Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Aula 12 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos Parte Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos Conjuntos Numéricos, Racionais e Reais Operações, Propriedades, Problemas Envolvendo as Quatro Operações nas Formas Fracionária e Decimal Conjuntos Numéricos Complexos Operações com Pares Ordenados Conjuntos Numéricos Complexos Números e Grandezas Proporcionais Razão, Proporção e Divisão Proporcional Regra de Três Simples e Regra de Três Composta Porcentagem Raciocínio Sequencial, Orientação Espacial e Temporal, Formação de Conceitos e Discriminação de Elementos Outros Assuntos que Podem Cair em Prova Progressão Aritmética (PA) Progressão Geométrica (PG) Movimento Uniforme Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos Bibliografia

2 12. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático; raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. Este assunto encerrará a parte de raciocínio lógico propriamente dito, para entrarmos no mundo da estatística e da matemática financeira. Como há muitas questões sobre o tema dessa aula, o assunto foi dividido em duas aulas. Na aula de hoje, veremos os conceitos e resolveremos 22 (vinte e dois) exercícios. Na próxima aula, na semana que vem, veremos mais exercícios. Então, sem perda de tempo, vamos começar a aula de hoje! Conjuntos Numéricos, Racionais e Reais Tratamos deste assunto na aula Operações, Propriedades, Problemas Envolvendo as Quatro Operações nas Formas Fracionária e Decimal Tratamos deste assunto na aula Conjuntos Numéricos Complexos Para entender os números complexos, inicialmente veremos as operações com pares ordenados Operações com Pares Ordenados Seja R o conjunto dos números reais. Consideremos o produto cartesiano 2 R R= R. R 2 { = ( x, y) x R; y R } 2 R = conjunto dos pares ordenados (x,y), em que x e y são números reais. Operações com Pares Ordenados: 1) Igualdade: (a,b) = (c,d) a = c e b =d 2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) 3) Multiplicação: (a,b). (c,d) = (ac bd, ad + bc) 2

3 Memorize para a prova: Operações com Pares Ordenados: 1) Igualdade: (a,b) = (c,d) a = c e b =d 2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) 3) Multiplicação: (a,b). (c,d) = (ac bd, ad + bc) Conjuntos Numéricos Complexos Um conjunto numérico complexo é representado por C e corresponde ao conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas as operações do item anterior. z C z= ( x, y); x, y R Exemplos: 1) z 1 = (3,2) e z 2 = (4,0). Calcule z 1 + z 2 ; z 1. z 2 e z 1 2. z 1 + z 2 = (3 + 4, 2 + 0) = (7,2) z 1. z 2 = ( , ) = (12,8) z 1 2 = (3,2).(3,2) = ( , ) = (5,12) 2) z 1 = (1,2) e z 2 = (3,4). Calcule z, tal que z 1 + z = z 2. z = (x,y) (1,2) + (x,y) = (3,4) (1 + x, 2 + y) = (3,4) 1 + x = 3 x = 3 1 = y = 4 y = 4 2 = 2 z = (2,2) 3) z 1 = (1,-1) e z 2 = (2,3). Calcule z, tal que z 1.z = z 2. z = (x,y) (1,-1). (x,y) = (2,3) (x.1 (-1).y, 1.y + (-1).x) = (2,3) (x + y, y x) = (2,3) x + y = 2 (I) y x = 3 (II) (I) + (II) 2y = 5 y = 5/2 x + y = 2 x + 5/2 = 2 x = 2 5/2 = -1/2 z = (-1/2, 5/2) 3

4 Propriedades: I. Adição: Associativa: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) Comutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro z 1 + z = z 1 Elemento Simétrico: z + z = (0,0). Logo, se z = (x,y), então z = (-x,-y) II. Multiplicação: Associativa: (z 1. z 2 ). z 3 = z 1. (z 2. z 3 ) Comutativa: z 1. z 2 = z 2. z 1 Distributiva: z 1. (z 2 + z 3 ) = z 1. z 2 + z 1. z 3 Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro z 1. z = z 1 Exemplo: (2,3).(1,0) = ( , ) = (2,3) Elemento Inverso: z. z = (1,0). x y, x + y x + y Logo, se z = (x,y), então z = inverso ou inverso multiplicativo. Exemplo: Supondo que z 1 = (1,2) e z 2 = (3,4), calcule o resultado da divisão de z 1 por z 2. Fazer a divisão de z 1 por z 2 é o mesmo que multiplicar z 1 pelo inverso de z 2. z z = z1. z 2= (1,2).(, ) = (1,2).(, ) z z 1 = + = (1. 2.( ),1.( ) 2. ), Nota: Unidade Imaginária (i) corresponde ao número complexo (0,1). i 2 = (0,1).(0,1) = ( , ) = (-1,0) i 2 = -1 i 3 = i 2.i = (-1).i = -i i 4 = i 2.i 2 = (-1).(-1) = 1 4

