BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II MÓDULO 1 - PRÉ-ESFORÇO

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1 BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO II FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS MÓDULO 1 - PRÉ-ESFORÇO Carla Marchão Júlio Appleton Ano Lectivo 2004/2005

2 ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO SISTEMAS DE INJECÇÃO EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO TRAÇADO DO CABO Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO TROÇO RECTO CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES) ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES Zona das ancoragens Traçado parabólico Traçado poligonal... 16

3 8. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO Perdas por Atrito Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) Perdas por deformação instantânea do betão Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço Perdas por retracção do betão Perdas por fluência do betão Perdas por relaxação da armadura VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS Modelos de escoras e tirantes Tensões de tracção a absorver... 41

4 1. Introdução 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO Vencer vãos maiores Maiores esbeltezas Diminuição do peso próprio Melhoria do comportamento em serviço Utilização racional dos betões e aços de alta resistência 2. Técnicas e sistemas de pré-esforço 2.1. PRÉ-ESFORÇO POR PRÉ-TENSÃO As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão; A transferência de força é realizada por aderência; É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços de amarração) PRÉ-ESFORÇO POR PÓS-TENSÃO As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência necessária; A transferência é realizada quer nas extremidades, através de dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo das armaduras. MÓDULO 1 Pré-Esforço 1

5 3. Componentes de um sistema de pré-esforço 3.1. ARMADURAS DE PRÉ-ESFORÇO As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as seguintes formas: fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm cordões (compostos por 7 fios) Designação Secção nominal Diâmetro [cm 2 ] [mm] N S barras Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm (podem ser lisas ou roscadas) Características dos aços de alta resistência utilizados em armaduras de pré-esforço: f p0,1k [Mpa] f pk [Mpa] E p [Gpa] fios e cordões ± 10 barras Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha) Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem). MÓDULO 1 Pré-Esforço 2

6 3.2. ANCORAGENS DE PRÉ-ESFORÇO Activas Permitem o tensionamento Passivas Ficam embebidas no betão De continuidade (acoplamentos) Parte passiva, parte activa 3.3. BAINHAS DE PRÉ-ESFORÇO Metálicas Plásticas 3.4. SISTEMAS DE INJECÇÃO Materiais rígidos (ex: calda de cimento) Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras) MÓDULO 1 Pré-Esforço 3

7 4. Efeito do Pré-Esforço O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais. Considere-se a seguinte viga pré-esforçada: pp Apresenta-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada (secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as seguintes situações: A acção do pré-esforço isolado B Acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio) C situação após a aplicação do pré-esforço A B C Mpp = - e P0 - ε + P0 + + ε P0 MÓDULO 1 Pré-Esforço 4

8 5. Pré-dimensionamento de um elemento pré-esforçado 5.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SECÇÃO A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h L 15 a TRAÇADO DO CABO A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das cargas permanentes Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço 1.5 Øbainha 1.5 Øbainha 0.35L a 0.5L L 0.05L a 0.15L Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau) Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do núcleo central da secção O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade da secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários para resistir às forças de ancoragem Notas: i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as bainhas dos cabos de pré-esforço: c min = min (φ bainha ; 0.08 m); MÓDULO 1 Pré-Esforço 5

9 ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de excentricidade máxima; iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que, simplificadamente pode ser obtido pela expressão R min = 3 P u representa a força útil em MN). (onde P u 5.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO ÚTIL O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimada através dos seguintes critérios: Critério do balanceamento das cargas q eq (0.8 a 0.9) q cqp ou, de uma forma mais rigorosa, Critério da limitação da deformação δ pe = (0.8 a 0.9) δ cqp, tal que no final δ total = (1 + ϕ) (δ cqp δ pe ) δ admissível com δ admissível L 500 a L 1000 (dependente da utilização da obra) Critério da descompressão EC2 parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar Tabela 7.1N Valores recomendados para w máx (mm) Classe de exposição Elementos de betão armado ou préesforçado (p.e. não aderente) Elementos de betão pré-esforçado (p.e. aderente) Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções X0, XC XC2, XC3, XC4 0.2 (1) XD1, XD2, 0.3 XS1, XS2, XS3 Descompressão (1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções MÓDULO 1 Pré-Esforço 6

