Trabalho Computacional II

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1 Matemática Experimental 1 Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação, 1 ō ano 2008/09 Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Lisboa Trabalho Computacional II Data limite de entrega: 5 de Dezembro de 2008 Observações: O relatório do trabalho computacional (sob a forma de notebook) deve ser enviado por para [email protected]. A primeira célula do notebook deve conter a identificação completa dos autores e número de grupo. Antes de enviar o notebook, apague todos os gráficos e output (utilize os menus Cell Delete All Output), deixando apenas o input, texto e comentários que julgue necessários. O trabalho deverá ser enviado em attachment usando nomes do tipo TC2Gry.nb onde y representa o número do grupo. Trabalhos recebidos fora do prazo estabelecido não serão corrigidos. 1. Considere a função real de variável real [4.0] f(x) = x 2 + (x + 1) 2/3 Pretende-se determinar os pontos de máximo e mínimo da função no intervalo I = [ 3, 3]. Para o efeito comece por determinar os pontos críticos da função, isto é, os valores x ( 3,3) tais que f (x) = 0, bem como os valores x ( 3,3) onde f (x) não exista. a) A função f está definida em R. No entanto se usar a rotina Plot no intervalo I não obtém o gráfico de f. Porquê? Note que se reescrever a expressão (x + 1) 2/3 na forma equivalente ((x + 1) 2 ) (1/3) a dificuldade desaparece. b) A partir da expressão da função f obtenha aproximações dos pontos críticos de f (com erro não superior a 10 6 ). Sugestão: para determinar os pontos que anulam f utilize convenientemente o comando Together, e para obter os pontos onde a derivada não existe recorra ao comando Denominator. Interprete o resultado da instrução Solve[Numerator[Together[f [x]]] == 0,x]//N 1 mgraca.

2 ME 2008/ c) Classifique os pontos de extremo da função f, isto é, os pontos (x,y), com x I, onde y é máximo ou mínimo (local ou global). Conclua se os seus resultados estão ou não de acordo com o que observa graficamente. d) Considere agora o intervalo [ 10,10]. Complete a seguinte tabela: f x 4 + (x + 1) 4/3 x 8 + (x + 1) 8/3 extremos/classificação Confirme os seus resultados através das rotinas FindMaximum e Find- Minimum. 2. Dados os vértices de um triângulo, A = (x A,y A ), B = (x B,y B ) e C = [5.0] (x C,y C ), ordenados por ordem crescente das respectivas abcissas, pretende-se desenhar as alturas do triângulo. Representamos essas alturas por meio de determinados segmentos de recta, conforme é ilustrado nos exemplos a seguir. Exemplo 1 Na Figura 1 está desenhado a fundo negro um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (10,3) e C = (20, 2). O pé de cada uma das alturas está assinalado através de um ponto a cor azul, e as alturas a cor vermelha. Figura 1: Todas as alturas localizadas sobre o triângulo. Exemplo 2 Neste caso (Figura 2) duas das alturas estão traçadas no exterior do triângulo. a) Dados os vértices de um triângulo, deduza fórmulas que lhe permitam calcular os pontos do plano representando os pés das alturas do triângulo.

3 ME 2008/ Figura 2: Duas alturas localizadas no exterior do triângulo. b) Escreva um programa Mathematica que tenha para dados uma lista contendo os vértices de um triângulo, e que dê como resultado uma figura contendo peças gráficas análogas às dos exemplos anteriormente apresentados. Explique o funcionamento do seu programa. c) As coordenadas dos vértices de um certo conjunto de triângulos são dadas pelas instruções: dados = T able[seedrandom[k]; RandomInteger[{ 20, 20}, {3, 2}], {k, 200, 205}] Ordene convenientemente os vértices de cada triângulo da lista dados e depois utilize o programa que denvolveu na alínea anterior para desenhar as respectivas figuras. Alguma das Figuras 1 ou 2 faz parte dos resultados que obteve? Nota Poderá ser útil levar em consideração os seguintes resultados: Dados os vértices A, B, C de um triângulo qualquer, um critério para decidir se um ponto P = (x P,y P ) é exterior ao triângulo ABC é o seguinte: área(pab) + área(pbc) + área(pac) > área(abc) A área de um triângulo ABC pode ser calculada mediante a fórmula área(abc) = 1 x A x B x C valor absoluto (Det 2 y A y B y C ) 3. Uma estimativa do número N de civilizações extraterrestres pode ser rea- [5.0] lizada através de uma equação famosa, da autoria do astrónomo Frank Drake (1960). Essa equação é conhecida por equação de Frank Drake.

