Regional da SBM SJ do Rio Preto maio 02 1/30

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1 Regional da SBM SJ do Rio Preto maio 02 1/30

2 Números pitagóricos 2/30 Israel Vainsencher Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matemática, Recife - Pernambuco, Brasil israel@dmatufpebr

3 Números pitagóricos 2/30 Israel Vainsencher Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matemática, Recife - Pernambuco, Brasil israel@dmatufpebr dedicado à memória de Oswaldo Cruz Há quase um século, ele mostrou ser possível um Brasil mais saudável

4 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30

5 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado:

6 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado: Sejam X e Y as medidas dos catetos de um triângulo retângulo

7 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado: Sejam X e Y as medidas dos catetos de um triângulo retângulo X

8 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado: Sejam X e Y as medidas dos catetos de um triângulo retângulo Y X

9 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado: Sejam X e Y as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede Z Y Z X

10 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado: Sejam X e Y as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede Z Então vale a relação Y Z X

11 o teorema de Pitágoras Talvez seja uma das glórias da ciência da Grécia Antiga 3/30 Recordemos o enunciado: Sejam X e Y as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede Z Então vale a relação Y X 2 + Y 2 = Z 2 Z X

12 Os matemáticos da antigüidade desconheciam a manipulação de expressões algébricas do tipo 4/30 X 2 + Y 2

13 Os matemáticos da antigüidade desconheciam a manipulação de expressões algébricas do tipo 4/30 X 2 + Y 2 A relação se expressava entre áreas :

14 Os matemáticos da antigüidade desconheciam a manipulação de expressões algébricas do tipo X 2 + Y 2 A relação se expressava entre áreas : O quadrado construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos Z 4/30

15 Os matemáticos da antigüidade desconheciam a manipulação de expressões algébricas do tipo X 2 + Y 2 A relação se expressava entre áreas : O quadrado construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos X Z 4/30

16 Os matemáticos da antigüidade desconheciam a manipulação de expressões algébricas do tipo X 2 + Y 2 A relação se expressava entre áreas : O quadrado construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos Y X Z 4/30

17 5/30 Não vamos nos delongar com uma prova do teorema

18 5/30 Não vamos nos delongar com uma prova do teorema Uma exposição interativa talvez ao gosto atual pode ser encontrada, por exemplo, na página UBCExamples/Pythagoras/pythagorashtml que não consegui acessar, mas isso pode ser remediado através de e fazendo a pesquisa com as palavras pythagoras theorem

19 números pitagóricos 6/30 Interessa-nos aqui o aspecto diofantino da questão

20 números pitagóricos 6/30 Interessa-nos aqui o aspecto diofantino da questão A nomenclatura rende homenagem a Diofanto, matemático que mais contribuiu na antiguidade para a teoria dos números

21 Pequena nota biográfica 7/30 (Pescado no Google)

22 Pequena nota biográfica 7/30 (Pescado no Google)São desconhecidas as datas exatas da vida de Diofanto, grego de Alexandria Uma carta escrita no século XI faz-nos crer que tenha vivido em torno de 250 DC Dos trabalhos que escreveu, apenas seis dos treze livros de Aritmética foram preservados

23 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo

24 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo Ou seja, estamos falando das soluções da equação X 2 + Y 2 = Z 2

25 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo Ou seja, estamos falando das soluções da equação X 2 + Y 2 = Z 2 com X, Y, Z inteiros positivos

26 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo Ou seja, estamos falando das soluções da equação X 2 + Y 2 = Z 2 com X, Y, Z inteiros positivos É bem conhecida a solução 3,4,5:

27 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo Ou seja, estamos falando das soluções da equação X 2 + Y 2 = Z 2 com X, Y, Z inteiros positivos É bem conhecida a solução 3,4,5: = 5 2

28 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo Ou seja, estamos falando das soluções da equação X 2 + Y 2 = Z 2 com X, Y, Z inteiros positivos É bem conhecida a solução 3,4,5: = 5 2 Os gregos sabiam que um triângulo com lados 3,4,5 é um triângulo retângulo

