Modelos presa-predador:dinâmica e bifurcações

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA EDITH JANETH POTOSÍ ESTRADA Modelos presa-predador:dinâmica e bifurcações Goiânia 2019

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3 EDITH JANETH POTOSÍ ESTRADA Modelos presa-predador:dinâmica e bifurcações Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Sistemas Dinâmicos. Orientador: Prof. Dr. João Carlos da Rocha Medrado Co-Orientadora: Profa. Dra. Kamila da Silva Andrade Goiânia 2019

4 Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através do Programa de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG. Potosí Estrada, Edith Janeth Modelos presa-predador: dinâmica e bifurcações [manuscrito] / Edith Janeth Potosí Estrada CIII, 103 f.: il. Orientador: Prof. Dr. João Carlos da Rocha Medrado; co orientadora Dra. Kamila da Silva Andrade. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística (IME), Programa de Pós-Graduação em Matemática, Goiânia, Bibliografia. Inclui lista de figuras, lista de tabelas. 1. Sistemas dinâmicos. 2. Sistemas de Filippov. 3. Modelos presa predador. 4. Colheita do predador. 5. Análise de estabilidade. I. da Rocha Medrado, João Carlos, orient. II. Título. CDU

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7 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a). Edith Janeth Potosí Estrada Bacharela em Matemática pela Universidade del Cauca - Côlombia.

8 A meu pai: Juan de Dios Potosí

9 Agradecimentos Ao professor João Carlos da Rocha Medrado por me permitir fazer parte de seu grupo de trabalho. À professora Kamila da Silva Andrade pelo seu tempo, pelo seu conhecimento, pela sua paciência, pelo seu apoio e, acima de tudo, pela sua motivação. Ao professor Glaydston de Carvalho Bento. Ao professor Durval José Tonon e à professora Juliana F. Larrosa por aceitar o convite para fazer parte da banca para esta dissertação. A minha família, namorado e amigos. À CAPES pela bolsa de estudos, que me auxiliou muito no desenvolvimento do trabalho.

10 This night, thou, Earth! hast also stood unshaken, And now thou breathest new-refreshed before me, And now beginnest, all thy gladness granting, A vigorous resolution to restore me, To seek that highest life for which I m panting Johann Wolfgang von Goethe, Faust

11 Resumo Estrada, P. J. E.. Modelos presa-predador:dinâmica e bifurcações. Goiânia, p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás. Neste trabalho, estudamos algumas bifurcações clássicas de sistemas suaves e suaves por partes que aparecem naturalmente em sistemas presa-predador. Na parte teórica, estudamos as formas normais de cada bifurcação e fazemos uma descrição de seus diagramas de bifurcação. Na parte de aplicação estudamos três modelos presa-predador: o primeiro modelo é o modelo tradicional de Lotka-Volterra onde são mostradas as condições necessárias para a existência de pontos de equilíbrio e se estuda a existência de ciclos limite; o segundo modelo se destinge do primeiro porque tem colheita nãolinear na população de predadores. Neste caso a existência das bifurcações sela-nó, Hopf e Bogdanov-Takens. Além disso, realizamos algumas simulações numéricas para observar o efeito da variação dos parâmetros de colheita. Finalmente, para o terceiro modelo, que faz a mudança de um modelo para outro a partir de um limiar econômico, fazemos uma análise de estabilidade de acordo as curvas de bifurcação e uma experimentação numérica onde pode ser visualizada o surgimento das bifurcações sela, nó e foco no bordo. Palavras chave Sistemas dinâmicos, sistemas de Filippov, modelos presa-predador, colheita do predador, análise de estabilidade.

12 Abstract Estrada, P. J. E.. Predator-prey models: dynamics and bifurcations. Goiânia, p. MSc. Dissertation. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás. In this work we study some classic bifurcations of smooth and piecewise smooth systems that appear naturally in predator-prey systems. In the theoretical part, we study the normal forms of each bifurcation and make a description of its bifurcation diagrams. In the application part we study three predator-prey models, the first model is the traditional Lotka-Volterra model where the necessary conditions for the existence of equilibrium points are shown and the existence of limit cycles is studied; the second model differs from the first one because it has non-linear harvesting in the predator population and the existence of the bifurcations of the saddle-node, Hopf and Bogdanov-Takens is proved, as well as some numerical simulations to observe the effect of the variation of the harvest parameter; finally, the third model, which makes the change from one model to another from an economic threshold, we perform a stability analysis accordingly to the bifurcation curves and a numerical experiment where the emergence of the bifurcations can be visualized. Keywords Dynamic systems, Filippov systems, predator-prey models, harvesting of the predator, stability analysis.

13 Sumário Lista de Figuras 13 Lista de Tabelas 15 Introdução 15 1 Bifurcações em sistemas suaves Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s Equações diferenciais lineares EDO s não lineares Bifurcações Locais Bifurcação sela-nó Bifurcação de Hopf Bifurcação de Bogdanov-Takens 43 2 Modelos presa-predador: sistemas suaves Modelo 1: presa-predador sem colheita Modelo 2: presa-predador com colheita do predador Existência dos pontos de equilíbrio Estabilidade dos pontos de equilíbrio Bifurcações Experimentação numérica 74 3 Birfurcações em sistemas suaves por partes Conceitos básicos Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo Bifurcação sela no bordo Bifurcação nó no bordo Bifurcação foco no bordo 86 4 Modelo presa-predador: sistemas suaves por partes Modelo 3: presa-predador com colheita não contínua Dinâmica na região de deslize Estabilidade dos pontos de equilíbrio Experimentação numérica 98 Conclusão 100 Referências Bibliográficas 102

14 Lista de Figuras 1 Comportamento da solução x(t) = x 0 e kt da equação (0-1) Comportamento das soluções da equação (0-3) Ilustração da interação entre duas espécies considerando o modelo presa-predador Lotka-Volterra Retrato de fase de um ponto sela na origem Retrato de fase de um nó atrator na origem Retrato de fase de um foco estável na origem Retrato de fase de um centro na origem Diagrama de bifurcação do sistema (1-1) considerando o ponto de equilíbrio na origem e δ Sectores: hiperbólico, parabólico e elíptico Pontos de equilíbrio sela-nó e cúspide Diagrama de bifurcação sela-nó, x R Diagrama de bifurcação sela-nó, x R Diagrama de bifurcação de Hopf supercrítica Diagrama de bifurcação de Hopf subcrítica Diagrama de bifurcação do sistema (1-38): Bogdanov-Takens Retrato de fase do sistema (2-1) = 0,N = M2 4κβ 2 Kωr 2.3 Retrato de fase do sistema (2-4), para r = 0.8, κ = 0.7, α = 0.5, β = 0.6, K = 15 e ω = Bifurcação de Hopf supercrítica no parâmetro q H1 (K) = Bifurcação sela-nó no parâmetro q (K) = Diagrama de bifurcação do sistema (2-47) Classificação dos pontos de equilíbrio do sistema (2-4) Aumento da taxa de colheita no plano K q Estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema (2-4) quanto a taxa de colheita aumenta Região de Costura, Σ c

15 Lista de Figuras Região de Escape, Σ e Região de Deslize, Σ s Definição do campo vetorial deslizante Z s Exemplo de um ciclo deslizante A curva ẋ = 0 e Σ interceptam-se em P, indicando onde ocorre o ponto de equilíbrio para Z s. T é a interseção de ẏ = 0 e Σ, que é o ponto onde X + é tangente a Σ Posição das retas isóclinas para ilustrar os casos genéricos Diagrama de bifurcação para o caso SB Diagrama de bifurcação para o caso SB Diagrama de bifurcação para o caso SB Diagrama de bifurcação para o caso NB Diagrama de bifurcação para o caso NB Interseções entre γ e Σ Diagrama de bifurcação para o caso FB Diagrama de bifurcação para o caso FB Diagrama de bifurcação para o caso FB Diagrama de bifurcação para o caso FB Diagrama de bifurcação para o caso FB Diagrama de bifurcação do sistema suave por partes (4.1) Diagrama de bifurcação foco no bordo. 99

16 Lista de Tabelas 2.1 Classificação dos pontos de equilíbrio de acordo com o Teorema Classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema com colheita (2-4) Classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema suave por partes (4.1). 97

17 Introdução A evolução da interação entre espécies, o movimento de um pêndulo e muitos outros comportamentos na natureza podem ser estudados utilizando ferramentas da Teoria Qualitativa das Equações Diferencias, tais ferramentas nos permitem estudar as soluções das equações e o efeito de pequenas perturbações das condições iniciais sem encontrar explicitamente as soluções, veja por exemplo [13]. O desenvolvimento desta teoria foi iniciado no trabalho de Poincaré Mémoire sur les courbes définies par une équetion differentielle, de 1881, onde defendeu uma nova abordagem: as soluções devem ser objeto de uma análise qualitativa, utilizando as ferramentas geométricas e probabilísticas disponíveis, a qual deve ser complementada com um estudo numérico da equação diferencial. Desta forma, também podemos pensar que na natureza podem ocorrer sistemas estáveis e instáveis. No caso dos sistemas instáveis pode dar-se que seu comportamento é fortemente sensível a pequenas variações da lei de evolução onde, através da Teoria das Bifurcações, podemos explicar e prever estes fatos de maneira rigorosa, veja [16]. No âmbito da modelagem matemática, os modelos presa-predador se tornaram de grande relevância para o estudo das ciências como ecologia, biologia, economia, entre outras, veja [18], porque permitem descrever, explicar e, em alguns casos, prever comportamentos específicos entre a interação de duas espécies, ver [6]. Além disso, nos permitem investigar os possíveis efeitos da máxima produtividade sustentável (MSY: Maximum Sustainable Yield) na coexistência de espécies, pois na atualidade a superexploração de espécies e recursos está levando a um desequilíbrio ambiental e econômico ao mundo, veja [7]. Podemos entender na ecologia populacional, o rendimento máximo sustentável (MSY) teoricamente como o maior rendimento (ou captura) que pode ser obtido de um estoque de espécies por um período indefinido, maiores detalhes podem ser encontrados em [11]. Os primeiros ensaios sobre a formulação de modelos matemáticos para descrever a dinâmica de populações são datados dos séculos XVIII e XIX. Em 1798, Thomas Robert Malthus ( ) publicou a obra An essay on the principle of population, na qual assumia que a variação do crescimento de uma população era proporcional à população em cada instante, o que significava dizer que a população aumentava em crescimento exponencial no decorrer do tempo, veja [10]. Em termos das equações

18 17 diferencias suponha que x(t) é o número de indivíduos no tempo t e a taxa de natalidade e mortalidade constantes, denotadas por a e b, respectivamente. Então, a variação da população em relação ao tempo é igual a diferença da natalidade menos a mortalidade multiplicada pelo número de indivíduos, isto é descrito pela seguinte equação: dx = kx(t), (0-1) com k = a b. Além disso, dada uma condição inicial, x(0) = x 0, temos que a solução da equação (0-1) é dada por: x(t) = x 0 e kt. (0-2) A Figura 1 ilustra o comportamento da solução (0-2) segundo a seguinte análise: x a > b x 0 a = b a < b t Figura 1: Comportamento da solução x(t) = x 0 e kt da equação (0-1). Se a < b temos que a população aumenta indefinidamente quanto o tempo tende a infinito, isto é, lim x(t) =. t Se a = b a população permanece constante, ou seja, lim x(t) = x 0. t Se a > b temos que a população diminui até a extinção, isto é, lim x(t) = 0. t Mas o modelo tem várias suposições que fazem que seja idealizado e se afaste da realidade:

19 18 os recursos para a sobrevivência dos indivíduos da população x(t) são inesgotáveis e são distribuídos de forma homogênea; a população pode ser infinita. Assim, Pierre François Verhulst ( ), convencido de que o modelo de crescimento de Malthus não era adequado para explicar a dinâmicas de populações, elaborou considerações complementares às enunciações propostas por Malthus. Verhulst incorporou uma limitação ao modelo de modo a reduzir a taxa de crescimento e inibir o crescimento exponencial, veja [10]. Para isso propôs a existência de uma população limite K tal que o ambiente tem exatamente os recursos naturais para poder garantir seu crescimento e reprodução, que é chamada capacidade de suporte ou capacidade crítica. Além disso, observou também que a população tenderia a aumentar, quando o seu valor absoluto estava abaixo dessa capacidade crítica, e diminuir, quando o valor da população estivesse acima da capacidade crítica. Desta forma, considerando a função g(t) = r rx(t) K, temos que esta cumpre as seguintes condições: x(t) > K g(t) < 0, x(t) < K g(t) > 0. onde r é a taxa intrínseca de crescimento da população. Logo, a equação dx(t) ( = rx(t) 1 x(t) ) K (0-3) modela uma população onde a taxa de natalidade é proporcional à quantidade de recursos disponíveis. Dada uma condição inicial, x(0) = x 0, temos que a solução da equação (0-3) é dada por: K x(t) = 1 + Ae rt, (0-4) com A = x K 0 1. A Figura 2 ilustra o comportamento da solução (0-4) segundo a seguinte análise: Se x 0 < K temos que a população aumenta assintoticamente a K quando o tempo tende a infinito; se x 0 = K a população permanece constante; se x 0 > K temos que a população diminui assintoticamente a K quando o tempo tende a infinito. Desta forma, em todo caso lim x(t) = K. t

20 19 x x 0 > K K x 0 < K t Figura 2: Comportamento das soluções da equação (0-3). Os modelos de Malthus e Verhulst só consideravam uma população isolada. Então, em 1925 e 1926, Alfred Lotka ( ) e Vito Volterra ( ) propuseram um modelo de interação entre duas espécies, do qual emerge o modelo tradicional presapredador. Neste modelo, suponha que as populações da presa e do predador, sejam denotadas por x(t) e y(t), respectivamente, no instante t. Considera-se que na ausência do predador, y(t) = 0, a população de presas aumentará no caso que x(t) < K, e diminuirá no caso que x(t) > K, isto é, a população das presas, em ausência de predadores, pode ser modelada pela equação (0-3), onde r é a taxa de crescimento efetiva da população das presas na ausência de predadores. Considera-se, também, que o número de encontros entre as duas espécies é proporcional ao produto das populações de cada espécie, ou seja, x(t)y(t). Estes encontros tendem a inibir o crescimento da população de presas ou a promover o crescimento da população de predadores. Assim, a taxa de crescimento da população de presas, dx, é diminuída por um termo da forma βx(t)y(t) onde β é a taxa de decréscimo da população de presas devido ao encontros com predadores (taxa de captura), no caso da taxa de crescimento da população de predadores, dy, é aumentada por um termo da forma +κβx(t)y(t), onde κ é a eficiência de conversão de presas em predadores que mede a produção per capita de prole de predadores também como uma função da abundância de presas. Por outro lado, considera-se que na ausência de presas, x(t) = 0, acarretará a extinção da população de predadores, devido à falta de alimento, situação descrita por um termo da forma αy(t), onde α é taxa de mortalidade da população de predadores na ausência de presas. A interação entre as populações deste modelo é ilustrada na Figura 3. Portanto, o modelo tradicional presa-predador (denominado por modelo 1 neste

21 20 Figura 3: Ilustração da interação entre duas espécies considerando o modelo presa-predador Lotka-Volterra. trabalho), é descrito pelo seguinte sistema de equações diferenciais dx dy = rx(1 x K ) βxy, = κβxy αy, (0-5) com as condições iniciais x(0) = x 0 e y(0) = y 0 no conjunto de interesse biológico Ω = { (x,y) R 2 ; x > 0, y > 0 }, tendo as variáveis: x(t): número de presas no tempo t, y(t): número de predadores no tempo t, e os parâmetros: r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte, β: taxa de captação por predado,. κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador. Consideramos, ainda, as seguintes hipóteses: a população de presas crescerá limitada dependendo da quantidade da população de predadores, e da capacidade do ambiente para ajudar no crescimento e a reprodução da presa;