10 A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nas secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zona comprimida e a uma distância de, pelo menos, m ou 0.10 m relativamente à zona traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente. Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracções ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço. MÓDULO 1 Pré-Esforço 7

11 EXERCÍCIO PE1 Considere a viga indicada na figura seguinte. Parábola Parábola Parábola Parábola A B C D Recta e1 = 0.15 e2 = 0.38 e3 e4 = e5 e6 = Secção Transversal da Viga: Propriedades Geométricas da Secção: 1.50 A = 0.61 m I = m Materiais:C30/37 A400NR A1600/1800 (baixa relaxação) Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções: Q q pp + rcp - Cargas permanentes (γ g = 1.35): pp = kn/m; rcp = kn/m - sobrecargas (γ q = 1.5; ψ 1 = 0.6; ψ 2 = 0.4): q = 20 kn/m e Q = 100 kn Nota: q e Q actuam em simultâneo MÓDULO 1 Pré-Esforço 8

12 a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kn. b) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a descompressão para a combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C? c) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a condição σ c < f ctk para combinação frequente de acções nas secções B e C? d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço. f) Qual o valor de P que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P = 0.86 P 0 e P 0 = 0.90 P 0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 f pk. h) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das armaduras). j) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em relação ao estado limite último de flexão. l) Calcule a área de armadura transversal. MÓDULO 1 Pré-Esforço 9

13 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes p cqp = cp + ψ 2 sc = = 38 kn/m Q cpq = ψ 2 Q = = 40 kn Qcqp pcqp R1 R2 DEV [kn] (+) (+) (-) 40.0 DMF [knm] 8.00 (-) (+) Σ M B = 0 R = 0 R 1 = kn R 2 = 38 (20 + 5) = kn 2. Cálculo das tensões na secção B (i) Características geométricas da secção B G 0.38 A = 0.61 m 2 I = m 2 w inf = w sup = I v = inf 0.53 I v = sup 0.37 = m 3 = m 3 MÓDULO 1 Pré-Esforço 10

14 (ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço P / A P x e ω (+) Mcqp ω (-) M cqp (-) + + P (-) (+) σ inf = - P A - P e w inf + M cqp w inf = = 10.2MPa σ sup = - P A + P e w sup - M cqp w sup = = - 9.9MPa ALÍNEA B) 1. Secção B P / A P x e ω MB ω (+) (-) MB (-) + + P (-) (+) σ inf < 0 - P A - P e w P > kn + M B w < 0 - P P < 0 2. Secção C P / A P x e ω MC ω P (-) (+) MC (-) + + (+) (-) σ sup < 0 - P A - P e w P > kn + M C w < 0 - P P < 0 P > kn MÓDULO 1 Pré-Esforço 11

15 ALÍNEA C) 1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente p fr = cp + ψ 1 sc = = 42 kn/m Q fr = ψ 1 Q = = 60 kn Qfr pfr R1 R2 DMF [knm] 8.00 (-) (+) Σ M B = 0 R = 0 R 1 = kn R 2 = 42 (20 + 5) = kn 2. Secção B σ inf < f ctk - P A - P e w + M B w < f ctk - P P < P > kn 3. Secção C σ sup < f ctk - P A - P e w P > 1198,3 kn + M C w < f ctk - P P < P > kn MÓDULO 1 Pré-Esforço 12

16 6. Características dos traçados parabólicos 6.1. EQUAÇÃO DA PARÁBOLA Equação geral da parábola: y = ax 2 + bx + c (para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos) x1 x3 x2 y1 y2 y3 Caso se utilize um referencial local: 1) x y = ax 2 + c (y (0) = 0 b = 0) y 2) y y = ax 2 (y (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0) x Determinação do parâmetro a θ L/2 f L/2 θ tg θ = 2f L/2 = 4f L i) y (- L/2) = 2a L/2 = tg θ a = 4f L 2 ou f ii) y (L/2) = f a L 2 2 = f a = 4f L 2 Determinação da curvatura da parábola 1 R = - y" (L/2) = 2a = 8f L 2 MÓDULO 1 Pré-Esforço 13

