MATEMÁTICA FINANCEIRA

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2 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 a Edição

3 SOMESB SOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA. GERVÁSIO MENESES DE OLIVEIRA PRESIDENTE WILLIAM OLIVEIRA VICE-PRESIDENTE SAMUEL SOARES SUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO GERMANO TABACOF SUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVA SUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO FTC-EAD FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS ENSINO A DISTÂNCIA REINALDO DE OLIVEIRA BORBA DIRETOR GERAL MARCELO NERY DIRETOR ACADÊMICO JEAN CARLO NERONE DIRETOR DE TECNOLOGIA ANDRÉ PORTNOI DIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO RONALDO COSTA GERENTE ACADÊMICO JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSEN GERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO ROMULO AUGUSTO MERHY COORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS OSMANE CHAVES COORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE JOÃO JACOMEL COORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO MATERIAL DIDÁTICO PRODUÇÃO ACADÊMICA JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO ANA PAULA AMORIM SUPERVISÃO PRODUÇÃO TÉCNICA JOÃO JACOMEL COORDENAÇÃO CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOS REVISÃO DE TEXTO GECIARA DA SILVA CARVALHO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO COORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO ADRIANO PEDREIRA CATTAI MAURÍCIO PORTO SILVA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO AUTOR(A) EDIÇÃO EM L A T E X 2ε EQUIPE ALEXANDRE RIBEIRO, ANGÉLICA JORGE, CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DELMARA BRITO, DIEGO DORIA ARAGÃO, FÁBIO GONÇALVES, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO SERAFIM, MARIUCHA PONTE, RUBERVAL FONSECA E TATIANA COUTINHO. Copyright c FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei de 19/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância.

4 Sumário Bloco 1: A Matemática e o Cálculo Financeiro 6 Tema 1: Progressões Aritméticas e Geométricas, Juros Simples e Compostos Progressões Aritméticas Classificação das Progressões Aritméticas Termo Geral de uma Progressão Aritmética Representações Especiais de uma PA Soma dos n Primeiros Termos de uma PA Exercícios Propostos Progressões Geométricas Termo Geral de um Progressão Geométrica Representação Especial de uma PG Soma dos n Primeiros Termos de uma PG Soma dos Infinitos Termos de uma PG Exercícios Propostos Juros Simples Introdução Capitalização Simples Taxas Equivalentes em Juros Simples Análise Gráfica Exercícios Propostos Juros Compostos Capitalização Composta Taxas Equivalentes em Juros Compostos Análise Gráfica Juros Simples Juros Compostos Exercícios Propostos Taxa Nominal Taxa Efetiva Exercícios Propostos Tema 2: Descontos e Equivalência de Capitais Fluxo de Caixa Equivalência de Capitais Equivalência de Capitais a Juros Compostos Exercícios Propostos Desconto Desconto Racional Simples Exercícios Propostos Desconto Comercial Simples ou Bancário Exercícios Propostos Relação entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples Desconto Bancário Desconto Racional Composto Exercícios Propostos MATEMÁTICA FINANCEIRA 3

5 2.9 Desconto Comercial Composto Exercícios Propostos Bloco 2: Pagamentos, Financiamentos e Análise de Investimentos 45 Tema 3: Série de capitais, Inflação e Depreciação Série de Capitais Série Postecipada Exercícios Propostos Séries Antecipadas Exercícios Propostos Séries Diferidas Séries Diferidas Postecipadas Exercícios Propostos Séries Diferidas Antecipadas Exercícios Propostos Inflação Atualização de Preços Taxa Nominal e Taxa Real Exercícios Propostos Depreciação Método de Depreciação Linear Plano de Depreciação Exercícios Propostos Tema 4: Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Constante - SAC Exercícios Propostos Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios Propostos Sistema de Amortização Americano - SAA Exercícios Propostos Sistema de Amortização Variável - SAV Exercícios Propostos Análise de Investimentos Métodos de Avaliação de Investimentos Método do Valor Presente Líquido - VPL Exercícios Propostos Método da Taxa Interna de Retorno - TIR Exercícios Propostos Método do Prazo de Retorno - PayBack Exercícios Propostos Referências Bibliográficas 89

6 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Caro aluno, Poderíamos afirmar, sem equívoco algum, que, em forma resumida, a matemática financeira possui, basicamente, dois aspectos importantes: Os juros simples e os juros compostos. A matemática financeira poderia ser definida como a matemática do cotidiano, do dia-a-dia de cada um de nós. No simples ato de adquirir um certo bem de consumo, um televisor numa compra a prazo ou, então, pedir um desconto por estar comprando algo a vista, são exemplos práticos da influência da matemática financeira, seja por meios diretos ou indiretos, na vida de todos nós. O interessante na leitura deste material é que o aluno possa adquirir conhecimento suficiente ao ponto de questionar situações cotidianas como, por exemplo, saber se tal financiamento na hora de comprar um carro é, realmente o melhor dentre as opções fornecidas. No tema 1, as progressões aritméticas e geométricas, tão importantes no ensino médio, juntamente com os princípios básicos da matemática financeira, que são os juros simples e compostos. No tema 2, estudaremos equivalência de capitais e descontos, onde daremos bastante ênfase a situações do cotidiano. No tema 3, estudaremos todos os tipos de séries de pagamentos: postecipada, diferida e antecipada. Tais séries são utilizadas em situações como financiamento de imóveis, carros, compras a prazo, etc. No tema 4, abordaremos os principais sistemas de amortização, falaremos um pouco sobre inflação e depreciação. O estudo a distância é feito com base no estudante. Aqui o material apresenta a teoria de modo didático. Faça uma leitura de efeito, ou seja, com atenção e muita paciência, de modo que, todo conceito aqui escrito possa ser compreendido e assimilado. Agradecemos a ajuda de todos os professores que, exerceram, de algum modo, influência na construção desse material e, também, aos alunos leitores que nos ajudarão, continuamente, a aprimorá-lo. Desejamos uma boa leitura, e que Deus nos abençoe nesta caminhada. Prof. Maurício Porto Silva.

7 BLOCO 01 A Matemática e o Cálculo Financeiro TEMA 01 Progressões Aritméticas e Geométricas, Juros Simples e Compostos Apresentação Os conceitos de capitalização simples (Juros Simples) e de capitalização composta (Juros Compostos) estão presentes no dia-a-dia, seja de forma direta ou indireta. Adquirir um certo bem de consumo numa loja comercial qualquer, aplicar um certo valor em dinheiro numa caderneta de poupança são exemplos práticos da utilização da matemática financeira no cotidiano. Assim sendo, alguns questionamentos importantes se fazem presentes neste momento. Por exemplo: Qual será a melhor forma de investir o nosso dinheiro?, ou então: Será que essa forma de pagamento é a melhor dentre todas as disponíveis?. A resposta de tais perguntas não é tão difícil quanto parece; contudo, a compreensão dos conceitos e aplicações dos juros simples e compostos serão de fundamental importância para que possamos encontrar as respostas. Os conceitos de juros simples e compostos serão abordados neste tema; aplicações e exercícios para a fixação de todos os conceitos que serão apresentados se fazem presentes também. A matemática financeira possui uma linguagem ou forma de apresentação bastante simples e direta, tornando o estudo mais atrativo e interessante. Antes do estudo dos juros simples e compostos, faremos uma breve revisão sobre as progressões, um caso particular das seqüências numéricas. Entender os conceitos sobre progressões aritméticas e geométricas será muito importante dentro do contexto dos juros simples e compostos. 1.1 Progressões Aritméticas Introdução Bissexto é o ano em que ao mês de fevereiro é atribuído 29 dias ao invés de 28. Eles foram introduzidos no nosso calendário e são contados de quatro em quatro anos. Na realidade, um ano possui 365 dias e 6 horas e, para que possamos definir um ano com uma quantidade exata de dias, foi necessário criar o ano bissexto e, assim, a cada 4 anos as 24 horas acumuladas seriam compensadas. Sendo assim, os anos passaram a ter 365 dias exceto os bissextos, com 366 dias. Suponha que, a partir do ano de 2000, estivéssemos interessados em contar os anos bissextos. Assim, podemos escrever: 2.000, 2.004, 2.008, 2.012,... e, dessa forma, percebemos que todos os anos bissextos, a partir do ano de 2.000, formam uma seqüência numérica. Observa-se, também, que os elementos dessa seqüência são acrescidos em 4 unidades a partir do primeiro termo que no caso em questão seria o ano de Podemos visualizar a relação entre esses elementos de uma outra maneira, por exemplo, denotando por: a 1 = 2.000, a 2 = 2.004, a 3 = e a 4 = FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

8 temos que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor será sempre constante e igual a 4, ou seja, a 2 a 1 = a 3 a 2 = a 4 a 3 = 4. Seqüências numéricas que possuem tal característica são chamadas de progressões aritméticas. A definição formal de uma progressão aritmética, ou PA por abreviação é dado a seguir: 1.1 Definição. Uma progressão aritmética (PA) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2 termo) e do seu antecessor é um valor constante. A este valor constante dá-se o nome razão da PA e é, geralmente, representado pela letra r. Exemplo 1.1. (a) (2, 4, 6,...) é uma PA de razão r = 2; (b) (1, 1, 1,...) é uma PA de razão r = 0; (c) (4, 3, 2,...) é uma PA de razão r = Classificação das Progressões Aritméticas Podemos classificar as progressões aritméticas, de acordo com o sinal da razão r, em 3 tipos. Se a razão é positiva (r > 0), a PA é crescente. O exemplo (a) ilustra tal situação. Quando r = 0, significa que todos os elementos da PA são iguais entre si, e a PA é constante (exemplo (b)). Finalmente, se r < 0 (exemplo (c)) a PA é decrescente. Identificar se uma dada seqüência numérica é uma PA, não é uma tarefa difícil, uma vez que ela é uma seqüência numérica que possui um termo geral, ou seja, uma fórmula que relaciona qualquer um dos seus termos. O mais interessante é que o termo geral de uma PA, depende de um de seus termos e da razão r, que é facilmente calculada Termo Geral de uma Progressão Aritmética Suponha que uma certa PA (a 1, a 2, a 3, a 4,...) possua razão igual a r. Já sabemos que a diferença entre qualquer termo (começando pelo 2 termo) pelo seu antecessor será sempre igual a razão r, assim: a 2 a 1 = r a 2 = a 1 + r a 3 a 2 = r a 3 = a 2 + r a 3 = (a 1 + r) + r a 3 = a r a 4 a 3 = r a 4 = a 3 + r a 4 = (a r) + r a 4 = a r.... Observe que a 2 = a 1 + r, a 3 = a r, a 4 = a r. Seguindo essa lógica chegamos ao termo geral, ou n-ésimo termo da seqüência: a n = a 1 + (n 1) r, n N. Dessa forma, de posse do primeiro termo da seqüência a 1 e da razão r, podemos encontrar qualquer outro termo que desejarmos. Nota 1. Uma outra fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada por: a n = a k + (n k) r, n N; k N. Exemplo 1.2. Encontrar o 50 termo da PA ( 3, 1, 5, 9,...). Solução: Observe que o primeiro termo da PA é igual a 1, para encontrarmos a razão, basta fixar um termo (exceto o primeiro) e subtrairmos o seu antecessor. Por exemplo, r = a 2 a 1 = 1 ( 3) = 4. Observe MATEMÁTICA FINANCEIRA 7

9 ainda, que poderíamos calcular a razão utilizando a 3 e a 4 sem qualquer tipo de problema, pois neste caso r = a 4 a 3 = 9 5 = 4. Assim, de posse de a 1 = 3 e r = 4 pelo termo geral da PA para n = 50 temos que: a 50 = a r = = 193. Exemplo 1.3. Encontre uma PA onde o 10 termo é igual a 48 e a soma do 5 termo com o 20 é igual a 121. Solução: Como a 10 = 48, temos a r = 48. A soma a 5 + a 20 é igual a 121, ou seja, (a r) + (a r) = 121. Segue que, 2 a r = 121. Para encontrarmos a PA devemos resolver o sistema: a r = 48 2 a r = 121 Multiplicando-se a primeira equação por 2, temos que: 2 a 1 18 r = 96 2 a r = 121 Adicionando-se as equações, temos: 5 r = 25 r = 25 r = 5. Para encontrar o primeiro termo, podemos 5 escolher qualquer uma das equações anteriores. Para simplificar os cálculos, escolhemos a r = 48. Isolando a 1 nesta equação temos: a 1 = = 3. Assim, a PA é (3, 8, 13,...). Exemplo 1.4. Quantos meios aritméticos devem ser inseridos entre 15 e 160, de modo que a razão da interpolação seja igual a 5? Solução: Neste exemplo, devemos encontrar a quantidade de elementos entre os termos a 1 = 15 e a n = 160 para algum valor de n. Utilizando a expressão para o termo geral de uma PA, temos que: 160 = 15 + (n 1) 5 n 1 = n 1 = 29 n = 30 Observe que entre a quantidade total de elementos será 30, como já temos dois, ou seja, a 1 e a 30 significa que entre eles existem um total de 28 elementos Representações Especiais de uma PA Em algumas situações, faz-se necessário o uso de uma notação ou representação especial para progressões aritméticas. Tal representação visa equacionar, de forma simples e eficiente, situações que envolvem progressões aritméticas as quais o número de termos é conhecido. Por exemplo, suponha que estejamos procurando três termos em uma PA tais que a soma deles é igual a 33 e o produto igual a 440. Poderíamos modelar a situação da seguinte forma: Suponha que os termos a 1, a 2 e a 3 são de uma PA. Portanto, a 2 = a 1 +r, a 3 = a r. Assim, utilizando os dados fornecidos, temos que: a 1 + (a 1 + r) + (a r) = 33 e a 1 (a 1 + r) (a r) = 440. Observe que, agindo desta forma, transformamos um problema, a princípio simples, num sistema de equações não linear, cuja solução não é tão simples assim. Como devemos proceder então? Lembrando que podemos selecionar uma quantidade de termos em uma PA e que esta é um número natural, a quantidade de termos é um número par ou ímpar. Caso este seja ímpar, existirá um termo central e, assim, começaremos a equacionar, a partir dele. No exemplo em questão, n = 3 e, dessa forma, os termos em progressão é representado por: (x r, x, x + r). 8 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

10 A representação especial mostrada anteriormente não poderá, em hipótese alguma, deixar de satisfazer as condições de uma PA. Por exemplo, a diferença entre qualquer termo (começando pelo segundo termo) com o seu antecessor é sempre igual a razão, chamando de a 1 = x r, a 2 = x e a 3 = x + r, é fácil perceber que a 2 a 1 = x (x r) = r e a 3 a 2 = x + r x = r. Voltando a nosso exemplo: a soma dos três elementos é 33 e o produto dos meus elementos era igual a 44, utilizando a notação especial, temos: (x r) + x + (x + r) = 33 3x = 33 x = 11 (x r) x (x + r) = (11 r) (11 + r) = 440 Observe que, na primeira equação, já encontramos uma das variáveis, ou seja, o valor de x. Substituindo na segunda equação, ficamos apenas com uma equação com uma variável, no caso r, encontrando o valor de r temos que: (11 r) (11 + r) = r 2 = 40 r = ± 81 r = 9 Como não existiu outra informação a respeito da PA, encontramos, para o problema, duas respostas, que são: (2, 11, 20) e (20, 11, 2). E, quando selecionarmos cinco elementos que estão em uma PA, como ficaria a sua representação especial? Neste caso, a quantidade de elementos também é ímpar e, desta forma, existe um termo central que, por razões óbvias, é o a 3. Assim, a representação para cinco termos em uma PA é: (x 2r, x r, x, x + r, x + 2r). No caso em que a quantidade de números é par, não existirá mais o termo central da PA. Mesmo assim, existirá uma representação especial. Supondo que a PA tenha quatro termos, uma representação é: (x 3y, x y, x + y, x + 3y) Observe que, neste caso, r = 2y (verifiquem!) e, somente desta forma, conseguimos uma representação simétrica. ER 1. Determine três números em PA crescente cuja soma seja 39 e o produto dos extremos seja 144. Solução: O exemplo fala de uma PA de três termos. Assim, usaremos a notação especial dada por: (x r, x, x + r). Observe que a soma dos termos é igual a 39, dessa forma temos: (x r) + x + (x + r) = 39 3x = 39 x = 13. Como o produto dos termos extremos é 144 e conhecendo o valor de x, ficamos com: (13 r) (13 + r) = r 2 = 144 r = ± 25 r = ±5. A questão menciona o fato da PA ser crescente. Dessa forma, o valor negativo para a razão não nos interessa. Portanto, r = 5. A PA procurada é (13 5, 13, ) = (8, 13, 18). ER 2. Num quadrilátero, os ângulos internos estão em PA e o maior deles mede 150. Quais são as medidas dos outros ângulos internos? MATEMÁTICA FINANCEIRA 9

11 Solução: Para este exemplo, utilizaremos a notação especial para uma PA de quatro elementos: (x 3y, x y, x + y, x + 3y), onde r = 2y. O exemplo informa que o maior, dentre os 4 ângulos do quadrilátero, mede 150. Por razões óbvias isto significa que x + 3y = 150. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360. Portanto: (x 3y) + (x y) + (x + y) + (x + 3y) = 360 4x = 360 x = 90 Substituindo o valor de x em x + 3y = 150 com a finalidade de encontrar y chegamos a: y = 150 y = y = 20 3 Dessa forma, os 4 ângulos do quadrilátero que formam a PA são: PA = (30, 70, 110, 150 ) Soma dos n Primeiros Termos de uma PA Pelo simples fato de ser um caso particular de uma seqüência numérica, podemos pensar em conceitos mais sofisticados, tais como convergência. Com relação a uma PA (a 1, a 2, a 3,...) de razão r, será que a soma dos elementos converge? a resposta é não. Prove isso como exercício. Entretanto, se tomarmos uma determinada quantidade de elementos da PA, a sua soma é facilmente obtida. Vamos demonstrar isso. Considere os n termos de uma PA (a 1, a 2, a 3,..., a n 2, a n 1, a n ) de razão r. A sua soma é dada por: S n = a 1 + a 2 + a a n 2 + a n 1 + a n Suponha, para um certo índice k, com 1 < k < n, que todos os termos anteriores a a k e este, sejam escritos em função do primeiro termo a 1 e da razão r. Do termo de índice k + 1 em diante, todos serão escritos em função do termo a n e da razão r. Através de um exemplo com 6 termos de uma PA visualizaremos o que foi dito anteriormente. Considere os termos (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 ) de uma PA e tomemos k = 3. Assim, para n = 1, n = 2 e n = 3, todos os termos serão escritos em função de a 1, ou seja: (a 1, a 1 + r, a 1 + 2r, a 4, a 5, a 6 ) Para os demais termos, n = 4, n = 5 e n = 6, escreveremos em função do último termo da PA, que no caso em questão é o a 6. Assim, temos: (a 1, a 1 + r, a 1 + 2r, a 6 2r, a 6 r, a 6 ). Observe que esta representação poderá ser feita com qualquer quantidade de termos de uma PA. Além disso, a representação preserva as características dos termos que estão em uma PA. Por exemplo, a diferença entre o quarto e o terceiro termo será igual a razão da PA. Observe: a 4 a 3 = (a 6 2r) (a 1 + 2r) = (a 1 + 5r 2r) a 1 2r = 3r 2r = r. Retornemos à representação dos n termos de uma PA como sugerido, ou seja, Assim, a soma dos n primeiros termos da PA é: (a 1, a 1 + r, a 1 + 2r,...,a n 2r, a n r, a n ). (i) S n = a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + 2r) (a n 2r) + (a n r) + a n 10 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

12 Podemos calcular a mesma soma, de uma outra maneira. Por exemplo, do último termo para o primeiro, afinal, a ordem das parcelas não altera a soma. (ii) S n = a n + (a n r) + (a n 2r) (a 1 + 2r) + (a 1 + r) + a 1. Adicionando (i) a (ii) temos: S n = a 1 + (a 1 + r) + (a 1 + 2r) a n 2r + a n r + a n S n = a n + (a n r) + a n 2r (a 1 + 2r) + (a 1 + r) + a 1 2 s n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) Observe que a parcela (a 1 + a n ) foi adicionada n vezes. Portanto, 2 S n = (a 1 + a n ) n S n = (a 1 + a n ) n. 2 Exemplo 1.5. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA ( 14, 10, 16,...). Solução: Utilizando a fórmula para o cálculo da soma dos n termos de uma PA para n = 15, temos: S 15 = (a 1 + a 15 ) Como o primeiro termo é a 1 = 14 e a razão da PA é r = 10 ( 14) = = 4, temos que a 15 = a r = = 46. Assim, a soma dos quinze primeiros termos é: S 15 = ( ) 15 2 S 15 = S 15 = 240. Exemplo 1.6. Dada a PA (e x, e x +1, e x +2,...), determine o valor de x tal que a soma dos seus dez primeiros termos seja igual a 50. Solução: A soma dos dez primeiros termos é: S 10 = (a 1 + a 10 ) 10 2 S 10 = (a 1 + a 10 ) 5. Como a 1 = e x e a razão da PA é r = a 2 a 1 = e x + 1 e x = 1, então a 10 = a r = e x + 9. Substituindo-se S 10 = 50 em S 10 = (a 1 + a 10 ) 5, temos: 50 = (e x + e x + 9) 5 10 = 2e x + 9 2e x = 1 e x = 1 2 x = ln(1/2) Exercícios Propostos EP 1.1. Numa PA o primeiro termo é 12 e o décimo quinto termo é 30. Qual é o quarto termo dessa PA? EP 1.2. Numa PA de 7 termos, a 7 = 3 a 1 e o termo central é 6. Qual é a razão da progressão? EP 1.3. Determine m de modo que a seqüência (m 14, 2m + 2, m 2 ) seja uma PA EP 1.4. Interpole seis meios aritméticos entre 22 e 20. EP 1.5. Quantos números inteiros x, tais que 23 x 432, não são múltiplos de 3? EP 1.6. Determine três números que formam uma PA crescente cuja soma deles seja 39 e o produto dos extremos seja 144. EP 1.7. Num quadrilátero, os ângulos internos estão em PA e o maior deles mede 150.Quais são as medidas dos outros ângulos internos? MATEMÁTICA FINANCEIRA 11

13 EP 1.8. Uma gravadora observou, que em um ano, a venda de cd s aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 400. Se em março foram vendidos cd s, quantos cd s a gravadora vendeu naquele ano? EP 1.9. Quantos termos devemos somar na PA = ( 15, 12, 9,...) para obtermos uma soma igual a 270? EP Suponha que, em um certo mês, o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumente segundo uma PA Sabendo que nos 10 primeiros dias houve 245 reclamações e nos 10 dias seguintes houve mais 745 reclamações. Determine a seqüência do número de reclamações naquele mês. 1.2 Progressões Geométricas Introdução Uma lenda antiga retrata a história da criação do jogo de xadrez. Diz a lenda que, num certo reino, o rei, todo poderoso, estava cansado de tanto governar. Assim, pediu a um dos seus servos mais inteligentes que criasse um jogo, no qual ele pudesse se entreter. Levando em consideração um pedido muito especial, o jogo tinha que representar, necessariamente, uma espécie de batalha, dado que o rei era um verdadeiro fã de tal tipo de atividade física. Em retribuição à invenção de tal jogo, o rei deu a sua palavra ao servo, prometendo que atenderia a qualquer pedido seu. Ele, que não era bobo, após a invenção do jogo, fez o seguinte pedido: Como o jogo que inventei se passa num tabuleiro contendo 8 8 quadradinhos, ao todo, peço-te, ó rei, que, para cada quadradinho, eu ganhe uma certa quantidade de grãos, contados da seguinte forma: para o primeiro quadrado, um grão apenas; para o segundo, o dobro; para o terceiro, o dobro do segundo, ou seja, quatro grãos, e assim sucessivamente, até o último quadrado. O rei, que não era matemático, achou o pedido fácil de ser atendido, mas, desconfiado, como qualquer rei, pediu a alguns de seus braços direitos que contabilizassem a quantidade total de grãos. Será que a quantidade de grãos era pagável? vamos analisar da seguinte forma: 1 Quadrado 1 grão = 2 0 grão 2 Quadrado 2 grãos = 2 1 grãos 3 Quadrado 4 grãos = 2 2 grãos Quadrado 2 64 grãos Observe que a quantidade a ser paga é a soma de todas as quantidades por cada um dos quadradinhos do tabuleiro de xadrez. Assim, Só para se ter uma idéia da quantidade de grãos que deve ser pago, nos dias atuais, a quantidade mundial de grãos, não seria capaz de chegar nem perto do valor obtido pela soma anterior. Nem tudo parece ser tão simples quanto a forma com a qual se apresenta, o rei não sabia, mas o conjunto formado pela quantidade de grãos em cada quadradinho do jogo, ou seja, (2 0, 2 1, 2 2,..., 2 64 ) são termos de um tipo especial de seqüência, denominada progressão geométrica. Observe que, cada termo desta seqüência (exceto pelo primeiro termo) é obtido do seu antecessor multiplicado por 2. A definição matemática de uma progressão geométrica, ou PG de forma abreviada, é dada a seguir: 1.2 Definição. [Progressão geométrica] Uma progressão geométrica é uma seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu antecessor é sempre constante. Essa constante é chamada de razão da PG e será indicada pela letra q. São exemplos de progressões geométricas, as seqüências: 12 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