22 21 a população predadora só se alimenta da presa. Em uma busca por melhoria nos modelos afim de torná-los mais realistas, alguns pesquisadores examinaram a influência das estratégias de colheita na interação de diferentes espécies. Por exemplo, modelos de predadores e presas com regimes de colheita linear e constante foram considerados pelos pesquisadores, veja [4] e [5], dentre outros. No entanto, muito permanece desconhecido sobre o efeito da colheita não-linear ou saturada na dinâmica do modelo tradicional presa-predador. Assim, com o propósito de examinar se a colheita não linear de predadores pode-se induzir dinâmicas mais complicadas em um modelo tradicional presa-predador, em [21] é proposto um modelo com colheita do predador (denominado por modelo 2 neste trabalho), dado por onde dx dy = rx(1 x K ) βxy, = κβxy αy qy 1 + ωy, (0-6) qy 1+ωy : representa a colheita do predador (função de saturação), ω : constante adequada, q : taxa de colheita. Modelos de colheita contínua têm sido amplamente estudados, mas suas suposições são questionáveis, pois, independentemente da população do predador e presa, podem levar à extinção do predador ou da presa. Então, em [21] também é proposto um modelo (será denominado por modelo 3 neste trabalho) que aborda uma política de colheita realista sob a qual o desenvolvimento sustentável de duas espécies é alcançado, ou seja, está focado nos efeitos da colheita não-linear e uma política de limiar na coexistência do predador e da presa. Além disso, está focado em que tipos de novas dinâmicas e bifurcações ocorrerão quando o modelo tradicional for perturbado por um regime de colheita não linear e quando a política de limite for implementada. Este modelo é dado por: com dx dy = rx(1 x K ) βxy, (0-7) qy = κβxy αy ε 1 + ωy, ε = { 0, y < P 1, y > P, onde P é um parâmetro implementado com o fim de obter o rendimento máximo sustentável (MSY) da população dos predadores e que responde ao desenvolvimento sustentável,

23 22 ou seja, o parâmetro P é implementado com o fim de uma exploração ótima de recursos renováveis, neste caso da colheita de uma população de uma espécie dada. Assim, com a motivação de aprofundar no estudo da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais e poder visualizar sua relevância como ferramenta no estudo de outras ciências, o principal objetivo do trabalho é estudar algumas bifurcações clássicas para sistemas suaves e suaves por partes que aparecem naturalmente em sistemas presapredador. Baseamos este trabalho, principalmente, no artigo [21], onde os autores fazem o estudo do modelo 1, o modelo tradicional presa-predador, o modelo 2, que se diferencia do primeiro modelo pela presença de colheita do predador, e o modelo 3, que faz a mudança de um modelo para outro a partir de um parâmetro P considerado um limiar econômico que responde a necessidade de desenvolvimento sustentável que depende da população de predadores. Desta forma, neste trabalho estudamos e apresentamos brevemente formas normais de algumas bifurcações locais em sistemas suaves, a saber: nó-sela, Hopf e Bogdanov-Takens. Após isto, estudamos os modelos 1 e 2, que são suaves. Investigamos seus pontos de equilíbrio, a depender dos parâmetros, segundo existência, pertencimento à região de interesse biológico e existência de bifurcações locais. Para o modelo 1, são mostradas as condições necessárias para a existência de pontos de equilíbrio na região de interesse biológico e a existência de ciclos de limite é estudada. Para o modelo 2, é estudada a existência das bifurcações Hopf e sela-nó a partir do parâmetro de colheita em função do parâmetro K onde há um ponto de interseção entre as duas curvas de bifurcação e é provada nesse ponto a existência de uma cúspide. Além disso, para pontos em uma vizinhança provamos que existe uma bifurcação de Boddanov-Takens. Após isso, estudamos brevemente algumas bifurcações locais típicas em sistemas suaves por partes, mais particularmente, bifurcações de pontos de equilíbrio no bordo. Finalmente, estudamos o modelo 3 onde são discutidas a existência de pontos de equilíbrio, ciclos limite e de bifurcações. Observamos, ainda, que em todos os modelos fizemos análises numéricas similares às existentes em [21], com algumas informações e simulações adicionais. Este trabalho está organizado como segue. No Capítulo 1 apresentamos os conceitos básicos da teoria qualitativa e bifurcações locais. Mais especificamente, consideramos as bifurcações de codimensão 1, sela-nó e Hopf, e de codimensão dois, Bogdanov- Takens, apresentamos suas formas normais e uma descrição de seus diagramas de bifurcação. No Capítulo 2 fazemos uma análise da existência e da estabilidade dos pontos de equilíbrio dos modelos 1 e 2. Além disso, para o modelo 1, é provada a inexistência de ciclos limites através do critério de Dulac. Para o modelo 2 é feita uma análise de bifurcações onde é provada a existência das bifurcações sela-nó, Hopf e Bogdanov- Takens. Também, algumas simulações numéricas são feitas para observar o efeito da

24 23 variação do parâmetro de colheita. No Capítulo 3 estudamos sistemas suaves por partes de acordo com a convenção de Filippov, veja [9], e é feito um estudo sobre as bifurcações na variedade de transição de uma sela, nó e foco hiperbólico. Por último, no Capítulo 4, fazemos um estudo da dinâmica do modelo 3, uma análise de estabilidade de acordo as curvas de bifurcação e uma simulação numérica onde se pode ser visualizada o surgimento das bifurcações: sela, nó e foco no bordo.

25 Bifurcações em sistemas suaves CAPÍTULO 1 O estudo apresentado neste capítulo está dividido em duas seções, com a finalidade de estudar as propriedades das soluções das equações diferenciais ordinárias (EDO s). Na primeira seção faremos uma breve revisão sobre alguns conceitos básicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias para abordar com maior propriedade a segunda seção, onde estudaremos alguns tópicos da teoria das bifurcações. 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s Esta seção está dividida em duas subseções. Na primeira subseção trataremos conceitos relativos as equações diferenciais lineares e na segunda o estudo de equações diferenciais gerais Equações diferenciais lineares Faremos agora uma breve revisão de alguns conceitos básicos de equações diferenciais lineares, pois o conhecimento delas é importante para o estudo local de equações não lineares. Definição 1 Um sistema linear homogêneo em equações diferenciais é dado por: ẋ = Ax (1-1) onde x R n, A é uma matriz n n e ẋ = dx = dx 1. dx 2.

26 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 25 Teorema 1 Sejam A uma matriz n n e x 0 R n. Então a aplicação x(t) = e At x 0 é a única solução do problema de valor inicial Onde { ẋ = Ax x(0) = x 0. e At = Para mais detalhes veja a página 12 de [19]. t k A k k=0 k!. Definição 2 Um ponto x 0 R n é dito ponto de equilíbrio do sistema (1-1) se Ax = 0. Observação 1 Uma matriz A é semelhante a uma matriz B, se existe uma matriz inversível P tal que P 1 AP = B, então o sistema linear ẋ = Ax é transformado no sistema ẋ = Bx pela mudança de coordenadas x = Py. O retrato de fase de um sistema de equações diferenciais como (1-1) com x R n é o conjunto de todas as curvas de solução de (1-1) no espaço de R n. Tendo em conta a observação 1 temos as seguintes definições. Definição 3 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 2, se diz que tem um ponto sela na origem, se a matriz A é semelhante à matriz B = ( λ 0 0 µ ) com λ < 0 < µ, e seu retrato de fase é equivalente ao retrato de fase apresentado na Figura 1.1 Figura 1.1: Retrato de fase de um ponto sela na origem.

27 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 26 Definição 4 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 2, se diz que tem um ponto nó estável na origem (resp. nó instável ), se a matriz A é semelhante à matriz ( ) λ 0 B 1 = com λ µ < 0 (resp. 0 < λ µ) ou 0 µ B 2 = ( λ 1 0 λ ) com λ < 0 (resp. λ > 0), e seu retrato de fase é equivalente a um dos apresentados na Figura 1.2. (a) Associado à matriz B 1. (b) Associado à matriz B 1. (c) Associado à matriz B 2. Figura 1.2: Retrato de fase de um nó atrator na origem. Definição 5 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 2, se diz que tem um foco estável (resp. foco instável) na origem, se a matriz A é semelhante à matriz ( ) a b B = com a < 0 (resp. a > 0) b a e seu retrato de fase é equivalente ao retrato de fase a um dos apresentados na Figura 1.3.

28 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 27 (a) b > 0. (b) b < 0. Figura 1.3: Retrato de fase de um foco estável na origem. Observações 1 na Definição 4, a estabilidade do ponto nó é determinada pelo sinal dos valores próprios da matriz associada; estável se λ µ < 0, e instável se λ 0 > µ. O diagrama de fase de um nó instável é semelhante à Figura 1.2 com a diferença que a direção de percurso de todas as trajetórias muda simultaneamente de sentido; na Definição 5, se a > 0 as trajetórias em espiral se afastam da origem a medida que aumenta o tempo e a origem se denomina um foco instável; Um nó ou um foco estável pode ser chamado também nó ou foco atrator, analogamente, um nó ou um foco instável é chamado um um nó ou um foco repulsor. Definição 6 Para o sistema linear (1-1), com A uma matriz 2 2, se diz que tem um centro na origem, se a matriz A é semelhante à matriz ( ) 0 b B = b 0 e seu retrato de fase é linearmente equivalente ao retrato de fase de algum dos retratos de fase apresentados na Figura 1.4. (a) b > 0. (b) b < 0. Figura 1.4: Retrato de fase de um centro na origem.

29 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 28 O teorema a seguir permite classificar o comportamento das soluções do sistema (1-1) próximo a um ponto de equilíbrio, quando o sistema (1-1) é planar, isto é, um sistema definido em R 2. Teorema 2 Seja x 0 um ponto singular do sistema (1-1), e sejam A uma matriz 2 2, com determinante e traço δ e τ respectivamente, então (a) Se δ < 0, o sistema (1-1) tem um sela em x 0. (b) Se δ > 0 e τ 2 4δ 0, o sistema (1-1) tem um nó em x 0 e é atrator se τ < 0, e repulsor se τ > 0. (c) Se δ > 0 e τ 2 4δ < 0, e τ 0, o sistema (1-1) tem um foco em x 0, e é atrator se τ < 0, e repulsor se τ > 0. (d) Se δ > 0 e τ = 0, o sistema (1-1) tem um centro em x 0. (e) nos outros casos o sistema (1-1) não possui pontos de equilíbrio isolados. Prova. A demonstração deste teorema pode ser encontrada na página 25 de [19]. Este resultado está ilustrado na Figura 1.5. δ τ Figura 1.5: Diagrama de bifurcação do sistema (1-1) considerando o ponto de equilíbrio na origem e δ 0.

30 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s EDO s não lineares No que segue estudaremos sistemas de equações diferenciais autônomas, ou seja, que não dependem explicitamente do tempo. Além disso, estamos interessados no estudo qualitativo de sistemas de equações não lineares, pois o estudo para determinar seu retrato de fase é de grande relevância, já que na maioria das vezes não é possível encontrar explicitamente suas soluções. Definição 7 Seja U um subconjunto aberto do plano Euclidiano R n. Um campo vetorial de classe C k, 1 k, em U é uma aplicação F : U R n de classe C k. Ao campo vetorial F associamos a equação diferencial ẋ = F(x) (1-2) Definição 8 Uma solução para o sistema (1-2) é uma aplicação diferenciável ϕ : I U, com x U, tal que: dϕ (t) = F(ϕ(t)) (1-3) para todo t I, estas soluções são chamadas trajetórias ou curvas integrais de F ou do sistema (1-2). Definição 9 Um ponto x 0 U é dito ponto de equilíbrio do sistema (1-2) se F(x 0 ) = 0 e ponto regular do sistema (1-2) se F(x 0 ) 0. Considerando I p o intervalo de existência da solução ϕ(t) através de p, temos a seguinte definição. Definição 10 O conjunto γ p = {ϕ(t, p),t I p }, isto é, a imagem da curva integral de F pelo ponto p, chama-se órbita de (1-2) pelo ponto p. Definição 11 O conjunto aberto U, munido da decomposição em órbitas de F, chama-se retrato de fase do sistema (1-2). Definição 12 Seja x 0 um ponto de equilíbrio do sistema (1-2) a) O sistema linear (1-1) com a matriz A = DF(x 0 ) é chamado de linearização de (1-2) em x 0. b) O ponto x 0 é chamado um ponto de equilíbrio hiperbólico de (1-2) se nenhum dos valores próprios da matriz DF(x 0 ) tem parte real nula. Considere o seguinte sistema de equações com condição inicial { ẋ = F(x) x(0) = x 0. (1-4)

31 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 30 Definição 13 Seja U um subconjunto aberto de R n e seja F C 1 (U). Para p U, seja φ(t, p) a solução do sistema (1-4) definido no intervalo I p. Então, para t I p, o conjunto de aplicações φ t definido por φ t (p) = φ(t, p) (1-5) é chamado o fluxo da equação diferencial (1-2) ou o fluxo definido pela equação diferencial (1-2) ; φ t, também é referido como o fluxo do campo vetorial F(x). A seguinte definição é de grande relevância porque, construindo um homeomorfismo, é possível estudar as propriedades de soluções de um sistema de equações diferenciais difícil através de um sistema mais simples. Definição 14 Sejam ϕ 1 : D 1 R n e ϕ 2 : D 2 R n os fluxos gerados pelos campos F 1 : U 1 R n, e F 2 : U 2 R n, respectivamente. Diz-se que F 1 é topologicamente conjugado a F 2 quando existe um homeomorfismo H : U 1 U 2 tal que H(ϕ 1 (t,x)) = ϕ 2 (t,h(x)) (1-6) para todo (t,x) D 1. Onde D i = U i xi, com U i é um aberto de R n e I um intervalo de R. O teorema a seguir nos permite estudar o comportamento das trajetórias de um sistema não linear próximo a um ponto singular hiperbólico através de sua linearização. Teorema 3 ( Hartman-Grobman) Seja U um subconjunto aberto do R n contendo a origem e F C 2 (U). Considere φ t o fluxo do sistema não linear ẋ = F(x) com x R n. Suponha que F(x 0 ) = 0 e que a matriz A = DF(x 0 ) não tem autovalores com parte real nula. Então existe um homeomorfismo H de um subconjunto aberto Ũ de x 0 em um subconjunto aberto Ṽ contendo a origem tal que para cada x 0 Ū existe um intervalo aberto I(x 0 ) R contendo a origem tal que para todo x 0 Ū e t I(x 0 ) Prova. Veja página 120 de [19]. H φ t (x 0 ) = e At H(x 0 ) Pelas Definições 10 e 13 temos que γ e φ(t,x) são conjuntos, então para a seguinte definição vamos considerar que dado A e B conjuntos temos que d(a,b) = inf x y. (1-7) x A,y B

32 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 31 Definição 15 Uma órbita periódica de (1-2) é qualquer curva solução fechada de (1-2) que não seja um ponto de equilíbrio de (1-2). Uma órbita periódica γ é chamada de estável (ou atratora) se para cada ε > 0 existe uma vizinhança U de γ tal que para todo x U e t 0, d(φ(t,x),γ) < ε. Uma órbita periódica γ é chamada de instável (ou repulsora) se não é estável. Definição 16 Sejam U um aberto de R 2 e F : U R 2 um campo vetorial de classe C 1. Uma órbita periódica γ de F chama-se ciclo limite se existe una vizinhança V de γ tal que γ é a única órbita fechada de F que intercepta V. Para o seguinte teorema podemos pensar que uma região simples conexa é uma região que não possui buracos; todas as curvas fechadas podem ser reduzidas a um ponto sem passar por pontos no complemento da região. Teorema 4 (Critério de Dulac) Seja f C 1 (E), onde E é uma região simples conexa em R 2. Se existe uma função B C 1 (E) tal que o (B f ) não é identicamente nulo e não muda de sinal em E, então (1-2) não tem uma órbita fechada contida inteiramente em E. Prova. A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [19]. Definição 17 Um setor que é topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(a) é chamado um setor hiperbólico. Um setor topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(b) é chamado um setor parabólico. Finalmente, um setor topologicamente equivalente ao setor mostrado na Figura 1.6-(c) é chamado um setor elíptico. (a) Um sector hiperbólico. (b) Um sector parabólico. (c) Um sector elíptico Figura 1.6: Sectores: hiperbólico, parabólico e elíptico.