17 6.2. DETERMINAÇÃO DO PONTO DE INFLEXÃO ENTRE DOIS TROÇOS PARABÓLICOS f2 e2 e1 f1 L1 L2 O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f 1 L 1 = e 1 + e 2 L 1 + L 2 f 1 = L 1 L 1 + L 2 (e 1 + e 2 ) e f 2 = (e 2 + e 1 ) f DETERMINAÇÃO DO PONTO DE CONCORDÂNCIA TROÇO PARABÓLICO TROÇO RECTO θ f e L1 L2 tg θ = e - f L 1 = e + f L 2 (e f) L 2 = (e + f) L 1 e L 2 f L 2 + f L 1 f L 1 + f L 2 = e L 2 e L 1 f (L 1 + L 2 ) = e (L 2 L 1 ) f = e (L 2 - L 1 ) L 1 + L 2 MÓDULO 1 Pré-Esforço 14

18 7. Cargas equivalentes de pré-esforço A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas cargas equivalentes de pré-esforço ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAÇÃO EM QUE SE APLICA A TENSÃO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES) Forças nas ancoragens; Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão ACÇÕES EXERCIDAS SOBRE O BETÃO Forças nas ancoragens; Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente opostas às que o betão exerce sobre o cabo DETERMINAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES Zona das ancoragens P tgα P α P P e Nota: tg α sen α e cos α 1 MÓDULO 1 Pré-Esforço 15

19 Traçado parabólico Considere-se o seguinte troço infinitésimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o betão exerce sobre este, dβ ds = R dβ dβ ds = 1 R R P dβ 2 + (P + dp) dβ 2 = q* ds P q* ds P+dP P dβ = q* ds q* = P dβ ds P ou q* = R dβ/2 ds Notas: - ângulo muito pequeno sen dβ 2 dβ 2 tg dβ 2 e cos dβ 2 1; - consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio. Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado, β L/2 f f L/2 tg β = dβ 2 = 2 f L/2 = 4 f L (1) ds L (2) A partir de (1) e (2), obtém-se dβ ds = 8 f L 2 q* = 8 f P L Traçado poligonal f β L1 Q* tg β = f L 1 s Q* q* Q* = q* ds = P dβ = P Q* = P tg β f L 1 MÓDULO 1 Pré-Esforço 16

20 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO) ALÍNEA D) Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Parábola 4 Recta e1 = 0.15 e2 = 0.38 e4 = e6 = (i) Parábola x y 0.23 y = ax 2 y(8) = 0.23 a 8 2 = 0.23 a = y(x) = x 2 (ii) Parábola 2 1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão x = 0.6 x x = Determinação da equação da parábola 0.4 y x 8.00 y = ax 2 y (8) = 0.4 a = y (x) = x 2 MÓDULO 1 Pré-Esforço 17

21 (iii) Parábola 3 x 4.00 y 0.2 y = ax 2 y (4) = 0.2 a = y (x) = x 2 (iv) Parábola 4 e troço recto 0.12 y x x y 1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância f f θ 1.0 y (1, 0) = tg θ = 2 f tg θ = f 5 2 f = f 5 10 f = f f = m 2. Determinação das equações da parábola e do troço recto Parábola 4: y (1) = y (x) = x 2 Troço recto: y = mx + b = x y (x) = x ALÍNEA E) 1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P = 1000 kn) q = 8 f P L 2 Parábola f [m] L [m] q [kn/m] MÓDULO 1 Pré-Esforço 18

22 2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo Extremidade Esquerda tg α = y (8) = = P tg α = 57.5 kn P e = = knm Extremidade Direita tg α = y (1) = P tg α = 26.7 kn P e = = knm 1000 kn knm 57.5 kn 7.2 kn/m kn/m kn/m 26.6 kn/m knm 1000 kn 26.7 kn como curiosidade, Σ F eq = MÓDULO 1 Pré-Esforço 19

