Leis de Kepler e Gravitação Universal

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1 Leis de Kepler e Gravitação Universal João Socorro Pinheiro Ferreira * UNIFAP George C. Almeida IFMA 25 de Maio de 205 Michael K. V. Gondim UNEMAT Resumo Este artigo acadêmico dispõe sobre as três Leis de Kepler (57-60) e teve como finalidade a de proporcionar aos autores a prática de descrição de modelagem matemática (MM), através de EDO s - Equações Diferenciais Ordinárias. A metodologia utilizada para escrever sobre as três leis foi a de se pesquisar em diversas obras bibliográficas sobre as leis, inclusive a da gravitação universal, cujos primeiros registros são creditados aos gregos, antes de Cristo, e posteriormente sendo mais formalizada pelo astrônomo Tycho Brahe (546-60) e também Galileo Galilei ( ). O resultado apresentado no texto final destacou a grande contribuição de Isaac Newton ( ), para a formulação matemáticas das leis, pois com a sua descoberta do cálculo diferencial (fluxo) e integral (refluxo) pode descrever a trajetória, a área e o período T, através de funções matemáticas (soluções de EDO s). Palavras-chaves: Gravitação Universal. Elipse. Área. Período. Kepler. Newton. Introdução Este trabalho acadêmico sobre as Leis de Kepler (57-60) foi escrito como parte da avaliação da disciplina PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos, do Mestrado Profissional em Matemática Aplicada e Computacional, do IMECC, UNICAMP, com o objetivo de colocar em prática a modelagem matemática. Para escrever sobre as três leis de Kepler, primeiramente estudamos sobre as leis da gravitação universal, cujos primeiros registros são dos gregos, antes de Cristo, posteriormente sendo mais formalizada pelo astrônomo Tycho Brahe (546-60) e também por Galileo Galilei ( ). Todos os trabalhos registrados eram empíricos, pois com instrumentos artesanais, estes abnegados pesquisadores produziram à tecnologia daquela época para procurar descrever alguma teoria satisfatória para o movimento dos planetas. Kepler teorizou, a partir de suas observações e dos outros cientistas citados anteriormente, que os planetas descreviam trajetórias elípticas, onde um dos focos era ocupado pelo Sol. Mediu a excentricidade de várias órbitas e constatou que as mesmas estavam muito próximas de zero; uma consequência disto é que as mesmas eram definidas como circulares, pois causavam a impressão de que o Sol girava em torno da Terra (como ocorre hoje). A excentricidade é a razão entre a metade da distância focal c e a metade do eixo maior a de uma elipse, isto é, e = c a. Descobriu também que os planetas realizam durante o período de translação em torno do Sol, percorrendo áreas iguais em tempos iguais, e uma consequência (bem evidente) dessa lei é que o planeta tem a sua velocidade escalar aumentada à medida que se aproxima do Sol, e diminuída quando se afasta. * joaoferreira@unifap.br george.ifma@gmail.com kennedylevita2@gmail.com