29 8/30 Uma terna pitagórica (X, Y, Z) é formada por números inteiros positivos que expressam as medidas dos catetos, X, Y, e da hipotenusa, Z, de um triângulo retângulo Ou seja, estamos falando das soluções da equação X 2 + Y 2 = Z 2 com X, Y, Z inteiros positivos É bem conhecida a solução 3,4,5: = 5 2 Os gregos sabiam que um triângulo com lados 3,4,5 é um triângulo retângulo Há indicações seguras que já os babilônios ( ac) possuiam tabelas registrando inúmeras outras soluções, eg, =

30 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41)

31 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17)

32 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181)

33 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 20, 29) (33, 56, 65) (35, 12, 37)

34 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 20, 29) (33, 56, 65) (35, 12, 37) (39, 80, 89) (45, 28, 53) (51, 140, 149)

35 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 20, 29) (33, 56, 65) (35, 12, 37) (39, 80, 89) (45, 28, 53) (51, 140, 149) (55, 48, 73) (63, 16, 65) (65, 72, 97)

36 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 20, 29) (33, 56, 65) (35, 12, 37) (39, 80, 89) (45, 28, 53) (51, 140, 149) (55, 48, 73) (63, 16, 65) (65, 72, 97) (77, 36, 85) (91, 60, 109) (99, 20, 101)

37 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 20, 29) (33, 56, 65) (35, 12, 37) (39, 80, 89) (45, 28, 53) (51, 140, 149) (55, 48, 73) (63, 16, 65) (65, 72, 97) (77, 36, 85) (91, 60, 109) (99, 20, 101) Como obter TODAS as soluções?

38 9/30 Eis algumas outras possibilidades: (5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (13, 84, 85) (15, 8, 17) (15, 112, 113) (17, 144, 145) (19, 180, 181) (21, 20, 29) (33, 56, 65) (35, 12, 37) (39, 80, 89) (45, 28, 53) (51, 140, 149) (55, 48, 73) (63, 16, 65) (65, 72, 97) (77, 36, 85) (91, 60, 109) (99, 20, 101) Como obter TODAS as soluções? Veremos logo mais como essa lista foi produzida

39 10/30 Vamos aprender uma expressão geral para as ternas pitagóricas

40 10/30 Vamos aprender uma expressão geral para as ternas pitagóricas A idéia é relacionar cada terna pitagórica com um ponto no círculo de raio 1 e centro na origem,

41 10/30 Vamos aprender uma expressão geral para as ternas pitagóricas A idéia é relacionar cada terna pitagórica com um ponto no círculo de raio 1 e centro na origem, ie, uma solução da equação x 2 + y 2 = 1

42 rumo à solução geral A equação das ternas pitagóricas, 11/30 X 2 + Y 2 = Z 2, é estreitamente relacionada com a equação do círculo

43 rumo à solução geral A equação das ternas pitagóricas, 11/30 X 2 + Y 2 = Z 2, é estreitamente relacionada com a equação do círculo A idéia é muito simples: associe a cada terna pitagórica (X, Y, Z) (por exemplo, (3,4,5) ),

44 rumo à solução geral A equação das ternas pitagóricas, 11/30 X 2 + Y 2 = Z 2, é estreitamente relacionada com a equação do círculo A idéia é muito simples: associe a cada terna pitagórica (X, Y, Z) (por exemplo, (3,4,5) ), o par de números racionais, ( X Z, Y Z ) (no exemplo, (3 5, 4 5 ))

45 rumo à solução geral A equação das ternas pitagóricas, 11/30 X 2 + Y 2 = Z 2, é estreitamente relacionada com a equação do círculo A idéia é muito simples: associe a cada terna pitagórica (X, Y, Z) (por exemplo, (3,4,5) ), o par de números racionais, ( X Z, Y Z ) (no exemplo, (3 5, 4 5 )) Como aparece um círculo nessa estória?

46 Dividindo por Z 2 ambos os membros da equação 12/30 X 2 + Y 2 = Z 2

47 Dividindo por Z 2 ambos os membros da equação 12/30 X 2 + Y 2 = Z 2 achamos X 2 Z 2 + Y 2 Z 2 = 1

48 Dividindo por Z 2 ambos os membros da equação 12/30 X 2 + Y 2 = Z 2 achamos Fazendo X 2 + Y 2 = Z 2 Z 1 2 x = X Z y = Y Z segue que cada terna pitagórica (X, Y, Z) produz um ponto racional, (x, y) sobre o círculo de raio 1 e centro (0,0) ie, com coordenadas números racionais

