ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA EM UMA ATIVIDADE DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO SUPERIOR

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1 ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA EM UMA ATIVIDADE DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO SUPERIOR Henrique Cristiano Thomas de Souza Universidade Estadual de Londrina Resumo: Neste trabalho apresenta-se o relato de uma experiência em que a Análise da Produção Escrita em matemática foi utilizada como alternativa de ensino. Pautando-se nas ideias apresentadas em Santos (2014), propôs-se uma atividade realística sobre Geometria Analítica para uma turma de uma Instituição de Ensino Superior pública localizada na cidade de Londrina na qual o professor-pesquisador fez intervenções após as resoluções dos alunos e, estes, considerando os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador, reconstruíram essas resoluções. Especificamente para este trabalho, se relata a trajetória de ensino de um dos alunos que desenvolveu esta atividade. São evidenciados os objetivos e resultados alcançados em cada apontamento realizado pelo professor-pesquisador e de que maneira eles influenciaram a aprendizagem do aluno. Palavras-chave: Educação Matemática. Análise da Produção Escrita. Geometria Analítica. Introdução A experiência docente relatada neste trabalho levou em consideração as ideias da Análise da Produção Escrita, principalmente, na perspectiva apresentada em Santos (2014). A experiência relatada é de uma atividade sobre Geometria Analítica realizada em uma turma da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear do 2º período do curso de Engenharia de Produção da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus de Londrina em que o autor deste trabalho era o professor regente. Para realizar este relato, o trabalho está estruturado da seguinte maneira: primeiramente apresenta-se como a Análise da Produção Escrita é considerada neste trabalho; num segundo momento apresenta-se a atividade, as atitudes didáticas

2 utilizadas e os procedimentos metodológicos; finalizando constitui-se a análise da atividade. Análise da Produção Escrita em matemática Neste trabalho a Análise da Produção Escrita em matemática é considerada no sentido defendido por Santos (2014) em sua tese de doutorado. Nela a autora constrói uma fundamentação que defende a Análise da Produção Escrita em matemática como uma alternativa pedagógica de ensino. Segundo Santos (2014, p.64-65): Pode-se considerar, portanto, a análise da produção escrita como uma estratégia de ensino centrada no meio, como apresentado por Rajadell(2001, 2012). Isto é, uma estratégia de ensino em que o meio, a produção escrita, é um recurso material (LIBÂNEO, 1994), de suporte textual (RADAJELL, 2001, 2012) e portador de informação (MACHADO, 2000), que é manipulado pelo professor a fim de que ele possa atingir seus objetivos. Cabe salientar que essa perspectiva da análise da produção escrita em matemática apresentada em Santos (2014) tem como base a Educação Matemática Realística. Segundo Nelissen (1999, p.2) a Matemática Realística como uma nova estratégia de ensino da matemática teve sua ascensão na década de 70 quando uma nova visão da matemática surgiu quando Freudenthal (1983), entre outros, contestaram a matemática como uma disciplina escolar preocupada exclusivamente com conhecimento abstrato e formal, em que as abstrações matemáticas deveriam ser ensinadas. Em sua opinião, a matemática é descoberta por meio da observação dos fenômenos concretos em torno de nós. É por isso que o ensino deve basear nos fenômenos concretos num mundo familiar para as crianças. Uma dos aspectos que caracterizam a Educação Matemática Realística é o trabalho com um contexto. Segundo Nelissen (1999, p.4): Um contexto é uma situação que agrada a crianças e que elas podem reconhecer na teoria. Esta situação pode ser tanto de ficção ou real, e força as crianças a invocar o conhecimento adquirido pela experiência - por exemplo, na forma de seus próprios métodos de trabalho informal - tornando, assim, a aprendizagem de uma atividade significativa para eles, um contexto bem escolhido pode induzir um processo de pensamento ativo em crianças

