DESIGUALDADE DE BONFERRONI
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- Maria de Fátima Sebastiana Prada Andrade
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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Coordenação do Curso de Curso de Especialização em Ensino da Matemática Para o Ensino Médio Ionara Priscila da Silva Morais DESIGUALDADE DE BONFERRONI MARTINS-RN 2016
2 Ionara Priscila da Silva Morais DESIGUALDADE DE BONFERRONI Monografia apresentada ao Curso de Matemática da SEDIS, como requisito para a obtenção parcial do grau de LICENCIADO em Matemática. Orientador: Iesus Carvalho Diniz Doutor MARTINS-RN 2016
3 Morais, Ionara DESIGUALDADE DE BONFERRONI / Ionara Morais xx.p. I.Título. CDU xxx.xx
4 Ionara Priscila da Silva Morais DESIGUALDADE DE BONFERRONI Monografia apresentada ao Curso de Matemática da SEDIS, como requisito para a obtenção parcial do grau de LICENCIADO em Matemática. Aprovado em 17 de julho de 2016 BANCA EXAMINADORA Iesus Carvalho Diniz Doutor Danielle de Oliveira N. Vicente Especialista Odilon Júlio dos Santos Mestre em Matemática
5 Dedico este trabalho com muito orgulho a minha mãe Iraci Antonia da Silva Morais, pois é um exemplo de pessoa, de mãe e de profissional da qual quero seguir.
6 Agradecimentos Agradeço a Deus em primeiro lugar por me proporcionar conhecimento e sabedoria para chegar até aqui, por sua segurança me protegendo durante essa longa trajetória que percorri. Pela fé e esperança que nunca deixou eu desisti. A minha mãe Iraci Antonia pelo incentivo de sempre, a compreensão e a dedicação em me ajudar nos momentos que mais necessito. Um agradecimento especial ao meu esposo Agrimarildo Moreira, companheiro ativo. Agradeço por sua compreensão durante todo esse percurso de estudo. As minhas irmãs Iara e Itamara por todo o companheirismo e a minha amiga quase irmã Tamiris Maria pelo companheirismo e desabafo de choro quando tudo parecia que o mundo estava desabando sobre a minha cabeça. Agradeço a Iesus por aceitar esse desafio de me orientar na construção deste trabalho.
7 Para ser um bom educador é necessário ter o conhecimento de tudo que envolva a aprendizagem, humildade, curiosidade e espírito de equipe. Autor desconhecido
8 Sumário INTRODUÇÃO 4 1 Principio da Inclusão e Exclusão Desigualdade de Bonferroni CONSIDERAÇÕES FINAIS 14 Referências Bibliográficas 15
9 5 INTRODUÇÃO A desigualdade de Bonferroni é muito importante e está relacionada a outras, como exemplo ela generalizam a desigualdade de Boole as quais nos permitem obter limitantes para o número de elementos de um conjunto formado a partir da união ou da interseção de outros conjuntos. A sua demonstração não é usualmente feita em livros básicos é consideradas em livros avançados e nesses não são utilizados procedimentos básicos. Assim sendo uma regra bastante obscuro de probabilidade que pode ser bastante útil.