23 ALÍNEA F) 1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quasepermanentes Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão do tramo apoiado é dada por: δ = 1 EI 5pL L2 16 ( M ) 1 + M 2 onde M 1 e M 2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais. Deste modo, 1 δ = ( ) = m 2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P = 1000 kn (cargas equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada: δ = m 3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes δ pe = 0.8 δ cqp = = m P = /0.010 = 3000 kn MÓDULO 1 Pré-Esforço 20

24 8. Valor da força de pré-esforço 8.1. FORÇA MÁXIMA DE TENSIONAMENTO De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela seguinte expressão P máx = A p σ p,máx onde, σ p,máx = min (0.8 f pk ; 0.9 f p0,1k ) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO Perdas instantâneas (8% 15%) Pós-tensão Perdas por atrito Perdas por reentrada de cabos Perdas por deformação instantânea do betão Pré-tensão Relaxação da armadura até à betonagem Escorregamento nas zonas de amarração Deformação instantânea do betão Perdas diferidas (12% 15%) Perdas por retracção do betão Perdas por fluência do betão Perdas por relaxação da armadura 8% 15% P 0 ( força de tensionamento) 12% 15% P 0 P P 0 força de pré-esforço após perdas imediatas P força de pré-esforço útil ou a tempo infinito MÓDULO 1 Pré-Esforço 21

25 Perdas por Atrito dβ P q* ds P+dP (F a = µn) q* ds = P dβ dβ/2 µ q* ds = µ P dβ ds Por equilíbrio de forças horizontais, P P dp µ P dβ = 0 dp = µ P dβ dp P = µ dβ P 0 1 P dp = β - µ dβ Log P0 - Log P 0 ' = - µ β Log P 0 P 0' 0 P 0 ' = µβ P 0 P 0 ' = e -µβ P 0 = P 0 e -µβ Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento, P 0 (x) = P 0 e -µ(β+kx) onde, µ representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20); β representa a soma dos ângulos de desvio; k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m -1 ; geralmente a 0.005m -1 ), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pré-esforço. Esta expressão também pode aparecer com a forma, -(µβ + k x) P 0 (x) = P 0 e (neste caso k = kµ) MÓDULO 1 Pré-Esforço 22

26 Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) P P0' P P0(x) ω L x L comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm) ω comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante), L = ω ε dx = ω σ 0 0 E p dx = 1 E p A p 0 ω P dx A diagrama = L E p A p P ω 2 = L E p A p (1) Como P 2 = p ω P = 2 p ω (2) onde p representa a perda de tensão por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtém-se, 2 p ω ω 2 = L E p A p ω = L E p A p p Casos particulares (i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.) P P0' P L Ep Ap P L = L E p A p P = L E p A p L L x L comprimento do cabo MÓDULO 1 Pré-Esforço 23

27 (ii) Se ω > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de préesforço mais condicionante) P P P0' L Ep Ap p L P L p L L= L E p A p P = L L E p A p + p L L x L comprimento do cabo Perdas por deformação instantânea do betão A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão: P el = A p E p j σ c (t) E cm (t) onde, E cm (t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do préesforço; j = (n-1) / 2n, onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal; σ c (t) representa a tensão no betão, ao nível do centro de gravidade dos cabos de pré-esforço, para a totalidade do efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço L L L = ε dz = 0 0 P A p E dz = 1 L p A p E P dz p 0 Papós atrito [kn] P0' Papós at. (L) L P 0' + P após atrito (L) 2 A p E p L Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos. L x [m] MÓDULO 1 Pré-Esforço 24

28 ALÍNEA G) P = kn (valor resultante da verificação da descompressão) P P 0 = 0.86 = = kn P 0 = P = = kn P 0 ' = 0.75 F pk A p = nº de cordões = P 0 ' = 27.4 cm 2 A p A cordão = = 20 cordões 2 cabos de 10 cordões de 0.6" P 0 = = 3780 kn ALÍNEA H) 1. Cálculo das perdas por atrito P 0 (x) = P 0 e -µ (β + kx) (Adopta-se µ = 0.20 e k = 0.004) Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta e1 = 0.15 e2 = 0.38 e3 = e4 = e5 = e6 = Cálculo dos ângulos de desvio (i) Parábola 1 y (8) = = (ii) Parábola 2 y (8) = = 0.1 MÓDULO 1 Pré-Esforço 25

