Teoria dos Grafos Aula 17

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Aula 17 Aula passada Problema da soma do subconjunto (subset sum) Programação dinâmica Problema da mochila Aula de hoje Alinhamento de sequências Programação dinâmica Caminho mais curto (abordagem via grafos)

2 Sugestões do Google Como o Google faz isto? realmente sabia o que eu procurava? por que não sugeriu esperando ou expansão?

3 Medindo Similaridade Problema: medir semelhança entre duas palavras Idéia: quantidade de modificações para transformar uma palavra em outra mais modificações, maior diferença Ex. exparansa e esperado exparansa esperado- 5 operações Operações de substituição e adição ou remoção (gap)

4 Medindo Similaridade Generalização: operações podem ter custos diferentes ex. adição é mais caro do que substituição Custo depende da substituição ex. trocar vogal por consoante é mais caro do que vogal por vogal De forma geral, para cada par de letras p, q pq = custo de substituir p por q = custo do gap (remoção/adição)

5 Exemplo pq = 1 : quando p, q são vogais pq = 2 : caso contrario = 3 exparansa exparansa exparansa Custo? = 10 esperado- expansão- Custo? = 11 esperança Custo? = 5 Google sugere palavra de menor custo (maior similaridade) Menor custo depende dos pesos

6 Alinhamento de Palavras Problema: Determinar menor custo entre duas palavras muitas maneiras de transformar uma palavra na outra Ex. exparansa e expansão exparansa Custo? = 11 expansão- exparansaexpan--são Custo? = 12 Problema do alinhamento entre palavras

7 Genoma: Código da Vida Genoma: conjunto de moléculas do DNA de um organismo (gens ou cromossomos) DNA: longa sequência de apenas 4 substâncias (A,C,G,T) humano: 6 bilhões, ao todo Subsequências (gigantes) determinam funcionalidade ex. resistência a uma determinada toxina, controle do metabolismo, etc.

8 Alinhamento de DNA Objetivo: Identificar gens (parte da sequência do DNA) que são similares entre indivíduos, entre espécies, etc. Problema: Medir similaridade entre os gens Problema importante e atual da área de Biologia Computacional de grande interesse na biologia molecular

9 Alinhamento de DNA Medir similaridade entre longas sequências custo de transformação das sequências Ex. similaridade entre as sequências ACCCAACCCCAAC e ACACAAACCCCCAC ACCCAACCCCAAC- ACCCAA--CCCCAAC ACACAAACCCCCAC ACACAAACCCCCA-C Problema: Encontrar transformação de menor custo (definição de similaridade)

10 Emparelhamento Considere duas sequências (de tamanho m e n) X = x 1 x 2... x m Y = y 1 y 2... y n Emparelhamento M: conjunto de pares ordenados (i, j) tal que cada elemento i ou j ocorre em no máximo 1 par Exemplo x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 M = {(1, 1), (2, 4), (3, 2), (5, 6)} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6

11 Alinhamento Considere duas sequências (de tamanho m e n) X = x 1 x 2... x m Y = y 1 y 2... y n Emparelhamento M é um alinhamento, quando não há cruzamentos Para todo (i, j) e (i', j') pertencente a M, se i < i', então j < j' M (slide anterior) é alinhamento? M = {(1, 1), (2, 4), (3, 2), (5, 6)}

12 Alinhamento Exemplo: espera e perna esper-a -esper-a --perna M = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 5)} pe---rna M = {(1, 2), (5, 3), (6, 5)} Emparelhamento (alinhado) define a transformação Cada emparelhamento tem um custo Problema: Encontrar emparelhamento que minimiza o custo (ótimo)

13 Alinhamento de Sequência Abordagem via programação dinâmica Estudo da solução ótima M M emparelhamento de menor custo O que podemos dizer sobre o último par (m, n)? último símbolo das duas sequências Ou (m,n) pertence a M ou (m,n) não pertence a M O que podemos afirmar quando (m,n) não pertence a M?

