Monopolos Magnéticos

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1 Monopolos Magnétios Gabriel F. Magno 1, 1 Instituto de Físia de São Carlos, Universidade de São Paulo, CP 369, , São Carlos, SP, Brasil Vamos apresentar três derivações da ondição de quantização sobre a arga magnétia usando o efeito Aharonov-Bohm, invariânia de gauge e um método heurístio através dos níveis de Landau. Disutiremos qualitativamente um modelo de matéria ondensada, hamado spin ie, que simula uma exitação pareida om uma arga magnétia pura assim omo apresentar um panorama da busa do monopolo magnétio. I. INTRODUÇÃO Monopolos magnétios são uma propósta plausível de partíula. Apesar da infeliz falta de evidênias experimentais de sua existênia, há razões teórias sólidas para areditar que o monopolo magnétio deve existir, omo: fazer as equações de Maxwell ainda mais simétrias e a existênia de ao menos um monopolo magnétio justifiar a arga elétria ser quantizada. Um monopolo magnétio é uma arga magnétia isolada, omo um únio polo norte ou omo um únio polo sul. Desta maneira, tal omo a densidade de arga elétria produz uma divergênia do ampo elétrio E, uma arga magnétia deverá produzir um divergênia não nula do ampo magnétio B, assim omo uma densidade de orrente magnétia produziria uma rotação de E em torno de si. Quando admitimos monopolos magnétios, as equações de Maxwell tomam uma partiular forma simétria no sistema.g.s de unidades [1]: E = 4πρ e ; B = 4πρ m E = 1 B t + 4π j m ; B = 1 E t + 4π j e. Onde ρ m e j m são, respetivamente, as densidades de arga e orrente magnétias. Se E representa qualquer quantidade elétria, E, j e ou ρ e, e M é o orrespondente magnétio, então as equações (1) são invariantes segundo a transformação E M, M E. Eletriidade e magnetismo se tornam ompletamente simétrios. Dira derivou em 1931 que o monopolo magnétio aparee em quanta de arga e []. E surpreendentemente esta ondição é usada para expliar a quantização da arga elétria. Vamos apresentar três derivações desse resultado fasinante, ada um possuindo uma diferente perspetiva sobre o monopolo magnétio (Seção III). Em seguida, disutiremos qualitativamente o spin ie, um sistema de matéria ondensada que apresenta uma exitação pareida om o monopolo (Seção IV A). Finalizamos mostrando um panorama de disuções e busa do monopolo magnétio (Seção IV B). II. ELETROMAGNETISMO NA MECÂNICA QUÂNTICA É importante termos em mente algumas araterístias do eletromagnetismo no ontexto da meânia quântia [3]. Os gabriel.magno@usp.br (1) ampos elétrio E(r) e magnétio B(r) no aso estátio, ou seja, independentes do tempo, são relaionados om os poteniais esalar φ(r) e vetor A(r) por: E = φ ; B = A. () Temos então um redundânia: se A, φ desrevem E, B, podemos fazer uma transformação de gauge usando uma função χ(r) que produz Ã, φ que desrevem os mesmos E, B: φ φ ; A + χ Ã. (3) Dado os poteniais eletromagnétios em uma região do espaço, o Hamiltoniano de uma partíula om arga elétria q e massa m é: H = 1 ( p q ) m A + qφ. (4) Se a função de onda Ψ(t) satisfaz a equação de Shrödinger om o Hamiltoniano (4), então a função de onda Ψ(t) ( iqχ ) = exp Ψ(t), (5) também satisfaz a equação de Shrödinger para uma transformação de gauge (3) dos poteniais. III. CONDIÇÃO DE QUANTIZAÇÃO A arga magnétia deve vir em um quanta bem definido, assim omo a arga elétria. Vamos derivar o valor desse quanta via Aharonov-Bohm (Seção III B), invariânia de gauge (Seção III C) e níveis de Landau (Seção III D). A. Potenial Vetor do Monopolo Um monopolo magnétio de arga g na origem produz um ampo radial B mon = g r ˆr, que naturalmente tem B mon 0. (6) Se quisermos que o ampo magnétio tenha divergênia não nula porém mantendo a relação para B mon dada em () devemos esolher um potenial vetor om uma singularidade espeial onde reuperamos a ondição (6). Em oordenadas esférias um possível potenial vetor seria: A Dir = g(1 osθ) rsinθ ˆϕ. (7)

