XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019

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1 XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019 ENSINO DE QUADRILÁTEROS NO 7º ANO E TEORIA DE VAN HIELE: UMA PROPOSTA DIDÁTICA DO PROGRAMA RESIDÊNCIA PEDAGÓGICA DO IFBA CAMPUS EUNÁPOLIS Luiz Victor Lima Macêdo victor.mat.ifba@gmail.com Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Ruan Vinicius Costa ruanvinnicius@gmail.com Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Wanderlan da Silva Gomes wanderlangomes@gmail.com Escola Municipal Giuseppe Iacoviello Josaphat Ricardo Ribeiro Gouveia Junior josaphatgouveia@gmail.com Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Resumo: O ensino da Geometria na Educação Básica não tem garantido uma aprendizagem eficiente, de modo que os alunos não têm sido capazes de identificar figuras geométricas com base em suas propriedades nem realizar as abstrações sobre as mesmas. Neste sentido, o presente trabalho tem como objetivo apresentar uma proposta didática para o ensino de Quadriláteros no 7º ano utilizando a teoria de Van Hiele. Como resultado, podemos apontar aplicabilidade da teoria como recurso metodológico de ensino, bem com sua capacidade de identificar o nível de aprendizado dos alunos. Palavras-chave: Geometria. Van Hiele. Educação Básica. Ensino de Geometria. Quadriláteros. INTRODUÇÃO Na Educação Básica, a Geometria constitui um dos três pilares fundamentais da Matemática, ao lado da Aritmética e Álgebra (MIRANDA, 2003). Deste modo, é indiscutível a importância da sua aprendizagem para uma formação matemática adequada dos estudantes In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:

2 Segundo os PCNs, no ensino fundamental, o estudo da Geometria constitui parte importante do currículo, pois permite desenvolver um tipo de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar de maneira organizada o mundo em que vive (BRASIL, 1998, p. 212). Do ponto de vista estritamente matemático, possibilita um primeiro contato com definições, teoremas e demonstrações. Assim, com o aspecto estrutural da Matemática. O ensino da Geometria no Ensino Fundamental tem sido feito de maneira totalmente abstrata, limitando-se à apresentação de definições e suas implicações, ou seja, em um nível acima da capacidade de entendimento dos alunos. Esta visão compactua com os resultados apresentados pela teoria de Van Hiele e é confirmada por diversos estudos, conforme Villiers (2010). A teoria de Van Hiele, como é habitualmente chamada, é uma teoria do ensino da Geometria que originou das teses de doutorado do casal de educadores matemáticos Pierre van Hiele e Dina van Hiele-Gedolf, na Universidade de Uretch, Holanda, em Nela, sugere-se que a aprendizagem da Geometria ocorre segundo cinco níveis de pensamento, cuja progressão é feita seguindo uma ordem fixa, isto é, para se alcançar um nível, deve-se ter passado pelos anteriores sequencialmente, sem saltos. Neste sentido, o presente trabalho tem como objetivo apresentar uma proposta didática desenvolvida no âmbito do programa Residência Pedagógica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia / IFBA Campus Eunápolis, para o ensino de Quadriláteros com base nos níveis de pensamento da teoria de Van Hiele. A seguir, faremos uma exposição acerca da teoria e, em seguida, apresentaremos a proposta. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A teoria de Van Hiele surgiu das respectivas teses de doutorado Problematiek van het inzicht. Gedemonstreerd aan het inzicht van schoolkinderen in meetkunde-leerstof (O problema do insight. Uma conexão com a compreensão dos estudantes na aprendizagem da Geometria¹) e De didaktick Van de Meetkunde in de eerste klass van het V.H.M.O (A didática da Geometria na classe inicial do ensino secundário²), de Pierre van Hiele e Dina van Hiele-Geoldf, defendidas da Universidade de Urecht, Holanda, em Pierre, em sua tese, buscava explicar as dificuldades enfrentadas pelos alunos no aprendizado da Geometria, enquanto Dina apresentava um exemplo concreto da aplicação da

