Curso Wellington Matemática Progressões Geométricas Prof Hilton Franco

Transcrição

1 . Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$,00, R$,00, R$,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$.08,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 0 =.0, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de a).97,50. b) 9.,00. c) ,00. d) ,00. e).660,00.. Em uma Progressão Geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo do primeiro termo e na qual, o quarto termo é igual a 6875, é correto afirmar que a) o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo. b) a soma dos três primeiros termos é igual a vezes o primeiro termo. c) o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do primeiro termo. d) a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 5 vezes o segundo termo. e) os termos também estão em progressão aritmética. 3. O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência n ( ) n a = 3, com n *, é a). 7 b). 8 c). 3 d). 7 e). 8. Um colégio promoveu uma Olimpíada Interna de Matemática cuja prova consistiu de dez questões, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e que foram pontuadas de acordo com as seguintes regras: a cada questão não resolvida, resolvida de forma parcial ou totalmente incorreta foi atribuído valor 0; à resolução correta da questão um foi atribuído o valor ; à resolução correta da questão dois foi atribuído o valor ; à resolução correta da questão três foi atribuído o valor ; à resolução correta da questão quatro foi atribuído o valor 8, e assim sucessivamente, até a questão dez. Nessas condições, pode-se afirmar que um participante da Olimpíada que obteve um total de 3 pontos resolveu corretamente a) seis questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar. b) seis questões, das quais apenas uma é de numeração par. c) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar. d) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração par. e) três questões de numeração par e três questões de numeração ímpar Considere a equação algébrica ( ) k= k k x a = 0. Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a, a, a 3) é uma progressão geométrica com a = e soma 6, pode-se afirmar que Página de

2 a) a soma de todas as raízes é 5. b) o produto de todas as raízes é. c) a única raiz real é maior que zero. d) a soma das raízes não reais é 0. e) todas as raízes são reais. 6. Não sendo paga quantia alguma relativa a um empréstimo feito por uma pessoa, serão a ele incorporados juros compostos de,5% a.m. Assim, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma progressão a) aritmética de razão 0,5. b) geométrica de razão,05. c) aritmética de razão,05. d) geométrica de razão 0,5. e) aritmética de razão, Observe a sequência de figuras ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 6 cm. A área do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, é igual a a). 6 b). c). d). e) Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do terceiro número, obteremos uma progressão aritmética cuja soma dos termos é a) 6. b) 8. c). d). e) Se a e b são números reais positivos tais que a sequência (a, 6, b) é uma progressão aritmética e a sequência (a,, b) é uma progressão geométrica, então o produto de a e b é: a) 6. b) 0. c). d) 66. Página de

3 e) nda. 0. De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos ponto P,P,...,P,i i. Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas algumas árvores nos pontos A,A,...,A j, j. Sabe-se que: - PP - PP i = 3 dam = 63 dam - ( P P,PP 3,... ) é uma progressão aritmética finita de razão 3. A A = P P - j i - ( AA, AA 3,... ) é uma progressão geométrica finita de razão. - i = j Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvores consecutivas é, em dam, igual a a) 63 b) 3 c) 8 d) 6. Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesse R$ 00,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesse R$ 50,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos. Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento, você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberia todo o dinheiro? a) b) 6 c) 8 d) 0 e). A sequência de termos positivos (a, a, a 3,... a n,...) é uma progressão geométrica de razão igual a q. Podemos afirmar que a sequência (loga, loga, loga 3,... loga n...) é: a) Uma progressão aritmética de razão q. b) Uma progressão geométrica de razão q. c) Uma progressão aritmética de razão log q. d) Uma progressão geométrica de razão log q. e) Uma progressão aritmética de razão (loga - log q ). 3. Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é a) 80 b) 5 c) 5 d) 03 e) 0 Página 3 de