49 13/30 Reciprocamente, todo ponto da forma, (x, y)=( X Z, Y ), com X, Y, Z Z, Z 0, Z que satisfizer a equação do círculo fornecerá, eliminando denominador comum, uma terna pitagórica

50 14/30 Ainda não resolvemos o problema da determinação das ternas pitagóricas Mas podemos afirmar que ele é equivalente a

51 14/30 Ainda não resolvemos o problema da determinação das ternas pitagóricas Mas podemos afirmar que ele é equivalente a achar os pontos do círculo cujas coordenadas são ambas racionais

52 14/30 Ainda não resolvemos o problema da determinação das ternas pitagóricas Mas podemos afirmar que ele é equivalente a achar os pontos do círculo cujas coordenadas são ambas racionais Essa é uma atitude muito popular e frutífera em Matemática: mesmo que a gente não saiba resolver um problema, vale a pena tentar

53 14/30 Ainda não resolvemos o problema da determinação das ternas pitagóricas Mas podemos afirmar que ele é equivalente a achar os pontos do círculo cujas coordenadas são ambas racionais Essa é uma atitude muito popular e frutífera em Matemática: mesmo que a gente não saiba resolver um problema, vale a pena tentar reduzi-lo a outro

54 15/30 É a solução do novo problema que passamos a explicar

55 15/30 É a solução do novo problema que passamos a explicar Ela repousa nos seguintes fatos bem conhecidos:

56 15/30 É a solução do novo problema que passamos a explicar Ela repousa nos seguintes fatos bem conhecidos: 1 Se x 1, x 2 são as raízes de um trinômio do 2 o grau ax 2 + bx+c, então os coeficientes satisfazem as familiares relações

57 15/30 É a solução do novo problema que passamos a explicar Ela repousa nos seguintes fatos bem conhecidos: 1 Se x 1, x 2 são as raízes de um trinômio do 2 o grau ax 2 + bx+c, então os coeficientes satisfazem as familiares relações b a = x 1 + x 2 c a = x 1x 2

58 15/30 É a solução do novo problema que passamos a explicar Ela repousa nos seguintes fatos bem conhecidos: 1 Se x 1, x 2 são as raízes de um trinômio do 2 o grau ax 2 + bx+c, 2 então os coeficientes satisfazem as familiares relações b a = x 1 + x 2 c a = x 1x 2 Se x 1, x 2 são números racionais então x 1 + x 2 e x 1 x 2 também são

59 3 Se a inclinação da reta 16/30 é um número racional t, então y = tx+k a reta conterá um ponto racional se e só se o número k também é racional

60 3 Se a inclinação da reta 16/30 é um número racional t, então y = tx+k a reta conterá um ponto racional se e só se o número k também é racional Note que neste caso, para cada valor racional de x, o ponto (x, tx+k) é um ponto racional da mesma reta

61 17/30 Mãos à obra pois!

62 17/30 Mãos à obra pois! A idéia é intersectar o nosso círculo com retas de inclinação racional e que passam já pelo ponto ( 1, 0)

63 17/30 Mãos à obra pois! A idéia é intersectar o nosso círculo com retas de inclinação racional e que passam já pelo ponto ( 1, 0) Tomamos assim o feixe de retas, y = t(x+1)

64 17/30 Mãos à obra pois! A idéia é intersectar o nosso círculo com retas de inclinação racional e que passam já pelo ponto ( 1, 0) Tomamos assim o feixe de retas, y = t(x+1) -1

71 17/30 Mãos à obra pois! A idéia é intersectar o nosso círculo com retas de inclinação racional e que passam já pelo ponto ( 1, 0) Tomamos assim o feixe de retas, y = t(x+1) -1 Substituímos y = t(x+1) na equação do círculo para determinar as abscissas dos pontos de interseção com a reta variável

72 18/30 Caímos na equação do 2 o grau na variável x, x 2 + ( t(x+1) ) 2 = 1

73 18/30 Caímos na equação do 2 o grau na variável x, Coletamos os coeficientes, x 2 + ( t(x+1) ) 2 = 1 (1+t 2 )x 2 + 2t 2 x+t 2-1=0

74 18/30 Caímos na equação do 2 o grau na variável x, Coletamos os coeficientes, x 2 + ( t(x+1) ) 2 = 1 (1+t 2 )x 2 + 2t 2 x+t 2-1=0 Lembre que uma das abscissas, digamos x 1, vale 1

