunda escolha (em negrito). Para entendermos melhor os vetores e suas operações observe a representação do vetor deslocamento feita na figura abaixo: 10

11 Trabalharemos com mais detalhes a expressão analítica do módulo do vetor ao longo do capítulo. Figura Representação do deslocamento de um carro. A flecha neste desenho representa um vetor deslocamento. Os vetores podem ser classificados como: Vetores paralelos - aqueles que possuem a mesma direção e o mesmo sentido possuindo ou não mesmo módulo. Se apresentarem mesmo módulo são iguais. A B Figura Representação de vetores paralelos. Vetores negativos - possuem mesmo módulo e direção do vetor positivo dado e sentido contrário a deste vetor. A -A Figura Representação de vetores antiparalelos. Exemplo Conceitual: Há locais onde a temperatura é de +20ºC em certa época do ano e de -20ºC em outra época. Os sinais de mais e de menos que representam as temperaturas positiva e negativa implicam que a temperatura é uma grandeza vetorial? Estratégia de raciocínio e solução: Um vetor possui uma direção física associada ele, para o leste ou para o oeste, por exemplo. A pergunta, então, é se tal direção está associada com a temperatura. Em particular, os sinais de mais e de menos que acompanham a temperatura, implicam este tipo de direção e sentido? Em um termômetro, os sinais algébricos simplesmente significam que a temperatura é um número menos ou maior do que zero em uma escala e não tem nada a ver com leste, oeste, ou qualquer outra direção física. A temperatura, então, não é um vetor. Ela é um escalar, e escalares podem, às vezes ser negativos. 2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Suponha que uma partícula sofra um deslocamento A, seguido de outro deslocamento B. Podemos representar o deslocamento total pela letra R que representa o vetor resultante da soma vetorial ou, simplesmente, vetor soma. A soma é feita desenhando a extremidade de um vetor com o início do outro. Vetores antiparalelos possuem a mesma direção, mas sentidos contrários, possuindo ou não o mesmo módulo. O módulo de um vetor é representado da seguinte forma: (módulo de A) = A = A Como sabemos da matemática, o módulo fornece sempre um resultado numérico positivo. Figura Representação de soma de dois vetores. R = C = A + B Uma propriedade importante da soma de dois vetores é que a ordem em que os vetores são somados não importa. 11

12 R = A+B = B+A (lei comutativa) Podemos também somá-los construindo um paralelogramo Figura Representação de soma de dois vetores antiparalelos. R = A + (-B) IMPORTANTE! O FATO DE UMA GRANDEZA SER POSITIVA OU NEGATIVA NÃO NECESSARIAMENTE SIGNIFICA QUE A GRANDEZA É UM ESCALAR OU VETOR! 2.4.1A Soma de Três ou mais Vetores Figura Representação de soma de dois vetores pela regra do paralelogramo. Quando os dois vetores são perpendiculares entre si, podemos somá-los aplicando o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante. Quando existem mais de dois vetores podemos agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. Assim, se queremos somar os vetores A, B e C, podemos primeiro somar A e B e depois somar o resultado a C e também podemos somar o primeiro B e C e depois somar o resultado a A. A soma vetorial resultante é a mesma. R = (A + B) + C = (B + C) + A (lei associativa) Figura Representação de soma de dois vetores perpendiculares. A soma de dois vetores paralelos: Figura Representação de soma de dois vetores paralelos A Subtração de Vetores A subtração vetorial é efetuada da mesma foram que a soma vetorial. Se tivermos dois vetores A e B fornecendo um vetor resultante C segundo C = A + B representado na figura (a), podemos escrever esse resultado como A = C B, que é um exemplo de subtração vetorial. Entretanto, podemos também escrever este resultado como A = C + (-B) e tratá-lo como uma soma vetorial representado na figura 2.9.b. R = A + B A soma de dois vetores antiparalelos. A Figura 2.9.a - Representação de soma vetorial. R -B 12

13 IMPORTANTE! Figura 2.9.b - Representação de subtração vetorial. 2.5 COMPONENTES DE UM VETOR Componentes Vetoriais Qualquer vetor pode ser expresso em termos de suas componentes. Em duas dimensões, as componentes vetoriais de um vetor A são dois vetores perpendiculares A x e A y, que são chamados de a componente vetorial x e a componente vetorial y, respectivamente e se somam vetorialmente de tal forma que A=A x + A y. AS COMPONENTES DE QUALQUER VETOR PODEM SER USADAS NO LUGAR DO PRÓPRIO DO VETOR EM QUALQUER CÁLCULO ONDE FOR CONVENIENTE FAZÊ-LO! Exemplo: Um vetor deslocamento r possui um módulo r = 175,0 m e uma inclinação de 50,0º, em relação ao eixo dos x como mostrado na figura abaixo. Determine as componentes x e y deste vetor. Figura Representação de um vetor arbitrário A e suas componentes vetoriais x e y. As componentes x e y somadas transmitem o mesmo significado que o vetor original A. Podemos determinar as componentes de Aa partir do triângulo retângulo mostrado na figura acima da seguinte forma: A x = A.cosθ e A y = A.senθ Onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o semieixo x positivo e A é o modulo do vetor A. Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos, as componentes podem ser usadas no lugar do vetor, assim: A = e θ Figura Representação do vetor deslocamento re suas componentes x e y. Estratégia de raciocínio: De acordo com o nosso conhecimento de trigonometria básica, podemos observar o triângulo retângulo formado pelo vetor r e suas componentes x e y. Isto nos permite aplicar as funções trigonométricas seno e cosseno para determinar as componentes em questão. Solução: A componente y pode ser obtida usando o ângulo de 50,0º e a seguinte relação: Seguindo o mesmo raciocínio, a componente x pode ser obtida da seguinte maneira: 13

14 Outra forma de determinar as componentes é por meio do ângulo α. Observe: Sabemos que: Desse modo: O valor de 40,0º foi encontrado por meio do conhecimento da soma de ângulos internos de um triângulo que tem que ser igual a 180,0º. Então como são dados os valores de dois ângulos é possível determinar o valor do terceiro, neste exemplo, α. 2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES Outro método de expressar componentes vetoriais consiste em usar vetores unitários. Um vetor unitário também conhecido como versor é um vetor que possui um módulo unitário e é adimensional. Possui a seguinte notação: é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta no sentido positivo do eixo dos x. é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta no sentido positivo do eixo dos y. Representação em duas dimensões: Componentes Escalares: As componentes escalares de um vetor são definidas como números positivos ou negativos. Seja o vetor A = A x + A y. A componente A x possui um módulo que é igual a A x e recebe um sinal positivo se A x apontar no sentido positivo do eixo x e um sinal negativo se apontar no sentido negativo do eixo x. A componente A y é definida seguindo o mesmo raciocínio. Observação importante: Se o vetor possui dimensão (por exemplo, dimensão de comprimento como é o caso de um vetor deslocamento), as componentes do vetor possuem a mesma dimensão do vetor. A tabela abaixo mostra um exemplo de componentes escalares. Componentes vetoriais A x = 8 metros na direção do eixo +x A y = 10 metros na direção do eixo y Componentes escalares A x = +8 metros A y = - 10 metros Tabela 2.1 Comparação entre componentes escalares e vetoriais Figura Representação do vetor A em termos das componentes A x e A y escritas em termos dos versores e. As componentes podem ser escritas como A x = A x e A y = A y. O vetor A é, então, escrito como: A =A x + A y Soma de Vetores e suas Componentes Uma terceira forma de somar vetores é combinar suas componentes eixo por eixo. Considere os vetores A e B e suas respectivas componentes A x, A y e B x, B y. A soma é dada por: C = A + B C = C x + C y 14

