Estratégias de Resolução de Problema de Divisão Quotitiva no 4º Ano do Ensino Fundamental

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1 Estratégias de Resolução de Problema de Divisão Quotitiva no 4º Ano do Ensino Fundamental 1 Rosemeire Roberta de Lima * Mercedes Carvalho ** RESUMO Este artigo apresenta análise das estratégias de resolução de problemas de divisão quotitiva empregadas pelas crianças com idade entre 8 a 10 anos de uma escola da rede pública situada na cidade de Maceió. Trata-se de uma pesquisa qualitativa, na modalidade estudo de caso, fundamentada nas teorias de Resolução de Problemas e Campo conceitual Multiplicativo. Participaram do presente estudo 36 estudantes e a respectiva professora regente da turma que aplicou a atividade composta de quatro problemas de divisão. Optou-se por trabalhar com estrutura multiplicativa, especificamente a operação de divisão, por meio de Resolução de Problemas por se tratar de aportes teóricos que estão direcionados para o estudo do conteúdo matemático, buscando a compreensão de conceitos e não a mera exposição de técnicas. Os resultados revelam que essas crianças mesmo utilizando estratégias de resolução, respondendo os problemas matemáticos corretamente ainda não construíram o conceito multiplicativo, pois suas respostas pautam na adição. Palavras-chave: Estrutura Multiplicativa, Divisão, Resolução de Problema, Anos Inciais do Ensino Fundamental. INTRODUÇÃO O presente artigo é um recorte da dissertação de mestrado que se encontra em andamento, vinculado ao curso de mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Federal de Alagoas. Este trabalho tem como objetivo analisar as estratégias de resolução de problemas matemáticos, envolvendo o conjunto dos números naturais, utilizadas por duas crianças que participaram do referido estudo. Optou-se por estudar as estruturas multiplicativas porque, via de regra, os professores que atuam nos 4º e 5º anos do ensino fundamental tendem a trabalhar a multiplicação por meio do estudo da tabuada e os problemas são apresentados para que as crianças apliquem os algoritmos ensinados, segundo Carvalho (2010). Ancoramos nossas análises no campo multiplicativo que corresponde as operações de multiplicação, divisão, proporção, razão, análise combinatória. Entretanto, *Mestranda da Universidade Federal de Alagoas, no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. rose.ufal@yahoo.com.br **Professora Doutora da Universidade Federal de Alagoas, lotada no Centro de Educação. mbettacs@uol.com.br.

2 2 neste artigo, iremos trabalhar com as operações de divisão. De acordo com Cunha (1997), o campo multiplicativo é simultaneamente um aglomerado de situações e um aglomerado de conceitos em que tanto relacionam-se com as estruturas aditivas, mas elas também têm a sua própria organização intrínseca, a qual não é redutível aos aspectos aditivos (p.4). Neste sentido, no início dos estudos da operação de multiplicação a criança tenderá a resolver os problemas que lhes são apresentados, utilizando seus conhecimentos acerca do campo aditivo, assim como ela tenderá a resolver os problemas de divisão por meio da distribuição, que é uma ação que a criança já realiza no seu cotidiano; entretanto, dividir socialmente é diferente da ideia de divisão na matemática. Além de consideramos que há ênfase em determinadas crenças de que na estrutura multiplicativa a solução pode ser encontrada por meio da estrutura aditiva, como se observa no estudo da multiplicação, em que a estratégia mais utilizada é a soma das parcelas iguais, chega-se ao produto, limitando aos alunos os conceitos específicos da multiplicação e divisão, pautando no raciocínio aditivo. O ensino por meio de resolução de problemas também é importante porque possibilita o trabalho com conteúdos atitudinais, permitindo a verbalização do pensamento matemático da criança, e, consequentemente, favorece ao professor uma proposta de análise do erro enquanto fonte de informação para que ele perceba essa oportunidade e planeje intervenções propícias à progressão conceitual do pensamento matemático dos alunos, conforme aponta Carvalho (2007). REFLEXÕES TEÓRICAS ACERCA DA ESTRUTURA MULTIPLICATIVA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA Pozo (1998), Dante (2000), Carvalho (2007), Smole (2001) entre outros pesquisadores da educação matemática enfatizam a importância da resolução de problema como meio de levar a criança a progredir em seus conceitos matemáticos, à medida que elas enfrentam uma situação nova e, com interesse, buscam uma solução não evidente. Optou-se por trabalhar com estrutura multiplicativa, especificamente a operação de divisão, por meio de Resolução de Problemas por se tratar de aportes teóricos que estão direcionados para o estudo do conteúdo matemático, buscando a compreensão de

