A Razão Áurea. A História de FI, um número surpreendente

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Izabel Pais Guterres
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1 A Razão Áurea A História de FI, um número surpreendente

2 O Livro Autor: Mário Livio Editora: Record Idioma: Português Nº de Páginas: 333 Edição: 2006 Preço: 48 reais (

3 Estrutura 9 capítulos 1: Prelúdio para um Número 2: O Tom e o Pentagrama 3: Sob uma Pirâmide que Aponta para a Estrela Y 4: O Segundo Tesouro 5: Filho da Boa Natureza 6: A Proporção Divina 7: Pintores e Poetas têm a Mesma Licença 8: Dos Ladrilhos aos Céus 9: Será que Deus é um Matemático?

4 O Número FI Existem diversas definições matemáticas para FI, ao lado as mais conhecidas. A seguir uma aproximação um pouco melhor para FI.

5 Uma Aproximação Melhor

6 FI na Geometria A razão entre (a+b) e a é a mesma encontrada entre a e b.

7 O Retângulo Áureo Chamamos de retângulo áureo aqueles onde a razão entre os dois lados diferentes é FI. No exemplo temos que A/B = FI.

8 Construindo o Retângulo Áureo

9 O Pentagrama e a Razão Áurea No pentagrama encontramos a razão áurea entre diversos segmentos, um deles está exemplificado ao lado.

10 Filho da boa Natureza Os nove números indianos são: Com esses números e com o signo 0, qualquer número pode ser escrito, como está demonstrado abaixo Leonardo de Pisa ( )

11 Todos os pensamentos de um coelho são coelhos Um homem pos um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá a luz a um novo par, que é fértil a partir do segundo mês?

12 COELHOS

13 A seqüência de Fibonacci Definimos a Seqüência de Fibonacci como descrito a seguir. (um termo qualquer da seqüência é atingido somando-se os dois termos anteriores)

14 Fibonaccis Áureos 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

15 Fibonaccis Áureos

16 Fibonacci e a Razão Áurea

17 Fibonacci e o Retângulo Áureo

18 1/89 0,01 0,001 0,0002 0, , , , SOMA = 1/89

19 Aplicações de FI Podemos encontrar a razão áurea em diversas áreas das nossas vidas, em geral relacionamos essa razão a beleza e equilíbrio. A seguir mostraremos a razão áurea, em particular o retângulo áureo, sendo aplicada na arquitetura, pintura e escultura do mundo clássico e do atual.

20 O FI na Arquitetura (Grécia) Os gregos já usavam o retângulo áureo em suas construções mais importantes, o Partenon é um exemplo claro disso.

21 O FI na Arquitetura (Egito) Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.

22 O FI na Arquitetura (Paris) Encontramos a razão áurea em diversas proporções da igreja de Notre-Dame, em Paris.

23 O FI na Arquitetura (New York) Encontramos o retângulo áureo no prédio da ONU, em Nova Iorque.

24 O FI na Arquitetura (Canadá) No Canadá encontramos o FI na torre CN, em Toronto.

25 O FI em Pinturas Clássicas Leonardo da Vinci, assim como muitos outros artistas Clássicos, usou vastamente a razão áurea em suas obras. A seguir veremos alguns exemplos da razão áurea sendo usada em obras por diversos artistas.

26 No famoso quadro Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, o retângulo áureo aparece diversas vezes. Note que as proporções do próprio quadro seguem a razão áurea nesse caso.

27 Neste quadro, também de Da Vinci, podemos usar o retângulo áureo para enquadrar a mulher ou anjo, colocando-o para a esquerda da pintura ou para a direita. O que sobra é um quadrado.

28 A belíssima Vênus, ou Afrodite, deusa da beleza em um quadro que retrata o mito de seu nascimento. Repare que suas proporções seguem aquelas do retângulo áureo nessa pintura de Bouguereau.