2 Esse potenial, hamado potenial vetor de Diral, é singular para toda uma linha θ = π, essa singularidade tem o nome de orda de Dira. Ainda temos que na ondição de monopolo magnétio na origem não há nenhum gauge tal que qualquer A seja nãosingular em todo espaço exeto a origem [4]. Para provar essa afirmação, onsidere uma família de loop s Γ θ fixo θ e r om ϕ [0, π], vamos agora integrar A sobre Γ θ. Sendo Σ a superfíie ujo ontorno é Γ θ, se A é não-singular fora da origem, podemos reesrever a integral usando o Teorema de Stokes: A dl = B ds Γ θ = Σ θ 0 π dθ dϕr senθ g r 0 = πg(1 osθ). Mas, para θ π, obtemos o valor 4πg, uma ontradição, pois nesse limite o loop Γ θ olapsa em um ponto. Portanto, a afirmação que A é não-singular fora da origem é falsa. Isso signifia que todo potenial vetor de um monopolo magnétio terá singularidades tipo orda de Dira fora da origem. Transformações de gauge só mudariam a posição da orda de Dira (Seção III C). Do resultado (8) temos que o potenial vetor (7) terá A Dir = (g/r )ˆr + 4πgθ( z)δ(y)δ(x)ẑ em onta do fluxo remanesente em θ = π, assim podemos dizer que: (8) só faz sentido identifiarmos esse objeto omo um monopolo magnétio se o solenóide fino semi-infinito for ompletamente não físio, ou seja, indetetável. Em partiular, não produzir nenhum desloamento de fase em um experimento do tipo Aharonov-Bohm [7]. Vamos modelar o solenóide semi-infinito omo um asa ilíndria estendida da origem até z, om seção transversal S e orrente azimutal por unidade de omprimento λ. Cada anel de orrente do solenóide entre z e z + dz produz um momento de dipolo [8]: dm = dis ẑ = λdzs ẑ. (10) Um momento de dipolo magnétio m na origem produz um potenial vetor: A(r) = m r r 3. (11) Para omputar o potenial vetor em todo espaço basta integrar as ontibuições de ada momento de dipolo distribuídos de z (, 0]. No sistema de oordenadas esfério: dm r (z ) A(r, θ, ϕ) = r 3 (z ) = 0 ( λs = λs sinθ (z ) ˆϕ dz r (z ) ) 1 osθ ˆϕ. rsinθ (1) B mon = A Dir 4πgθ( z)δ(x)δ(x)ẑ. (9) A relação (9) pode ser esquematizada pela Fig. 1, que motiva abordarmos o problema do monopolo utilizando um fino solenóide semi-infinito onde estaria a singularidade de A Dir (Seção III B), sendo estes totalmente não físios, já que o B mono não apresentaria singularidades. Figura : Deteção da presença do solenóide via efeito Aharonov-Bohm. As trajetórias do elétron irundam o solenóide. A amplitude de probabilidade na região de interferêniaé shiftada por um valor dependente de (13). Retirada de [7] Figura 1: Modelando o monopolo omo um fino solenóide semi-infinito ao longo do eixo z negativo. Retirada de [5] B. Solenoide Semi-infinito Imagine um solenoide, ada ponta produz o ampo magnétio orrespondente a um polo de um dipolo magnétio. Se um extremo do solenóide fia infinitamente distante, nós não veríamos um dipolo, mas sim um monopolo. Desta forma, um monopolo magnétio pode ser interpretado omo um extremo de um solenóide fino semi-infinito [6], Fig. 1. Mas Comparando (7) e (1) identifiamos a arga magnétia g λs. Utilizando agora um experimento de dupla-fenda om elétrons, omo visto na Fig., só obteremos resultado nulo se a diferença de fase entre funções de onda de elétrons, adquirida quando os eles são transportados por um aminho fehado que irunda o solenóide, é trivial: [ ] ie [ ie ] exp A dl = exp Φ B = 1. (13) Onde e é a arga do elétron e Φ B = 4πg o fluxo de B por uma superfíie que ontém o aminho fehado feito pelos elétrons em torno do solenóide. Assim exigimos que a arga magnétia satisfaça a ondição de quantização de Dira: eg = n, n Z. (14)