2 A terceira lei de Kepler afirma que o quociente T2 = K tem o mesmo valor K para todos os a planetas, onde T é o tempo gasto pelo planeta numa revolução completa, em torno do Sol. Não podemos deixar de citar neste trabalho a grande contribuição de Isaac Newton ( ), pois com a sua descoberta do cálculo diferencial (fluxo) e integral (refluxo) pode descrever todas as equações matemáticas, e segundo a história, quando lhe perguntaram sobre: Qual é a forma da órbita de um planeta atraído pelo Sol por uma força que varia com o inverso do quadrado da distância?", Newton respondeu imediatamente: Uma elipse". Desconcertado, Halley perguntou: Como sabe?", ao que Newton lhe respondeu que já havia resolvido esse problema. Newton procurou o papel com a prova mas não o encontrou, mas prometeu reconstruí-la e lhe enviá-la, e assim Halley teve que aguardar, e só recebeu a prova em novembro de 684, sob o título De Motu Corporum in Gyrum ( Sobre o movimento dos corpos em órbita"). Halley imediatamente percebeu a importância do resultado e do método empregado por Newton, e o visitou novamente, decidido a convencê-lo a publicar suas descobertas. E assim Newton começou a escrever o Principia, cujos custos de publicação foram todos arcados por Halley (a Royal Society estava muito mal financeiramente, e Newton não queria gastar dinheiro com a publicação). (O final deste parágrafo encontra-se Disponível em: wiki/isaac_newton#lei_da_gravita.c.a7.c.ao_universal. Acesso em: 9 Maio 205). Por fim, a equipe desenvolveu todos os cálculos existentes nas entrelinhas dos textos pesquisados, procurando com isto entender em mínimos detalhes a grandiosidades das três leis e de seu colabores para o avanço da ciência. 2 Leis de Kepler e Newton Nesta seção iremos enunciar as três Leis de Kepler, a Primeira e Segunda Lei de Newton e também a Lei da Gravitação Universal Leis de Kepler As três leis que Kepler enunciou em seus trabalhos foram as seguintes: Primeira Lei. Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos. Segunda Lei. O raio vetor ligando o Sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Terceira Lei. A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas. Nosso objetivo é demonstrar as três leis de Kepler e aplicar esse conhecimento. Para isso iremos enunciar algumas Leis que Newton enunciou e demonstrou através de sua Mecânica Leis de Newton Para auxiliar nas demonstrações, iremos fazer o uso das Leis de Newton, que ele próprio usou em seu livro Principia Mathematica, para demonstrar as Leis de Kepler. A primeira lei de Newton diz respeito a uma velocidade nula ou constante, onde não há aceleração sobro o corpo em estudo. De acordo com Halliday and Resnick (2008a) temos: Enunciado 2.. Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo, sua velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração. Em termos matemáticos, F res = 0 (2.) 2

3 Agora, quando um corpo sofre uma mudança de velocidade, ou seja, F res 0, então este corpo está submetido a uma aceleração. Halliday and Resnick (2008b) nos enuncia a Segunda Lei da seguinte maneira. Enunciado 2.2. A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. Em termos matemáticos, e em módulo F res = m a F = ma (2.2) Newton propôs uma lei para a força gravitacional, Halliday and Resnick (2009) a enuncia da seguinte maneira: Enunciado 2.. Toda partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo é dado por F = G m m 2 r 2 (2.) onde m e m 2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas e G é uma constante, conhecida como constante gravitacional, cujo valor é G = 6, 67 0 N m 2 /kg 2 = 6, 67 0 m /kg s 2 (2.4) Órbita do Planeta Vamos agora ao nosso problema. Suponhamos um sistema tridimensional no qual o Sol esteja no centro. Suponhamos ainda, que exista um planeta P de massa m cuja órbita ao redor do Sol é dada por X(t) = (x(t), y(t), z(t)). A fim de usarmos as derivadas de primeira e segunda ordem de X(t), assumiremos que tal curva seja de classe C 2. Com isso podemos introduzir as grandezas cinemáticas como feito por de Figueiredo and Neves (2002b): X(t) = (x(t), y(t), z(t)) será designado o vetor posição de P no instante t, ao qual denotaremos raio vetor. velocidade é a derivada Ẋ(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) do vetor posição. Defini-se o vetor aceleração como sendo a a derivada O vetor Ẍ(t) = (ẍ(t), ÿ(t), z(t)) do vetor velocidade.

4 órbita Planeta Raio vetor Sol Figura : Órbita do planeta Como o planeta está em movimento, temos pela Segunda Lei de Newton que F = mẍ, (.) lembrando que a interpretação física da segunda derivada (Ẍ) é a aceleração no instante t e m é a massa do planeta P. Temos ainda pela Lei da Gravitação Universal que F = GmM X 2 X X, (.2) na qual, M é a massa do Sol e o sinal negativo é porque a força gravitacional é de atração. Chamando r = X, segue que Das equações 2.2 e., segue que F = GmM r X (.) mẍ = GmM r X Ẍ = GM r X (.4) A seguir vamos mostrar que a órbita de P está contida em um plano. Assim, passaremos a analisar o movimento e as forças no plano (x, y). Duas observações importantes serão levadas em consideração, que é posta de forma clara por de Figueiredo and Neves (2002a), que são: Observação.. Suporemos que o Sol esteja fixo. De forma bem rigorosa, tanto o planeta quanto o Sol estão em movimento, o que nos leva a um problema mais complexo que tem por nome Problema de Dois Corpos. 4