14 (a) (2, 6, 18, 54,...), onde q = 3; (b) ( 5, 15, 45, 135,...), onde q = 3; (c) (20, 10, 5, 5 2,...), onde q = 1 2 ; (d) (4, 4, 4, 4,...), onde q = 1; (e) ( 1, 1 3, 1 9, 1 27,...), onde q = 1 3 ; (f) ( 1, 2, 4, 8,...), onde q = 2. As progressões geométricas se dividem em três tipos: Alternada ou oscilante: Quando a razão for negativa. Como exemplo, podemos citar as progressões geométricas em (b) e em (d). Crescente: Quando a razão q for maior que 1 (q > 1), aliado ao fato do primeiro termo ser positivo (a 1 > 0). É o caso do exemplo em (a). Um outro caso é dado quando a razão q for um número real positivo menor que 1, 0 < q < 1 e o primeiro termo for negativo. É o caso do exemplo em (e). Decrescente: Quando o primeiro termo é positivo (a 1 > 0) e a razão é um número positivo menor que um (0 < q < 1). É o caso do exemplo em (b). Ou ainda, quando (a 1 < 0) e a razão é maior do que 1 (q > 1). É o caso do exemplo em (f) Termo Geral de um Progressão Geométrica Assim como foi visto nas progressões aritméticas, as geométricas possuem uma fórmula para o cálculo do termo geral. A idéia que utilizaremos é bem simples e de fácil compreensão. Suponha que uma certa PG (a 1, a 2, a 3, a 4,...) possua razão igual a q. Já sabemos que o quociente entre qualquer termo (a partir do 2 termo) pelo seu antecessor é igual a razão q. Assim: a 2 a 1 = q a 2 = a 1 q a 3 a 2 = q a 3 = a 2 q a 3 = (a 1 q) q a 3 = a 1 q 2 a 4 = q a 4 = a 3 q a 4 = (a 1 q 2 ) q a 4 = a 1 q 3 a Observe que a 2 = a 1 q, a 3 = a 1 q 2, a 4 = a 1 q 3. Seguindo essa lógica chegamos ao termo geral, ou n-ésimo termo da seqüência: a n = a 1 q n 1, n 1 Dessa forma, de posse do primeiro termo da seqüência (a 1 ) e da razão q, podemos encontrar qualquer outro termo que desejarmos tal como aconteceu nas progressões aritméticas. ER 3. Qual é o 8 termo da PG (800, 400, 200,...)? Solução: Encontrar o 8 termo, significa fazer n = 8 na expressão do termo geral da PG. Portanto, a 8 = a 1 q 7. Como a 1 = 800 e q = = 1 2, substituindo na expressão anterior, temos: a 8 = a 8 = Exemplo 1.7. O 2 termo de uma PG de termos positivos é 10 5 e o 10 termo é Qual é a razão dessa PG? forma: Solução: O segundo termo de qualquer PG é obtido fazendo o índice n do termo geral igual a 2. Dessa a 2 = a 1 q como a 2 = 10 5 a 1 = a 2 q a 1 = 105 q MATEMÁTICA FINANCEIRA 13

15 O décimo termo é obtido do termo geral, fazendo o índice n igual a 10, assim: a 10 = a 1 q 9 como a 10 = e a 1 = 105 q 1021 = 105 q q = q8. Assim, q 8 = q = ± = ±10 2. Como a PG é formada de termos positivos, então q = ER 4. Dada a PG (2 x, 2 2x, 2 3x,...), determine o valor de x de modo que seu décimo termo seja Solução: O décimo termo da PG será obtido, fazendo o índice n igual a 10. Portanto, a 10 = a 1 q 9. Como a 1 = 2 x, precisamos encontrar a razão da PG e com isso calcular o seu décimo termo. A razão será dada por q = a 2 = 22x a 1 2 x q = 2 x. Utilizando o fato de que a 10 = temos: = 2x (2 x ) x = x = x = 7 x = Representação Especial de uma PG Assim como foi visto para os termos iniciais de uma progressão geométrica, temos, também, representações simples e eficientes para os n termos iniciais de uma progressão geométrica. Por exemplo, suponha a seguinte situação: As idades de três irmãos são números inteiros que estão em PG. Se o produto dessas idades é 64 e a soma das idades dos dois mais velhos é 20, quantos anos tem cada um dos irmãos? Para resolver este problema, suponha que os três primeiros termos (a 1, a 2, a 3 ) de uma PG representam as idades procuradas. Observe que poderíamos escrever estes termos em função apenas do primeiro termo (a 1 ) e da razão q. Dessa forma, (a 1, a 1 q, a 1 q 2 ) Contudo, esta representação não é a ideal, pois quando formos utilizar as informações do problema, o sistema de equações obtido será de resolução bastante complicada. Compare: a 1 (a 1 q) (a 1 q 2 ) = 64 a1 3 q3 = 64 (a 1 q) + (a 1 q 2 ) = 20 (a 1 q) + (a 1 q 2 ) = 20 Resolver um sistema como o anterior é uma tarefa bastante árdua e complicada. Entretanto, existem atalhos que a matemática nos proporciona, fazendo com que possamos representar a mesma situação de uma maneira muito mais atrativa e simplificada. Considere 3 termos de uma PG (a 1, a 2, a 3 q ). Como a quantidade de elementos é ímpar, temos a presença de um termo central. Sendo assim, consideraremos o termo central como sendo x, ou seja, a 2 = x. Como a 2 = q a 1 = x a 1 q e a 3 = q a 3 = x q, Uma outra representação para os termos da PG é dado por: a 2 x, x, x q Voltando ao problema, tinhamos que o produto das idades dos três irmãos era igual a 64 e a soma das idades dos dois mais velhos era igual a 20. Assim, x 3 = 64 x (q + 1) = 20 x (x q) = 64 q x x + (x q) = FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

16 A primeira equação já nos fornece o valor de x, pois, se x 3 = 64, então x = 4. Substituindo este valor na equação x (q + 1) = 20, encontramos o valor de q. De fato, 4 (q + 1) = 20 q + 1 = 20 4 q + 1 = 5 q = 4 De posse do valor de x e de q, podemos, enfim, saber quais são as idades de cada um dos irmãos, que são os termos (1, 4, 16). Observe que podemos equacionar, de maneira análoga, qualquer quantidade ímpar de termos de uma PG. Por exemplo, se tivermos cinco termos de uma PG, faremos o termos central a 3 = x e sua representação especial é: x q 2, x, x, x q, x q2. q y2 No caso de progressões geométricas que possuem um número par de elementos, procedemos de uma forma um pouco diferente, afinal não existe o termo central. Tomemos, inicialmente, quatro termos iniciais de uma PG. Uma representação especial que apresenta uma espécie de simetria dos elementos é dada por: x y 3, x, x y, x y Observe que, assim como ocorreu com os termos iniciais de uma progressão aritmética, os de uma progressão geométrica, em número par de elementos, possui representação especial uma nova variável. Em ambos os casos, utilizamos y. Para encontrar a razão, basta dividir, por exemplo, o segundo termo pelo primeiro, na representação especial de quatro termo de uma PG, a razão q = y 2 (verifiquem!) Soma dos n Primeiros Termos de uma PG Considere os n primeiros termos de uma PG (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ), onde q 1, e seja S n a soma destes n termos. Assim, (i)s n = a 1 + a 2 + a a n 1 + a n Multiplicando-se ambos os lados da igualdade pela razão q, temos: (ii)q S n = q (a 1 + a 2 + a a n 1 + a n ) = q a 1 + q a 2 + q a 3,..., q a n 1 + q a n Sabemos que numa PG o quociente entre um termo qualquer, a partir do segundo, pelo seu antecessor é igual a razão. Isto pode ser enunciado de outra maneira. A saber: um determinado termo (exceto o primeiro) é o produto do seu antecessor pela razão. Dessa forma, a 2 = a 1 q, a 3 = a 2 q e, seguindo essa lógica, a n = a n 1 q. Substituindo esses resultados em (ii), temos: Subtraindo (iii) de (i) temos: (iii)q S n = a 2 + a 3 + a a n + a n q. q S n S n = (a 2 + a 3 + a a n + a n q) (a 1 + a 2 + a a n 1 + a n ). Fazendo as devidas simplificações, chegamos a: Como a n = a 1 q n 1 e substituindo em (iv), obtemos: (iv)q S n S n = a n q a 1. q S n S n = a 1 q n 1 q a 1 S n (q 1) = a 1 (q n 1) S n = a 1 (q n 1). (q 1) MATEMÁTICA FINANCEIRA 15

17 Observe que a condição para que a razão seja diferente de 1 se faz necessária para a existência da soma dos termos. ßÞ Ð n ßÞ Ð n Nota 2. Se uma PG possui razão igual a 1, por motivos óbvios, todos os termos são iguais. Assim, para somar os n termos iguais, basta que multipliquemos n por qualquer um dos termos da PG. (a 1, a 1,..., a 1 ) S n = a 1 + a a 1 = n a 1 ER 5. Calcule a soma dos oito primeiros termos da PG ( 2, 6, 18,...). Solução: Para responder este exemplo precisamos fazer o índice n da expressão que calcula a soma dos termos de uma PG igual a 8, dessa forma: S 8 = a 1 (q 8 1). (q 1) O termo a 1 = 2, a razão da PG é encontrada dividindo-se o segundo termo pelo primeiro. Assim, Calculando a soma, temos: S 8 = 2 [( 3)8 1] ( 3 1) q = a 2 a 1 q = 6 2 = 3. S 8 = S 8 = Soma dos Infinitos Termos de uma PG Vimos, na disciplina Cálculo III, que uma série é formada pela adição dos infinitos termos de uma seqüência. Se podemos encontrar um resultado para esta adição (soma), a série é dita convergente. Estudamos vários resultados, os quais garantem a convergência de uma série. Quando tratamos de uma PG que possui razão q, 1 < q < 1, sua série converge para um valor s que é dada por: S = lim n S n S = lim n a 1 (q n 1). (q 1) Observe que q n tende a zero à medida que o expoente n aumenta, uma vez que 1 < q < 1. Dessa forma, S = a 1 (0 1) q 1 S = a 1 q 1 S = a 1 1 q. Em suma, dada uma PG (a 1, a 2, a 3,...), com 1 < q < 1, temos que a adição de seus termos é dada por: a 1 + a 2 + a = a 1 1 q. ER 6. Utilizando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, encontre a fração geratriz da dízima periódica 0, Solução: Podemos decompor a dízima periódica através da adição de infinitas parcelas as quais são termos de uma PG. Veja a seguinte decomposição: 0, = 0, 7 + 0, , = = Observe que as parcelas determinam a PG 7 10, , ,... de razão q = = = FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

18 Como 1 < 1 10 < 1, temos que S = a 1 1 q = Portanto, a fração geratriz da dízima periódica é 7 9. = = 7 9. ER 7. Resolva a equação x + x2 2 + x3 4 + x = 6, com x R. 8 Solução: Observe que as parcelas determinam uma PG de razão e que temos que a soma é 6. Portanto, q = a 2 = x2 /2 = x a 1 x 2, S = 6 6 = x 1 x 2 x = 6 2 x 2 x = 6 3x 4x = 6 x = Exercícios Propostos EP Os termos 2 3, 4 9, 8 27,... estão em PG. Qual é o sexto termo? EP Determine x de modo que os termos (3 x+1, 3 4 x, 3 3x+1 ) sejam de uma PG. EP Qual é o número de termos ( 3, 6,...,16 3) sabendo que estes estão em PG. EP Numa PG oscilante, a soma do 2 com o 5 termo é 210, e a soma do 4 com o 7 é 840. Qual é o primeiro termo dessa PG? EP Subtraindo-se um mesmo número dos números 6, 14 e 38, obtemos, nessa ordem, os 3 termos iniciais de uma PG. Qual a razão dessa PG? EP Quantos termos da PG = (2, 6, 18, 54,...) devemos considerar a fim de que a soma seja 9.842? EP Encontre a fração geratriz da dízima periódica 1, EP A soma de três termos iniciais de uma PG crescente é 26 e o produto entre eles é 216. Encontre essa PG. EP Sabendo que a seqüência (4y, 2y 1, y + 1,...) é uma PG, determine: (a) O valor de y (b) A razão da PG EP Os números que expressam as medidas do lado, da diagonal e da área de um quadrado podem estar, nessa ordem, em PG? Em caso afirmativo, qual é a razão dessa PG? 1.3 Juros Simples Introdução Quando estudamos alguns conceitos, no ensino médio, como velocidade e aceleração, suas unidades de medidas são dadas pelo quociente entre duas outras unidades de medidas. No caso da velocidade, a unidade é m s (metros por segundo). Já em respeito à aceleração, temos m (metros por segundo ao quadrado). Existem s2 MATEMÁTICA FINANCEIRA 17

19 duas características presentes nas unidades mencionadas, nota-se que ambas são dadas como um quociente entre medidas e a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal, ou seja, uma grandeza que mede unidade de tempo. Uma taxa nada mais é do que um quociente entre medidas. A aceleração e a velocidade são exemplos de taxas, onde a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal. Uma taxa de juros representa um valor monetário qualquer, em que a unidade de tempo pode ser dias, semanas, meses, semestres, anos e etc. Representaremos a taxa de juro pela letra i admitindo, portanto, as formas: percentual e unitária. Taxa de Juros Forma Percentual Forma Unitária 2 por cento ao dia i = 2% a.d. i = 0, 02 a.d. 24 por cento ao mês i = 24% a.m. i = 0, 24 a.m. 30 por cento ao semestre i = 30% a.s. i = 0, 30 a.s. 5 por cento ao ano i = 5% a.a. i = 0, 05 a.a. Observe, na tabela anterior, que as taxas possuem uma forma simplificada na escrita. Ao invés de escrevermos 10 por cento ao bimestre, escrevemos i = 10% a.b. Isso faz com que a representação da taxa de juros seja de fácil compreensão. Agora que já sabemos como representar uma taxa, em qualquer unidade temporal, podemos então começar a pensar em capitalizar, primeiramente, a juros simples Capitalização Simples Andando pelo centro da cidade, um certo indivíduo se depara com a seguinte proposta: Invista R$ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am O primeiro questionamento a ser feito nesta situação é: quanto ele irá lucrar utilizando a taxa de juros mencionada? Outra importante pergunta é: como o investimento inicial será capitalizado? O investimento inicial será de R$1.000, 00. Assim, o capital inicial que denotaremos, a partir deste instante, pela letra C será, exatamente, o valor de R$ 1.000, 00. Portanto C = R$ 1.000, 00. O capital inicial sofrerá a ação da taxa de juros i = 10% durante quatro meses que agora chamaremos de número de períodos e representaremos pela letra n. O primeiro período de capitalização sempre será representado por n = 0. Dessa forma, capitalizar, durante quatro períodos, significa admitir quatro valores naturais, começando pelo zero, ou seja, n {0, 1, 2, 3}. O juro do período, será representado pela letra J. A simulação é descrita de forma detalhada na tabela abaixo. Observe, ainda, que em cada um dos períodos será calculado o juro e, em seguida, o montante, representado pela letra M, é obtido. Obviamente, o montante é a soma do capital com os juros do período corrente, ou seja: M = C + J Período Capital Juros Montante , 00 0 M = 1.000, = 1.000, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, , 00 = 1.100, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.100, , 00 = 1.200, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.200, , 00 = 1.300, 00 É fácil perceber que os juros correntes durante toda a simulação é uma taxa fixa, exceto pelo período n = 0. Dessa forma, podemos afirmar que os juros total é a soma de todos os juros encontrados em cada um dos períodos. Chamando de J n os juros do período n, com n {0, 1, 2, 3}, temos: J = J 0 + J 1 + J 2 + J 3 = , 00 (0, 10) , 00 (0, 10) , 00 (0, 10) 18 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

20 Simplificando os cálculos, os juros totais da simulação é dado por: J = 1.000, 00 (0, 10) 3. Observe que se tivéssemos uma quantidade maior de períodos a capitalizar, o produto 1.000, 00 (0, 10) se manteria fixo, mudando-se apenas o número a ser multiplicado pela direita. Por exemplo, se capitalizarmos durante 6 períodos, o juro total acumulado é dado por: J = 1.000, 00 (0, 10) 5. Assim, para uma capitalização qualquer de um certo capital inicial C, submetido a uma taxa de juros i durante um período n, teremos que o juro total acumulado pode ser calculado pela expressão: J = C i n De posse da expressão que calcula os juros fixos, durante todo o período de capitalização, podemos encontrar a relação entre o montante M, o capital inicial C, a taxa de juros i e o número de períodos n. Observe o seguinte desenvolvimento: M = C + J, e J = C i n Segue que, M = C + C i n M = C (1 + i n). Para a simulação descrita anteriormente, o montante obtido depois de submeter o capital inicial de R$1.000, 00 a uma taxa i = 10% a.m., durante quatro meses de capitalização, é M = R$1.300, 00. Observe que este mesmo valor poderá ser calculado utilizando a fórmula M = C (1+i n), onde C = R$1.000, 00, i = 10% e n = 4 meses (verifiquem!). 1.3 Definição. [Juros Simples] Chamamos de capitalização simples ou regime à juros simples a toda movimentação financeira em que a taxa de juros por período incide sempre sobre o capital inicial. Os juros, neste caso, verificam a relação J = C i n e, além disso, o montante M, obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante um certo número de períodos n é dado por M = C (1 + i n). Nota 3. As unidades temporais da taxa de juros i, juntamente com o número de períodos n, devem ser sempre as mesmas. Por exemplo, se i = 4% a.a. o número de períodos deverá, necessariamente, ser dado em anos também. Suponha que, neste caso, n = 12 meses. Como proceder? Em alguns casos, mudar a unidade temporal do número de períodos, é mais simples do que mudar a da taxa de juros. É fácil perceber que, se n = 12 meses, então n = 1 ano e, dessa forma, colocamos a taxa de juros e o número de períodos em sintonia no que diz respeito a unidade temporal de ambos. Como mudaríamos a taxa de juros, então? Tal questionamento é simples de responder. Introduziremos, a partir de agora, o conceito de taxas equivalentes e desta forma podemos alterar a unidade temporal da taxa para qualquer outra unidade que quisermos Taxas Equivalentes em Juros Simples Suponha que tenhamos um certo capital inicial C de R$ 500, 00 e desejamos submeter a regime de juros simples utilizando duas taxas de juros i a = 12% a.a. e i m = 1% a.m. durante n = 12 meses. Lembrando que n = 12 meses pode ser reescrito como n = 1 ano, temos: Para a primeira taxa de juros i a = 12% a.a. o montante M 1 obtido é: M 1 = 500 (1 + (0, 12 1)) = 500 1, 12 = 560, 00. Para a segunda, i m = 1% a.m., o montante M 2 é: M 2 = 500 [1 + (0, 01 12)] = 500 1, 12 = 560, 00. Observe que M 1 = M 2, porque isso aconteceu? A resposta disso é mais simples do que parece, observe atentamente as taxas utilizadas nesta simulação, i a = 12% a.a. e i m = 1% a.m., a primeira foi dada em anos e a segunda em meses, além disso i a = 12 i m ou se preferir, i m = i a 12. MATEMÁTICA FINANCEIRA 19

21 As taxas i a e i m são chamadas de taxas equivalentes, em outras palavras, submetendo um mesmo capital inicial C, num mesmo número de períodos, o montante encontrado será sempre o mesmo. De uma forma geral, suponha que i a seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em semestre (i s ), bimestre (i b ), meses (i m ), quinzenas (i q ) e dias (i d ), supondo que o capital inicial e o número de períodos são fixos, já sabemos de antemão que os montantes obtidos para cada umas das taxas será o mesmo. Se n = 1 ano podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses, n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma: M a = M s = M b = M m = M q = M d (1 + i a 1) = (1 + i s 2) = (1 + i b 6) = (1 + i m 12) = (1 + i q 24) = (1 + i d 360) i a = 2 i s = 6 i b = 12 i m = 24 i q = 360 i d Nota 4. A quantidade de dias em cada mês no regime comercial é sempre igual a 30 não importando se o mês tem 31 dias ou menos de 30 no caso do mês de fevereiro Análise Gráfica Uma outra forma de analisar o comportamento de um certo investimento, submetido ao regime de juros simples seria através da análise gráfica. Observe que, uma vez fixados o capital inicial C e a taxa de juros simples i, a expressão que relaciona essas variáveis juntamente com o montante M e o número de períodos n torna-se uma função de variáveis M (dependente) e n (independente) como definida abaixo: M(n) = C (1 + i n), onde C e i são fixos O domínio dessa função está restrito apenas ao primeiro quadrante. Portanto, não estaremos interessados em valores negativos tanto do montante quanto do número de períodos. Dessa forma Dom(M) = R +. Outra fato importante é que o gráfico da função juros simples, pelo fato de ser M linear, é representado por uma reta, que não passa pela origem. Isto se deve ao fato que partiremos sempre de um certo capital inicial C. Assim, quando n = 0 temos no mínimo o valor do capital inicial C, haja visto que ainda não completamos um C (1 + i) C mês de capitalização para que o juros obtido no primeiro período fosse incorporado 1 n ao montante. ER 8. Quanto se deve aplicar hoje para obter um montante de R$ , 00 daqui a 19 meses a uma taxa de juros simples de 50% a.a. Solução: O capital inicial c =? não temos, o montante M = , 00, o número de períodos n = 19 meses que poderá ser transformado em anos através de uma simples regra de três: Ano Meses 1 12 x 19 = 12 x = 19 x = A fórmula do montante para o regime de juros simples é dada por M = C (1 + i n). Portanto: = C å1 + 0, è C = å1 + 0, è C 5.581, 39. Poderíamos resolver a mesma questão mantendo o número de períodos fixo, ou seja, n = 19 meses, porém, 20 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

22 alterando a unidade temporal da taxa de juros simples. i a = 12 i m i m = i a 12. Logoi m = 0, 5 0, 0416 = 4, 16% a.m. 12 Encontrando o capital inicial C, utilizando a nova taxa de juros simples mensal i = 4, 16% temos: = C [1 + (0, )] C = Portanto, o capital procurado é de R$ 5.581, C 5.581, 39 [1 + (0, )] ER 9. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ , 00, resultante da aplicação de um certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? Solução: Para resolvermos estes exercícios, devemos lembrar, primeiramente, que os juros no regime de capitalização simples é fixo durante todos os períodos e a fórmula para calcular o juro total acumulado depende do capital inicial C, da taxa de juros simples i e do número de períodos n. J = C i n Precisamos encontrar o capital inicial C para depois calcular o juro total. Como o montante é de R$ , 00, através da fórmula M = C (1 + i n), obteremos o valor do capital inicial. Observe ainda que as unidades temporais da taxa e do número de períodos são incompatíveis, ou trocamos a taxa de juros de anos para meses ou trocamos o número de períodos de meses para anos. Se n = 13 meses, então n = anos = C å1 + 0, è C = å1 + 0, è C , 52. Assim, o capital inicial é de R$ , 52. Calculando o juros total do período, temos que: J = , 52 0, , Podemos encontrar, da mesma forma, o valor total dos juros utilizando uma outra relação que envolve o montante M, o capital inicial C e o juros total J. A fórmula mencionada é dado por: M = C + J J = M C. Assim, subtrai-se o valor do montante pelo capital e, dessa forma, encontra-se o valor para o juro total J. J = , , 52 = , 48 O resultado do juro total, seria o mesmo, se mantivermos o número de períodos igual à 13 meses e transformando a unidade temporal da taxa de juros de ano para meses? Fica a cargo do leitor responder tal questionamento. ER 10. Uma empresa aplicou R$ 4.000, 00 reais no dia 15/06/06 ao dia 21/06/06 e gerou um montante de R$ 4.042, 00. Qual foi a taxa mensal de rendimento dessa operação? Solução: Em primeiro lugar, precisamos descobrir o número de períodos existentes entre essas duas datas. Seria muito comum que qualquer pessoa afirmasse que entre as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem apenas 6 dias e isto infelizmente é incorreto. Quando contabilizamos datas, a data de partida deverá também ser levada em consideração, dessa forma não teremos apenas 6 dias, o correto, neste caso, é afirmar que entra as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem na verdade 7 dias. Dessa forma o número de períodos será n = 7 MATEMÁTICA FINANCEIRA 21

23 dias. Utilizando a fórmula de juros simples M = C (1 + i n), temos: = (1 + i 7) , = 1 + i 7 1, 0105 = i i = = 0, Dessa forma, i = 0, 015 é a taxa de juros simples diária, lembrando que o exercício pede a taxa de juros mensal. Assim devemos utilizar a equivalência de taxas, onde i m = 30 i d. i m = 30 i d = 30 0, 015 = 0, 045 = 4, 5% a.m. ER 11. Depositei a quantia de R$ , 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa simples de 36% a.a. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo no banco era de R$ , 00. Por quantos dias deu-se esta aplicação? Solução: A questão pede para encontrarmos o número de períodos em dias, que o capital inicial C = , 00 foi aplicado a uma taxa de juros simples i = 36% a.a., resultando num montante M = , 00. Observe que o número de períodos a ser encontrado deverá estar medido em dias, dessa forma devemos fazer uma mudança na unidade temporal de ano para dias da taxa fornecida. i a = 360 i d i d = i a 360 i 0, 36 d = 360 i d = 0, 001. Utilizando a fórmula de juros simples M = C (1 + i n) temos que: , 00 = , 00 (1 + 0, 001 n) Assim, o número de períodos procurado é n = 25 dias , 00 1, = 0, 001 n n = = , 00 0, Exercícios Propostos EP Uma empresa tomou emprestada a quantia de R$ , 00, se comprometendo a liquidar a dívida em 45 dias, pagando por esta R$ , 00. Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operação? EP Depositei a quantia de R$ , 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa de juros simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, o meu saldo neste banco era de R$73.800, 00. Por quantos dias deu-se essa aplicação? EP Uma loja oferece um aparelho um aparelho por R$ 500, 00 a vista. Na compra deste aparelho a prazo, pede-se 20% do valor a vista como entrada, e mais um pagamento de R$ 550, 00 no prazo de 2 meses. Que taxa de juros simples a loja está cobrando nessa operação? EP Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$42.000, 00. Caso esse capital tivesse sido aplicado por 10 meses, à mesma taxa de juros simples, teria se elevado R$ , 00. Encontre esse capital e a taxa utilizada. EP Um capital aplicado por 2 meses, elevou-se a 2 3 considerada? de si próprio. Qual foi a taxa de juros simples EP Um capital (C 2 ) supera um outro (C 1 ) em 20%. Os dois foram aplicados a juros simples a taxas de 10% a.m. e 7% a.m. respectivamente, e produziram juntos, em um mesmo prazo, um montante de R$ , 00. Determine esse prazo, sabendo que o juro do capital (C 2 ) supera (C 1 ) em R$ , 00 EP Que taxa de juros simples faz com que um certo capital inicial C triplique de valor em 2 anos e 1 mês. EP A soma de um capital, aplicado durante 110 dias, à taxa de juros simples de 7% a.a., com seu juro, é igual R$ 2.553, 47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias. 22 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