3 teoria (VILLIERS, 2010; SILVA e CANDIDO, 2017). Dois aspectos importantes observados na descrição feita por Passos (2015) da teoria de Van Hiele são as ênfases dadas, respectivamente, ao insight 3 e ao material manipulativo. Aprender para Pierre significava adquirir insight, isto é, a capacidade de atuar corretamente em uma situação nova e, para Dina, caberia ao professor à organização de situações que favorecessem o estabelecimento de relações. Deste modo, as duas teses culminaram num modelo educacional para o ensino da Geometria. Segundo Junqueira (1994), as características principais do modelo são: A aprendizagem é um processo descontínuo. Há saltos na aprendizagem que revelam a presença de níveis de raciocínio discretos e qualitativamente diferentes. Os níveis existem numa sequência hierárquica fixa. Para que os alunos funcionem de modo adequado num determinado nível é necessário que tenham explorado amplamente todos os níveis anteriores. A progressão de um nível para o seguinte está mais dependente da instrução do que da idade ou da maturação biológica. Os temas ensinados aos alunos acima do seu nível são sujeitos a uma redução de nível - apenas são memorizados e repetidos de forma rotineira (a memorização não é característica de nenhum nível). A passagem de um nível para outro faz-se através de cinco fases didácticas bem definidas. Os conceitos compreendidos de forma implícita num nível tornam-se explícitos no nível seguinte. No nível mais básico as figuras são, de facto, determinadas pelas suas propriedades, mas alguém que pense nesse nível não está consciente dessas propriedades. Cada nível tem a sua linguagem própria. Cada nível tem os seus próprios símbolos linguísticos e os seus próprios sistemas de relações interligando esses símbolos. Uma relação que é correcta num nível pode revelar-se incorrecta noutro. Pense-se, por exemplo, na relação entre um quadrado e um rectângulo. Duas pessoas que raciocinem em níveis diferentes podem não se entender uma à outra. Nem conseguem acompanhar o processo de raciocínio da outra (JUNQUEIRA, 1994, p. 28). A seguir, na Tabela 1, exibimos os três primeiros níveis conforme Junqueira (1994), tendo em vista que são os mais relevantes para a proposta. Para maior compreensão dos níveis e a descrição dos seguintes, basta ver (JUNQUEIRA, 1994; ALVES & SAMPAIO, 2010; VILLIERS, 2010; SANTOS, 2015; SILVA & CANDIDO, 2017).

4 NÍVEL 1. Visual 2. Descritivo / Analítico 3. Abstrato / Relacional Tabela 1 Três primeiros níveis de Van Hiele DESCRIÇÃO Os alunos raciocinam sobre figuras geométricas com base na aparência de representações das figuras e nas transformações visuais que executam sobre elas. Identificam figuras como quadrados e triângulos como gestalts visuais, com frequência depois de terem visionado protótipos. Por exemplo, podem dizer que uma dada figura é um rectângulo porque 'parece uma porta'. Os alunos raciocinam experimentalmente; estabelecem propriedades das figuras observando, medindo, desenhando, e fazendo modelos. Identificam as figuras não como globalidades visuais, mas através das suas propriedades. Por exemplo, um aluno pode pensar num losango como uma figura com quatro lados iguais. Os alunos raciocinam logicamente. Formam definições abstractas, distinguem condições necessárias e suficientes para definir um conceito, compreendem e, por vezes, apresentam argumentos lógicos. Classificam as figuras hierarquicamente analisando as suas propriedades e dão argumentos informais para justificar as suas classificações. Por exemplo, dizem que um quadrado é um losango porque 'é um losango com algumas propriedades extra'. Fonte: Junqueira (1994) Deve-se perceber que as definições, muita das vezes apresentadas na introdução dos conteúdos só serão passíveis de compreensão dos alunos a partir do nível 3. Desta maneira, os professores devem propor atividades que possibilitem o avanço dos alunos em relação aos níveis anteriores. Sobre a aquisição do nível 2, Villiers (2010) afirma que a obtenção do Nível 2 envolve a aquisição da linguagem técnica por meio da qual as propriedades do conceito podem ser descritas. Contudo, a transição do Nível 1 para o Nível 2 envolve mais do que simplesmente a aquisição de linguagem, ela envolve o reconhecimento de algumas novas relações entre conceitos e o refinamento e a renovação de conceitos existentes. Para que um aluno progrida do Nível 1 para o Nível 2 em um tópico específico (por exemplo, os quadriláteros), é necessário que ocorra uma reorganização significativa de relações e um refinamento de conceitos. Há, portanto, muito mais em tal transição do que apenas uma verbalização de conhecimento intuitivo, já que a verbalização anda lado a lado com a reestruturação do conhecimento (VILLIERS, 2010, p. 402). Ou seja, para se chegar ao nível 2 os alunos devem passar por uma reestruturação das propriedades percebidas no nível 1, pois o nível 2 envolve a associação de propriedades a tipos de figuras e relações entre figuras de acordo com tais propriedades (VILLIERS, 2010,