4 ME 2008/ a) Informe-se a respeito dessa equação. Use o sistema Mathematica para apresentar o resultado das estimativas de N apresentadas pelo astrónomo Carl Sagan no vídeo intitulado Carl Sagan on Drake Equation, que encontra no You Tube. Note que essas estimativas variam muito em resultado do valor atribuído a um certo parâmetro representando a fracção de tempo de sobrevivência de uma civilização que disponha de tecnologias de destruição maciça, parâmetro esse que C. Sagan designou pelo símbolo f L. b) Aplique as estruturas Manipulate e Module num programa para estudar a equação de Drake, usando nessa equação os valores que C. Sagan utilizou no referido vídeo. Faça variar f L no intervalo desde f Lmin = 1/10 6 a f Lmax = 1/10 3, com decréscimos que considere apropriados 2. Apresente o resultado num painel onde apareça o número N estimado para cada valor de f L considerado, bem como o valor da respectiva média geométrica quando f L varia no referido intervalo, desde f Lmin ao valor actual de f L. Qual é o número de civilizações extraterrestres que se podem prever na nossa galáxia quando f L se encontra no ponto médio do intervalo em causa? c) Reutilize os valores de C. Sagan para a equação de Drake, mas considerando f L como variável. Existe algum valor de f L para o qual N = 1? Se assim for, escolha um intervalo de variação para f L no qual N assuma o valor 1. Modifique o código do programa da alínea anterior de modo que quando N = 1 apenas apareça no respectivo painel a figura do famoso extra-terrestre E.T. (poderá obter esta figura no site Wikipedia, no texto intitulado E.T. the Extra-Terrestrial ). 4. Responda apenas a um dos problemas A ou B propostos a seguir. A) (Problema 4 das folhas Laboratório IV) [5.0] Muitos primos consecutivos aparecem em pares que diferem de k = 2 unidades, e por isso se dizem primos gémeos. Por exemplo, os números 3,5 5,7 11,13 17,19 29,31 41,43,... são primos gémeos. A experimentação numérica diz-nos que parece existir uma infinidade de primos gémeos, mas esta conjectura ainda não foi provada. a) Sendo dados n > 2 e k 2, utilize a rotina Prime e/ou NextPrime, de modo a determinar todos os números primos consecutivos menores ou iguais a n, que diferem entre si de k unidades. b) Verifique se é verdade existirem 35 pares de primos gémeos para n = 1000, e 205 para n = c) Para n desde 7 a 1000 conclua se existem ou não pares de primos diferindo de k = 4 unidades e, existindo, calcule quantos e que pares são esses. 2 Se preferir, pode utilizar um outro intervalo que considere mais conveniente. Nesse caso deverá justificar a escolha que fizer.