24 EP Um comerciante oferece a sues clientes um abatimento de 5% no caso de compras a vista. Em contra partida, nas compras a prazo, suas mercadorias sofrem um acréscimo de 15% e dá-se ao cliente um prazo de 3 meses para efetuar o pagamento. Qual a taxa mensal de juro simples adotada por essa loja? EP Uma pessoa aplicou um certo capital em um banco à taxa de juros simples de 96% a.a. Transcorridos 5 meses, essa pessoa retirou o capital mais o juros e aplicou-os em um outro banco por 3 meses, à taxa de juros simples de 9% a.m. obtendo com isso um juro de R$ 4.536, 00. Qual o capital inicial aplicado por essa pessoa? 1.4 Juros Compostos Introdução Agora que já sabemos lidar com os conceitos de juros simples, equivalência de taxas num regime de juros simples, podemos começar a pensar como se comporta um capital inicial C num regime de juros compostos, submetido a uma taxa de juros composto i durante um número de períodos n. Será que o resultado final, ou seja, o montante M obtido durante a capitalização composta é sempre maior do que a capitalização simples? A matemática nos reserva situações fascinantes, responder perguntas dessa natureza significa possuir um conhecimento bastante sólido dentro do assunto proposto. Para introduzirmos o conceito de juros compostos vamos utilizar como referência a mesma simulação usada para ilustrar o regime de juros simples. A capitalização composta ou, simplesmente, juros compostos é a forma de movimentação financeira mais utilizada no mercado. O simples ato de comprar algum bem de consumo parcelado, ou investir um certo capital inicial numa caderneta de poupança, são exemplos práticos da utilização da capitalização composta no diaa-dia. Entender os conceitos e aplicações dos juros compostos é de fundamental importância no decorrer do curso de matemática financeira, principalmente no estudo de séries de pagamentos Capitalização Composta Lembrando do que foi visto com relação a juros simples, propusemos uma simulação baseada na seguinte frase: Invista R$ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am. Naquele instante, estávamos interessados em equacionar tanto a fórmula de juros, quanto a fórmula do montante para o regime de juros simples. Observe que naquele momento os juros tinham uma característica de ser fixo durante toda a capitalização. Vamos mudar a maneira de incidir a taxa de juros agora, ao invés de incidirmos a taxa de juros sempre no capital inicial, incidiremos no montante do período anterior. Utilizaremos a seguir de modo a ilustrar e melhorar a compreensão do que estamos dizendo. Período Capital Juros Montante , 00 0 M = 1.000, = 1.000, , , 00 (0, 10) = 100, 00 M = 1.000, , 00 = 1.100, , , 00 (0, 10) = 110, 00 M = 1.100, , 00 = 1.210, , , 00 (0, 10) = 121, 00 M = 1.210, , 00 = 1.331, 00 Observamos, pela tabela, que nos períodos n = 0 e n = 1 os montantes obtidos foram exatamente iguais aos calculados pelo regime de capitalização simples. No entanto, olhando para os períodos n = 2 e n = 3, notase um acréscimo significativo se comparados as respectivos montantes dos períodos em questão no sistema de capitalização simples. MATEMÁTICA FINANCEIRA 23

25 O juro total, neste caso, também será a soma de todos os juros obtidos em cada período, o grande problema é que pelo fato de não ser constante, não existirá uma fórmula para calcularmos diretamente assim como foi visto no regime de juros simples. J = J 0 + J 1 + J 2 + J 3 = = 331 Contudo, a fórmula que envolve o montante M, o capital inicial C e o juros total J continua sendo válida para este caso ou seja, M = C + J. M = C + J M = 1.000, , 00 M = 1331, 00 Qual será a relação entre o montante M o capital inicial C, a taxa de juros composta i e o número de períodos n para o regime de capitalização composta? De uma forma geral, suponha que tenhamos um certo capital C submetido a uma taxa de juros composta i durante um número de períodos n. A característica principal dos juros compostos é que a taxa de juros incidirá sempre no montante anterior ao período em questão, dessa forma: n = 0 J 0 = 0 M 0 = C + J 0 = C + 0 M 0 = C No período seguinte, a taxa incidirá sobre o montante M 0 como M 0 = C a capitalização ainda se comporta de forma idêntica à juros simples, assim: n = 1 J 1 = M 0 i = C i M 1 = M 0 + J 1 = C + C i M 1 = C (1 + i) Observe que se n = 2, a capitalização composta começa a ter um comportamento bastante diferente com relação a simples, pois neste caso a taxa de juros i incide sobre o montante anterior e neste caso M 1 C, pois M 1 = C (1 + i). n = 2 J 2 = M 1 i = C (1 + i) i M 2 = M 1 + J 2 M 2 = C (1 + i) + C (1 + i) i Podemos simplificar M 2, pois o termo C (1+i) é um fator comum a expressão, dessa forma pode ser colocado em evidência. M 2 = C (1 + i) + C (1 + i) i M 2 = C (1 + i) (1 + i) M 2 = C (1 + i) 2 Seguindo essa lógica, é fácil perceber que o montante M 3 será dado por M 3 = C (1 + i) 3. Para um montante qualquer M n ou se preferir M(n) a expressão para o seu cálculo será: M(n) = C (1 + i) n De modo a simplificar a notação, utilizaremos somente a variável M para representar o montante num período qualquer, dessa forma: M = C (1 + i) n 1.4 Definição. [Juros Compostos] Chamamos de capitalização composta ou regime de juros compostos a toda movimentação financeira em que a taxa de juros, para cada período, incide sempre sobre o montante do período anterior. O montante M obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante um certo período n é dado por: M = C (1 + i) n Nota 5. Assim como no regime de juros simples, a taxa de juros compostos juntamente com o número de períodos precisam estar sempre na mesma unidade temporal. 24 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

26 1.4.2 Taxas Equivalentes em Juros Compostos De forma equivalente ao regime a juros simples, podemos encontrar as taxas equivalentes no regime à juros compostos. A idéia é bastante parecida, exceto pela forma de capitalizar, lembrando que no caso dos juros simples, a relação entre o montante M, o capital inicial C, o número de períodos n e a taxa de juros i é representada pela expressão M = C (1+i n) enquanto que no regime de capitalização composta a expressão obtida para o cálculo do montante foi M = C (1 + i) n. De uma forma geral, suponha que i a seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em semestre (i s ), bimestre (i b ), meses (i m ), quinzenas (i q ) e dias (i d ), supondo que o capital inicial e o número de períodos são fixos. Se n = 1 ano, podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses, n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma: M a = M s = M b = M m = M q = M d (1 + i a ) 1 = (1 + i s ) 2 = (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12 = (1 + i q ) 24 = (1 + i d ) 360 Observe que, no caso dos juros compostos, o isolamento de uma taxa para efetuar os cálculos e dessa forma encontrar a respectiva taxa equivalente em uma outra unidade de medida temporal não é tão óbvio. No regime a juros simples as taxas equivalentes eram proporcionais e devido a isso, o cálculo se tornou mais simplificado. Neste momento não temos mais a proporcionalidade mas isto em nada impedirá encontrarmos, por exemplo, a taxa de juros compostos bimestral, possuindo a taxa de juros mensal, como proceder? Devemos isolar a variável i b na igualdade (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12. Em hipótese alguma desenvolveremos as potências de cada parêntesis, este procedimento é totalmente equivocado. Utilizaremos uma maneira mais inteligente, simples e muito mais elegante. Observe que, se o expoente do fator (1 + i b ) fosse 1, ao invés de 6 não teríamos problema algum em isolar a variável. Porque então, não tornamos o expoente igual a 1 através de alguma propriedade matemática? Lembrando que pelo fato de ser uma igualdade, tudo o que for feito no primeiro membro, deverá, necessariamente, ser feito no segundo membro de forma a preservar o sinal de igualdade entre os dois fatores, dessa forma: (1 + i b ) 6 = (1 + i m ) 12 6 (1 + i b ) 6 = 6 (1 + i m ) 12 (1 + i b ) = 6 (1 + i m ) 12 Agora que tornamos o expoente igual a 1 no fator (1 + i b ) podemos enfim isolar a variável i b. i b = 6 (1 + i m ) 12 1 Observe, ainda, que podemos simplificar os cálculos e sempre que isto for possível, será realizado. i b = (1 + i m ) ib = (1 + i m ) 2 1. ER 12. Suponha que um certo capital R$ 500, 00 tenha sido submetido a uma taxa de juros compostos i = 4% a.m. Encontrar as taxas de juros equivalentes ao ano, ao semestre e ao dia. Encontre o montante para cada um das referidas taxas supondo que o número de períodos da capitalização foi n = 6 meses. Solução: Vamos encontrar por motivos óbvios, primeiro a taxa de juros equivalente ao ano, afinal o expoente do fator (1 + i a ) já é 1 e dessa forma os cálculos se tornam mais simples. (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i a = (1 + i m ) 12 1 = (1 + 0, 04) , 6010 = 60, 10%a.a. A taxa de juro equivalente ao semestre será: (1 + i s ) 2 = (1 + i m ) 12 i s = (1 + i m ) 6 1 = (1 + 0, 04) 6 1 0, 2553 = 26, 53%a.s. Finalmente, a taxa de juros equivalente ao dia será: 12 (1 + i m ) 12 = (1 + i d ) 360 i d = 360 (1 + i m ) 12 1 = (1 + 0, 04) , 0013 = 0, 13%a.d. MATEMÁTICA FINANCEIRA 25

27 Os montantes para cada uma das taxas encontradas são dados a seguir, lembrando que no regime de capitalização a juros simples, a expressão utilizada será M = C (1 + i) n. O montante anual M a, utilizando a taxa 60, 10% a.a., com n = 5 anos, será: 12 6 M a = 500 (1 + 0, 6010) , 65 Utilizando a taxa de juros semestral i = 26, 53% a.s., o montante semestral M s encontrado durante n = 1 semestre será: M s = 500 (1 + 0, 2653) 1 632, 65 Finalmente, utilizando a taxa de juros 0, 13% a.d durante um número de períodos n = 180 dias, o montante diário M d encontrado foi: M d = 500 (1 + 0, 0013) , 72 Observe que, dentre os três montantes calculados, o terceiro deles, o montante diário M d, possuiu uma capitalização inferior aos outros dois valores. Em alguns casos isto poderá ocorrer, afinal no cálculo das taxas estamos fazendo aproximações, pois os valores das mesmas não foram números exatos, desta forma uma pequena variação nos montantes já era esperada Análise Gráfica Assim como foi feito nos juros simples, podemos abordar graficamente os juros compostos. Fixando o capital inicial C juntamente com a taxa de juros compostos i, a expressão do montante composto M = C (1 + i) n torna-se uma função nas variáveis M (dependente) e n (independente), assim: M(n) = C (1 + i) n, onde C e i são fixos O domínio dessa função, também, está restrito apenas ao primeiro quadrante. Portanto, não estaremos interessados em valores negativos, tanto do montante quanto do número de períodos. Dessa forma Dom(M) = R +. O comportamento da função juros compostos é totalmente diferente se comparado M ao da função juros simples. A função juros compostos é exponencial, visto que a variável independente (n) está situada no expoente do fator (1 + i), uma vez que a taxa de juros compostos está fixa. C (1 + i) C Depois de verificar domínio e natureza dos gráficos de ambas as funções juros 1 n simples e composto, será que somos capazes de responder a seguinte pergunta: É melhor aplicar a juros simples ou a juros compostos? A resposta, digamos intuitiva, seria obviamente achar que os juros simples fornecem sempre os maiores montantes. Mas para a surpresa de todos, isto nem sempre será verdade. Em alguns casos investir um certo capital a juros simples será mais vantajoso do que os juros compostos. Para entender melhor isto, construiremos os gráficos das duas funções num mesmo plano cartesiano, identificando a situação onde ocorre um montante maior pelo regime a juros simples Juros Simples Juros Compostos Suponha que um certo investidor dispõe da quantia de R$ , 00 e vai empregar o seu capital à uma taxa de 12% ao ano, durante 6 meses. Qual é a melhor forma dele capitalizar o seu dinheiro, juros simples ou composto? 26 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

28 Para responder esta pergunta, o mais correto será calcular os dois montantes, ou seja, utilizando ambos os regimes de capitalização e depois comparar os valores obtidos. Lembrando que estamos comparando resultados fornecidos por funções de natureza totalmente distintas, juros simples (função linear) e juros compostos (função exponencial). Primeiro, capitalizaremos o valor de R$ , 00 utilizando o regime de capitalização simples, a expressão para o montante é M = C (1 + i n), o número de períodos n = 6 meses e a taxa de juros simples será de i = 12% ao ano. Observe que a unidade temporal da taxa e do número de períodos não é compatível, utilizando uma equivalência de taxas no regime de juros simples, encontraremos a taxa proporcional ao mês, assim: i a = 12 i m i m = i a 12 i m = i m = 1 Calculando o montante obtido pelo juros simples, temos: M = , 00 (1 + (0, 01 6)) M = , 00 Com a capitalização simples, obtivemos um montante igual a R$ , 00 será que a capitalização composta proporcionará um montante maior? Vamos calcular agora o montante utilizando a capitalização composta. Antes, precisamos encontrar a taxa equivalente em meses utilizando juros compostos, dessa forma: (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i m = 12 (1 + 0, 12) 1 1 i m 0, 0095 Calculando o montante obtido pelo juros compostos, temos: M = , 00 (1 + 0, 0095) , 84 Interessante, o montante obtido pela capitalização simples foi maior do que o obtido pela capitalização composta. Observe, ainda, que o montante simples, excedeu o composto em R$ 65, 16. Porque isso aconteceu? A pergunta anterior é fácil de ser respondida, através de uma análise gráfica. Identificaremos, assim, porque o juros simples rendeu mais do que o juros composto. Observe, na figura ao lado, os gráficos das funções juros simples e composto construídos em um mesmo plano cartesiano. É fácil perceber, pelo gráfico, que se o número de períodos estiver no intervalo 0 < n < 1, o gráfico da função juros simples está situado acima do gráfico da função juros compostos, em termos de função, isto significa que as imagens dos elementos que estejam nesta faixa do domínio, possuem valores maiores pela função juros simples do que pela função juros compostos. M C (1 + i) Observe que n = 6 meses, poderia ser representado por n = 0, 5 ano, pois já sabemos que as unidades da taxa e do número de períodos tem de ser compatíveis, como 0 < 0, 5 < 1 fica explicado porque a capitalização simples superou a composta. Caso o número de períodos fosse igual a uma unidade temporal da taxa de juros, ou seja, n = 1 ano, as capitalizações simples e composta seria absolutamente iguais e, neste caso, poderíamos escolher qualquer uma das duas pois os montantes seriam os mesmo. Supondo n > 1, pelo fato dos juros compostos possuir uma natureza exponencial, os montantes obtidos nesta faixa do domínio seriam sempre maiores do que os obtidos pela função juros simples. Denotando por J s e J c os juros simples e compostos respectivamente, em resumo, o que ocorrerá sempre é o seguinte: n = 1 J s = J c 0 < n < 1 J s > J c n > 1 J s < J c ER 13. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ , 00 a uma taxa de 125% a.a. pelo prazo de 220 dias? Solução: A resolução desta questão é bem simples, porém, vale a pena lembrar que a unidade temporal da taxa de juros deve ser sempre igual a unidade do número de períodos. Dessa forma, devemos transformar C 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA 27 n

29 n = 220 dias em anos ou transformar 125% a.a. em dias. Utilizaremos a conversão de taxas para esta questão e deixaremos a outra maneira de resolver a cargo do leitor. Transformando a taxa de juros composto ao ano para dias, temos que: (1 + i a ) 1 = (1 + i d ) 360 i d = 360 (1 + i a ) 1 = 360 (1 + 1, 25) 1 0, 0022 Portanto, a taxa equivalente em dias ao mesmo período de capitalização será i d = 0, 22%. expressão de juros compostos, encontraremos o montante. Utilizando a M = (1 + 0, 0022) , 98 Assim, o montante encontrado será de R$ , 98 ER 14. Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de R$1.000, 00 para receber R$1.343, 92 daqui há 10 meses. Calcular as taxas mensal e anual deste investimento. Solução: Utilizaremos a fórmula de juros compostos de duas maneiras diferentes na resolução deste exercício. Na primeira preservaremos o número de período em meses calculando assim a taxa de juros mensal. Na segunda maneira, mudaremos a unidade temporal do número de períodos de meses para anos, como n = 10 meses podemos afirmar que n = anos , 92 = 1.000, 00 (1 + i m ) , , 00 = (1 + i m) 10 i m = 10Ö1.343, , 00 1 Portanto, a taxa mensal é i m = 10Ö1.343, , , Assim, i m = 3% a.m. Calculando a taxa de juros anual, temos: , , 92 = 1.000, 00 (1 + i a ) , 00 = (1 + i 92 a) 12 i a = 1.343, , Assim, a taxa anual é i a = 1.343, , 4257, ou ainda, ia = 42, 57% a.a , Uma outra forma de calcular a taxa de juros anual é utilizando a equivalência de taxas, uma vez que a taxa mesal já foi calculada. Em outras palavras, resolvendo-se a equação: (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i a = (1 + i m ) 12 1 = (1 + 0, 03) , 4257 ER 15. Em quanto tempo um certo capital C pode produzir juros iguais a um terço do seu valor, se aplicado a uma taxa de 4, 9% a.m.? Solução: A questão atenta para o fato dos juros obtidos nesta capitalização seja igual a um terço do capital empregado. Isto significa que J = C 3. Devemos tomar cuidado para não confundir a fórmula do cálculo de juros no sistema de capitalização simples, com os juros mencionados nesta questão. A caracterização principal com respeito ao regime de capitalização composta é que os juros por períodos não são constantes e, portanto, não existe uma fórmula específica para encontrá-lo. Contudo, podemos usar uma relação bastante conhecida envolvendo o montante M, o capital inicial C e o juros J: M = C + J. Assim, como J = C 3 e M = C + J, temos que: M = C + C 3 = 3C + C 3 = 4C 3. Mas, a fórmula do montante no regime de capitalização composta nos diz que M = C (1 + i) n. Portanto, é 28 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

30 correto afirmar que: 4C 3 = C (1 + i)n 4 3 = (1 + 0, 049)n. 3 Observe, neste caso, que nos deparamos com uma situação nova. A variável que estamos interessados em encontrar está situada no expoente de um fator. Como isolaremos a mesma? Para resolver esta situação inconveniente, utilizaremos os logaritmos e, apenas por facilidade nos cálculos, o logaritmo na base = (1 + 0, 049)n = log 4 + 0, 049) 3 =log(1 n log 4 log(1, 049) 3 =n Assim, isolando o número de períodos n, temos que: n =¾ log 4 meses. log(1, 049) 6 Nota 6. O recurso dos utilizado na questão anterior será sempre necessário, quando quisermos encontrar o número de períodos num regime de capitalização composta, afinal a fórmula do montante em juros compostos é na verdade uma função exponencial se fixarmos a taxa i e o capital inicial C deixando M e n respectivamente como variáveis dependente e independentes ER 16. Qual será o tempo necessário para que um capital C, aplicado à taxa de 20% a.a. duplique o seu valor? Solução: Supondo que M seja o montante obtido depois de capitalizar C durante um certo número de períodos n utilizando a taxa de juros compostos i = 20% a.a. então M = 2 C. Utilizando a fórmula para juros compostos, temos que: 2 C = C (1 + 0, 20) n 2 = (1, 20) n log 2 = n log(1, 20) n = log 2 3, 8. log(1, 20) Dessa forma, são necessários n = 3, 8 anos para que o capital inicial dobre de valor Exercícios Propostos EP Que capital, aplicado à taxa de juro composto de 15% ao ano, durante 10 anos produz juro de R$ , 30? EP Que taxa mensal de juro composto é recebida por um investidor que aplicou R$50.000, 00 e resgatou após 8 meses a quantia de R$ , 50 EP Um objeto custa, a vista, R$ 2.000, 00 Na compra a prazo, dá-se R$ 700, 00 de entrada e mais um pagamento de R$ 1.800, 00 para 60 dias. Qual a taxa de juros composto envolvida nesta operação? EP Por quanto tempo deve-se aplicar um capital de R$ , 00 à taxa de juros compostos de 5% a.m. para obter-se, no final do prazo, um montante de R$ , 01 EP Um investidor aplicou um capital à taxa de juros compostos de 4% ao mês e no final de n meses, produziu um montante igual a 1, 48 do capital investido. Qual o valor de n? EP O preço de um objeto é R$ 1.200, 00 podendo esse valor ser pago daqui a 3 meses. Na compra deste objeto, a vista, dá-se um desconto de 15%. Qual a taxa de juros composto envolvida nessa operação? EP Que taxa mensal de juros compostos faz um certo capital inicial C triplicar de valor em 5 meses? EP Com a finalidade de comprar um aparelho que custa R$ , 56 uma pessoa fez uma aplicação de R$ , 00 em um banco que paga 7% a.m. de juro composto. Quanto tempo levou essa aplicação para atingir o valor desejado? MATEMÁTICA FINANCEIRA 29

31 EP Uma pessoa investiu em um banco R$ , 00 à taxa de 10% a.m. por 4 meses e 10 dias. Qual o montante relativo a essa aplicação? EP Em 1992, depositei R$ , 00 a juros compostos e recebi, após 4 meses, R$ , 00. Por quanto tempo deveria aplicar este capital, à mesma taxa, para obter R$ , 51? Taxa Nominal Taxa Efetiva É muito comum em alguns tipos de movimentações financeiras, expressar a taxa de juros em termos anuais. Contudo, essas mesmas operações são as vezes, realizadas em períodos de capitalização mensal, bimestral, trimestral, semestral e etc. Dessa fato decorre situações em que a taxa de juros é expressa em um período de capitalização que não coincide com o período de tempo ao qual a taxa se refere. Nesses casos se faz necessário a distinção entre o significado de taxa nominal e taxa efetiva. 1.5 Definição. Chamamos de taxa efetiva aquela que como o próprio nome já diz, efetivamente verifica uma operação financeira. 1.6 Definição. Taxa Nominal é uma taxa aparente que só pode ser definida quando a unidade à qual a taxa se refere não coincide com a unidade do período de capitalização, e a conversão é feita calculando-se a taxa proporcional. Alguns esclarecimentos são importantes neste momento a fim de não tornar algumas interpretações ambígüas. Toda vez que a unidade temporal da taxa coincidir com o período de capitalização, estamos nos referindo a uma taxa efetiva. São exemplos de taxas efetivas: 10% a.m. capitalizado mensalmente. 5% a.t. capitalizado trimestralmente. Toda vez que a unidade temporal da taxa não coincidir com o período de capitalização, estamos nos referindo a uma taxa nominal. São exemplos de taxas nominal: 15% a.a. capitalizado mensalmente. 4% a.s. capitalizado quinzenalmente. Nota 7. No caso das taxas efetivas a nível de simplificação da escrita, já que o período de capitalização coincide com a unidade temporal da taxa, costuma apenas escrever a taxa sem o período de capitalização, já que coincide. Dessa forma ao invés de escrevermos 10% a.m. capitalizado mensalmente, escrevemos apenas 10% a.m. Quando mencionamos que um certo capital inicial C será capitalizado à juros compostos utilizando uma taxa de 20% a.a. está claro que a taxa possui capitalização anual. Contudo, poderíamos pensar na mesma situação porém com uma pequena diferença. E se a mesma taxa de 20% a.a. fosse capitalizada mensalmente? será que o montante obtido seria o mesmo? Nesses casos devemos tomar cuidado pois a taxa em questão é a nominal em outras palavras, a verdadeira taxa, ou seja, a efetiva está mascarada ou disfarçada. Por convenção a obtenção da taxa efetiva que está embutida numa taxa nominal será feita no sistema de capitalização simples calculando a taxa proporcional à dada, relativa a unidade de tempo mencionada na capitalização. Dessa forma, i = i k k, onde: i é a taxa efetiva 30 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

32 i k é a taxa nominal k número de vezes em que o período correspondente à taxa foi dividido. ER 17. Suponha que um certo capital de R$ 1.000, 00 seja capitalizado durante 2 anos a uma taxa de juros i = 12% a.a. capitalizada mensalmente. Encontre o montante utilizando e a taxa efetiva anual. Solução: Observe que a taxa, apesar de ser anual, está sendo capitalizada mensalmente, desta forma precisamos encontrar a taxa proporcional a taxa nominal. Em um ano contamos com 12 meses, assim a taxa efetiva mensal i m = i 12 i m = 1 a.m. Calculando o montante, temos que: M = 1.000, 00 (1 + 0, 01) 24 M = 1.269, 73 a taxa de juros efetiva anual, será obtida através de uma equivalência de taxas, utilizando a taxa efetiva mensal i m = 1 a.m., dessa forma: (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i a = (1 + 0, 01) , 1268 Portanto, a taxa de juros anual efetiva neste caso é de 12, 68%. Em outras palavras se tal simulação fosse referente a um financiamento, o consumidor acabaria pagando mais do que ele imaginava. ER 18. Sabendo-se que uma taxa de juros nominal de 48% ao semestre é capitalizada trimestralmente encontre a taxa de juros efetiva semestral. Solução: O primeiro passo é encontrar a taxa de juros efetiva trimestral, pois, neste caso, a taxa semestral está sendo capitalizada trimestralmente. Em 1 semestre temos exatamente 2 trimestres, assim a taxa de juros trimestral será i t = 48/2 = 24% ao trimestre. Para encontrar a taxa de juros efetiva semestral, usaremos mais uma vez a equivalência de taxas. Portanto: (1 + i s ) 1 = (1 + i t ) 2 i s = (1 + 0, 24) 2 1 = 0, 5376 i s = 53, 76%. ER 19. A taxa de 36% ao bimestre com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de? Solução: Lembrando que 1 bimestre possui, exatamente, 2 meses, assim a taxa efetiva mensal i m = 36 2 i m = 18% ao mês. Utilizando a equivalência de taxa temos: (1 + i t ) 1 = (1 + i m ) 3 i t = (1 + 0, 18) 3 1 0, 6430 i t = 64, 30% ER 20. Suponha que R$ , 00 sejam depositados numa caderneta de poupança que não possui correção monetária e que rende juros de 8% a.a. capitalizados semestralmente. Se nenhuma retirada ou depósito adicional foram feitos, então o total de juros creditamos durante 3 anos é de quanto? Solução: Em primeiro lugar, devemos encontrar a taxa de juros efetiva semestral. Em 1 ano, temos 2 semestres. Dessa forma, i s = 8%/2 = 4% ao semestre. O número de períodos é igual a 3 anos, que podem ser transformados em 6 semestres. Calculando o montante obtido, temos: M = , 00 (1 + 0, 04) , 80. Utilizando a relação J = M C, o juros acumulado é: J = , , 00 = , Exercícios Propostos EP Um capital é aplicado a uma taxa de juros de 120% a.a. capitalizada mensalmente. Calcule a taxa efetiva mensal e a taxa da operação sabendo que a mesma durou 3 meses. MATEMÁTICA FINANCEIRA 31

