A aposentadoria do serralheiro

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1 A aposentadoria do serralheiro Roberto Ribeiro Paterlini 1 1 Introdução Há algum tempo estava em casa lendo prazerosamente Um Poeta, um Matemático e um Físico, quando alguém bateu à porta Era o Sr Alcides Recebi-o com um misto de surpresa e curiosidade Ele é um dos mais antigos serralheiros da cidade, conhecido por sua competência e pelo capricho e criatividade com que exerce sua profissão Prof Roberto, começou ele Estou para me aposentar, e meu filho está assumindo minha empresa Mas antes preciso resolver um problema que muito me aflige Trata-se de algum problema de Matemática? perguntei Sim, respondeu Na minha profissão lidei muito com réguas, esquadros e compassos Apesar de ter pouco estudo, sempre dei conta do recado Mas existe uma situação que nunca consegui compreender a contento Contou-me ele que, há alguns anos, havia feito uma descoberta 2 A descoberta do Sr Alcides Repasso ao leitor, com minha própria explicação, o que me relatou o velho serralheiro Contou que, quando era jovem, lhe ensinaram como fazer vigas de sustentação usando quatro barras de ferro As barras ficavam armadas com retângulos em X, colocados transversalmente a distâncias regulares Segundo seu desenho, essas seções com retângulos em X podem ser entendidas de acordo com a Figura 1 Ensinaram-me que as medidas desse retângulo deveriam estar na proporção de 1,5 disse o Sr Alcides Assim, se a medida menor era de 20 cm, a maior deveria ser de 30 cm Dessa forma a viga aguentava mais peso O Sr Alcides continuou seu relato contando que, depois de alguns anos, observando o trabalho dos marceneiros na sustentação de telhados, resolveu experimentar outra forma de fazer os retângulos de armação das vigas de ferro Tirei uma das transversais, e no lugar coloquei duas barras perpendiculares à outra transversal, uma de cada lado Para mim pareceu ser melhor que as duas barras perpendiculares deveriam dividir a transversal em três partes iguais Achei que, dessa forma, a viga aguentaria mais peso 1 Departamento de Matemática da UFSCar 1

2 Sentido da força Seção reforçada da viga Figura 1 Entendi que por tranversal o Sr Alcides estava querendo dizer diagonal do retângulo Fez um desenho que traduzo para nosso leitor na Figura 2 A diagonal fica dividida em três partes de mesmo comprimento Proposta de novo desenho para a seção reforçada da viga Figura 2 Depois disso, continuou o Sr Alcides, fiz muitas experiências e cheguei à conclusão de que a proporção entre as medidas do retângulo deveria ser de 1,4, e não 1,5 Assim, se a medida menor do retângulo fosse 20 cm, a medida maior deveria ser 28 Isso para que o esquema desse certo Fiquei preocupado em mudar o que me ensinaram Então fiz cuidadosamente muitos desenhos, e descobri que a proporção ideal seria um pouco mais do que 1,4, mas nunca consegui determinar com exatidão Sinto haver um enigma aí 2

3 3 Uma explicação Hum pensei com meus botões, seria 1, 4142 = 2? Fiz um desenho (Figura 3 à esquerda) e destaquei mentalmente um triângulo retângulo como na Figura 3 à direita: m c a n b Figura 3: Estudo da seção Dentre as relações métricas do triângulo retângulo considerei b 2 = na e c 2 = ma as mesmas usadas para demonstrar o Teorema de Pitágoras: é só somar membro a membro Mas agora dividi e obtive b 2 c = n 2 m A construção do Sr Alcides implica n = 2m, do que segue b 2 c 2 = 2m m = 2 b = c 2 Isso confirmava minha conjectura e também as supeitas do Sr Alcides A proporção entre as medidas do retângulo, como se expressava ele, era exatamente 2, portanto um pouco mais do que 1,4 Expliquei tudo ao Sr Alcides Conversamos sobre semelhanças de triângulos retângulos e os mistérios de 2 Despedimo-nos, ele muito feliz por ter confirmado algumas de suas percepções, e eu muito contente por conversar com alguém que apreciava a geometria 4 A história continua mais um pouco Voltei à minha leitura de Um Poeta, um Matemático e um Físico, mas logo a interrompi Fiquei pensando: já vi isso antes Há algum tempo que não leciono Cálculo Diferencial e Integral, mas sabia que ali encontraria o que procurava Peguei um livro e o abri na seção de máximos e mínimos Lá estava: Se uma viga de madeira é fixada horizontalmente pelas suas extremidades, então o peso máximo que ela pode suportar no seu ponto médio é proporcional (pelo menos aproximadamente) à 3