15 C x = soma das componentes de A e B no eixo x = A x + B x C y = soma das componentes de A e B no eixo y =A y + B y pelo vetor deslocamento B). Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante para a soma destes dois deslocamentos. C = C x + C y = (A x + B x ) + (A y + B y ) Observe as figuras a seguir: Figura Representação de vetores A e B fornecendo o vetor resultante C= (C = A + B) e as componentes vetoriais de A e B. Figura Representação de um vetor resultante C em função de suas componentes C = A x + B x + A y + B y Figura Representação de vetor A e B somados fornecendo o vetor resultante C. Estratégia-raciocínio: Temos os vetores A e B. A figura dada nos mostra os vetores A e B, Suponhamos que o eixo y coincide com a direção norte. O primeiro passo é decompor cada um dos vetores nos eixos escolhidos para compor o sistema de coordenadas. Com isso achamos as componentes A x,b x e A y,b y. Em seguida fazemos a soma para determinar a resultante em cada eixo. Tendo a resultante para cada eixo aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrar o eixo e relações da trigonometria para determinar direção e sentido do vetor resultante. Solução: Com as informações dadas na figura, montamos a seguinte tabela: Vetor Componente x Componente y A A x = (145 m) sen 20,0º = 49,6m A y = (145 m) cos 20,0º= 136 m Figura Representação de um vetor C e suas componentes (C = C x + C y ) formando um triângulo retângulo. Exemplo: Um corredor se desloca 145 m numa direção nordeste, que faz 20º com a direção norte tomado no sentido horário (representado pelo vetor deslocamento A) e depois 105 m em uma direção sudeste fazendo 35,0º com a direção leste também no sentido horário (representado B B x = (105 m) cos 35,0º= 86,0 m B y = -(105 m) sen 35,0º = -60,2 m C C x = A x + B x = 135,6 m C y = A y + B y = 76 m Tabela 2.2 Componente de vetores A terceira linha da tabela fornece as componentes x e y do vetor resultante C: C x = A x + B x e C y = A y + B y. A figura seguinte nos mostra o 15

16 vetor resultante C e suas componentes vetoriais. E aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo fornecido pela mesma, temos: Figura Representação de um vetor resultante C formando um triângulo retângulo com suas componentes. Desse modo: O ângulo θ que C faz com o eixo x é: 2.7 OPERAÇÕES COM VETORES Do ponto de vista operacional (algébrico), lidar com vetores significa independente da representação matemática em que o vetor é dado, combiná-los segundo regras de soma e multiplicação. Mais explicitamente, significa: saber como se processa a operação de soma algébrica entre dois ou mais vetores; o que acontece quando se multiplica um vetor por um escalar; e como se dão os dois tipos de produtos envolvendo vetores (veremos a seguir). Significado de somar vetores algebricamente: Suporte operacional à regra do paralelogramo Multiplicar um vetor por um escalar altera a magnitude; não altera a direção; pode alterar o sentido (a depender do sinal do escalar). IMPORTANTE! SE O ESCALAR NÃO FOR ADIMENSIONAL, O RESULTADO DIMENSIONAL DO PRODUTO É ADIMENSÃO DO ESCALAR MULTIPLICADA PELA DIMENSÃO DO VETOR. Fórmulas, cálculos e conceitos fundamentais da física são definidos em termos de produtos de vetores. Porém, o leitor talvez esteja se perguntando por que há dois tipos de multiplicação entre vetores. O que podemos afirmar com segurança é que ambos são bem definidos do ponto de vista matemático e servem a propósitos diferentes, porém igualmente importantes. Em linguagem livre, o produto escalar é uma maneira de dizer o quanto um vetor é parecido com o outro. Um produto escalar igual a zero entre dois vetores não nulos nos permite afirmar que esses vetores são ortogonais entre si. Podemos dizer neste caso que um vetor não tem nada haver com o outro (você talvez já tenha ouvido alguém dizer que Fulano e Cicrano(a) são ortogonais. Se eles não forem parecidos em nada, do ponto de vista matemático a afirmação faz sentido!). Conforme o nome expressa, o produto da multiplicação escalar entre dois vetores fornece como resultado uma grandeza escalar. O produto vetorial entre vetores pode ser pensado como uma maneira engenhosa de definir um produto entre dois vetores resultando em outro vetor. Veremos que além dessa operação ser correta do ponto de vista matemático é também muito útil para a física. Veremos, tanto no contexto da cinemática quanto no da dinâmica, vetores sendo expressos como resultado de produto vetorial entre dois vetores. 16

17 2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES Existem três formas de multiplicar vetores, porém nenhuma será igual à multiplicação algébrica Multiplicação de um Vetor por Escalar Podemos multiplicar um vetor arbitrário A por um escalar (número) w. Dessa operação obtemos um vetor resultante R com as seguintes características: O módulo do vetor resultante é o módulo que resulta da multiplicação do módulo de A pelo módulo de w. A direção do novo vetor é a mesma. O sentido de R é o mesmo de A se w for positivo e, sentido oposto se w for negativo. por 1/w. Para dividirmos A por w, multiplicamos A Multiplicação de um Vetor por um Vetor Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: uma forma conhecida como produto escalar que resulta em um escalar, a outra conhecida como produto vetorial que resulta em um vetor Produto Escalar A multiplicação de um vetor por outro vetor resultando em um escalar é denominada produto escalar. Dados dois vetores A e B, o produto escalar é escrito como A.B e definido pela equação: A.B = cos θ Onde é o módulo do vetor A, é o módulo do vetor B e θ é o ângulo formado entre os vetores dados. Observe a figura a seguir: Figura Representação da multiplicação de um vetor por um escalar. Podemos escrever a equação que define o produto escalar separando as componentes da seguinte forma: A.B = ( θ) = (cos θ ) A propriedade comutativa se aplica ao produto vetorial, desse modo: A.B = B.A O produto escalar dos vetores A e B escritos em termos de seus vetores unitários assume a forma: A.B = (A x + A y + A z ).(B x + B y + B z ) Que pode ser expandida aplicando-se a propriedade distributiva, calculando os produtos escalares das componentes vetoriais do primeiro vetor pelas componentes vetoriais do segundo vetor, resultando em: A.B = A x B x + A y B y + A z B z IMPORTANTE! SE O ÂNGULO θ ENTRE DOIS VETORES É 0º, A COMPONENTE DE UM VETOR EM RELAÇÃO AO OUTRO É MÁXIMA. SE O ÂNGULO É 90º, A COMPONENTE DE UM VETOR EM RELAÇÃO AO OUTRO É NULA. ISSO TUDO TAMBÉM ACONTECE COM O PRODUTO ESCALAR. Exemplo: Qual é o ânguloθ entre A = 3,0i - 4,0j e B = -2,0i +3,0k? Estratégia de raciocínio: Sabemos que o ângulo entre dois vetores aparece na definição de produto de escalar: A.B = cos θ. 17

18 Solução: Sabemos que é o módulo do vetor A e que é dado por: = = 5,0 E que é o módulo do vetor B dado por: = = 3,61 Podemos calcular o produto escalar escrevendo os vetores em termos dos vetores unitários e aplicando a propriedade distributiva: A.B = (3,0i 4,0j).(-2,0i + 3,0k) A.B = (3,0i 4,0j + 0,0k).(-2,0i +0,0j + 3,0k) A.B = (3,0i).( 2,0i)+(3,0i).(3,0k)+(-4,0j).(-2,0i)+ (-4,0j).(3,0k) A direção do vetor resultante C é perpendicular ao plano definido por A e B. O seu sentido pode ser determinado pela Regra da Mão Direita. Superponha as origens de A e B sem mudar suas orientações. Já falamos que a direção do vetor resultante C é perpendicular ao plano definido por A e B. Se C=AxB, a receita para determinar o sentido de C é a seguinte. Vá de A para B pelo menor percurso angular entre os dois vetores. Quatro dedos da sua mão direita fazem o menor percurso angular de A para B e o dedo polegar estendido indica o sentido do vetor resultante. Se fizermos o mesmo percurso angular, mas agora de Bpara A, o sentido do vetor resultante indicado pelo dedo polegar estendido é invertido conforme indicado na figura Em seguida, aplicamos o produto vetorial a cada termo desta última expressão. O ângulo entre os vetores unitários do primeiro termo (i e i) é de 0º e nos demais é de 90º. Assim temos, A.B = (-6,0).(1)+ (9,0).(0) + (8,0).(0) (12).(0) = - 6,0 Substituindo todos os resultados encontrados na equação do produto escalar, obtemos, [ ] Produto Vetorial A multiplicação de um vetor por outro vetor resultando em um terceiro vetor é denominada produto vetorial. Dados dois vetores A e B, o produto vetorial é escrito como AxB. O módulo do vetor C obtido pelo produto vetorial entre os vetores A e B é dado por C = sen θ, sendo θ o menor ângulo formado entre os vetores dados, uma vez que sen θ e sen (360º θ) apresentam sinais opostos. O produto AxB é lido como A vetor B. Figura 2.19 Regra da mão direita Isso traz uma importante consequência. Vemos que o produto vetorial entre vetores não é comutativo. Ou seja, AxB BxA. Vemos que o sentido do vetor resultante é invertido quando invertemos a ordem do produto (o módulo do vetor resultante é o mesmo para os dois casos). Portanto, AxB=-BxA. Vamos então resumir a toda a informação do produto vetorial entre vetores numa tabela: 18