33 EP Em quantos meses os juros ultrapassarão o valor do capital aplicado, se a taxa for 24% a.a. e capitalizada trimestralmente? EP A importância de R$ , 00 foi aplicada em um banco que remunera seus cliente à taxa de 108% a.a. com capitalização semestral, por um período de 2 meses. Qual o montante relativo a essa aplicação? EP Qual a taxa nominal anual, com capitalizações quadrimestrais, que conduz à taxa efetiva de 50% a.a.? EP Quanto se deve depositar hoje, em um banco que paga 84% a.a. com capitalizações trimestrais, para que ao final de 15 meses se tenha um montante de R$ , 42. Gabarito m = 6 ou m = ( 22, 16, 10, 4, 2, 8, 14, 20) com r = ?? (8, 13, 18) , 70 e (2, 7, 12, 17,...) x = PG (2, 6, 18,...) (a) 1 8 e (b) i = 18% ao mês 1.22 n = 25 dias 1.23 i = 18, 75% ao mês 1.24 C = R$ , i = 0, 25% ao mês n = 10 meses 1.27 i = 8% ao mês 1.28 J = R$ 53, , 02% ao mês 1.30 C = R$ , C = R$ , i = 8% ao mês 1.33 i = 17, 67% ao mês 1.34 n = 7, 6 meses 1.35 n = 10 meses 1.36 i = 5, 6% ao mês 1.37 i = 24, 57% ao mês 1.38 n = 5 meses 1.39 M = R$ , n = 7 meses 1.41 i m = 10% e i a = 2, 14% n > 35, 7 meses R$ , i = 43, 41% a.a. cap. quadrimestralmente Aproximadamente R$ , FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

34 TEMA 02 Descontos e Equivalência de Capitais Introdução Saber movimentar um certo capital inicial, seja a juros simples ou compostos, é de fundamental importância, no exato instante em que precisamos decidir sobre a escolha de dois ou mais investimentos. Denotando por VP (valor presente) e VF (valor futuro) um certo capital inicial poderá ser deslocado através dos n períodos de capitalização de forma simples ou composta. 2.1 Fluxo de Caixa Definimos fluxo de caixa como uma sucessão de pagamentos e/ou recebimentos previstos ao longo do tempo. Com a finalidade de facilitar a representação do fluxo de caixa, utilizamos um diagrama, chamado diagrama de fluxo de caixa, que se constitui numa ferramenta gráfica de grande utilização na representação de capitais que são movimentados durante uma certa quantidade n de períodos. No diagrama de fluxo de caixa, convencionamos: Um eixo horizontal, orientado para a direita, indicando a quantidade de períodos (dias, meses e etc.). As setas que são orientadas para cima, representam as saídas de caixa (pagamentos, desembolsos etc.). As que são orientadas para baixo, representam as entradas de caixa (recebimentos, reembolsos etc.) , 00 Exemplo 2.1. O diagrama abaixo mostra uma situação onde uma pessoa investiu R$ 8.000, 00 e depois de 4 meses meses recebeu o valor de R$ , Exemplo 2.2. O diagrama a seguir mostra uma situação em que uma pessoa adquiriu um bem, pagando por ele R$ , 00, contraindo uma dívida mensal, durante 3 meses de R$ 5.000, , , 00 meses , , , Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais, com datas de vencimento diferentes são ditos equivalentes quando transportados a uma mesma data, utilizando uma mesma taxa, produzirem nesta data valores iguais. A data para a qual os capitais serão transportados será chamada data focal. A data focal, pode estar situada antes ou depois de um certo capital, se pensarmos no diagrama de fluxo de caixa. Assim, estaremos interessados em avançar ou recuar um determinado capital, submetido a dois ou mais investimentos, do modo a verificá-lo em uma mesma data focal, com a finalidade de analisar qual será o mais rentável. Essa movimentação do capital pelo diagrama de fluxo de caixa, poderá ser feita através dos juros MATEMÁTICA FINANCEIRA 33

35 simples ou compostos. Contudo, o mercado financeiro utiliza apenas da prática do juros compostos, assim sendo, daremos uma maior ênfase a equivalência de capitais utilizando a capitalização composta Equivalência de Capitais a Juros Compostos Utilizando a capitalização composta, estaremos interessados em movimentar um certo valor ou capital, adiantando ou recuando para uma determinada data focal, tendo como base o diagrama de fluxo de caixa. O diagrama do fluxo de caixa será mais uma vez importante na resolução dos problemas, que envolvam a equivalência de capitais a juros compostos, pelo fato de ilustrar de forma clara e objetiva a situação corrente. ER 21. Um comerciante tem dois pagamentos a realizar: Um de R$90.000, 00, com vencimento para 5 meses, e outro de R$ , 00, com vencimento para 7 meses, e deseja pagá-los hoje. Quanto deverá desembolsar, se a operação vai se realizar 4 % a.m.? Solução: Ambos os pagamentos deverão ter seu valores atualizados na data focal zero, pelo critério pelo critério da capitalização composta. A taxa e o número de períodos já estão com suas unidades temporais compatíveis, sem a necessidade de algum ajuste. Dessa forma, denotando por VP 1 e VP 2 os valores presentes de ambos os pagamentos na data focal zero, temos: x meses , , 00 VP 1 = (1 + 0, 04) 5 VP 1 = (1, 04) 5 VP 1 = R$ , 43 Calculando o valor presente na data focal zero para o segundo pagamento, ficamos com: VP 2 = (1 + 0, 04) 7 VP 2 = (1, 04) 7 VP 2 = R$ , 52 Perceba que o valor total X será exatamente a soma dos valores presentes na data focal zero, ou seja, VP 1 e VP 2, dessa forma: X = VP 1 + VP 2 = , , 52 = , 95. ER 22. Uma loja vende suas mercadorias a prazo em 3 pagamentos mensais iguais, acrescentando ao preço destas 20 % sobre o preço a vista, o primeiro pagamento é feito no ato da compra. Encontre a taxa de juro composto cobrada por esta loja? Solução: Nesta questão devemos comparar todos os valores na data focal zero, porque sabemos o preço a vista, denotado por P. A taxa a ser encontrada deverá ser dada em meses, pois os períodos de cada uma das parcelas é mensal. Assim, pela figura temos que: P = 0, 4 P + 0, 4 P 1 + i + 0, 4 P 0, 4 P 0, 6 P = + 0, 4 P (1 + i) i (1 + i) 2. O fator P é comum a todos os termos, assim podemos cancelar e daí: P meses , 4P 0, 4P 0, 4P 0, 6 = 0, i + 0, 4 (1 + i) 2 0, 6 (1 + i) 2 = 0, 4 (1 + i) + 0, 4 3 (1 + i) 2 2 (1 + i) 2 = i = i = 1, i 21, 53 % 34 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

36 Observe que a equação 3 (1 + i) 2 2 (1 + i) 2 = 0 é do 2 grau na variável 1 + i, dessa forma possui no máximo 2 raízes. uma das raízes será negativa enão nos interessa trabalhar com taxa negativa, dessa forma foi excluída automaticamente. Assim a taxa procurada será i 21, 53 % a.m. ER 23. Suponha que um determinada empresa deva realizar dois pagamentos em um banco, onde R$ , 00 deverão ser pagos hoje e R$70.000, 00 para 6 meses. Por motivos de conveniência, a empresa propõe ao banco que faça uma substituição na sua dívida por um pagamento de R$ , 00 em 3 meses e o saldo restante da dívida para 9 meses. Qual o valor do saldo restante, supondo que o banco opere com uma taxa de juros compostos de 10 % a.m.? x Solução: Observe que, nesta situação, será interessante comparar todos os valores na data focal 9 meses, onde se encontra o valor de X procurado, que representa neste caso o saldo meses devedor. Denotando por VF 1, VF 2 e VF 3 os valores futuros de cada um dos pagamentos dado pela figura anterior, temos: VF 1 = VP 1 (1 + i) n VF 1 = (1 + 0, 1) 9 VF 1 = R$ , 80 VF 2 = VP 2 (1 + i) n VF 2 = (1 + 0, 1) 3 VF 2 = R$ , 00 VF 3 = VP 3 (1 + i) n VF 3 = (1 + 0, 1) 6 VF 3 = R$ , 15 O pagamento que deveria ter sido efetuado pela empresa, na data focal 9 é representado pela soma VF 1 + VF 2. O pagamento proposto pela empresa ao banco com saldo devedor para 9 meses é representado por VF 3 +X. Ambos os valores na data focal 9 serão equivalentes, assim: VF 3 +X = VF 1 + VF 2 X = , , , 15 X = R$ , Exercícios Propostos EP 2.1. Uma determinada empresa detém um título no valor de R$ , 00 cujo vencimento será em 6 meses. Sentindo a necessidade de adiantar o pagamento, a empresa propõe ao banco uma substituição do título por um outro cujo vencimento será três meses antes. Qual será o valor do novo título, se o desconto empregado pelo banco é o racional composto, utilizando uma taxa de 5 % ao mês? EP 2.2. Um cliente resolve quitar sua dívida de R$ , 00 com um determinado banco, que vence em 3 meses. No entanto, ele propõe ao banco que parcele a dívida em dois pagamentos iguais, sendo um no ato do acordo (hoje) e o outro para 2 meses. Qual o valor desses pagamentos, considerando uma taxa composta de 8 % ao mês? EP 2.3. Um débito de uma certa empresa com um banco soma no total R$ , 00, com vencimento na data de hoje. Por motivos financeiros, a empresa propõe a troca de sua dívidas por notas promissórias com o primeiro valor sendo de R$ , 00 para 30 dias e uma outra, de X reais, para 60 dias. Qual o valor de X se o banco opera com uma taxa de de juros composto de 4 % a.m.? MATEMÁTICA FINANCEIRA 35

37 2.3 Desconto Introdução A noção intuitiva que temos sobre desconto, entre outras coisas, seria por exemplo, o abatimento efetuado sobre um certo bem de consumo, quando realizamos a compra do mesmo a vista. Em matemática financeira, a idéia do que seria desconto, será o abatimento realizado sobre o valor de um certo título ao qual alguém faz jus por comprá-lo em data anterior ao seu vencimento. O desconto será indicado pela letra D. Os descontos se dividem em: Desconto Racional Simples Composto Desconto Comercial Simples Composto Abordaremos cada um dos tipos de descontos de forma clara, objetiva e ilustrativa, a fim de tornar o estudo da matemática financeira uma prática atrativa. Antes de deduzirmos a expressão que calcula o desconto racional simples, é de suma importância destacarmos alguns conceitos importantes relativos à data de análise do problema. Valor nominal ou valor futuro do título: Refere-se ao valor de resgate definido para um título em sua data de vencimento, ou seja, o montante da operação (VF). Valor atual ou valor presente do título: é o valor atual na data do desconto (VP). Exemplo 2.3. Suponha que uma pessoa possua em mãos uma duplicata no valor de R$ , 00. Admitindo que ela tenha vendido a duplicata a um banco pelo valor de R$ , 00 numa data anterior ao seu vencimento, temos que: Valor Nominal : VF = R$ , 00 Valor Atual (na data do resgate) : VP = R$ , 00 Desconto : D = VF VP D = R$ , 00 De uma forma simplificada, poderíamos interpretar o desconto como sendo um juro cobrado pelo comprador do título, a pretexto de aluguel do dinheiro antecipado. Observe que podemos calcular o desconto baseado no valor atual (VP) ou nominal (VF) do título. O mais correto seria calcular o desconto tendo como base o valor atual, pois sendo o desconto uma espécie de juro e sendo o juro proporcional ao valor atual do título, que representa o valor do capital naquele momento. No entanto, na grande maioria dos casos o desconto será calculado sobre o valor nominal do título por uma explicação bem simples, maior rentabilidade ao comprador do título. Pela possibilidade de incidir o desconto sobre o valor nominal ou sobre o valor atual, gerou o aparecimento de dois tipos de descontos, o desconto racional (calculado sobre A) e o desconto comercial (Calculado sobre N). A seguir estudaremos de forma detalhada cada um dos tipos de descontos mencionados anteriormente. 2.4 Desconto Racional Simples Também chamado de desconto real ou desconto por dentro, é aplicado sobre o valor atual do título e o indicaremos, por motivos óbvios, pela letra D. Esse tipo de desconto, funciona de forma equivalente aos juros simples, e desta forma o capital inicial corresponderá ao valor atual do título. Portanto, se um certo título for descontado n períodos de tempo antes de sua data de vencimento, a uma taxa i e com um certo valor presente VP, temos: D = VP i n 36 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

38 Na maioria das situações que envolvem descontos, o valor nominal do título é conhecido e não o atual. Dessa forma se faz necessário deduzir a fórmula de desconto simples em função de VF. Observe que VF = VP +D dessa forma, temos VP = VF D. substituindo no lugar de VP por VP = VF D temos: Utilizando a expressão D = VP i n e D = VP i n D = (VP D) i n D = VF i n D i n Isolando o valor de D, temos: D = D + D i n = VF i n D (1 + i n) = VF i n VF i n 1 + i n Podemos deduzir uma importante relação para ser utilizada em desconto racional. A relação entre o valor nominal (N) e o valor atual (A). VF i n VP = VF D VP = VF 1 + i n VP = VF (1 + i n) VF i n 1 + i n VP = VF+VF i n VF i n 1 + i n VP = VF 1 + i n Observe que VP = VF pode ser reescrita como VF = VP (1 + i n) e desta forma percebemos que na 1 + i n verdade, estamos adaptando a fórmula da capitalização simples ou juros simples, VF = VP (1 + i n) ao desconto. ER 24. Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R$ 6.462, 50, dois meses antes da data de vencimento. Qual o desconto que será obtido por ela, se a taxa corrente no mercado é de 60 % a.a. e o critério adotado foi o do desconto racional simples? Solução: Para responder este exercício, basta utilizar de forma direta a expressão do desconto racional VF i n simples D = 1 + i n. Devemos observar que a taxa de juros, está com unidade temporal diferente do número de períodos, que no caso em questão é n = 2 meses. Utilizando equivalência de taxas para juros simples temos: i a = 12 i m i m = i a 12 i m = i m = 5 Assim, substituindo os valores na fórmula do desconto racional simples, temos: D = 6.462, 50 0, , 05 2 D = 646, 25 1, 1 D = R$ 587, 50 ER 25. Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500, 00, quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 24 % a.a.? considerando o desconto como racional simples. Solução: Utilizaremos nesta questão a relação entre valor atual e valor nominal de um título, ou seja, VP = VF 1 + i n. Mais uma vez, a única alteração que devemos fazer, é mudar a taxa de ano para mês utilizando a equivalência de taxas a juros simples, assim: Calculando o valor atual da promissória, temos: VP = i a = 12 i m i m = i a 12 i m = i m = , , 00 VP = VP R$ 6.944, , , 08 MATEMÁTICA FINANCEIRA 37

39 ER 26. Uma nota promissória, resgatada 90 dias antes de seu vencimento, foi negociada por R$ , 00, à taxa de desconto racional de 84 % a.a. Qual era o valor nominal desse título? Solução: Para a resolução desta questão, utilizaremos a relação entre valor nominal e valor atual dada pela expressão VF = VP (1 + i n). A taxa deverá ser alterada para mês, utilizando a equivalência de taxa, lembrando ainda que 90 dias são, na verdade, 3 meses. Portanto: Calculando o valor nominal da promissória, temos: i a = 12 i m i m = i a 12 i m = i m = 7 VF = , 00 (1 + 0, 07 3) VF = R$ , 89 ER 27. Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa de juros simples adotada nessa operação, se o desconto concedido foi igual à metade do valor atual do título na data do resgate? Solução: Já sabemos que o desconto racional simples, é aplicado diretamente no valor atual de qualquer título n períodos antes de seu vencimento, assim D = VP i n. A questão nos informa que D = VP no ato do resgate, se n = 2 meses, calculando o valor de i, temos: 2 VP 2 = VP i = 2 i i = 1 = 0, 25 i = 25 % ao mês Exercícios Propostos EP 2.4. Um título com valor nominal de R$ , 00 foi resgatado 35 dias antes de sua data de vencimento, à taxa de 90 % a.a., sobre o critério de desconto racional simples. Qual foi o desconto concedido? Por quanto foi negociado o título? EP 2.5. Qual o valor líquido de uma promissória, de valor nominal R$ , 15, resgatada 2 meses antes de seu vencimento, a 17 % a.m., pelo critério de desconto racional? EP 2.6. O valor atual de um título 5 dias antes do seu vencimento é igual a 10 vezes o desconto racional a ele relativo. Qual a taxa envolvida nesta operação? EP 2.7. Dois títulos, A e B, foram resgatados por R$ , 00 à taxa de 5 % ao mês, 2 e 3 meses respectivamente antes de suas datas de vencimento. Sabe-se que o valor do resgate do título B supera o valor do resgate do título A em 20 % deste. Pede-se para encontrar o valor do desconto por dentro obtido em cada título. EP 2.8. Uma pessoa tomou uma quantia de R$ , 00 emprestada para pagamento em 1 ano, à taxa de 18, 5 % a.m. Quatro meses antes do prazo previsto para o vencimento, essa pessoa propôs o pagamento da dívida, desde que fosse efetuado um desconto racional simples pela taxa em vigor na época (25 %). Qual o valor que o devedor está propondo pagar? 2.5 Desconto Comercial Simples ou Bancário Também chamado de desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor nominal do título. Indicaremos o desconto comercial simples por D. Observe que este tipo de desconto é o mais utilizado, afinal para quem 38 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

40 está comprando um certo título antes de sua data de vencimento, é interessante aplicar o desconto no valor nominal do título, pois, desta forma, o valor do desconto será o maior possível. Este tipo de desconto equivale a uma espécie de juros simples, onde o capital inicial ou VP foi substituído pelo valor nominal do título ou VF. Para um título ser descontado de forma comercial a uma taxa de desconto comercial i d, n períodos de tempo antes de sua data de vencimento, devemos ter: D = VF i d n A relação entre o valor atual e o nominal, lembrando que VF = VP +D, poderá ser deduzida da seguinte forma: VP = VF D VP = VF VF i d n VP = VF (1 i d n) Se quisermos colocar o valor nominal em função do valor atual, basta isolar a variável VF em VP = VF (1 i d n), assim: VF = VP 1 i d n ER 28. Em um título com valor nominal de R$ , 00 foi resgatada 40 dias antes de seu vencimento, à taxa de 30 % a.m. Qual o desconto comercial concedido? Solução: Para resolver esta questão, podemos utilizar de forma direta a expressão que calcula o desconto composto D. utilizando a equivalência de taxas, assim: Antes, precisamos mudar a unidade temporal da taxa fornecida de mês para dias, Calculando o desconto comercial simples, temos: i m = 30 i d i d = i m 30 i d = i d = 1 D = , 00 0, D = R$ , 00 ER 29. Em resolvi quitar uma dívida de R$ 8.500, 00, faltando 23 dias para o seu vencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de 36 % ao mês? Solução: Esta questão pede para ser calculado o valor atual da dívida na referida data. Assim, utilizaremos a relação entre valor atual e valor nominal para desconto comercial simples. a taxa mais uma vez deverá ser alterada de mês para dias, assim: Calculando o valor atual na referida data, temos: i m = 30 i d i d = i m 30 i d = i d = 1, 2 VP = 8.500, 00 (1 (0, )) VP = 8.500, 00 0, 724 VP = R$ 6.154, 00 ER 30. Por uma duplicata de R$ , 00, um banco pagou o líquido de R$ , 00. Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título, se a operação deu-se a taxa comercial simples de 30 % ao mês? Solução: Assim como foi feito na questão anterior, podemos utilizar a relação entre valor atual e nominal para desconto comercial. A taxa tem de ser alterada para dias, afinal a questão pode o número de períodos antes da data de vencimento do título em dias. i a = 360 i d i d = i a 360 i d = i d 0, 0833 MATEMÁTICA FINANCEIRA 39

41 Calculando o número de períodos n temos: , 00 = , 00 = (1 0, n) 0, n = , 00 1 n 45 dias , Exercícios Propostos EP 2.9. Em 2.002, o resgate de uma nota promissória de R$ , 00, um mês e 15 dias antes de seu vencimento, foi feito com desconto comercial simples de R$ , 00. Qual é a taxa diária de desconto adotada nesta operação? EP Qual foi o prazo de antecipação de um título de R$32.000, 00 negociado com desconto de R$8.064, 00 à taxa comercial de 7 % ao mês? EP O quociente entre os descontos comercial e racional de um título é de 1, 5. Qual a taxa de desconto comercial i c adotada na operação, se i r = 2 i c e o período de antecipação foi de 5 meses. EP Em 2007, por uma duplicata de R$ , 00, um banco pagou, em data anterior a seu vencimento R$ , 00.Encontre o período de antecipação do título, sabendo que a operação se deu sobre o critério do desconto comercial. EP Um título com valor nominal de R$ , 00 deveria ter sido resgatado pelos critérios de desconto por fora. No entanto, na hora de efetuar os cálculos, o critério usado, por engano, foi o do desconto por dentro. qual a diferença gerada por este equívoco, se isto ocorreu 2 meses antes do vencimento, a 15 % a.m.? 2.6 Relação entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples Em alguns casos, existe a necessidade de calcularmos o desconto racional simples tendo o comercial simples ou vice-versa. Assim, podemos encontrar uma relação que envolva os dois descontos ao mesmo tempo. A dedução para esta relação é bastante simples e de fácil compreensão. Sabemos que o desconto racional simples ou desconto por dentro, é calculado sobre o valor atual de um certo título, denotando por D r, a sua expressão é dado por: (i) D r = VF i n 1 + i n. O desconto comercial simples ou por fora, é calculado sobre o valor nominal de um determinado título, isso faz com que o comprador do título se beneficie, afinal o valor a ser descontado será maior. Denotando por D c, a expressão para o desconto comercial simples é: (ii) D c = VF i d n. Observe que o desconto comercial simples é exatamente o numerado da expressão para o desconto racional simples, usando (i) e (ii) temos: D r = D c 1 + i n ou D c = D r (1 + i n). ER 31. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses o D c é R$ 140, 00 maior que o D r. Determine o valor nominal do título se a taxa empregada foi de 24 % a.a. 40 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

42 Solução: Em primeiro lugar, precisamos ajustar o a unidade temporal da taxa de juros com o número de períodos n. Como a capitalização é simples, usaremos a equivalência de taxas a juros simples, assim: i a = 12 i m i m = i a 12 i m = i m = 2 Observe que se encontrarmos o valor do desconto comercial d c utilizando a expressão D c = VF i n, encontramos o valor nominal N. A questão nos informa que D c = D r +140 D r = 140 D c mas D c = D r (1+i n) assim D c = D r (1 + (0, 02 5) D c = 1, 1 D r. Assim D = 140 D c e D c = 1, 1 D r portanto: D c = 1, 1 (140 D c ) D c 1, 1 D c = 140 1, 1 0, 1 D c = 154 D c = 1540 voltando à expressão que calcula o desconto comercial comporto, temos: 1540 = VF 0, 02 5 VF = , 1 VF = R$ , Desconto Bancário Sempre que utilizamos serviços bancários tais como: Abertura de contas, emissão de extrato bancário, emissão de talões de cheques, por exemplo, existe, nesses casos um percentual cobrado pelo banco por oferecer tais serviços. O desconto bancário pode ser considerado uma extensão do desconto comercial, para isso basta que acrescentemos a taxa de serviço bancário t que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações financeiras) que incide sobre o valor nominal. Assim, as expressões que calculam o desconto comercial simples e o valor a ser liberado sofrem um pequena alteração com a inclusão da taxa de desconto bancário, deste modo as expressões passam a ser: Desconto Bancário: D = VF i d n + VF t D = VF (i d n + t)) Valor Presente: VP = VF D VP = VF VF (i d n + t)) VP = VF [1 (i d n + t)] ER 32. Uma empresa foi a um banco e descontou uma duplicata no valor de R$ , 00, 108 dias antes do vencimento. Se o banco cobrou uma comissão de 0, 5 % e que a taxa de desconto comercial foi de 30 % a.a. determine o valor descontado. Solução: A resolução desta questão é bem simples, devemos estar atentos neste caso para a unidade temporal da taxa de juros afinal o número de períodos foi dado em dias. Transformando a quantidade de dias em anos basta resolver a seguinte regra de três: Anos Dias x 108 portanto 360 x = 108 e desta forma x = que simplificado por 36 resulta em x = Utilizando a expressão para o cálculo valor presente, temos: VP = VF [1 (i d n + t)] VP = å1 0, , 005 è VP = R$ , 00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 41

43 ER 33. Em um banco, com taxa de serviço de 2 %, foi descontado no dia 05/03/07 um título no valor nominal de R$ , 00, com vencimento em 13/06/07. Se o valor descontado bancário fosse de R$ 9.100, 00, qual seria a taxa de desconto adotada? Solução: Apesar de ser algo tão simples, contar dias entre duas datas é a coisa mais fácil de se confundir, existem 2 meses e 8 dias entre as datas citadas anteriormente. Assim, n = 2, 8 meses. Utilizando a fórmula do valor presente com taxa bancária temos: VP = VF [1 (i d n + t)] = [2, 8 i d + 0, 02] = i d Segue que i d = , 3178 = 31, 78% ao mês 2.8 Desconto Racional Composto O desconto racional composto, com relação a um certo título de crédito, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composta. D = VF VP A fórmula para o desconto racional em função do valor nominal do título, será obtida pela fórmula de montante composto VF = VP (1 + i) n, assim temos: VF = VP (1 + i) n VP = Como D = VF VP e VP = VF (1 + i) n ficamos com: VF ou VP = VF (1 + i) n (1 + i) n D = VF VF (1 + i) n D = VF [1 (1 + i) n ] ER 34. Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ , 00, recebido 2 meses antes do seu vencimento à taxa de 3 % ao mês. Solução: Observa-se que a unidade temporal da taxa e do número de períodos estão compatíveis, caso tivéssemos que mudar a taxa, por exemplo, usaríamos a equivalência de taxa para juros compostos. Dessa forma, podemos utilizar a fórmula para desconto racional comporto de forma imediata. D = , 00 [1 (1 + 0, 03) 2 ] = , 00 0, = R$ 2.870, 20 ER 35. Qual o valor atual de um título de R$ , 00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4 % a.m., 3 meses antes do seu vencimento? Solução: Utilizando, de forma imediata, a relação entre valor atual juntamente com valor nominal VP = VF (1 + i) n temos que: VP = , 00 (1 + 0, 04) 3 VP = , 00 0, VP = R$ , 60 ER 36. Por ter pago uma dívida de R$ , 00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ , 50. Qual a taxa de desconto racional envolvida nessa operação? 42 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