14 Alinhamento de Sequência Se (m, n) não pertence a M, então ou a posição m de X ou a posição n de Y não aparece em nenhum par caso contrário, (se as duas aparecem em dois pares) teríamos um cruzamento Se M é ótimo, então sabemos que (m, n) pertence a M ou posição m de X não está emparelhada em M ou posição n de Y não está emparelhada em M

15 Analisando Solução Ótima Variáveis para definição dos subproblemas? número de caracteres sendo considerados da sequência X e Y (a partir do início) i : x 1 x 2... x i -- j : y 1 y 2... y j OPT(i, j): custo da solução ótima com as respectivas subsequências de X e Y Três casos para considerar 1) Se (m, n) pertence a M Custo do emparelhamento entre x m e y n (que pode ser zero) + custo do subproblema ótimo OPT(m, n) = xm yn + OPT(m-1, n-1)

16 Analisando Solução Ótima 2) Se posição m de X não está emparelhada Custo de um gap (da posição m de X) + custo da solução ótima sem a posição m de X OPT(m, n) = + OPT(m-1, n) 3) Se posição n de Y não está emparelhada Custo de um gap (da posição n de Y) + custo da solução ótima sem a posição n de Y OPT(m, n) = + OPT(m, n-1) Solução ótima considera caso de menor custo entre as três possibilidades

17 Analisando Solução Ótima Generalizando o argumento para qualquer subsequência de tamanho i e j OPT(i, j) = min ( xi yj + OPT(i-1, j-1), + OPT(i-1, j), + OPT(i, j-1) Quando emparelhamento (i, j) pertence a solução ótima? Quando primeiro caso é o mínimo

18 Algoritmo Algoritmo para calcular OPT(n, m)? iterativo, não recursivo (mas utilizando recursão) Alinhamento OPT(X, Y) Array A[0,...,m ; 0,...,n] Init A[i,0] = i*, para i = 0,...,m Init A[0,j] = j*, para j = 0,...,n Init A[0,0] = 0 For j = 1,..., n For i = 1,..., m A[i,j] = min( (X[i],Y[j]) + A[i 1,j 1], + A[i 1, j], + A[i, j 1]) Retorna A[m,n] Inicialização: gap em todos os caracteres quando a outra sequência é vazia

19 Complexidade Tempo de execução do algoritmo? Número de elementos da matriz A cada elemento da matriz A tem tempo constante O(1) Complexidade O(m n)

20 Redução para Grafos Alinhamento de sequências pode ser mapeado em problema de grafos problema de menor caminho Dado duas sequências X e Y, construir um grafo direcionado G XY em um grid Elemento (i, j) do grid corresponde aos índices (i, j) das sequências Arestas direcionadas apenas entre vizinhos no grid (horizontal, vertical e diagonal) Pesos correspondem ao custos de gap (horizontal e vertical) ou substituição (diagonal)

21 Construindo o Grafo Ex. X = x 1 x 2 x 3 Y = y 1 y 2 y 3 y 4 x 3 x 2 x 1 0 y 1 y 2 y 3 y 4 Mover na horizontal ou vertical, é igual a introduzir um gap custo Mover na diagonal é igual a emparelhar (i, j) custo xi yj

22 Caminho Mínimo Seja c(i, j) o custo mínimo para ir do vértice (0, 0) ao vértice (i, j) Então, para qualquer (i, j) c(i, j) = OPT(i, j) custo do caminho mínimo é igual ao custo do emparelhamento ótimo Prova por indução (e muito intuitiva) Caminho de custo mínimo determina emparelhamento c(m,n) é solução para o problema

23 Complexidade Solução mais eficiente para o problema? Número de vértices do grafo (m+1)(n+1) ~ mn Número de arestas do grafo ~ 3mn Complexidade de Dijkstra (caminho mínimo) O((n + m)log n), onde n é número de vértices e m número de arestas Logo, com Dijkstra temos O(mn log mn) Não reduz complexidade (necessariamente) mas interpretação vem ajudando desenvolver outros algoritmos