33 1.1 Conceitos preliminares da Teoria Qualitativa das EDO s 32 Suponhamos que existe uma vizinhança U da origem tal que o único ponto de equilíbrio do sistema planar dx dy = P(x, y) = Q(x,y). (1-8) em U é a origem, ou seja, a origem é um equilíbrio isolado de (1-9), onde P e Q são analíticas em alguma vizinhança da origem. Apresentaremos alguns resultados estabelecidos para o caso em que a matriz associada à parte linear A = D f (0) possui um ou dois autovalores nulos, mas A não é uma matriz nula. Um ponto sela-nó é um ponto de equilíbrio do tipo não hiperbólico para o sistema planar (1-8) que consiste de dois setores hiperbólicos e um setor parabólico, bem como as três separatrizes e o ponto de equilíbrio, ver Figura 1.7-(a). Um outro tipo de comportamento que pode ocorrer em um ponto de equilíbrio não hiperbólico, ilustrado na Figura 1.7-(b), consiste de dois setores hiperbólicos e duas separatrizes. Este ponto de equilíbrio é chamado uma cúspide. (a) Ponto sela-nó. (b) Ponto cúspide. Figura 1.7: Pontos de equilíbrio sela-nó e cúspide. Agora, consideramos o caso em que a matriz A possui dois autovalores nulos, ou seja, deta = 0 e tra = 0 mas A 0. Neste caso, é mostrado em [2] que o sistema (1-9), próximo da origem, pode ser escrito na forma normal dx dy = y = a k x k (1 + h(x)) + b n x n y(1 + g(x)) + y 2 r(x,y). (1-9) onde h(x), g(x) e R(x,y) são funções analíticas numa vizinhança da origem, tais que h(0) = g(0) = 0, a k 0 e n 0. Temos o seguinte teorema.

34 1.2 Bifurcações Locais 33 Teorema 5 Seja k = 2m, com m 1, na forma normal (1-7). Então a origem do sistema (1-5) é a) Uma cúspide se b n = 0 ou se b n 0 e n m. b) Um ponto sela-nó se b n 0 e n < m. Prova. Veja páginas de [2]. 1.2 Bifurcações Locais Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias dependendo de um o mais parâmetros ẋ = f (x,α), x R n ; α R m (1-10) com n = 1,2 e m = 1,2. Se o parâmetro α é perturbado ligeiramente próximo de α 0 e a estrutura topológica do retrato de fase de (1 10) permanece inalterada; então α 0 é chamado de valor regular do parâmetro α e o sistema (1 10) é chamado estruturalmente estável em relação às perturbações de α. Se, para perturbações arbitrariamente pequenas α próximo a α 0, a estrutura topológica do retrato de fase para o sistema (1 10) é alterada, então dizemos que α 0 é um valor de bifurcação e a mudança na estrutura topológica é chamada de bifurcação. Neste sentido a teoria das bifurcações estuda como o retrato de fase do sistema (1-10) muda quando o parâmetro α varia, fazendo perturbações arbitrariamente pequenas e observar fenômenos de bifurcação. Assim, nesta seção estamos interessados em estudar bifurcações locais que são analisadas completamente por mudanças nas propriedades de estabilidade de seus pontos de equilíbrio. Além disso, observar fenômenos de bifurcação como surgimento ou desaparecimento de pontos singulares e ciclos limite Bifurcação sela-nó A bifurcação sela-nó é caracterizada pela presença, no valor de bifurcação, de um ponto de equilíbrio com um autovalor zero e os demais com parte real diferente de zero, além do surgimento ou desaparecimento de pontos de equilíbrio quando o parâmetro é perturbado. No exemplo a seguir, estudamos a forma normal da bifurcação sela-nó, isto é, um sistema de equações mais simples de analisar que satisfaz as mesmas propriedades qualitativas que um sistema que apresenta este tipo de bifurcação.

35 1.2 Bifurcações Locais 34 Exemplo 1 (A forma normal da bifurcação sela-nó, x R) Considere o seguinte sistema unidimensional, dependendo de um parâmetro: ẋ = α + x 2 = f (x,α). (1-11) Em α = 0 este sistema tem um equilíbrio não-hiperbólico x 0 = 0. Na Figura 1.8 podemos observar o comportamento do sistema (1-11) quando perturbamos o parâmetro α. y y y y = f (x,α) y = f (x,α) y = f (x,α) x 2 x1 x x 0 x x α < 0 α = 0 α > 0 Figura 1.8: Diagrama de bifurcação sela-nó, x R. Para α < 0 existem dois equilíbrios no sistema: x 1,2 (α) = ± α, o esquerdo o qual é estável, enquanto o direito é instável. Para α > 0 não existem equilíbrios no sistema. Enquanto α passa por α 0 = 0, de negativo para positivo, os dois equilíbrios (estável e instável) colidem, formando em α = 0 um equilíbrio com autovalor λ = 0, e desaparecem. Para mais detalhes sobre essa bifurcação veja a página 81 de [16]. O teorema a seguir caracteriza as condições dos sistemas que apresentam a bifurcação sela-nó em R. Teorema 6 Suponha que um sistema unidimensional ẋ = f (x,α) x R; α R, (1-12) com f suave, tem em α = 0 o equilíbrio x = 0, e seja λ = f x (0,0) = 0. Suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas: (A.1) f xx (0,0) 0, (A.2) f α (0,0) 0. Então há uma mudança de coordenadas invertíveis e de parâmetros que transformam o sistema (1-12) em η = β ± η 2 + O(η 3 ).

36 1.2 Bifurcações Locais 35 Para um ponto de equilíbrio x 0 do sistema (1-12), tal que D f (x 0 ) tem associado um autovalor λ 1 = 0 e um autovalor λ 2 < 0, existe a variedade central Wα c que para os valores de α suficientemente pequenos é possível restringir o sistemar (1-10) a Wα. c Ademais, a variedade Wα c pode ser representada por um sistema suave da forma ẋ = Φ(x,α) (1-13) que, expandindo em série de Taylor para α = 0, é equivalente ao sistema ẋ = ax 2 + O(x 3 ). (1-14) Além disso, se a 0 o sistema (1-14) atende às condições do Teorema 6, portanto pode ser escrito como ẋ = α + σx 2 + O(x 3 ). (1-15) Assim, com estes conceitos e esta notação, temos o seguinte resultado. Teorema 7 (A forma normal da bifurcação sela-nó, x R 2 ) Suponha que um sistema bidimensional ẋ = f (x,α) x R 2 ; α R, (1-16) com f suave, tem em α = 0 o equilíbrio x 0 = 0, com um autovalor λ 1 = 0 e um autovalor λ 2 0. Então, se a 0 o sistema (1-16) é localmente topologicamente equivalente ao sistema { x = α + σ x 2 ẏ = ỹ, (1-17) com σ = ±1. O diagrama de fase do campo vetorial 7 quando σ = 1 é dado na Figura 1.9. Para mais detalhes dessa forma normal veja as páginas de [16] Bifurcação de Hopf A bifurcação de Hopf está relacionada com o aparecimento ou desaparecimento de um ciclo limite. Também é caracterizada pelo fato de que variando o parâmetro de bifurcação o ponto de equilíbrio do sistema bidimensional (1-10) possui dois autovalores imaginários puros. Uma das condições necessárias para a existência de uma órbita periódica na bifurcação de Hopf para um valor α, é verificar que os autovalores imaginários puros λ 1,2 cruzem

37 1.2 Bifurcações Locais 36 (a) α < 0 (b) α = 0 (c) α > 0 Figura 1.9: Diagrama de bifurcação sela-nó, x R 2 o eixo imaginário com uma velocidade não nula, o qual pode ser visualizado de uma maneira melhor no seguinte teorema. Teorema 8 Seja ẋ = f (x,α) = A(α)x + F(x,α) de classe C k, com k > 2, um campo vetorial que depende de um parâmetro escalar α tal que F(α,0) = 0 e D x F(α,0) = 0 para todo α suficientemente pequeno. Suponha que a parte linear A(α) tem, na origem, autovalores próprios λ 1,2 = η(α) ± iβ(α) com η(0) = 0 e β(0) 0. Além disso, suponha que dη (0) 0 (1-18) dα Então, em qualquer U R 2 vizinhança da origem e dado qualquer α 0 > 0 existe um α com α < α 0 tal que a equação diferencial ẋ = f (x, α) = A( α)x + F(x, α) (1-19) tem uma órbita periódica não trivial em U. Prova. Veja página 344 de [15].

38 1.2 Bifurcações Locais 37 Uma segunda condição na bifurcação de Hopf que nos permite estudar a estabilidade da órbita periódica que aparece ou desaparece, é dada em termos do primeiro coeficiente de Lyapunov, tal que se consideramos um sistema planar da forma { ẋ = αx y + p(x,y) ẏ = x + αy + q(x,y) onde p(x,y) e q(x,y) são funções analíticas definidas como p(x,y) = a i j x i y j =(a 20 x 2 + a 11 xy + a 02 y 2 ) i+ j 2 + (a 30 x 3 + a 21 x 2 y + a 12 xy 2 + a 03 y 3 ) +... q(x,y) = b i j x i y j =(b 20 x 2 + b 11 xy + b 02 y 2 ) i+ j 2 + (b 30 x 3 + b 21 x 2 y + a 12 xy 2 + a 03 y 3 ) +... (1-20) Denotamos o coeficiente de Lyapunov por l 1, para achar l 1 temos em conta [19] e [3]. Seja P(s) a aplicação de Poincaré para um foco na origem de um sistema planar analítico (1-20) com b 0 e suponha que P(s) está definida para 0 < s < δ 0. Então temos a definição a seguir. Definição 18 Seja a função d(s) = P(s) s, o valor da i-ésima derivada da função d(s) na singularidade, isto é, d (i) (0), é chamado o i-ésimo valor focal do foco na singularidade. Lema 1 Se existe k tal que então k é um numero ímpar. d (0) = 0, d (0) = 0,..., d (k 1) (0) = 0, d k (0) 0 (1-21) Prova. Veja a página 243 de [3]. Definição 19 Se as condições de (1-21) são satisfeitas, e k = 2m+1, m > 0, dizemos que o foco na origem é um foco de multiplicidade m. Aplicando série de Maclaurin à função d(s) e com a condição (1-21) temos d(s) = d(k) (0) s k. k! Então, se k = 2m + 1 1, o foco é estável quando d (k) (0) < 0 e instável quando d (k) (0) > 0.

39 1.2 Bifurcações Locais 38 Tendo em conta o sistema (1-20) quando α = 0, e o sistema em coordenadas polares é dado por dρ = R(ρ,θ). (1-22) dθ A função R(ρ,θ) pode se expressar então em uma série de potências da seguinte forma R(ρ,θ) = R 1 (θ)ρ + R 2 (θ)ρ , (1-23) Esta série é convergente para algum r 1 e para todo 0 θ 2π. A função solução do sistema (1-22) definida como segue ρ = f (θ;0,ρ 0 ), satisfaz a condição inicial f (0;0,θ 0 ) = ρ 0, onde é também uma função analítica. Desta forma podemos estender a solução anterior em termos do valor inicial ρ 0 ρ = f (θ;0,ρ 0 ) = u 1 (θ)ρ 0 + u 2 ρ (1-24) Pelo anterior temos que u 1 (0) = 1, u 2 (0) = u 3 (0) =... = 0, (1-25) trocando a expansão (1-24) na variável ρ da expressão (1-23) temos a relação u 1 (θ) = R 1(θ)u 2 (θ), u 2 (θ) = R 1u 2 (θ) + R 2 (θ)u 3 1 (θ), u 3 (θ) = R 1u 3 (θ) + 2R 2 (θ)u 1 (θ)u 2 (θ) + R 3 (θ)u 2 1 (θ).... (1-26) Por outro lado sejam p(x,y) e q(x,y) de (1-20) como p(x,y) = P 1 (x,y) + P 2 (x,y) +... e q(x,y) = Q 1 (x,y) + Q 2 (x,y) +... onde P i (x,y) e Q i (x,y) são polinômios homogêneos de i-ésimo grau. Assim, da equação (1-22) podemos fazer R(ρ,θ) = m=2 ρm u m (cos(θ),sen(θ)) 1 + m=2 ρm 1 v m (cos(θ),sen(θ) (1-27)

40 1.2 Bifurcações Locais 39 onde u m (cos(θ),sen(θ)) = P m (cos(θ),sen(θ))cos(θ) + Q m (cos(θ),sen(θ))sen(θ), e v m (cos(θ),sen(θ)) = Q m (cos(θ),sen(θ))cos(θ) P m (cos(θ),sen(θ))sen(θ) Agora, fazendo iguais as equações (1-23) e (1-27) temos o seguinte sistema de equações u 2 = R 2, u 3 = R 3 + R 2 v 2, u 4 = R 4 + R 3 v R 2 v 3,... e, em consequência, R 2 = u 2, R 3 = u 3 R 2 v 2, R 4 = u 4 R 3 v 2 + R 2 v (1-28) Dessa forma, trocando (1-28) em (1-26) temos as soluções de u i (2π) = α i e com isso d i (0) = i!α i. Particularmente, como nosso foco é de multiplicidade 1 basta calcular d (0) = 3!α 3, isto é fazendo P 2 (x,y) = a 20 x 2 + a 11 xy + a 02 y 2, P 3 (x,y) = a 30 x 3 + a 21 x 2 y + a 21 xy 2 + a 03 y 3, Q 2 (x,y) = b 20 x 2 + b 11 xy + b 02 y 2, Q 3 (x,y) = b 30 x 3 + b 21 x 2 y + b 21 xy 2 + b 03 y 3, podemos encontrar, pelo processo acima, que Portanto, α 3 = π 4 [3(a 30 + b 03 ) + (a 12 + b 21 ) 2(a 20 b 20 a 02 b 02 ) + a 11 (a 02 + a 20 ) b 11 (b 02 + b 20 )]. l 1 = d (0) = 3!α 3 = 3π 2 [3(a 30 + b 03 ) + (a 12 + b 21 ) 2(a 20 b 20 a 02 b 02 ) + a 11 (a 02 + a 20 ) b 11 (b 02 + b 20 )]. (1-29) O teorema a seguir mostra a relação entre o número de Lyapunov e a bifurcação de Hopf. Teorema 9 Se l 1 0, então uma bifurcação de Hopf acontece no ponto de equilíbrio 0 = (0,0) do sistema (1-20) no valor α = 0; em particular, se l 1 < 0 então um único ciclo

41 1.2 Bifurcações Locais 40 limite estável bifurca o equilíbrio 0, isto enquanto α acresce do zero; e se l 1 > 0, então um único ciclo limite instável bifurca o ponto 0, isto enquanto α decresce a partir de zero. Prova. Veja as páginas de [3]. Observações 2 i) Se l 1 < 0 então o sistema (1-20) apresenta uma bifurcação de Hopf frequentemente chamada bifurcação de Hopf supercrítica porque o ciclo limite é estável e existe para valores maiores do parâmetro α ( após a bifurcação). ii) Se l 1 > 0 então o sistema (1-20) apresenta uma bifurcação de Hopf frequentemente chamada bifurcação de Hopf subcrítica porque o ciclo limite é instável e existe para valores menores do parâmetro α ( antes da bifurcação). No exemplo a seguir, estudamos a forma normal da bifurcação de Hopf para analisar o comportamento qualitativo de seu diagrama de bifurcação. Exemplo 2 (A forma normal da bifurcação de Hopf) Considere o seguinte sistema de duas equações diferenciais dependendo de um parâmetro: { ẋ = αx y x(x 2 + y 2 ) ẏ = x + αy y(x 2 + y 2 ) (1-30) com α R, que também pode ser escrito como: (ẋ ) = ẏ ( α ) (x ) ( ) 1 x (x 2 + y 2 ) = F(x,α). (1-31) 1 α y y Este sistema possui um único ponto de equilíbrio na origem 0 = (0,0) para todo α com a matriz Jacobiana: A = D x F(0,α) = ( α 1 α ) 1 (1-32) Os autovalores da matriz A são λ 1,2 = α±i, portanto a origem é um foco atrator se α < 0 e um foco repulsor se α > 0. Quando α = 0 temos autovalores imaginários puros. A mudança do retrato de fase do sistema (1-30) conforme o parâmetro α passa pelo valor zero pode ser analisada usando coordenadas polares (x = rcos(θ), y = rsen(θ)), pois leva o sistema (1-30) a um sistema de equações desacopladas, dado por { ṙ = r(α r 2 ) θ = 1 (1-33)

