ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PRIMEIRAS REFLEXÕES À LUZ DE UMA REVISÃO DE LITERATURA

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1 ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PRIMEIRAS REFLEXÕES À LUZ DE UMA REVISÃO DE LITERATURA Miriam Criez Nóbrega Ferreira Universidade Federal do ABC, UFABC. ( Alessandro Jacques Ribeiro Universidade Federal do ABC, UFABC. ( Resumo Este trabalho está sendo desenvolvido no âmbito de pesquisa de mestrado sob o tema Formação de professores que ensinam matemática nos anos iniciais e está incluído no projeto Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais, vinculado ao Programa Observatório da Educação (Obeduc), financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), sob coordenação do segundo autor dessa comunicação. Ainda em fase de desenvolvimento, nossa pesquisa tem por objetivo investigar os conhecimentos profissionais dos professores que ensinam matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, tematizando a Álgebra, no que se refere aos números, as operações e as suas propriedades. Neste trabalho, de caráter bibliográfico, apresentamos uma revisão de literatura sobre o pensamento algébrico, a qual deverá sustentar o desenvolvimento de atividades matemáticas na/para a formação de professores que ensinam matemática nos anos iniciais, atividades estas que deverão compor as próximas fases de nossa pesquisa. Procuramos, neste texto, discorrer sobre a diferenciação entre aritmética e álgebra e as diferentes compreensões do que se entende por pensamento algébrico. Dentre os principais resultados e conclusões que emergem de nossa revisão de literatura, destacamos a existência de pesquisas, nacionais e internacionais, que demonstram que os alunos já têm condições/habilidades de pensar algebricamente desde pequenos, ainda que não consigam operar simbolicamente, e, portanto, podem estar sujeitos a intervenções que os levem ao desenvolvimento desta forma de pensar. Observamos ainda que, dentre os autores por nós estudados, vários apresentam em comum uma preocupação com um ensino que conduza os alunos a dar um maior significado à sua aprendizagem em álgebra. Por fim, indicamos que, a partir das conclusões provenientes desta revisão da literatura, desenvolveremos nossa investigação a qual tem como foco o desenvolvimento profissional do professor, investigando seus conhecimentos sobre a álgebra nos anos iniciais, tomando como lentes teóricas de nossas análises, os estudos de Lee Shulmann e Deborah Ball. Palavras-chave: Álgebra nos anos iniciais. Pensamento algébrico. Formação de professores nos anos iniciais. Álgebra nos anos iniciais: iniciando nossa conversa Os programas curriculares de matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental e em seus correspondentes livros didáticos iniciam o trabalho com a

2 2 matemática a partir do sistema de numeração decimal, passando para as operações, geralmente obedecendo a ordem, adição, subtração, multiplicação e divisão utilizando-se, muitas vezes, a resolução de problemas como meio para permear os diferentes anos/ciclos e finalizando com as frações e os números decimais. Dentro do tema números e operações, cabe ao professor dos anos iniciais desenvolver os aspectos que envolvem a aritmética, para então, só a partir daí, no terceiro ciclo do Ensino Fundamental, começar o ensino formal da álgebra (BRASIL, 1998). Em entrevista concedida à Revista Nova Escola (2009), Barbara Brizuela, pesquisadora argentina, radicada há 15 anos nos Estados Unidos e docente da Faculdade de Educação da Universidade de Tufts, em Boston, afirma que muitos alunos têm problemas com Matemática quando chegam aos 13 ou 14 anos, e que a deficiência pode não ser deles, mas sim, estar relacionada à forma como estamos conduzindo o ensino da álgebra. É neste sentido que a referida pesquisadora sugere que, ensinar álgebra nos primeiros anos da escolaridade não é precoce, as crianças pequenas não sabem falar e, nem por isso, os adultos deixam de conversar com elas. Elas não escrevem e não leem, mas sabe-se que é preciso ler para elas e deixar que tentem escrever (BRIZUELA, 2009). Antes de nos aprofundarmos na questão acima apresentada, que seja, sobre a viabilidade do ensino da álgebra nos anos iniciais, vamos nos deter em algumas perguntas que são importantes para o desenvolvimento de nosso trabalho: a atividade algébrica pode acontecer conjuntamente com a aritmética, ainda que a linguagem simbólica algébrica não esteja presente? Como diferentes autores compreendem o pensamento algébrico? Como fazer a disposição da álgebra e da aritmética no currículo? Aritmética e álgebra: alguns limites de uma diferenciação Com as referidas questões em mãos, iniciamos nossa jornada, retomando uma discussão que permanece na comunidade de educadores matemáticos há tempos: não é clara uma distinção entre aritmética e álgebra se é que ela existe! Assim sendo, entendemos ser fundamental abordar tal discussão em nosso trabalho. Iniciamos nossas discussões com Lins e Gimenez (2001) que, na introdução do livro Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI, consideram não existir nada mais enraizado na comunidade de educadores matemáticos do que a ideia de que aprender aritmética deve vir antes de aprender álgebra e, tal cisão, faz parte também de