3 Nesse sentido, as tarefas produzidas ou selecionadas pelo professor para a construção de trajetórias de ensino e aprendizagem devem, sendo elas reais ou fictícias, serem pautadas no contexto em que o aluno está inserido, à dizer, a tarefa necessita ser realística para o aluno, ela tem que ser da realidade cotidiana (social, profissional, etc.) ou da realidade imaginável dele. No que tange a prática da análise da produção escrita em matemática, Santos e Buriasco (2010, apud SANTOS, 2014, p. 56) afirmam que é utilizada para a obtenção de informações que possibilitem ao professor conhecer e compreender o processo de aprendizagem dos alunos e, posteriormente, planejar e executar intervenções de forma que orientem tanto o processo de ensino quanto o processo de aprendizagem. Considerando esta caracterização da análise da produção escrita em matemática, Santos (2014, p. 66), analisando a experiência relatada em Ciani (2012), propõe uma dinâmica de aula: O aluno resolve uma tarefa apresentando sua produção escrita; O professor recolhe a resolução do aluno e realiza uma análise da produção presente nessa resolução; Com base nas informações obtidas na análise realizada, o professor elabora intervenções, sob a forma de uma trajetória de ensino e aprendizagem, de modo que essas possam auxiliá-lo a guiar o aluno na reinvenção; O professor traz para sala de aula informações acerca da produção do aluno para que esse possa analisá-las e as discuti-las com os colegas; Tendo em vista as informações do professor, o aluno segue em seu processo de matematização, buscando desenvolver suas ferramentas matemáticas; O professor guia o aluno, tendo como referência a trajetória de ensino e aprendizagem elaborada, até entender que o aluno conseguiu desenvolver suas ferramentas matemáticas ou que conseguiu discutir aspectos matemáticos subjacentes à resolução apresentada. Tomando como base esta dinâmica, adaptando-a quando necessário para a situação analisada, é que se propôs a atividade aqui relatada neste trabalho. Aspectos Didáticos da atividade e Metodológicos do trabalho A atividade foi realizada na disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear com uma turma do 2º período do curso de Engenharia da Produção da Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus de Londrina. A atividade foi parte integrante das

4 atividades avaliativas da referida disciplina, sendo componente das denominadas Atividades Práticas Supervisionadas 1 (APS). No Quadro 1 a atividade está apresentada. Quadro 1: Atividade fornecida aos alunos As retas r 1 e r 2 apresentam dois comportamentos (processos de produção) que estão sendo considerados em uma indústria para a produção de certo produto. Os responsáveis pela indústria necessitam determinar qual dos processos é mais indicado. Ponha-se na posição de consultor dessa empresa e delibere sobre qual processo de produção é mais indicado, ou se somente um deles é indicado. As equações das duas retas estão abaixo: e Fonte: O autor. Nota-se que o contexto da atividade se encaixa na descrição dado por Nelissen (1999), pois, mesmo sendo uma situação fictícia, a atividade está inserida na realidade de formação da turma, visto que o estudo de processos de produção é parte integrante dos estudos do curso de Engenharia da Produção. A trajetória de ensino e aprendizagem gerada pela atividade se constituiu de cinco momentos. Num primeiro momento a atividade foi construída pelo professorpesquisador e entregue aos alunos 2. Num segundo momento os alunos resolveram-na e entregaram-na para a análise do professor-pesquisador. No terceiro momento o professor-pesquisador realizou a análise das respostas dadas pelos alunos, fazendo comentários, perguntas, sugestões, etc., entregando novamente para que os alunos resolvessem-na. No quarto momento os alunos resolveram a atividade agora levando em consideração os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador, e entregaram-na novamente para análise do professor-pesquisador. Num quinto e último momento, o professor-pesquisador fez a análise da resolução dos alunos considerando os apontamentos que havia feito em momento anterior. 1 As Atividades Práticas Supervisionadas (APS) são atividades acadêmicas desenvolvidas sob a orientação, supervisão e avaliação de docentes e realizadas pelos discentes em horários diferentes daqueles destinados às atividades presenciais. São regulamentadas pela Resolução nº 78/09 COEPP, de 21 de agosto de Disponível em: 2 Uma particularidade dessa atividade é que ela foi proposta de modo que os alunos resolvessem-na de forma individual.