42 1.2 Bifurcações Locais 41 Considerando r 0 a primeira equação tem dois pontos de equilíbrio, em r = 0 para todos os valores de α, e em r = α para α > 0. O equilíbrio r = 0 é linearmente estável se α < 0; ele permanece estável em α = 0, mas não linearmente porque não é um ponto de equilíbrio hiperbólico; para α > 0 o equilíbrio torna-se linearmente instável. O equilíbrio r = α para α > 0 é linearmente estável. A segunda equação descreve uma rotação com velocidade constante. Na Figura 1.10 se ilustra o diagrama de bifurcação para o sistema (1-30). (a) α < 0 (b) α = 0 (c) α > 0 Figura 1.10: Diagrama de bifurcação de Hopf supercrítica. No valor do parâmetro crítico α = 0 o equilíbrio 0 não é linearmente estável e topologicamente equivalente ao que é conhecido como foco fraco. Este equilíbrio é circundado para α > 0 por uma órbita fechada isolada (ciclo limite) que é única e estável. O ciclo é um círculo de raio r = α e centro na origem. Todas as órbitas que começam fora ou dentro do ciclo, exceto na origem, tendem ao ciclo quando t, pois para o equilíbrio 0 quando α > 0, se r > α temos que ṙ < 0, e quando 0 < r < α temos ṙ > 0. No caso do sistema { ẋ = αx y + x(x 2 + y 2 ) ẏ = x + αy + y(x 2 + y 2 (1-34) )

43 1.2 Bifurcações Locais 42 pode ser analisado da mesma maneira que o sistema (1-30), fazendo uma mudança para coordenadas polares. Neste caso, a diferença do sistema (1-30) existe um ciclo limite instável, que desaparece quando α cruza o valor zero de valores negativos para positivos. O equilíbrio na origem tem a mesma estabilidade para α = 0 como no sistema (1-30), é um foco atrator para α < 0 e um foco repulsor para α > 0. A estabilidade do equilíbrio 0 em α = 0 é oposta àquela em (1-30): não é linearmente instável no parâmetro crítico. (a) α < 0 (b) α = 0 (c) α > 0 Figura 1.11: Diagrama de bifurcação de Hopf subcrítica. Esta bifurcação também é chamada de Andronov-Hopf, [16]. No seguinte teorema, descrevemos as condições necessárias para que um sistema planar qualquer tenha um comportamento qualitativo equivalente à forma normal estudada. Teorema 10 Suponha que um sistema bidimensional ẋ = f (x,α), x R 2 ; α R, (1-35) com f suave, tem para todo α suficientemente pequeno o equilíbrio x = 0 com autovalores λ 1,2 = η(α) ± iβ(α), onde η(0) = 0 e β(0) = β 0 > 0. Se as seguintes condições são satisfeitas:

44 1.2 Bifurcações Locais 43 (A.1) η (0) 0, (A.2) l 1 (0) 0, onde l 1 é o primeiro coeficiente de Lyapunov. Então, existem mudanças de coordenadas, parâmetros invertíveis e uma reparametrização de tempo que transformam o sistema (1-35) em ( ) ( ) ( ) ( ) d x α 1 x x = ± ( x 2 + ỹ 2 ) + O( ( x,ỹ) 4 ). (1-36) dτ ỹ 1 α ỹ ỹ Prova. Veja página 100 de [16] Bifurcação de Bogdanov-Takens Considere o sistema planar ẋ = f (x,α), x R 2 ; α R 2, (1-37) onde f é suave, suponha que o sistema (1-37) em α = 0 tem um ponto de equilíbrio x = 0 com dois autovalores nulos, λ 1,2 = 0. Exemplo 3 (A forma normal da bifurcação de Bogdanov-Takens ) Consideremos o seguinte sistema { ẋ = y, ẏ = µ 1 + µ 2 x + x 2 ± xy. (1-38) A fim de determinar os vários tipos de comportamentos dinâmicos que ocorrem para o sistema (1-38), vamos começar determinando a localização e natureza dos pontos de equilíbrio. Vamos estudar as bifurcações locais que surgem no sistema (1-38) a partir de seus pontos de equilíbrio. Temos que quaisquer equilíbrios do sistema (1-38) estão localizados no eixo horizontal, y = 0, e satisfazem a equação µ 1 + µ 2 x + x 2 = 0. (1-39) A equação (1-39) pode ter entre zero e duas raízes reais, depende de seu discriminante dado por: = µ 2 2 4µ 1. No caso de > 0 as duas raízes são dadas por: x 1 = µ 2 2 e x 2 = µ

45 1.2 Bifurcações Locais 44 Note que para µ 1 = µ 2 = 0, = 0, portanto a equação (1-39) tem uma única raíz em x = 0, e o sistema (1-38) tem um ponto de equilíbrio não hiperbólico na origem E 0 = (0,0), e segue que o sistema (1-38) tem uma cúspide na origem. Para µ 1 > 0 e µ 2 > 0, a curva T + = {(µ 1,µ 2 ) R 2 : µ 2 = 2 µ 1 } (1-40) corresponde aos pontos onde se tem bifurcações do tipo sela-nó. Pois para (µ 1,µ 2 ) T + temos que = 0 e a equação (1-39) tem uma única raiz em x = µ 2 2, e o sistema (1-38) ( ) µ2 tem um ponto de equilíbrio E = 2,0 com um autovalor zero, λ 1 = 0, e outro autovalor diferente de zero, λ 2 = µ 2. Além disso, se µ 2 > 2 µ 1 temos que > 0, e o sistema (1-38) tem dois pontos de equilíbrio, E 1 = (x 1,0) que é um nó estável, e E 2 = (x 2,0) que é um ponto sela. No caso µ 2 < 2 µ 1, < 0, portanto não temos pontos de equilíbrio. Para µ 1 > 0 e µ 2 < 0, a curva corresponde aos pontos onde se tem bifurcações do tipo sela-nó. Fazemos uma análise análoga a anterior, para (µ 1,µ 2 ) T o sistema (1-38) tem um ponto de equilíbrio E com um autovalor zero e outro autovalor diferente de zero. Além disso, se µ 2 < 2 µ 1 o sistema (1-38) tem dois pontos de equilíbrio, E 1 = (x 1,0) que é um nó instável, e E 2 = (x 2,0) que é um ponto sela. No caso µ 2 > 2 µ 1 temos pontos de equilíbrio. Para µ 1 = 0 e µ 2 < 0 temos dois pontos de equilíbrio, E 1 = (0,0) que tem dois autovalores imaginários puros λ 1,2 = ± µ 2 i, e E 2 = ( µ 2,0) que é um ponto sela. Portanto, na curva H = {(µ 1,µ 2 ) R 2 : µ 1 = 0 e µ 2 < 0} (1-41) há um bifurcação de Hopf. Calculando o primeiro coeficiente de Lyapunov, temos que l 1 < 0, então temos uma bifurcação supercrítica no ponto de equilíbrio E 1 = (0,0), onde o ciclo limite é estável. O ponto E 2 permanece como um sela para todos os parâmetros à esquerda da curva T e não se bifurca até cruzar a curva T +. Não há outras bifurcações locais na dinâmica do sistema (1-38). Faça uma viagem de ida e volta perto do ponto Bogdanov-Takens (µ 1,µ 2 ) = (0,0) a partir da região 1 onde não há pontos de equilíbrio e portanto nenhum ciclo limite é possível. Passando da região 1 à região 2, através da curva de bifurcação sela-nó T produz dois equilíbrios: uma sela e um nó estável. Então, o nó se transforma em foco e perde a estabilidade quando cruzamos a bifurcação de Hopf na curva H. Se continuarmos a jornada no sentido horário e finalmente retornarmos à região 1, nenhum ciclo limite deverá permanecer. Portanto, deve haver bifurcações globais destruindo o ciclo em algum lugar entre H e T +.

46 1.2 Bifurcações Locais 45 0 T + µ T µ 1 P T T P Figura 1.12: Diagrama de bifurcação do sistema (1-38): Bogdanov-Takens. Temos duas bifurcações globais de codimensão 1 em sistemas planares: uma bifurcação homoclínica de sela e uma bifurcação homoclínica de sela-nó. Como o ponto de equilíbrio sela-nó na curva T + não pode ter uma órbita homoclínica, a bifurcação global é uma órbita homoclínica que aparece no ponto sela E 2. Assim, deve existir pelo menos uma curva de bifurcação P originada em (µ 1,µ 2 ) = (0,0), ao longo da qual o sistema (1-38) tem uma bifurcação homoclínica de sela. À medida que traçamos a órbita homoclínica ao longo da curva P em direção ao ponto de Bogdanov- Takens, a órbita em forma de anel encolhe e desaparece. O diagrama de bifurcação do sistema (1-38) é apresentado na Figura O próximo lema descreve a curva P onde ocorre a bifurcação homoclínica de sela no sistema (1-38).

47 1.2 Bifurcações Locais 46 Lema 2 Existe uma curva suave única P correspondente a uma bifurcação homoclínica sela no sistema (1-38) que se origina em µ = (µ 1,µ 2 ) = (0,0) e tem a seguinte representação local: P = {(µ 1,µ 2 ) R 2 : µ 1 = 6 25 µ2 2 + o(µ 2 2), µ 2 < 0} (1-42) Além disso, para µ 2 pequeno, o sistema (1-38) tem um único ciclo limite hiperbólico e estável para valores de parâmetros dentro da região limitada pela curva de bifurcação de Hopf H e pela curva de bifurcação homoclínica P, e nenhum ciclo fora desta região. Prova. Veja em [16]. No seguinte teorema são dadas as condições necessárias para que um sistema planar qualquer tenha um comportamento qualitativo equivalente à forma normal estudada. Teorema 11 Considere o sistema planar ẋ = f (x,α), x R 2 ; α R 2, (1-43) onde f é suave, suponha que o sistema (1-43) em α = 0 tem um ponto de equilíbrio x 0 = 0 com dois autovalores nulos, λ 1,2 = 0. Se em α = 0, o ponto de equilíbrio x 0 exibe uma bifurcação de Bogdanov-Takens, então, é localmente topologicamente equivalente, perto do equilíbrio, a seguinte formas normal { ẋ = y, ẏ = µ 1 + µ 2 x + x 2 (1-44) ± xy. Prova. Veja em [16].

48 Modelos presa-predador: sistemas suaves CAPÍTULO 2 Nesta seção estudamos dois modelos, o modelo 1 que é um sistema presapredador sem colheita e o modelo 2, um sistema presa-predador que se diferença do modelo 1 por ter uma colheita não linear no predador. Para este estudo temos interesse no comportamento das soluções do sistema em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio, nos dois modelos será provado que sempre temos a existência dos pontos de equilíbrio trivial e limite, isto é, E 0 e E K, respetivamente. O ponto de equilíbrio E 0 é o ponto onde não temos população de presas nem predadores, o ponto E K é o ponto onde a população de presas é a máxima que o ambiente pode suportar para garantir sua alimentação, crescimento e reprodução e que a população de predadores esta extinta. Além disso, os pontos de equilíbrio de maior relevância para entender a dinâmica das populações de presas e predadores serão dados pelos pontos de equilíbrio admissíveis, que serão os pontos que existirão em uma região de interesse biológico, que será determinada de tal forma que as populações de presas e os predadores sejam positivas. 2.1 Modelo 1: presa-predador sem colheita Considere o sistema presa-predador X : dx dy = rx(1 x K ) βxy, = κβxy αy, (2-1) com parâmetros: r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte, β: taxa de captação por predado,. κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador.

49 2.1 Modelo 1: presa-predador sem colheita 48 E condições iniciais x(0) = x 0 e y(0) = y 0 no conjunto de interesse biológico: Ω = { (x,y) R 2 ; x > 0 e y > 0 }. Ao sistema de equações diferenciais ordinárias (2-1) associamos um campo vetorial f : Ω R 2, dado por f (x) = ( f 1 (x), f 2 (x)) T e, assim, reescrevemos a equação (2-1) da forma ẋ = f (x). (2-2) Fazendo f (x) = 0, podemos encontrar os pontos de equilíbrio do sistema dado (2-1), isto é, onde as populações de presas e predadores permanecem constantes conforme o tempo varia. Neste caso, os pontos de equilíbrio são: E 0 = (0,0), E K = (K,0) e E 1 = (x 1,y 1 ) com x 1 = α κβ e y 1 = r β ( 1 α ). (2-3) κβk Como o sistema (2-1) é um sistema de equações diferenciais em R 2 não linear, vamos estudar a matriz Jacobiana a fim de tentar utilizar o Teorema de Hartman-Grobman e observar o que acontece com as soluções do sistema perto dos pontos de equilíbrio. A matriz Jacobiana associada ao sistema (2-1) é Df(x) = r 2rx K βy κβy βx κβx α Sejam τ o traço e ς o determinante da matriz D f (x), o teorema a seguir classifica os pontos de equilíbrio encontrados acima. Teorema 12 Para o sistema presa-predador (2-1) temos que a) E 0 é uma sela,. b) Se κβk α > 0 então, E K é um ponto sela e E 1 é um foco estável, c) Se κβk α < 0 então, E K é um nó estável e E 1 não é de interesse biológico. Prova.Dividiremos a demonstração em alguns passos: (a) Avaliamos o ponto E 0 na matriz Jacobiana A = D f (E 0 ) e obtemos ς = αr < 0 pois α e r são parâmetros positivos. Desta forma os autovalores de A são reais não nulos e de sinais opostos. Segue do Teorema de Hartman-Grobman que E 0 é um ponto de equilíbrio do tipo sela para o sistema (2-1). (b) Suponha que κβk α > 0. No ponto de equilíbrio E K, temos que para A = D f (E K ), ς = r(κβk α) < 0 pois por hipótese κβk α > 0. Logo, pelo Teorema 2 e pelo

50 2.1 Modelo 1: presa-predador sem colheita 49 Teorema de Hartman-Grobman E K é uma sela para o sistema (2-1). No caso do ponto de equilíbrio E 1, temos que para A = D f (E 1 ), ς = κβk rα (κβk α) > 0 pois por hipótese κβk α > 0, e τ = κβk αr < 0. Além disso, o discriminante τ 2 4ς < r 2 4ς < 0. Logo, pelo Teorema 2 e pelo Teorema de Hartman-Grobman E 1 é um foco estável para o sistema (2-1). (c) Suponha que κβk α < 0. No ponto de equilíbrio E K, temos que para A = D f (E K ), ς = r(κβk α) > 0 e τ = κβk α r < 0, pois por hipótese, κβk α < 0. Além disso, o discriminante τ 2 4ς = (r + κβk α) 0. Logo, pelo Teorema 2 e pelo Teorema de Hartman-Grobman E K é um nó estável para o sistema (2-1). ( ) No caso do ponto de equilíbrio E 1, y 1 < 0, pois y 1 = β r κβk α e temos que κβk κβk α < 0, portanto a população de predadores seria negativa, não é de interesse biológico. Portanto, pelos itens (a), (b) e (c) o resultado está demonstrado. Em resumo, na Tabela 2.1, podemos visualizar a classificação dos pontos de equilíbrio do sistema (2-1) em relação às condições dadas. Condição Estabilidade E k E 1 E 0 κβk α < 0 Nó estável Não tem sentido biológico Sela κβk α > 0 Sela Foco estável Tabela 2.1: Classificação dos pontos de equilíbrio de acordo com o Teorema 12 Na Figura 2.1 podemos ver o comportamento das curvas integrais do sistema (2-1) perto dos pontos de equilíbrio para valores fixos dos parâmetros. Agora, verificaremos que sob as condições dadas o sistema (2-1) não admite ciclos limite na região de interesse biológico. Lema 3 O sistema presa-predador (2-1) não tem ciclo limite em Ω.

51 2.1 Modelo 1: presa-predador sem colheita 50 r = 0.4 K = 0.9 β = 0.3 κ = 0.5 α = 0.01 r = 0.7 K = 0.5 β = 0.3 κ = 0.1 α = 0.4 y y x x κβk α > 0 κβk α < 0 Figura 2.1: Retrato de fase do sistema (2-1). Prova. Sejam P = dx Q = dy = rx(1 x K ) βxy, = κβxy αy, e B = x m y n, com m e n números inteiros. Então (BP) x + (BQ) y Note que para m = 1 e n = 1, obemos (BP) x = x m y n [ (r r K x βy)(m + 1) + (κβx α)(n + 1) r K x ]. + (BQ) y = r < 0 para todo x,y em Ω. Ky Deste modo, a função B = 1 xy com B C1 (Ω), é tal que o (B f ) não é identicamente zero e não muda de sinal em Ω. Assim pelo Critério de Dulac, o sistema (2-1) não tem órbitas fechadas contidas inteiramente em Ω, isto é, na região de interesse biológico não temos ciclos limite. Portanto, E K e E 1 são assintoticamente estáveis em todo Ω se κβk α < 0 e κβk α > 0, respectivamente.