4 . A natureza tem sua própria maneira de manter o equilíbrio. Se uma comunidade fica grande demais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doença ou incêndios. Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na primeira hora, teve km e, a cada hora subsequente, foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à hora anterior. Supondo que esse processo se mantenha, quantos km da reserva serão queimados decorridas k horas do início do incêndio? k 3 a) b) 3 k c) 3 k- d) e) k 3 k Na sequência, 3, 7,5..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 3º termo dessa sequência é a) -. b) +. c) -. d) +. e) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.c.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la. Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a = = n= 0 ( ) n d É correto afirmar que: Página de

5 a) d = + b) d =, c) d = 9 9 d) d = e) d = Na manhã de segunda-feira uma empresa começou sua produção de iogurte do seguinte modo: adicionou a um litro de iogurte, já pronto, três litros de leite. Após horas, havia litros de iogurte, que foram novamente misturados a uma parte proporcional de leite para dar sequencia à produção. Se a empresa continuou esse processo, então, na manhã de sextafeira, o total de litros de iogurte obtidos foi de a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 8. Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas ½ da altura anterior. A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) m b) 6 m c) 8 m d) m e) 6 m 9. Uma bola de boliche de kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra a velocidade e a energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C. Pontos Velocidade (m/s) Energia cinética (J) Se (E, E, E 3 ) é uma progressão geométrica A V E B V E C V 3 E 3 de razão, a razão da progressão geométrica (V, V, V 3 ) está indicada em: a) b) c) d) 0. Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir. Página 5 de

6 Na Etapa, há um único quadrado com lado 0. Na Etapa, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de 5 a) b) c) d) e) 00. Página 6 de

7 Gabarito: Resposta da questão : [D] (,,,8,.. 08) Considerando a P.G., temos: 08 =. n- n - = n = ( meses = ano).( ) Soma dos montantes S = = 095 (por ano) No o aniversário, termos:. 095 = ,00. Resposta da questão : [B] Considerando o primeiro termo igual a x e a razão igual a 3x, temos: 3 5 P.G. ( x,3x,9x,7x,8x,...) 7x = X= 5 ( P.G. crescente) Temos a PG de razão 5 e primeiro termo 5 ( 5, 75, 5, 6.875,... ) Logo, a resposta b é a correta =.5. Resposta da questão 3: [B] a = (-3) - = = ( 3) 8 Resposta da questão : [D] O valor de cada uma das questões, em ordem crescente, é: ,,,,,,,, e 9. Portanto, se um participante obteve 3 pontos, então ele acertou as questões, 3, 5, 7 e 8. Resposta da questão 5: [A] + q + q = 6 q + q = 0, logo q = - ou q = Para q = temos: (x-) 3 + (x ) + (x ) = 0 não apresenta o zero como raiz. Para q = - temos: (x ) 3 + ( x+) + (x 8) = 0 x 3-5x + x = 0 x.(x 5x + ) = 0 Resolvendo a equação, temos x = 0 ou x -= 5 ± i. 59 Página 7 de

8 Portanto, a soma de todas as raízes será 5. Resposta da questão 6: [B] Se C é o capital emprestado, n é o número de meses após a concessão e a taxa de juros é,5% = 0,05 a.m., n n segue que o montante é dado por C ( + 0,05) = C (,05). Portanto, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma progressão geométrica de razão,05. Resposta da questão 7: [A] A sequência é uma P.G. infinita de razão q =, vamos considerar A seu primeiro termos e A 0 seu décimo termo. A = 6 A =.6 = 3 Logo, A 0 = 0 3. = 6 Resposta da questão 8: [B] Se (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão 3, então (a, b, c) = (a, 3a, 9a). Por outro lado, de acordo com o enunciado, temos que (a, 3a, 9a 8) é uma progressão aritmética. Logo, sabendo que o termo central é a média aritmética dos extremos, vem que a + 9a 8 3a = 5a = 3a a =. Portanto, a soma pedida é a + 3a + 9a 8 = 3a 8 = 3 8 = 8. Resposta da questão 9: [C] Se (a,, b) é uma progressão geométrica, então a b = ( ) =. Resposta da questão 0: [B] ai = 3 + (n ).3 = 3n ( 3 + 3n) n = 63 n = 6 Sabemos que o número de postes é igual ao número de árvores. Portanto, na PG temos: 6 a ( ) = 63 a = Temos então a figura: Página 8 de

