BURITI: RELAÇÃO ENTRE SEQUÊNCIA DE FIBONACCI, RAZÃO ÁUREA E ESPIRAL LOGARÍTMICA AUTORES RESUMO

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1 BURITI: RELAÇÃO ENTRE SEQUÊNCIA DE FIBONACCI, RAZÃO ÁUREA E ESPIRAL LOGARÍTMICA AUTORES Everaldo Roberto Monteiro dos Santos, UEPA/PUC-SP/SEDUC-PA, profmaterms@yahoo.com.br Lucélia Valda de Matos Cardoso, UEPA, lucelialuk@yahoo.com.br Jeane do Socorro Costa da Silva, UEPA/PUC-SP/SEDUC-PA, jeanescsr@yahoo.com.br RESUMO O presente artigo 1 faz uma abordagem a um tema que é pouco explorado no ensino da Matemática em todos os seus níveis: A relação entre a matemática e a natureza. Para isso, usaremos argumentos matemáticos enfatizando conceitos e padrões pertencentes à sequência de Fibonacci, à Razão Áurea e à Espiral Logarítmica para mostrar que há essa relação em um fruto típico de nossa região amazônica: o buriti. Assim sendo, a nossa pesquisa fez um levantamento sobre esses objetos matemáticos presentes na natureza, nas artes e na arquitetura, tendo como ponto de apoio principalmente as obras de Livio, Huntley e Milodinow para construirmos nosso quadro teórico e apresentando a relação existente entre a matemática e a natureza. Tal relação pode ser observada nos galhos das árvores e em algumas flores, como por exemplo, o girassol que se organiza de forma natural em espiral, ou na arquitetura clássica dos gregos. Dessa forma, a pesquisa tem como objetivo mostrar que tais padrões matemáticos, presentes nas artes, na arquitetura e em vários seres da natureza, estão presentes também no fruto pesquisado. Concluímos, a partir de tais argumentos, que o buriti obedece a esses padrões presente na natureza. Contudo, sabemos da limitação de nosso trabalho e da necessidade de futuras pesquisas envolvendo o assunto. Por isso, deixamos um caminho aberto para futuras investigações envolvendo esse fruto e a criação de metodologia de ensino que envolvam os objetos matemáticos e o buriti. Palavras chave: Sequência de Fibonacci, Razão Áurea, Espiral Logarítmica, Buriti. Educação matemática. ABSTRACT This paper presents an approach to a topic that is little explored in the teaching of mathematics at all levels: The relationship between mathematics and nature. For this, we use mathematical arguments emphasizing concepts and patterns belonging to the Fibonacci sequence, Golden Ratio and the logarithmic spiral to show that there s such relationship in a typical fruit of our Amazon: buriti. Therefore, our research did a survey on these mathematical objects in nature, the arts and architecture, with the point of support mainly the works of Livio, Huntley and Mlodinow for building our theoretical framework and presenting 1 O artigo é um recorte do Trabalho de Conclusão de Curso de licenciatura Plena em matemática da Universidade do Estado do Pará- UEPA sob a orientação do primeiro autor com o Titulo: Buriti: relação entre sequência de Fibonacci, razão áurea e a Geometria Fractal.