5 p. 402). Diferentemente, o nível 3 envolve as relações lógicas entre as propriedades das figuras (VILLIERS, 2010, p. 402). Neste nível, não mais se refere a figuras concretas e específicas, e tampouco tais relações formam uma estrutura de referência na qual se pergunta se uma determinada figura possui determinadas propriedades. As perguntas típicas feitas no Nível 3 são relacionadas ao fato de uma determinada propriedade ser sequência de outra ou se ela pode ser deduzida a partir de um subconjunto específico de propriedades (ou seja, se ela poderia ser tomada como uma definição ou se é um teorema) ou se duas definições são equivalentes (VILLIERS, 2010, p. 402). Com o que foi exposto, concordamos que ensinar Geometria a partir das definições é uma atitude que dificulta a aprendizagem e, ainda, retira do aluno a possibilidade de compreender sobre os processos subjacentes ao da definição de um conceito. Segundo Hans Freudenthal (1973) citado por Villiers (2010): (...) O didático socrático se recusaria a apresentar os objetos geométricos por definições, mas em qualquer circunstância na qual a inversão didática prevalece, o ato de deduzir começa com definições. (...) A maioria das definições não é preconcebida, mas sim o toque final da atividade organizadora. Esse privilégio não deveria ser roubado da criança... O bom ensino da geometria pode significar muitas coisas: aprender a organizar um assunto e aprender o que é organizar; aprender a conceituar e o que é conceituar; aprender a definir e o que é uma definição. Isso significa deixar os alunos compreenderam o porquê certas organizações, conceitos e definições são melhores do que outros (FREUDENTHAL apud VILLIERS, 2010, p. 412). Pela teoria de Van Hiele, a transição entre os níveis não é feita de modo natural, mas segundo a influência de um processo de ensino e aprendizagem (JUNQUEIRA, 1994). Nela, O professor desempenha um papel determinante na progressão. Contudo, não se lhe pode atribuir só o papel tradicional de debitador de conhecimentos. Neste modelo, a progressão será antes consequência de uma escolha adequada de actividades feita pelo professor para os alunos realizarem (JUNQUEIRA, 1994, p. 33) A escolha das atividades deve seguir as cinco fases didáticas propostas pelo modelo. Na Tabela 2 a seguir, apresentamos a descrição das mesmas conforme Junqueira (1994).

6 Tabela 2 Cinco fases didáticas do nível de Van Hiele FASE OBJETIVO PAPEL DO PROFESSOR Apresentar e analisar materiais que clarifiquem o Conhecer o conteúdo conteúdo do domínio, colocando-os à disposição 1. Informação do domínio. dos alunos. Descobrir redes de Orientar a actividade dos alunos, guiando-os 2. Orientação Guiada relações entre os objetos através de explorações que os conduzam às que estão a manipular. descobertas. Conscientizar relações e Promover e orientar discussões entre os alunos, exprimi-las por palavras 3. Explicitação levando-os a utilizar linguagem técnica adequada. próprias. Seleccionar materiais e problemas (várias vias de 4. Orientação Livre Aplicar relações e resolver problemas. solução). Apoiar os alunos na sua resolução. Introduzir termos, conceitos e estratégias de resolução de problemas. Sumarizar conhecimentos Encorajar os alunos a reflectirem e a e integrá-los numa rede 5. Integração consolidarem o seu conhecimento geométrico. coerente de fácil aplicação. Fonte: Junqueira (1994) A teoria de Van Hiele além de propor níveis para aquisição do pensamento geométrico por parte dos alunos, também indica um percurso metodológico de ensino. Diversos trabalhos realizados recentemente fazem uso da teoria, seja como identificação dos níveis, seja como aplicação da teoria em sala de aula. Dentre eles, destacamos (JUNQUEIRA, 1994; SANT ANA, 2009; VIEIRA, 2010; PINTO, 2011; JUNIOR & SILVA, 2014; SANTOS, 2015; SILVA, 2015; SANTOS, 2016). PROPOSTA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE QUADRILÁTEROS Diversos trabalhos com enfoque na teoria de Van Hiele têm utilizado softwares de Geometria Dinâmica como recurso nas aulas de Geometria. (JUNQUEIRA, 1994; ALVES & SAMPAIO, 2010; VIEIRA, 2010; SANTOS, 2015). Neste trabalho, utilizamos e indicamos o software GeoGebra, no entanto, qualquer software correlato pode ser utilizado. Cabe ressaltar que as construções utilizadas no software foram retiradas do site do mesmo, cujos endereços estão nas referências.