10 6 1 Principio da Inclusão e Exclusão. Para todo k {1,..., n} e {i 1,..., i k } {1,..., n} os subconjuntos de {1,..., n} de tamanho k, seja S k (n = P (A i1 A i2...a ik. 1 i 1 <i 2...<i k n n P ( n A i = P (A i P (A i1 A i2 + P (A i1 A i2 A i3 1 i 1 <i 2 n 1 i 1 <i 2 <i 3 n (1 n 1 P (A i1 A 2...A n = S 1 S 2 + S ( 1 n 1 S n (1.1 Demonstração. Solução: A prova será feita por indução em n. Se n = 1, tem-se que P ( n A i = P (A i = S 1. Tem-se que A 1 A 2 = (A 1 A c 2 (A 1 A 2 (A c 1A 2. Assim, para n = 2 P ( 2 i=2a i = P (A 1 A c 2 + P (A 1 A 2 + P (A c 1A 2 = P (A 1 - P (A 1 A 2 + P (A 1 A 2 + P (A P (A 1 A 2 = P (A 1 + P (A 2 - P (A 1 A 2 = P (A i P (A i1 A i2 =S 1 S 2. 1<i 1 <i 2 2 Como hipótese de indução, admitimos que o resultado vale para k = n, isto é: P ( n A i = n ( 1 k 1 S k = S 1 S 2 + S ( 1 n 1 S n (1.2 k=1 Consideremos agora k = n + 1. Tem-se que n+1 A 1 = ( n A 1 A n+1. Assim, do caso n = 2 segue - se que P ( n+1 A 1 = P ( n A 1 + P (A n+1 P (( n A 1 A n+1 (1.3 Da hipótese de indução em (1.3 e do fato que ( n A i A n+1 = n A i (A i A n+1 tem-se que P ( n+1 A n i = P (A i P (A i1 A i2 + 1 i 1 <i 2 n A i1 A i2...a in 1 + (1 n 1 1 i 1 <i 2...<i n 1 n 1 i 1 <i 2 <i 3 n 1 i 1 <i 2...<i n n P (A i1 A i2 A i ( 1 n 2 P (A i1 A i2...a in +
11 1 Principio da Inclusão e Exclusão. 7 P (A n+1 - P ( n A i A n+1 = n P (A i + P (A n P (A i1 A i2 - A i A in+1 + P (A i1 A i2 A i3 + A i1 A i2 A in+1 1 i 1 <i 2 n + 1 i n 1 i 1 <i 2 <i 3 n 1 i 1 <i 2 n
12 1.1 Desigualdade de Bonferroni. 8 ( 1 n 2 A i1 A i2...a in 1 -( 1 n 3 1 i 1 <i 2...<i n 2 n ( 1 n 1 1 i 1 <i 2...<i n 1 n ( 1 n 1 n+1 P (A i 1 i 1 <i 2 < n+1 1 i 1 <i 2 <i 3 n+1 ( 1 n 2 1 i 1 <i 2...<i n n+1 1 i 1 <i 2...<i n 1 n 1 i 1 <i 2...<i n n 1 i 1 <i 2...<i n n P ( A i1 A i2...a in 2 A n+1 + P (A i1 A i2...a in -( 1 n 2 P ( A i1 A i2...a in 1 A n+1 + P (A i1 A i2 + P (A i1 A i2...a in A n+1 = P (A i1 A i2 A i i 1 <i 2...<i n 1 n+1 P (A i1 A i2...a in + P ( A i1 A i2...a in 1 +( 1 n 1 ( 1 n P ( A i1 A i2...a in+1 = S1 S ( 1 n+1 S n. 1.1 Desigualdade de Bonferroni. Para todo j {1,..., n} seja S j (n = A i1...a ij. Mostre que: 1 i 1 <...<i j n P ( n j=1a j k ( 1 j 1 S j (1.4 j=1 se k for ímpar. P ( n j=1a j k ( 1 j 1 S j (1.5 j=1 se k for par.