52 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador Modelo 2: presa-predador com colheita do predador Considere o sistema de colheita dx X + = rx(1 K x ) βxy, : dy = κβxy αy 1 + qy (2-4) wy, com os parâmetros: r: taxa intrínseca de crescimento da população presa, K: capacidade de suporte, β: taxa de captação por predado,. κ: taxa de eficiência com que a presa capturada é convertida em novos predadores, α: taxa de mortalidade do predador. Além disso, qy 1+ωy : representa a colheita do predador (função de saturação), ω : constante adequada, q : taxa de colheita. E condições iniciais x(0) = x 0 e y(0) = y 0 no conjunto de interesse biológico: Ω = { (x,y) R 2 ; x > 0 e y > 0 }. Ao sistema de equações diferenciais ordinárias (2-4) associamos um campo vetorial g : Ω R 2, dado por g(x) = (g 1 (x),g 2 (x)) T e, assim, reescrevemos a equação (2-4) da forma ẋ = g(x). (2-5) Existência dos pontos de equilíbrio O sistema de colheita (2-4) sempre tem o ponto de equilíbrio trivial E 0 = (0,0) e o ponto de equilíbrio da extinção do predador E k = (K,0), pois, avaliando o ponto E 0 = (0,0) na função g definida em (2-5), temos que g(e 0 ) = g(0,0) = (0,0). Analogamente, para o ponto E k = (K,0) temos que g(e K ) = g(k,0) = (0,0). Assim para determinar outros possíveis pontos de equilíbrio temos temos que determinar soluções simultâneas

53 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 52 para as seguintes equações: r(1 x ) βy = 0, (2-6) K κβx α q = 0. (2-7) 1 + ωy Da equação (2-6), obtemos y = r(k x) Kβ e, substituindo em (2-7), obtemos a equação quadrática (2-8) ax 2 + bx + c = 0 (2-9) com a = κβωr, b = κβ 2 K + κβkωr + αωr e c = αωrk qβk αβk. Para garantir a existência de uma solução x em Ω temos que observar o sinal do discriminante da equação (2-9), consideremos M = κβ 2 K + αωr κβkωr, N = q + α κβk. (2-10) Nosso objetivo é escrever em termos de M e N, pois a partir do estudo de seu signo podemos encontrar novos parâmetros que nos permitirão estudar a classificação dos pontos de equilíbrio, então = (κβ 2 K + κβkωr + αωr) 2 4κβωr(αωrK + qβk + αβk), = (κβ 2 K + αωrk κβkωr + 2κβkωr) 2 4κβKωr(q + α) 4κβ 2 Kω 2 r 2 α, = (κβ 2 K + αωr κβkωr) 2 4κβ 2 Kωr(q + α κβk). Logo, Para a equação (2-9) temos que suas raízes são dadas por: = M 2 4κβ 2 KωrN. (2-11) x 1 = b 2a e x 2 = b + 2a. Além disso, para encontrar os pontos de equilíbrio as raízes da equação (2-9), x 1,2, devem ser menores que K, pois se x 1,2 < K então pela equação (2-8) teríamos y 1,2 > 0, e, portanto, temos a existência de pontos de equilíbrio em Ω. Desta maneira, se:

54 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 53 (a) < 0, não temos nenhuma raiz real e as seguintes condições são satisfeitas M 2 4κβ 2 Kωr < N e N > 0. (b) = 0, temos uma raiz positiva com multiplicidade dois x 1 = κβ2 K + κβkωr + αωr, (2-12) 2κβωr com a condição, M 2 = 4κβ 2 KωrN e N 0. Além disso, x 1 K = M 2κβωr < 0 M < 0. Portanto, o sistema (2-4) tem um ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) em Ω quando M < 0, N > 0 e M 2 = 4κβ 2 KωrN. No caso em que = 0 com a condição M = N = 0 temos o ponto de equilíbrio limite E K = (K,0). (c) > 0, temos duas raízes x 1 e x 2 com a condição M 2 4κβ 2 Kωr > N. Pela equação (2-8) analisamos o sinal de x 1 K e x 2 K, de onde obtemos que e para x 2 K = M + 2a, i) M > 0, x 2 K > 0 então y 2 < 0. Portanto, o ponto de equilíbrio E 2 não está em Ω; ii) M < 0 analisamos o sinal de M 2 = 4κβ 2 KωrN seu sinal é determinado pelo sinal de N se N < 0 M 2 > 0 x 2 > K, se N = 0 M 2 = 0 x 2 = K, se N > 0 M 2 < 0 x 2 < K.

55 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 54 Portanto, E 2 Ω se então M < 0 e 0 < N < x 1 K = M 2a, M 2 4κβ 2 Kωr. i) Para M < 0, x 2 K < 0 então y 2 > 0. Portanto, o ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) está em Ω. ii) Para M > 0 analisamos o sinal de M 2 = 4κβ 2 KωrN seu sinal é determinado pelo sinal de N Portanto, E 1 Ω se se N < 0 M 2 > 0 x 1 < K, se N = 0 M 2 = 0 x 1 = K, se N > 0 M 2 < 0 x 1 > K. N < 0 e [M < 0 ou M = 0 ou M > 0], [ M 2 ] M < 0 e N = 0 ou N = 4κβ 2. Kwr A Figura 2.2 a seguir mostra a relação entre M, N e a existência dos pontos de equilíbrio de acordo com as condições dadas. Figura 2.2: = 0,N = M2 4κβ 2 Kωr

56 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 55 Quando β < ωr, podemos traduzir as condições correspondentes a M e N àquelas sobre K e q, de acordo com as seguintes relações de equivalência: N > 0 q > q K (K) =κβk α, (2-13) M < 0 K > K = αωr κβ(ωr β), (2-14) > 0 q < q (K) = (κβkωr + κβ2 K αωr) 2 4κβ 2. (2-15) Kωr A partir das definições desses novos parâmetros e dados E 1,2 = (x 1,2,y 1,2 ) pontos de equilíbrio do sistema 2-4 em Ω, temos os seguintes resultados: Teorema 13 O sistema com colheita (2-4) não tem um ponto de equilíbrio em Ω se alguma das seguintes condições for satisfeita: (a) q K (K) < 0, (b) q K (K) > 0, q q K (K) e β > ωr, (c) q K (K) > 0, q q K (K), β < ωr e K K, (d) q K (K) > 0, q q K (K), β < ωr, K > K e q > q (K). Prova.Dividiremos a demonstração em alguns passos: (a) Suponha que q K (K) < 0, então κβk < α, assim N > 0 e M > 0, pois N = q + (α κβk) e M = κβ 2 K + wr(α κβk). Portanto, se M > 0 temos x 2 K = M + 2a > 0, de onde x 2 > K e, para N > 0, M 2 = 4κβN < 0, então M > 0. Obtemos daí que, Logo, E 1 e E 2 não pertencem a Ω. x 1 K = M 2a > 0. (b) Suponha β > ωr e como M = κβk(β wr) + wrα, temos que M > 0. Agora, se q > q K (K) então q > κβk α, logo N > 0. No caso em que q = q K (K), temos que N = 0 de onde x 1 = K e temos o ponto de equilíbrio E 1 = (K,0) o qual não pertence a Ω. (c) Suponha que q q K (K), então N > 0 ou N = 0. Agora, se β < ωr e K < K temos que K < αωr κβ(ωr β), de onde M > 0. No caso K = K temos que M = 0. Portanto, temos os seguintes casos:

57 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 56 se M > 0 e N > 0 então E 1 e E 2 não pertencem a Ω, se M > 0 e N = 0 então M 2 = 0, de onde x 1 = K e x 2 > K, se M = 0 e N = 0 então E 1 = E 2 = (K,0) não pertencem a Ω, se M = 0 e N > 0 então < 0 não temos raízes reais. (d) Suponha que q q K (K), então N > 0 ou N = 0. Agora, uma vez que β < ωr e K > K então M < 0 pois M = αωr κβk(ωr β). Dada a hipótese q > q (K) temos que então q > (κβkωr + κβ2 K αwr) 2 4κβ 2, Kωr 4κβ 2 Kωrq > (κβkωr + κβ 2 K αωr) 2, adicionando as expressões αωr αωr = 0 e κβkωr κβkωr = 0, obtemos q > (κβ 2 K + αωr κβkωr + 2ωr(κβK α)) 2 > M 2 + 4(κβK α) 2 ω 2 r 2 + 4(κβK α)ωrm > M 2 + 4(κβK α)κβ 2 K. Assim, M 2 4κβ 2 KωrN < 0, de onde < 0. Portanto não temos raízes reais. Desta forma, o resultado fica demonstrado. Teorema 14 O sistema com colheita (2-4) tem um único ponto de equilíbrio E 1 em Ω se alguma das seguintes condições for satisfeita: (a) κβk α > 0, q < q K (K) e β > ωr, (b) κβk α > 0, q < q K (K) e β < ωr, (c) κβk α > 0, q > q K (K), β < ωr, K > K e q = q (K), (d) κβk α > 0, q = q K (K), β < ωr e K > K. Prova. Suponha que κβk α > 0, então: (a) Se que q < q K (K) então q < κβk α de onde N < 0, no caso β > ωr temos que M > 0. Assim, como x 2 K = M + 2a e M > 0,

58 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 57 temos que x 2 > K, portanto (x 2,y 2 ) / Ω. No caso de x 1 x 1 K = M 2a < 0, pois M 2 = 4κβN e N < 0, de onde, M < 0. Logo, (x 1,y 1 ) Ω. (b) Suponha q < q K (K) então N < 0. No caso β < ωr temos as seguintes possibilidades em M 1. Se αωr < κβk(ωr β) então M < 0. De onde x 1 K = M 2a e, como N < 0, então M + > 0. Portanto, x 2 K = M + 2a 2. Se αωr = κβk(ωr β) então M = 0, de onde < 0 < 0. x 1 K = 2a e x 2 K = 2a. 3. Se αωr > κβk(ωr β) então M > 0. Segue dos itens i, ii, iii que (x 1,y 1 ) Ω. (c) Suponha que q > q K (K) então N > 0. Agora, se temos que β < ωr e K > K então M < 0 pois M = αωr κβk(ωr β). Além disso, se q = q (K) então = 0. Assim, como N > 0 e = 0, temos a existência de uma única raiz x com multiplicidade dois, e dado que x K = M 2a e M < 0 temos que x < K. Portanto, (x,y ) Ω. (d) Suponha que q = q K (K) então N = 0. Agora, se temos que β < ωr e K > K então M < 0. Como N = 0 temos que M = 0, de onde x 2 = K, portanto (x 2,y 2 ) = (K,0) / Ω. No caso de x 1 pois M < 0. Logo, (x 1,y 1 ) Ω. x 1 K = M a < 0, O resultado segue dos itens (a), (b), (c) e (d).

59 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 58 Teorema 15 O sistema com colheita (2-4) tem dois pontos de equilíbrio, E 1 e E 2 em Ω se as seguintes condições são satisfeitas: (a) κβk α > 0, (b) β < ωr, (c) K > K, (d) q K (K) < q < q (K). Prova. Por hipótese q < q (K), o que implica que > 0, logo temos a existência de duas raízes reais. Agora, se β < ωr e K > K temos que M < 0, logo temos o ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) Ω. No caso em que q > q K (K) temos que N > 0, então temos o ponto de equilíbrio E 2 = (x 2,y 2 ) Ω. Exemplo 4 Para os seguintes valores dos parâmetro r = 0.8, κ = 0.7, α = 0.5, β = 0.6, K = 15 e ω = 1, obtemos que q (K) = , q K (K) = 5.8 e K = Além disso, para q = 5.82 temos que q K (K) < q < q (K). Temos então todas as condições do Teorema 15 satisfeitas: (a) κβk α = 5.8 > 0, (b) β = 0.6 < ωr = 0.8, (c) K = 15 > K = 4.76, (d) q K (K) = 5.8 < q < q (K) = Na Figura 2.3 ilustramos a existência do ponto de equilíbrio trivial E 0, que é um ponto de sela, o ponto de equilíbrio de extinção do predador E K, que é um nó estável, e os dois pontos de equilíbrio admissíveis, E 1 e E 2, que são um foco estável e um sela, respectivamente Estabilidade dos pontos de equilíbrio Vamos estudar a estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema com colheita (2-4). Calculamos a matriz Jacobiana e obtemos D f (x) = r(1 K x ) βy rx K βx κβy κβx α 1 + q ωy + qωy (1 + ωy) 2, com τ o traço e ς o determinante. Então os autovalores da matriz D f (x) são: λ 1 = τ + τ 2 4ς 2 e λ 2 = τ τ 2 4ς. 2

60 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 59 Figura 2.3: Retrato de fase do sistema (2-4), para r = 0.8, κ = 0.7, α = 0.5, β = 0.6, K = 15 e ω = 1. No teorema a seguir, estudamos a estabilidade do ponto de equilíbrio E 0. Teorema 16 Para o sistema de colheita (2-4) o ponto de equilíbrio E 0 é um ponto sela. Prova. A matriz Jacobiana do sistema com colheita (2-4) em torno do ponto de equilíbrio trivial é ( ) r 0 D f (0,0) = 0 (α + q) com traço τ = r (α + q) e determinante ς = r(α + q). Dado que os parâmetros do modelo estudado são positivos temos que ς < 0 e, através de cálculos diretos, temos: τ 2 4ς = (r + α + q) 2 > 0. Assim, os autovalores da matriz D f (0) são reais não nulos e de sinais opostos, logo pelo Teorema de Hartman-Grobmann o sistema ẋ = f (x) e ẋ = D f (0)x são topologicamente conjugados em uma vizinhança do origem. Como ς < 0, pelo Teorema 2, E 0 é um ponto sela. No teorema a seguir estudamos a estabilidade do ponto de equilíbrio E K em relação ao parâmetro q > q K (K). Teorema 17 Para o sistema com colheita (2-4) temos que: a) se q > q K (K) então E K é um nó estável, b) se q < q K (K) então E K é uma sela. Prova. Calculamos a matriz Jacobiana no ponto E K = (K,0) e obtemos ( ) r βk D f (K,0) = 0 (q + α κβk) com traço τ = r N e determinante ς = rn.