3 3 nosso imaginário como alunos que fomos, e professores que somos. E para incentivar a existência de mais investigações sobre o assunto, esses mesmos autores lançam um desafio: O que precisamos fazer é entender de que modo álgebra e aritmética se ligam, o que elas têm em comum. Feito isso, teremos encontrado uma verdadeira raiz, o que nos permitirá repensar a educação aritmética e algébrica de forma única (LINS e GIMENEZ, 2001, p. 113). Colaborando com as reflexões sobre esta (possível) diferenciação, Carraher, Schliemann, Brizuela e Earnest (2006), pesquisadores que demonstram a viabilidade de se trabalhar com a álgebra nos anos iniciais, ao tentar entender melhor o porquê da diferenciação entre álgebra e aritmética, apresentam duas justificativas para o início do ensino desta última ser anterior à primeira. Um primeiro aspecto se refere à natureza do próprio conteúdo matemático e, um segundo, está relacionado às restrições do desenvolvimento cognitivo do aluno. Com relação à natureza da matemática, os autores fazem referência à história, uma vez que no desenvolvimento da matemática, a álgebra surge historicamente após a aritmética e neste sentido pode-se abstrair que esta última precederia o ensino da álgebra, à semelhança do processo histórico. Segundo os autores, o fato da álgebra emergir historicamente após a aritmética e como uma generalização desta, sugere para muitas pessoas que a álgebra deve vir em seguida da aritmética no currículo (CARRAHER, SCHLIEMANN, BRIZUELA E EARNEST, 2006, p. 89). Ainda discutindo a distinção entre aritmética e álgebra, os autores acima apresentam que, dentro da história da matemática, ficou evidenciada uma clara demarcação que resultou em uma tensão entre estas duas áreas da matemática, uma vez que, enquanto a aritmética trata das operações que envolvem números em particular, a álgebra trata com números generalizados, variáveis e funções. Além disso, os autores apontam que, enquanto nos anos iniciais trabalha-se com fatos numéricos, fluência no cálculo e situações-problema envolvendo valores particulares, mais tarde, na continuidade de seus estudos, os alunos utilizarão as letras para significar qualquer número ou conjunto de números (CARRAHER, et al, 2006, p. 89). Provavelmente, ao se questionar sobre o porquê da álgebra não estar presente no currículo dos anos iniciais, o leitor mesmo poderia responder que os alunos não têm condições cognitivas para entendê-la, e, portanto, não poderia ser ensinada antes. Destacamos que Carraher, et al, (2006), enfatizam que a álgebra tem sido pensada em

4 4 algumas circunstâncias como, inapropriada para os alunos pequenos, estando bem além de suas capacidades, muito embora estes autores não concordem com esta afirmação. Filloy e Rojano (1989, apud CARRAHER, et al, 2006) colocam que o pensamento aritmético evolui muito lentamente do concreto para o abstrato para o pensamento algébrico e que existe um ponto de corte separando um tipo de pensamento do outro. Em suas discussões, Filloy e Rojano se referem a este corte como uma quebra no desenvolvimento das operações. No mesmo sentido, Herscovics e Linchevski (1994, apud CARRAHER, et al, 2006) sugerem a existência de uma lacuna entre a álgebra e a aritmética a qual é caracterizada como uma inabilidade dos alunos para operar espontaneamente com ou sobre as incógnitas. Apesar de esses autores reconhecerem que as crianças pequenas rotineiramente resolvem problemas que contem termos desconhecidos (p.e. 5 +? = 8), esses autores argumentam que os alunos resolvem tais problemas sem ter que representar ou operar sobre as incógnitas. Em vez disso, os alunos simplesmente usam procedimentos de contagem ou a operação inversa para chegar aos resultados. Embora alguns autores tenham considerado o uso de operações inversas como uma evidência da manifestação do pensamento algébrico, outros têm considerado estes procedimentos como meramente pré-algébrico, ainda dentro de um pensamento aritmético. Na busca da diferenciação dos problemas algébricos e aritméticos, Sá e Fossa (2008), ao contrário dos argumentos de Herscovics e Linchevski (1994), definem um problema algébrico como sendo... aquele em que, na sua resolução operacional, são usadas de maneira explícita ou implícita as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade. (SÁ e FOSSA, 2008, p. 270), ou seja, quando a pergunta do problema não está isolada e onde o sinal de igualdade tem a função de equilíbrio entre as partes. (TRIVILIN e RIBEIRO, 2015 trazem discussão semelhante, no que tange aos conhecimentos dos professores). Por outro lado, para definir um problema aritmético, Sá e Fossa (2008) apontam como sendo... aquele problema que, em sua resolução operacional, não são usadas de maneira implícita ou explícita as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade (p. 269). Em outras palavras, um problema pode ser entendido como aritmético quando a sua pergunta está localizada após o sinal de igualdade, sendo assim o sinal de igualdade tem o significado apenas operacional (TRIVILIN e RIBEIRO, 2015). Outro trabalho que achamos essencial discutir é o de Blanton e Kaput (2005), no qual os autores apontam a aritmética como uma das formas do pensamento algébrico,