75 18/30 Caímos na equação do 2 o grau na variável x, Coletamos os coeficientes, x 2 + ( t(x+1) ) 2 = 1 (1+t 2 )x 2 + 2t 2 x+t 2-1=0 Lembre que uma das abscissas, digamos x 1, vale 1 O valor interessante, x 2, pode ser obtido da relação x 1 x 2 = x 2 = t2 1 t 2 +1

76 19/30 Substituímos x= 1 t2 t 2 +1 em y = t(x+1)

77 19/30 Substituímos Deduzimos daí que x= 1 t2 t 2 +1 para cada t R, o ponto P t = em y = t(x+1) ( 1 t 2 t 2 + 1, ) 2t t pertence ao círculo Se t é racional, então ambas as coordenadas de P t são racionais

78 19/30 Substituímos Deduzimos daí que x= 1 t2 t 2 +1 para cada t R, o ponto P t = em y = t(x+1) ( 1 t 2 t 2 + 1, ) 2t t pertence ao círculo Se t é racional, então ambas as coordenadas de P t são racionais E vice-versa, visto que t= y x+1

79 20/30 Façamos t= u v, com u, v inteiros Substituindo na expressão dada acima, calculamos P t = ( 1 t 2 t 2 +1, 2t t 2 +1 )

80 20/30 Façamos t= u v, com u, v inteiros Substituindo na expressão dada acima, calculamos P t = ( 1 t 2 t 2 +1, P ( u v ) = ( v 2 u 2 u 2 +v 2, 2t t 2 +1 ) 2uv u 2 +v 2 )

81 20/30 Façamos t= u v, com u, v inteiros Substituindo na expressão dada acima, calculamos P t = ( 1 t 2 t 2 +1, P ( u v ) = ( v 2 u 2 u 2 +v 2, 2t t 2 +1 Assim, encontramos a terna pitagórica X = v 2 u 2, Y = 2uv, Z = u 2 + v 2 ) ) 2uv u 2 +v 2

82 Se multiplicarmos X, Y, Z por um mesmo número inteiro k > 0, resulta igualmente uma terna pitagórica: 21/30

83 Se multiplicarmos X, Y, Z por um mesmo número inteiro k > 0, resulta igualmente uma terna pitagórica: 21/30 X 2 + Y 2 = Z 2 (kx) 2 + (ky ) 2 = (kz) 2

84 Se multiplicarmos X, Y, Z por um mesmo número inteiro k > 0, resulta igualmente uma terna pitagórica: 21/30 X 2 + Y 2 = Z 2 (kx) 2 + (ky ) 2 = (kz) 2 Reciprocamente, mostra-se que toda terna pitagórica é obtida fazendo X = (v 2 u 2 )k Y = (2uv)k Z = (u 2 + v 2 )k

85 Se multiplicarmos X, Y, Z por um mesmo número inteiro k > 0, resulta igualmente uma terna pitagórica: 21/30 X 2 + Y 2 = Z 2 (kx) 2 + (ky ) 2 = (kz) 2 Reciprocamente, mostra-se que toda terna pitagórica é obtida fazendo onde X = (v 2 u 2 )k Y = (2uv)k Z = (u 2 + v 2 )k v > u > 0 são inteiros primos relativos, não ambos ímpares,

86 Se multiplicarmos X, Y, Z por um mesmo número inteiro k > 0, resulta igualmente uma terna pitagórica: 21/30 X 2 + Y 2 = Z 2 (kx) 2 + (ky ) 2 = (kz) 2 Reciprocamente, mostra-se que toda terna pitagórica é obtida fazendo onde X = (v 2 u 2 )k Y = (2uv)k Z = (u 2 + v 2 )k v > u > 0 são inteiros primos relativos, não ambos ímpares, e k denota um inteiro positivo arbitrário

87 produção em série 22/30 u v X Y Z

93 considerações finais A questão dos números pitagóricos tem interesse matemático pela riqueza de resultados que foram obtidos seja no aprofundamento de sua investigação, 23/30

94 considerações finais A questão dos números pitagóricos tem interesse matemático pela riqueza de resultados que foram obtidos seja no aprofundamento de sua investigação, seja pelas perguntas correlatas que levantou 23/30