61 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 60 a) Suponha q > q K (K) então N > 0, de onde ς > 0. Além disso, τ 2 4ς = (r N) 2 0 e τ < 0. Portanto, pelos Teoremas 2 e 8, temos que E K é um nó estável. b) Suponha q < q K (K) então N < 0, de onde ς < 0. Portanto, pelos Teoremas 2 e 8, temos que E K é uma sela. Segue dos itens (a) e (b) que o resultado está demonstrado Bifurcações As bifurcações que acontecem no sistema de colheita (2-4) ocorrem perto dos pontos de equilíbrio admissíveis, isto é, os pontos E 1 e E 2. No caso que os pontos existam, como E 1,2 = (x 1,2,y 1,2 ) satisfazem as equações (2-6) e (2-7) temos que D f (E 1,2 ) = Com determinante, ς, e traço, τ, dados por rx 1,2 K βx 1,2 κβy 1,2 qωy 1,2 (1 + ωy 1,2 ) 2. ς = rqωx 1,2y 1,2 K(1 + ωy 1,2 ) 2 + κβ2 x 1,2 y 1,2, (2-16) Logo, temos o seguinte teorema. τ = rx 1,2 K + qωy 1,2 (1 + ωy 1,2 ) 2. (2-17) Teorema 18 Para o sistema de colheita (2-4), se E 2 existe, então é um ponto sela. Prova. Dado o ponto de equilíbrio E 2 = (x 2,y 2 ), o determinante é ς = qωr + κβ2 K(1 + ωy 2 ) 2 K(1 + ωy 2 ) 2 x 2 y 2. Dado que analisamos o sinal do numerador, y 2 = r(m + ) 2κβ 2, Kωr κβ 2 K(1 + ωy 2 ) 2 = (2κβ2 K M ) 4κβ 2. K

62 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 61 Assim, qωr + κβ 2 K(1 + ωy 2 ) 2 = 4κβ2 Kωrq + (κβkωr + κβ 2 K αωr ) 2 4κβ 2. K Além disso, como o discriminante é = 4κβ 2 Kωrq + (κβkωr + κβ 2 K αω) 2, temos que 4κβ 2 Kωrq + (2κβ 2 K M ) 2 = 2 (M + 2κβ 2 K). Portanto, ς = (M + 2κβ 2 K) 2κβ 2 K 2 (1 + ωy 2 ) 2 x 2 y 2. Dado que E 2 Ω, temos que M + < 0. Portanto ς < 0 e, consequentemente, E 2 é um ponto de sela. Isto finaliza a prova do teorema. Analogamente, para o ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ), o determinante é ς = qωr + κβ2 K(1 + ωy 1 ) 2 K(1 + ωy 1 ) 2 x 1 y 1. Dado que analisamos o sinal do numerador, y 1 = r(m ) 2κβ 2, Kωr κβ 2 K(1 + ωy 1,2 ) 2 = (2κβ2 K M + ) 4κβ 2. K Assim, qωr + κβ 2 K(1 + ωy 1 ) 2 = 4κβ2 Kωrq + (κβkωr + κβ 2 K αωr ) 2 4κβ 2. (2-18) K Para analisar o sinal do determinante do ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ), temos em conta o parâmetro q (K), então temos o seguintes casos: Se q = q (K). Substituindo q (K) na equação (2-18), obtemos q ωr+κβ 2 K(1+ωy 1 ) 2 = (κβkωr + κβ2 K αω) 2 + (κβkωr + κβ 2 K αωr ) 2 4κβ 2. K Além disso, quando q = q (K), então = 0. Portanto, ς = 0.

63 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 62 Se q > q (K). Como o discriminante é = 4κβ 2 Kωrq + (κβkωr + κβ 2 K αω) 2, e pela equação (2.2.3), temos que q ωr + κβ 2 K(1 + ωy 1 ) 2 = 2 ( M + 2κβ 2 K), e dado que E 1 existe, temos que M > 0. Portanto ς > 0. Agora, para analisar o sinal do traço, fazemos τ = 0, de onde obtemos a equação quadrática Aq 2 + Bq +C = 0 (2-19) onde A = βω(κβk r) 2, B = K 3 (κ 3 β 4 + κ 2 β 3 ωr)k 2 + (4κβ 2 αωr + αω 2 r 2 κβ)k α 2 ω 2 r 2 r 2 βαω r 3 αω 2 e C = α(κβkωr αωr + κβ 2 K) 2. Para a equação (2-19) temos que suas raízes são dadas por: q H1 (K) = B + B 2 4AC 2A e q H2 (K) = B B 2 4AC. 2A As raízes q H1 e q H2 são reais se a seguinte condição é satisfeita K > β + ωr + ωα + 2 βωα κβω = K. (2-20) Além disso, q H2 (K) < q (K) e q H1 (K) q (K). No caso em que q H1 (K) = q (K), como as curvas q H1 (K) e q (K) são injetivas temos que existe um K 0 tal que em q q H1 (K 0 ) = q (K 0 ) = q 0, assim τ = 0 e ς = 0, de onde, se τ = 0 então 0 ωy 1 (1 + ωy 1 ) 2 = rx 1 K e, substituindo na equação (2-16), obtemos ς = r2 K0 2 x1 2 κβ 2 x 1 y 1 = 0. (2-21) Assim, quando q = q H1 e q = q H2 são reais e q H1,2 (K) < q (K), o ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) do sistema de colheita (2-4), possui dois autovalores imaginários puros. Logo temos o seguinte teorema. Teorema 19 No ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) do sistema com colheita (2-4), ao longo de q = q H1 ocorre uma bifurcação de Hopf supercrítica. Prova. Nós transladamos o ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) para a origem fazendo a

64 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 63 seguinte mudança de variáveis X = x x 1 e Y = y y 1. Então, temos o seguinte sistema dx = r(x + x 1 )(1 X + x 1 K ) β(x + x 1)(Y + y 1 ) = F(X,Y ), dy = κβ(x + x 1 )(Y + y 1 ) d(y + y 1 ) q(y + y 1) 1 + w(y + y 1 ) = G(X,Y ). (2-22) Expandimos o sistema (2-22) numa série de potências em torno da origem, para isso obtemos una expressão em séries de potências das funções F(X,Y ) e G(X,Y ). Lembre que para uma função f : R 2 R a série de potência em torno da origem é dada por: f (x,y) = p 1 k=0 k! dk f (0,0)(x,y) k + O( (x,y) p+1 ). (2-23) Além disso, F(0,0) = G(0,0) = 0 pois E 1 é ponto de equilíbrio. Temos que df(0,0)(x,y ) = ( rx 1 K + r βy 1)X βx 1 Y rx 1X K e d2 F(0,0)(X,Y ) 2 = 2r K X 2 2βXY, mas o ponto E 1 satisfaz a equação rx 1 K + r βy 1 = 0. Portanto, F(X,Y ) = rx 1X K βx 1Y r K X 2 βxy. (2-24) Calculamos cada termo da série de G(X,Y ). Temos que dg(0, 0)(X,Y ) = q κβy 1 X + κβx 1 Y αy (1 + ωy 1 ) 2Y e d2 G(0,0)(X,Y ) 2 2qω = 2κβXY + (1 + ωy 1 ) 3Y 2 mas q temos que (1 + ωy 1 ) 2 = q (1 + ωy 1 ) + qωy 1 (1 + ωy 1 ) 2 e o ponto E 1 satisfaz a equação q κβx 1 α = 0. Portanto, (1 + ωy 1 ) G(X,Y ) = κβy 1 X + qωy 1 (1 + ωy 1 ) 2Y + κβxy + qω (1 + ωy 1 ) 3Y 2 + G 3 (2-25) onde G 3 é uma função em (X,Y ) de classe C, de pelo menos terceira ordem. Logo, o sistema (2-22) pode ser localmente escrito da seguinte maneira dx = rx 1 K X βx 1Y r K X 2 βxy, dy = κβy 1 X + qωy 1 (1 + ωy 1 ) 2Y + κβxy + qω (1 + ωy 1 ) 3Y 2 + G 3. (2-26) Por hipótese τ = 0, substituindo qωy 1 (1 + ωy 1 ) 2 = rx 1 K no sistema (2-26) e fazendo u = X e

65 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 64 v = rx 1 K X βx 1Y temos o sistema du = v + 1 x 1 uv, dv = a 1 u a 2 uv a 3 v 2 + a 4 u 2 + G 30, (2-27) com a 1 = r2 K 2 x2 1 κβ2 x 1 y 1, a 2 = κβ K r 2qωr βx 1 (1 + ωy 1 ) 3, a qω 3 = βx 1 (1 + ωy 1 ) 3, a 4 = κβrx 1 K qωr 2 x 1 K 2 β(1 + ωy 1 ) 3, e G 30 uma função em (u,v) de classe C, de pelo menos terceira ordem. Para o ponto de equilíbrio E 1 temos que ς = κβ 2 x 1 y 1 r2 > 0 quando τ = 0, então podemos definir Q = κβ 2 x 1 y 1 r2 K 2 x2 1 Qn. Com isso, o sistema (2-27) fica escrito da forma dm = Qn + Q x1 mn, K 2 x2 1 e fazer a mudança de variáveis u = m e v = dn = Qm b 1 mn + b 2 n 2 b 3 m 2 + G 31. (2-28) com b 1 = κβ K r 2qωr βx 1 (1 + ωy 1 ) 3, b qω ( Q 2 = βx 1 (1 + ωy 1 ) 3, b κβrx1 3 = K qωr 2 ) x 1 K 2 β(1 + ωy 1 ) 3 e G 31 uma função em (m,n) de classe C, de pelo menos terceira ordem. Q Definimos a função: H(m,n) = 2 (m2 +n 2 )+H 3 +H 4 onde onde H 3 e H 4, são funções em (m,n) de classe C, de terceira ordem e quarta ordem respectivamente. Então, dh = H dm m + H dn n, (2-29) com H dm m H dn n = = ( Qm H 3 + m + H ) ( ) 4 Q Qn + mn, e m x 1 ( Qn H 3 + n + H ) ( 4 Qm b 1 mn + b 2 n 2 b 3 m 2 + G 32). n Fazendo os cálculos em (2-29) e definindo a função t i (m,n), i = 2,3,4 como o termo de ordem i, obtemos com t 2 (m,n) = Qm Qm, dh = t 2 (m,n) +t 3 (m,n) +t 4 (m,n) (2-30)

66 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 65 t 3 (m,n) = Qn H 3 m Qm H ( 3 n + Qx1 ) b 3 Q m 2 n + b 1 Qmn 2 b 2 Qn 3, t 4 (m,n) = Qn H 4 m Qm H 4 n + H 3 Q m x1 mn H 3 n b 1mn + H 3 n b 2n 2 H 3 n b 3m 2. Como H(m,n) é a função Hamiltoniana da parte linear do sistema (2-28), ela satisfaz a condição dh = 0. Observe que t 2 (m,n) = 0, fazendo t 3 (m,n) = 0 temos que Qn H 3 m Qm H 3 n = ( ) Q b 3 Q m 2 n b 1 Qmn 2 + b 2 Qn 3. (2-31) x 1 Agora vamos encontrar a função H 3. Sejam m = Rcosθ e n = Rsinθ, então H 3 pode ser escrita como H 3 (Rcosθ,Rsinθ) = R 3 Φ 3 (Rcosθ,Rsinθ), (2-32) com Φ 3 é uma função de classe C. Derivando H 3 com respeito a θ, temos dh 3 dθ = H 3 dm m dθ + H 3 dn n dθ = n H 3 m + m H 3 n ( ) Q = b 3 m 2 n b 1 mn 2 + b 2 n 3 x 1 = R 3 (( Q x 1 b 3 ) cos 2 θsinθ b 1 cosθsin 2 θ + b 2 sin 3 θ ). (( ) Q Seja ψ(rcosθ, Rsinθ) = x 1 b 3 )cos 2 θsinθ b 1 cosθsin 2 θ + b 2 sin 3 θ, então integrando ψ com respeito a θ, temos Φ 3 (Rcosθ,Rsinθ) = ψ(rcosθ, Rsinθ)dθ ( ) = 1 Q b 3 b 2 cos 3 θ 1 3 x 1 3 b 1sin 3 θ b 2 cosθ + c 1. Portanto, H 3 (m,n) = 1 3 ( ) Q b 3 2b 2 m 3 1 x 1 3 b 1n 3 b 2 mn 2 + c 2. (2-33) Analogamente, fazendo t 4 (m,n) = 0 temos que H 4 Qn m Qm H 4 n = H 3 Q mn + H 3 m x 1 n b 1mn H 3 n b 2n 2 + H 3 n b 3m 2. (2-34) Além disso, H 3 n = b 1n 2 2b 2 mn e H 3 m = ( b 3 + 2b 2 Q x1 )m 2 b 2 n 2.

67 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 66 Assim, dh 4 dθ = ( b 3 + 2b b 2b 3 Q ) Q x 1 m 3 n + b 1b 3 Q m 2 n 2 + ( ) 4b 2 2 b 2 mn b 1b 2 n 4 Q Q logo, o primeiro coeficiente de Lyapunov (l 1 ) é dado por: l 1 = 1 2π dh 4 2π 0 dθ dθ = b 1(b 3 + 6b 2 ) 8. (2-35) Q Substituindo as expressões b 1, b 2 e b 3 obtemos que l 1 < 0. Portanto, temos uma bifurcação de Hopf supercrítica. No parâmetro q (K) temos que, se q > q (K) então, pela equação (2-15), não existem pontos de equilíbrio admissíveis, em q = q (K) temos um ponto de equilíbrio admissível e em q < q (K), não temos pontos de equilíbrio admissíveis, o qual é resumido no seguinte teorema. Teorema 20 No ponto de equilíbrio E 1 = (x 1,y 1 ) do sistema de colheita (2-4), ao longo de q (K) > q H1,2 (K) ocorre uma bifurcação sela-nó. Prova. Se q = q (K) temos que para D f (E 1 ), ς = 0, e como q (K) > q H1,2 (K) então τ 0, logo os autovalores próprios de D f (E 1 ) são: λ 1 = τ e λ 2 = 0. Portanto, pelo Teorema 7 na q (K) ocorre uma bifurcação sela-nó. Exemplo 5 Para os valores dos parâmetros r = 0.8, κ = 0.7, α = 0.5, β = 0.6, K = 15 e ω = 1, obtemos q H1 (K) = e q (K) = Em q H1 (K) = temos uma bifurcação de Hopf supercrítica. Na Figura 2.4-(a), para q = 0.1 < q H1 temos que o ponto de equilíbrio E 1 é um foco estável, na Figura 2.4-(b) para q muito próximo de q H1 temos que o ponto E 1 está se aproximando do foco fraco existente para q H1, na Figura 2.4-(c) temos que para q > q H1, aparece um ciclo limite estável e o ponto E 1 muda de estabilidade, de um foco estável a um foco instável. Em q (K) = temos uma bifurcação sela-nó. Na Figura 2.5-(a) para q = 5.84 < q (K) temos a existência de dois pontos de equilíbrio, E 1 e E 2, sendo E 1 um foco estável e E 2 uma sela. A medida que o parâmetro q assume valores mais próximos de q (K), os pontos de equilíbrio E 1 e E 2 estão cada vez mais próximos, até que colidem, como mostra a Figura 2.5-(b). Por último na Figura 2.5-(c) temos que para q > q (K) os pontos E 1 e E 2 desaparecem.