19 5. O produto escalar pode ser uma quantidade negativa? Justifique. Produto Vetorial C=AxB Módulo (função dos módulos dos vetores A e B e do ângulo entre eles) Direção Perpendicular ao plano formado pelos vetores A e B. Sentido Convencionado pela regra da mão direita. Quatro dedos vão de A para B pelo menor percurso angular e o dedo polegar indica o sentido do vetor resultante. Tabela 2.3 Propriedades do vetor C=AxB IMPORTANTE! SE A E B SÃO PARALELOS OU ANTIPARALELOS, AxB = 0. O MÓDULO DE AxB É MÁXIMO QUANDO A E B SÃO MUTUAMENTE PERPENDICULARES UM AO OUTRO. 2.9 EXERCÍCIOS: 1. Em 1969, os três astronautas da cápsula Apollo deixaram o Cabo Canaveral, foram à lua e, na volta, desceram no oceano Pacífico. Um almirante cumprimentou-os em cabo Canaveral e seguiu até o oceano Pacífico em um avião que os recolheu. Compare os deslocamentos dos astronautas e do almirante. 2. Um vetor pode ter módulo igual a zero se uma de suas componentes for diferente de zero? 3. É possível que a soma dos módulos de dois vetores seja sempre igual à soma destes dois vetores? 4. Você pode ordenar os acontecimentos no tempo. Por exemplo, o evento b pode proceder ao evento c, porém seguir o evento a, dando a ordenação temporal do evento a, b e c. Consequentemente, existe um sentido para o tempo, distinguindo o passado, o presente e o futuro. Será que o tempo, então, é uma grandeza vetorial? Se não, por quê? 6. a) Sendo, podemos concluir daí que os vetores são perpendiculares entre si? b) Se, segue-se daí que? 7. Se, e devem ser paralelos entre si? O inverso é verdadeiro? 8. Considere dois deslocamentos, um igual a 3 m e um outro de módulo igual a 4 m. Mostre como os vetores deslocamento podem ser combinados de modo a fornecer um deslocamento resultante de módulo igual a: a) 7 m; b) 1 m; c) 5 m. 9. Uma mulher caminha 250 m na direção de 30º a nordeste e em seguida 175 m diretamente para leste. a) Utilizando métodos gráficos, determine o deslocamento resultante. b) Compare o módulo do deslocamento com a distância que ela caminhou. 10. Uma pessoa caminha do seguinte modo: 3,1 km para o norte, depois 2,4 km para oeste e, finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o diagrama vetorial que representa este movimento. b) Que distância um pássaro deveria voar, em linha reta, em que direção, de modo a chegar ao mesmo ponto final? 11. Quais são os componentes de um vetor localizado no plano xy, se sua direção faz um ângulo de 205º com o eixo x e o seu módulo é igual a 7,3 unidades? 12. Um vetor deslocamento r no plano xy tem um comprimento igual a 15 m e sua direção é mostrada na figura abaixo. Determine os componentes x e y deste vetor. 19

20 Mostre que: 18. Uma força de F 1, de módulo igual a 2 N forma um ângulo de 30 com o eixo O x. Uma força F 2, de módulo igual a 6 N forma um ângulo de 80 com o eixo O x. Calcule: (a) o módulo F da força resultante F; (b) o ângulo formado entre a resultante e o eixo O x. 13. Determine, utilizando os vetores unitários, a) a soma dos dois vetores e. B) Quais são o módulo e a direção do vetor e? 14. No sistema de coordenadas da figura abaixo, mostre que: e 19. Um vetor A forma um ângulo com um vetor B. Sabendo que A = 3 e B = 4, calcule o módulo do vetor resultante R (unidades de força em Newton). 20. Um vetor F forma um ângulo com um vetor G. Sabendo que F = 5 e G = 8, calcule: (a) o módulo da resultante R; (b) o ângulo formado entre a resultante e o vetor F. 15. Um vetor a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60º entre si. a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e b) o produto vetorial a x b. 16. A soma de três vetores é igual a zero, como nos mostra a figura abaixo. Calcule: a) a x b; b) a x c; c) b x c. 17. Sejam dois vetores representados em termos de suas coordenadas como: e Gabarito de Vetores 1ª Questão: conceitual 2ª Questão: conceitual 3ª Questão: conceitual 4ª Questão: conceitual 5ª Questão: conceitual 6ª Questão: conceitual 7ª Questão: conceitual 8ª Questão: a) 7m b) 1m c) 5m 9ª Questão: a) 410,98 m b) 425 m 10ª Questão: a) Gráfico b) 3,19 km a) 11ª Questão: a) A x = -6,62B x= -3,09 a) 12ª Questão: a) R x = 12,99m R y = 7,50m b) 13ª Questão: a) A + B = i + 7j c) b) ƖAƖ= 5 a 36 no sentido anti-horário do eixo x positivo, direção nordeste. d) c) ƖBƖ=5 a 126 no sentido anti-horário do eixo x positivo, direção noroeste. e) 14ª Questão: conceitual a) 15ª Questão: a) A.B= 30 und. b) AxB= 51,96 na direção: eixo z ; sentido positivo do eixo z b) 16ª Questão: a) AxB= 12 und. sentido positivo z. c) b) AxC= 12 und. no sentido negativo z. d) 17ª Questão: conceitual. e) 18ª Questão: a) 7,44 N b) 68,32º f) 19ª Questão: 6,1 N g) 2 20ªQuestão: a) 12,58 N b) 18,54 20

21 3 CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO (1D) Tópicos: 3.1 Objetivos do Capítulo; 3.2 Referenciais; 3.3 Posição e Deslocamento; 3.4 Velocidade Escalar e Vetor Velocidade; 3.5 Aceleração; 3.6 Equações da Cinemática para Aceleração Constante; 3.7 Aplicações das Equações da Cinemática; 3.8 Corpos em Queda Livre; 3.9 Análise Gráfica da Velocidade e da Aceleração; 3.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO: O capítulo tem por objetivo mostrar como ocorre o estudo do movimento, introduzindo os conceitos básicos da cinemática, demonstrando como as equações podem fornecer informações valiosas depois de interpretadas, e quais informações são estas. É intenção do capítulo discutir conceitos importantes no movimento, como posição e deslocamento que são a base para o entendimento de todo o conteúdo subsequente. As análises gráficas presentes neste capítulo tem por objetivo evidenciar o que foi visto nas equações, facilitando a visualização das situações abordadas. movendo-se para baixo num movimento retilíneo com velocidade constante. Se o observador que se encontra dentro dele deixar cair um objeto, ele cairá normalmente por ação da força de gravidade normal. Imaginemos agora que num dado instante há um problema com o cabo e o elevador entra em queda livre. Se o observador largar agora o mesmo objeto ele não cairá. A única diferença em relação ao caso anterior é que agora o elevador se move com um movimento uniformemente acelerado (aceleração constante = g). No primeiro caso o referencial associado ao elevador (e ao observador) é referencial inercial (ou galileano, por esta noção ter sido introduzida por Galileu Galilei). No segundo caso o referencial é não inercial. A sua principal característica é que neles aparecerem forças suplementares designadas por forças de inércia. Em outras palavras: Um referencial é denominado referencial inercial se nele a primeira lei de Newton é válida. 3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO: Localizar um objeto significa determinar sua posição em relação a um referencial. Nos problemas de física, normalmente a origem (ou ponto zero) de um eixo cartesiano ou linear serve como referência. Ex: 3.2 REFERENCIAIS: Referencial é o padrão tomado como guia para as observações. Por exemplo, imagine que você está no banco de trás de um carro a 60 Km/h. Para o motorista, você está parado, com velocidade igual a 0km/h. Já para alguém que te observa da calçada, você está se locomovendo a 60 Km/h. Assim, tanto o motorista como o observador da calçada são referenciais, o que nos permite dizer que a velocidade é relativa. Os referenciais não são todos equivalentes. Imaginemos que nos encontramos num elevador Figura 3.1- Indicação de Referencial O Deslocamento é um vetor que aponta da posição inicial para a sua posição final e possui um módulo igual à menor distância entre as duas posições. Unidade SI de Deslocamento: Metro. Assim, o deslocamento é a diferença entre x e x o x = x - x o ; 21