95 considerações finais A questão dos números pitagóricos tem interesse matemático pela riqueza de resultados que foram obtidos seja no aprofundamento de sua investigação, seja pelas perguntas correlatas que levantou 23/30 Para um amante da ciência é natural se perguntar igualmente pelas soluções de X 3 + Y 3 = Z 3

96 considerações finais A questão dos números pitagóricos tem interesse matemático pela riqueza de resultados que foram obtidos seja no aprofundamento de sua investigação, seja pelas perguntas correlatas que levantou 23/30 Para um amante da ciência é natural se perguntar igualmente pelas soluções de X 3 + Y 3 = Z 3 Mais geralmente, podemos considerar a equação de Fermat X n + Y n = Z n para um expoente inteiro arbitrário, n=4, 5,

97 Fermat entrou para a História da Matemática graças a muitas contribuições interessantes 24/30

98 Fermat entrou para a História da Matemática graças a muitas contribuições interessantes Seguramente a mais espetacular que se conta foi o breve comentário sobre a teoria dos números pitagóricos que rabiscou em sua cópia de um livro de Diofanto 24/30

99 Fermat entrou para a História da Matemática graças a muitas contribuições interessantes Seguramente a mais espetacular que se conta foi o breve comentário sobre a teoria dos números pitagóricos que rabiscou em sua cópia de um livro de Diofanto Textualmente: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi 24/30

100 Fermat entrou para a História da Matemática graças a muitas contribuições interessantes Seguramente a mais espetacular que se conta foi o breve comentário sobre a teoria dos números pitagóricos que rabiscou em sua cópia de um livro de Diofanto Textualmente: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi Hanc marginis exiguitas non caperet 24/30

101 Na terminologia atual 25/30 para nenhum n 3, a equação X n + Y n = Z n admite soluções inteiras (com XY Z 0)!

102 Na terminologia atual 25/30 para nenhum n 3, a equação X n + Y n = Z n admite soluções inteiras (com XY Z 0)! Encontrei uma demonstração notável para este fato,

103 Na terminologia atual 25/30 para nenhum n 3, a equação X n + Y n = Z n admite soluções inteiras (com XY Z 0)! Encontrei uma demonstração notável para este fato, mas não cabe nessa exígua margem

104 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor 26/30

105 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor Diga-se de passagem que o espaço requerido para escrever a demonstração foi bem maior do que o cogitado por Fermat 26/30

106 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor Diga-se de passagem que o espaço requerido para escrever a demonstração foi bem maior do que o cogitado por Fermat (Especula-se que o próprio Fermat pode ter vislumbrado um argumento incorreto, que foi de fato proposto muitos anos depois) 26/30

107 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor Diga-se de passagem que o espaço requerido para escrever a demonstração foi bem maior do que o cogitado por Fermat (Especula-se que o próprio Fermat pode ter vislumbrado um argumento incorreto, que foi de fato proposto muitos anos depois) A demonstração de Wiles & Taylor usou muitos conceitos e técnicas desenvolvidas nos últimos 50 anos 26/30

108 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor Diga-se de passagem que o espaço requerido para escrever a demonstração foi bem maior do que o cogitado por Fermat (Especula-se que o próprio Fermat pode ter vislumbrado um argumento incorreto, que foi de fato proposto muitos anos depois) A demonstração de Wiles & Taylor usou muitos conceitos e técnicas desenvolvidas nos últimos 50 anos O ponto principal a ressaltar é que 26/30

109 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor Diga-se de passagem que o espaço requerido para escrever a demonstração foi bem maior do que o cogitado por Fermat (Especula-se que o próprio Fermat pode ter vislumbrado um argumento incorreto, que foi de fato proposto muitos anos depois) A demonstração de Wiles & Taylor usou muitos conceitos e técnicas desenvolvidas nos últimos 50 anos O ponto principal a ressaltar é que foi necessário ligar esta questão a outras questões centrais, 26/30

110 Basta acrescentar que mais de 2 séculos se passaram até aparecer uma demonstração rigorosa, dada em 1994 pelos matemáticos Wiles & Taylor Diga-se de passagem que o espaço requerido para escrever a demonstração foi bem maior do que o cogitado por Fermat (Especula-se que o próprio Fermat pode ter vislumbrado um argumento incorreto, que foi de fato proposto muitos anos depois) A demonstração de Wiles & Taylor usou muitos conceitos e técnicas desenvolvidas nos últimos 50 anos O ponto principal a ressaltar é que foi necessário ligar esta questão a outras questões centrais, as quais já vinham sendo investigadas, independentemente do encantamento histórico que o último teorema de Fermat há tempos despertava 26/30