5 5 quando essa expressa e formaliza as generalizações (aritmética generalizada), referindose ao raciocínio sobre as operações e as propriedades associadas aos números. Segundo Canavarro (2007), observa-se que existe uma relação intrínseca entre álgebra e aritmética: É a partir da estrutura da Aritmética que se podem construir os aspectos sintáticos da Álgebra, o que implica analisar as expressões aritméticas não em termos do valor numérico obtido através do cálculo, mas em termos da sua forma (por exemplo, concluir que = não porque ambos constituem 41, mas porque na adição a ordem das parcelas é indiferente). (CANAVARRO, 2007, p. 89) Como pudemos ver, existem conceituações diferenciadas para a tênue linha se é que ela existe que separa a aritmética e a álgebra. Mas, pelo que pudemos perceber, as pesquisas mais recentes, assim como o nosso entendimento da questão, indicam para uma associação destas duas área da matemática, integração essa que pode colabor para uma maior compreensão, por parte do aluno, da estrutura que sustenta o fazer matemático. Ainda tentando seguir a provocação de Lins e Gimenez (2001), que nos sugere ir além desta diferenciação, buscando o que existe de comum entre elas, agregaremos à nossa discussão algo que pode fazer parte tanto da aritmética quanto da álgebra: o pensamento algébrico. O que é o pensamento algébrico? O que é pensar algebricamente? Após trazermos algumas reflexões acerca do que é aritmética e do que é álgebra, entendemos ser essencial nos debruçarmos agora, em torno de outra questão bastante controversa, mas muito instigante: o pensamento algébrico. Fundamentados em nossa revisão de literatura podemos afirmar, seguramente, que não existe uma visão única na comunidade de educadores matemáticos com respeito ao que significa o pensamento algébrico, o pensar algebricamente. Canavarro (2007) salienta que o conceito de pensamento algébrico é diferente da visão geral tradicional prevalecente da álgebra, a qual é derivada do ensino escolar de décadas: A Álgebra escolar tem estado associada à manipulação dos símbolos e à reprodução de regras operatórias, tantas vezes aplicadas mecanicamente e sem compreensão, parecendo os símbolos terem adquirido um estatuto de primazia per si (CANAVARRO, 2007, p. 88). Para esta autora, o pensamento algébrico apresenta dois

6 6 aspectos relevantes: a consideração de outras linguagens que não somente as letras e a ênfase nos significados e na compreensão. Outra contribuição importante para nossas discussões, acerca do pensamento algébrico, está o trabalho de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), os quais, ao se referirem a uma situação-problema na qual o enunciado é tipicamente de uma situação algébrica, alertam que não é só porque o enunciado traz aspectos deste campo conceitual, que o modo de resolução se dará por meio do pensamento algébrico: De fato, caso essa resolução ocorresse pelo método de tentativas, não poderíamos, a rigor, caracterizá-la como algébrica. Por outro lado, se o plano de resolução prever, de forma retórica ou simbólica, operações com quantidades incógnitas e o emprego de leis aritméticas que legitimem as transformações entre os membros de uma igualdade, então, seguramente, os elementos do pensamento algébrico deverão aí se manifestar. (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p. 88) Podemos abstrair destas colocações que a diferenciação entre aritmética e álgebra, para além de sua objetivação, reside no percurso cognitivo que o aluno desenvolve para realizar determinada tarefa, ou seja, é uma ação do sujeito sobre o objeto. Ao pensar como se desenvolve o pensamento algébrico dos alunos nos anos iniciais de escolaridade, Blanton e Kaput (2005) o definem como: um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas de um conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio do discurso de argumentação, e expressam-nas, cada vez mais, em caminhos formais e apropriados à sua idade (p.413). Semelhante à conceituação de Blanton e Kaput (2005), no que tange ao aspecto da generalização, Cyrino e Oliveira (2011, p. 103) significam o pensamento algébrico, como um modo de descrever significados atribuídos aos objetos da álgebra, às relações existentes entre eles, à modelação, e à resolução de problemas no contexto de generalização destes objetos. Já para Carraher e Schliemann (2014), o pensamento algébrico pode ser compreendido como a combinação entre a operação com incógnitas, o pensamento com variáveis e suas relações, e as estruturas algébricas. Eles ressaltam ainda que, os alunos podem pensar algebricamente mesmo sem usar a notação algébrica.