2 the relationship existent the mathematics and the nature. This relationship can be observed us branches of trees and in some flowers, as by example, the sunflower that if organizes of form natural spiral, or in classic architecture of the Greeks. Thus, the search has the objective show that such mathematical patterns, in the arts, in architecture and in various beings of nature, are present also the fruit search. Conclude, from such arguments, the buriti obeys these patterns in nature. However, know the limitations of our work and need for future research involving the subject. Therefore, we a path open for future investigations involving this fruit and creating teaching methodology involving mathematical objects and buriti. Keywords: Fibonacci Sequence, Golden Ratio, Logarithmic Spiral, Buriti. Mathematics Education. Introdução - A sequência de Fibonacci Filho da boa natureza, assim era conhecido um dos matemáticos mais talentosos da Idade Média, Leonardo de Pisa (Fibonacci), nascido na Itália por volta da década de Fibonacci tornou-se famoso quando tinha aproximadamente 27 anos com a publicação do seu primeiro e mais conhecido livro: Liber Abaci (Livro ábaco), contendo inúmeros temas como Aritmética, Álgebra elementar e uma abundante coleção de problemas. Um desses problemas é o famoso envolvendo população de coelhos o qual deu a base para a Sequência de Fibonacci. Sobre a sua vida e obra há inúmeras pesquisas, como a de Mario Lívio ao retratar a sua história: Na época em que o livro apareceu, apenas alguns intelectuais europeus privilegiados, que se preocupavam em estudar as traduções das obras de al-khwārizmī e Abu Kamil, conheciam os numerais indo-arábicos que usamos hoje. Fibonacci, que por algum tempo viveu com seu pai, um funcionário de comércio e alfândega, em Bugia (atualmente na Argélia) e mais tarde viajou para outros países mediterrâneos (entre eles Grécia, Egito e Síria), teve oportunidade de estudar e comparar diferentes sistemas numéricos e métodos de operações aritméticas (LIVIO, 2007, p.111). O problema que se encontra em seu livro: Um homem pôs um casal de coelhos em um lugar cercado por todos os lados por uma cerca. Quantos casais de coelhos podem ser gerados a partir deste casal em um ano se, supostamente, todo mês cada casal dá à luz um novo casal, que é fértil a partir do segundo mês? Ao resolver este problema encontrasse a seguinte sequência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,... Observa-se que o número de casais de coelhos em determinado mês é a soma dos casais de coelhos existentes nos dois meses anteriores a estes. É fácil

3 constatar que o número de casais de coelhos a cada mês obedece a um padrão, a uma sequência numérica não aleatória. Essa sequência foi denominada Sequência de Fibonacci pelo matemático Edouard Lucas ( ) no século XIX. Apesar do exemplo acima, a sequência de Fibonacci está bem longe de limitar-se à reprodução de coelhos. Ela é encontrada em uma variedade inacreditável de padrões e fenômenos que aparentemente não têm relação entre si. Suponha a seguinte pergunta: O que o arranjo de pétalas em uma rosa, as folhas das árvores, as sementes de um girassol, abacaxis, a procriação de coelhos têm em comum? Pode-se, seguramente, responder que é a sequência de Fibonacci. Razão que parece surgir subitamente em vários fenômenos da Natureza, acentuando, assim, a curiosidade de esclarecer todo o Universo com base na Matemática. Nesse sentido, citamos Livio: As propriedades do nosso universo, do tamanho dos átomos ao tamanho das galáxias, são determinadas pelos valores de alguns números conhecidos como constantes da natureza. Essas constantes incluem uma medida da intensidade de todas as forças básicas a gravitacional, a eletromagnética e as duas forças nucleares (LIVIO, 2007, p.126). Contudo, apesar de esses padrões aparecerem constantemente na natureza somente, há pouco tempo o homem começou a dar maior importância a eles. Descobriu-se, também, que tais padrões não aparecem por acaso. Eles são um processo natural de crescimento de alguns seres vivos. Como por exemplo, as sementes do girassol, ou na concha do nautilus e que esta sequência é uma determinada razão, que já era conhecida desde a antiguidade têm muito mais em comum, como iremos ver a seguir. A Razão Aurea A sequência de Fibonacci contém uma razão absolutamente notável. Esta razão específica, às vezes, é denominada Razão Áurea ou Proporção Divina que nos leva ao um número que é chamado Número Áureo ou Número de ouro (Fi) que é um valor numérico aproximadamente igual a 1, Razão Áurea pode se iniciar por um segmento de reta em média e extrema razão, que pode ser dividido de tal forma que resulte em um segmento maior e outro menor. Existem alguns números especiais que são tão onipresentes que nunca deixam de nos surpreender. O mais famoso deles é o número Pi ( ), que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Menos