5 Análise da atividade Apresentam-se as trajetórias de ensino e aprendizagem de um aluno que desenvolveu a atividade. Primeiramente mostra-se a resolução inicial do aluno; posteriormente os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador; e finalizando, expomos a segunda resolução do aluno, na qual ele considerou os apontamentos feitos pelo professor. Fazem-se também comentários sobre o desenvolvimento geral da atividade. Para iniciar apresenta-se a primeira resolução do aluno A (Figura 1). Figura 1: Desenvolvimento do Aluno A; primeiro raciocínio, parte I. Fonte: Registros do aluno A. Observar-se na Figura 1 que o aluno busca igualar as variáveis x, y e z de cada conjunto de equações paramétricas das retas dadas na situação. Ele não consegue avançar nesse procedimento. A continuação desse raciocínio segue na Figura 2. Figura 2: Desenvolvimento da atividade do Aluno A; primeiro raciocínio, parte II. Fonte: Registros do aluno A.

6 Na Figura 2 o procedimento que o aluno toma é semelhante ao da Figura 1, entretanto, nesse desenvolvimento ele resolve o sistema linear para encontrar os valores dos parâmetros h e t. De posse dos valores de e, que satisfazem as equações formadas quando se igualaram as variáveis dos conjuntos de equações paramétricas das retas e da situação, o aluno terminou seu raciocínio com procedimentos constantes na Figura 3. Figura 3: Desenvolvimento da atividade do aluno A; primeiro raciocínio, parte III. Finalizando o raciocínio o aluno substituiu os valores dos parâmetros h e t encontrados nas equações paramétricas das retas e obtendo valores para as variáveis x, y e z iguais em ambas as retas. O raciocínio terminou neste resultado, contudo, sem que o aluno fizesse nenhuma inferência sobre o significado desse resultado para a situação. Coube ao professor-pesquisador fazer o primeiro apontamento (Figura 4). Figura 4: Apontamento do professor-pesquisador referente ao primeiro raciocínio do desenvolvimento do Aluno A. O objetivo desse apontamento foi buscar que o aluno expusesse sua intencionalidade com esse primeiro raciocínio do seu desenvolvimento. Na Figura 5 apresentamos a resolução que o Aluno A realizou ao considerar o apontamento do professor-pesquisador em relação ao seu primeiro raciocínio. Figura 5: Desenvolvimento do Aluno A após o apontamento do professor-pesquisador referente ao seu primeiro raciocínio. 3 3 (1) O que significa para as retas (e em consequência para os processos de produção) esse resultado?

7 Essa resposta dada pelo Aluno A evidencia a importância do apontamento feito pelo professor-pesquisador, pois, fez com que ele deixasse clara sua intenção ao desenvolver um raciocínio. Algo que não seria possível determinar se o aluno tivesse apenas uma oportunidade de resolver a situação proposta. A seguir segue o segundo raciocínio que o Aluno A desenvolveu durante a resolução da atividade. Figura 6: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte I. 4 Nesse trecho do raciocínio o aluno identifica os vetores diretores das retas e calcula o ângulo entre elas. No entanto ele não avança a partir deste cálculo para uma possível resposta à situação proposta. Essa foi uma das razões que levou o professorpesquisador a fazer um dos apontamentos (Figura 10). Depois o aluno constrói dois gráficos e faz uma afirmação (Figuras 7 e 8). Figura 7: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte II. 4 substituindo h=-1 e t=2 encontramos x=1, y=2 e z=2, isso é o ponto de encontro entre as duas retas, significando que naquele momento a produção nos dois casos será igual.

8 Figura 8: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte III. Se pode observar que o cálculo do ângulo e os gráficos não condizem com a afirmação que está circulada na Figura 8. Este fato também foi motivo para os apontamentos do professor-pesquisador (Figuras 10 e 11). Outro fato que também motivou esses apontamentos foi outra afirmação (Figura 9) feita pelo aluno sobre esse raciocínio. Figura 9: Desenvolvimento do Aluno A; segundo raciocínio, parte IV. Nessa inferência feita pelo aluno (Figura 9) ele considerou as representações gráficas dos vetores diretores que já não estavam corretas em relação a escala, indicação dos eixos coordenados, etc. sem considerar que vetores tridimensionais possuem inclinações relacionadas a cada um dos eixos coordenados. Considerando essas resoluções foram feitos dois apontamentos pelo professor-pesquisador. 5 5 Como visto nos gráficos o ângulo de r2 parece ser superior, tendo crescimento + rápido.