68 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 67 (a) q = 0.1 < q H1 (K) (b) q = 0.3 q H1 (K) (c) q = 0.35 q H1 (K) Figura 2.4: Bifurcação de Hopf supercrítica no parâmetro q H1 (K) = (a) q = 5.84 < q (K) (b) q = q (K) (c) q = = q (K) Figura 2.5: Bifurcação sela-nó no parâmetro q (K) = Quando q H1 (K) = q (K), existe um ponto (K 0,q 0 ) tal que τ = 0 e ς = 0. Além disso,

69 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 68 sendo O 2 2 a matriz nula 2 2, temos que D f (E 1 ) = rx 1 K βx 1 κβy rx 1 1 K O 2 2, (2-36) pois todos os parâmetros são positivos e E 1 Ω. Logo, temos o seguinte teorema. Teorema 21 No ponto (K 0,q 0 ), de interseção entre a curva de bifurcação sela-nó q (K) e a curva da bifurcação de Hopf q H2 (K), o sistema de colheita (2-4) tem uma cúspide no ponto de equilíbrio E 1. Prova. Transladamos o ponto E 1 = (x 1,y 1 ) para a origem fazendo a mudança de variáveis: X = x x 1 e Y = y y 1, de onde obtemos o sistema (2-22). Logo, o sistema (2-22) em série de potências em torno da origem, se torna o sistema (2-26). Além disso, como ς = 0, pela equação (2-21), o termo a 1 do sistema (2-27) é nulo. Agora, como por hipótese τ = 0 e ς = 0 temos o seguinte sistema du = v + 1 x 1 uv, dv = B 1 uv B 2 v 2 + B 3 u 2 + G 3. (2-37) com G 3 uma função em (u,v) de classe C, de pelo menos da terceira ordem. E B 1 = κβ K r 2qωr βx 1 (1 + ωy 1 ) 3, B qω 2 = βx 1 (1 + ωy 1 ) 3, B 3 = κβrx 1 K qωr 2 x 1 K 2 β(1 + ωy 1 ) 3. Sejam, u 1 = u e v 1 = v + 1 x 1 uv, derivando com respeito a t (denotaremos esta derivada com um ponto) u 1 = u e v 1 = v + 1 u v + 1 uv, (2-38) x 1 x 1 então, fazendo as respectivas substituições, temos o sistema, du 1 dv 1 = v 1, = B 1 u 1 v B ( 2x 1 x 1 + u v B u 1 x 1 )u O( u 1,v 1 3 ). (2-39) Expandimos o sistema (2-39) numa série de potências em torno do ponto (u 1,v 1 ) = (0,0),

70 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 69 obtemos o sistema Seja = du 1 dv 1 = v 1, ( ) = B 1 u 1 v 1 + 1x1 B 2 v B 3u O( u 1,v 1 3 ). ( 1 + (B 2 x 1 ) 1 )u 1 ds, então, substituindo no sistema (2-40) obtemos (2-40) du 1 = dv 1 = ( 1 + (B 2 x 1 ) 1 )u 1 v 1 ds, ( 1 + (B 2 x 1 )( ( ) ) 1 )u 1 B 1 u 1 v 1 + 1x1 B 2 v B 3u O( u 1,v 1 3 ) ds. Reescrevendo s como t e fazendo a seguinte mudança de variáveis u 2 = u 1 e v 2 = ( ) 1 + (B 2 )u 1x1 1 v 1, obtemos o sistema a seguir du 2 dv 2 = v 2, = B 1 u 2 v 2 + B 3 u O( u 1,v 1 3 ), (2-41) que pode ser reescrito como du 2 dv 2 = v 2, = a k u k 2 (1 + h(u 2)) + b n u n 2 v 2(1 + g(u 2 )) + O( u 1,v 1 3 ). (2-42) com h(u 2 ) = g(u 2 ) = 0, a k = B 1 e b k = B 3. Logo, o sistema (2-41) satisfaz as hipóteses do Teorema 5 com m = n = 1 e k = 2. Portanto, o sistema de colheita (2-4) apresenta uma cúspide em (K 0,q 0 ). Teorema 22 No ponto (K,q) suficientemente próximo de (K 0,q 0 ), o sistema de colheita (2-4) tem uma bifurcação de Bogdanov-Takens no ponto de equilíbrio E 1. Prova. Sejam K = K 0 λ 1 e q = q 0 λ 2, onde λ 1 e λ 2 são parâmetros em uma pequena vizinhança de (0,0). Então, substituindo no sistema (2-4), obtemos dx d = rx(1 x K 0 λ 1 ) βxy, = κβxy αy (q 0 λ 2 )y 1 + ωy. (2-43)

71 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 70 Estamos interessados apenas nos retratos de fase do sistema (2-43) quando (x,y) está em uma vizinhança do ponto de equilíbrio (x 1,y 1 ). Transladamos (x 1,y 1 ) à origem, suponha X 1 = x x 1 e Y 1 = y y 1, então temos o seguente sistema dx 1 dy 1 = r(x 1 + x 1 )(1 X 1 + x 1 K 0 λ 1 ) β(x 1 + x 1 )(Y 1 + y 1 ) = F(X 1,Y 1 ), = κβ(x 1 + x 1 )(Y 1 + y 1 ) α(y 1 + y 1 ) (q 0 λ 2 )(Y 1 + y 1 ) 1 + ω(y 1 + y 1 ) = G(X 1,Y 1 ). (2-44) expandimos F(X 1,Y 1 ) e G(X 1,Y 1 ) em uma série de potências em torno da origem, então F(X 1,Y 1 ) = F(0,0) + F(0,0)(X 1,Y 1 ) t + F(0,0)(X 1,Y 1 ) t,(x 1,Y 1 ) t + O( (X 1,Y 1 ) 3 ). Além disso, como cada termo da expansão depende de λ 1, podemos fazer uma expansão em série de potências de cada termo em função de λ 1, em torno de λ 1 = 0 e, obtemos F(X 1,Y 1 ) = f 0 + f 1 X 1 + f 2 Y 1 + f 3 X f 4 X 1 Y 1, onde, f 0 = rx2 1λ 1, f 1 = 2rx2 1λ 1 K 2 0 e f 4 = β. Analogamente, para G temos K 2 0 rx 1 K 0, f 2 = βx 1, f 3 = r K 0 + rλ 1 K 2 0 G(X 1,Y 1 ) = g 0 + g 1 X 1 + g 2 Y 1 + g 3 X 1 Y 1 + g 4 Y O( (X 1,Y 1 ) 3 ), onde, g 0 = λ ωy, g 1 = κβy 1, g 2 = q 0ωy 1 1 (1 + ωy 1 ) 2 λ 2 (1 + ωy 1 ) 2, g 3 = κβ e g 4 = ω(q 0 + λ 2 ) (1 + ωy 1 ) 3. Desta maneira, o sistema (2-44) se torna em dx 1 dy 1 = f 0 + f 1 X 1 + f 2 Y 1 + f 3 X f 4X 1 Y 1, = g 0 + g 1 X 1 + g 2 Y 1 + g 3 X 1 Y 1 + g 4 Y O( (X 1,Y 1 ) 3 ). (2-45) Fazemos a mudança de variáveis X 2 = X 1 e Y 2 = f 0 + f 1 X 1 + f 2 Y 1 + f 3 X f 4X 1 Y 1, derivamos com respeito a t, obtemos dx 2 dy 2 = Y 2, = g 20 + g 21 X 2 + g 22 Y 2 + g 23 X g 24X 2 Y 2 + g 25 Y O( (X 1,Y 1 ) 3 ), (2-46)

72 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 71 onde, g 20 = g 0 f 2 g 2 f 0 + g 4 f0 2 f, g 21 = g 0 f 4 + g 1 f 2 g 2 f 1 g 3 f g 4 f 0 f 1 2 f g 4 f1 2 f 4, 2 g 22 = f 1 + g 2 2 g 4 f 0 f 2 f 0 f 4 f 2, g 23 = g 2 f 3 g 3 f 1 + g 4 f 1 + g 4 f 2 0 f 2 4 f 3 2 f g 4 f 0 f 1 f 4 f g 4 f 0 f 3 f + g 4 f1 2 2 f, g 24 = g f 3 f 4 f 1 2 f 2 g 4 f 1 2 f + g 4 f 0 f 4 2 f2 2 + f 4 2 f 0 f2 2 e g 25 = g 4 + f 4 f. 2 Assim, seguindo este processo, fazendo algumas mudanças de coordenadas e reparametrizações de tempo, chegamos ao seguinte sistema: dx 5 dy 5 = Y 5, = h 50 + h 51 X 5 + X X 5Y 5 + O( (X 5,Y 5 ) 3 ). + (2-47) Logo, o sistema (2-43) pode ser expresso da forma normal (2-47), portanto, pelo Teorema 11 temos que em uma vizinhança de (x 1,y 1 ) o sistema (2-43) exibe uma bifurcação de Bogdanov-Takens. A Figura 2.6 ilustra o comportamento dinâmico do sistema (2-47). A estabilidade dos pontos equilíbrio admissíveis E 1 e E 2, e os pontos de equilíbrio extremos: E 0, onde a população de presas e predadores é nula, e, E k, onde os predadores estão extintos e a quantidade de presas é a máxima que o ambiente suporta, está determinada pelas curvas de bifurcação estudadas. Além disso, o comportamento destas curvas está determinado pela variação dos parâmetros K e q, pois é de interesse analisar como a capacidade de suporte do ambiente e a colheita do predador afeta a interação entre duas espécies. Assim, o objetivo nesta subseção é classificar os pontos de equilíbrio em várias regiões onde a mudança de estabilidade dos pontos pode ser observada em termos dos parâmetros K e q e das curvas de bifurcação. Para determinar estas regiões consideramos que: ( ) 1. As curvas q K (K) e q(k) = 0 se cruzam em α κβ,0. Além disso, temos que se κβ α < K então κβk α > 0, se κβ α > K então κβk α < 0, de onde E 1 e E 2 não existem. 2. se q < q K (K), E K é um ponto sela e E 2 não existe. 3. se K < K então q H1 e q H2 existem. Caso contrário, q H1 e q H2 não existem. 4. As curvas q K (K) e q H2 (K) se cruzam no ponto (K 1,q 1 ).

73 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 72 0 T + h T h 50 P P 3 T 2 T 3 2 Figura 2.6: Diagrama de bifurcação do sistema (2-47). Logo para as regiões definidas como R 1 = { (K,q) ( ) } α (K κβ < K < K,0 < q < q K (K) > K,0 < q < q (K)) H1, R 2 = {(K,q) ( K < K < K 1,q H2 (K) < q < q K (K)) (K > K,q H1 (K) < q < q K (K))}, R 3 = {(K,q) K > K,q K (K) < q < q H1 (K)}, (2-48) R 4 = {(K,q) ( K < K < K 1,q K (K) < q < q (K)) (K > K 1,q H2 (K) < q < q (K))}, R 5 = { ( ) )} (K,q) α κβ < K < K,q > q K (K) (0 < K < κβ α,q > 0.

74 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 73 temos a seguinte classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema com colheita (2-4) P. Equilíbrio R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 E 0 Sela Sela Sela Sela Sela E K Sela Sela Nó Est. Nó Est. Nó Est. E 1 Foco Est. Foco Inst. Foco Inst. Foco Est. E 2 Sela Sela Tabela 2.2: Classificação dos pontos de equilíbrio para o sistema com colheita (2-4). Exemplo 6 Na Figura 2.7 deixamos fixos os parâmetros r = 0.8, β = 0.3, κ = 0.61, α = 0.5 e ω = 1. O plano K q está dividido em cinco regiões. Na região R 1 temos um ponto de equilíbrio admissível E 1, que é um foco estável que quando cruza a curva de bifurcação de Hopf supercrítica q H1 (K) muda de estabilidade a foco instável na região R 2. Na região R 3, E 1 continua sendo un foco instável, mas o ponto de equilíbrio E 2 aparece e é um ponto sela. Quando E 1 cruza a curva de bifurcação de Hopf subcrítica q H2 (K) muda de estabilidade a foco estável, logo na região R 4 temos dois pontos de equilíbrio admissíveis um foco estável e uma sela que quando q está cada vez mais próximo da curva de bifurcação sela-nó, eles estão mais perto até colidem em um ponto. Logo, na região R 5 os pontos E 1 e E 2 desaparecem.consideremos os seguintes valores dos parâmetros: r = 0.8 β = 0.3 κ = 0.61 α = 0.5 ω = 1 (K 0,q 0 ) = ( , ) (K 1,q 1 ) = ( , ) K = K = Q = α κβ q Q K Figura 2.7: Classificação dos pontos de equilíbrio do sistema (2-4).

75 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador Experimentação numérica Nesta subseção queremos analisar o que acontece com a dinâmica do sistema de colheita (2-4), quando variamos o parâmetro q e deixamos o restante dos parâmetros fixos. Tomando valores dos parâmetros como na Figura 2.7 e K = 15 temos o seguinte: a Figura 2.9 indica que quando q aumenta continuamente, passando através da bifurcação de Hopf, q está na região R 2 ou R 3, e o ponto de equilíbrio E 1 se torna num foco instável. As Figuras 2.9-(a) e (b) ilustra que aparece um ciclo limite estável depois da transição de estabilidade do ponto de equilíbrio E 1. Na Figura 2.9-(a) quando q = 2.2, q está debaixo da curva q K, de modo que só há um ponto de equilíbrio admissível E 1 e o ponto de equilíbrio E K é um ponto sela. Na Figura 2.9-(b) quando q = 2.3, mostra que dois equilíbrios admissíveis são possíveis e o equilíbrio E K é um nó estável pois q > q K. As Figuras 2.9-(b) e (c) indicam que quando a taxa de colheita aumenta, o ciclo limite bifurcado se expande e então se torna um laço homoclínico quando q = A Figura 2.9-(d) mostra que à medida que a taxa de colheita aumenta, o laço homoclínico se rompe e o ponto de equilíbrio E 1 permanece como um foco instável. As Figuras 2.9-(e) implica que quando a taxa de colheita aumenta, mais precisamente a q = aparece novamente um laço homoclínico. Além disso, na Figura 2.9 é visualizado o aumento da taxa da colheita no plano K q. Figura 2.8: Aumento da taxa de colheita no plano K q.

76 2.2 Modelo 2: presa-predador com colheita do predador 75 (a) q H1 (K) < q = 2.2 < q K (K) (b) q = 2.3 > q K (K) (c) q = (d) q = 2.55 (e) q = (f) q = Figura 2.9: Estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema (2-4) quanto a taxa de colheita aumenta.

77 CAPÍTULO 3 Birfurcações em sistemas suaves por partes Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos da Teoria de Sistemas de Filippov bem como o estudo de algumas bifurcações típicas deste tipo de sistema. Os conceitos aqui apresentados são baseados principalmente nas referências [12] e [8]. 3.1 Conceitos básicos Sejam U R 2 um aberto contendo a origem e f : U R uma função suave que tenha 0 como valor regular. Definimos a variedade de transição, Σ, como sendo o conjunto Σ = f 1 (0) U = { p R 2 ; f (p) = 0 }. Dessa forma, Σ é uma subvariedade de R 2, de codimensão 1, que divide U em duas regiões conexas: Σ + = {p U; f (p) > 0} e Σ = {p U; f (p) < 0}. Um campo vetorial suave por partes é definido da seguinte forma: { X + (p), p Σ +, Z(p) = X (p), p Σ, (3-1) onde os campos vetoriais X ± (p) estão definidos num aberto U R 2, contendo a origem, e são de classe C k, k 1, em Σ + e Σ. Denotaremos um campo vetorial suave por partes assim definido por Z = (X +,X ). Um sistema de Fillipov é definido como sendo um sistema ż = Z(z). (3-2) onde Z = (X +,X ) é um campo vetorial suave por partes. Observamos que existem outros tipos de sistemas de Filippov, mas não serão considerados neste trabalho, para mais detalhes veja [9].

78 3.1 Conceitos básicos 77 Seguindo a convenção estabelecida por Filippov, [9], distinguimos as seguintes regiões em Σ: Região de Costura, Σ c, que é o conjunto dos pontos de Σ em que os campos vetoriais X + e X apontam na mesma direção, isto é, Σ c = { p Σ; X + f (p) X f (p) > 0 }. Σ Σ Figura 3.1: Região de Costura, Σ c. Região de Escape, Σ e, que é o conjunto dos pontos de Σ em que os campos vetoriais X + e X apontam em direções opostas, afastando-se de Σ, isto é, Σ e = { p Σ; X + f (p) > 0 e X f (p) < 0 }. Σ Figura 3.2: Região de Escape, Σ e.

79 3.1 Conceitos básicos 78 Região de Deslize, Σ s, que é o conjunto dos pontos de Σ em que os campos vetoriais X + e X apontam em direções opostas, aproximando-se de Σ, isto é, Σ s = { p Σ; X + f (p) < 0 e X f (p) > 0 }. Σ Figura 3.3: Região de Deslize, Σ s. Observações 3 Dadas as definições acima das regiões de costura, deslize e escape, temos que: nas definições usamos a derivada de Lie da função f na direção do campo X ±, definida por: X ± f (p) = X ± (p), f (p) ; as definições dessas regiões excluem os pontos de tangência, que são aqueles pontos p Σ em que X + f (p) = 0 ou X f (p) = 0, isto é, aqueles pontos onde os campos vetoriais X + e X são tangentes à variedade de transição Σ; outros pontos que também foram excluídos destas definições são os pontos singulares dos campos vetoriais X + e X que estão em Σ. Os pontos singulares também podem ser considerados pontos de tangência, pois satisfazem X + f (p) = 0 ou X f (p) = 0. os pontos de equilíbrio de X ± que estão em Σ serão chamados de pontos de equilíbrio no bordo. Podemos distinguir os tipos de tangência entre um campo suave e uma variedade dependendo do modo como se dá o contato entre eles. Destacamos dois tipos que são as tangências quadráticas e cúbicas. Definição 20 Um campo vetorial suave X possui uma dobra ou tangência quadrática com Σ = { p R 2 ; f (p) = 0 } em um ponto p Σ se X f (p) = 0 e X 2 f (p) = X, X f (p) 0. Diremos ainda que a dobra é visível se X 2 f (p) > 0 e invisível se X 2 f (p) < 0.