4 conhecido que o Pi é um outro número, o Fi ( ), que, em muitos aspectos, é ainda mais fascinante (...) A primeira definição clara do que mais tarde se tornou conhecido como Razão Áurea foi dada por volta de 30 a.c. pelo fundador da geometria como sistema dedutivo formalizado, Euclides de Alexandria (LIVIO,2007, p.12-13). Buscando a história da Razão Áurea, observam-se determinadas discordâncias entre os pesquisadores do assunto, especificamente se os povos egípcios, babilônios e outras civilizações remotas tinham conhecimento sobre essa razão. A Razão Áurea ocorre quando o segmento menor dividido pelo maior é igual ao maior dividido pelo segmento todo. De uma forma mais simplificada, podemos observá-la utilizando o seguinte processo: Considere o segmento de reta, colocando um ponto, entre e (sendo que estará mais perto de ), de modo que a razão do segmento menor para o maior seja igual à razão do maior segmento para o segmento todo. Então, tem-se que: = Utilizando alguns argumentos da matemática básica encontramos o número áureo Fi ( ) = 1, Ao analisar este número, é verificada uma fascinante relação entre a sequência de Fibonacci, a Razão Áurea e o Número Áureo. À medida que avançamos na sequência de Fibonacci, a razão entre dois números sucessivos de Fibonacci oscila em torno do Número Áureo, sendo que alguns valores oscilam alternadamente maiores e menores que Fi. Vejamos apenas dois exemplos a seguir desta relação: 21/13 = 1, e 34/21 = 1, Observe que o número encontrado pelas razões formadas por números

5 sucessivos da sequência de Fibonacci se aproximam do valor de Fi, com diferença apenas em casas decimais, ora maior, ora menor. É impressionante como a sequência de Fibonacci está intimamente relacionada com a Razão Áurea. Razão que pode aparecer em várias formas da geometria euclidiana, como é o caso do retângulo áureo que foi, e ainda é, muito apreciado nas artes e na arquitetura. Este retângulo possui a seguinte característica: a razão entre o lado maior e o lado menor é o número de ouro, ou seja, o Fi, devido a esta característica, é denominado Retângulo Áureo, e era considerado perfeito pelos gregos, por ser o retângulo mais aprazível à visão. Devido a esse fato, muitas construções Gregas utilizavam retângulos áureos. Figura 1: Partenon 3 O Partenon, templo representativo do Século de Péricles, por exemplo, construído há centenas de anos pelos Gregos, contém o Fi no retângulo que forma a fachada, proporcionando beleza e harmonia à obra. Para se construir um retângulo áureo é preciso retirar um quadrado do retângulo. Assim, teríamos outro retângulo menor do qual, também, retiraríamos outro quadrado e, por conseguinte, teríamos outro retângulo, desenho 1e 2. Esse processo pode ser repetido de modo infinito. Mesmo assim, teríamos um Retângulo Áureo como mostra os desenhos abaixo: Desenhos 1 e 2: construção do Retângulo Áureo 3 Fonte: :