3 3 conceitos e não a mera exposição de técnicas. Sendo assim, Lopes (2005) coloca que um dos problemas é o apego exagerado ao algoritmo que soluciona operações de divisão e que estão baseados na memorização da tabuada (p. 67). Acreditamos que tal dificuldade deva-se a ênfase ao ensino em procedimentos que valoriza o uso excessivo do algoritmo, evidenciando uma matemática pronta, definitiva e distante da realidade. Carvalho (2010), no entanto, alerta que os problemas não podem ser classificados em função das operações, mas sim a partir das estratégias dos procedimentos utilizados. Para tanto, coloca que é importante propor aos alunos diferentes tipos de problemas, inclusive os que trazem situações do cotidiano para favorecer o pensamento matemático. Entretanto, para Anghileri et al (apud CUNHA, 1997) as crianças apresentam um fraco desempenho nos problemas que envolvem as operações de multiplicação e a divisão porque se limitam ao estudo das estruturas multiplicativas por meio de números naturais, direcionando para aprendizagem de concepções equivocadas de que a multiplicação sempre aumenta e a divisão sempre diminui. Para este autor são equívocos por se deter na continuidade de raciocínio, isto é, focalizar o ensino da multiplicação por meio do campo aditivo, impedindo que as crianças avancem para o raciocínio descontínuo. Neste sentido, entendemos que resolver problemas é criar possibilidade de conflitos cognitivos que favoreçam a construção dos conceitos matemáticos. Para tanto, a seleção dos problemas deverá ser feita com cuidado para que os alunos possam aplicar seus conhecimentos, registrando seus procedimentos para a solução. Compreender conceitos não é uma tarefa simples, uma vez que Segundo Lerner (1995), as estratégias utilizadas pelos alunos, em geral, não estão relacionadas com dificuldades para compreender as operações em si mesmas uma vez que a maioria das crianças sabe quando se deve somar, subtrair, multiplicar ou dividir mas sim a incompreensão das estratégias provém sempre da desvinculação entre os procedimentos e a natureza posicional de nosso sistema de numeração. Para a autora, a utilização de problemas-padrão pode levar algumas crianças a centrar-se em certas palavras-chave, dificultando a explicitação de seus saberes matemáticos. Neste sentido, a referida autora desaconselha o uso de problemas-padrão (convencional, arme efetue). Carvalho (2010), porém, em seu trabalho comenta que independente de sua classificação, esses problemas trabalham com a ideia das operações matemáticas além de favorecerem às