44 Solução: Podemos aplicar a expressão D = VF [1 (1 + i) n ] uma vez que todos os dados fornecidos estão com suas unidades compatíveis, assim: D = VF [1 (1 + i) n ] , 50 = , 00 [1 (1 + i) , 50 ] = 1 (1 + i) , , 02 0, , = 1 (1 + i) 4 (1 + i) 4 = 0, i = 4Ö Exercícios Propostos EP Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R$ , 00, após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual o desconto racional composto a que fez jus se a taxa adotada na operação foi de 5 % ao mês? EP Com base na taxa composta de 10 % ao mês, um título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual desse título se o seu valor nominal é de R$ , 00? EP Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um título de R$ , 00, sabendo que o título sofreu um desconto de R$ , 50 a 4 meses de seu vencimento. EP Por um título de R$ , 00, paguei R$ , 00. Qual o prazo de antecipação desse título se o desconto racional composto deu-se a 2 % a.m.? EP O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de R$ 465, 85 para R$ 350, 00. Qual a taxa bimestral racional composta, adotada nessa operação? 2.9 Desconto Comercial Composto Pelo motivo de estar fora de uso no âmbito financeiro, não será dada a mesma ênfase ao desconto comercial composto se compararmos aos outros tipos de descontos vistos até agora. No entanto, deduziremos as fórmulas necessárias para o cálculo do valor atual, nominal e do desconto comercial composto. Além disso, deixaremos como motivação aos leitores, dois exercícios resolvidos sobre este tipo de desconto. O desconto comercial composto, será obtido a partir do desconto comercial simples, aplicando a fórmula VP = VF (1 i) período a período de forma bastante semelhante ao que foi feito com os juros compostos. Chamando de VP n o valor atual comercial do título, n períodos antes de sua data de vencimento descontado a taxa composta i, temos: VP 1 = VF (1 i) VP 2 = VP 1 (1 i) VP 2 = VF (1 i) (1 i) = VF (1 i) 2 VP 3 = VP 2 (1 i) VP 3 = VF (1 i) 2 (1 i) = VF (1 i) 3. VP n = VP n 1 (1 i) VP n = VF (1 i) n 1 (1 i) = VF (1 i) n Portanto, temos que o valor atual comercial do título VP n é dado pela expressão: VP n = VF (1 i) n. Por abreviação de notação, utilizaremos, apenas, VP no lugar de VP n quando nos referirmos ao valor obtido depois de efetuado o desconto comercial composto. Podemos visualizar a expressão anterior de uma outra MATEMÁTICA FINANCEIRA 43

45 maneira, o valor nominal do título em função do valor atual comercial do título. Dessa forma: VF = VP (1 i) n ou VF = VP (1 i) n. Para encontrarmos a expressão do desconto comercial composto, que denotaremos por D, basta lembrarmos que VF = VP +D. Assim: D = VF VP D = VF VF (1 i) n D = VF [1 (1 i) n ] A seguir, alguns exemplos resolvidos, servirão para fortalecer as notações e a utilização do desconto comercial composto. ER 37. Obter o desconto comercial composto, concedido num resgate de um título de R$ , 00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3 % ao mês. Solução: Observe que as unidades do número de períodos n e da taxa de desconto comercial composto i = 3% ao mês estão totalmente compatíveis. Dessa forma, podemos aplicar a fórmula para os juros comercial composto de forma imediata. D = FV [1 (1 i) n ] D = , 00 [1 (1 0, 03) 2 ] D = , 00 0, 0591 D = R$ 2.955, 00 ER 38. Qual o valor de um título de R$ , 00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se uma taxa composta de 4 % ao mês, sobre o critério de desconto comercial composto? Solução: Nesta questão, estamos interessados em achar o valor atual do título, ou seja, VP na data em questão. Podemos usar de forma imediata a relação entre VP e FV, uma vez que todos os elementos envolvidos estão com suas unidades compatíveis. Desta forma: VP = VF (1 i) n = , 00 (1 0, 04) 3 = , 00 0, 9216 = R$ , Exercícios Propostos EP Uma empresa deve R$ , 00 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 meses. No entanto, 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto. O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto composto por fora, sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação de 3, 5 % ao mês. Pede-se calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do empréstimo. EP Um título foi descontado à taxa de 3 % a.m. 5 meses antes de seu vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de R$ , 00. Admitindo o conceito de desconto comercial composto, calcular o valor nominal do título. EP Um título de valor nominal de R$ , 00 é negociado mediante uma operação de desconto comporto por fora 3 meses antes de seu vencimento. a taxa de desconto adotada é de 5 % ao mês. Pede-se determinar o valor descontado e o desconto. Gabarito 2.1 R$ , R$44.515, R$56.160, D = R$1.807, 23 e VP = R$48.192, VP = R$52.397, i = 2% a.d. 2.7 D A = R$ , 00 e D B = R$ , VP = R$ , i = 1 % ao dia n = 3, 6 meses i c = 20 % ao mês n = 10 dias R$692, D = R$ , VP = R$ , i = 3, 5% ao mês n = 6 meses i = 10% ao bimestre R$ , R$ , Desconto - R$ 4.991, 88, Valor Descontado - R$ , FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

46 BLOCO 02 TEMA 03 Pagamentos, Financiamentos e Análise de Investimentos Série de capitais, Inflação e Depreciação Apresentação Todos nós, no dia-a-dia, nos defrontamos com apelos de consumo e de poupança através de planos de pagamentos que se adaptam aos mais diversos orçamentos, negócios são possíveis através do parcelamento ou recomposição de débitos, alternativas de investimentos em máquinas e equipamentos de vida útil economicamente limitada, ou suas respectivas substituições, também são algumas situações com as quais as empresas se defrontam em seus orçamentos de capital. O estudo das séries nos fornece o instrumental necessário para estabelecer planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimentos. 3.1 Série de Capitais Define-se série, renda, ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital. Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo de uma renda e, conforme sejam iguais ou não, a série se denominará, respectivamente, uniforme ou variável. Se os pagamentos forem exigidos em épocas cujos intervalos de tempo são iguais, a série se denominará periódica. Se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a série se denominará nãoperiódica. Se o primeiro pagamento for exigido no primeiro intervalo de tempo a que se referir uma determinada taxa de juros, teremos uma série imediata, caso contrário, ela será diferida. Teremos uma série temporária ou uma perpetuidade conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos. As séries periódicas e uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas. As séries periódicas e uniformes serão o alvo principal do nosso estudo, pelo simples fato de sua grande utilização no âmbito financeiro Série Postecipada São as séries onde os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada. Os pagamentos ou recebimentos para este tipo de série são sempre constantes, durante todo o período da capitalização. Um modelo de uma série postecipada é dado pela figura a seguir. Nota-se pela figura, que o início da série não é a data focal zero e esta será a característica principal das séries postecipadas. Os pagamentos serão denotados por PMT, uma vez que são constantes; os valores presente (VP) e futuro (VF) continuam com as mesmas notações, assim como, a taxa de juros i juntamente com o número de períodos n. A capitalização utilizada para as séries postecipadas e também para as demais séries, será do tipo composta. Uma série postecipada pode ser representada em sua forma geral pela figura: MATEMÁTICA FINANCEIRA 45

47 VP Série Postecipada VF n7 PMT PMT PMT PMT Utilizando uma didática um pouco diferente do modo convencional, ao invés de fazermos demonstrações teóricas das fórmulas do valor presente (VP) e do valor futuro (VF), utilizaremos exemplos práticos no intuito de chegarmos as mesmas fórmulas de uma maneira mais natural. Veja o seguinte exemplo: Exemplo 3.1. Suponha que uma certa pessoa deseja fazer 6 aplicações mensais, iguais e consecutivas de R$ 200, 00 a uma taxa de juros compostos de 4 % ao mês. Sabendo que a primeira parcela do investimento será aplicada ao final do primeiro mês, ou seja, 30 dias após a data tomada (data focal zero) como referência ao início do investimento, encontrar o montante ou valor futuro ao final de 6 meses de investimento. A situação descrita anteriormente pode ser representada em termos de diagrama de fluxo de caixa pela figura a seguir: Série Postecipada VF =? meses 200, , , , 00 Encontrar o valor futuro do investimento ao final de 6 meses, significará encontrar cada um dos valores futuros proporcionados por cada depósito na data focal n = 6 e adicioná-los. Utilizando equivalência de capitais, já sabemos que um determinado valor poderá ser adiantado ou recuado na linha do tempo através da capitalização composta. Observe que apenas o depósito no mês 6 não precisará ser deslocado, uma vez que está posicionado exatamente na data de análise do problema (data focal 6). Assim para cada um dos pagamentos, temos que: mês 1 VF 1 = 200 (1 + 0, 04) 5 VF 1 243, 33 mês 2 VF 2 = 200 (1 + 0, 04) 4 VF 2 233, 97 mês 3 VF 3 = 200 (1 + 0, 04) 3 VF 3 224, 97 mês 4 VF 4 = 200 (1 + 0, 04) 2 VF 4 216, 32 mês 5 VF 5 = 200 (1 + 0, 04) 1 VF 5 208, 00 mês 6 VF 6 = 200 (1 + 0, 04) 0 VF 6 200, 00 Lembrando que devemos acrescentar a parcela de R$ 200, 00, referente ao mês 6, que não sofrerá deslocamento algum. Dessa forma, o valor futuro total do investimento será dado por: VF = VF 1 + VF 2 + VF 3 + VF 4 + VF 5 + VF 6 VF = 1.326, 59 Tal procedimento não seria recomendado em séries cujo número de termos fosse muito elevado, imagine, por exemplo, calcular o valor futuro numa série de 100 termos, utilizando a idéia do exemplo anterior? Portanto temos que equacionar tal problema deduzindo uma expressão que nos facilite o cálculo do valor futuro, sem precisar calcular o valor futuro de cada termo da série na data focal escolhida. Podemos pensar a mesma 46 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

48 situação anterior de uma forma mais sofisticada e elegante. O valor futuro encontrado através da soma de cada um dos valores futuros obtidos pelo deslocamento de cada um dos termos da série, poderá ser rearrumado e visto da seguinte maneira: VF = (1 + 0, 04) (1 + 0, 04) (1 + 0, 04) (1 + 0, 04) (1 + 0, 04) 5 Se observamos com bastante atenção, a soma dos FV i com 1 i 6 é na verdade a soma finita dos termos de uma progressão geométrica (verifiquem!), cuja razão q é a divisão de um termo qualquer (exceto o primeiro termo) pelo seu antecessor. Calculando a razão da P.G. temos: q = a (1 + 0, 04)1 q = q = (1 + 0, 04) a A soma para uma quantidade finita de termos de uma P.G. qualquer é dada pela expressão: S n = a 1 (q n 1) q 1 Utilizando-a para o nosso exemplo, onde a 1 = 200 e n = 6 temos: S 6 = a 1 (q 6 1) q 1 S 6 = 200 ((1 + 0, 04)6 1) (1 + 0, 04) 1 è + i) VF = PMT å(1 n 1 i S , 59 Calcular o valor futuro utilizando a soma dos termos de uma P.G. finita será uma ferramenta importante no estudo de todas as séries que serão abordadas neste tema. Generalizando para um série postecipada de n pagamentos ou recebimentos denotados por PMT, contados ao final do primeiro período de capitalização composta, utilizando uma taxa de juros i, o valor futuro, ao final de n períodos de capitalização, é dado por: + i) Nota 8. O elementoå(1 n 1èéchamado de fator de acumulação de capital e denotado por i FAC(i, n) ou a n i (lê-se a, n cantoneira i, é muito utilizado em concursos devido a não permissão da utilização de calculadoras, assim para encontrar o fator de acumulação, o candidato utiliza tabelas financeiras com os coeficientes já pré-calculados). Fica a cargo do leitor escolher a notação que lhe for mais conveniente pois ambas estão corretas e são bastante utilizadas. Análogo ao que foi feito com relação ao valor presente das séries postecipadas, utilizaremos também um exemplo, com a finalidade de encontrarmos a expressão para o cálculo do valor presente (VP) nas séries postecipadas. Exemplo 3.2. Qual será o valor presente que, financiado a taxa de 4 % ao mês, poderá ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 200, 00 cada uma? A situação descrita pelo exemplo 3.2 é representada através de um diagrama de fluxo de caixa dado pela figura a seguir: VP =? Série Postecipada meses 200, , , , 00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 47

49 Como feito, anteriormente, através da equivalência de capitais, o valor presente que salda a dívida financiada através de 5 pagamentos de R$ 200, 00 cada, será obtido pela soma de cada um dos valores presentes de cada termo da série em outras palavras iremos retroceder cada um dos termos até a data focal zero, assim: mês 1 VP 1 = mês 2 VP 2 = mês 3 VP 3 = mês 4 VP 4 = mês 5 VP 5 = 200 (1 + 0, 04) 1 VP 1 192, (1 + 0, 04) 2 VP 2 184, (1 + 0, 04) 3 VP 3 177, (1 + 0, 04) 4 VP 4 170, (1 + 0, 04) 5 VP 5 164, 38 Portanto, o valor presente procurado será exatamente a soma de todos dos valores presentes obtidos de cada um dos termos. VP = VP 1 + VP 2 + VP 3 + VP 4 + VP 5 VP 890, 36 Como poderíamos deduzir a fórmula do valor presente, tendo em mãos a expressão que calcula o valor futuro de qualquer série postecipada? Vamos pensar da seguinte forma, o valor presente VP = 890, 36 foi obtido através da equivalência de capitais, na data focal zero, de cada um dos termos da série. Observe que se tivéssemos o valor futuro, associado ao valor presente VP = 890, 36, poderíamos utilizar mais uma vez a equivalência de capitais na data focal zero, e desta forma o valor encontrado seria exatamente igual a VP = 890, 36. Para qualquer série postecipada podemos comparar o valor presente è na data focal zero, com o valor futuro na data focal n, ou seja, no final da capitalização, através da relação de juros compostos: VF = VP (1 + i) n O valor futuro, por sua vez, pode ser calculado através da expressão deduzida anteriormente: + i) VF = PMT å(1 n 1 i nè è Utilizando as duas expressões, podemos afirmar que: VP (1 + i) n + i) = PMT å(1 n 1 i Isolando o variável VP na expressão anterior, ficamos com: + i) VP = PMT å(1 n 1 nè i (1 + i) Apesar da expressão colocar o valor de VP em função da taxa de juros i dos termos PMT da série e do número de períodos n, podemos simplificar os cálculos de modo a tornar essa relação simples de ser utilizadas. Vamos proceder da seguinte forma, primeiro colocaremos o termo (1 + i) n em evidência no numerado. ¾ (1 + i) nå1 1 (1 + i) VP = PMT i (1 + i) n 48 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

50 Depois disso, podemos cancelar o fator (1 + i) n já que é comum tanto no numerador quanto no denominador e 1 lembrando ainda que (1 + i) n = (1 + i) n chegamos a: (1 + i) VP = PMT 1 n i Isto significa que podemos encontrar o valor presente de uma série postecipada qualquer de n termos iguais, capitalizados a uma taxa de juros compostos i. Voltando à questão anterior, já sabemos do valor presente que foi VP = 890, 36, utilizando a fórmula para o valor presente da série postecipada, vamos encontrar VP para o exemplo e comparar com o valor encontrado anteriormente, assim: VP = (1 + 0, 04) 5 0, 04 VP 890, 36 Os valores são exatamente iguais, como era de se imaginar, afinal utilizamos algo muito importante na matemática financeira, a equivalência de capitais numa mesma data focal utilizando uma mesma taxa de juros e portanto já sabíamos que o resultado seria o mesmo. (1 + i) Nota 9. O fator 1 n também é conhecido por fator de valor atual ou de forma abreviada por i FVA(i, n). A notação a n i também poderá ser utilizada pelo leitor sem restrições. ER 39. Qual o valor futuro ou montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de R$ 1.000, 00 por mês, à taxa de 5 % ao mês? Solução: como mostra a figura abaixo: A questão é uma aplicação direta da fórmula para o valor futuro de uma série postecipada Série Postecipada VF =? meses 1.000, , , , 00 Observe que a unidade temporal da taxa tem de ser sempre igual a unidade em que as parcelas são depositadas, no caso em questão, meses. Assim aplicando a fórmula para o valor futuro, temos: VF = (1 + 0, 05) 8 1 0, 05 VF R$ 9.549, 11 ER 40. Calcule o número de prestações semestrais de R$ , 00, cada uma, capaz de liquidar um financiamento de R$ , 65, à taxa de 44 % ao ano. Solução: Nesta questão, devemos ficar atentos pois a taxa de juros não está com mesma unidade temporal das prestações. Utilizando uma equivalência de taxas, podemos encontrar a taxa semestral equivalente. Assim, (1 + i a ) = (1 + i s ) 2 i s =Ô1 + i a 1 i s = 1 + 0, 44 1 i s 20 % MATEMÁTICA FINANCEIRA 49

51 VP = , 65 Série Postecipada semestre n 7=? , , , , 00 Para encontrar o valor de n, utilizaremos a fórmula do valor presente para séries postecipadas. (1 + i) VP = PMT 1 n (1 + 0, 2) , 65 = , 00 1 n , 65 i 0, , 00 = 1 (1, 2) n 0, 2 3, = 1 (1, 2) n 0, 2 0, = 1 (1, 2) n (1, 2) n = 0, log(1, 2) n log0, = log 0, n = n 6 semestres log(1, 2) ER 41. Um empréstimo de R$ , 00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo que a taxa de juros é de 3, 5 % ao mês, calcular o valor das parcelas. Solução: Para calcular o valor das prestações, utilizaremos a fórmula do valor presente para séries postecipadas isolando PMT. A taxa não precisa ser alterada uma vez que as prestações serão mensais. VP = , 00 Série Postecipada meses PMT = PMT PMT PMT PMT VP 1 (1 + i) n i PMT = (1 + 0, 035) 12 0, 035 PMT = 3.104, Exercícios Propostos EP 3.1. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um fundo de renda fixa, à taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha ao final desse prazo, um montante de R$ , 00? EP 3.2. Uma certa loja de eletro-eletrônicos vendo um aparelho de som a vista por R$780, 00 ou dois cheques pré-datados de R$ 413, 00 para 30 e 60 dias. Determinar a taxa de juros composta mensal. EP 3.3. Calcular o valor presente de um fluxo de 15 pagamentos mensais de R$ 2.100, 00 cada, sendo que o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias. Admita uma taxa de juros de 2, 2 % ao mês. EP 3.4. Uma televisão está sendo negociada em 6 pagamentos mensais de R$ 72, 00 cada. Qual deverá ser a entrada, de forma que o financiamento seja equivalente ao preço a vista de R$650, 00, utilizando uma taxa de juros igual a 3, 9 % ao mês. 50 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

52 As séries que trataremos a seguir são conhecidas pelo nome de antecipadas. Tais séries possuem uma característica importante, o primeiro pagamento ou recebimento ocorre sempre no início do período, ou seja, exatamente na data focal zero. Para dedução das fórmulas do valor presente e futuro das séries antecipadas, utilizaremos o que já foi visto para as séries postecipadas Séries Antecipadas As séries chamadas de antecipadas ou com termos antecipados são caracterizadas pelos pagamentos ou recebimentos começarem antes do vencimento do primeiro período. Assim a primeira prestação será sempre paga na data focal zero, ou seja, na data início do contrato de empréstimo, financiamento ou qualquer outra operação financeira que implique em pagamentos ou recebimentos de prestações. VP Série Antecipada VF n6 7 PMT PMT PMT PMT PMT As fórmulas para o cálculo do valor presente VP e do valor futuro VF serão deduzidas a partir do valor presente e futuro das séries postecipadas. Com o intuito de ilustrar e tornar mais didática a dedução das fórmulas, utilizaremos um exemplo com a finalidade de tornar mais simples a compreensão deste tipo de série. Exemplo 3.3. Qual será o valor futuro ou montante, ao final do 6 o mês de aplicação de seis prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 200, 00, a taxa de 4 % ao mês, sabendo que a primeira prestações é feita na data focal zero, ou seja, exatamente na data início do contrato. Série Antecipada VF =? meses n , , , , , 00 Encontrar o que procuramos, ou seja, o valor futuro ao final de 6 meses, significará deslocar todos os pagamentos, mês a mês e compará-los na mesma data focal 5. O montante procurado será nada mais nada menos do que a soma de todos os valores futuros obtidos de cada pagamento deslocado. Portanto, para cada pagamentos, temos: mês 0 VF 0 = 200 (1 + 0, 04) 6 VF 0 253, 06 mês 1 VF 1 = 200 (1 + 0, 04) 5 VF 1 243, 33 mês 2 VF 2 = 200 (1 + 0, 04) 4 VF 2 233, 97 mês 3 VF 3 = 200 (1 + 0, 04) 3 VF 3 224, 97 mês 4 VF 4 = 200 (1 + 0, 04) 2 VF 4 216, 32 mês 5 VF 5 = 200 (1 + 0, 04) 1 VF 5 208, 00 Portanto, ao final do sexto mês, o montante ou valor futuro obtido será exatamente a soma de todos os valores MATEMÁTICA FINANCEIRA 51

53 futuros de cada termo da série, dessa forma: VF = VF 0 + VF 1 + VF 2 + VF 3 + VF 4 + VF 5 VF = 1.379, 65 Observe que a situação utilizada para ilustrar e deduzir as fórmulas do valor futuro e presente para as séries antecipadas é a mesma utilizada para as séries postecipadas, exceto pela forma de capitalizar, afinal as séries postecipadas não possuem pagamentos ou recebimentos na data início da série. Naquele momento o valor futuro obtido para a série postecipada foi R$ 1.326, 59. Com o mesmo exemplo e utilizando um novo tipo de série, no caso, antecipada, obtemos um montante igual à R$ 1.379, 65. É fácil perceber que os valores futuros encontrados para cada uma das séries estão interligados, afinal a distância de um para o outro é de apenas 1 período de capitalização, ou no caso em questão, um mês. Desta forma é correto afirmar que: 1.379, 65 = (1 + 0, 04) , 59 Em outras palavras, encontrar o valor futuro de uma série antecipada, significa encontrar o valor futuro de uma série postecipada e capitalizar o valor por mais um período apenas. Assim, a fórmula para o cálculo do valor futuro das séries antecipadas é: VF = (1 + i) PMT å(1 + i) n 1 i è. Com relação ao valor presente para as séries antecipadas, antes da fórmula propriamente dita, encontraremos cada um dos valores presentes para um determinado exemplo, assim como feita nas séries postecipadas e, logo após, deduziremos a fórmula. Lembrando que o valor presente VP para uma série de capitais qualquer, será a soma de todos os valores presentes de cada um dos termos da série, quando deslocados a juros compostos para a data focal zero. Através de mais um exemplo, ilustraremos a relação existente entre o valor presente das séries antecipadas com o da série postecipada. ER 42. Qual será o valor presente que financiado a taxa de 4 % ao mês, poderá ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 200, 00 cada uma, sendo a primeira delas a vencer hoje, ou seja, data focal zero? Solução: O diagrama de fluxo de caixa, para este exercício, é dado a seguir. 200 mês 0 VP 0 = (1 + 0, 04) 0 VP 1 200, 00 VP =? Série Antecipada , , , , , 00 meses mês 1 VP 1 = mês 2 VP 2 = mês 3 VP 3 = 200 (1 + 0, 04) 1 VP 1 192, (1 + 0, 04) 2 VP 2 184, (1 + 0, 04) 3 VP 3 177, mês 4 VP 4 = (1 + 0, 04) 4 VP 4 170, 96 O valor presente procurado é a soma de cada um dos valores presentes, deslocados para a data focal zero. Assim, VP = VP 0 + VP 1 + VP 2 + VP 3 + VP 4 VP = 925, 98 Observe que, para o exercício 3.2, onde a série é postecipada, o valor presente encontrado foi R$ 890, 36 e se modificarmos a série do exercício 3.2 para uma série do tipo antecipada, o valor presente é igual à R$ 925, 98. Lembrando que, no caso das séries postecipadas, o valor presente era calculado um período antes do primeiro termo, afinal tais séries começam sempre um período após o início do financiamento. Desse modo, 52 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

54 quando encontramos o valor presente para as séries antecipadas, o resultado obtido está situado na data focal zero igual as séries postecipadas, porém, ainda existe um termo neta data focal. Assim, para que os valores presentes sejam equivalentes, precisamos descapitalizar, por mais um período, o valor presente obtido na série antecipada e, somente assim, tal valor será equivalente ao obtido pela série postecipada. Portanto, 925, , 36 = 1 + 0, 04 ou então 890, 36 = 1 925, , 04 Concluímos, então, que o valor presente para a série antecipada, será igual ao da série postecipada, se recuarmos por mais um período de capitalização. De forma geral, podemos escrever: 1 VP = (1 + i) PMT 1 (1 + i) n VP = (1 + i) 1 (1 + i) PMT 1 n i i Através de alguns exemplos resolvidos, mostraremos a grande aplicação das séries antecipadas. Na grande maioria dos casos, as séries postecipadas se caracterizam, por exemplo, por compras em que o consumidor terá de efetuar um valor de entrada na aquisição de um determinado bem de consumo. ER 43. Uma pessoa deve pagar um financiamento em 6 prestações mensais antecipadas de R$ , 00 cada. Calcular o valor do financiamento se a taxa de juros cobrada for de 24 % ao ano. VP =? Série Antecipada meses , , , , , , 00 Solução: Observe que o número de prestações está com uma unidade diferente da taxa utilizada. Desta forma precisamos colocar a taxa na unidade temporal mensal, utilizando equivalência de taxas a juros compostos. 1 (1 + i a ) = (1 + i m ) 12 i m = (1 + 0, 24) 12 1 i m 0, 0181 De posse da taxa de juros equivalente mensal, calculemos o valor presente da série. Assim, VP = (1 + i) 1 (1 + i) PMT 1 n VP = (1 + 0, 0181) 1 (1 + 0, 0181) i 0, 0181 VP R$ , 90 ER 44. Quantas aplicações mensais de R$ 1.000, 00 são necessárias para se obter um valor futuro de R$ , 47, sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 3 % ao mês, e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato, e a última 30 dias antes do resgate daquele valor. MATEMÁTICA FINANCEIRA 53

55 Solução: Para este exemplo, utilizaremos a expressão que calcula o Série Antecipada VF = , 47 valor futuro das séries antecipadas. A taxa fornecida é dada em meses, meses dessa forma o número de períodos a n 4=? è è n ser encontrado, será calculado de 30 em 30 dias , , , , , 00 + i) VF = (1 + i) PMT å(1 n 1 + 0, 03) è , 47 = (1 + 0, 03) å(1 n 1 i 0, , 47 =å(1 + 0, 03) n 1 + 0, 03) è 32, =å(1 n 1 (1 + 0, 03) , 03 0, 03 (1, 03) n = 1, n = log 1, log 1, 03 n 23 meses ER 45. Quanto se deve depositar no início de cada mês para que, ao final de 3 anos não se processando nenhuma retirada, se tenha R$ , 00 supondo que a instituição financeira opere com uma taxa de juros de 3, 2 % ao mês. Solução: Observe que, ao final de 3 anos, Série Antecipada VF = , 00 terão se passado exatamente 3 12 meses. Assim, o número de períodos da série antecipada é n = 36 meses. Como a taxa de ju- meses ros já foi dada em meses, podemos aplicar de forma direta a expressão para o valor futuro das séries antecipadas. PMT PMT PMT PMT + i) VF = (1 + i) PMT å(1 n 1 + 0, 032) è , 00 = (1 + 0, 032) PMT ( i 0, 032 PMT = , , , 032) (1 + 0, 032) (1 36 PMT = PMT = 882, , , Exercícios Propostos EP 3.5. um determinado terreno está sendo vendido por R$ , 00 a vista, ou por 40 % de entrada e o restante em 12 prestações mensais. Utilizando uma taxa de 2, 5% ao mês, determine o valor de cada prestação mensal. EP 3.6. Que montante obterá uma pessoa que deposite periodicamente R$ 170, 00, conforme a tabela: N de Prestações Período Taxa mensal 7 mês 7, 5 12 trimestre 16 5 semestre 9 EP 3.7. Considerando juros nominais de 36 % ao ano, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de R$ 842, 36 por meio de prestações mensais antecipadas de R$ 120, FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