22 Onde: x Deslocamento; x o Posição inicial; x Posição Final. Atenção: Deslocamento e espaço percorrido são diferentes. Exemplo 1 : Suponha que um avião esteja se movendo no sentido Leste-Oeste e que um sinal positivo (+) seja usado para representar o sentido para leste. Então, x = m representa um deslocamento que aponta para o leste e possui módulo igual a 1000 metros. Já x = m é um deslocamento para o oeste, com módulo também igual a 1000 metros. Exemplo 2 : O mesmo avião do exemplo anterior voa primeiramente 1000 m para o leste, depois retorna a cidade de onde decolou. Neste caso o deslocamento será nulo x = 0 m, porém o espaço percorrido pelo avião será 2000 metros Exercício Resolvido: (Questão Física, Cutnell & Johnson) Uma baleia nada em direção ao leste por uma distância de 6,9 km, dá meia-volta e vai para o oeste por 1,8 km; finalmente dá meia-volta novamente e se dirige 3,7 km para o leste. (a) Qual a distância total percorrida pela baleia? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido do deslocamento da baleia? Raciocínio: A distância percorrida será a soma das distâncias percorridas pela baleia, já o deslocamento será a soma atribuindo sinais de acordo com o sentido: (a) 6,9 km + 1,8 km + 3,7 km = 12,4 km (b) Para o leste será atribuído o sinal positivo, para o oeste será atribuído o sinal negativo. x=+6,9km 1,8km+3,7km=+8,8km 8,8 km para leste. 3.4 VELOCIDADE ESCALAR E VETOR VELOCIDADE: Grandezas Escalares e Vetoriais: Grandeza escalar é uma grandeza que é determinada apenas por um valor numérico chamado de módulo. Por exemplo, um carro se move a 100 km / h. Nesse caso, o movimento do carro é tratado como Grandeza Escalar. Não dizemos de que maneira ele está se movimentando. Já a grandeza vetorial é uma grandeza que, além do módulo, é determinada por uma direção e um sentido. Por exemplo, um carro se move na direção horizontal, da esquerda para direita e a 100 km/h. Nesse caso, o movimento do carro é tratado como uma Grandeza Vetorial, com módulo, direção e sentido. 100km/h Essa seta chamada vetor ( ) é o ente usado para determinar as Grandezas Vetoriais. Ele determina a direção (horizontal, vertical ou inclinada), determina o sentido (da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda), e determina o módulo de acordo com o seu comprimento (quanto maior o vetor, maior é o módulo) Velocidade Escalar Média: A velocidade escalar média é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para realizálo. V escalar media = (3.1) Unidade SI de Velocidade: Metros por segundo (m/s). Exemplo 1 : (Cutnell & Johnson) Que distância um corredor percorre em 1,5h (5400 s) se a sua velocidade escalar média for de 2,22 m/s? 22

23 Raciocínio: A velocidade escalar média é a distância total percorrida pelo corredor durante o intervalo de tempo em que corre, ou seja, a distância percorrida total é a velocidade escalar média multiplicada pelo número de segundos que ele corre. Distância = (Velocidade escalar média)x(tempo transcorrido) = 2,22x5400 = metros Velocidade Vetorial Média: A velocidade vetorial média é a razão entre o vetor deslocamento e o tempo transcorrido ( t). (3.2) O vetor velocidade média é um vetor que aponta na mesma direção e no mesmo sentido que o deslocamento. O vetor velocidade de um carro pode apontar apenas em um sentido ou no sentido contrário. Do mesmo modo que o deslocamento, usaremos os sinais de mais e de menos para indicar os dois sentidos possíveis para uma dada direção Vetor Velocidade Instantânea Que significa "velocidade num dado instante t? Para ilustrar este conceito, vamos parafrasear uma anedota utilizada por Feynman em seu curso e transcrita no excelente livro texto (NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS).Essa anedota é contada na forma de um diálogo fictício entre um estudante representado por E (que estava dirigindo seu carro de forma a não chegar atrasado na aula de física) e o guarda representado por G(que o fez parar, acusando-o de excesso de velocidade) G.: O seu carro estava a 120 km/h, quando o limite de velocidade aqui é de 60 km/h! E.: Como é que eu podia estar a 120 km por hora se só estava dirigindo aqui há cerca de 1 minuto, e não durante uma hora? G.: O que quero dizer é que, se continuasse em frente do jeito que estava, teria percorrido 120 km em uma hora. E.: Se tivesse continuado sempre em frente, eu teria ido bater no prédio da Física! G.: Bem, isso seria verdade se tivesse seguido em frente por uma hora. Mas, se tivesse continuado em frente por 1 minuto, teria percorrido 120 km/60 =2 km, e em 1s teria percorrido 2 km/60 = 33,3 m, e em O,ls teria percorrido 3,33 m, e teria dado perfeitamente para prosseguir durante 0,1 s. E.: Mas o limite de velocidade é de 60 km/h, e não de 1,66m em 0,1s! G.: É a mesma coisa: o que conta é a velocidade instantânea. Em parte, o estudante E. também tem um pouco de razão: é permitido exceder o limite de velocidade em intervalos de tempo extremamente curtos, como nas ultrapassagens. A velocidade de um carro usualmente não sofre nenhuma alteração apreciável em intervalos de tempo < 0,1 s, de modo que não é preciso, neste exemplo, tomar intervalos menores. Se necessário, para calcular a velocidade instantânea com precisão cada vez maior, poderíamos considerar o espaço percorrido em 10-2 s, 10-3 s,... Quanto menor t (e em conseqüência também o x correspondente), mais o valor de xi t se aproxima da velocidade instantânea. (NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS). Caso o leitor não tenha visto o conceito de derivada, um conselho: Não se preocupe! Retomaremos o estudo do cálculo diferencial e integral no capítulo 5. A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo medida que até torná-lo próximo de zero. À diminui, a velocidade média se aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea: v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t. A Velocidade escalar instantânea, ou 23

24 simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de direção. 3.5 ACELERAÇÃO: Aceleração média e aceleração instantânea: Quando a velocidade de uma partícula varia, dizse que a partícula foi acelerada (ou foi acelerada). Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média a med em um intervalo de tempo t é: 3.6 EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA ACELERAÇÃO CONSTANTE As equações da cinemática descrevem como o corpo em movimento se comporta em função do tempo, se ele está aumentando sua velocidade (acelerado), se está diminuindo (desacelerado), ou ainda, onde ele se encontrará num determinado tempo x, e até mesmo é possível saber qual a velocidade do corpo em função do deslocamento. Nos casos onde a aceleração é constante, a aceleração instantânea é igual à aceleração média. Então temos na tabela a seguir: Unidade SI de aceleração: metros por segundo ao quadrado (m/s²) Onde a partícula tem velocidade v 1 no instante t 1 e velocidade v 2 no instante t 2. A aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é dada por: Como: Então: Ou seja, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a derivada segunda da posição x(t) em relação ao tempo. A aceleração também é uma grandeza vetorial. Figura 3.2 Fórmulas para aceleração constante. Essas equações são somente para o caso da aceleração constante. 3.7 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA Exemplo 1 : (Cutnell & Johnson) Uma espaçonave está viajando com uma velocidade de m/s. Subitamente, os retrofoguetes são disparados e a espaçonave começa a reduzir sua velocidade com uma (des)aceleração cujo módulo é igual a 10,0 m/s². Qual a velocidade da espaçonave quando o deslocamento da nave é igual a +215 km, em relação ao ponto no qual os retrofoguetes começaram a atuar? Raciocínio: Como a espaçonave está reduzindo a sua velocidade, o vetor aceleração deve ser contrário ao vetor velocidade. 24