29 (iii) Parábola 3 y (4) = = 0.1 (iv) Parábola 4 y (1) = = Secção x [m] β [rad] P após atrito [kn] % perdas Cálculo das perdas por reentrada das cunhas (i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas (ω) 1ª Iteração Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito x = 8.0m p = = 8.39 kn/m ω = L E p A p P = = 19.8 m MÓDULO 1 Pré-Esforço 26

30 2ª Iteração x = 20.0m p = = kn/m (admitindo que a perda por atrito é aproximadamente linear) ω = = 16.3 m (ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas (ω) P = 2pω = = kn x x = = x = kn x = 7.4 kn Secção x [m] P após atrito [kn] P reentrada [kn] P após reentrada [kn] % perdas MÓDULO 1 Pré-Esforço 27

31 3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias, E cm (t = 28) = 32 GPa ; E p = 195 GPa P el = A p E p j σ c (t) E cm (t) = A p E p n - 1 2n σ c(t) E cm (t) Secção M pp = 656 knm M pp M pe = P e = = knm Mpp v I (-) P / A Mpe v I (+) + (-) + (+) (-) σ c = M pp v I - P A - M pe v I = = MPa P el = =45.6 kn P 0 (secção 2) = = kn % perdas 8.4% 3. Cálculo do alongamento teórico dos cabos L = 1 A p E p 0 L P dx = 0.167m MÓDULO 1 Pré-Esforço 28

32 Perdas por retracção do betão σ = E p ε cs P A p = E p ε cs P = E p A p ε cs ε cs extensão de retracção do betão ( ) Perdas por fluência do betão ε c = σ c ϕ c E cm σ = E p ε c P A p = E p σ c ϕ c E cm P = A p E p σ c ϕ c E cm σ c tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas) Perdas por relaxação da armadura Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da ordem de: Aços de relaxação normal P < 15% Aços de baixa relaxação P < 6% Aços de muito baixa relaxação P = 2 a 4% Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta resistência agrupam-se em três classes: Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal (ρ 1000 = 8%) Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação (ρ 1000 = 2.5%) Classe 3: aço em barra (ρ 1000 = 4%) O parâmetro ρ 1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20 C. MÓDULO 1 Pré-Esforço 29

33 A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões, consoante a classe da armadura: (i) Classe 1: σ pr = ρ 1000 e 6.7µ t 1000 (ii) Classe 2: σ pr = ρ 1000 e 9.1µ t 1000 (iii) Classe 3: σ pr = ρ 1000 e 8µ t (1-µ) 0.75 (1-µ) 0.75 (1-µ) σ pi 10-5 σ pi 10-5 σ pi 10-5 onde, σ pi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas imediatas; t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pré-esforço por relaxação (poderá considerar-se t = horas 57 anos); µ = σ pi / f pk MÓDULO 1 Pré-Esforço 30

34 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA I) 1. Perdas por retracção do betão Considerando ε cs = , P = E p A p ε cs = = kn 2. Perdas por fluência do betão Secção 2 Considerando ϕ c = 2.5 P = A p E p σ c ϕ c E cm = = 250 kn Cálculo de σ c =30 M cp = 1290 knm Mcp M pe = = knm σ c = M cp v I - P A - M pe v I = = MPa 3. Perdas por relaxação das armaduras Secção 2 Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, ρ 1000 = 2.5%. σ pr = ρ 1000 e 9.1µ t 1000 = e (1-µ) σ pi 10-5 = 0.75 (1-0.69) = 36.9 MPa MÓDULO 1 Pré-Esforço 31

35 σ pi = = MPa µ = σ pi f pk = = 0.69 P pr = = kn P p,r+s+c = = kn P secção 2 = = kn % perdas diferidas 13.4% MÓDULO 1 Pré-Esforço 32