29 Aqui estão apenas alguns exemplos de onde encontramos o retângulo áureo nessa pintura.

30 Outros exemplos: Pintura de Raphael, onde encontramos o pentágono e suas razões áureas.

31 O FI na Fotografia Uma famosa técnica de fotografia é colocar o foco da foto em um ponto que é encontrado usando a razão áurea, como ilustrado ao lado. A seguir algumas fotos que usam esse principio.

35 O FI no Design Tecnológico Podemos encontrar diversos exemplos do FI sendo usado para fazer o design de objetos tecnológicos. Exemplos disso são os nossos cartões de crédito, carteirinha USP, bilhete único e cartões de seguro saúde. A seguir veremos mais alguns exemplos da razão de ouro sendo usada em design tecnológico.

40 O FI na Natureza Encontramos o FI em diversos lugares da natureza, nos animais, nas plantas e até mesmo em nossos corpos. A seguir mostraremos diversos exemplos que podem ser encontrados na natureza.

41 O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o esquema abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo áureo. Também encontramos a espiral no rabo do camaleão.

42 Outras conchas:

43 O corpo de diversos animais também apresenta a razão áurea:

44 O abacaxi também esconde a razão áurea no número de segmentos seguindo cada uma de espirais, atenção na animação ao lado.

47 34/21 =

48 O FI no Corpo Humano O corpo humano apresenta inúmeras proporções muito próximas da razão áurea. Em geral consideramos bonitas as pessoas com esse tipo de proporção, a seguir faremos um pequeno estudo dessas pessoas.

49 Os dentes e a Razão Áurea Na foto abaixo podemos ver que a razão áurea aparece nesse lindo sorriso. A beleza desse sorriso está em parte associada a essa razão, cor, contraste e tamanho também são considerados, é claro.

50 Mais alguns exemplos

51 O Rosto Humano A seguir veremos algumas proporções áureas encontradas no rosto humano. Inicialmente mostraremos alguns casos soltos, e depois faremos uma análise mais cuidadosa de 4 casos diferentes, escolhidos completamente ao acaso, duas mulheres e dois homens.

53 Jennifer Aniston

55 Angelina Jolie

57 Eis um exemplar ideal da espécie... Se perguntando qual a razão disso?

58 Entende? Quer ver outro?

59 Eis outro exemplar magnífico da espécie, já sabe porque?

60 Essa é a razão.. Entende? A razão!

61 Curiosidades sobre o Fi Sabia que a proporção de abelhas fêmeas e zangões em uma colméia é muito próxima de FI? A figura ao lado passa uma idéia do porque disso.

62 Uma ampliação do esquema das abelhas..

63 O FI na Bíblia A arca de Noé é descrita na bíblia como um colóide de 300 cúbitos por 50 cúbitos por 30 cúbitos (comprimento, largura e altura da arca). Então sua frente é um cubo de 50x30, aproximadamente FI. Outra arca bíblica apresenta a razão FI, a arca da aliança, que guardaria as tábuas dos dez mandamentos é descrita na bíblia como uma arca de 2.5 x 1.5 x 1.5 (em cúbitos). Logo percebemos que sua base e sua frente são retângulos áureos.

64 O Lado Mau de FI Encontra-se também o número FI a partir do número da besta (mais uma referência bíblica). O número da besta é 666. sen(666) = Note que isso é metade do FI negativo: sen(666)*(-2)=

65 A Lei de Benford A Lei de Benford cita que a probabilidade de algum digito ser o primeiro de um número em dados da vida real (como a primeira página de um jornal) segue uma regra. Em essência a regra pode ser definida como a tabela ao lado. Você consegue encontrar FI nesses dados? d p % % % 4 9.7% 5 7.9% 6 6.7% 7 5.8% 8 5.1% 9 4.6%

66 O FI na Música O tempo de uma música pode ser visto como uma razão, por exemplo a razão entre os tempos de batidas de bumbo e caixa de uma bateria por exemplo. Em algumas de suas sinfonias Ludwig Van (Beethoven para os íntimos) usou a razão áurea na marcação do tempo. Encontramos a razão em sua quinta e nona sinfonias. Max Roach, baterista de Jazz também usou FI em alguns de seus solos.

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