25 Dados: x = m v =? v 0 = m/s t = não fornecido Solução: da equação, concluímos que: O deslocamento para o primeiro segmento foi fornecido, para o segundo segmento pode ser determinado sabendo a velocidade inicial para esse segmento. Para o primeiro segmento: x = 120 m v =? v 0 = 0 m/s t = não fornecido Da equação temos: = = m/s = m/s Exemplo 2 : Uma motocicleta, partindo do repouso, possui aceleração de +2,6m/s². Após ter percorrido uma distância de 120 m, a motocicleta reduz sua velocidade, com uma aceleração de - 1,5 m/s², até que a sua velocidade seja igual a +12 m/s. Qual o deslocamento da motocicleta? Raciocínio: O deslocamento total é a soma dos deslocamentos para o primeiro segmento (acelerado) e o segundo (desacelerado). = 25 m/s Agora podemos usar +25 m/s como a velocidade inicial para o segundo segmento. Para o segundo segmento: x =? v = +12 m/s v 0 = +25 m/s t = não fornecido Da equação temos: O deslocamento total do motociclista é igual a 120m+160m=280m. 25

26 Altura (m) PCNA-FÍSICA ELEMENTAR 3.8 CORPOS EM QUEDA LIVRE Se você arremessasse um objeto para cima ou para baixo e pudesse de alguma forma eliminar o efeito de resistência do ar sobre o movimento, observaria que o objeto sofre uma aceleração constante para baixo que independe das características do objeto (como massa, densidade e forma) e, portanto, é igual para todos os objetos. Essa aceleração é conhecida como aceleração em queda livre, representada pela letra g. Uma pena e uma bola de golfe abandonadas no vácuo a partir de uma mesma altura sofrem a mesma aceleração, e por isso caem ao mesmo tempo no chão. Em primeira aproximação, a aceleração em queda livre é constante para qualquer ponto próximo à superfície da Terra e possui valor igual a g = 9,8 m/s².temos então que todas as equações para a aceleração constante são válidas. Exemplo 1 : (Halliday) Um jogador de beisebol lança uma bola para cima no eixo y, com velocidade inicial de 12 m/s (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento?(c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial? Raciocínio: (a)entre o instante em que a bola é lançada e o instante em que volta ao ponto de partida sua aceleração é constante = g. (b) Na altura máxima v = 0 m/s, então: (c) Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos: Existem dois tempos possíveis, pois a bola passa duas vezes pelo ponto y = 5,0 m, uma vez na subida e outra na descida. Como podemos ver no gráfico abaixo da função que descreve o movimento. Altura vs Tempo ,5 1 1,5 2 2,5 3 Tempo (s) Gráfico 3.1 Altura x Tempo 26

27 3.9 ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO Na figura acima o ciclista passa por três fases, na primeira ele está com velocidade positiva, na segunda está em repouso e na terceira está voltando com velocidade negativa. As velocidades médias para os três segmentos são: (1): Figura Análise Gráfica Da Velocidade X Tempo (2): (3): Gráfico 3.2 Posição x Tempo O gráfico acima foi desenhado para aceleração constante, levando em consideração a equação. Para 27

28 Velocidade (m/s) PCNA-FÍSICA ELEMENTAR determinação da velocidade tiramos a tangente em um determinado ponto (ou derivamos). v 0 = 0 m/s,. Derivando temos: Velocidade vs Tempo Tempo (s) Gráfico 3.3 Velocidade x Tempo Para temos:. É fácil notar que a velocidade aumenta uniformemente no decorrer do tempo, o que caracteriza uma aceleração constante. 28

29 4 NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA CINEMÁTICA: Tópicos: 4.1 Objetivos de Aprendizagem; 4.2 Coeficiente Angular e Inclinação; 4.3 Conceito; 4.4 Notações; 4.5 Propriedades da Derivada; 4.6 Aplicação na Física; 4.7 Aplicação na Engenharia; 4.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Compreender os conceitos da derivada, principalmente no contexto geométrico; Saber derivar funções potência; Conhecer algumas aplicações práticas da derivada na física e na engenharia. O entendimento do cálculo diferencial e integral é muito importante para um estudo mais aprofundado da física e da engenharia, já que suas aplicações vão desde o cálculo da velocidade instantânea de um corpo até a minimização de custos de um processo qualquer. A intenção neste capítulo é inserir o recurso do cálculo diferencial e integral no contexto da cinemática. Para isso forneceremos a definição de derivada sem a preocupação de sermos rigorosos. Apresentaremos as características principais da derivada, principalmente no que diz respeito à importância do seu significado geométrico e da implicação operacional desta operação matemática. A seguir enunciamos algumas propriedades necessárias para a utilização da derivada em nível básico. Em seguida direcionamos o cálculo diferencial para aplicações na física, principalmente para o uso na cinemática unificada ao cálculo diferencial e integral. O aprofundamento da cinemática em uma e duas dimensões foi desenvolvido nos capítulos anteriores deste material. Portanto, espera-se que o leitor esteja mais embasado no assunto, o que lhe dará o suporte necessário ao entendimento da cinemática no contexto do cálculo diferencial e integral, que é uma extensão do estudo do movimento visto no ensino médio. Esses assuntos serão revisitados progressivamente de modo a aproveitar todo o entendimento adquirido ao longo deste curso. 4.2 COEFICIENTE ANGULAR E INCLINAÇÃO Antes de apresentarmos o conceito geométrico da derivada, é importante abordarmos o coeficiente angular e a inclinação de uma reta. Como sabemos da geometria analítica, a equação geral de uma reta é da forma: Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. O conceito matemático que conhecemos intuitivamente como inclinação da reta é determinada pelo ângulo (em sentido anti-horário) que a reta faz com o eixo horizontal orientado da esquerda para a direita (seria o primeiro quadrante do círculo trigonométrico). A figura abaixo, por exemplo, mostra uma reta com inclinação igual a β: Figura Reta com inclinação β A relação entre o coeficiente angular e a inclinação é Assim, se a reta da figura acima tem coeficiente angular igual a, a relação abaixo é válida: 29

30 Como a tangente de um ângulo maior que 90º é negativa, retas com tal inclinação (inclinadas para a esquerda) possuem coeficiente angular negativo. A figura abaixo ilustra esse caso, para uma reta (coeficiente angular igual a -2): Figura Reta secante a uma função f(x) Figura Reta y = -2x e sua inclinação Pelas outras propriedades da tangente, podemos criar um esquema geral envolvendo retas com coeficiente angular e inclinação diferentes: Nota: Reta secante a uma curva é uma reta que cruza dois ou mais pontos desta mesma curva. O coeficiente angular da reta secante acima é dada pela fórmula da geometria analítica: Agora, aproximando o ponto x+h do ponto x, mantido fixo, a reta vai se aproximando de uma reta tangente em x, ou seja, numa reta que intercepta a função somente neste ponto, além de ser rente ao gráfico, como segue abaixo: Figura4.3 - Comparação de inclinação e coeficiente 4.3 CONCEITO Seja uma função angular de várias retas. Traçando uma reta que intercepta dois pontos quaisquer desta função, obtém-se uma reta chamada secante, conforme figura abaixo: Figura4.5 - Reta secante se aproximando de uma tangente Nota: Reta tangente a uma curva é a reta que intercepta essa mesma curva em somente um ponto. Assim: 30

31 Cruza o 1 2 ou mais gráfico em quantos pontos? Tipo de Tangente Secante reta? Num caso extremo, com h muito pequeno, digamos da ordem de 10-20, pode-se considerar a reta secante praticamente igual a uma tangente. Nessa situação, seus coeficientes angulares (inclinações) serão próximos entre si e praticamente iguais à derivada da função f no ponto x, ou seja: A notação lim indica que a inclinação da curva secante se aproxima cada vez mais da inclinação da reta tangente conforme h fica mais próximo de zero, ou seja, quando os dois pontos interceptados pela reta secante são praticamente coincidentes. Devido à equação acima conter uma variação em f(x) por uma variação em x, dizse também que a derivada de uma função f em x é igual à taxa de variação instantânea da função neste ponto. Essa questão deve ser enfatizada. Pense numa função f qualquer que dependa de um parâmetro x arbitrário, ou seja, uma função f(x). Vamos supor que alguém levante a pertinente pergunta: Como a função f varia em termos de x? O recurso matemático que permitirá responder essa pergunta é a derivada da função f. Mantenhamos, portanto em mente que a derivada nada mais é do que a taxa de variação da função em relação à variável da qual a função depende. Isso é verdadeiramente fundamental! (Acredite) É importante ressaltar que a derivada é uma operação pontual, ou seja, a cada ponto de uma função está associada uma única derivada. Daí podemos tratar a derivada de uma função como sendo uma outra função. 4.4 NOTAÇÕES Em 1695, um matemático alemão chamado Gottfried Wilhelm von Leibniz, considerado um dos fundadores do cálculo moderno, criou a seguinte notação para expressar a derivada:. Podemos entender essa notação do seguinte modo. Sobre a função f(x) atua um objeto matemático (operador) expresso como. O resultado dessa operação matemática sobre a função f(x) é escrito então como. Conforme visto anteriormente, outra notação bastante usada para expressar a derivada de uma função f(x) é. Ou seja, O estudo do cálculo diferencial e integral ora em curso não objetiva ser definitivo e nem rigoroso a ponto de substituir os conteúdos vistos usualmente em um curso inicial de cálculo. Entretanto, conforme enfatizamos no início deste documento, o cálculo diferencial e integral é um recurso muito importante para o estudo da física. Expomos abaixo algumas propriedades do cálculo com derivada que serão úteis para o nosso estudo. 31