5 Normalmente, para todo n N : i 4n = 1 i 4n+1 = i i 4n+2 = -1 i 4n+3 = -i Dado um número complexo qualquer z = (x,y), temos: z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y.0 0.1, y ) = (x,0) + (y,0).(0,1) z = x + y.i forma algébrica de escrever o número complexo. x (número real) = denominado parte real de z. y (número real) = denominado parte imaginária de z. x = Re(z) y = Im(z) Nota: Chama-se real todo número complexo cuja parte imaginária é nula e chama-se imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a imaginária não. z = x + 0.i z = x é real z = 0 + y.i z = y.i é imaginário puro A forma algébrica é muito mais prática que o par ordenado, pois facilita as operações. Veja: Igualdade: a + b.i = c + d.i a = c e b = d. Adição: (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i Multiplicação: (a + b.i). (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i 2 Como i 2 = -1 (a + b.i). (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.(-1) = (a.c b.d) + (a.d + b.c).i Exemplo: Dados z 1 = i e z 2 = 2 i e z 3 = 3 + i, calcule z 1.z 2.z 3. z 1.z 2.z 3 = (1 + 2.i).(2 i).(3 + i) = (1.2 1.i i 2.i 2 ).(3 + i) z 1.z 2.z 3 = (2 1.i + 4.i 2.(-1)). (3 + i) = (4 + 3.i).(3 + i) z 1.z 2.z 3 = ( i i + 3.i 2 ) = ( i + 9.i + 3.(-1)) z 1.z 2.z 3 = i 5

6 Exemplo: Calcule (2 + i).(2 i) ( 2 i).( i 2) (2 + i).(2 i) (2 + i).(2 i) (2 + i).(2 i) ( 2 i).( i 2) ( 1).(2 + i).(2 i) i+ 2. i i 4 ( 1) = = = Nota: (a + b) = (-1).(-a b) (a b) = (-1).(-a + b). = = = Exemplo: Calcule (1 + i) (1 + i) 96 i (1 + i) 2 = (1 + i). (1 + i) = i + 1.i + i 2 = i + (-1) = 2.i i + i (1 + i) (1 + i) 2. i 2. i (1 ) (1 ) i ( i ) i( i ) ( i ) ( ) ( ) ( 1) = = = = = 2.( 1) 2. i. ( 1) = 2 2. i 1 Nota: Complexo Conjugado Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é: =. z x y i Logo, pode-se deduzir que o conjugado de z= x y. i é z = x + y.i. z= x+ y. i z= x y. i Propriedades do Conjugado: I) z + z = 2.Re(z) II) z - z = 2.Im(z).i III) z = z z R z + z = z + z IV) z. z = z. z V) Exemplos: z = i. Logo, z = 1 2.i I) z + z = i i = 2 = 2.Re(z) II) z - z = i (1-2.i) = i i = 4.i = 2.Im(z).i 6

7 Exemplo: z 1 = x 1 + y 1.i e z 2 = x 2 + y 2.i z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ).i z + z = ( x + x ) ( y + y ). i= ( x y. i) + ( x y. i) = z + z Exemplo: z 1 = x 1 + y 1.i e z 2 = x 2 + y 2.i z 1. z 2 = x 1.x 2 + x 1.y 2.i + y 1.x 2.i + y 1.y 2.i 2 = (x 1.x 2 - y 1.y 2 ) + (x 1.y 2 + y 1.x 2 ).i z. z = ( x. x y. y ) ( x. y + y. x ). i= x.( x y. i) y. i.( x y. i) z. z = ( x y. i).( x y. i) = z. z Nota: Utilização do conjugado na divisão: para calcular z 2 /z 1, basta multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador. Exemplo: i (3+ 2. i).(1 i) ( i+ 2. i 2. i ) 5 i 5 1 = = = = 2. i 1 + i (1 + i).(1 i) (1 i+ i i ) Memorize para a prova: Números Complexos: Propriedades: I. Adição: Associativa: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) Comutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro z 1 + z = z 1 Elemento Simétrico: z + z = (0,0). Logo, se z = (x,y), então z = (-x,-y) II. Multiplicação: Associativa: (z 1. z 2 ). z 3 = z 1. (z 2. z 3 ) Comutativa: z 1. z 2 = z 2. z 1 Distributiva: z 1. (z 2 + z 3 ) = z 1. z 2 + z 1. z 3 Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro z 1. z = z 1 Elemento Inverso: z. z = (1,0). Normalmente, para todo n N : i 4n = 1 i 4n+1 = i i 4n+2 = -1 i 4n+3 = -i z = x + y.i forma algébrica de escrever o número complexo. x (número real) = denominado parte real de z. y (número real) = denominado parte imaginária de z. 7