5 ME 2008/ d) Conjectura-se que, para valores grandes de n, o número de primos gémeos menores ou iguais a n pode estimar-se mediante o produto a seguir designado por c n : c n = f(n), onde f(n) = n 2 dx (ln x) 2 O integral anterior pode ser calculado recorrendo às rotinas Integrate ou N Integrate. Irá no entanto aproximar esse integral usando um método numérico conhecido pela designação de Regra de Simpson 3 : Dada uma função g, definida no intervalo [a,b], para calcular o integral definido I = b a g(x)dx, divida o intervalo [a,b] em 2N (N 1) subintervalos de comprimento h = (b a)/(2n), e considere os pontos desse intervalo x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h,...,x 2 N = b. Um valor aproximado de I é calculado mediante a expressão Ĩ = h 3 [y 0 + y 2 N + 2(y 2 + y y 2N 2 ) + 4(y 1 + y y 2 N 1 )], onde y i = g(x i ). Teste a conjectura referida para n desde 2000 a 10000, com incrementos de 500 unidades. Apresente os resultados numa tabela, comparando o número de primos gémeos obtido mediante aplicação do código que desenvolveu nas alíneas anteriores, com o número estimado através de c n. Comente. e) Segundo informação que se encontra no site MathWorld, 4 da autoria de Eric W. Weisstein, em 2004 a conjectura dos primos gémeos quase que deixava de o ser. Porquê? B) Pretende-se estudar a evolução de uma doença numa determinada floresta. [6.0] As árvores estão alinhadas segundo filas paralelas, de tal modo que formam m linhas e n colunas. Cada árvore pode estar em um de três estados: sã, infectada ou doente. Eis regras de evolução para o estado de cada árvore: (i) De ano para ano, uma árvore sã torna-se infectada se o número de árvores vizinhas infectadas for superior a 2. Para cada árvore não localizada na periferia da floresta, são consideradas como árvores vizinhas as 4 árvores que se localizem, respectivamente a Norte, Sul, Este e Oeste da árvore considerada. No caso das árvores localizadas na periferia, ou seja, na primeira linha (coluna), ou na última linha (coluna), o número de árvores vizinhas é menor; (ii) Uma árvore infectada torna-se doente dois anos depois de ter sido contaminada; (iii) Uma árvore doente recupera a saúde dois anos depois de ter contraído a doença. 3 Ver, por exemplo, Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989, página

6 ME 2008/ Por exemplo, considere uma floresta constituída por 4 filas de 5 árvores. Represente-se uma árvore sã pelo número 0, uma infectada por 1, e uma doente por 2. Admita que o estado inicial da floresta é dado pelo seguinte esquema, onde se reconhecem 11 árvores infectadas, 8 sãs e 1 doente: (iv) Suponha ainda que todas as árvores que estejam infectadas, no ano anterior estavam sãs, e que todas as árvores doentes, no ano anterior estavam infectadas. De acordo com as regras enunciadas, a evolução da floresta nos dois anos seguintes traduz-se da seguinte forma: (12 árvores infectadas, 1 doente, e 7 sãs); (2 árvores infectadas, 11 doentes e 7 sãs). a) Tomando para dados de entrada o estado de uma floresta (representado por um esquema semelhante ao primeiro do exemplo), e um número inteiro k (k 1), escreva um algoritmo para simular a evolução da floresta. À saída deverá obter o estado da floresta decorridos k anos. (Sugestão: escreva separadamente uma função que, dado o estado da floresta e as coordenadas de uma árvore, calcule o número de árvores infectadas vizinhas dessa árvore). b) Observe se é ou não verdade que o estado da floresta do exemplo considerado se mantém inalterado decorridos um certo número de anos. c) Simule uma floresta de 15 filas de 10 árvores, cuja evolução está sujeita às regras anteriormente enunciadas. A configuração inicial é tal que 30% das suas árvores estão contaminadas, 20% estão doentes e as restantes estão sãs. A localização das árvores de cada tipo será aleatória. Para esse efeito, recorra ao gerador de números pseudoaleatórios do sistema Mathematica, começando por fixar a semente SeedRandom[2008]. Calcule o estado da floresta decorridos 7 anos. Represente graficamente a floresta (mediante um processo que entenda apropriado) no estado inicial e no estado final. Observe os estados intermédios e diga a que conclusões chegou.