3 3 α 137 A arga magnétia mínima permitida g D = e é hamada arga magnétia de Dira. De (14) vemos que se monopolos magnétios existem sua arga vem em quanta de um erto valor. Como g ( ) e = α 1/137, argas magnétias vem em porções de tamanho 1 e. Essa onstante de proporionalidade india que dois monopolos magnétios om arga g D experimentam uma força Coulombiana 4600 vezes mais intensa do que dois monopolos elétrios de arga e. Dira areditava que esta força tão aentuada expliava o porque polos magnétios isolados não eram enontrados. Mas talvez, o fato mais intrigante é que (14) pode expliar a quantização da arga elétria. Se existir ao menos um monopolo magnétio de arga g no universo, então teremos uma ondição de quantização para arga elétria q = n g, onde q é uma arga elétria qualquer. O fato de, em nosso universo, a arga elétria ser quantizada india a possibilidade de monopolos magnétios. Retornando a expressão (1), temos que esse potenial vetor é singular ao longo da linha θ = π que oinide om o solenóide infinitesimalmente fino e semi-infinito, a orda de Dira. Como o solenóide é muito fino e invisível para experimentos do tipo Aharonov-Bohm, nenhum experimento poderia de fato detetá-lo; então estamos livres para movê-lo via transformações de gauge. elétron (5) deve ser bem definida, por isso χ é unívoo: ( ) ( ) iegϕ iegϕ exp = exp. (17) ϕ=0 ϕ=π Desta forma obtemos novamente a ondição de quantização para arga magnétia g, sem evoar uma orda de Dira: ge = 0, ± 1, ±,... (18) Essa abordagem pode ser apliada para qualquer monopolo magnétio, não importando a forma que ele é onstruído. D. Níveis de Landau para Monopolos Magnétios C. Invariânia por Transformação Gauge A orda de Dira é onsiderada um fator embaraçoso na teoria do monopolo, portanto gostaríamos que fosse possível eliminá-la [6]. Podemos então derivar a ondição de quantização olhando para o ampo eletromagnétio em torno do monopolo magnétio e realizar transformações de gauge, movendo a orda de Dira. A ondição de quantização virá a tona quando impormos que a transformação de gauge é unívoa em todo espaço. Vamos onsiderar o potenial vetor na esfera entrada no monopolo. O truque para evitar a orda é dividir a esfera em hemisfério superior e inferior e definir um potenial vetor para ada região, por exemplo: Aϕ sup = g(1 osθ)/(rsenθ) ; 0 θ π/ A ϕ = A in f. (15) = g(1 + osθ)/(rsenθ) ; π/ θ π ϕ Ambos Aϕ sup e A in ϕ f são não-singulares nos seus respetivos hemisférios, e ambos tem rotaional B = g ˆr. Na região de r interseção dos hemisférios, o equador (θ = π/), devemos impor que Aϕ sup e A in ϕ f desrevem a mesma físia, ou seja, eles diferem por uma transformação de gauge (3): χ =Aϕ sup (θ = π/) A in ϕ f (θ = π/) = g rsenθ ˆϕ χ =gϕ. (16) Coloando uma partíula om arga elétria e na presença do monopolo magnétio, quando ela é transportada pela região do equador, a mudança na fase da função de onda do Figura 3: No aso elétrio, trajetória lássia de uma partíula arregada em um apo magnétio uniforme paralelo ao eixo z. A partíula se move om veloidade onstante ao longo de uma hélie irular om eixo passando pelo ponto C 0, paralelo a z. Na figura q < 0 (aso do elétron), onde ω = qb/m > 0. Os níveis de Landau apareem após estabeleermos relações de omutação para as omponentes do Hamiltonoano lássio do sistema. Retirada de [9] Se monopolos magnétios existem, então é natural onsiderarmos um análogo magnétio dos níveis de Landau [9], Fig. 3. Usaremos esse sistema para onstruir um argumento heurístio da ondição de quantização. Coloa-se um monopolo magnétio de arga g e massa m dentro de um apaitor de plaas paralelas ao plano xy. O apaitor produz um ampo elétrio uniforme E = Eẑ. Considerando que o monopolo tem apenas omponentes de veloidade no plano xy, após quantizarmos o Hamiltoniano lássio, o monopolo terá energias ω (n + 1/), onde ω = ge/m e n N. Considerando o limite semi-lássio de altas energias n + 1/ n. O monopolo irá rotaionar no plano xy sendo r o raio da órbita e v a veloidade tangenial a urva, onde a força de Lorentz F l = gev/ é a resultante entrípeta do movimento, dessa forma: E = mv rg. (19)