36 9. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos 9.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO Pelo método do diagrama rectangular simplificado, M sd = γ g M g + γ q M q 0.85fcd x LN 0.8x Fc F c = 0.85 f cd 0.8 x b b Ap As Msd Fs Fp F p = A p f pyd = A p f p0,1k 1.15 F s = A s f yd Através das equações de equilíbrio, (i) Equilíbrio de momentos (Σ M As = M sd x =...) (ii) Equilíbrio de forças (Σ F = 0 F c = F p + F s A s =...) Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensões na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de cálculo. Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo f pyd, será necessário adoptar um método iterativo (método geral) εc σc (εc) x LN M N Ap εp εp0 σp (εp0 + εp) b As εs σs (εs) Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Então M = M Rd. Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) f pyd = σ p = P A p MÓDULO 1 Pré-Esforço 33

37 9.2. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ESFORÇO TRANSVERSO (i) Cálculo da armadura transversal: A sw s = V sd - P sen α z cotg θ f yd (ii) Verificação da tensão de compressão: σ c = V sd - P sen α z b w sen θ cos θ 0.6 f cd (iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no apoio A s f yd V cotg θ 1 ) Notas: Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) θ 20 a 26 ; Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros das bainhas. MÓDULO 1 Pré-Esforço 34

38 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) ALÍNEA J) p sd = 1.35 ( ) = 70.5 kn/m Q sd = = 150 kn A C 5.00 R1 R2 Σ M C = 0 - R = 0 R 1 = kn M B = knm Secção B 1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular Hipótese: LN no banzo da secção 1.50 LN 0.8x 0.85fcd Fc Msd Fp Fs F p = A p f p0,1k 1.15 = = kn F s = A s f yd = A s F c = x = 20400x (i) Equilíbrio de momentos (Σ M As = M sd ) F c ( x) F sp 0.11 = M sd 20400x ( x) = x = 0.199m F c = = kn MÓDULO 1 Pré-Esforço 35

39 (ii) Equilíbrio de forças (Σ F = 0) F c F sp F s = A s = 0 A s = 4.71 cm 2 (iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras LN εc εp εp0 εs Hipótese: ε c = 3.5 Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias ε s = ε s = 11.4 Como ε s, máx = 10 ε s = 10 e ε c < = ε c ε c = 3.06 Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço ε p = ε p = 8.5 ε p0 = P A p E = p = 5.5 ε p = ε p0 + ε p = 14.0 > ε pyd = f pyd E p = 1600 / = Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado) Hipótese: d eq d p = 0.75 µ = M sd b d 2 f cd = = ω = ; A s,tot = cm 2 A s = A s,tot A sp, eq = = 5.3 cm 2 d eq = 0.755m MÓDULO 1 Pré-Esforço 36

40 ALÍNEA L) DEV [kn] (+) (+) 150 (-) DEVp [kn] (-) (+) (-) DEVtotal [kn] (+) (+) (-) Notas: - O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido considerando P = kn; - Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEV total Apoio A θ = 25 z cotg θ = cotg 25 = 1.64m V sd (z cotg θ) = = kn Considerando um cabo cuja bainha tem 100 mm de diâmetro, φ bainha b alma 8 = = m b w = / 2 = 0.25 m 1. Cálculo da armadura transversal A sw s = V sd z cotg θ f yd = = 6.6 cm 2 /m MÓDULO 1 Pré-Esforço 37

41 2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas σ c = V sd z b w sen θ cos θ = sen 25 cos 25 = kn/m2 5.1 MPa 0.6 f cd = = kn/m 2 = 12MPa < 0.6 f cd MÓDULO 1 Pré-Esforço 38