32 4.5 PROPRIEDADES DA DERIVADA A seguir, f, u e v são funções de x Derivada de uma constante k O leitor pode estar se perguntando: Por que a derivada de uma função constante é igual a zero? Bem, o que caracteriza uma função constante é que independentemente do valor que a variável assume, o valor da função permanece o mesmo, conforme gráfico abaixo. posição de um objeto em função do tempo pode ser descrita da seguinte forma: Conforme veremos em breve, a velocidade do objeto é descrita em termos da derivada da função x(t) que nesse caso será também uma função potência. Muitas vezes precisaremos derivar uma função com mais de um termo. Outras vezes derivaremos uma função multiplicada por um valor constante. Em virtude disso colocamos as regras abaixo. Figura4.6 - Reta horizontal simbolizando uma função constante Vimos que a derivada nada mais é do que a taxa de variação da função. Para o caso da função constante, a resposta da pergunta Como varia a função em termos de x? é simples. A função permanece constante, ou seja, não varia. Portanto a taxa de variação da função em termos de x, ou seja, a derivada, é igual a zero Derivada de uma função potência em x, para qualquer n real diferente de zero Escolhemos fornecer a regra da derivada para a função potência, pois uma grande variedade de fórmulas importantes para a física é descrita por esse tipo de função (também conhecida como função polinomial). Por exemplo, veremos que no estudo do movimento em uma dimensão que a Soma ou Subtração A derivada da soma (subtração) é igual à soma (subtração) das derivadas Constante k multiplicando uma função ( ) A derivada obedece, portanto, à propriedade da distributividade para a soma e subtração. Ou seja, para calcular a derivada de uma função com dois ou mais termos, derive cada um dos termos e depois some tudo. A regra exposta em expõe que a derivada de uma função f(x) multiplicada por k é igual a derivada de f(x) vezes k. Ou seja, a constante fica esperando para ser multiplicada pelo resultado da derivada de f(x). Sendo a derivada igual à taxa de variação de uma função em termos do parâmetro do qual ela depende, é pergunta de interesse saber o quanto varia a função em um ponto específico. Para isso procedemos da seguinte 32

33 forma: Derivamos a função e em seguida substituímos na derivada da função o ponto específico no qual estamos interessados. Trataremos disso no exemplo abaixo. Exemplo 4.1 Seja f(x) um polinômio tal que. Calcule f (4). Primeiramente, deve-se calcular a derivada de f(x) em termos de x para somente depois substituir x=4. A derivada f (x) recai na propriedade vista há pouco, pois podemos encarar f(x) como: Onde, e. Logo: As derivadas de e foram calculadas seguindo a propriedade Como 6 é uma constante, sua derivada é igual a zero, conforme propriedade Fazendo x=4 na fórmula de f (x): OBS: Um erro que as pessoas geralmente cometem neste tipo de problema é primeiro substituir x=4 em f(x) e depois derivar a expressão, que logicamente daria zero por ser uma constante. O correto é primeiro derivar e depois substituir. soma) em soma de potências de x, funções cujas derivadas sabemos calcular (propriedade 4.5.3): A expressão ficou uma soma de funções, logo, de acordo com a propriedade 4.5.3, sua derivada será a soma das derivadas de cada função: 4.6 APLICAÇÃO NA FÍSICA Como dito anteriormente, uma das várias interpretações da derivada é a taxa de variação de uma função num ponto qualquer de seu domínio. Dos capítulos anteriores, aprendeu-se que a velocidade média de uma partícula é Vamos analisar um gráfico qualquer posição versus tempo para discutir a interpretação gráfica da velocidade média: Exemplo 4.2 Calcule a derivada de. R: A solução mais segura neste caso é desenvolver a expressão acima (quadrado da Figura Interpretação gráfica da velocidade média O gráfico acima representa a posição de um objeto em função do tempo. Ressalta-se que o gráfico mostra a posição do objeto ao longo de uma linha, ou seja, é um gráfico posição X tempo 33

34 em uma dimensão (chamaremos como 1D). Do mesmo gráfico, extrai-se informação da velocidade com que o objeto vai da posição x(t1) para a posição x(t2). Em relação ao gráfico acima, o triângulo formado pela variação, pela variação e pela reta que une o ponto (x(t1),t1) ao ponto (x(t2),t2) é retângulo, logo a tangente do ângulo α mostrada na figura, também chamada de coeficiente angular da reta que liga x(t 1 ) a x(t 2 ), pode ser calculada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente: Mas essa é exatamente a expressão da velocidade escalar média no percurso x(t1) à x(t2) realizado no intervalo de t 1 a t 2. Portanto, geometricamente, a velocidade média do percurso no intervalo de tempo t 1 at 2 é o coeficiente angular da reta que liga x(t 1 ) a x(t 2 ). Conforme a diferença de tempo entre t 2 e t 1 vai diminuindo, a velocidade média do percurso realizado entre esses instantes se aproxima da velocidade instantânea em t 1, de modo que Ou seja, a velocidade instantânea de uma partícula em um dado instante é igual à derivada da função espaço nesse mesmo instante. Voltando ao gráfico acima, ligamos x(t 1 ) a pontos cada vez mais próximos de t 1 : Figura4.8 - Figura anterior para ts cada vez menores A reta 1 no gráfico acima é tangente à curva no instante t 1, logo, seu coeficiente angular representa a velocidade instantânea em t 1. Os coeficientes angulares das outras retas são velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores a partir de t 1. A reta 5, por exemplo, é a que descreve o menor desses intervalos. Logo, a velocidade média referente a esse intervalo deve ser a mais próxima da velocidade escalar instantânea em t 1, o que pode ser constatado visualmente pela pouca diferença de inclinação entre essas duas retas. Além disso, se outras retas descrevessem intervalos de tempo menores ainda, a tendência seria que suas inclinações se aproximassem cada vez mais da reta 1 e, portanto, as velocidades médias dos seus intervalos de tempo ficariam cada vez mais próximos da velocidade instantânea em t 1. Dessa forma, fica evidente a ideia de que a velocidade média vai se aproximando da velocidade instantânea conforme o intervalo de tempo vai diminuindo. O conceito de velocidade instantânea é um pouco diferente de velocidade média. Enquanto a velocidade média está relacionada ao quanto um corpo deslocou em um intervalo de tempo t, a velocidade instantânea diz respeito à velocidade 34