80 3.1 Conceitos básicos 79 Definição 21 Um campo vetorial suave X possui uma cúspide ou tangência cúbica com Σ = { p R 2 ; f (p) = 0 } em um ponto p Σ se X f (p) = X 2 f (p) = 0 e X 3 f (p) = X, X 2 f (p) 0. Nas regiões de deslize e escape se pode definir um novo campo vetorial, onde, nestas regiões Σ s e Σ c, a órbita local é dada pela convenção de Filippov, veja [9]. Definição 22 Seja Z = (X +,X ) um campo vetorial suave por partes dado como na equação (3-1). O campo vetorial deslizante, denotado por Z s, para p Σ s Σ e é dado por uma combinação linear convexa de X + (p) e de X (p) de modo que Z s (p) seja tangente à Σ em p Σ + Σ X + (p) X + (p) Z s Z s (p) (p) p Σ + p Σ X (p) X (p) Σ Σ é região de deslize Σ é região de escape Figura 3.4: Definição do campo vetorial deslizante Z s. Σ Deste modo, Z s é dado por: Z s (p) = X f (p) X + (p) X + f (p) X (p) X f (p) X +. (3-3) f (p) Dados os campos vetoriais X ±, para p Σ denotamos seu fluxo por ϕ ± (t, p), e para o campo vetorial suave por partes Z = (X +,X ) denotamos seu fluxo por ϕ Z (t, p), então temos a seguintes definições. Definição 23 As trajetórias locais associadas ao campo vetorial (3-1) por o ponto p podem ser definidas como segue: a) para p Σ + Σ com X + (p) 0 e X (p) 0. O fluxo de Z por p será dado por ϕ + (t, p) se p Σ + ou por ϕ (t, p) se p Σ. b) Para p Σ c, definimos o fluxo do campo vetorial Z da seguinte maneira: Se X f (p) > 0 e X + f (p) > 0, então ϕ (t, p), se t < 0 e ϕ (t, p) Σ, ϕ Z (t, p) = p, se t = 0, ϕ + (t, p), se t > 0 e ϕ + (t, p) Σ +,

81 3.1 Conceitos básicos 80 Se X f (p) < 0 e X + f (p) < 0, então ϕ + (t, p), se t < 0 e ϕ + (t, p) Σ +, ϕ Z (t, p) = p, se t = 0, ϕ (t, p), se t > 0 e ϕ (t, p) Σ. c) Para p Σ e Σ s, tal que Z s (p) 0 o fluxo de Z por p é dado pelo fluxo do campo vetorial deslizante, ϕ Z s(t, p). d) para p Σ c Σ s Σ e tal que as definições de trajetórias para pontos em Σ em ambos os lados de p podem ser estendidas para p e coincidem, a trajetória por p é esta trajetória. Chamaremos estos pontos de pontos de tangência regulares. e) para os pontos que não foram contemplados nos itens acima, definimos ϕ Z (t, p) = p, t R. Aqui estão os pontos de tangência não regulares, chamados tangência singulares, os pontos de equilíbrio de X + e X em Σ ± e os pontos de equilíbrio do campo deslizante Z s em Σ s Σ e. Definição 24 Denominamos p Σ + Σ um ponto de equilíbrio real para o sistema de Filippov (3-2) se X + (p) = 0 e p Σ +. No caso em que X + (p) = 0 e p Σ, então denominamos p um ponto singular virtual do campo vetorial de Filippov (3-1). Uma definição análoga pode ser feita para o campo vetorial X. Definição 25 Denominamos o ponto p Σ e Σ s pseudo-equilíbrio se Z s (p) = 0. Além disso, chamaremos de pseudo-nó estável qualquer ponto p Σ s tal que Z s (p) = 0 e (Z s ) (p) < 0, de pseudo-nó instável qualquer ponto p Σ e tal que Z s (p) = 0 e (Z s ) (p) > 0, e de pseudo-sela qualquer ponto p Σ s tal que Z s (p) = 0 e (Z s ) (p) > 0 ou p Σ e tal que Z s (p) = 0 e (Z s ) (p) < 0. Qualquer outro ponto que não esteja nos casos citados acima é um ponto regular. Definição 26 Uma curva fechada contínua Γ é chamada um ciclo do campo vetorial Z = (X +,X ), se for composto por uma união finita de segmentos de órbitas regulares e pontos singulares de Z = (X +,X ), γ 1, γ 2,..., γ n. Além disso, Γ é um ciclo deslizante, se existe i {1,2,...,n} tal que γ i é um segmento de órbita deslizante e, para quaisquer duas curvas consecutivas, os pontos de partida ou chegada em Σ não são os mesmos. Ver Figura 3.5.

82 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 81 Σ + Σ Σ Figura 3.5: Exemplo de um ciclo deslizante. 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo Nesta seção estudamos algumas bifurcações locais em pontos de equilíbrio (hiperbólicos) no bordo: sela, nó e foco. Para isto, nos baseamos principalmente nos trabalhos [8] e [1]. Consideremos Z = (X +,X ) e suponhamos que (0,0) Σ seja um ponto de equilíbrio hiperbólico para X +. Assim, a origem pode ser um nó, uma sela ou um foco. Além disso, considere W u,s + como as variedades instáveis e estáveis associadas a (0, 0) em Σ +. Na sequência, estudaremos cada caso separadamente Bifurcação sela no bordo Considere o campo de Filippov Z = (X +,X ) como definido em (3-1). Além disso, consideraremos que 0 é um equilíbrio hiperbólico do tipo sela para X + e um ponto regular para X. Devemos impor três condições genéricas para que, em torno de 0, Z tenha codimensão mais baixa possível, que são as seguintes: 1) X f (0,0) 0 e X (0,0) W u,s + (0,0), 2) W u,s + (0,0) Σ, 3) Z s (x) = βx + O(x 2 ) com β 0, onde W u,s + (0,0) são as variedades instáveis e estáveis de (0,0) em Σ +. A primeira condição é necessária pois, quando X f (0,0) = 0, teremos em (0,0), além de uma sela de X + no bordo, um ponto de tangência entre X e Σ. Além disso, para evitar que ocorram conexões de separatrizes de sela no desdobramento genérico de Z, devemos adicionar a condição de que X (0,0), além de ser transversal à subvariedade Σ, também seja transversal às variedades estáveis e instáveis de (0,0) Σ. A segunda condição é necessária porque, quando W u +(0,0) ou W s +(0,0) é tangente à subvariedade Σ, pode surgir dois pontos de tangência simultâneos ou nenhuma tangência

83 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 82 no desdobramento. Fazendo com que o sistema seja mais degenerado e isso aumenta a codimensão e, assim, devemos impor a condição genérica de que W u,s + (0, 0) sejam transversais à Σ. Por último, a terceira condição é necessária porque, como a origem é um ponto de equilíbrio do tipo sela, a curva de descontinuidade pode ser escrita, como Σ = Σ c Σ s ou Σ = Σ c Σ e de modo que sempre temos definido o campo deslizante Z s. Em uma vizinhança da origem, este pode ser escrito na forma Z s (x) = βx + O(x 2 ) com β 0 e pode ser estendido para (0,0) Σ e (ou Σ s ) de modo que Z s (0,0) = 0. Assim, devemos exigir que β 0 para que a origem seja um ponto de equilíbrio hiperbólico de Z s, evitando bifurcações de codimensão maior que um. Em [8] se ilustram exemplos da importância de impor tais condições. Agora vamos estudar os desdobramentos genéricos para este tipo de singularidade. Consideremos que o campo X é vertical. Além disso, para p Σ e Σ s, um ponto de equilíbrio do campo deslizante, temos que X + (p) = λx (p), com λ R, então os pontos de equilíbrio do campo deslizante Z s surgirão na interseção da curva isóclina ẋ = 0 com a curva de descontinuidade Σ, pois sobre a curva ẋ = 0 o campo X + é vertical, isto está ilustrado na Figura 3.6. Ainda mais, a interseção das curvas ẏ = 0 e Σ nos indica o ponto T onde o campo X + é tangente à Σ. Na Figura 3.7, mostramos a posição rela- ẏ = 0 ẋ = 0 X + P T Σ X Figura 3.6: A curva ẋ = 0 e Σ interceptam-se em P, indicando onde ocorre o ponto de equilíbrio para Z s. T é a interseção de ẏ = 0 e Σ, que é o ponto onde X + é tangente a Σ. tiva aos auto-espaços e das retas isóclinas em cada uma das formas normais que serão apresentadas.

84 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 83 ẋ = 0 ẋ = 0 ẋ = 0 ẋ = 0 SB 1 SB2 SB 3 SB 4 Figura 3.7: Posição das retas isóclinas para ilustrar os casos genéricos. Para ilustrar estes comportamentos genéricos, vamos supor X (x,y) = (0,1) e Σ = Σ c Σ s, consideraremos três casos genéricos, denotados por SB i. As formas normais para SB i, i = 1,2,3 são dadas por Zα i = (X i,α +,X ), onde X (x,y) = (0,1) e X i,α + é definido como: ( ) ( ) x + 3y 3α 2x y + α X 1,α + (x,y) =, X + 3x y + α 2,α (x,y) = x + y α ( 2x y + X 3,α + α) (x,y) = 2. x 2y + α Vamos considerar P α o ponto de interseção entre a curva ẋ = 0 e Σ quando α 0, e T α é a interseção de ẏ = 0 e Σ quando α 0. O caso genérico SB 1 ocorre quando W u + está entre T α e P α em Σ +. Se α < 0, o ponto sela é virtual e se transformará em um ponto de dobra-regular visível e não haverá pseudo-equilíbrio. O ponto de dobra regular, i.e., um ponto de dobra para X + e regular para X, é atrator para o campo vetorial deslizante. Se α > 0, o ponto sela é real, um ponto de dobra invisível surge e existe um pseudo-nó estável para o campo deslizante Z s. Além disso, o ponto em Σ s onde a variedade instável da sela cruza Σ está localizado entre o pseudo-equilíbrio e o ponto de dobra regular. A Figura 3.8 ilustra este caso. X + 1,α X + 1,α X + 1,α X X X α < 0 α = 0 α > 0 Figura 3.8: Diagrama de bifurcação para o caso SB 1. O caso SB 2 acontece quando P α esta entre T α e W u + em Σ +, para α < 0 existe um ponto de dobra regular visível e não há um pseudo-equilíbrio. O ponto de dobra é atrator para o campo deslizante. Quando α > 0, isto é, quando o ponto sela é real um ponto de

85 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 84 dobra invisível e um pseudo-nó estável coexistem. Além disso, o pseudo-equilíbrio está localizado entre o ponto (em Σ s ) onde a variedade instável da sela se encontra com Σ e o ponto de dobra regular. A Figura 3.9 ilustra este caso. X + 2,α X + 2,α X + 2,α X X X α < 0 α = 0 α > 0 Figura 3.9: Diagrama de bifurcação para o caso SB 2. O caso SB 3 acontece quando T α está entre W+ u e P α em Σ +, para α < 0 um ponto de dobra visível e uma pseudo-sela coexistem. Quando α > 0, não existem pseudoequilíbrios. Neste caso, a sela se transforma em um ponto de dobra -regular invisível, que é repulsor para o campo vetorial deslizante. A Figura 3.10 ilustra este caso. X + 3,α X + 3,α X + 3,α X X X α < 0 α = 0 α > 0 Figura 3.10: Diagrama de bifurcação para o caso SB 3. Observação 2 As formas normais SB3 e SB4 são topologicamente equivalentes, veja [17] Bifurcação nó no bordo Nesta situação, devemos impor condições genéricas muito parecidas com o caso anterior, como exigir que X f (0,0) 0 e, também, que β na expresão do campo deslizante Z s (x) = βx + O(x 2 ) seja não nula, já que ocorre Σ = Σ c Σ s ou Σ = Σ c Σ e e então sempre temos o campo deslizante definido. Porém, devemos evitar o aparecimento de nós degenerados, isto é, casos em que a matriz DX + (0,0) possua apenas um autovalor, pois esta situação acarretará bifurcações mais degeneradas. Além disso, temos que evitar que X (0,0) seja paralelo à variedade forte (ou fraca) associada ao ponto de equilíbrio, pois teremos uma bifurcação de codimensão maior que um, do fato de que se X (0,0) é paralelo à uma dessas variedades pode surgir no desdobramento deste campo uma

86 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 85 conexão entre um ponto de equilíbrio hiperbólico do campo deslizante e um ponto de equilíbrio real de X +. Assim, devemos impor as seguintes condições: 1) X f (0,0) 0 e X (0,0) transversais às variedades fraca e forte do nó, 2) As variedades forte e fraca são transversais a Σ, 3) Z s (x) = βx + O(x 2 ) com β 0, 4) os autovalores de DX + (0,0) são distintos. Em [8] são apresentados exemplos ilustrando a importância de se impor estas condições. Apresentaremos agora alguns desdobramentos genéricos para este tipo de singularidade. Estes comportamentos genéricos serão determinados pela estabilidade do nó e, também, pela posição das variedades lenta e rápida associadas a este ponto de equilíbrio. Sem perda de generalidade, consideraremos que a origem é um nó estável para o campo X + e, também, que o campo X (x,y) = (0,±1). Como já foi mencionado anteriormente, teremos sempre definido o campo deslizante Z s e os pontos de equilíbrio no desdobramento aparecem na interseção da reta isóclina ẋ = 0 com a subvariedade de descontinuidade Σ. Apresentamos dois desdobramentos genéricos, denotados por NBi, com i = 1, 2, onde suas formas normais são dadas por Zα i = (X α +,Xi ), com X1 (x,y) = (0,1), X 2 (x,y) = (0, 1) e X α + definido como: ( ) 3x + y + α X α + (x,y) =. x 3y 3α Na forma normal NB1 temos que a região de descontinuidade é decomposta como Σ = Σ c Σ s. A Figura 3.11 ilustra que para α < 0 temos um ponto de equilíbrio real em Σ + e a região de deslize é composta somente por pontos regulares do campo deslizante. Para α > 0 temos um ponto de equilíbrio virtual em Σ e temos aparecimento de um pseudo-nó para o campo deslizante Z s α. X + α X + α X + α X1 X1 X1 α < 0 α = 0 α > 0 Figura 3.11: Diagrama de bifurcação para o caso NB 1. Em NB2 temos que Σ = Σ e Σ s. A Figura 3.12 ilustra que para α < 0 um ponto de equilíbrio real em X + ou em Σ + coexiste com uma pseudo-sela hiperbólica para o campo deslizante Z s α, enquanto para α > 0 temos um ponto de equilíbrio virtual para X + em Σ e o campo deslizante não possui pontos de equilíbrio.

87 3.2 Bifurcações locais: pontos de equilíbrio no bordo 86 X + α X + α X + α X2 X2 X2 α < 0 α = 0 α > 0 Figura 3.12: Diagrama de bifurcação para o caso NB Bifurcação foco no bordo Consideremos Z = (X +,X ) Ω e suponhamos que a origem seja uma singularidade do tipo foco para X +. De modo análogo ao estudado anterior, a fim de evitar bifurcações de codimensão maior, devemos impor que o campo X seja transversal à Σ na origem, de maneira que temos sempre definido o campo deslizante. Observe que dado Z α = (X α +,X ) um desdobramento de Z e α > 0, tal que S α Σ + é um ponto de equilíbrio de X α +, temos que o ponto T α onde alguma trajetória de X α + tangencia a superfície de descontinuidade Σ é dado pela interseção entre a curva ẏ = 0 e Σ, também, o ponto de equilíbrio P α do campo deslizante Zα s ocorre no ponto em que ẋ = 0 e Σ se interceptam. Deste modo, devemos observar a trajetória de X α + por T α e dependendo da interseção entre γ e Σ, com γ = {ϕ + α (t,t α ); t > 0}, teremos três casos possíveis, como é ilustrado na Figura ẏ = 0 ẏ = 0 ẏ = 0 ϕ + α (t,t α ) ϕ + α (t,t α ) ϕ + α (t,t α ) ẋ = 0 ẋ = 0 S ẋ = 0 S α S α α X α + X α + X α + P α T α X P α T α X P α T α X (a) (b) (c) Figura 3.13: Interseções entre γ e Σ. Na Figura 3.13 (b), quando γ Σ = {P α } temos um caso mais degenerado que os outros dois, já que pequenas perturbações no sistema podem destruir a conexão entre T α e P α, neste caso o foco é chamado foco degenerado. Portanto, temos que exigir que γ Σ {P α }, para que a codimensão não seja maior que um. Asim, devemos impor as seguintes condições: 1) X f (0,0) 0, 2) Z s (x) = βx + O(x 2 ) com β 0,