42 10. Verificação da segurança nas zonas das ancoragens Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placa de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona, devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nas direcções transversais. Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitar as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorção das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESMAGAMENTO DO BETÃO Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmo esteja correctamente confinado. De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicada com uma distribuição uniforme numa determinada área A c0, pode ser determinado através da expressão: A c1 F Rdu = A c0 f cd A 3.3 f cd A c0 c0 onde, A c0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa de ancoragem); A c1 representa a maior área homotética a A c0, contida no contorno da peça, com o mesmo centro de gravidade de A c0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder em três vezes a dimensão dos lados correspondentes de A c0. No caso da existência de várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não se devem sobrepor. MÓDULO 1 Pré-Esforço 39

43 Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a idade de 28 dias, o valor de f cd deve ser substituído por f ck,j / γ c, representando f ck,j o valor característico da tensão de rotura à compressão aos j dias DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS DE REFORÇO NA ZONA DAS ANCORAGENS De acordo com o parágrafo do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgem devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de escoras e tirantes. A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhação, e tem em conta a dificuldade de garantir uma boa amarração Modelos de escoras e tirantes Os modelos de escoras e tirantes ( strut-and-tie models ) identificam os campos de tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aos campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção. Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade, como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicação de cargas localizadas). Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zona estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energia de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e, consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo. MÓDULO 1 Pré-Esforço 40

44 Tensões de tracção a absorver Caso de uma só ancoragem Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter o valor da força de tracção. P/2 P/2 P/2 P/2 De acordo com o REBAP (artigo 140º), a força de tracção para a qual as armaduras devem ser dimensionadas, é dada pela expressão: F t1sd = 0.3 F Sd 1 - a 0 a (com F 1 Sd = 1.35 P 0 ) onde, a 1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distância entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão; a 0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem Disposição das armaduras As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a 1 e ser repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a 1 e a 1, tendo em consideração que a resultante se situa à cota 0.4a 1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a 1. F a1 b a0 0.1a1 a1 MÓDULO 1 Pré-Esforço 41

45 A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno da peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal à direcção considerada. No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à superfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força de tracção, como em baixo se ilustra Ft = Fc2 Fc2 e Fc1 = P P O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão: F t0sd = F e Sd a (com F Sd = 1.35 P 0 ) Caso de várias ancoragens Ancoragens muito próximas Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma só ancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve no entanto verificar-se a segurança para a actuação de cada força, isoladamente. As áreas de influência a considerar são as seguintes: F área de influência para uma ancoragem individual F F área de influência do grupo de ancoragens MÓDULO 1 Pré-Esforço 42

46 Ancoragens muito afastadas No caso de duas forças concentradas afastadas entre si de uma distância superior à distância entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de tensões normais, surgem forças de tracção junto à face de aplicação das cargas, como se indica: P P P P Deste modo, além das armaduras necessárias para cada ancoragem individual, deve dispor-se uma armadura junto à face do elemento, na direcção em causa, destinada a absorver uma força de tracção igual a 0.2P. É de notar que desde que existam vários cabos, estes não são pré-esforçados simultaneamente, variando os esforços locais ao longo das operações de pré-esforço. O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforços momentâneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta que podem existir estados provisórios mais desfavoráveis do que o que surge no sistema final Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas Ancoragens interiores No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás mencionadas, surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da deformação local do betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação entre a dimensão da zona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados. MÓDULO 1 Pré-Esforço 43

47 Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente da ancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a experiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a P/4 pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui, diminuindo também a tensão instalada. Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção. CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL Forças de desvio Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiais no betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de curvatura e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o raio de curvatura. Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão. Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura provoque forças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar armadura transversal para a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem, como se indica na planta abaixo. MÓDULO 1 Pré-Esforço 44

48 Disposições Construtivas Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição de armaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estas armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a dispersão dos efeitos localizados. A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais ramos, como se exemplifica a seguir. PORMENOR TRANSVERSAL PORMENOR LONGITUDINAL MÓDULO 1 Pré-Esforço 45

49 No caso em que a carga actue fora do núcleo central, as armaduras dimensionadas para este efeito devem ser dispostas junto à face do betão ao longo de toda a sua dimensão e convenientemente amarradas, com a disposição indicada. PORMENOR LONGITUDINAL PORMENOR TRANSVERSAL MÓDULO 1 Pré-Esforço 46