4 4 crianças pequenas o processo de contagem (p.77). Starepravo (1997) aponta que trabalhar com Resolução de Problemas no ensino da matemática requer compreensão do que vem a ser um problema, bem como das técnicas de operação, da função do sistema de numeração e definição da proposta de trabalho no ensino de matemática que busque enfrentamento de desafios, estabelecimento de relações para a construção de novos conhecimentos. Ela enfatiza que é preciso diferenciar problema de exercício, além de ter como foco uma prática de ensino voltada para a compreensão de conceitos, diferentemente de um ensino caracterizado pelas técnicas operatórias em que objetiva apenas um caminho para se chegar ao resultado. Para tanto, é importante propor aos alunos diferentes tipos de problemas, inclusive os que trazem situações do cotidiano para favorecer o pensamento matemático. A multiplicação e a divisão fazem parte do campo multiplicativo. Tendo em vista a forte cultura em ensinar matemática por meio da linearização das operações, focalizaremos na análise das estratégias das crianças nos algoritmos 1. Para Vergnaud, 1997 (apud CAMEJO, 2009, p. 39) a construção de conhecimentos numéricos não se dá de forma linear, em um processo organizado ; a construção dar-se por meio da relação entre conhecimento prévio e conhecimento novo para que que efetive a compreensão de ideias e conceitos matemáticos em nossas crianças. Nessa direção o estudo dos números e do sistema de numeração são importantes no ensino da matemática nos anos iniciais do ensino fundamental para que as crianças tenham caminhos para operar, calcular, segundo Carvalho (2010). Tais conhecimentos são necessários para a compreensão das regularidades do sistema de numeração. A referida autora ressalta que as crianças têm noção de números, pois convivem e os utilizam em situações diversas, tais como indicar medidas, quantidades e códigos. PROCEDIMENTOS DE INVESTIGAÇÃO Cenário da Pesquisa Participou dessa investigação uma escola que oferta os anos iniciais do ensino 1 Imenes e Lellis (1998) conceituam algoritmo como uma técnica com certo de número de passos que leva a um resultado que deseja. Nas produções de nossos alunos encontramos algoritmo da divisão por subtrações sucessivas, algoritmo da divisão horizontal e algoritmo da divisão direta.

5 5 fundamental, tanto no turno matutino, quanto vespertino e que a professora aceitou participar do referido trabalho, aplicando a atividade, para que as estratégias dos alunos não fossem influenciadas pelas concepções da pesquisadora, buscando assim, uma representação mais fiel ou real do contexto das aulas de matemática da turma participante. A escolha da escola atendeu aos seguintes critérios: pertencer a rede pública de ensino, situada na cidade de Maceió, cuja localização seja de fácil acesso e pertencer próximo ao bairro do Trapiche e da Lagoa Mundaú e com resultado no Ideb inferior as projeções. Sujeitos Em nossa análise estão participando dois alunos do 4º ano do ensino fundamental, na faixa etária entre 8 a 10 anos, vinculados a rede pública de ensino, situada na região sul, na cidade de Maceió. Ressaltamos que os alunos não tiveram contato com a pesquisadora para que esta não interferisse em suas estratégias, evitando apresentar em seus registros a concepção da pesquisadora na solução da atividade. Sendo assim, Ludke e André (1986) explicam tal escolha, colocando que é preciso evitar o grande envolvimento do pesquisador com os sujeitos da pesquisa, em nosso caso os alunos, para que não se obtenha um visão distorcida do fenômeno ou a uma representação da realidade (p. 27). A professora 2 assinaram o Termo de Consentimento Livre Esclarecido, inteirando-se dos objetivos e dos procedimentos nela adotados. Procedimentos e Materiais Utilizamos, a priori, aplicação de teste piloto, que direcionou para a organização da atividade final, composta de quatro problemas de divisão e cadernos dos alunos indicados/selecionados pela professora. Foram aplicadas os seguintes problemas, envolvendo conteúdos de divisão nas ideias de partição e quotição 3 : 2 As professoras regentes das turmas investigadas aplicaram a atividade final, instrumento principal para a análise desta pesquisa. 3 Fischbein et al, 1985 (apud CUNHA, 1997) coloca que a divisão na ideia de partição, um objeto, ou coleção de objetos é repartido (particionada) em um número de fragmentos ou subcoleções equivalentes. Tal concepção corresponde caracterizar que o tamanho do objeto é representado pelo dividendo, o número de fragmentos equivalentes, ou subcoleções, é representado pelo divisor e o tamanho de cada fragmento, ou subcoleção, é representado pelo quociente (1997, p. 14). Já a divisão por quota (medida), corresponde a encontrar quantas vezes uma dada quantidade está contida em uma outra (p. 14).