5 Observação.2. Desprezaremos as forças gravitacionais dos outro planetas sobre o planeta em estudo. Como o a força gravitacional do Sol é muito grande em comparação ao dos planetas, não há prejuízo em desconsiderarmos a existência dos outros planetas quando se estuda a maior parte dos planetas..0. Momento Angular O momento angular está associado com a rotação e a translação do planeta. da Rocha (20) define o momento angular da seguinte maneira. Definição.. O momento angular Y, associado ao planeta P é dado pela curva Y = X Ẋ. (.5) Concluímos assim, que o momento angular é ortogonal ao raio vetor e ao vetor velocidade de P definido por Ẋ(t). Lema.. A órbita do planeta P é uma curva plana. Demonstração. Para isso, basta mostrarmos que o momento angular é constante. De fato, basta mostrarmos que a derivada do momento angular é nula. Vamos então, calcular a derivada de Y, assim temos Ẏ = Ẋ Ẋ + X Ẍ Como, Ẋ Ẋ = 0 e usando a.4 segue que Daí, temos ( Ẏ = X r ) ( X = r ) (X X) = 0 Ẏ = 0 Y(t) constante (.6) Caso Y = 0, teremos ( ) d X dt r = = rẋ ṙx r 2 rẋ ṙx r 2 r r = (X X)Ẋ (X Ẋ)X r (X Ẋ) X = r = Y X r = 0 com isso, vemos que X(t) = cte r(t) (integrando) e portanto a órbita de P seria uma reta, o que neste caso não é uma verdade. Concluímos então que Y(t) = c = (c, c 2, c ) 0, o que nos diz que a órbita de P é uma curva plana. 5

6 .0.4 Coordenadas Polares Na subseção anterior mostramos que X é uma órbita plana, assim iremos considerar que o plano z = 0 é o plano que contém a órbita de P e nossa curva passa a ser da forma X(t) = (x(t), y(t), 0) (.7) e além disso, o momento angular será apenas Y(t) = (0, 0, x(t)ẏ ẋy(t)), que devido a equação.6, temos que Y(t) é igual a uma constante que denominaremos por κ, assim x(t)ẏ ẋy(t) = κ (constante). (.8) De agora em diante iremos fazer uso das coordenadas polares para representar a órbita de P, disto teremos r(t) = X(t), x(t) = r(t) cos θ(t) e y(t) = r(t)senθ(t) (.9) r sen θ r cos θ Figura 2: Coordenadas Polares.0.5 Velocidade Areolar De acordo com de S. Ávila (2004), se r = r(θ) é a equação polar da órbita do planeta, então é a área varrida pelo raio da órbita. A(θ) = θ(t) θ(t 0 ) 2 r2 dθ (.0) Demonstração. Queremos provar que A = A(t) é a área varrida por r = r(θ) num tempo t, a partir de uma certa posição de P, digamos P 0. Segundo de Figueiredo and Neves (2002c), A derivada de A(t) com relação a t é chamada velocidade areolar. Resolvendo a Equação.0, temos: θ(t) A(θ) = [r(θ)] 2 dθ 2 θ(t 0 ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, segue-se que A(θ) = [r(θ)] θ(t) 2 A(θ) = 2 ( [r(θ(t))] 6 θ(t 0 ) [r(θ(t 0))] )

7 Entre as direções θ(t 0 ) = 0 e θ(t) = θ, tem-se: A(θ) = ( [r(θ)] 2 ) [r(0)] Considerando que no instante inicial t 0 = 0 a posição inicial é r(0) = r 0, a expressão acima passa a ser: A(θ) = 2 ( [r(θ)] Derivando a Equação. em relação a θ, tem-se: Temos ainda, pela Regra da Cadeia, que: [r 0] ) (.) A(θ) = ( ) [r(θ)]2 0 2 da dθ = A(θ) = 2 [r(θ)]2 (.2) A(t) = da dt = da dθ dθ dt = A θ (.) Substituindo a Equação. na Equação.2, tem-se a Equação (4.8), do texto de de Figueiredo and Neves (2002c), conforme a seguir Voltando a Equação.9 e.8, temos: assim, teremos e portanto, A(t) = 2 r2 θ (.4) x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) = r(t)senθ(t) e x(t)ẏ ẋy(t) = κ (constante) ẋ = ṙ cos θ r θsenθ e ẏ = ṙsenθ + r θ cos θ (.5) const κ = xẏ ẋy Assim, das Equações.4 e.6, segue que = r cos θ(ṙsenθ + r θ cos θ) (ṙ cos θ r θsenθ)rsenθ = r 2 θ (.6) A(t) = 2 r2 θ = κ constante (.7) Fórmula de Binet Vamos voltar as equações.9 e.5 acima, assim x = r cos θ e y = rsenθ ẋ = ṙ cos θ r θsenθ e ẏ = ṙsenθ + r θ cos θ 7