4 r (x, y) Figura 4: O problema da viga largura e ao quadrado de sua altura Se uma viga é tirada de uma tora cilíndrica de madeira de raio r, qual deve ser sua largura e sua altura para maximizar o peso que ela pode suportar? Fiz o desenho da Figura 4 A circunferência de raio r representa uma seção da tora cilíndrica Portanto o vértice (x, y) do retângulo satisfaz à equação x 2 + y 2 = r 2 A largura do retângulo é 2x e sua altura, 2y Assim a função que dá o peso máximo é k(2x)(2y) 2 = 8kxy 2 Substituindo y 2 por r 2 x 2 obtive 8kx(r 2 x 2 ) Dessa forma o problema se reduziu a encontrar o ponto de máximo da função f(x) = 8kx(r 2 x 2 ) no intervalo fechado [0, r] Calculei as derivadas f (x) = 8kx(r 2 3x 2 ) e f (x) = 48kx Vi que f (x) = 0 para x = r/ 3 e que f < 0 nesse ponto Como f(0) = 0, f(r) = 0 e f(x) > 0 para os outros valores de x, então x = r/ 3 é ponto de máximo, e é único Substituindo esse valor de x em x 2 + y 2 = r 2 obtive y = r 2/ 3 Concluí que a largura do retângulo que maximiza o peso que a viga pode suportar é 2x = 2r/ 3 e sua altura é 2y = 2r 2/ 3 Para esses valores observei que: 2y 2x = 2r 2/ 3 2r/ 3 = 2 Obtive a mesma proporção entre o lados do retângulo intuida pelo Sr Alcides Para encerrar minha análise, só faltava responder à seguinte questão: se o Sr Alcides conhecesse esse problema de Cálculo ele poderia concluir que, no retângulo de armação da viga de ferro, as barras perpendiculares deveriam dividir a transversal em três partes de mesmo comprimento? Para responder isso re-examinei a Figura 3, mas agora supondo que b = 2c Usando as mesmas relações métricas no triângulo retângulo b 2 = na e c 2 = ma vale que n m = na ma = b2 c = 2 n = 2m 2 4

5 Portanto a barra perpendicular de cima intercepta a diagonal na primeira terça parte Usando o outro triângulo retângulo se vê que se pode concluir o mesmo para a outra barra Tudo isso confirmava a descoberta do Sr Alcides Assim terminou aquele dia em que recebi a visita do velho serralheiro Já era mais de meia-noite, e fui dormir o sono dos justos Posteriormente, fazendo uma pesquisa na Revista do Professor de Matemática, encontrei o artigo [1], em que os autores determinam o máximo da função r 2 x x 3, equivalente à nossa função f(x), de três maneiras diferentes, sendo duas delas sem usar técnicas de Cálculo Diferencial e Integral 5 Referências bibliográficas [1] Carneiro, J P e Wagner, E, Vale a pena estudar Cálculo? Revista do Professor de Matemática, número 53 (2004), páginas 18 a 21, Sociedade Brasileira de Matemática [2] Jacobs, H R, Geometry Seeing, Doing, Understanding Terceira Edição New York, W H Freeman and Company, 2003 [3] Moise, E E, Cálculo, vol 1 São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1972 [4] Sotomayor, J, Um Poeta, um Matemático e um Físico: três ensaios biográficos por Henri Poincaré São Paulo, Editora da Universidade de São Paulo,