9 Figura 10: Apontamento do professor-pesquisador referente ao segundo raciocínio do desenvolvimento do Aluno A. Figura 11: Apontamento do professor-pesquisador referente ao segundo raciocínio do desenvolvimento do Aluno A. 6 O segundo apontamento (Figura 10) teve por objetivo alertar o aluno sobre uma confusão do conceito de direção que estava fazendo. O quarto apontamento (Figura 11) já era uma afirmativa, mas que não estava explicada; objetivava, então, que o aluno buscasse mais informações sobre ângulos de vetores tridimensionais e a relação dos ângulos com as direções das retas e como isso poderia auxiliar para resolver a problemática proposta. A partir destes apontamentos o aluno produziu a seguinte resolução (Figura 12): Figura 12: Desenvolvimento do Aluno A após os apontamentos do professorpesquisador referente ao seu segundo raciocínio. 7 6 (2) Se o ângulo entre os vetores diretores (que também é o ângulo entre as retas) é de 18, podem esses vetores terem a mesma direção? 7 O ângulo dos vetores diretores não é único. Procure sobre e investigue a respeito.

10 Na Figura 12 se observa que o aluno foi calcular o ângulo que os vetores diretores fazem com os eixos ordenados. Neste ponto é possível inferir um domínio do aluno em relação ao cálculo do ângulo entre vetores e, especificamente neste caso, da posição dos vetores da base canônica em relação aos eixos coordenados. Nesse sentido considera-se que esse avanço na utilização desses conceitos foi desencadeado através do incentivo feito pelos apontamentos. A relação dos vetores diretores das retas com os eixos coordenados chamou atenção do aluno. Como a situação era aberta ele poderia fazer conjecturas a partir dessa relação, assim como o fez (Figura 13). Figura 13: Desenvolvimento do Aluno A após os apontamentos do professorpesquisador referente ao seu segundo raciocínio. 8 8 portanto se formos analizar os vetores diretores com relação ao eixo x (estando prescrita na parte positiva) v1tem um ângulo de aproximadamente 68 com x,

11 As anotações do aluno na Figura 13 evidenciam como ele foi estimulado pelos apontamentos do professor-pesquisador a criar hipóteses sobre os eixos coordenados e a relação com as retas da situação proposta. Também ficou evidente que o aluno teve que se aprofundar nos conceitos da Geometria Analítica necessários para a resolução da situação proposta. Um terceiro raciocínio que o Aluno A desenvolveu na resolução da atividade está apresentado na Figura 14. Figura 14: Desenvolvimento do Aluno A; terceiro raciocínio. 9 Na Figura 14 o aluno cometeu alguns erros de notação e também de conceitos. Ele analisou a intensidade dos vetores diretores das retas envolvidas na situação como se fosse a intensidade das próprias retas retas não tem intensidade. Nesse sentido o professor-pesquisador fez uma intervenção sobre esse raciocínio. Figura 15: Apontamento do professor-pesquisador referente ao terceiro raciocínio do desenvolvimento do Aluno A v2tem um ângulo de aproximadamente 72 com x, ou seja, se o eixo x indicar produtividade, através da angulação percebemos que v2 seria mais vantajoso. v1tem um ângulo de aproximadamente 124 com y, v2tem um ângulo de aproximadamente 107 com y, Já no eixo y, que representa a parte negativa no gráfico, quanto menor a angulação melhor a produção, se pensarmos no eixo como disperdício (no entanto como está superior a noventa inverte.) v1tem um ângulo de aproximadamente 42 com z, v2tem um ângulo de aproximadamente 25 com z, por último analizando o eixo z, que também esta contida na parte positiva do gráfico, veremos o maior grau, como a melhor produção. Então será mais vantagem v1 Assim, percebemos as vantagens e desvantagens de cada uma das retas que denomina os processos diferentes. 9 Após as diversas análises acho que r1 seria a mais indicada se analizarmos a intensidade (3) [...].