56 EP 3.8. Uma loja financia compras cobrando uma taxa de juros efetiva de 8% ao mês e oferece as seguintes opções de pagamento: (a) 12 parcelas mensais iguais postecipadas; (b) 15 parcelas mensais iguais, com entrada; Se o valor da compra é de R$ 3.200, 00, determinar o valor de cada prestação Séries Diferidas Diferimento ou carência é representado, em termos de diagrama de fluxo de caixa, por uma certa quantidade m de períodos com m > 1, que antecedem o início dos termos de uma determinada série. As séries que possuem tal característica, são chamadas de diferidas e sua utilização no mercado financeiro em geral é bastante significativa. As séries diferidas estão divididas em dois grupos: Séries Diferidas Postecipadas Antecipadas Situações, como comprar parcelado e pagar em 60, 90 ou 120 dias, são exemplos de aplicação das séries diferidas. Apesar de parecer uma ótima proposta, os juros corrente nas situações que envolvem carência, estarão, sem sombra de dúvidas, embutidos no valor do produto. São as armadilhas que muitos estabelecimentos utilizam para mascarar o valor real do produto Séries Diferidas Postecipadas A série diferida postecipada tem como principal característica o fato do primeiro termo estar situado exatamente um período unitário após o tempo de carência m. Observe que neste caso, encontrando o valor VP Série Diferida Postecipada presente, pela equivalência de capitais de 0 m m + 1 m + 2 m + n todos os n termos da série na data focal Carência m, basta retroceder VP mais m períodos de modo a encontrá-lo na respectiva data focal PMT PMT PMT zero. nè O valor presente na data focal m será dado pela soma de cada um dos termos atualizados na mesma data focal, utilizando uma taxa de juros compostos i, dessa forma: PMT VP = (1 + i) m+1 m + PMT (1 + i) m+2 m PMT (1 + i) m+n m = PMT (1 + i) 1 + PMT (1 + i) PMT = PMT å1 (1 + i) n (1 + i) (1 + i) (1 + i) Observe queå1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) nèrepresenta a soma dos n primeiros termos de uma P.G. e desta forma podemos calcular a soma desses elementos através da expressão: S n = a 1 (q n 1) (1 + i) 2 onde q = q 1 (1 + i) 1 q = (1 + i) 1. Portanto, o valor presente na data focal m será: ¾ (1 + i) 1 [(1 + i) n 1] VP = PMT =PMT ¾ (1 + i) 1 [(1 + i) n 1] (1 + =PMT 1 i) n i 1 i i 1 + i VF MATEMÁTICA FINANCEIRA 55

57 Lembrando-se que este valor presente está sendo calculado na data focal m, mas o que estamos interessados é (1 + i) em encontrar o valor presente na data focal zero. Para isso basta que atualizemos VP = PMT 1 n i na referida data. Assim: VP = (1 + i) m (1 + i) PMT 1 n. i A expressão que calcula o valor presente para as séries diferidas postecipadas se assemelha bastante è com a fórmula para o valor presente das séries antecipadas. Para encontrar o valor futuro das séries diferidas postecipadas, basta atualizar todos os pagamentos na data focal m + n através de equivalência de capitais ou então aproveitar que já temos em mãos o valor presente na data focal m e atualizá-lo na data focal n + m. Caminhar de m até m + n significa capitalizar durante n períodos. Assim, VF = VP (1 + i) n (1 + i) VF = PMT 1 n (1 + i) n + i) VF = PMT å(1 n 1 i i Observe que o valor futuro para uma série do tipo diferida postecipada é exatamente igual ao da série postecipada. Vejamos alguns exemplos de aplicação desse tipo de série. ER 46. Ana compra de um amigo uma casa, cujo valor à vista é de R$ , 00 nas seguintes condições: Entrada de R$ , 00 mais prestações mensais de R$ , 04, com 13 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada na transação é de 4, 5 % ao mês, encontre o número de prestações. Solução: O problema trata de uma série diferida postecipada, como mostra a figura. Dessa forma a primeira parcela vence exatamente um período unitário após a carência, ou seja no mês 14. A taxa de juros já está em de acordo com o período (meses). Devemos lembrar ainda, que foi feito um pagamento (entrada) na data focal zero, assim o valor presente a ser considerado será VP = , , 00 = , 00. Utilizando a fórmula para valor presente das séries diferidas postecipadas, temos: VP = , 00 Série Diferida Postecipada meses n Carência , , , , 04 VP = (1 + i) m (1 + i) PMT 1 n = (1 + 0, 045) 13 (1 + 0, 045) , 04 1 n i 0, = 1 (1 + 0, 045) n (1 + 0, 045) 9, (1 + 0, 045) = 1 n , 04 0, 045 0, 045 0, = 1 (1 + 0, 045) n log0, n = n 12 parcelas log 1, 045 ER 47. Um financiamento de R$ , 00 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros de 18 % ao ano. Se o início dos pagamentos deve ocorrer ao término de um período de carência de 3 meses, calcular o valor das prestações. Solução: Em primeiro lugar, devemos transformar a taxa de juros de ano para meses, utilizando a 56 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

58 equivalência de taxas. 1 (1 + i a ) = (1 + i m ) 12 i m = (1 + 0, 18) 12 1 i m 0, 0138 Série Diferida Postecipada VF = , 00 meses Carência PMT PMT PMT O tempo de carência da série são 3 meses, isto significa que m = 3, utilizando a fórmula do valor presente para séries diferidas postecipadas, temos: VP = (1 + i) m (1 + i) PMT 1 n = (1 + 0, 0138) 3 (1 + 0, 0138) PMT 1 12 i 0, PMT =¾ (1 + 0, 0138) 3 (1 + 0, 0138) 1 12 PMT = 0, PMT 4.425, 93 10, ER 48. Um clube vende títulos de sócio mediante uma entrada de R$500, 00 e 36 prestações mensais de R$ 200, 00. Para facilitar a venda, permite que o pagamento da 1 a prestação ocorra 4 meses após a compra. Qual é o valor do título a vista, se a taxa de juros é de 2, 5 % ao mês? Solução: Devemos estar atentos para esta questão, pois existe um pagamento(entrada) efetuado na data focal zero, desta forma o valor a vista do título será a soma do valor presente na data focal zero com a entrada de R$ 200, 00. A taxa já está na unidade temporal das prestações, assim podemos utilizar a fórmula do valor presente para séries diferidas postecipadas de forma direta Série Diferida Postecipada VP =? meses Carência 500, , , , 00 VP = (1 + i) m (1 + i) PMT 1 n =(1 + 0, 025) 3 (1 + 0, 025) , 86 i 0, 025 Chamando por VAT, o valor à vista do título, temos: VAT = VP +500, 00 VAT = 4.374, , 00 VAT = 4.874, Exercícios Propostos EP 3.9. Determinar o preço de um televisor que é vendido em 10 prestações iguais e mensais de R$ 80, 00, sendo a primeira prestação a ser paga 3 meses após a data da compra. Considere uma taxa de juros de 4 % MATEMÁTICA FINANCEIRA 57

59 ao mês. EP Uma dívida de R$ 34000, 00 foi financiada em 24 pagamentos mensais, com carência de 8 meses, à taxa de 2, 34 % ao mês. Calcular o valor das prestações. EP Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais e iguais de R$ 700, 00. Sendo de 3, 5 % a taxa de juros, determinar o seu preço a vista, admitindo que o primeiro pagamento será efetuado ao final do segundo mês. EP Um equipamento de som profissional é vendido à vista por R$ 8.000, 00, ou em 4 pagamentos mensais de R$ 2.085, 79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra.qual deve ser o valor da entrada, admitindo uma taxa de juros igual à 4 % ao mês? Séries Diferidas Antecipadas A característica principal de uma série diferida do tipo antecipada é que o primeiro termo coincide com o final do período de carência. A dedução das expressões para o valor presente e futuro, serão baseadas nas fórmulas para as séries diferidas postecipadas. VP Série Diferida Antecipada VF meses m3 m 4+ 1 m m + 8n 1 Carência PMT PMT PMT PMT A fórmula VP = (1 + i) m (1 + i) PMT 1 n foi deduzida, baseada na data focal m, final do período de i carência, porém o primeiro termo da série, estava situado 1 período após o encerramento da carência, ou seja, m + 1. Precisamos fazer um pequeno ajuste nesta expressão de modo a torná-la válida para as séries diferidas antecipadas. Como já existe um termo posicionado na data focal m, significa que estamos atualizando, através de equivalência de capitais n 1 termos, supondo, é claro, que o número total de termos da série seja n, assim na data focal m: (1 + i) VP = PMT+PMT 1 (n 1) 1 (1 + i) n+1 VP = PMT 1 + i i Para encontrarmos o valor presente na data focal zero, utilizaremos mais uma vez a equivalência de capitais em VP. Assim, VP = (1 + i) m 1 (1 + i) n+1 PMT 1 + i Para encontrarmos o valor futuro, basta deslocar o valor presente que já foi calculado na data focal m, utilizando a equivalência de capitais, n períodos a frente, ou seja, multiplicaremos VP pelo fator (1+i) n. Portanto, VF = VP (1 + i) n VF = PMT (1 + i) n+1 i (1 + i) n. ER 49. Ana Rita receberá 12 prestações mensais iguais a R$20.000, 00 com a carência de 12 meses. Sabendo que a taxa de juros é de 4 % ao mês. Determine o valor atual com as prestações vencendo ao final do período. Solução: Este caso representa uma série do tipo diferida antecipada, ou seja o primeiro termo vence exatamente no final do período de carência. A taxa de juros está com unidade temporal equivalente ao número de períodos, desta forma podemos usar de forma direta a expressão que calcula o valor presente na data focal zero para séries diferidas antecipadas. 58 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

60 VP =? Série Diferida Antecipada meses Carência , , , , 00 VP = (1 + i) m 1 (1 + i) n+1 PMT 1 + =(1 + 0, 04) 12 1 (1 + 0, 04) i 0, 04 = 12491, (1 + 0, 04) , , 30 ER 50. Encontrar o valor de cada prestação, na compra de um automóvel cujo valor a vista é de R$ , 00 a uma taxa de 3, 5 % ao mês, durante 36 meses, sendo que a primeira parcela, vence exatamente ao final de um prazo de carência de 90 dias. Solução: Para responder está questão podemos usar de forma direta a fórmula para o calor presente das séries diferidas antecipadas, dessa forma: Série Diferida Antecipada VP =? meses Carência PMT PMT PMT PMT = (1 + 0, 035) 3 1 (1 + 0, 035) 36+1 PMT 1 + 0, 035 Segue que: PMT = , 83. (1 + 0, 035) 3 1 (1 + 0, 035) , Exercícios Propostos EP Uma certa imobiliária, está fazendo liquidação de alguns dos seus apartamentos. Um individuo está interessado em um apartamento no valor de R$ , 00, a imobiliária propôs financiar o apartamento em 15 anos, utilizando uma taxa de juros mensal de 4, 5 %. Se a primeira parcela vence ao final de 120 dias, qual será o valor de cada um das parcelas? EP Se o financiamento de um automóvel, em 24 meses, a uma taxa de juros 3 % ao mês, com carência de 4 meses (sendo que a primeira parcela vence exatamente no final do período de carência), proporciona um valor de parcela igual à R$ 2.500, 00, qual será o valor do automóvel? MATEMÁTICA FINANCEIRA 59

61 3.2 Inflação A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à disposição da sociedade; quando ocorre o fenômeno inverso temos chamamos de deflação. Além de saber as razões pelas quais os preços sobem e mostrar como limitar essa tendência, também há interesse em saber como encontrar um índice que reflita essa subida. O índice que mede a inflação é, em geral, encontrado por uma média ponderada da variação dos preços de certos produtos e serviços. Mas que produtos e serviços devem entrar nessa média? Que critérios vão definir o peso atribuído a esse ou àquele produto? Em que lugares do país deve-se fazer essa coleta de preços? A coleta se dará em que dias do mês? Variações nas respostas a essas perguntas levam diversas instituições a calcular cada qual um índice, de acordo com os seus critérios e metodologias. Assim temos a Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que calcula o IPC (Índices de Preço ao Consumidor), além do INPC (Índice Nacional de Preço ao Consumidor); o Dieese (Departamento Intersindical de Economia e Estatística) que calcula o ICV (Índice de Custo de Vida; a Fundação Getúlio Vargas (FGV), que calcula o IGP (Índice Geral de Preços) Atualização de Preços Os índices de preços podem ser representados de duas formas: Absoluta ou relativa. Dizemos que os índices são relativos, quando estão se referindo a um determinado período de tempo (dia, mês, ano etc.). Os índices absolutos referem-se a valores acumulados a partir de um certo valor, em uma determinada data. O índice absoluto mais utilizado talvez seja o IGP - DI (Índice geral de preços - disponibilidade interna). Estando os índices em sua forma absoluta, podemos obter a taxa pela diferença entre o quociente do índice final e do início do período e a unidade. i = I 1 onde: I r i é a taxa de inflação do período. I é o índice absoluto atual. I r é o índice absoluto de referência. Através de um exemplo, mostraremos a utilização dos índices mencionados anteriormente. ER 51. Em 1970, o IGP-DI da FGV era de 297 e, em 1975 era de 690. Qual a inflação do período? Solução: i = I I r 1 i = i 1, 3232 ou i 132, 32 % Nota 10. No caso dos índices relativos, para obtermos a taxa de inflação, basta utilizarmos a expressão: i = (1 + I 1 ) (1 + I 2 )...(1 + I n ) 1 onde: i é a taxa de inflação acumulada no período de 1 a n; I 1 é o índice de preços do mês 1; I 2 é o índice de preços do mês 2; I n é o índice de preços do mês n. 60 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

62 ER 52. A taxa de inflação no Brasil em 1940 foi de 6, 3 % a.a. Em 1941 foi de 16, 2 % a.a. Qual a inflação nesses dois anos? Solução: Foram acumulados nesses dois anos, i = (1 + I 1 ) (1 + I 2 ) 1 = (1 + 0, 063) (1 + 0, 162) 1 = 23, 52 % Taxa Nominal e Taxa Real Se um dado investimento foi feito numa economia inflacionada, a taxa total da operação realizada, poderá ser dividida em duas partes: a taxa de inflação e a taxa real de juros. A taxa que se obtém pela divisão dos valores atualizados é a taxa real de juros. Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros real e nominal. Para isto vamos supor que um certo capital inicial ou valor presente VP é aplicado por um período de tempo unitário a uma certa taxa nominal i. O montante ou valor futuro VF 1 ao final do período será dado por: (i) VF 1 = VP (1 + i) Consideremos agora que durante o mesmo período a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a i. O capital corrigido por esta taxa, acarretaria um montante: (ii) VF 2 = VP (1 + i ) A taxa real de juros, que indicaremos pela letra r será aquela que aplicada ao montante VF 1 produzirá o montante VF 2. Dessa forma é correto afirmar: (iii) VF 1 = VP 2 (1 + r) Usando (i), (ii) e (iii) chegamos a relação: onde, VP (1 + i) = VP (1 + i ) (1 + r) 1 + r = 1 + i 1 + i r = 1 + i 1 + i 1, r : Taxa real da operação; i : Taxa nominal da operação; i : Taxa de inflação do período; n : Número de períodos. ER 53. R$ , 00 foi emprestado para ser quitado por R$ , 00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20 %, qual a taxa real do empréstimo? Solução: Utilizando a fórmula da capitalização composta, estamos interessados em encontrar a taxa nominal da transação. Portanto, Encontrando a taxa real da operação, temos: = (1 + i) 1 i = , 5(50 %) r = 1 + i 1 + 0, 50 1 = 1 = 0, 25(25 %) 1 + i 1 + 0, 20 MATEMÁTICA FINANCEIRA 61

63 ER 54. Uma determinada aplicação de R$38.600, 00, pelo prazo de 7 meses, gera um resgate de R$48.400, 00. Sendo os juros reais de 1, 5 % ao mês, calcular a taxa de correção monetária mensal e a taxa nominal de juros desta operação. Solução: Para encontrar a taxa de juros nominal, basta aplicar a fórmula do montante composto V F = VP (1 + i) n sendo VF = , 00, VP = , 00, n = 7. Assim: Segue que , 00 = , 00 (1 + i) 7 (1 + i) = , , 00 1 i = , 7 1 0, , 00 1 A correção monetária será na verdade a taxa real da operação devido a influência da taxa de juros existente. Assim, r = 1 + 0, , , 0175 r 1, 75 % ao mês ER 55. Um imóvel foi adquirido por R$ 3.000, 00 em uma determinada data, sendo vendido por R$ , 00 quatro anos depois. Sendo a taxa de inflação em cada um desses anos de 100 %, determinar a rentabilidade nominal e real anual desta operação. Solução: Para encontrarmos a rentabilidade nominal, utilizaremos a fórmula de juros composto V F = VP (1 + i) n, sendo VP = 3.000, 00, VF = , 00, n = 4 e como incógnita a taxa i = (1 + i) 4 (1 + i) 4 = i = , 7783 = 77, 83 % Para encontrarmos a rentabilidade real anual, utilizaremos a relação r = 1 + i 1 onde i é a taxa nominal 1 + i da operação e i é a inflação do período. Assim, r = 1 + 0, r = 1, r = 0, r = 11, 09 % ao ano Exercícios Propostos EP A taxa nominal de juros explicitada num empréstimo é de 42% ao ano. Tendo ocorrido uma variação de 18 % nos índices de preços neste mesmo período, determinar a taxa real anual de juros do empréstimo. EP Se um investidor auferiu a taxa real de 8 % em determinado período, determinar a taxa nominal, se neste mesmo período, a CM (correção monetária) foi de 85 %. EP Calcular o montante de um empréstimo de R$ , 00 no fim de 3 meses sabendo que a taxa de juros é de 8 % a.m. e a inflação durante todo o período foi de 4, 5 %. 3.3 Depreciação A diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual) no fim de um certo tempo, chama-se depreciação. Esta desvalorização ocorre, devido, principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. Por exemplo, ao comprar uma máquina por R$ 2.000, 00 e, após 10 anos, revender por R$ 500, 00, 62 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

64 obteve-se uma depreciação de R$ 1.500, 00. Dentre os métodos de depreciação existentes, apenas o método linear será alvo do nosso estudo. Seja VP o custo de um ativo, cuja vida é estimada em n anos. Admitamos, no decorrer desse prazo, que seu valor residual seja R. Isto significa que esse ativo sofre, em n anos, a depreciação VP R. O problema matemático sobre depreciação consiste, então, em calcular uma quota periódica, constante ou variável, que permita, no fim daquele prazo, formar a soma VP R, partida com a depreciação do ativo. A separação periódica dessas quotas constituirá um fundo crescente, cujo valor no fim de n anos será igual à VP R Método de Depreciação Linear Por ser o mais simples, é o mais utilizado. Consiste em dividir o total a depreciar pelo número de anos de vida útil do bem. Desse modo, a quota anual para a constituição do fundo é constante e igual a: Nota 11. Em geral a depreciação de um ativo não é função linear do tempo, sendo mais acentuada no princípio do que nos últimos anos de vida estimada, do que resulta ser o valor dos ativos, calculado por esse método, muito diferente da realidade. onde DL = VP R, n Nota 12. Como, em geral, à medida que se acentua o uso de uma máquina, tornam-se mais freqüentes os reparos e maiores os gastos de conservação, é conveniente formar o fundo de depreciação por uma quota decrescente, de modo que sejam menos onerados por esse fundo os períodos em que se tornem maiores aqueles gastos, a fim de se conseguir mais uniformidade no custo de produção. DL valor da depreciação; VP valor de compra do bem; R valor residual; n vida útil do bem; ER 56. Estima-se em 8 anos a duração de uma máquina cujo custo é de R$ , 00 e em R$ 2.000, 00 o seu valor residual no fim prazo citado. Calcular, pelo método linear, a quota anual para o fundo de depreciação e a variação desse fundo no prazo estipulado. Solução: Aplicando-se, diretamente, a expressão para a depreciação linear, temos: DL = VP R n DL = , DL = 2.250, 00. Portanto, o equipamento sofrerá uma depreciação de R$ 2.250, 00 por cada ano, até o total de oito anos Plano de Depreciação O plano de depreciação, consiste num Ano Depreciação Depreciação Acumulada Residual quadro, que demonstra no final de cada , 00 período, a quota de depreciação reservada, , , , 00 o valor do fundo de provisão para a depreciação e o valor do bem, após este teste de , , , , , , 00 uso. A tabela é montada de acordo com a , , , 00 quantidade de anos que representam a vida , , , 00 útil do bem de consumo. Para cada ano vencido, o valor da depreciação será subtraido , , , 00 do valor atual. Para o exemplo 56 o plano de , , , 00 depreciação é dado pela tabela ao lado: , , , 00 ER 57. Os móveis e os utensílios de uma empresa foram adquiridos por R$ , 00. Sabendo que a vida útil é de 5 anos e o valor residual é de R$ 2.000, 00, montar a planilha de depreciação pelo Método Linear. MATEMÁTICA FINANCEIRA 63

65 Solução: O primeiro passo para a resolução desta questão é encontrar o valor ou quota de depreciação ao longo dos 5 anos. DL = VP R n = = Montando o plano de depreciação para o exemplo, sabendo que a cada ano os móveis e utensílios da empresa depreciarão em R$ 5.700, 00 temos: Ano Depreciação Depreciação Acumulada Residual , , , , , , , , , , , , , , , , Exercícios Propostos EP Para uma máquina adquirida por R$ 5.000, 00, vida útil de 7 anos e valor residual nulo. Monte, pelo método da depreciação linear, a planilha de depreciação. EP Monte a planilha de depreciação para o método linear de um automóvel comprado por R$18.000, 00, com vida útil de 5 anos e valor residual de R$ 5.000, 00. Gabarito 3.1 R$4.900, i = 3, 91% ao mês. 3.3 R$26.874, R$271, R$1.169, R$1.605,88, R$98.482,32 e R$5.165, meses. 3.8 (a) R$ 424, 62 (b) R$ 346, R$ 599, R$ 2.247, R$ 3.053, R$ 1.000, R$15.411, R$30.549, r = 20, 34 % a.a i = 99, 8 % no período R$ , Ano Depreciação Depreciação Acumulada Valor Residual 0 0, 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ano Depreciação Depreciação Acumulada Valor Residual 0 0, 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

66 TEMA 04 Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos Apresentação Os sistemas de amortização são desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. É importante conhecer os detalhes dos contratos de empréstimo e as diferentes modalidades de amortização, com suas vantagens e desvantagens, para, ao final, saber escolher dentre as possibilidades oferecidas, qual será a mais vantajosa para a pessoa física ou empresa. 4.1 Sistemas de Amortização Poderíamos definir a amortização como um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Serão considerados, apenas, o regime de juros compostos, pois, se os juros são calculados deste modo, o não pagamento em um dado período, levará a um saldo devedor maior. A carência também pode estar presente nos processos de amortizações, sendo designada como o período que vai da data de concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. Qualquer sistema de amortização que será abordado dentro deste tema, pode ou não, ter carência. Dentre os sistemas de amortização presentes no âmbito financeiro, daremos um maior enfoque, pela sua grande utilização no mercado financeiro, as seguintes sistemas: (SAC) Sistema de Amortização Constante; (Price) Sistema de Amortização Francês; (SAA) Sistema de Amortização Americano; (SAV) Sistema de Amortização Variável. Antes de abordarmos cada um dos sistemas de amortização mencionados anteriormente, vamos nos familiarizar com algumas nomenclaturas de uso corrente. Mutuário - Também chamado de devedor é, exatamente, o responsável por adquirir um determinado empréstimo contraindo, desta forma, uma dívida. Mutuante - Conhecido como Credor, é a parte responsável por financiar um determinado empréstimo ao mutuário. Principal (VP) - É o valor de contrato do financiamento que o mutuário assume perante o agente de financiamento e que serve de base para a apuração da prestação. Prestação (PMT) - É a parte do valor pago periodicamente, apurada na data de assinatura do eventual contrato, por meio da fórmula matemática do sistema de amortização acordado pela duas partes (mutuário e mutuante). É composta de tal forma que uma parcela amortiza a dívida (amortização) e a outra parcela remunera o capital emprestado (juros). Prestação = Amortização + Juros MATEMÁTICA FINANCEIRA 65

67 Amortização (AMORT) - É a parte do valor da prestação que será subtraido periodicamente do saldo devedor remanescente amortizando o capital emprestado. Compreende a parcela da efetiva devolução da dívida ou a reposição do principal ao financiador ou mutuante. Juros (J) - É a parcela que integra o valor da prestação que é destinada ao pagamento dos juros remuneratórios do período decorrido. Saldo Devedor (SD) - É o valor da dívida imediatamente após o pagamento de uma determinada prestação. Prazo (n) - É o período total de contratação de um determinado empréstimo. 4.2 Sistema de Amortização Constante - SAC Como o próprio nome já indica, o sistema de amortização constante, tem como principal característica, o fato que amortizações são sempre constantes (iguais) durante todo o prazo da operação. Os juros são decrescentes período a período, afinal incidem sempre sobre o saldo devedor que se reduz a cada período após o pagamento da referida amortização. Uma característica interessante sobre as prestações periódicas e sucessivas no SAC é que formam uma progressão geométrica, devido ao comportamento da amortização e dos juros envolvidos. Através de um exemplo prático e bastante didático, ilustraremos uma situação, construindo a planilha de pagamentos para a referida operação de empréstimo pelo sistema de amortização constante. ER 58. Uma determinada empresa contraiu um empréstimo de R$ , 00 (principal) numa instituição financeira que cobra juros de 25% ao ano. Responsabilizando-se a pagar o empréstimo em 10 parcelas mensais, a empresa aceitou quitar a dívida utilizando o sistema de amortização constante (SAC). Construa a planilha de pagamentos com 5 colunas nomeadas por: períodos, saldo devedor, amortização, juros e prestação. Solução: Antes dos cálculos necessários para montar a planilha, devemos lembrar que a unidade temporal da taxa de juros sempre coincide com a unidade do número de períodos. Assim, se faz necessário uma conversão de ano para meses através da equivalência de taxas a juros compostos, ou seja, 1 (1 + i a ) = (1 + i m ) 12 i m = (1 + 0, 25) 12 1 i m 0, A amortização em cada período é constante, característica principal do SAC. Desse modo, o valor de cada amortização é dado por: Amortização = Valor do principal , 00 Amortização = = , 00. número de prestações 10 Observe que toda planilha, para qualquer um dos sistemas de amortização, começa na data focal zero, e, nesta, não há amortização, juros e, muito menos, valor de prestação. Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , A partir do início do primeiro período (mês 1) o juro, a amortização e a primeira parcela a ser paga estão presentes. Os juros de um determinado período será calculado com base no saldo devedor do período anterior. Denotando por J 1 o juro do primeiro período, temos: J 1 = , 0187 J 1 = FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