7 7 Em outro trabalho, o qual tematiza os currículos de matemática e o ensino de álgebra, Kieran (2004) analisa a categorização da álgebra escolar dos currículos de alguns países com o objetivo de buscar semelhanças entre eles. Em suas conclusões, ela aponta para a possibilidade de haver um quadro comum que considere o pensamento algébrico nos primeiros anos, compartilhado não somente dentro do currículo dos anos iniciais, mas também entre os anos iniciais e os anos posteriores. Considerando este quadro comum, o qual traz atividades que a autora chama de meta nível (tradução nossa), ela apresenta a sua definição de pensamento algébrico para os anos iniciais: O pensamento algébrico nos anos iniciais envolve o desenvolvimento de formas de pensar dentro de atividades para as quais a letra-símbolo pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivos de álgebra, tais como, analisar as relações entre quantidades, perceber as estruturas, estudar as mudanças, generalizando, resolução de problemas, modelagem, justificando, provando, e prevendo (KIERAN, 2004, p. 149, tradução nossa). Aqui, Kieran, à semelhança de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), também coloca que o pensamento algébrico é uma forma de desenvolver um tipo de pensamento, e neste sentido, pode ou não estar presente em atividades didáticas consideradas como algébricas. Em uma última definição de pensamento algébrico, Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), defendem que o seu desenvolvimento deva ocorrer desde os anos iniciais do ensino fundamental, mesmo sem a estruturação de uma linguagem algébrica simbólica, sendo considerado como pensamento algébrico quando o aluno: [...] estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema; produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente, produz vários significados para uma mesma expressão numérica; interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; transforma uma expressão aritmética em outra mais simples; desenvolve algum tipo de processo de generalização; percebe e tenta expressar regularidades ou invariâncias; desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente [...] (FIORENTINI, FERNANDES E CRISTÓVÃO, 2005, p. 5) Diante de todas as discussões, reflexões e caracterizações acima apresentadas, podemos verificar que, para além das diferenças entre álgebra e aritmética, existem

8 8 semelhanças e, entre elas, está o entendimento do pensamento algébrico como uma forma de estruturação do pensamento, a qual pressupõe a generalização de situações particulares à ideias gerais que constituem as operações e suas propriedades. Em síntese, segundo vários autores por nós investigados, e ratificando a nossa própria compreensão: A generalização está no coração do pensamento algébrico (SCHLIEMANN, CARRAHER e BRIZUELA, 2007, p.12). Reflexões finais: por que álgebra nos anos iniciais? Nesta investigação procuramos trazer elementos que nos ajudasse a pensar a viabilidade do trabalho com a álgebra nos anos iniciais. Para tanto fizemos uma breve apresentação de algumas compreensões do que se entende por aritmética e por álgebra, e as possíveis relações entre estas duas áreas da matemática. Trouxemos também alguns autores que discutem o pensamento algébrico. Rompendo com o senso comum e com o currículo que prevê o ensino da álgebra apenas nos anos finais do Ensino Fundamental e, a partir do estudo de literatura, ora realizado, consideramos que álgebra e o pensamento algébrico devem estar presentes nas aulas dos alunos que frequentam as classes dos anos iniciais. Os estudos realizados com os alunos menores (BLANTON e KAPUT, 2005; BRIZUELLA e SCHLIEMANN, 2004; CANAVARRO, 2007; CYRINO e OLIVEIRA, 2011; CARRAHER et al, 2006; RUSSELL, SCHIFTER, e BASTABLE, 2011; SCHLIEMANN, CARRAHER, e BRIZUELA, 2007; SILVA e SAVIOLI, 2012) demonstram que eles já têm condições/habilidades de pensar algebricamente desde pequenos, ainda que não consigam operar simbolicamente. Considerando, portanto, que os alunos são capazes de operar mentalmente dentro de uma perspectiva do pensar algébrico, e, sendo assim, podem estar sujeitos a intervenções que os levem ao desenvolvimento desta forma de pensar, traçamos nosso trabalho dentro de uma proposta de trabalho na qual a educação aritmética e a educação algébrica possam ser desenvolvidas, ainda que sem o uso da notação algébrica, de forma única e não fragmentada, já nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Entretanto, e aí situa-se a nossa região de inquérito, para que tal abordagem seja, de fato, levada para as escolas e para as salas de aula, precisamos investigar se e como os professores que ensinam matemática nos anos iniciais compreendem, do ponto de vista da álgebra, o ensino de números, operações e suas propriedades. É nesta temática que nossa pesquisa de mestrado vem sendo desenvolvida.

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