7 A seguir, apresentaremos a proposta com base nas cinco fases dos três primeiros níveis de Van Hiele, dado que nosso interesse é ensinar Geometria, especificamente Quadriláteros, no Ensino Fundamental. NÍVEL 1 VISUALIZAÇÃO 1. Informação: Apresentar os Quadriláteros e através da manipulação din no software GeoGebra, identificar figuras que sejam ou não Quadriláteros, conforme as Figuras 1. Figura 1. Figura geométrica que representa um quadrilátero. Figura 2. Figura geométrica que não representa um quadrilátero. Fonte: (Cássio, 2016) Fonte: (Cássio, 2016) 2. Orientação Guiada: Orientar os alunos a identificarem através das manipulações possíveis razões que caracterizam (ou não) as figuras como Quadriláteros. 3. Explicitação: Apresentar utilizando linguagem matemática adequada as razões pelas quais determinadas figuras são ou não Quadriláteros. 4. Orientação Livre: Resolver exercícios de identificação de Quadriláteros visualmente, conforme o descrito a seguir. a. Observe as figuras abaixo e marque com x quais delas são quadriláteros. Figura 3. Imagem auxiliar do exercício da fase 4 do nível 1. Fonte: Próprio autor

8 5. Integração: Sintetizar as discussões realizadas, de modo a evidenciar as caraterísticas visuais de figuras que sejam (ou não) Quadriláteros. NÍVEL 2 DESCRITIVO E ANÁLISE 1. Informação: Apresentar e manipular os Quadriláteros notáveis através do software GeoGebra, conforme Figura 4. Figura 4. Quadriláteros notáveis no GeoGebra. Fonte: Miranda (2017) 2. Orientação Guiada: Realizar a seguinte atividade investigativa. a. Em relação aos quadriláteros notáveis observados, responda: Cor: Existem lados paralelos no quadrilátero? Quantos entre si? Existem lados congruentes no quadrilátero? Quantos entre si? Existem ângulos congruentes entre si? Quantos? A soma dos ângulos internos é: Existem ângulos retos? Quantos? 3. Explicitação: Exibir o nome das figuras relacionando seus nomes as propriedades percebidas por sua cor, conforme Figura 5, a seguir.

9 Figura 5. Exibição dos nomes dos Quadriláteros no GeoGebra Fonte: Miranda (2017) 4. Orientação livre: Resolver as seguintes atividades a seguir. a. Análise cada um dos quadriláteros deste painel e forme grupos de acordo com as propriedades comuns observadas. Figura 6. Figura auxiliar da atividade Fonte: Próprio autor b. Construa cada um dos quadriláteros notáveis no GeoGebra. c. De acordo com as construções, verifique a validade das afirmações a seguir. Todo quadrado é um losango. Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Todo losango é um paralelogramo. Todo trapézio é um paralelogramo. Todo losango é um quadrado. Todo retângulo é um quadrado. Todo paralelogramo é um trapézio. 5. Integração: Resumir de maneira escrita as propriedades percebidas relacionando os objetos com seus nomes.

10 NÍVEL 3 ABSTRATO & RELACIONAL 1. Informação: Discutir a noção de definição e sua importância para a Matemática. 2. Orientação Livre: Realizar a seguinte atividade: a. Defina os quadriláteros e cada um dos quadriláteros notáveis com suas próprias palavras. 3. Explicitação: Exibir diferentes definições para cada um dos quadriláteros e suas implicações. 4. Orientação Livre: Realizar a seguinte atividade: a. De acordo com as discussões e as definições vistas, defina Quadriláteros. 5. Integração: Sintetizar os processos subjacentes ao processo de definição de um conceito e apresentar as definições corretas dos Quadriláteros. CONSIDERAÇÕES FINAIS A teoria de Van Hiele é uma teoria do ensino da Geometria que supõe cinco níveis de pensamento para a compreensão dos conhecimentos geométricos por parte dos alunos. Para progressão de um nível ao outro, sugere cinco fases, das quais o professor é o responsável pela escolha das atividades. Deste modo, configura-se como um modelo educacional para ensinar Geometria. O ensino da Geometria na Educação Básica não tem garantido aos alunos uma aprendizagem significativa e, desta maneira, prejudica a formação matemática dos alunos, tendo em vista que neste nível de ensino a Geometria é uma das três áreas principais da Matemática. Neste sentido, o presente trabalho apresenta uma proposta didática para o ensino de Quadriláteros no 7º ano, indicando atividades para as cinco fases em cada um dos três primeiros níveis de Van Hiele. Como resultado, podemos apontar aplicabilidade da teoria como recurso metodológico de ensino, bem com sua capacidade de identificar o nível de aprendizado dos alunos. Para trabalhos futuros, fica a aplicação da presente proposta através de uma sequência didática, com o objetivo de verificar sua eficácia como metodologia de ensino e o índice de aprendizagem dos alunos.