35 alcançada em um instante t durante o percurso. Vamos colocar a diferença conceitual da seguinte forma. Se você quiser saber precisamente a velocidade no exato instante t, digamos t = 4s, então você precisará derivar a função x(t) e substituir t = 4s no resultado da derivada. Se um objeto estiver em uma posição x 1 em um instante t = t 1, ou sejax(t 1 ) = x 1, e num instante posterior t 2 (ou seja, t 2 > t 1 ) estiver na posição x 2, então a velocidade média do objeto nesse percurso realizado num tempo finito (ou seja, num intervalo de tempo t que não tende para zero) é dado simplesmente pela razão do deslocamento (mudança de posição) pelo intervalo de tempo em questão (relembrando que, sendo velocidade média um vetor sua caracterização completa depende, além do módulo da determinação de direção e sentido de realização do movimento). Embora não seja a intenção deste material definir rigorosamente a operação de diferenciação é necessário ressaltar que não é qualquer razão entre duas grandezas que pode ser caracterizada como derivada. A derivada é definida em termos de um tipo especial de razão obtida a partir de um processo de limite em que o intervalo de variação do parâmetro da função tende para zero. Vejamos então como ficam todos esses conceitos num exemplo prático. Em uma viagem de carro, o velocímetro fornece o módulo da velocidade do automóvel em todo e qualquer instante. Esse equipamento fornece, portanto, a velocidade instantânea do automóvel. Para encontrar o módulo da velocidade média no percurso determine a localização do ponto de partida e do ponto de chegada do percurso por meio de um GPS e com esse aparelho determine a distância em linha reta entre esses dois pontos (ou seja, o deslocamento). Divida o módulo do deslocamento pelo tempo gasto entre a partida e a chegada. O resultado dessa razão é o módulo da velocidade média no trajeto. Para saber qual a velocidade escalar média do trajeto precisamos da distância percorrida entre os pontos de partida e o ponto de chegada do trajeto. Essa informação pode ser obtida pela leitura do hodômetro no painel do carro (quilometragem no ponto final subtraída da quilometragem no ponto inicial). A velocidade escalar média é dada pela razão entre distância percorrida e o tempo gasto no trajeto. (Nota: O deslocamento entre dois pontos não depende do caminho tomado para se chegar de um ponto a outro. O mesmo não vale, é claro, para a distância percorrida no trajeto). ESQUEMA INFORMATIVO: Velocidade instantânea Derivada da posição em função do tempo Velocidade média Razão do deslocamento pelo tempo gasto Velocidade escalar Razão da distância percorrida pelo média tempo gasto 35

36 Perguntas de verificação de aprendizagem: Pergunta 4.1 A velocidade instantânea pode ser positiva ou negativa? Pergunta 4.2 No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea é igual à velocidade média? Exemplo 4.3 (soltando um objeto no ar: uma bolinha em queda livre) A experiência consiste em largar uma bolinha no ar e determinar a posição da mesma em função do tempo em uma régua vertical que coincide com a trajetória vertical descrita pela bolinha. Mediremos o tempo de queda a partir do instante em que soltamos a bola. Ou seja, esse é o instante t = 0s. Designaremos a posição da bolinha em um instante qualquer em função da variável x, ou seja, a posição em função do tempo é uma função x(t). Mediremos a posição da bolinha a partir do ponto em que foi solta. Ou seja, x(t = t 0 ) = x 0 = 0m. Soltar significa dizer que a bolinha possui velocidade nula no instante do lançamento (ou seja, v(t = t 0 ) = v 0 = 0m/s). É fato indiscutível que nesse caso a bolinha simplesmente cai em trajetória vertical (nesse sentido dizemos que o movimento é unidimensional). Vamos supor que o leitor esteja familiarizado com a equação que fornece a posição de um corpo em função do tempo submetido à ação de uma aceleração constante, como é o caso da aceleração da gravidade que atua em todos nós (caso não esteja, não se preocupe. Afinal, estamos aqui para isso!). Em uma dimensão (ou seja, o movimento ocorrendo ao longo de uma linha) a posição do objeto é dada por Reprisando, de acordo com a situação inicial ( largar a bolinha) e com as nossas escolhas de tempo e posição iniciais definidas para medir a posição da bolinha em queda livre vertical, temos que x 0 =0 e v 0 =0. Tomando como valor aproximado da aceleração da gravidade 10m/s 2 passamos a ter a posição da bolinha em função do tempo a expressão: O gráfico xxt tem, portanto, a forma de uma parábola, conforme figura abaixo: Figura Gráfico espaço versus tempo de uma bola em queda livre Qual a velocidade instantânea para? Retomamos aqui a discussão da seção Com centro no instante, calcularemos a velocidade média para três intervalos de tempo a partir de instantes anteriores e para instantes posteriores, tomando, respectivamente,... 36

37 } } } Pelos valores acima, a velocidade média se aproxima cada vez mais de 10 m/s, o que sugere que: Esse valor poderia ser encontrado derivando x(t): Como queremos a velocidade no instante igual a 1 s, substituímos t da fórmula acima por 1: Outra maneira de encontrar esse valor seria considerando o caso limite da sequência quando. Com efeito, Note, quando, também, mas o quociente tende a um valor finito igual a 10 m/s neste exemplo. Além disso, o exemplo nos mostra que, conforme t diminui (foi de 1 para 0,1 e depois para 0,01), a velocidade média nesse mesmo t se aproxima cada vez mais da velocidade instantânea, conforme pode ser visto que Exemplo 4.4 Em uma viagem de carro, Joãozinho precisou percorrer um trajeto de 200 km. Como dirigir um carro é cansativo, Joãozinho de vez em quando parou o carro para abastecer, almoçar, esticar as pernas etc. Além disso, a estrada era muito esburacada, fazendo com que o nosso amigo constantemente freasse. Chegando ao seu destino, Joãozinho constatou que sua viagem demorou 4 horas. Calcule a velocidade média e analise a velocidade instantânea nessa viagem. R: Para calcular a velocidade escalar média, basta dividir a distância percorrida pelo intervalo de tempo necessário para percorrê-la. Assim: Pelo enunciado da questão, pode-se afirmar que a velocidade instantânea nessa viagem variou bastante durante as freadas para atravessar os buracos, sendo que podemos considerá-la constante e igual a zero nas paradas para almoço e abastecimento, já que nesse meio tempo o carro estava estacionado. Uma interpretação interessante da velocidade escalar média encontrada de 50 km/h é que Joãozinho levaria as mesmas 4 horas para completar a viagem se dirigisse a uma velocidade constante de 50 km/h, o que seria possível somente se a estrada fosse um tapete, se não fosse necessário abastecer nem almoçar, etc. Caso a viagem tenha sido feita num único retão plano, o módulo do deslocamento entre os pontos inicial e final coincide com a distância percorrida. Nessa situação teríamos a coincidência entre o módulo da velocidade média e a velocidade escalar média. 37

38 Uma pergunta pertinente para quem estuda o movimento em um caso qualquer é: Como descrever a variação de velocidade de um corpo? Podemos dizer sem medo de estarmos errados que se há variação de velocidade de um objeto, esse objeto está acelerado, ou seja, está submetido a uma aceleração não nula. Por variação na velocidade queremos dizer que pode ser tanto no módulo quanto na direção do vetor velocidade. Analogamente à velocidade, a aceleração instantânea é definida como a derivada da função velocidade v(t): A aceleração, portanto, pode também ser vista como uma taxa de variação da velocidade. No próximo exemplo exploraremos a relação entre a função horária da posição e os conceitos de velocidade e aceleração instantâneas. Exemplo 4.5 Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a equação em centímetros e t em segundos. Calcule:, sendo x a) A velocidade média da partícula no intervalo [0 s, 3 s] do movimento; b) A velocidade instantânea da partícula em ; c) A aceleração nesse mesmo instante. não depende do caminho tomado para ir de um ponto a outro). Agora basta aplicar a fórmula: b) Calculando primeiro a derivada de x(t), que neste caso é a função espaço: Substituindo t=3: c) A aceleração é a derivada da velocidade. Logo, derivando a expressão encontrada em (b): Quando o comando se referiu ao mesmo instante, quer dizer que t é novamente igual a 3: OBS: Sempre prestar atenção na unidade, já que nessa questão o espaço foi dado em centímetros ao invés de metros. Exemplo 4.6 Considere uma bola de basquete em queda livre e velocidade inicial nula, conforme figura abaixo: R: a) Precisa-se primeiro calcular a posição da partícula nos instantes t=0 s e t=3 s: Como vimos, a velocidade média depende tão somente da posição inicial, da posição final e do intervalo de tempo considerado (mais uma vez, Figura Bola de basquete em queda livre A equação horária desse movimento é dada por, onde s o e v o são a posição e a 38