4 4 Podemos relaionar a energia inétia da órbita om a energia quantizada do monopolo, usando a definição de ω e (19): 1 mv = v n. (0) r Como temos apenas a omponente J z do momento angular, podemos ahar uma relação de quantização para ela a partir de (0): J z = mrv = n. (1) Podemos usar o resultado de (1) para obter a quantização de E: E = J z r g = n. r () g A magnitude do ampo elétrio entre as plaas do apaitor, ambas tendo densidade de arga ±σ, é dada por E = 4πσ. Se ±Q é a arga em ada plaa diretamente aima ou abaixo da órbita, então Q = πr σ. Assim temos a novamente a ondição de quantização de Dira relaionando Q om (): E = 4Q/r ; Q = n. (3) g Então a arga sobre as plaas é quantizada em unidades de g, omo Q é quantizado em unidades de e então g deve também o ser, só que em unidades de e. Essa derivação ilustra a oneção entre a quantização de arga elétria om quantização de arga magnétia. Figura 4: Rede piroloro do spin ie. Cada spin reside ao longo de um eixo paralelo a uma das linhas pretas, que adentram o tetraedro pelos vérties e intersetam o seus entro. Retirada de [10] IV. MONOPOLOS MAGNÉTICOS REAIS Infelizmente monopolos magnétios verdadeiros nuna foram observados, porém existem sistemas que simulam exitações que lembram partíulas om argas magnétias puras. Vamos então disutir qualitativamente um sistemas de matéria ondensada sob baixas temperaturas, o spin ie, que ontém quasipartíulas que se assemelham aos monopolos magnétios. Além disso, mostraremos alguns trabalhos e disussões que tentam busar e justifiar a hipótese do monopolo. A. Spin Ie Certos materiais, onheidos omo spin ies, podem se omportar omo se possuíssem um gás livre de monopolos magnétios [10]. Exemplos de spin ies inluem Dy Ti O 7 e Ho Ti O 7. Esses materiais exibem quasipartíulas de monopolo magnétio a temperaturas abaixo de 1K [11]. Spin ie é um sólido omposto de um número de sítios, ada um om formato tetraedral, om um elétron em ada vértie do tetraedro. Essa onfiguração é hamada rede piroloro. O spin do elétron é restrito a apontar diretamente para dentro ou fora do tetraedro, ao londo de um eixo onetando o entro de dois sítios onseutivos. O ristal e o eixo de ada spin são mostrados na Fig. 4. Figura 5: (, d) são obtidas ao substituir ada spin em a e b por um par de argas magnétias opostas oloadas nos sítios mais adjaentes da rede. Em (a, ), as vizinhaças obedeem a regra do gelo, om dois spins apontando para dentro e dois para fora, dando arga magnétia líquida zero em ada sítio. Já em (b, d), invertendo o spin ompartilhado, um par de monopolos magnétios aparee (sítios om arga magnétia líquida), esta onfiguração tem um grande momento magnétio. e mostra um par de monopolos separados (esferas vermelha e azul destaadas) por uma linha de dipolos onetados ( orda de Dira ) entre eles, destaada em brano, as linhas de ampo também estão representadas. Retirada de [10] Vamos aproximar o spin por um par de monopolos magnétios ligados por um halteres. Fazendo isso, quando