11 REFERÊNCIAS ALVES, George. SAMPAIO, Flávio. O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele e possíveis contribuições da Geometria Dinâmica. Revista Sistemas da Informação da FSMA, Macaé, n. 5, p , jun BRASIL. Secretária de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília, 1998, 184 p. Disponível em < Acesso em: 11/04/2019. BURGER, William. SHAUGHNESSY, J. Michael. Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education, v. 17, n.1, 1946, p.31-48, jan Disponível em: < Acesso em 11/04/2019. CÁSSIO, Jorge. Quadriláteros: Noções iniciais Disponível em: < Acesso em: 01/02/2019. JUNQUEIRA, Maria. Aprendizagem da Geometria em ambientes virtuais dinâmicos: Um estudo no 9º ano da escolaridade. 306 p. Dissertação (Mestrado em Ciências de Educação) Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, Lisboa, MIRANDA, Márcia. Cópia de Quadriláteros Disponível em: < Acesso em: 01/02/2019. PASSOS, Adriana. Van Hiele, Educação Matemática Realística e GEPEMA: Algumas aproximações. 149 p. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Centro de Ciências Exatas, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, PINTO, Susana. Desenvolvimento do pensamento geométrico: Uma proposta para o ensino de isometrias. 205 p. Dissertação (Mestrado em Educação) Instituto Politécnico de Viana do Castelo, Viana do Castelo, SANT ANA, Evandro. Geometria segundo o modelo de Van Hiele: Uma análise do nível de pensamento geométrico dos alunos ao final do ensino fundamental. 55 p. Monografia (Graduação em Licenciatura em Matemática) Centro Universitário Unilasalle, Canoas, SANTOS, Juliana. A teoria de Van Hiele no estudo de áreas de polígonos e poliedros. 114 p. Dissertação (Mestrado em Matemática) Centro de Ciência e Tecnologia, Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Campos do Goytacazes, SANTOS, Marcele. O ensino de Geometria e a teoria de Van Hiele: Uma abordagem através do Laboratório de ensino de Matemática no 8º ano da Educação Básica. 308 p. Dissertação (Mestrado Profissional em Práticas da Educação Básica) Pró-Reitoria de Pós- Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura do Colégio Pedro II, Rio de Janeiro, SILVA, Cleidson. Os níveis do pensamento geométrico no modelo Van Hiele: um estudo de caso envolvendo Quadriláteros. Monografia (Graduação em Licenciatura em

12 Matemática) Centro de Ciências Aplicadas e Educação, Departamento de Matemática, Universidade Federal da Paraíba, Rio Tinto, SILVA, Luciana. CANDIDO, Claudia. Modelo de aprendizagem do casal Van Hiele. DOCPLAYER. São Paulo, Disponível em: < Modelo-de-aprendizagem-de-geometria-do-casal-van-hiele.html>. Acesso em: 23/01/2019. VIEIRA, Carmem. Reinventando a Geometria no Ensino Médio: Uma abordagem envolvendo materiais concretos, softwares de Geometria Dinâmica e a teoria de Van Hiele. 151 p. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Departamento de Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, VILLIERS, Michael. Algumas reflexões sobre a teoria de Van Hiele. Educação Matemática e Pesquisa, Rio de Janeiro, v. 12, n. 3, p , Disponível em: < Acesso em: 11/04/2019. JÚNIOR, José. SILVA, João. A Geometria pela ótica da teoria de Van Hiele: Uma análise do nível de desenvolvimento do pensamento geométrico de alunos de um curso de Licenciatura em Matemática. In: Encontro Paraibano de Educação Matemática, 8., 2014, Campina Grande. Disponível em: < trabalhos/modalidade_1datahora_14_10_2014_23_21_33_idinscrito_184_635ff c6f6 5c4dd6dcd8ca2cbc.pdf.> Acesso em 30/01/2019. MIRANDA, Marilene. A experiência norte-americana de fusão da Aritmética, Álgebra e Geometria e sua apropriação pela educação matemática brasileira. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, ¹Tradução por Passos (2015) ²Tradução por Passos (2015) ³Não existe uninamidade sobre a tradução da palavra, portanto, optou-se por mantê-la em inglês, mesma atitude adotada pela autora.