8 Memorize para a prova: Números Complexos: Complexo Conjugado Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é: =. z x y i Logo, pode-se deduzir que o conjugado de z= x y. i é z = x + y.i. z= x+ y. i z= x y. i Propriedades do Conjugado: I) z + z = 2.Re(z) II) z - z = 2.Im(z).i III) z = z z R z + z = z + z IV) z. z = z. z V) Utilização do conjugado na divisão: para calcular z 2 /z 1, basta multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador. Exemplo: i (3+ 2. i).(1 i) ( i+ 2. i 2. i ) 5 i 5 1 = = = = 2. i 1 + i (1 + i).(1 i) (1 i+ i i ) Números e Grandezas Proporcionais Tratamos deste assunto na aula Razão, Proporção e Divisão Proporcional Razão: é o quociente entre dois números racionais, sendo que o denominador deve ser diferente de zero. Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc. Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual Exemplo: = = = = = Proporção: é a igualdade entre duas razões. 1 5 Exemplo: =

9 Propriedades da Proporção: Considere a proporção a = b c d I) a.d = b.c II) a c a+ b c+ d a+ b c+ d a b c d = = ou = ou = b d a c b d a c a b c d a+ c a c a c a c ou = ou = = ou = = b d b+ d b d b d b d Exemplo: Gwen deseja calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, cravou uma vara de 2 metros, verticalmente ao solo. Esta vara, no horário da medição, produziu uma sombra de 3 metros. No mesmo momento, Gwen mediu a sombra de seu prédio e verificou que era de 30 metros. Determine a altura do prédio. 2metros x = 3. x= 2.30 x= 2.10= 20metros 3metros 30metros Números Diretamente Proporcionais: x y z Se = =, então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são a b c números racionais). Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou diminuição da outra grandeza. Exemplo: combustível gasto e quilômetros percorridos quando mais quilômetros percorremos com nosso carro, mais combustível gastamos; quanto menos quilômetros percorremos com nosso carro, menos combustível gastamos. Números Inversamente Proporcionais: Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c são números racionais). Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou aumento da outra grandeza. Exemplo: tempo de viagem e velocidade do percurso quando maior velocidade de nosso carro, menor será o tempo de viagem; quanto menor a velocidade de nosso carro, maior será o tempo de viagem. 9

10 Exemplos Práticos: 1. Sabendo-se que 5 kg de arroz custam R$ 10,00, qual será o preço de 13 kg do mesmo arroz? Grandezas: quilos de arroz e preço (diretamente proporcionais => quanto maior a quantidade de arroz, maior o preço). 5 kg R$10,00 = 5. x= x= 13.2 = R$26,00 13kg x 2. Duas torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos. Em quanto tempo 9 torneiras semelhantes às primeiras, também completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque? Nesta questão, torneiras e tempo são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o número de torneiras, menor o tempo gasto para encher o tanque. Deste modo, temos: 2 torneiras.90 min= 9 torneiras. x 2.90= 9. x x= 2.10= 20 min ou 9torneiras 90 min = 9. x= 2.90 x= 20 min 2torneiras x Memorize para a prova: Razão: é o quociente entre dois números racionais, sendo que o denominador deve ser diferente de zero. Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc. Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual Exemplo: = = = = = Proporção: é a igualdade entre duas razões. 10

11 Memorize para a prova: Propriedades da Proporção: Considere a proporção a b c = d I) a.d = b.c II) a c a+ b c+ d a+ b c+ d a b c d = = ou = ou = b d a c b d a c a b c d a+ c a c a c a c ou = ou = = ou = = b d b+ d b d b d b d Números Diretamente Proporcionais: x y z Se = =, então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são a b c números racionais). Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou diminuição da outra grandeza. Números Inversamente Proporcionais: Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c são números racionais). Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou aumento da outra grandeza Regra de Três Simples e Regra de Três Composta Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões (proporção). Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de duas razões (proporção). Exemplos Práticos: 1. Com 10 kg de farinha é possível fazer 100 pães. Quantos quilogramas de farinha são necessários para produzir pães? As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pães são diretamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pães, maior a quantidade de farinha. 10 kg de farinha ===== 100 pães x ===== pães 100.x = x = = 500 kg de farinha 11

12 2. Vovô Max, conhecido professor de Raciocínio Lógico-Quantitativo, demora 30 minutos para digitar uma página de seu curso online. Quantos dias Vovô Max levará para digitar uma aula de seu curso online, que possui 120 páginas? As grandezas tempo de digitação e número de páginas são diretamente proporcionais, tendo que vista que, quanto maior o número de páginas, maior o tempo para digitá-las. 30 minutos ===== 1 página x ===== 120 páginas x = = minutos = 3.600/60 minutos = 60 horas/24 horas x = 2,5 dias 3. Em uma fábrica, 25 máquinas produzem peças de automóvel em 12 dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 dessas máquinas para produzir peças em 15 dias? Relações: I. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos máquinas serão necessárias (grandezas inversamente proporcionais). II. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos dias serão necessários (grandezas inversamente proporcionais). III. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, mais peças serão produzidas (grandezas diretamente proporcionais). Horas/Dia Máquinas Dias Número de Peças X =.. =.. => = x x x = x= 8 horas / dia x 4 Memorize para a prova: Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões (proporção). Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de duas razões (proporção). 12