5 5 a maioria dos spins aponta para dentro/fora, o sítio paree um monopolo magnétio. O haltere é esolhido grande o sufiiente para que ada monopolo resida no entro de ada sítio, Fig. 5(,d). A onfiguração de menor energia do sistema oorre quando ada tetraedro tem dois spins apontando para dentro e dois apontando para fora, onheida omo regra do gelo. A expliação intuitiva para isso vem da aproximação de halteres, onde ada sítio no ristal deve ontribuir om um termo de potenial do tipo Coulomb no Hamiltoniano do sistema, e o estado de menor energia deve oorrer quando todos os sítios forem neutros. Um grande número de onfigurações permitem a regra do gelo, dando um estado fundamental altamente degenerado. Se um uńio haltere (spin) é flipado, então um sítio no ristal terá uma arga magnétia líquida positiva, e um sítio adjaente a ele terá arga magnétia líquida negativa. Essas exitações produzem um par monopolo-antimonopolo livres para se mover ao longo do ristal através dos fliping s de spins adjaentes, diferentemente do par de monopolos onfinados nos extremos de um solenóide visto na Seção III B, riando uma orda de dipolos flipados equivalente a orda de Dira, Fig 5(e). Por ausa da força tipo-coulomb entre os monopolos magnétios air om 1/r, enquanto a interação dipolo-dipolo ai om 1/r 3, podemos desonsiderar om boa aproximação ontribuições do tipo dipolo-dipolo no Hamiltoniano [1]. Dessa forma o aminho de dipolos flipados não tem importânia, não podemos afirmar que esse análogo a orda de Dira exista sobre qualquer aminho partiular onetando dois monopolos. Isso é análogo ao aso da ambiguidade na posição da orda de Dira, que varia om o gauge, visto na Seção III C. Entretanto, essa orda de Dira no ristal não é afísia, e a quantização do monopolo no sistema não obedee a ondição de quantização de Dira. A existênia dessas quasipartíulas de monopolo magnétio foi experimentalmente verifiada. Usando Dy Ti O 7 foram medidas orrentes magnétias e interações tipo-coulomb entre monopolos. Também foi determinado a ondutividade magnétia do material e medida a arga magnétia das quaipartíulas [11]. Esse é um exemplo de um sistema físio real em que se pode estudar quasipartíulas de monopolos magnétios B. Panorama geral Monopolos magnétios ainda são amplamente prourados. Uma das ténias se baseia no fato que orrente elétria produz ampo magnétio irulante, orrente magnétia deve produzir ampo elétrio irulante. Se um monopolo magnétio passar por um anel ondutor deverá ser induzida uma orrente que é substanialmente diferente daquela gerada por um dipolo magnétio passando por um anel ondutor. Blas Cabrera [13] realizou esse tipo de experimento monitorando a orrente que atravessava um anel superondutor por 151 dias. Uma andidata a deteção do monopolo arregando um g D surgiu, porém esse resultado tentador não se repetiu. O onsenso foi que essa deteção é inonlusiva. Existem também experimentos que tentam riar o monopolo. Pesquisas anteriores no Tevatron, LEP, e HERA falharam na produção e deteção de monopolos magnétios [1]. Esses resultados negativos sugerem que monopolos devem ter massa maior que TeV/. Atualmente oorrem pesquisas em aeleradores de altas energias, omo o experiemento MOE- DAL no LHC. Outros experimentos tentam medir o fluxo de monopolos vindos de fontes astrofísias [1]. O experimento MA- CRO usou um detetor subterrâneo por 11 anos, todavia não foi detetado nenhum monopolo, assim oloaram um limite superior de m s 1 sr 1 sobre o fluxo de monopolos magnétios. O experimento RICE também não detetou nenhum monopolo, baixando o limite superior para m s 1 sr 1. O limite superior do fluxo de monopolos magnétios também pode ser derivado através do ampo magnétio da nossa galáxia [1]. A Via Látea é permeada por um ampo magnétio de era de 3µG. Se um monopolo existe na nossa galáxia ele drenaria