9 Logo, a maior distância entre duas árvores será 3m. Resposta da questão : [B] Considerando a P.A (00. 50, 00,...), temos: a9 = = 300 ( ).9 S9 = = Considerando agora a P.G. ( 00, 00, 00,...), temos: ( n ) 00. = 6300 n = 63 n = 6 n = 6 Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses. Resposta da questão : [C] (loga, loga, loga, K, loga, K) = 3 n n K (loga, loga q, loga q,, loga q, K) = (loga, loga + logq, loga + logq, K, loga + (n )logq, K). Como (loga + logq) loga = (loga + logq) (loga + logq) = K = logq, segue que (loga, loga, loga 3, K, loga n, K ) é uma PA de razão logq. Resposta da questão 3: [C] A quantidade de grãos colocados pelo menino em cada casa constitui uma progressão geométrica cujo primeiro termo é e cuja razão vale. Logo, segue que a quantidade de grãos colocados até a nona casa foi de 9 = 5. Como os grãos só acabaram na décima casa, temos que a quantidade mínima de grãos que o menino utilizou na brincadeira é 5+ = 5. Resposta da questão : [A] (,3,9,...) temos uma P.G de razão 3. A soma das áreas na hora k será: Página 9 de

10 k.(3 ) 3 S = =. 3 k Resposta da questão 5: [E] O termo geral da sequência é a n = n Logo a 3 = 3 - Resposta da questão 6: [E] = = n= 0 ( ) n d PG infinita de razão / = = d = Resposta da questão 7: [C] Terça = L de iogurte. Quarta = 6 L de iogurte. Quinta = 6 L de iogurte. Sexta = 56 L = 8 L de iogurte. Resposta da questão 8: [A] S = ½ +/ +... S = ½ +...( P.G. infinita de razão ½) S = + (soma dos termos da P.G. Infinita) S = + 8 S = m Resposta da questão 9: [C] Sabendo que a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade V é dada por segue que: mv, V = = E V, E e V = = V 3 3 = V = 3 E V. Página 0 de

11 Como (E, E, E 3 ) é uma PG de razão, E V E = = e Assim, V e V V = V = V V 3 = = V V. V E E 3 = =. Em que: V V V3 V = = =, V V V V temos que: ou seja, (V, V, V 3 ) é uma PG de razão. Resposta da questão 0: [E] Na primeira etapa: 0.0 = 00 Na segunda etapa: (3/).00 Na terceira etapa: (3/). (3/).00 = (3/).00 Temos, então uma P.G. de razão q = ¾ Portanto o sexto termos será (3/) Página de

12 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 3/0/0 às 3:0 Nome do arquivo: pgeometrica Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática...Unesp/0...Múltipla escolha matemática...upe/0...múltipla escolha Matemática...Uftm/0...Múltipla escolha matemática...uesc/0...múltipla escolha Matemática...Ita/0...Múltipla escolha Matemática...Uesc/0...Múltipla escolha Matemática...Ifsp/0...Múltipla escolha Matemática...Ufrs/0...Múltipla escolha Matemática...G - ifal/0...múltipla escolha Matemática...Epcar (Afa)/0...Múltipla escolha matemática...uel/0...múltipla escolha matemática...fgv/0...múltipla escolha Matemática...Espcex (Aman)/0...Múltipla escolha matemática...ufsm/0...múltipla escolha Matemática...Ufrgs/00...Múltipla escolha Matemática...Uff/00...Múltipla escolha Matemática...G - cftmg/00...múltipla escolha Matemática...Unemat/00...Múltipla escolha Matemática...Uerj/00...Múltipla escolha Matemática...Ufrgs/00...Múltipla escolha Página de