6 6 Quadro 1 Situações-problema aplicadas as turmas do 4º ano do Ensino Fundamental Problema 1 Maria fez 30 brigadeiros e irá colocar 5 em cada saquinhos. De quantos saquinhos ela irá precisar? Explique como chegou a resposta. Problema 2 Se repartirmos 24 pães para 6 crianças, quantos pães receberão cada uma? Explique como você chegou a resposta. Problema 3 Quantas cédulas de 5 reais há em 50 reais? Explique como você chegou a resposta. Problema 4 Carlos vai fazer aniversário. Cada amigo que vier a sua festa vai ganhar 3 balões. Ele comprou 18 balões. Quantos amigos ele pode convidar? Explique como você chegou a resposta. Fonte: Situações-problema extraídas e/ou adaptadas do livro Números, de Mercedes Carvalho (2010) e do livro Introdução à Educação Matemática, de Terezinha Nunes et al (2002). A situação problema foi aplicada pela professora regente da turma, com a solicitação da pesquisadora no início do período letivo de 2011, na perspectiva nos alunos registrarem diferentes estratégias de resolução de problema por termos a suposição de que eles teriam o primeiro contato com o conteúdo de divisão, o que exigiriam dos envolvidos estratégias diversificadas para a solução do problema. Das quatro situações-problema da atividade escrita, instrumento principal, desse estudo, iremos analisar apenas a situação 1 por se tratar de um problema matemático que envolve divisão de raciocínio quotitivo (cota), que requer procedimento diferenciado para a solução. ANÁLISE PRELIMINAR E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Para a análise das estratégias de solução das crianças, utilizamos análise de conteúdo de Franco (2008), cujas categorias foram escolhidas a posteriori, obedecendo a delimitação dos dados coletados, bem como da teoria presente no estudo, em que foram orientadas pela unidade de registro que visa levantar categorias com base no tema, que representam as estratégias recorrentes na atividade de Resolução de Problemas que envolvem o conteúdo de divisão, nas ideia de partição e cotição. As categorias de análises da presente investigação emergiram das estratégias utilizadas pelas crianças ou isoladamente ou combinadas, em conformidade com as ideias de estratégias de solução de problemas apontadas por pesquisadores da área, como Pozo (1998), Smole e Diniz (2001). De posse dos dados e com base na criação de categorias a posteriori, que se trata de um sistema aberto, classificamos as respostas em categorias de menor amplitude e, em seguida, sem nos afastar dos significados e dos sentidos atribuídos pelos sujeitos da

7 7 pesquisa, criamos marcos interpretativos mais amplos para reagrupá-los (FRANCO, 2008, p. 63). Inicialmente, tabulamos as respostas, levando em conta as práticas de correções utilizadas pelas professoras, principalmente, no ensino da Matemática, classificando as soluções em: CERTO, ERRADO ou em BRANCO. Ressaltamos aos leitores que os critérios citados para a delimitação dos dados levaram em conta a frequência das respostas encontradas nos registros das crianças de cada turma participante. Sendo assim, analisando os dados colhidos, consideramos como CERTO, o problema que foi corretamente resolvido ou via utilização da operação aritmética da divisão ou representações pessoais (uso de bolas, traços ou outro desenho que não se aproxime da situação contextual) ou por meio de resposta oriundas de cálculo mental, mas que chegou ao resultado final corretamente; ERRADO o problema que foi resolvido incorretamente, podendo ser via estrutura da operação ou resultado do cálculo ou, ainda, por meio de representação canônica, muito presente nas estratégias das crianças para se chegar uma solução ou até mesmo para validar suas repostas, mas que a estratégia utilizada está diferente da situação-problema proposta. BRANCO, quando os respondentes ou não tentaram a solução do problema ou apenas apresentaram a estrutura da operação aritmética. Para compreensão dos resultados da turma, constituída de 36 crianças, mostra as frequências das respostas das crianças em relação aos quatro problemas propostos: Tabela 1: Frequência das respostas de cada aluno participante da Escola C Problema 1 Categorias Qtde % Certo 21 58,3 Errado 11 30,6 Branco 4 11,1 O problema 1 não apresenta a ideia de repartir em partes iguais, mas sim, traz ideia de cota (medida), em que o aluno dos anos iniciais, muitas vezes, apresenta uma solução por meio de tentativas e erros para se chegar ao resultado, utilizando a ideia correspondência um-a- muitos, formando conjuntos, até chegar o valor do dividendo. Para Nunes (2002) e Smole e Diniz (2001), tal procedimento torna-se insuficiente para se