energia desse ampo magnétio om uma taxa de dissipação dependente do fluxo de monopolos. Monopolos pesados seriam dominados por forças gravitaionais, mas para monopolos leves, om massa < GeV/, o fluxo pode ser limitado por m s 1 sr 1 Existe muita físia na literatura sobre monopolos magnétios. Um tratamento ompleto do assunto estaria fora do esopo desse trabalho. Vamos destaar mais alguns pontos relevantes: (a) Dira, originalmente, obteve o seu resultado introduzindo uma extensão não usual da meânia quântia, onheida omo fatores de fase não integráveis [][4]. Esses fatores aabam determinando uniamente o ampo eletromagnétio. A ondição de quantização resulta da imposição que todas as funções de onda não integráveis do sistema desrevem o mesmo ampo magnétio. (b) Existem muitas outras derivações da ondição de quantização do monopolo magnétio. Um mais simplista usa um argumento semi-lássio baseado na quantização do momento angular arregado por um ampo eletromagnétio [8]. O ampo eletromagnétio riado por um monopolo elétrio e magnétio, ambos fixos, arrega um erto momento angular; afirmando que o momento angular vem quanta de /, a ondição de quantização de Dira é obtida. () Monopolos magnétios podem ser generalizados por dyons, partíulas que arregam argas eleétrias e magnétias [14] [15]. Se um dyon tem arga elétria e 1 e magnétia g 1, e outro e e g, então e 1 g 1 e g deve ser um múltiplo inteiro de /. (d) Uma teoria gran-unifiada prevê a existênia de monopolos magnétios [1][16][17]. Sua massa é prevista om ordem de GeV/, muito além das energias alançadas no aeleradores de partíulas modernos.

6 6 (e) Dada nossa atual ompreenção da universo quando jovem, teorias gran-unifiadas preveem a riação de muitos monopolos logo após o Big-Bang. O fluxo resultante de monopolos seria muitas ordens de grandeza maior do que os limites superiores existentes. Esse é o problema do monopolo [1], que motiva a teoria da inflação, em que a densidade de monopolos deveria deair substanialmente. Apesar do apelo da teoria dos monopolos magnétios sua existênia físia permanee não verifiada. Se eles existem, são extraordinariamente raros. V. CONCLUSÃO Monopolos magnétios são partíulas ompletamente razoáveis, omo o teório das ordas Joseph Polhinski disse: a existênia de monopolos magnétios paree ser uma das apostas mais seguras que se pode fazer sobre a físia ainda não observada [18]. Sua existênia orrobora om previsões de teorias gran-unifiadas da físia de partíulas, mas primordialmente explia a quantização da arga elétria e introduz uma maior simetria entre eletriidade e magnetismo nas equações de Maxwell. [1] K. A. Milton, et. al, arxiv:hep-ph/ [] P. M. A. Dira, Pro. R. So. London A 133, 60 (1931). [3] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mehanis(Adison-Wesley Publishing Company, 1994). [4] T. T. Wu and C. N. Yang, Phys. Rev. D 1, 3845 (1975). [5] R. Shmitz, Seminar on Theoretial Partile Physis (Univ. of Bonn, 006). [6] J. Preskill, Magneti Monopoles (Calteh, 1984). [7] Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev 115, 485 (1959). [8] D. Griffiths, Introdution to eletrodynamis (Prentie Hall, 1999). [9] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Laloe, Quantum Mehanis, Volume 1 (Wiley, 1991). [10] C. Castelnovo, R. Moessner and S. L. Sondhi, Nature 451, 4 (008). [11] S. T. Bramwell, et. al, Nature 461 (766), 956 (009). [1] A. Rajantie, arxiv: [13] B. Cabrera, Phys. Rev. Lett. 48, 1378 (198). [14] J. Shwinger, Siene 165, 757 (1969). [15] D. Zwanzinger, Phys. Rev. 176, 1489 (1968). [16] A. M. Polyakov, JETP Lett. 0, 194 (1974). [17] G. t Hooft, Nul. Phys. B. 79, 76 (1974). [18] J. L. Pinfold, AIP Conf. Pro. 1304, 34 (010).