12 Os objetivos com este apontamento foram: mostrar o equívoco que o aluno fez ao considerar intensidade de retas; e, dar a oportunidade para que ele repensasse sobre o seu raciocínio e até explicasse suas intenções ao realizar tal inferência. Na Figura 16 está a produção do Aluno A após o apontamento do professor-pesquisador. Figura 16: Desenvolvimento do Aluno A após os apontamentos do professorpesquisador referente ao seu terceiro raciocínio. 10 Percebe-se que o aluno ainda faz confusão com o significado que os valores obtidos com os cálculos dos módulos dos vetores diretores das retas têm para a situação. No caso, esses valores não possibilitam nenhuma inferência para a situação, pois, os vetores diretores de uma reta indicam sua direção e somente isto. Portanto, mesmo com o apontamento que o professor-pesquisador fez o aluno ainda cometeu equívocos. Nesse sentido, acredita-se que a intervenção feita neste raciocínio do aluno não foi suficiente. 11 Considerações finais Considerando a Análise da Produção Escrita em matemática como uma alternativa de ensino, como apresentada em Santos (2014), apresentou-se aqui um relato de experiência de uma atividade desenvolvida numa Instituição de Ensino Superior pública na cidade de Londrina. Como evidenciado, a trajetória de ensino guiada pela atividade proposta se deu em cinco momentos: 1º) A atividade foi construída pelo professor e entregue aos alunos; 2º) Os alunos resolveram-na e entregaram-na para a análise do professor; 3º) O 10 (3) Retas são infinitas, portanto não tem intensidade. A intensidade que você achou foi a intensidade dos vetores diretores. 11 Pensando em relação aos módulos (não com relação ao tamanho, e sim com a taxa de crescimento) vemos a vantagem do v1, já nos ângulos o v2. Mantendo a conclusão da ApsII.

13 professor realizou a análise das respostas dadas pelos alunos, fazendo comentários, perguntas, sugestões, etc.; entregando-a novamente para que os alunos resolvessem-na; 4º) Os alunos resolveram a atividade agora levando também em consideração os apontamentos feitos pelo professor, e entregaram-na novamente para análise do professor; 5º) O professor fez a análise da resolução dos alunos considerando os apontamentos que havia feito em momento anterior. Neste trabalho apresentou-se o desenvolvimento do Aluno A. Foram mostrados os raciocínios iniciais que o aluno construiu, o(s) apontamento(s) que o professorpesquisador fez em relação a este raciocínio, e a nova resolução do aluno quando considerou o(s) apontamento(s) do professor-pesquisador. Pode-se observar que os apontamentos feitos pelo professor-pesquisador ajudaram o aluno avançar em seu raciocínio inicial. Também, em algumas intervenções, o aluno foi incentivado criativamente, criou hipóteses e testou conjecturas para dar uma solução à situação inicial. Nesse sentido, acredita-se que a Análise da Produção Escrita em matemática na perspectiva aqui apresentada pode ter grande potencial nas aulas de matemática. Muitas vezes as primeiras ideias de um aluno podem conter erros e/ou não estarem expostas de forma clara, com isso, as intervenções do professor podem guiar o aluno a lapidá-las, construindo assim seu conhecimento matemático. Referências CIANI, A. B. O realístico em questões não-rotineiras de matemática. Tese (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, Londrina-PR, FREUDENTHAL, H. Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Reidel NELISSEN, J. M. C..Thinking skills in realistic mathematics. In: HAMERS, J. H. M.; VAN LUIT, J. E. H.; ÉS CSAPÓ, B. (Org.). Teaching and learning thinking skills. Swets and Zeitlinger, Lisse

14 SANTOS, E. R. Análise da Produção Escrita em matemática: de estratégia de avaliação a estratégia de ensino. Tese (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina, Londrina-PR, 2014.