13 12.7. Porcentagem As porcentagens são razões cujo denominador é 100. Também são conhecidas como razões centesimais e taxas percentuais. Não entendeu? Vamos ver uma questão de prova para entender melhor o assunto. q Porcentagem: 100 ou q%, onde q é um número. Já caiu em prova! (AFC-CGU-2004-Esaf) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior Alice Peso Inicial = P I - Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso % = 0, = P 1 = P 20%.P = P 0,20.P = 0,80.P II - A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. P 2 = 0,8.P + 20%.0,8.P = 0,8.P + 0,20 x 0,80.P = 0,80.P + 0,16.P = 0,96.P III - Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso % = 0, = 13

14 P 3 = 0,96.P 25%.0,96.P = 0,96.P 0,25 x 0,96.P P 3 = 0,96.P 0,24.P = 0,72.P IV - Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: P Final = 0,72.P + 25%.0,72.P = 0,72.P + 0,25 x 0,72.P P Final = 0,72.P + 0,18.P = 0,90.P = P = 90%.P Portanto, o peso final é 10% menor que o peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas. GABARITO: D Memorize para a prova: Porcentagens: são razões cujo denominador é 100. q Porcentagem: 100 ou q%, onde q é um número Raciocínio Sequencial, Orientação Espacial e Temporal, Formação de Conceitos e Discriminação de Elementos Este tópico abrange aquelas questões estilo psicotécnico, ou seja, são questões para testar, efetivamente e literalmente, o seu raciocínio lógico. Vamos ver alguns exemplos: Exemplo 1: Assinale a alternativa que completa a seguinte seqüência: 1/2, 2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13,... a) 11/15 b) 13/15 c) 13/17 d) 15/17 e) 15/19 Repare a seqüência: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 ela corresponde a uma seqüência de números primos. Na seqüência da questão, o numerador da fração anterior é igual ao denominador da fração seguinte. Repare: 1/2, 2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13,... Logo, o próximo numerador é 13 e o denominador é o número primo após 13 (17) 13/17. GABARITO: C 14

15 Exemplo 2: Assinale a alternativa que completa a seqüência abaixo: a) 40 b) 49 c) 44 d) 81 e) Repare que a seqüência corresponde aos números, em ordem crescente, a partir do zero, elevados ao quadrado: 0 2 = 0; 1 2 = 1; 2 2 = 4; 3 2 = 9; 4 2 = 16; 5 2 = 25; 6 2 = 36; 7 2 = 49;... GABARITO: B Exemplo 3: Assinale a alternativa que contém as letras que completam a seqüência abaixo: C. J. E P. N. M A. H. C =... a) M.N.J b) N.L.J c) J.H.G d) N.M.I e) N.M.J As letras do denominador ocupam duas posições a menos no alfabeto que suas correspondentes no numerador. C menos duas letras A J menos duas letras H E menos duas letras C P menos duas letras => N N menos duas letras => L M menos duas letras => J N.L.J GABARITO: B 15

16 Exemplo 4: Assinale a alternativa que completa a seqüência de dominós abaixo: a) b) c) d) e) Repare que somando 2 a cada número obtém-se o número seguinte (lembrando que, no dominó, os números variam de 0 a 6). Seqüência de números no dominó: 0, 1, 2, 3, 4, 5, = = = = = = = 0 GABARITO: C 16

17 Exemplo 5: Assinale a alternativa que completa a seqüência abaixo:? a) b) c) d) e) A figura gira 90 0 no sentido horário e o traço, que começa no meio, vai alternando a sua posição. Logo, a próxima figura da seqüência será: c) GABARITO: C Outros Assuntos que Podem Cair em Prova Progressão Aritmética (PA) É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: PA 1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21,...) razão = 4 (PA crescente) PA 2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15,...) razão = 0 (PA constante) PA 3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50,...) razão = -10 (PA decrescente) Seja a PA (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. 17

18 De acordo com a definição: a 2 = a r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r (...) a n = a 1 + (n 1). r Termo Geral da PA n termo de ordem n (n-ésimo termo) r razão a 1 primeiro termo Exemplo: Determine o milésimo termo da PA abaixo. PA = (1, 3, 5, 7, 9,...) a 1 = 1 r = 3 1 = 2 a 1000 (n = 1.000) = a 1 + (1000-1).2 = = = 1999 Considere: a j termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA a k termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA a j = a k + (j - k).r Exemplo: Se numa PA, o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a sua razão? a 5 = 30 a 20 = 60 a 20 = a 5 + (20-5). r 60 = 30 + (20-5).r = 15.r r = 2 Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : (x, y, z) y = (x + z) / 2 Sabe-se que: x = y r e z = y + r => (x + z)/2 = (y - r + y + r)/2 = 2y/2 = y II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PA : (m, n, r, s, t) m + t = n + s = r + r = 2r Soma dos n primeiros termos de uma PA Considere a seguinte PA = (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n = a1 + an. n 2 Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PA abaixo. PA= (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,...) a 200 = a 1 + (200-1).r = =