68 O valor de uma prestação é igual a soma da amortização com o juros do período. Dessa forma, para o primeiro mês, a parcela a ser paga é: VF 1 = Amortização + J 1 VF 1 = VF 1 = Portanto, para o primeiro período, a segunda linha de nossa planilha é preenchida da seguinte forma: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , Para o segundo período, o valor do juros incide sobre o saldo devedor do período anterior, ou seja, o mês 1. Observe, pela tabela, que o valor de R$ , 00 foi amortizado em R$ , 00, resultando num saldo devedor para o mês 2 de R$ , 00. Calculando o juros do período, temos: J 2 = , 0187 J 2 = Para o segundo período, o valor da prestação é dado pela soma da amortização de R $10.000, 00 com o juros do período J 2 = Assim: VF 2 = amortização + J 2 VF 2 = VF 2 = Dessa forma, para o segundo período, a planilha financeira corresponde a: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , Continuando-se com este processo, ou seja, calculando-se os juros em cada período, utilizando o saldo devedor do período anterior e, além disso, levando em consideração que, em cada período, a parcela é sempre a soma do juros com a amortização, a planilha completa, com todos os seus elementos calculados, é dada por: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 00 Total , , , 00 Observe, nesta tabela, que os juros decrescem período a período, afinal, incidimos a taxa de juros sobre o saldo devedor, que é sempre amortizado em cada período. Agora que já sabemos como proceder para amortizar uma dívida de forma constante, podemos, enfim, deduzir as expressões que calculam os juros e as parcelas por período. Denotando-se a amortização por AMORT, é fácil perceber, pela tabela anterior, que em cada período n, MATEMÁTICA FINANCEIRA 67

69 temos a seguinte relação: VP n = AMORT 1 = AMORT 2 =... = AMORT n Além disso, ainda pela tabela anterior, percebemos que a soma das amortizações em cada período coincide com o principal, ou seja: VP = AMORT 1 + AMORT AMORT n. Os juros do primeiro período, foram calculados, incidindo a taxa de juros i sobre o saldo devedor do período anterior, que no caso será exatamente o valor do principal, ou seja, VP, portanto: J 1 = VP i. Para o segundo período, o juro denotado por J 2 foi calculado, fazendo-se incidir a taxa de juros i sobre o saldo devedor do período anterior, ou seja, no primeiro período. O saldo devedor no primeiro período (SD 1 ) é exatamente a diferença entre o valor principal (VP) pela amortização do período (AMORT 1 ), assim: SD 1 = VP VP n Assim, para o segundo período, os juros foram calculados da seguinte maneira: J 2 = VP VP (n 1) J 2 =åvp è i n i n O saldo devedor no segundo período (SD 2 ), será a diferença entre o saldo devedor do período anterior (SD 1 ) pela amortização do período AMORT 2, assim: SD 2 = SD 1 AMORT 2 SD 2 = VP VP n VP n SD 2 = VP 2 VP n Os juros para o terceiro período (J 3 ), incidirão sobre o saldo devedor do período dois (SD 2 ). Calculando J 3 temos que: J 3 = SD 2 i J 3 =åvp 2 VP (n 2) i J 3 =åvp è i nè n Prosseguindo desta forma, podemos afirmar que os juros acumulados num certo período t será a soma de todos os juros calculados em cada um dos períodos, portanto: J t = VP n [n (t 1)] i De modo a garantir a consistência desta fórmula, faremos um teste utilizando uma das linda da planilha anterior, para algum período escolhido de forma aleatória. Por exemplo, para n = 4, os juros calculados, foram exatamente R$ 1.309, 00. Pela fórmula, fazendo t = 4, n = 10, VP = R$ , 00 com taxa de juros i = 0, 0187 temos: , 00 J 4 = [10 (4 1)] 0, 0187 J 4 = 1.309, Podemos, ainda, utilizando a expressão que calcula os juros para qualquer período t, encontrar o valor de cada prestação. Para isto, basta lembrar que: VF t = AMORT n + J t = VP n + VP VP [n (t 1)] i = [1 + (n t + 1) i] n n Para testar a veracidade da expressão anterior, poderíamos utilizar mais uma vez a linha 4 da planilha construída, fazendo t = 4. No período 4, a parcela encontrada foi igual a R$ , 00, com a utilização da fórmula, encontramos: VF 4 = , 00 [1 + ( ) 0, 0187] VF 4 = , FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

70 No caso da existência de carência no SAC, podem ocorrer, basicamente, três situações: Os juros são pagos durante a carência, os juros são capitalizados e pagos no vencimento da primeira amortização ou os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações maior. Por motivos óbvios a melhor dentre as três escolhas é o pagamento dos juros durante o período de carência, fica a cargo do leitor a verificação de tal afirmação. Como efeito ilustrativo, utilizaremos um exemplo de um sistema de amortização constante com o pagamento dos juros durante o período de carência. ER 59. Construir a planilha de pagamentos pelo sistema de amortização constante, devido a um empréstimo de R$ , 00 (principal) perante uma instituição financeira que cobra juros de 1, 87 % ao mês, se comprometendo o devedor a quitar a dívida em 10 meses, com carência de 4 meses para o inicio da primeira amortização. Solução: Durante os 4 primeiros meses, por ser um período de carência, não existirá nenhuma amortização ficando portanto, o saldo devedor estagnado no valor de R$ , 00. Todavia, durante esse período de carência, os juros acumulados devidos a encargos financeiros e etc, deverão ser pagos em cada um dos 4 meses iniciais. Calculando as 4 primeiras prestações, temos: VF 1 = AMORT 1 + J 1 VF 1 = , 0187 = 1.870, 00 VF 2 = AMORT 2 + J 2 VF 2 = , 0187 = 1.870, 00 VF 3 = AMORT 3 + J 3 VF 3 = , 0187 = 1.870, 00 VF 4 = AMORT 4 + J 4 VF 4 = , 0187 = 1.870, 00 Portanto, em cada um dos quatro primeiros meses, o mutuário terá de desembolsar R$ 2.000, 00. Somente a partir do 5 mês, começaram as amortizações de forma semelhante ao que foi visto para o exemplo sem carência. A planilha completa para este exemplo é dada a seguir: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 00 Total , , , 00 Comparando os dois exemplos, com ou sem carência, nota-se que o valor a ser pago pelo mesmo empréstimo de R$ , 00 utilizando a mesma taxa de juros mensal 1, 87 % passou de R$ , 00 para R$ , 00, ou seja, um aumento de 6, 35 %. MATEMÁTICA FINANCEIRA 69

71 4.2.1 Exercícios Propostos EP 4.1. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de R$ , 00. Tendo que pagar em cada mês uma quantia de R$ , 00, monte a planilha de pagamentos pelo sistema SAC, levando em consideração uma taxa mensal de 2, 5 %. EP 4.2. Um banco concede um financiamento de R$ , 00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo sistema SAC. A operação será realizada com carência de 3 meses, sendo que os juros serão pagos durante esse período. Sabendo que o banco utiliza uma taxa de juros anual de 34, 49 %, monte a planilha de pagamentos. EP 4.3. Um banco concede um financiamento de R$ , 00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com carência de 4 meses, sendo juros capitalizados neste período e incorporados ao saldo devedor. A taxa efetiva de juros é 23 % a.a. Construir a planilha deste financiamento. EP 4.4. Um empréstimo de R$ , 00 será liquidado em 40 prestações mensais, à taxa de 4 % ao mês. Calcule o valor da 25 a prestação, utilizando o sistema de amortização constante. 4.3 Sistema de Amortização Francês - SAF Este sistema foi criado na França no final do século X I X e aprimorado no século anterior por Richard Price. Também conhecido como sistema de amortização Francês ou sistema de prestação constante é muito utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor. O sistema consiste em um plano de amortização de um dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas, em que o valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital (chamado amortização). As prestações no sistema Francês ou Price são iguais entre si e calculadas de tal forma que uma parcela da prestação paga os juros e a outra amortiza o principal. Os juros decrescem enquanto as parcelas de amortização crescem com o tempo. Com o intuito de tornar mais fácil a compreensão do sistema de amortização Francês ou SAF por abreviação, utilizaremos um exemplo prático, calculando cada um dos ítens que compõe a planilha de pagamentos. ER 60. Um empresa levanta um financiamento de R$ , 00 sem carência para ser amortizado em 6 anos pelo SAF. Os pagamentos são efetuados anualmente a uma taxa de juros de 9 % a.a. Montar a planilha de pagamentos. Solução: A planilha de pagamentos pelo sistema de amortização francês é construída a partir das prestações. o VP = , 00 comportamento constante das prestações, durante å todo o período de tempo n se assemelha às séries postecipada, å anos assim calcularemos o valor de cada uma das prestações usando a expressão do valor presente para séries postecipadas. PMT PMT PMT (1 + i) VP = VF 1 n i VF = VP i 1 (1 + i) nè= , 09 6è= , (1 + 0, 09) Assim, a última coluna da planilha de pagamentos pelo SAF será formada pelo valor de cada uma das 70 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

72 prestações calculadas anteriormente. Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , 57 Total , 40 Os demais elementos da planilha serão calculados de forma seqüencial, já que temos o valor da prestação em cada período, podemos usar a relação entre prestação, amortização e juros. Prestação = Amortização + Jur os Para o primeiro período (1 ano), os juros deverão incidir sobre o saldo devedor do período anterior. Assim, calculando J 1, temos: J 1 = VP i J 1 = , 00 0, 09 J 1 = , 00 Portanto, a primeira amortização AMORT 1 será calculada pela diferença entre VF 1 e J 1. Dessa forma: AMORT 1 = VF 1 J 1 AMORT 1 = , , 00 AMORT 1 = , 57. O saldo devedor para o primeiro período é encontrado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período. Assim: SD 1 = VP AMORT 1 SD 1 = , , 57 SD 1 = , 43 Portanto, atualizando a primeira linha da tabela com os valores da amortização e dos juros para o primeiro período, temos: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , 57 Total , 42 Para o segundo período (2 ano), os juros serão calculados com base no saldo devedor do primeiro período, ou seja, sobre R$ , 43, assim: J 2 = SD 1 i J 2 = , 43 0, 09 J 2 = , 44. De posse do valor de J 2 e da prestação do período, podemos encontrar o valor da amortização. AMORT 2 = VF 2 J 2 AMORT 2 = , , 44 AMORT 2 = , 13 Finalmente, podemos encontrar o saldo devedor para o segundo período, que será dado pela diferença MATEMÁTICA FINANCEIRA 71

73 entre o saldo devedor do período anterior SD 1 e pela amortização do período AMORT 2. Desta forma: SD 2 = SD 1 AMORT 2 SD 2 = , , 13 SD 2 = , 31 Atualizando os referidos dados para o período 2, na respectiva linha 2 da planilha de pagamentos pelo SAF, temos: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , 57 Total , 42 Continuando desta forma, calculando em primeiro lugar os juros, para cada um dos períodos, e logo após a amortização e o saldo devedor, rigorosamente os três nesta ordem, a planilha finalizada de pagamentos pelo sistema de amortização Francês, será: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 57 Total , , , 40 Assim como foi feito para o sistema de amortização constante ou SAC, podemos deduzir as fórmulas para os juros e amortização, pois neste caso as prestações são constantes durante todo o período e serão calculadas a parte, utilizando a fórmula para o valor presente das séries postecipadas. Portanto, para encontrarmos as n prestações que serão pagas durante qualquer período t no sistema de amortização Francês, basta calcular VF, através da fórmula: VF = VP 1 (1 + i) n i. Com respeito às amortizações, é válido lembrar que para cada um dos t períodos, encontramos cada uma das amortizações, pela diferença entre as prestações VF e os juros J. Para o primeiro período, por exemplo, tivemos: AMORT 1 = VF J 1 AMORT 1 = VF VP i No segundo período, ou linha 2 da planilha de pagamentos, a respectiva amortização foi encontrada da seguinte maneira: AMORT 2 = VF J 2 AMORT 2 = VF SD 1 i 72 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

74 Como SD 1 = VP AMORT 1, temos: AMORT 2 = VF (VP AMORT 1 ) i AMORT 2 = (VF VP i) ßÞ Ð+ AMORT 1 i AMORT 1 AMORT 2 = AMORT 1 (1 + i) 1 No terceiro período ou linha 3 da planilha, a amortização foi encontrada da seguinte forma: Mas, SD 2 = SD 1 AMORT 2, assim: ßÞ Ð AMORT 2 AMORT 3 = VF J 3 AMORT 3 = VF SD 2 i AMORT 3 = VF (SD 1 AMORT 2 ) i AMORT 3 = VF SD 1 i +[AMORT 1 (1 + i) 1 ] i AMORT 3 = AMORT 2 + AMORT 1 (1 + i) 1 AMORT 3 = AMORT 1 (1 + i) 1 + AMORT 1 (1 + i) 1 i AMORT 3 = AMORT 1 (1 + i) 1 (1 + i) 1 AMORT 3 = AMORT 1 (1 + i) 2 Se continuarmos com este raciocínio, podemos enfim concluir que a amortização para um período t qualquer, será: AMORT t = AMORT 1 (1 + i) t 1 Para testarmos a veracidade desta fórmula, escolhemos a linha 5 da planilha de pagamentos do exemplo 60 a fim de verificar a consistência da expressão. AMORT 5 = AMORT 1 (1 + 0, 09) 5 1 AMORT 5 = , 57 (1, 09) 4 AMORT , 25 Portanto, a expressão é válida e poderá ser utilizada em qualquer um dos períodos existentes. Com respeito ao saldo devedor (SD) em cada um dos períodos, vale lembrar que para o primeiro período, o saldo devedor será sempre a diferença entre o principal pela amortização do período, assim: SD 1 = VP AMORT 1 Como AMORT 1 = VF J 1 e J 1 = VP i temos então: SD 1 = VP (VF VP i) SD 1 = VP (1 + i) VF Como já foi mencionado anteriormente, o sistema de amortização Francês, 1 por possuir parcelas fixas durante todo o período, tem um comportamento similar a uma série postecipada, isto significa que podemos utilizar a expressão que calcula o valor presente de tais séries, substituindo no lugar de VP, dessa maneira: (1 + i) SD 1 = VP (1 + i) VF = (1 + i) VF 1 n + i) (1 + i) VF = VF (1 n+1 i i + i) (1 + i) = VF (1 n+1 i (1 + i) =VF 1 n+1 i i MATEMÁTICA FINANCEIRA 73

75 Para o segundo período, o saldo devedor, será a diferença entre o saldo devedor do período anterior (SD 1 ) pela amortização do período. Dessa forma: SD 2 = SD 1 AMORT 2 = SD 1 (VF J 2 ) = SD 1 VF+SD 1 i = SD 1 (1 + i) VF (1 + i) = (1 + i) VF 1 n+1 + i) (1 + i) VF = VF (1 n+2 (1 + i) 1 =VF 1 n+2 i i i Prosseguindo de forma semelhante para os demais períodos, podemos então concluir, que o saldo devedor para qualquer período t será calculado através da expressão: SD t = VF 1 (1 + i) n+t i. Vamos verificar a consistência da expressão que deduzimos para o saldo devedor. Suponha para o exemplo 60 que não foi calculado o saldo devedor para o período 4, observe que pela fórmula deduzida, não precisamos saber o valor do saldo devedor dos períodos anteriores. Impondo a condição que t = 4 na expressão para o saldo devedor temos: (1 + 0, 09) SD 4 = , SD , 37 0, 09 Nota 13. Vale a pena ressaltar que o valor encontrado para o saldo devedor no 4 período na planilha foi centavos de real menor do que o encontrado pela fórmula do saldo devedor. Isto se justifica, visto que as prestações encontradas sofreram um arrendondamento numérico, fato este que contribui para o aumento em centavos no valor encontrado pela fórmula do SD t. Com respeito as juros encontrados durante todos os t períodos, podemos também deduzir uma expressão que calcule de forma direta cada um. Para o primeiro período, J 1 é calculado, fazendo a taxa de juros incidir sobre o valor presente VP. devedor do período que o antecede, assim: Para os demais juros, calculamos o valor através da incidência sobre o saldo J 2 = SD 1 i J 3 = SD 2 i. J t = SD t 1 t (n+1)ç i (1 + i) Como o saldo devedor já é fornecido pela expressão SD t = VF 1 n+t temos: i (1 + i) J t = VF 1 n+t 1 i J t = VF ä1 (1 + i) i Curiosamente, poderíamos, por exemplo, calcular o valor do juros acumulados para o período 3 do exemplo 60 e comparar o resultado obtido pela fórmula com o da planilha. Portanto, teremos: J 3 = , 57 ä1 (1 + 0, 09) 3 (6+1)ç , 57 Caso o SAF possua carência, o procedimento adotado será semelhante ao feito para o sistema de amortização constante - SAC, com carência. Os juros serão pagos no período de carência, por ser a melhor alternativa entre as três mencionadas para o SAC. ER 61. Um equipamento no valor de R$ , 00 está sendo financiado por um certo banco no prazo de 6 anos. a taxa de juros contratada é de 15 % ao ano e as amortizações anuais serão feitas pelo método Francês. O banco ainda concede um carência de 2 anos, sendo que nesse período os juros deverão ser pagos. Elaborar a planilha financeira de pagamentos 74 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

76 Solução: Como o exemplo envolve um período de carência, devemos antes de mais nada calcular os juros que deverão ser pagos durante estes dois anos, fazendo incidir sobre o principal R$ , 00 a taxa de 15 % ao ano. J = , 00 0, 15 J = , 00 Podemos calcular o valor de cada parcela que deverá ser paga ao final do período de carência, utilizando a fórmula do valor presente para séries postecipadas, assim: (1 + i) VP = VF 1 n , 00 VF i 1 (1 + 0, 15) , 29 0, 15 Utilizando as expressões desenvolvidas para amortização, Saldo devedor e juros para cada um dos períodos, encontramos a seguinte tabela: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 29 Total , , , 73 Nota 14. As fórmulas desenvolvidas para o sistema de amortização Francês, não levam em consideração situações com carência e sempre que existir, devemos fazer uma adaptação na variável t. Por exemplo na linha três da tabela anterior, começam de fato as amortizações, assim para calcular os juros, por exemplo, utilizando a fórmula J t = VF ä1 (1 + i) t (n+1)ç, está incorreto fazer t = 3, afinal as amortizações começam em t = 3. Como proceder nesses casos? Basta fazer uma simples translação, impondo que a variável t seja substituída por t 3 na fórmula, assim a nova expressão será dada por J t = VF ä1 (1 + i) (t 3) (n+1)çeportanto calculamos de maneira correta os juros nesse período. Agora que já foram mostradas todas as características do sistema de amortização Francês, alguns exercícios propostos são dados a seguir. Lembrando que para cada um dos exercícios, deverá ser montada uma planilha de pagamentos. Nossa sugestão é que seja utilizado o excel na construção de cada planilha com o intuito de amenizar os cálculos e tornar o estudo mais dinâmico Exercícios Propostos EP 4.5. Um financiamento no valor de R$ , 00 deve ser saldado em 30 prestações mensais pelo sistema SAF. A taxa de juros contratada é de 3 % ao mês. Montar a planilha de pagamentos. EP 4.6. Uma determinada empresa contraiu uma dívida de , 00 que foi financiada por um banco a juros de 40 % ao ano. Supondo que as primeiras prestações comecem a vencer 3 meses após o inicio de assinatura do financiamento, monte a planilha de pagamentos levando em consideração que a empresa dispõe de somente 5 meses para quitar sua dívida. EP 4.7. Um equipamento no valor de R$50.000, 00 está sendo financiado por um banco pelo prazo de 6 anos. MATEMÁTICA FINANCEIRA 75

77 A taxa de juros contratada é de 21% a.a. pelo SAF. O banco concede ainda uma carência de 3 anos para início dos pagamentos, sendo os juros cobrados neste período. Elaborar a planilha deste financiamento. EP 4.8. Uma empresa efetuou um financiamento de R$ , 00 para aquisição de equipamentos com uma taxa especial de 3 % ao mês em 36 prestações mensais, pelo sistema francês de amortização. Calcule o somatório dos juros entre a 11 a e a 23 a prestação. 4.4 Sistema de Amortização Americano - SAA Neste modelo de sistema de amortização não existem amortizações periódicas durante todo o prazo. Em cada um dos períodos que antecedem ao último, os juros serão pagos normalmente; somente no último período, o valor total financiado é pago por inteiro, juntamente com os juros do período. Um situação comum aos mutuários que assinam um contrato de financiamento pelo SAA é a constituição è de um fundo de amortização no qual serão acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo. O objetivo principal deste fundo é que o montante obtido, ao final do prazo n do empréstimo, seja igual ao valor da dívida. Podemos representar o fundo de amortização através de uma série postecipada, com n parcelas iguais a PMT, utilizando uma taxa de juros compostos i, produzindo ao final do prazo um montante VF, que pode ser calculado através da expressão: + i) VF = PMT å(1 n 1 i Podemos ainda associar o sistema de amortização americano, a um sistema que possui sempre carência de no mínimo t 1 períodos, afinal no último período a divida por total será amortizada. Através de um exemplo prático, montaremos a planilha de pagamentos, juntamente com o fundo de reserva para um determinado empréstimo a ser pago. ER 62. Um financiamento no valor de R$ , 00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10 % ao semestre. Sendo adotado o sistema de amortização americano para sanar tal dívida, montar a planilha ède pagamentos e encontrar as parcelas para o fundo de amortização. Solução: Em primeiro lugar, devemos encontrar as prestações, durante os 4 períodos, utilizando a fórmula para VF = , 00 valor futuro das séries postecipadas. + i) VF = PMT å(1 n 1 semestres i VF , 00 PMT = å(1 + i) n è= 1 (1 + 0, 04) , i PMT PMT PMT PMT 0, 04 Lembrando, ainda, que no sistema de amortização americano, o valor das parcelas será igual ao valor dos juros durante t 1 períodos no último período, o valor da parcela será acrescido do valor do principal de R$ , 00, assim do período 1 até 3 o valor de cada parcela será: A planilha de pagamentos é dada a seguir: VF = , 00 0, 04 = , FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

78 Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , 00 Total , , , Exercícios Propostos EP 4.9. Em fevereiro de 2005 uma pessoa adquiriu um casa financiada pelo banco Esperança pelo prazo de 120 meses pelo SAC. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ e que a taxa efetiva de juros cobrada pelo banco é 19, 5618 % a.a. e que a primeira prestação foi paga no mês de março desse mesmo ano, calcule: (a) O valor da prestação a vencer em março de (b) O total de juros pagos durante o ano de EP Uma empresa efetuou um empréstimo R$ 8.000, 00, pelo sistema americano, a taxa de 5 % ao mês, para pagamento em 5 meses, pagando o juros durante o período. Construir a planilha de pagamentos conjugada com a planilha de parcelas que serão depositadas para formar o fundo de amortização. 4.5 Sistema de Amortização Variável - SAV Existem situações onde o mutuário e o mutuante fixam acordo entre si, com a finalidade de saldar um determinado empréstimo, onde as amortizações não são constantes durante todo prazo de vigência do contrato assinado pelas duas partes. Observe que neste caso, a planilha de pagamentos começa a ser montada pelas amortizações que já estão pré-definidas, ficando os juros, as prestações e o saldo devedor para ser calculados posteriormente. Através de um exemplo, vamos visualizar o comportamento de uma determinada situação, onde as duas partes (mutuário e mutuante) fixam um acordo de pagamento de um determinado empréstimo ou dívida, com amortizações pré-determinadas. ER 63. Uma determinada empresa contraiu um empréstimo de R$ , 00 para ser amortizado, anualmente, da seguinte forma: 1 ano - R$ , 00; 2 ano - R$ , 00; 3 ano - R$ , 00; 4 ano - R$ , 00. Se o acordo entre as partes propôs uma taxa de 10 % ao ano, monte a planilha de pagamentos. Solução: O primeiro passo para a contração da planilha será posicionar as amortizações pré-fixadas nos respectivos períodos, assim: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , 00 Total , 00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 77

79 Os juros do primeiro período J 1, serão calculados fazendo incidir sobre o principal a taxa de juros anual de 10 %, portanto: J 1 = , 00 0, 10 J 1 = A prestação do primeiro período, será a soma da amortização com o juros ambos do período, assim: VF 1 = AMORT 1 + J 1 VF 1 = , , 00 J 1 = , 00 Para calcular o saldo devedor do primeiro período, basta subtrair o saldo devedor do período anterior, pela amortização do período. Desta forma: SD 1 = VP AMORT , , 00 SD 1 = , 00 Atualizando os valores encontrados para o primeiro período na tabela de pagamentos, temos: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , 00 Total , 00 Para o segundo período, o saldo devedor SD 2 é dado pela diferença entre SD 1 e a amortização do período AMORT 2, assim: SD 2 = SD 1 AMORT 2 SD 2 = , , 00 SD 2 = , 00 Os juros para o segundo período, são calculados fazendo a taxa de 10 % incidir sobre o saldo devedor do período anterior, ou seja, SD 1 portanto: J 2 = SD 1 i J 2 = , 00 0, 10 J 2 = , 00 A prestação para o segundo período será dada pela soma do juros juntamente com a amortização, ambos do período. VF 2 = AMORT 2 + J 2 VF 2 = , , 00 VF 2 = , 00 Atualizando os dados para o segundo período na planilha de pagamentos, temos: Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , 00 Total , 00 Prosseguindo desta forma, calculando os juros de um período fazendo a taxa incidir sobre o saldo devedor do período anterior, somando a amortização do período com os juros do período para então obter a prestação e finalmente subtrair do saldo devedor de um período anterior a amortização do período e com isso encontrar o respectivo saldo devedor, a tabela finalizada será: 78 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