39 velocidade iniciais, respectivamente. Como o eixo vertical está orientado para cima, s o = 2 m, que é a altura de onde a bola foi largada. Por estar em queda livre, a bola é acelerada apenas pela gravidade, que é orientada para baixo e portanto de valor negativo e igual a aproximadamente - 10m/s 2. Logo a equação final é. O gráfico da posição em função do tempo para esse movimento é: 4.7 APLICAÇÃO NA ENGENHARIA A derivada é uma ferramenta muito poderosa que nos diz se uma função é crescente ou não em um determinado ponto. Isso é possível analisando-se o sinal da derivada da função neste ponto, conforme a regra abaixo: f (x o )>0: A função f é crescente em x=x o ; f (x o )<0: A função f é decrescente em x=x o ; f (x o )=0: x=x o é um ponto crítico de f. As duas primeiras afirmações podem ser constatadas pela figura a seguir: Figura Derivada indicando se f é crescente ou Figura Gráfico posição versus tempo do movimento da bola de basquete Pelo gráfico acima, o que você pode dizer sobre a velocidade dessa partícula com o tempo? R: Já que a velocidade é a derivada da função espaço, a rapidez com que a bola cai a cada instante pode ser verificada pela inclinação da curva espaço versus tempo acima. A inclinação cada vez maior dessa curva indica que a bola cai a velocidades crescentes conforme o tempo avança, evidenciando assim que o movimento é de fato acelerado. Entretanto, esse aumento da velocidade é interrompido quando a bola colide com o solo, momento em que a velocidade vai a zero quase que instantaneamente. OBS: Considerou-se nessa análise que a bola não ficou quicando após colidir com o chão. decrescente De outra forma, percebe-se que uma função é crescente em x o se a reta tangente à função em x o está subindo, e mergulhando em direção ao eixo x para o caso decrescente. Para o caso de f (x o )=0, como já visto, diz-se que x o é um ponto crítico de f. Um ponto crítico é basicamente um ponto cuja derivada é nula ou não existe. Intuitivamente, os pontos que anulam a derivada são ditos máximos ou mínimos locais de uma função, já que a reta tangente a eles é horizontal e portanto tem coeficiente angular igual a zero, conforme figura abaixo: 39

40 Figura Na figura acima, c é máximo local e d é mínimo local (f (c)=f (d)=0) definida pela derivada da função espaço, ou seja, ; A aceleração de um objeto em um instante qualquer é chamada de aceleração instantânea e definida pela derivada da função velocidade ou pela derivada de segunda ordem da função espaço, ou seja, ; f (x o )>0 indica que f é crescente em x o ; f (x o )<0 indica que f é decrescente em x o ; f (x o )=0 indica que f é máximo ou mínimo local em x o. Um ponto de máximo local pode ser definido como o cume da montanha, ou seja, é um ponto cuja imagem (f(c)) é maior que as imagens dos pontos imediatamente à esquerda e à direita de c (c-0,00001 e c+0,00001, por exemplo). Explicação análoga vale para o mínimo local ( vale da montanha ). O estudo dos máximos e mínimos de uma função é uma das aplicações mais importantes da derivada para um engenheiro, o qual usa essa ferramenta, entre outras finalidades, para minimizar o custo de seus projetos. Termos importantes Coeficiente angular; Reta tangente; Reta secante; Taxa de variação instantânea; Interpretação geométrica da derivada; Velocidades média e instantânea; Acelerações média e instantânea. Resumo: A derivada de uma função f em x o é igual ao coeficiente angular da reta tangente à f neste ponto; A velocidade de um objeto em um instante qualquer é chamada de velocidade instantânea e 40

41 4.8 INTEGRAL Tópicos: 4.9 Objetivos; 4.10 Conceito de Integral; 4.11 Notação; 4.12 Propriedades da Integral; 4.13 Aplicação na Cinemática; 4.9 OBJETIVOS Entender o conceito intuitivo de integral; Compreender que a integral é o processo inverso da derivada; Saber integrar funções potência; Saber aplicar a integral em problemas de cinemática. A integral é um recurso matemático inverso ao da derivada, ou seja, ao invés de achar a derivada de uma função, calcula-se a função cuja derivada resulta na função original. Assim, diz-se que g é a integral de f se ; em outras palavras, g é a função cuja derivada resulta em f. Daí, pode-se ver que a integral e a derivada estão fortemente ligadas CONCEITO DE INTEGRAL O conceito de integral está bastante relacionado à noção de áreas. Os povos gregos se perguntavam na Antiguidade: como calcular a área de uma figura qualquer, como a mostrada abaixo? Como a curva da figura acima não pertence às figuras clássicas, como quadrado, triângulo e círculo, não são possíveis calcular sua área com fórmulas prontas da geometria. Bom, mas existe uma figura geométrica cuja área é bem conhecida na geometria: o retângulo. Sua área pode ser calculada pelo produto da base com a altura. Numa tentativa de calcular a área da figura acima, poderíamos desenhar vários retângulos cujas alturas são determinadas pela própria figura, como segue: Figura Curva da figura aproximada grosseiramente por retângulos Como se vê, a aproximação não é perfeita, pois em alguns retângulos existe falta (segundo) e em outros há um excesso de área (último), mas, quanto menores forem as bases desses retângulos, mais próxima a soma de suas áreas vai ficar em relação à área A desejada, como na figura abaixo. Figura Curva qualquer Figura Aproximação melhorada com o uso de retângulos mais finos 41

42 Essa é a ideia da integral, onde a área de uma figura qualquer é aproximada pela soma das áreas de incontáveis retângulos de espessura praticamente nula. Daí pode-se considerar a integral um processo de soma de pequeníssimas parcelas, que seriam as áreas de cada retângulo, até chegar ao total esperado (área A da figura 4.14). Pergunta 4.3 Como estimar a área de uma figura qualquer, usando a ideia de integral? Soma ou Subtração A integral da soma (subtração) é igual à soma (subtração) das integrais Constante multiplicando uma função Como se pode ver, essas duas últimas propriedades da integral são análogas às da derivada NOTAÇÃO A integral de uma função f(x) é denotada por, onde estendido, de soma. se assemelha a um S Tal qual fizemos em relação à derivada, vamos colocar algumas propriedades da integral. As propriedades de distributividade da soma e da multiplicação de uma integral por uma constante são mantidas na integração, tal como na operação de diferenciação PROPRIEDADES DA INTEGRAL Assim como na seção derivadas, f, u e v são funções de x. c é uma constante arbitrária que aparece no processo de integração Integral de uma constante k Exemplo 4.7 Dada a função, calcule sua integral. Pela propriedade , a integral da diferença é a diferença das integrais, logo: Já que a primeira parcela é a integral de uma constante, a mesma é calculada pela propriedade ; pela regra , o número 5, que é uma constante, sai da integral multiplicando. Então: A integral que restou é resolvida pela propriedade , substituindo n por 1 (lembre-se que x = x 1 ): Integral de uma função potência em x, para qualquer n -1 OBS: Se n = -1, sua integral será dada por, ou seja: A constante c, como já dito, é uma constante que sempre aparece no processo de integração. Para descobrir seu valor, deve-se saber de antemão o valor de para algum valor de x. Por 42

43 exemplo, se fosse informado que é igual a 2 para x=-4, bastaria substituir x=-4 na expressão e igualá-la a APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA A derivada foi usada para obter a velocidade instantânea a partir do espaço e a aceleração instantânea a partir da velocidade instantânea. Já que a integral é o processo inverso da derivada, como dito no início do capítulo, era de se esperar que a integral fosse usada para calcular a variação de espaço em função da velocidade instantânea e a velocidade instantânea a partir da aceleração instantânea. Essa suposição, felizmente, é verdadeira, da qual vêm as equações: Embora possa parecer estranho obter o espaço percorrido a partir de um gráfico da velocidade em função do tempo, fizemos isso sem perceber quando resolvíamos problemas de cinemática no ensino médio. Exemplo 4.8 (movimento retilíneo uniforme - MRU) Vamos supor que um corpo esteja percorrendo um movimento retilíneo uniforme. Como sua velocidade não muda conforme o tempo passa (aceleração nula), seu gráfico v versus t será uma reta horizontal, como segue: Ora, se a integral de uma grandeza é igual à área do gráfico dessa mesma grandeza, então se nos for apresentado um gráfico da velocidade instantânea em relação ao tempo (v x t), sua área entre dois instantes t 1 e t 2 será igual à variação de espaço ocorrida entre esses mesmos instantes. A figura abaixo exemplifica melhor essa ideia: Figura Gráfico velocidade versus tempo do MRU Destacando no gráfico um instante qualquer t 1 e sombreando a área no intervalo de tempo 0 t 1, temos: Figura A variação no espaço é igual à área do gráfico v x t Figura Gráfico anterior com área sombreada no intervalo de 0 a t 1 43