8 8 chegar a uma solução, pois resolver esse tipo de situação-problema requer o uso do sistema posicional, necessário para a solução das operações matemáticas. Sendo o objeto da presente pesquisa os procedimentos e não os resultados postos, por si só, tabulamos as respostas considerando as categorias algoritmo canônico, estratégia ou algoritmo canônico+ estratégia, excluindo as situações-problema em branco. Tabela 2: Frequência das estratégias de cada aluno participante da Escola C Problema 1 Categorias Qtde % Estratégia 6 16,6 Algoritmo canônico 16 44,4 Algoritmo canônico +Estratégia 11 30,5 As estratégias selecionadas para a análise são de dois estudantes que representam procedimentos mais frequentes na turma investigada, sendo denominados de Sujeito 1 e Sujeito 2. Eis abaixo a situação-problema resolvida pelos estudantes: Quadro 2 Situação-problema de divisão quotitiva Maria fez 30 brigadeiros e irá colocar 5 em cada saquinhos. De quantos saquinhos ela irá precisar? Explique como você chegou a resposta. Quadro 3 - Resolução do problema do Sujeito 1: uso de estratégia combinada - uso de desenho, contagem e algoritmo da divisão. Do ponto de vista matemático, o sujeito 1, demonstra compreender a noção de agrupamento e da contagem ao inserir correspondência de um-para-muitos, na ilustração 5 brigadeiros para cada sacolas, revelando, também, a compreensão do senso numérico.

9 No entanto, Lopes (2005) comenta que dos agrupamentos ao processo de contagem, a humanidade gastou um bom tempo (p. 23) para evoluir. Esse sujeito se ancora nas estratégias contando de 5 em 5 e nos desenhos para depois resolver o algoritmo, apontando que mesmo compreendendo o enunciado, ainda não construiu a ideia da multiplicação, já que sua resolução pautou-se na adição, quando registra a expressão contei de 5 em 5. Quadro 4 - Resolução de problema do Sujeito 2: uso de estratégia por meio de adição, estratégia de tentativas e erros, uso da operação de divisão direta. 9 O sujeito 2 traz uma estratégia puramente aditiva, apresentando a solução por meio da soma de parcelas iguais que poderia ser realizada via estratégia mais curta, enfim, uso da operação da multiplicação, uma estratégia direta e específica da estrutura da multiplicação. O sujeito 2 apresenta indícios de não ter compreendido o algoritmo da divisão, revelando apenas os algarismos correspondentes ao divisor, dividendo e quociente, numa estrutura que, via de regra, pede o resto, embora seja uma operação de divisão exata. Neste problema, encontramos na estratégia da criança decomposição do algarismo 30. A decomposição utilizada não se apoia na posição das ordens dos algarismos, predominando a operação aditiva. Sabe-se que a divisão e multiplicação são operações inversas, sendo b#0, a:b=q (30:5=6), cuja operação inversa é q.b=a (6x5=30). Este exemplo, corresponde a divisão exata. CONSIDERAÇÕES FINAIS Pesquisas em educação matemática sinalizam para a necessidade de intervenções no ensino da matemática, principalmente nos anos iniciais do Ensino Fundamental, no que diz repeito ao currículo e a formação do professor polivalente. No entanto, em conformidade com as palavras de Nacarato, 2000 (apud SISTO et al, 2002, p.