19 S n = Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados a1 + an n =.200= Já caiu em prova! (APO-MPOG-2010-Esaf) Ana é nutricionista e está determinando o peso médio em quilos (kg) de todos seus 50 clientes. Enquanto Ana está somando os pesos de seus clientes, para calcular a média aritmética entre eles, sem perceber, ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. Essa troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 clientes; a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos trocados é, em quilos, igual a: a) 38 b) 45 c) 36 d) 40 e) 46 Média Correta dos Pesos = (P 1 + P P 50 )/50 Suponha que o peso P 1 é aquele que teve os dígitos trocados, ou seja, P 1 era igual a XY, mas Ana considerou YX. Média Correta dos Pesos (MC) = (XY + P P 50 )/50 (I) Média Incorreta dos Pesos (MI) = (YX + P P 50 )/50 (II) Fazendo (II) (I): MI MC = (YX XY)/50 (III) MI = MC + 0,9 kg (dado da questão) MI MC = 0,9 (IV) Como (III) = (IV): (YX XY)/50 = 0,9 YX XY = 45 Como o número está entre 28 e 48, vamos testar: XY = 28 YX = 82 YX XY = = 54 XY = 29 YX = 92 YX XY = = 63 XY = 30 YX = 3 Como YX é menor, a diferença será negativa. XY = 31 YX = 13 Como YX é menor, a diferença será negativa. XY = 32 YX = 23 Como YX é menor, a diferença será negativa. XY = 33 YX = 33 YX XY = 0 XY = 34 YX = 43 YX XY = = 9 XY = 35 YX = 53 YX XY = = 18 XY = 36 YX = 63 YX XY = = 27 XY = 37 YX = 73 YX XY = = 36 XY = 38 YX = 83 YX XY = = 45 Repare que é uma PA de razão

20 Ou: YX = 10Y + X XY = 10X + Y YX XY = 45 10Y + X 10X Y = 45 9Y 9X = 45 Y X = 5 (logo, a única alternativa possível é 38 Y X = 8 3 = 5) GABARITO: A Memorize para a prova: Progressão Aritmética: a 2 = a r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r (...) a n = a 1 + (n 1). r Termo Geral da PA n termo de ordem n (n-ésimo termo) r razão a 1 primeiro termo Considere: a j termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA a k termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA a j = a k + (j - k).r Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PA : (m, n, r, s, t) m + t = n + s = r + r = 2r Soma dos n primeiros termos de uma PA Considere a seguinte PA = (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n = a1 + an. n

21 Progressão Geométrica (PG) É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior multiplicado por um valor constante denominado razão (q). Exemplos: PG 1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) razão = 3 (PG crescente) PG 2 = (15,15, 15, 15, 15,...) razão = 1 (PG constante ou estacionária) PG 3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4,...) razão = 1/2 (PG decrescente) PG 4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) razão = -3 (PG alternante) Seja a PG (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. De acordo com a definição: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q = (a 1. q). q = a 1. q 2 a 4 = a 3. q = (a 1. q 2 ). q = a 1. q 3 (...) a n = a 1. q n-1 Termo Geral da PG n termo de ordem n (n-ésimo termo) q razão a 1 primeiro termo Exemplo: Determine o milésimo termo da PG abaixo. PA = (1, 3, 9, 27, 81,...) a 1 = 1 q = 3/1 = 3 a 1000 (n = 1.000) = a 1.q n-1 = = Considere: a j termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA a k termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA a j = a k. q (j-k) Exemplo: Se numa PG, o segundo termo é 3 e o sexto termo é 243, qual a sua razão? a 2 = 3 a 6 = 243 a 6 = a 2. q = 3. q 4 81 = q 4 q = 3 Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos deste. Exemplo: PG: (x, y, z) y = x. z 21

22 Sabe-se que: x = y/q e z = y. q y = = = q 2 x. z. y. q y y II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PG : (m, n, r, s, t) m. t = n. s = r. r = r 2 Soma dos n primeiros termos de uma PG Considere a seguinte PG = (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n =.(1 n a ) 1 q, q 1 1 q Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PG abaixo. PA= (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024,... ) S n = a q 1 q 1 2.(1 n ) 1.( ) = = 2 1 Nota: 1) Se q = 1 S n = n.a 1 2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: S n (n muito grande) = 1 3) P ( a a ) n = produto dos n primeiros termos de uma PG.. n 1 n Memorize para a prova: Progressão Geométrica: Seja a PG (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. De acordo com a definição: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q = (a 1. q). q = a 1. q 2 a 4 = a 3. q = (a 1. q 2 ). q = a 1. q 3 (...) a n = a 1. q n-1 Termo Geral da PG n termo de ordem n (n-ésimo termo) q razão a 1 primeiro termo Considere: a j termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA a k termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA a j = a k. q (j-k) a 1 q 22