111 Outra vertente de pesquisa interessante é considerar a parametrização P t = ( 1 t 2 ) t 2 + 1, 2t t como um ponto da curva 27/30 x 2 + y 2 = 1 com coordenadas no corpo de funções racionais na variável t

112 Outra vertente de pesquisa interessante é considerar a parametrização P t = ( 1 t 2 ) t 2 + 1, 2t t como um ponto da curva 27/30 x 2 + y 2 = 1 com coordenadas no corpo de funções racionais na variável t Diz-se que a curva dada por uma equação polinomial f(x, y)=0 é racional

113 Outra vertente de pesquisa interessante é considerar a parametrização P t = ( 1 t 2 ) t 2 + 1, 2t t como um ponto da curva 27/30 x 2 + y 2 = 1 com coordenadas no corpo de funções racionais na variável t Diz-se que a curva dada por uma equação polinomial f(x, y)=0 é racional se existir um par de funções racionais ϕ(t), ψ(t), ao menos uma não constante, tal que f(ϕ(t), ψ(t))=0

114 Outra vertente de pesquisa interessante é considerar a parametrização P t = ( 1 t 2 ) t 2 + 1, 2t t como um ponto da curva 27/30 x 2 + y 2 = 1 com coordenadas no corpo de funções racionais na variável t Diz-se que a curva dada por uma equação polinomial f(x, y)=0 é racional se existir um par de funções racionais ϕ(t), ψ(t), ao menos uma não constante, tal que f(ϕ(t), ψ(t))=0 Curvas de grau 1 ou 2 são racionais

115 Outra vertente de pesquisa interessante é considerar a parametrização P t = ( 1 t 2 ) t 2 + 1, 2t t como um ponto da curva 27/30 x 2 + y 2 = 1 com coordenadas no corpo de funções racionais na variável t Diz-se que a curva dada por uma equação polinomial f(x, y)=0 é racional se existir um par de funções racionais ϕ(t), ψ(t), ao menos uma não constante, tal que f(ϕ(t), ψ(t))=0 Curvas de grau 1 ou 2 são racionais Mostra-se que as curvas de Fermat x n + y n = 1 não são racionais para n 3

116 Um profundo resultado devido a Faltings (1982) implica que 28/30 se f(x, Y, Z) é um polinômio homogêneo de grau 4 cujo gradiente só se anula em (0,0,0), então o número de soluções inteiras da equação f(x, Y, Z)=0 é finito

117 Um profundo resultado devido a Faltings (1982) implica que 28/30 se f(x, Y, Z) é um polinômio homogêneo de grau 4 cujo gradiente só se anula em (0,0,0), então o número de soluções inteiras da equação f(x, Y, Z)=0 é finito Em contrapartida, é um fato relativamente mais simples de mostrar que, nessas condições, a curva definida por não é racional f(x, Y, 1)=0

118 referências 29/30

119 referências 29/30 Consulte a artigo de Fernando Q Gouvea, na revista Matemática Universitária, n19, p16-43, 1995

120 referências 29/30 Consulte a artigo de Fernando Q Gouvea, na revista Matemática Universitária, n19, p16-43, 1995 Veja também a obra-prima O que é a Matemática?, de R Courant e H Robbins, em vias de ser traduzido para o Português pela

121 referências Consulte a artigo de Fernando Q Gouvea, na revista Matemática Universitária, n19, p16-43, 1995 Veja também a obra-prima O que é a Matemática?, de R Courant e H Robbins, em vias de ser traduzido para o Português pela e dito r a d asbm 29/30

122 referências Consulte a artigo de Fernando Q Gouvea, na revista Matemática Universitária, n19, p16-43, 1995 Veja também a obra-prima O que é a Matemática?, de R Courant e H Robbins, em vias de ser traduzido para o Português pela e dito r a d asbm Referências adicionais: M Hindry and J H Silverman, Diophantine geometry, Springer, New York, 2000; Silverman, Joseph H The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106 Springer-Verlag, New York, xii pp 29/30

123 30/30 wwwdmatufpebr/ israel