10 10 96), a prática tem revelado que a simples publicação de documentos oficiais, tais como propostas curriculares, subsídios de apoio às propostas e outros documentos auxiliares não são suficientes para se mudar uma concepção de ensino. Embora os PCNs (MEC, 1997) referencie um ensino de matemática por meio de resolução de problemas, a prática de sala de aula traz indícios que essa abordagem ainda é deficiente ou mal compreendida nos espaços escolares dos anos iniciais do EF, podendo inferir que faltam aos professores compreensão do que é problema, do que é problema matemático e, sobretudo, uma preocupação com o trabalho na sala de aula sobre as regularidades do sistema de numeração, considerando o sentido numérico. Para tanto, o ensino da matemática deverá ser um espaço de interação e problematização, de modo que diferentes situações-problema sejam discutidas e propostos caminhos diferenciados para a solução. De acordo com Vergnaud (2009), é preciso repensar no gerenciamento do ensino, do planejamento, das situações que acontecem na sala de aula, para que o docente desenvolva seu trabalho pedagógico na perspectiva de fazer com que as crianças evoluam, gradualmente, em seus conceitos matemáticos. Para isso, o ensino da matemática não deverá focar apenas o cálculo numérico. A prática de ensino em matemática por meio de resolução de resolução de problema caracteriza uma metodologias de ensino como ponto primordial para a aprendizagem das crianças, possibilitando ao professor intervir, de fato, com clareza nas deficiências em que as crianças se encontram e, assim, promover interferências viáveis para que avançarem conceitualmente, repensando em seus procedimentos e percebendo as divergências que há entre o saber espontâneo e o saber escolar. As análises para esse estudo revelaram que essas crianças mesmo utilizando estratégias de resolução, respondendo os problemas corretamente ainda não construíram o conceito multiplicativo, pois o seu trabalho está pautado na adição. De acordo com Carvalho (2010) é natural a criança resolver problemas do campo aditivo multiplicativo por meio de seus conhecimentos do campo aditivo. Entretanto, é insuficiente. Ela avançará quando entender que na multiplicação o pacote com cinco balas é um único fator a ser computado.

11 11 REFERÊNCIAS CAMEJO, Adriana. A constituição dos saberes da docência: uma análise do campo multiplicativo. São Paulo: PUC/SP, 2009 (Doutorado em Educação Matemática). CARVALHO, Mercedes. Problemas? Mas que problemas?!: estratégias de resolução de problemas matemáticos em sala de aula. 3ª ed. Petrópolis, RJ: Vozes, CARVALHO, Mercedes. Ensino da Matemática em cursos de Pedagogia: a formação do professor polivalente. PUC/SP, 2009 (Doutorado em Educação Matemática). CARVALHO, Mercedes. Números: conceitos e atividades para Educação Infantil e Ensino Fundamental I. Petrópolis, RJ: Vozes, CUNHA, Maria Carolina Cascino da. As operações de multiplicação e divisão junto a alunos de 5ª e 7ª séries. PUC/SP, 1997 (Dissertação no Ensino da Matemática). DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, FRANCO, Maria Laura P. B. Análise do Conteúdo. Brasília: Liber Livro Editora, LERNER, Delia. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: ArtMed, LOPES, Sérgio Roberto et al. Metodologia do ensino da matemática. Curitiba: Ibpex, LÜDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. Coleção: Temas básicos de Educação e Ensino. São Paulo: EPU, NUNES, Terezinha et al. Introdução à Educação Matemática: os números e as operações numéricas. São Paulo: PROEM, POZO, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed, SMOLE, K. S. (org.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: ArtMed, 2001, p STAREPRAVO, Ana Ruth. Matemática em tempo de transformação: construindo o conhecimento matemático através das aulas operatórias. Curitiba: Renascer, VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade. Curitiba: Ed. da UFPR, 2009.