23 Memorize para a prova: Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos deste. Exemplo: PG: (x, y, z) y = x. z Sabe-se que: x = y/q e z = y. q Movimento Uniforme y = = = q 2 x. z. y. q y y II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PG : (m, n, r, s, t) m. t = n. s = r. r = r 2 Soma dos n primeiros termos de uma PG Considere a seguinte PG = (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n = Nota: 1) Se q = 1 S n = n.a 1.(1 n a ) 1 q, q 1 1 q 2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: S n (n muito grande) = 1 3) P ( a a ) n = produto dos n primeiros termos de uma PG.. n 1 n a 1 q É o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. Instante t 0 v Instante t v S 0 S a = aceleração = zero v = velocidade = constante e diferente de zero s = posição no instante t s 0 = posição no instante t 0 s = s 0 + v.t Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo 23

24 Memorize para a prova: Movimento Uniforme: a = aceleração = zero v = velocidade = constante e diferente de zero s = posição no instante t s 0 = posição no instante t 0 s = s 0 + v.t Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo Já caiu em prova! (AFC-STN-2008-Esaf) Uma equipe de três policiais está em uma viatura perseguindo o carro de Telma e Louise que corre por uma estrada reta onde existe um túnel construído também em linha reta. Antes de chegarem até o túnel, os policiais avistam o carro de Telma e Louise que já está dentro do túnel -, exatamente a 200 metros de uma das extremidades. Na posição em que o carro das moças se encontra, elas acreditam que têm duas opções de fuga: continuar dirigindo no sentindo em que se encontram ou dirigirem em direção à polícia. A partir da velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais concluíram, acertadamente, que as moças não poderão fugir se forem capturadas no túnel. Ou seja, os policiais poderão apanhá-las numa ou noutra extremidade do túnel, independentemente da direção que elas tomarem. Sabe-se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais locomovem-se a velocidades constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro de comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da viatura e a do carro das moças é dada por: a) 3/2 b) 3/5 c) 7/5 d) 3/4 e) 5/3 I Hipótese I: Telma e Louise tentam fugir pela entrada do túnel. Túnel = 1 km = m v p Telma Louise v t Polícia 200 m 800 m A X 0 Repare que a questão estabelece que a distância do carro de Telma e Louise a uma das extremidades do túnel é de 200 metros, mas não estabelece qual é a extremidade. Nesta hipótese, considerei que a distância até a saída de túnel é de 200 metros. 24

25 Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel, temos que, na extremidade A, nesta hipótese, os carros irão se encontrar: Polícia: s p = s o + v p.t s p = 0 + v p.t s p = v p.t (I) Telma e Louise: s t = s o + v t.t s t = (x + 800) - v t.t (II) repare que a velocidade do carro de Telma e Louise é em sentido contrário de nosso eixo de referência. Por isso, o sinal negativo. No instante t, quando s = x, os carros se encontram: s p = s t = x s p = v p.t x = v p.t t = x/v p Substituindo em (II): s t = (x + 800) - v t.t x = x v t.x/v p v t /v p = 800/x II Hipótese II: Telma e Louise tentam fugir pela saída do túnel. Túnel = 1 km = m v p v t Telma Louise Polícia B 200 m 800 m A X 0 Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel, temos que na extremidade B, nesta hipótese, os carros irão se encontrar: Polícia: s p = s o + v p.t s p = 0 + v p.t s p = v p.t (I) Telma e Louise: s t = s o + v t.t s t = (x + 800) + v t.t (II) No instante t, quando s = x , os carros se encontram: s p = s t = x s p = v p.t x = v p.t t = (x )/v p Substituindo em (II): s t = (x + 800) + v t.t x = x v t.(x )/v p v t /v p = 200/(x ) Relações obtidas: I: v t /v p = 800/x x = 800/(v t /v p ) = 800.v p /v t (III) II: v t /v p = 200/(x ) (IV) 25

26 Substituindo (III) em (IV): v v t p = = = x vp vp v v v 1 vp t = vt vp 4. vp 5. vt vp 5. vt 3. vp v v + = + = = p p vt v v p = v t 5 3 t t t Se fizéssemos considerando que a distância de 200 m é em relação à entrada do túnel, teríamos: I Hipótese I: Telma e Louise tentam fugir pela entrada do túnel. Túnel = 1 km = m v p Telma Louise v t Polícia 800 m 200 m A X 0 Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel, temos que, na extremidade A, nesta hipótese, os carros irão se encontrar: Polícia: s p = s o + v p.t s p = 0 + v p.t s p = v p.t (I) Telma e Louise: s t = s o + v t.t s t = (x + 200) - v t.t (II) =>repare que a velocidade do carro de Telma e Louise é em sentido contrário de nosso eixo de referência. Por isso, o sinal negativo. No instante t, quando s = x, os carros se encontram: s p = s t = x s p = v p.t x = v p.t t = x/v p Substituindo em (II): s t = (x + 200) - v t.t x = x v t.x/v p v t /v p = 200/x II Hipótese II: Telma e Louise tentam fugir pela saída do túnel. Túnel = 1 km = m v p v t Telma Louise Polícia B 800 m 200 m A X