80 Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , 00 Total , , , Exercícios Propostos EP Monte a planilha de pagamentos para um empréstimo de R$ , 00 que deverá ser liquidado em 6 pagamentos mensais, com amortizações pré-determinadas da seguinte forma: 1 mês R$ , 00 3 mês R$ , 00 5 mês R$ , 00 2 mês R$ , 00 4 mês R$ , 00 6 mês R$ , 00 Utilizando uma taxa de juros anual de 35 %, monte a planilha de pagamentos. EP Uma dívida de R$ 1.260, 00 deverá ser quitada em 5 prestações mensais, com as seguintes devoluções do principal: R$ 300, 00 no primeiro mês, R$ 400, 00 no segundo, R$ 200, 00 no terceiro mês, e finalmente R$ 360, 00 no último mês. Se a taxa de juros utilizada na operação é de 6 % ao mês, monte a planilha de pagamentos. 4.6 Análise de Investimentos Poderíamos resumir, em poucas palavras, que toda operação financeira é, na verdade, representada através de fluxos de caixa, ou seja, fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa. A análise de investimentos consiste em aplicar critérios que permitam identificar a escolha da alternativa mais interessante, assim como, definir se é ou não justificável investir recursos financeiros ma implementação de determinados projetos de investimento. Avaliar um projeto de investimento sobre o ponto de vista financeiro consiste em analisar sobre o enfoque empresarial, ou seja, medir o valor projetado de tal forma que haja a maximização do lucro. A avaliação econômica por sua vez além de medir os fatores financeiros, também analisa outras variáveis como a conjuntura econômica, demanda de mercado e restrições orçamentárias Métodos de Avaliação de Investimentos Os métodos de análise de investimentos são processos quantitativos capazes de determinar as alternativas factíveis ou ótimas para a aplicação do capital e ordená-las hierarquicamente de acordo com sua desejabilidade econômica. Os métodos mais utilizados na análise de investimentos são os seguintes: Método do valor presente líquido Método do valor anual líquido Método do custo anual uniforme Método da taxa interna de retorno MATEMÁTICA FINANCEIRA 79

81 Método do prazo de retorno - (Pay-back) Método da relação benefício - custo Dentre os métodos citados anteriormente, daremos uma maior abordagem aos que são mais utilizados e comuns dentro do âmbito financeiros, são eles: Método do valor presente líquido, Método da taxa interna de retorno e Método do prazo de retorno - (Pay-back) Método do Valor Presente Líquido - VPL Com a finalidade de atender a condição ou requisito básico, o qual afirma que as alternativas só poderão ser comparadas se os seus respectivos fluxos de caixas forem transladados ou transportados a um ponto comum ou data focal. A data focal zero, ou data presente será o ponto de comparação no método do valor presente. A característica principal do método do valor presente é a transferência de todos os eventos financeiros que compõe o fluxo de caixa da alternativa sob análise para a data zero do seu respectivo fluxo de caixa. Possui ainda outras duas denominações: Valor presente líquido - VPL ou simplesmente Valor líquido - VL. O valor atual é um aferidor ou maneira de se medir o que entendemos por lucro ou prejuízo que se obtém ao investir em um determinado projeto, utilizando uma taxa mínima de atratividade (TMA). Desta forma, calculando o VPL e encontrando um valor positivo, significa em termos práticos que o valor presente dos recebimentos é maior do que os correspondentes reembolsos ou ainda, é um projeto economicamente interessante em virtude da taxa de atratividade considerada. No caso de comparação de mais de uma alternativa de investimento, a escolhida será a que possuir o maior VPL dentre todas as consideradas. Caso VPL seja negativo, significa que os benefícios não são suficientes para assegurar a recuperação do capital investido a taxa de atratividade utilizada, dessa forma, o projeto deverá ser rejeitado. Finalmente, quando VPL for nulo, o projeto representa um retorno de capital simplesmente igual ao investimento utilizando uma determinada taxa de atratividade, nesses casos costuma-se também não aprovar os investimentos. Em termos matemáticos, VPL poderá ser representado pela diferença entre os valores de caixa de entrada ou saída, FC 1, FC 2,..., FC n pelo fluxo de caixa no momento zero FC 0 que poderá representar um investimento, empréstimo ou financiamento. Dessa forma temos: VPL =åfc 1 (1 + i) + FC 2 (1 + i) FC n (1 + i) nè FC 0 Através de alguns exemplos, mostraremos a aplicação do método do valor presente em algumas das muitas situações que o envolvem. ER 64. Estabelecer o valor máximo de compra de um negócio, através do método do valor presente, no qual são estimados ingressos anuais de R$ , 00 durante um horizonte de avaliação de 4 anos e um valor de mercado no final deste período de R$ , 00, sabendo-se que o custo de oportunidade é de 20 % ao ano. Solução: Observe, pela figura, que o primeiro passo é transportar o valor de R$ , 00 para a data focal zero, afinal este valor é exatamente o investimento inicial que foi feito no inicio do planejamento. Assim: VP = FV VP = VP , 31. (1 + i) n (1 + 0, 20) 4 VPL =? VF = , 00 anos FC 0 =? , , , , FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

82 Montado a expressão para o valor presente, temos: ßÞ Ð VPL =å (1 + 0, 20) (1 + 0, 20) (1 + 0, 20) (1 + 0, 20) 4è Soma dos 4 termos de uma PG ,31 Lembrando que a soma dos elementos de uma PG finita é: S n = a 1 (q n 1), temos, para n = 4 e q = 1 q 1 1, 20, 1 S 4 = , 20 4 = (1 + 0, 20) 1 1, , 2 (1, 2 4 1) 1, 2 0, 2 = , 2 (1, 2 4 1) , 73. Calculando o valor presente, chegamos a: VPL = , , 31 = , 42. ER 65. A Secretaria Municipal da cidade Longedemais planeja instalar uma rede de abastecimento de água em um distrito agrícola para reduzir o número doenças que acometem os moradores locais. Espera-se que a construção da rede exija o suporte financeiro da prefeitura somando R$ , 00 proveniente dos cofres municipais e que proporcionará uma redução de custos com a saúde pública na ordem de R$ , 00 por ano durante os próximos 10 anos. Sendo a TMA para o município de 15 % ao ano, analise se o investimento é atrativo ou não. VPL =? Solução: Neste exemplo, o investimento inicial já está posicionado na data focal zero, dessa 10è anos forma podemos usar a expressão que calcula o valor presente de forma direta. Assim: VPL =å (1 + 0, 15) (1 + 0, 15) , 00. (1 + 0, 15) ßÞ Ð Soma dos 10 termos de uma P.G. Apesar de muitos não gostarem da utilização da fórmula para a soma dos termos de uma PG, em alguns casos a sua não utilização tornará os cálculos bastante trabalhosos e cansativos. Neste exemplo, temos que somar 10 valores, é e claro que somar de um em um tornará a tarefa muito mais complicada. Fazendo n = 10 e q = 1 1, 15 temos: 1 S 10 = (1 + 0, 15) 1 = 1 1, , (1 + 0, 15) (1, ) Assim, temo que VPL = , , 00 = , 63. 1, , 37. 0, 15 Observe que, pelo método do valor presente, é mais viável economicamente não construir a rede de abastecimento de água, pois o VPL < 0, em outras palavras, é melhor gastar a cada ano a quantia de R$ , 00 a mais com saúde pública do que investir os R$ , 00 na rede de abastecimento de água. Gostaríamos ainda de deixar bem claro que a análise feita é puramente econômica, ou seja, fatores sociais não estão envolvidos na análise. ER 66. Determinada empresa transportadora está avaliando a compra de um caminhão por R$ , 00. O veículo será usado durante 5 anos, após o que prevê-se um valor de revenda de R$ 7.200, 00. A empresa estima, ainda, um custo anual de manutenção, combustível e etc de R$ , 00, no primeiro ano, crescendo MATEMÁTICA FINANCEIRA 81

83 esse gasto aproximadamente 10 % ao ano. Segundo avaliação da empresa são esperados benefícios líquidos de caixa gerados pelo caminhão de R$ , 00, R$ , 00, R$ , 00, R$ , 00 e R$ , 00, respectivamente, nos próximos 5 anos. Para uma taxa de 12 % ao ano, demonstrar se é economicamente interessante a compra desse caminhão. Solução: A resolução aqui, VP se =? comparada com as anteriores, é um pouco diferente. Neste caso, temos dois fluxos de caixa que anos representarão, respectivamente, 0 os benefícios e os custos pela compra do caminhão , , , , , 00 Analisando os benefícios decorrentes da compra do caminhão, estaremos interessados em verificar o valor atual dos mesmo, em outras palavras, estaremos deslocando cada um para a data focal zero, assim: PV = , , , , , 83 1, 125 O valor de R$ , 83 representa todos os valores atualizados na data focal zero. Analisando, agora, os custos decorridos pela compra do caminhão, temos: VP =? anos , , , , , 00 Procedendo da mesma forma, ou seja, deslocando todos os valores para a data focal zero, temos: PV =å , , , , , , 124 1, 125è 1, 12 5 = , 60 Para analisarmos se tal proposta é vantajosa ou não, de posse dos valores presentes tanto dos benefícios quanto dos custos, faremos uma simples subtração, afinal os custos neste caso funcionam como como o investimento inicial na data focal zero, assim: VPL = , , 60 VPL = , 23. Desta forma é correto afirmar que comprar o caminhão será um investimento vantajoso Exercícios Propostos EP Suponha que a tabela ao lado represente o fluxo de caixa, em termos anuais, dos investimentos A, B e C, cujas respectivas taxas de atratividade são 5%, 10% e 15%. Utilizando o método do valor presente, encontre os VPL de cada um dos investimentos. Ano Fluxos de Caixa 0 -R$ , 00 1 R$ 7.000, 00 2 R$ 5.000, 00 3 R$ 3.000, 00 4 R$ 2.000, 00 5 R$ 1.000, FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

84 EP Um empréstimo de R$ , 00 será liquidado em três prestações mensais e sucessivas de R$ , 00, R$ 5.000, 00 e R$ 8.000, 00. Considerando uma taxa de atratividade de 7 % ao mês, encontre o valor líquido presente. EP Um bem é vendido a vista por R$ , 00 ou a prazo por R$ , 00 de entrada, mais três prestações mensais e iguais de R$ , 00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro a taxa de 3 % ao mês? EP Investiu-se hoje R$ , 00 num projeto cujo retorno será de 4 parcelas mensais de R$ , 00, sendo a primeira após 30 dias do investimento. Considerando a taxa de atratividade de mercado de 10, 8 % ao mês, verifique se o projeto é viável. EP A Imobiliária Barracão S/A vende um apartamento de 3/4 por R$ , 00 a vista. Como alternativas de pagamento a prazo, oferece dois planos: Plano A: Entrada de R$ , 00 mais 4 prestações trimestrais de R$ , 00. Plano B: Entrada de R$ , 00 mais 8 prestações trimestrais de R$ , 00. O Sr. João de Sousa, capitalista que aplica seu dinheiro a 10 % ao trimestre, deseja sabe r qual é a melhor opção de compra. EP Para a venda de um imóvel são apresentadas duas propostas: Proposta 1 - R$ , 00 de entrada, 36 prestações mensais de R$ 3.000, 00 e 3 parcelas anuais intermediárias de R$ , 00. Proposta 2 - entrada de R$ , 00, 12 parcelas mensais de R$ 4.000, 00, seguidas de 12 parcelas mensais de R$ 9.000, 00. Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 2, 5 % ao mês, qual é a melhor opção para o comprador? Método da Taxa Interna de Retorno - TIR A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de rendimento que é obtida pelos recursos aplicados em um projeto de investimento. A TIR é a taxa de juros que valida a equação de equivalência entre o fluxo de caixa das receitas e o fluxo de caixa dos desembolsos. Normalmente adota-se a data a data de início da operação, no caso o momento zero como a data focal de comparação dos fluxos de caixa. Normalmente, o fluxo de caixa no momento zero é representado pelo valor do investimento, empréstimo ou financiamento; os demais fluxos de caixa indicam os valores das receitas ou prestações devidas. termos matemáticos, poderíamos representar essa equivalência entre o investimento inicial FC 0 e as receitas ou despesas FC 1, FC 2,..., FC n da seguinte forma: FC 0 = FC i + FC 2 (1 + i) FC n (1 + i) n. Em A taxa i que aparece na equação é, exatamente, a taxa interna de retorno que estamos interessados em encontrar, afinal através dela, podemos analisar se o valor investido será capaz de cobrir os custos durante um certo prazo de vigência de um determinado investimento. Observe que o calculo de i na equação anterior não é tão simples quanto parece, afinal podemos nos deparar com situações polinomiais de grau maior do que 2, e desta forma fica mais complicado solucionar o problema. A nível de compreensão do que foi dito até aqui, vamos ilustrar o cálculo da taxa interna de retorno de um exemplo prático. MATEMÁTICA FINANCEIRA 83

85 ER 67. Um determinado empréstimo concedido a uma empresa no valor de R$ , 00 deverá ser em duas prestações mensais de R$ , 00, a contar pela data de hoje. Encontre a taxa interna de retorno. Solução: Observando, atentamente, o fluxo de caixa anterior, estamos interessados em descobrir qual a taxa de juros mensal i, que torna uma igualdade entre os termos: = i (1 + i) 2. Sempre que o maior expoente do fator 1 + i for 2 podemos resolver a equação de forma direta sem problemas, pois, através de uma mudança de variável, podemos transformar a equação anterior, numa equação do segundo grau. Seja 1 + i = z na equação acima, desta forma temos: VP = , 00 meses , , = z z 2 z z 2 15, 5 z 15, 5 = 0 (Eq. do 2 grau) O discriminante desta equação é = ( 15, 5) ( 15, 5) = 2100, 25 e as raízes, na variável z, são: z = 15, , , e z = 15, , , Por motivos óbvios, o valor negativo de z não nos interessa e será descartado. Observe que estamos procurando o valor de i, como 1 + i = Z, então: 1 + i = 1, i = 1, i = 0, i = 2, 21% ao mês. Na existência de expoentes maiores do que 2 para o fator 1 + i, o problema pode ser solucionado de maneira bem simples com uma calculadora financeira específica, contudo, calculadoras deste tipo não são acessíveis a todos, pois, o valor de compra é muito alto. Mesmo assim, ainda existe uma maneira de solucionar este problema, não é a melhor delas, mas pode ser usada de forma uma tanto quanto satisfatória. Para ilustrar uma situação onde isto ocorra, utilizaremos o exemplo dado a seguir. ER 68. Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de R$ , 00 no momento inicial, e os seguintes benefícios esperados de caixa ao final dos três meses imediatamente posteriores são: R$ , 00, R$ , 00 e R$ , 00. Determinar a rentabilidade mensal ou taxa interna de retorno dessa operação Solução: De forma análoga ao exemplo anterior, após montado o fluxo de caixa que representa a situação, estaremos interessados em encontrar a taxa de juros i, que verifica a seguinte igualdade: = i (1 + i) (1 + i) , , , meses VP = , 00 Observe que mesmo fazendo a mudança de variável 1+i = z e efetuando os devidos cálculos de modo a reduzir as frações ao mesmo denominador, chegaremos ao polinômio de grau 3 cujas raízes não podem ser encontradas pela fórmula de Baskara z z z = 0. Dessa forma, precisamos encontrar uma forma alternativa de calcular a taxa interna de retorno i. Infelizmente o maneira que será descrita aqui é um tanto quanto empírica. Como já sabemos que a taxa de juros i transforma todos os pagamentos na data focal zero, no valor presente R$ , 00, através de uma 84 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

86 suposição vamos tentar encontrar um intervalo de taxas, de modo que o valor presente esteja no mínimo entre as taxas escolhidas. Sejam então as taxas i = 2 % e i = 3 %. Substituindo em de modo a encontrar o valor presente fornecido, temos: i = 2 % VP = , (1 + 0, 02) , 65 (1 + 0, 02) 3 i = 3 % VP = , (1 + 0, 03) , 68 (1 + 0, 03) 3 Observe, ainda, que , 68 < , 00 < , 65. Portanto, a taxa de retorno procurada deverá estar entre 2 < i < 3. Perceba que o valor fornecido pela taxa de juros escolhida, i = 3 %, se aproximou pela esquerda do valor R$ , 00. Assim, concluímos que a taxa procurada está muito próxima de 3 %. Para refinar mais e mais este intervalo de taxas, utilizaremos uma técnica conhecida como interpolação linear que nada mais é do que uma regra de três simples. Montaremos a interpolação linear da seguinte forma: Assim, os cálculos ficam reduzidos à: Valores Presentes Taxas (%) , , 68 : , , 68 : i , , = , , 68 i , , 32 = 1 i , 97 i , 91 = 162, 32 i = 162, , , 97 Verificando o valor presente proporcionado pela taxa i = 2, 84 %, temos: 2, 84 % i = 2, 84 % VP = , (1 + 0, 0284) , 23 (1 + 0, 0284) 3 Como a valor presente obtido está bem próximo do valor real de R$ , 00, a taxa encontrada pode ser considerada satisfatória. Observe que para um problema relativamente simples como este, o tempo que se gasta para encontrar uma taxa interna de retorno é muito grande se tentar mos por interpolação linear. Existem disponíveis de forma gratuita, na internet, simuladores de máquinas financeiras de todos os tipos, aconselhamos ao leitor que utilize tais simuladores com o intuito de agilizar cálculos, lembrando que antes de saber utilizar uma máquina financeira precisamos saber o que estamos calculando realmente. Os exemplos propostos a seguir, visam solidificar as idéias mostradas até aqui sobre os conceitos referentes ao método da taxa interna de retorno. É válido lembrar que alguns dos exemplos será resolvido de forma mais prática com a utilização de máquinas financeiras ou simuladores das mesmas Exercícios Propostos EP Calcular a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$ 1.000, 00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300, 00, R$ 400, 00 e R$ 500, 00. EP Um imóvel é colocado a venda por R$ , 00 a vista, ou em 7 prestações mensais nos seguintes valores: As duas primeiras parcelas de R$ , 00 As duas seguintes de R$ , 00 As três ultimas de R$ , 00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 85

87 Determinar o custo mensal desta operação expresso pela taxa interna de retorno. EP Um empresa contrata um financiamento de R$25.000, 00 para ser pago em 6 prestações trimestrais, iguais e sucessivas de R$ 8.600, 00 cada. Sabe-se que a primeira prestação será liquidada ao final do 9 (dois trimestres de carência). Determinar a TIR dessa operação de financiamento Método do Prazo de Retorno - PayBack O método do prazo de retorno ou simplesmente PayBack utiliza como indicador, o prazo de retorno do investimento como medida de avaliação de alternativas. O prazo de retorno ou PayBack que a partir deste momento denotaremos por PB representa o número de períodos que se fazem necessários para que os benefícios se igualem aos custos em um fluxo de caixa. Em outras palavras, o prazo de retorno será o tempo necessário para que seja recuperado todos os recursos despendidos na implantação de um determinado projeto. A ordenação dos projetos é uma função do número de períodos necessários para a recuperação do investimentos; quanto menor o período de PayBack melhor será o projeto. Chamando por TMRI o Tempo Mínimo de Retorno do Investimento, é fácil perceber que se o PayBack ou simplesmente PB < T MRI significará que o investimento é viável, caso contrário, ou seja, se PB T MRI significa que o tempo de espera para que o capital investido retorne é maior com relação ao T MRI, caracterizando portanto a inviabilidade do projeto. De forma geral, quanto mais alongado o prazo de re-pagamento do empréstimo, ou payback, menos interessante ele se torna para o emprestador. O payback, ou payout, é utilizado como referência para julgar a atratividade relativa das opções de investimento. Deve ser encarado com reservas, apenas como um indicador; não servindo para seleção entre alternativas de investimento. Por exemplo, imagine-se uma empresa transnacional tendo que decidir entre dois possíveis investimentos em projetos distintos, em um mesmo país, localizados em áreas geográficas diferentes de sua sede. Imagine-se que tal país ofereça boas oportunidades de negócios, mas também apresente riscos de ordem política, que poderão acarretar violenta desvalorização cambial ou inflação galopante, o que, por sua vez, na hora da remessa de lucros para o exterior, diminuirá os resultados em uma moeda forte. Nesse caso hipotético, a empresa transnacional poderá optar por alternativas de investimento, nesse país em questão, que tenham menor prazo de re-pagamento, vale dizer, menor payback. Logicamente, investimentos de maior envergadura, como aqueles ligados à infra-estrutura (hidroelétricas, estradas de ferro, estradas de rodagem), ou na indústria mineral (minério de ferro, petróleo) e siderurgia, poderão ter prazos de re-pagamento dilatados, com payback superior a 10 anos. Se a política da empresa estrangeira investidora, no entanto, for de acreditar naquele país (geralmente, países em desenvolvimento oferecem boas oportunidades de investimento como as citadas), e de reinvestir seus lucros no país em questão, sem repatriação de lucros convertidos em moeda forte, o peso dado ao fator payback poderá reduzir-se, na tomada de decisão da empresa transnacional hipotética. Supondo que um determinado investimento, seja representado através do fluxo de caixa abaixo, vamos deduzir a expressão que calcula o número de períodos necessários para que o investimento inicial retorne. VP =? n FC 0 FC 1 FC 2 FC n Como os gastos ou recebimentos são constantes, podemos utilizar a expressão que calcula o valor presente 86 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

88 para as séries postecipadas, assim: (1 + i) VP = VF 1 n VP i i VF = 1 (1 + i) n (1 + i) n VP i = 1 Aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade, podemos isolar o valor de n, assim: VP i logå1 (1 + i) n VP i = 1 VF n log(1 + i) = logå1 VP i VFè VFè n= log(1 + i) Observe que a dedução feita está levando em consideração a uniformidade dos pagamentos ou recebimentos do investimento, caso isto não ocorra, antes de utilizar a expressão para calcular o número de períodos n, devemos transformar o fluxo de caixa do investimento numa série postecipada. ER 69. Determine o tempo de retorno de um determinado capital no valor de R$ 2.000, 00 considerando uma taxa mínima de atratividade igual a 5 % ao ano com receitas anuais dadas pelo fluxo de caixa abaixo: Solução: O primeiro passo será encontrar o valor presente de todos recebimentos na data focal zero. Portanto, VP = , (1 + 0, 05) (1 + 0, 05) (1 + 0, 05) (1 + 0, 05) 5 VP = 761, , , , , 35 = 2.158, 01 VP =? anos Observe que a fluxo de caixa não possui termos iguais durante todo o período, dessa forma precisamos transformá-lo em uma série postecipada, para isto, devemos encontrar o valor de cada um das prestações. VP = VF 1 (1 + i) n i VF = VP 1 (1 + i) n i = 2.158, 01 1 (1 + 0, 05) 5 0, , , , , , , 95 anos Agora que todos os recebimentos estão uniformes, podemos calcular o valor do prazo de retorno para o investimento inicial de R$ 2.000, 00. VP i , 05 logå1 logå1 VFè 498, 44è 0, n = = = 4, 6 meses log(1 + i) log(1 + 0, 05) 0, Observe que tal investimento foi vantajoso, se considerarmos que o tempo mínimo de retorno do inves- MATEMÁTICA FINANCEIRA 87

89 timento ocorreria ao final de 5 anos, o prazo de retorno que foi 4, 6 é menor, ou seja, os lucros obtidos pelo investimento inicial de R$ 2.000, 00 ocorrerão 0, 4 meses antes do prazo mínimo Exercícios Propostos EP Uma empresa tem a sua disposição, dois projetos de investimento a analisar. O Projeto A necessita de um investimento inicial de R$ 2.000, 00 gerando receitas anuais de R$ 800, 00, R$ 700, 00 e R$ 1.000, 00. Já o projeto B também precisa de um investimento inicial de R$ 2.000, 00, gerando receitas anuais de R$ 600, 00, R$800, 00, R$1.000, 00 e R$1.100, 00. Sabendo que a taxa de atratividade anual é de 6%, qual dos dois projetos a empresa deverá escolher se analisarmos pelo método do prazo de retorno? EP André é um rapaz trabalhador e quer montar seu próprio negócio. Ele pretende recuperar seu investimento dentro de no máximo 4 anos. Dentre as possibilidades surgiram 3 oportunidades livres de risco, As três precisam de R$ , 00 de investimento inicial e prometem os fluxos de caixa para 4 anos conforme a tabela: - Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Oferta 1 R$ , 00 R$ , 00 R$ , 00 R$ , 00 Oferta 2 R$ , 00 R$ , 00 R$ , 00 R$ Oferta 3 R$ , 00 R$ , 00 R$ , 00 - Utilizando uma taxa de atratividade mensal de 10 %, qual seria a melhor dentre as três opções, analisando pelo método do prazo de retorno? Gabarito 4.13 VPL A = 1.222, 26, VPL B = 263, 24 e VPL A = 1.519, R$ 112, VPL = R$ 1.711, 09 a prazo É viável, pois, VPL = 163, 42 > A vista, pois, VPL A = 3.265, 83 e VPL B = 2.703, A proposta 2, pois VPL 1 = , 25 e VPL 2 = , i = 9, 265 % ao mês i = 7, 08 % ao mês 4.21 i = 14, 65 % ao trimestre O melhor é escolher o projeto B pois n A 2, 7 e n B 2, 6 e desta forma n B < n A Oferta FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

90 Referências Bibliográficas [1] BUSSAB, WILTON O.& MORETTINI, PEDRO A.; Estatística Básica. 4 a edição. São Paulo: Atual Editora, [2] GELSON, Iezzi&, outros; Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4. a edição. São Paulo: Atual, [3] MORGADO, Augusto C.&, outros; Progressões e Matemática Financeira. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, [4] AYRES JR, Frank&, ; Matemática Financeira. São Paulo: Mcgraw-Hill, [5] FRANCISCO, Walter&, ; Matemática Financeira. a edição. São Paulo: Atlas, [6] BRUNI, Adriano Leal& FAMÁ, Rubens; Matemática Financeira: com HP12C e Excel (Série Finanças na Prática). São Paulo: Atlas, [7] MATHIAS, W. E.& GOMES, J. M.; Matemática Financeira: com mais de 600 exercícios resolvidos e propostos. 2 a edição. São Paulo: Atlas, [8] SAMANEZ, C. P.&, ; Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos. 3 a edição. São Paulo: Makron,. [9] KUHNN, O. L.& BAUER, U. R.; Matemática Financeira aplicada e Análise de Investimentos. 2 a edição. São Paulo: Atlas, [10] ASSAF, A. N.&, ; Matemática Financeira e Suas Aplicações. 8 a edição. São Paulo: Atlas, [11] PARENTE, Eduardo& CARIBÉ, Roberto; Roberto Matemática Comercial e Financeira - Coleção Ensino Técnico. a edição. São Paulo: FTD,. [12] MORGADO, Augusto C.&, outros; Progressões e Matemática Financeira. Coleção Professor de Matemática. São Paulo: SBM, MATEMÁTICA FINANCEIRA 89

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