6 Podemos apontar outro aspecto importante dessa construção geométrica, que é o seguinte: ao traçarmos uma curva que passe por dois vértices de cada quadrado encontramos uma espiral que possui características próprias denominada espiral logarítmica. A Espiral Logarítmica Chamada também de Espiral de Fibonacci. Sobre essa espiral é interessante notarmos que foi Jacques Bernoulli ( ) que associou o nome que vem do princípio de que o raio da espiral aumenta entre os rolamentos conforme nos afastamos do centro sem alterar sua forma, característica da auto-similaridade. Pode-se facilmente construir a espiral logarítmica utilizando retângulos áureos, basta usar dois vértices opostos em cada retângulo e traçar uma curva plana que gire em torno de um ponto central, como observamos nos desenhos abaixo: Desenho 3: Retângulo Áureo Desenho 4: Espiral logarítmica Na natureza é muito comum encontrarmos essas espirais, como é o caso da via láctea nos furacões etc... Tais formas possibilitam um padrão ideal de crescimento compacto que não desperdiça espaço, e cria distintos padrões em espiral e semelhança. Para ilustrarmos essa referência, citaremos o exemplo do Girassol, pois segundo Livio (2007): A quantidade dessas espirais em geral depende do tamanho do girassol. O mais comum é que existam 34 espirais em um sentido e 55 no outro, mais girassóis com quocientes de números de espirais de 89/55, 144/89 e até de 233/144 (pelo menos; relato por um casal de Vermont à Scientific American em 1951) foram visto. Todos esses valores são, obviamente, razões de números de Fibonacci adjacentes (p. 133). Pelo exposto, fica evidente que o formado da flor do girassol e a sua

7 organização obedecem a padrões matemáticos e que o número de espirais seguem a sequência de Fibonacci, e à medida que aumenta o diâmetro das espirais, encontramos a razão áurea. Para ilustrar melhor, colocamos duas figuras: a primeira, a flor do girassol; a outra, apenas as espirais logarítmicas presentes nesta flor. Figura 2: flor do girassol 4 Figura 3: espirais logarítmicas do girassol 5 Observa-se que na figura 2 fica evidente a formação de espirais em ambos os sentidos, já na figura 3, tais espirais formam uma figura recursiva. Ainda de acordo com Livio (2007, p.138), parece que a natureza ama espirais logarítmicas e que escolheu como seu ornamento favorito, revelando em todas as escalas de tamanho uma beleza sem igual. O curioso é sabermos como as coisas da natureza se formam dessa maneira, matemática. Até aqui, vimos um breve histórico da sequência de Fibonacci e a razão áurea que nos levaram ao número áureo, retângulo áureo e a espiral logarítmica na natureza. Isso nos leva a perguntas, como a de Livio (2007), que diz: Será que a matemática existe mesmo independentemente dos indivíduos que foram os descobridores/inventores dela e de seus princípios? Será que o universo é matemático por sua própria natureza? Esta última pergunta pode ser reformulada, usando-se um famoso aforismo do físico britânico sir James Jean ( ), como: Será que Deus é um matemático? (p. 21). O intuito desse estudo não é o de tentar responder questões de ordem filosófica e religiosa. Entretanto, não nos passa despercebido que a natureza lança 4 Fonte : 5 Fonte :

8 mão de objetos matemáticos nas suas construções, como é o caso das comeias das abelhas, o crescimento das árvores, entre inúmeros exemplos. O que nos levou à reflexão e, por consequência, a investigar se no buriti, também, encontraríamos tais padrões, ou seja, a razão áurea, a sequência de Fibonacci, a espiral logarítmica e, até mesmos elementos da geometria fractal. Contudo, no momento, pelos objetivos determinados nesse estudo, interessa-nos, apenas, mostrar que o buriti apresenta a espiral logarítmica. O elo entre o buriti e a espiral logarítmica Essa pesquisa propõe encontrar esses padrões matemáticos em um fruto muito conhecido de nossa região, que frutifica de outubro a março. A palmeira, cujo nome científico é Mauritia flexuosa, tem em média 20 a 30 m. de altura, troncos com até 50 cm de diâmetro. Cachos de 2 a 3 m de comprimento com frutos castanhoavermelhados, coberto por escamas e polpa amarelada - o buriti-, também conhecido como miriti. Buriti na língua indígena significa "a árvore que emite líquidos" ou "a árvore da vida". É Considerada sagrada pelos índios porque dela palmeira de buriti --é possível fazer tudo o que é necessário para a sobrevivência de alguém: a casa, os objetos e a alimentação. São bem aparentes as espirais no buriti, como se observa na figura 4. Figura 4: buriti 6 6 Fonte:

9 Quando olhamos para o fruto, notamos padrões espirais tanto no sentido horário como no anti-horário, do mesmo modo como nas sementes do girassol. De acordo com Livio (2007, p.140) A espiral logarítmica e a Razão Áurea caminham de mãos dadas. Portanto, observamos que também podemos encontrar a Razão Áurea no buriti. O padrão espiral é evidente e isso faz com que as escamas cresçam de modo a assegurar a mais eficiente estrutura do fruto. Afim de melhor visualizar as espirais nesse fruto, a figura 4,também, é apresentada em branco e preto, além de traçar as espirais para se encontrar a quantidade de 13 espirais no sentido horário, como podemos observar na figura 5. Vale ressaltar que este número, também, é encontrado na sequência de Fibonacci. Já, na figura 6, temos 15 espirais no sentido anti-horário. Figura 5: espiral sentido horário 7 Figura 6: espiral sentido anti-horário 8 Observamos que à medida que o fruto amadurece a espiral é acompanhada de um crescimento proporcional, de modo que a forma permanece inalterada, assim, mantendo sua semelhança. Agora para melhor entendimento, na figura 7, vamos comparar a junção das espirais encontradas no buriti, nas figuras 5 e 6, com um desenho da estrutura das sementes do girassol, na figura 3. Logo observa-se que a característica de espirais e a auto semelhança são as mesmas. 7 Fonte: As espirais construção do autor. 8 Fonte: As espirais construção do autor.

10 Figura 7: espirais horárias e anti-horárias observadas no buriti 9 Figura 3: Espirais logarítmicas do girassol Pela comparação das duas imagens, evidencia-se que o fruto do buriti apresenta padrões matemáticos semelhantes ao do girassol, ou seja, a espiral logarítmica e, por consequência, a razão áurea. Contudo, é certo que precisamos analisar e investigar com muita propriedade tais profundidade padrões e tomar o cuidado para que não encontrarmos relações onde não existam. Considerações finais Nesse sentido, a presente pesquisa investigativa abre caminhos para futuras investigações interessadas nesta intrigante relação entre matemática e a natureza, mais especificamente entre o buriti e a sequência de Fibonacci, razão áurea e espiral logarítmica. E, embora tenhamos uma pesquisa limitada, o resultado desse breve estudo proporcionou um pensamento inovador no sentido da consciência de que mais estudos são indispensáveis, nesta área, para que o referido tema seja melhor explorado e, assim, mais adiante, lançar propostas pedagógicas que possam favorecer o ensino/aprendizagem da matemática. E a partir dessa futura proposta, pretendemos incentivar os professores a explorarem a sequência de Fibonacci, razão áurea e a espiral logarítmica para que os alunos passem a observar e relacionar as diferentes formas existentes na 9 Fonte: As espirais construção do autor.

11 natureza, como no buriti, e perceber a beleza que existe na matemática e que o belo presente nas várias formas da natureza e na arte, podem ser percebidos, também, utilizando argumentos matemáticos. Referências BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, CARVALHO, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões numéricos e seqüências. São Paulo: Moderna, HUNTLEY. H. E. A Divina Proporção: um ensaio sobre a beleza na Matemática. Editora da Universidade de Brasília, LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. 2ª ed., Rio de Janeiro: Record, MLODINOW, Leonard. A Janela de Euclides: a história das geometrias: das linhas paralelas ao hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, Portal São Francisco. Buriti, Fruto, Cerrado, Palmeira, O que é, Mauritia flexuosa, Características, Propriedades, Uso, Utilidade, Composição, Origem Buriti. Disponível em: < Acesso em: 09 de dezembro de TATAGIBA, Fernando. Plantas do Cerrado. Disponível em: < Acesso em: 09 de dezembro de 2011.