8 Temos então, as expressões ẍ = r cos θ 2ṙ θsenθ r θ 2 cos θ r θsenθ (.8) ÿ = rsenθ + 2ṙ θ cos θ r θ 2 senθ + r θ cos θ (.9) Substituindo nas componentes da equação.4, temos r cos θ 2ṙ θsenθ r θ 2 cos θ r θsenθ = r 2 cos θ (.20) rsenθ + 2ṙ θ cos θ r θ 2 senθ + r θ cos θ = senθ, (.2) r2 vamos fazer: cos θ.20 + senθ.2, daí obtemos r r θ 2 = r 2 (.22) multiplicando por, temos r2 θ 2 r r 2 θ + r θ 2 2 r 2 θ = 2 r θκ + r (r 2 θ 2 ) 2 = (.2) Como feito por da Rocha (20), segue o seguinte lema sobre a fórmula de Binet Lema.2 (Fórmula de Binet). A função r = r(θ) satisfaz a equação diferencial d 2 ( ) dθ 2 + r r = (.24) Demonstração. Vamos usar a Regra da Cadeia dr dθ = ṙ dt dθ = ṙ θ e dṙ dt = r dθ dθ = ṙ θ Observação.. Estamos vendo a função t = t(θ) pelo fato de θ(t) 0, t e aplicando o Teorema da Função Implícita para funções de uma variável. Assim, Disto, segue que ( ) d dθ r Derivando novamente, temos: Portanto, nossa Equação.2 satisfaz a fórmula de Binet. dt(θ) dθ = θ(t(θ)) = r 2 dr dθ = ṙ r 2 θ = ṙ (κ = θr 2 eq.:.6) (.25) κ d 2 ( ) dθ 2 r = d ( ( ) ) d dθ dθ r = κ dṙ dθ = r κ θ r θκ + r = 8 (.26)

9 4 Demonstração das Leis Como visto na seção anterior, a equação.2 que é dada por r θκ + r = satisfaz a fórmula de Binet, d 2 ( ) dθ 2 + r r = o que para nós é bem interessante, pois por se tratar de uma equação do tipo oscilador harmônico (cf.de Figueiredo and Neves (2002a), seção 4.5.) é relativamente fácil de ser resolvida. Teorema 4.. A solução geral da equação é dada por r d 2 ( ) dθ 2 + r r = onde α e β são constantes dependendo dos dados iniciais. Demonstração. De fato, façamos u = r, então Usando a equação auxiliar associada a ED 4.2, temos = α cos θ + β senθ + (4.) d 2 (u) + u = dθ2 ü + u = (4.2) m 2 + = 0 m 2 = m = ±i (4.) logo a solução homogênea associada a ED 4.2 é dada por: u h (θ) = e 0θ (c cos θ + c 2 senθ) = c cos θ + c 2 senθ (4.4) Por coeficientes a determinar, supomos que a solução particular é dada por: assim, u p (θ) = (Aθ + B) (4.5) u p (θ) = A e ü p = 0 9