27 Como os policiais irão apanhá-las em uma ou outra extremidade do túnel, temos que na extremidade B, nesta hipótese, os carros irão se encontrar: Polícia: s p = s o + v p.t s p = 0 + v p.t s p = v p.t (I) Telma e Louise: s t = s o + v t.t s t = (x + 200) + v t.t (II) No instante t, quando s = x , os carros se encontram: s p = s t = x s p = v p.t x = v p.t t = (x )/v p Substituindo em (II): s t = (x + 200) + v t.t x = x v t.(x )/v p v t /v p = 800/(x ) Relações obtidas: I: v t /v p = 200/x x = 200/(v t /v p ) = 200.v p /v t (III) I: v t /v p = 800/(x ) (IV) Substituindo (III) em (IV): v v t p = = = x vp vp v v v 4 vp t = vt vp vp 5. vt 4. vp 5. vt 3. vp v v + = + = = p p vt + 5 v v p = v t 5 3 GABARITO: E t t t 27

28 Memorize para a prova Operações com Pares Ordenados: 1) Igualdade: (a,b) = (c,d) a = c e b =d 2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) 3) Multiplicação: (a,b). (c,d) = (ac bd, ad + bc) Números Complexos: Propriedades: I. Adição: Associativa: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) Comutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro z 1 + z = z 1 Elemento Simétrico: z + z = (0,0). Logo, se z = (x,y), então z = (-x,-y) II. Multiplicação: Associativa: (z 1. z 2 ). z 3 = z 1. (z 2. z 3 ) Comutativa: z 1. z 2 = z 2. z 1 Distributiva: z 1. (z 2 + z 3 ) = z 1. z 2 + z 1. z 3 Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro z 1. z = z 1 Elemento Inverso: z. z = (1,0). Normalmente, para todo n N : i 4n = 1 i 4n+1 = i i 4n+2 = -1 i 4n+3 = -i z = x + y.i forma algébrica de escrever o número complexo. x (número real) = denominado parte real de z. y (número real) = denominado parte imaginária de z. Complexo Conjugado Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é: =. z x y i Logo, pode-se deduzir que o conjugado de z= x y. i é z = x + y.i. z= x+ y. i z= x y. i Propriedades do Conjugado: I) z + z = 2.Re(z) II) z - z = 2.Im(z).i III) z = z z R z + z = z + z IV) z. z = z. z V)

29 Utilização do conjugado na divisão: para calcular z 2 /z 1, basta multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador. Exemplo: i (3+ 2. i).(1 i) ( i+ 2. i 2. i ) 5 i 5 1 = = = = 2. i 1 + i (1 + i).(1 i) (1 i+ i i ) Razão: é o quociente entre dois números racionais, sendo que o denominador deve ser diferente de zero. Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc. Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual Exemplo: = = = = = Proporção: é a igualdade entre duas razões. Propriedades da Proporção: Considere a proporção a b c = d I) a.d = b.c II) a c a+ b c+ d a+ b c+ d a b c d = = ou = ou = b d a c b d a c a b c d a+ c a c a c a c ou = ou = = ou = = b d b+ d b d b d b d Números Diretamente Proporcionais: x y z Se = =, então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são a b c números racionais). Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou diminuição da outra grandeza. Números Inversamente Proporcionais: Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c são números racionais). Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou aumento da outra grandeza. 29

30 Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões (proporção). Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de duas razões (proporção). Porcentagens: são razões cujo denominador é 100. q Porcentagem: 100 ou q%, onde q é um número. Progressão Aritmética: a 2 = a r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r (...) a n = a 1 + (n 1). r Termo Geral da PA n termo de ordem n (n-ésimo termo) r razão a 1 primeiro termo Considere: a j termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA a k termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA a j = a k + (j - k).r Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PA : (m, n, r, s, t) m + t = n + s = r + r = 2r Soma dos n primeiros termos de uma PA Considere a seguinte PA = (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n = a1 + an. n 2 Progressão Geométrica: Seja a PG (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. De acordo com a definição: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q = (a 1. q). q = a 1. q 2 a 4 = a 3. q = (a 1. q 2 ). q = a 1. q 3 (...) a n = a 1. q n-1 Termo Geral da PG n termo de ordem n (n-ésimo termo) 30

31 q razão a 1 primeiro termo Considere: a j termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA a k termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA a j = a k. q (j-k) Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos deste. Exemplo: PG: (x, y, z) y = x. z Sabe-se que: x = y/q e z = y. q y q 2 x. z =. y. q = y = y II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplo: PG : (m, n, r, s, t) m. t = n. s = r. r = r 2 Soma dos n primeiros termos de uma PG Considere a seguinte PG = (a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n ) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n = Nota: 1) Se q = 1 S n = n.a 1.(1 n a ) 1 q, q 1 1 q 2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: S n (n muito grande) = 1 3) P ( a a ) n = produto dos n primeiros termos de uma PG.. n 1 n Movimento Uniforme: a = aceleração = zero v = velocidade = constante e diferente de zero s = posição no instante t s 0 = posição no instante t 0 s = s 0 + v.t Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo a 1 q 31