10 substituindo, na equação 4.2, segue que Logo, ü p + u p = 0 + (Aθ + B) = A = 0 e B = é a solução particular da ED 4.2. Assim, u p = (4.6) u = u h + u p e portanto, fazendo c = α, c 2 = β e u =, segue que r = c cos θ + c 2 senθ + (4.7) r = α cos θ + βsenθ +. (4.8) Observação 4.. Só foi possível a resolução do caso particular dessa EDO, pois mostramos na equação.6, que o fator κ = θr 2 é uma constante. 4. Primeira Lei de Newton Lei (Leis das Órbitas). Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos. Demonstração. Suponhamos sem perda de generalidade que t = 0 θ(0) = 0 e r(0) = r 0, ou seja, que no tempo inicial o planeta se encontrava a uma distância r 0 do Sol e sob o eixo dos x. Logo, e ainda, fazendo ṙ 0 = ṙ(0) Então Considere agora, d dθ r 0 = α cos 0 + β sen0 α = r 0 (4.9) ( r ) = α sen0 + β cos 0 β = ṙ0 κ (4.0) r = cos θ ṙ0 senθ + r 0 κ (4.) = λ cos ω e r ṙ0 0 κ r = λ senω, substituindo na equação 4., temos = λ cos(θ ω) + (4.2) 0

11 ( ) 2 ( ṙ0 ) 2 Chamando λ 2 = + e ω = tg ( r 0 ṙ 0 κ ) e substituindo na equação 4.2 obtemos r0 κ r = + λκ2 cos(θ ω) (4.) e ainda, fazendo e = λκ2 e d = λ, chegamos a equação: d e r = (4.4) + e cos(θ ω) ( e 2 ) d que afirmamos ser a equação da elipse com excentricidade e e centro no ponto ( e 2 ), 0. Observação 4.2. Observe que fizemos uma mudança de coordenadas polares fazendo o que somente muda o ângulo que consideramos. x = r cos(θ ω) e y = r sen(θ ω) (4.5) Observação 4.. Assumiremos que e <, pois r 0, M e G são constantes razoavelmente grandes e κ é pequeno, pois se trata da velocidade areolar de um planeta. Vamos mostrar que a equação 4.4 é de fato uma elipse. Temos que r + e r cos(θ ω) = d e, vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação e usar a equação 4.5, disto segue que o que implica completando quadrado, temos ( x 2 + y 2 = e 2 (d 2 2dx + x 2 ) ( + e 2 )x 2 + 2de 2 x + y 2 = e 2 d 2, x + ) 2 e2 d e 2 + y2 e 2 = e2 d 2 ( e 2 ) 2, chamando segue que, c = e2 d e 2, a2 = e2 d 2 ( e 2 ) 2 e b 2 = e2 d 2 e 2 (x + c) 2 a 2 + y2 b 2 = (4.6) Assumindo que e < como feito na Observação 4. e assim, c > 0 e ainda, 0 < ( e 2 ) 2 < e 2 < a > b temos uma equação com eixo maior sobre o eixo dos x. O que prova a Primeira Lei de Kepler.

12 planeta raio vetor Sol órbita Figura : Órbita do planeta 4.2 Segunda Lei de Kepler Lei 2 (Leis das Áreas). O raio vetor ligando o Sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Demonstração. Vimos na seção.0., a equação.7, A(t) = 2 r2 θ que diz respeito a velocidade areolar do planeta. Integrando a equação.7, temos que A(t) = κ t + A(0) (4.7) 2 Agora vamos considerar dois intervalos de tempos iguais, sem perda de generalidade, sejam I = (t, t 2 ) e I 2 = (t, t 4 ) dois intervalos de tempos, tais que t 2 t = t 4 t. Aplicando na equação 4.7 temos que: A(t 2 ) A(t ) = 2 κ (t 2 t ) = 2 κ (t 4 t ) = A(t 4 ) A(t ) (4.8) Portanto, provamos que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais. 2

13 t4 t Área 2 t2 SOL Área t Figura 4: Tempos iguais... áreas iguais 4. Terceira Lei de Kepler Lei (Lei dos Períodos). A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas. Demonstração. Como visto na Primeira Lei de Kepler a órbita de um planeta é uma elipse e observando o fato de que as órbitas dos planetas são periódicas, vamos supor, um sistema de coordenadas no qual o Sol é a origem, e mais, o Sol é um dos focos dessa elipse, e ainda, sem perda de generalidade, suporemos que o eixo maior está sobre o eixo dos x. Tal elipse tem equação (x + c) 2 a 2 + y2 b 2 = (4.9) vamos considerar a corda focal dessa elipse de comprimento 2l, que é perpendicular ao eixo maior e passa por um dos focos, assim o que implica logo, c 2 a 2 + l2 b 2 = l 2 = b2 (a 2 c 2 ) a 2 = b2 b 2 a 2 l = b2 a = e 2 d 2 e 2 ed e 2 = e d = λκ2 λ = κ2 = b4 a 2 (4.20) (4.2) Da equação.7, temos que a velocidade areolar A é constante. Chamaremos de T o período do planeta. Assim, ( ) 2πab T 2 a = κ a = 4π2 b 2 a = b2 a 4π2 = l 4π2 = κ2 4π2 = 4π2 (4.22)