32 Exercícios de Fixação 1.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 2.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 27 b) 48 c) 35 d) 63 e) 72 3.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Com 50 trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 4.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas 32

33 5.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas- Sefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? a) 120 b) 20 c) 30 d) 60 e) 10 6.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas- Sefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: a) a bicicleta valerá mais que a moto. b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. c) nenhum dos 3 valerá nada. d) a bicicleta valerá mais que o carro. e) apenas a bicicleta valerá algo. 7.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas- Sefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. a) 45m b) 35m c) 20m d) 50m e) 65m 33

34 8.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. 9.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? a) 60 b) 50 c) 40 d) 70 e) (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os três pintariam: a) 15 metros quadrados em 3 horas. b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. c) 6 metros quadrados em 50 minutos. d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. e) 5 metros quadrados em 40 minutos. 11.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ ,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? a) 20% b) 24% c) 30% d) 42% e) 36% 12.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve ir de ônibus de A até B e de trem de B até C, sendo que B está na metade do caminho entre A e C. Os ônibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem sempre no mesmo horário, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade média do ônibus para ir de A até B é de 60 km/h, que a distância entre A e C é 34

35 de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia para C e chegou em C exatamente uma hora e meia após partir de A, qual a velocidade média do trem para ir de B até C? a) 100 km/h b) 90 km/h c) 70 km/h d) 80 km/h e) 60 km/h 13.(ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo apos se encontrarem. a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55% 14.(ANA-2009-Esaf) Em um ponto de um canal, passam em media 25 barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando não esta chovendo, exceto nos domingos, quando a freqüência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do numero médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo? a) 24,33 b) 26,83 c) 25,67 d) 27,00 e) 30,00 15.(ANA-2009-Esaf) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada e na primeira bandeirinha e a chegada na ultima. O corredor que esta na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela 13 a bandeirinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo em que ele correra o percurso todo será de: a) 17,54 segundos. b) 19 segundos. c) 20,58 segundos. d) 20 segundos. e) 21,67 segundos. 35

36 16.(APO-Mpog-2008-Esaf) No último mês, cinco vendedores de uma grande loja realizaram as seguintes vendas de pares de calçados: Paulo vendeu 71, Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Sérgio 91. Ana é diretora de vendas e precisa calcular a venda média de pares de calçados realizada por estes cinco vendedores. Para este cálculo, a empresa disponibiliza um software que calcula automaticamente a média de uma série de valores à medida que os valores vão sendo digitados. Ana observou que, após digitar o valor de cada uma das vendas realizadas pelos vendedores, a média calculada pelo software era um número inteiro. Desse modo, o valor da última venda digitada por Ana foi a realizada por: a) Sérgio b) Jorge c) Paulo d) Eduardo e) Ricardo 17.(Enap-2006-Esaf) A média aritmética entre as idades de Ana, Amanda, Clara e Carlos é igual a 16 anos. As idades de Ana e Amanda são, respectivamente, iguais a seis e oito anos. Paulo, primo de Ana, é quatro anos mais novo do que Carlos. Jorge, irmão de Amanda, é oito anos mais velho do que Clara. Assim, a média aritmética entre as idades de Jorge e Paulo é, em anos, igual a a) 20. b) 13. c) 24. d) 27. e) (Enap-2006-Esaf) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro da fila, são, respectivamente, a) amarelo e verde. b) preto e azul. c) azul e verde. d) verde e preto. e) preto e amarelo. 36

37 19.(Aneel-2006-Esaf) Uma progressão aritmética é uma seqüência de números a1, a2, a3,..., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir: a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r,...an = an-1 + r, onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3,..., gn, cuja lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um produto, conforme representação a seguir: g2 = g1 * q, g3 = g2 * q, g4 = g3 * q,...gn = g n-1*q, onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre r e q é igual a: a) -12 b) -15 c) 10 d) 12 e) 8 20.(Aneel-2006-Esaf) Ana foi visitar Bia que mora a uma distância de 150 km de sua casa. Ana percorreu esta distância em seu automóvel, com uma determinada velocidade média, gastando x horas para chegar à casa de Bia. Ana teria percorrido os mesmos 150 km em duas horas a menos, se a velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20 km/h (quilômetros por hora). Com estas informações, pode-se concluir que Ana percorreu os 150 km a uma velocidade média, em quilômetros por hora, igual a: a) 25 b) 30 c) 40 d) 35 e) (Técnico-MPU-2004-Esaf) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a a) 2 / (x+y) horas. b) x / (y-x) horas. c) 1 / 2x horas. d) 1/ 2y horas. e) x / 2 (y-x) horas. 37

38 22.(AFC-CGU-2004-Esaf) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e)