14 Provamos assim, a Terceira Lei de Kepler. 5 Aplicação Em seu livro Philosophie naturalis principia mathematica, Newton considerou o lançamento de um satélite artificial, isso através de um canhão. Mas somente após a Segunda Guerra Mundial, que surge a ideia de satélites de comunicações, pelo então oficial de radar Arthur C. Claker. E em 957, tivemos o lançamento do primeiro satélite artificial, o Sputinik, satélite russo para transmissão de rádio. Uma órbita geoestacionária é uma órbita circular sobre o plano do Equador da Terra a 5786 km de altitude, girando na mesma direção e velocidade angular que o planeta, dando a impressão de que ele estaria parado sobre o mesmo ponto Mota and Hinckel (20). Esse tipo de satélite é também chamado de síncrono. Exemplo 5.. Qual a altura de um satélite geoestacionário? Demonstração. Como o satélite é geoestacionário, então ele permanece no mesmo ponto sobre a Terra, isto é, seu período orbital é de um dia sideral d = 2h56min. Pela Terceira Lei de Kepler, segue que T 2 a = 4π2 a = 4π 2 T2 onde, a massa da Terra M = 5, kg, G = 6, 67 0 N m 2 /kg 2 é a constante gravitacional e T = 8660s é o período de órbita em segundos, disto temos: a = 5, , π [ 5, , 67 0 a = 4π a = 4272km Como o raio da Terra R T = 670km, então a altura será a R T = = 5800km ] / SATÉLITE RAIO TERRA Figura 5: Satélite em órbita circular 4

15 Referências da Rocha, H. B. V. L. (20). As leis de kepler. Master s thesis, Universidade Federal do Piauí. 5, 8 de Figueiredo, D. G. and Neves, A. F. (2002a). Equações Diferenciais Aplicadas. II. Figueiredo- Neves, Rio de Janeiro, 2th edition. ISBN: , 9 de Figueiredo, D. G. and Neves, A. F. (2002b). Equações diferenciais de segunda ordem. In IMPA, editor, Equações Diferenciais Aplicadas, II, chapter 4, page 9. Figueiredo-Neves, Rio de Janeiro, 2 a ed edition. ISBN: de Figueiredo, D. G. and Neves, A. F. (2002c). Equações diferenciais de segunda ordem. In IMPA, editor, Equações Diferenciais Aplicadas, II, chapter 4, page 58. Figueiredo-Neves, Rio de Janeiro, 2th edition. ISBN: , 7 de S. Ávila, G. S. (2004). Cálculo das funções de uma variável, volume II. Ávila, Rio de Janeiro, 7th edition. ISBN Halliday, D. and Resnick, J. W. (2008a). A primeira lei de newton. In LTC, editor, Fundamentos de Física, volume : mecânica, volume, chapter 5, pages Halliday-Resnick, Rio de Janeiro, 8th edition. ISBN Halliday, D. and Resnick, J. W. (2008b). A segunda lei de newton. In LTC, editor, Fundamentos de Física, volume : mecânica, volume, chapter 5, pages Halliday-Resnick, Rio de Janeiro, 8th edition. ISBN Halliday, D. and Resnick, J. W. (2009). Lei da gravitação universal. In LTC, editor, Fundamentos de Física, volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica, volume 2, chapter, pages Halliday-Resnick, Rio de Janeiro, 8th edition. ISBN Mota, F. A. d. S. and Hinckel, J. N. (20). Estudo dos sistemas propulsivos químico e elétrico para a inserção de um satélite em uma Órbita geoestacionária. 4 5