13 1.1 Desigualdade de Bonferroni. 9 observação 0.1 Se k = n, então pelo Príncipio da Inclusão e Exclusão tem - se a igualdade em (1.4 e (1.5. Demonstração. será feita por indução em n, considerando a paridade de k. Seja k ímpar. Se k = 1, então devemos mostrar que P ( n j=1a j S1 = n P (A i. (1.6 Consideremos a prova de (1.6 por indução em n, o números de conjuntos. Se n = 2 o resultado segue - se de imediato, pois 2 2 j=1a j = P (A1 + P (A 2 - P (A 1 A 2 P (A 1 + P (A 2 = P (A i. Se n = 3, notemos que os conjuntos A 1 \ (A 1 A 2, A 3 \ (A 1 A 2 e A 2 são de disjuntos e tais que: (A 1 A 2 A 3 = (A 1 \ (A 1 A 2 (A 3 \ (A 1 A 2 A 2. Assim P (A 1 A 2 A 3 = P (A 1 \ (A 1 A 2 + P (A 3 \ (A 1 A 2 + P (A 2 = P (A 1 - P (A 1 A 2 + P (A 3 - P (A 1 A 2 + P (A 2 P (A 1 + P (A 2 + P (A 3. Admitamos como hipotese de indução que o resultado é valido para um certo l, i.e., P ( l j=1a j S1 l P (A i. (1.7 e notemos que para l + 1 conjuntos segue-se que P ( l+1 j=1 A (( j = P l j=1 A j Al+1 P ( l j=1a j + P (Al+1
14 1.1 Desigualdade de Bonferroni. 10 (1.7 l P (A j + P (A l+1 = j=1 l+1 j=1 P (A j. Consideremos k ímpar e menor que n. Admitimos como hipotese de indução que os resultados de (1.4 e (1.5 valem para um certo número l de conjuntos. l A i P (A i P (A i1 A i2 + P (A i1 A i2 A i i l ( 1 k 2 1 i 1 <i 2 l 1 i 1 <i 2 <i 3 l P ( A i1...a ik 1 + ( 1 k 1 1 i 1 <...<i k 1 l 1 i 1 <...<i k 1 l P (A i1...a ik (1.8 l A i P (A i P (A i1 A i2 + P (A i1 A i2 A i i l 1 i 1 <i 2 l ( 1 k 2 1 i 1 <i 2 <i 3 l 1 i 1 <...<i k 1 l P ( A i1...a ik 1. (1.9 Podemos reescrever (1.8 e (1.9 de maneira mais condensada, usando as notação S j (l que representa a soma das probabilidades das interseções de subfamilias de j conjuntos dos l conjuntos. Assim, P ( l A i S1 (l S 2 (l + S 3 (l ( 1 k 2 S k 1 (l + ( 1 k 1 S k (l. (1.10 P ( l A i S1 (l S 2 (l + S 3 (l ( 1 k 2 S k 1 (l. (1.11 Acontece que P ( l+1 A ( i = P l A i A l+1 = P ( l A i + P (Al+1 - P (( l A i Al+1 = P ( l A i + P (Al+1 P ( l (A i A l+1 (1.12 (0.10 S 1 (l- S 2 (l + S 3 (l ( 1 k 2 S k 1 (l + ( 1 k 1 S k (l + P (A l+1 - P ( l (A i A l+1.
15 1.1 Desigualdade de Bonferroni. 11 tem-se de (1.9 com A i A l+1 em lugar de A i que P (A i1 A i2 A i3 A l ( 1 k 2 P ( l (A i A l+1 P (A i1 A i2 A l i 1 <i 2 l 1 i 1 <i 2 <i 3 l 1 i 1 <...<i k 1 l P ( A i1...a ik 1 A l+1. (1.13 De (1.13 em (1.12 segue-se que P ( l+1 A i (0.10 S 1 (l- S 2 (l + S 3 (l ( 1 k 2 S k 1 (l + ( 1 k 1 S k (l + P (A l+1 l - P (A i A l+1 - P (A i1 A i2 A l+1 + P (A i1 A i2 A i3 A l+1 + i=l ( 1 k 2 l i 1 <...<i k 1 l l i 1 <i 2 l P ( A i1...a ik 1 A l+1 l i 1 <i 2 <i 3 l ( l = S 1 (l + P (A l+1 - S 2 (l + P (A i A l+1 + S 3 (l + P (A i1 A i2 A l+1 - i=l l i 1 <i 2 l ( - S 4 (l + P (A i1 A i2 A 3 A l l i 1 <i 2 <i 3 l...( 1 k 2 S k 1 (l ( 1 k 3 l i 1 <...<i k 2 l P ( A i1...a ik 2 A l+1 + ( 1 k 1 S k 2 (l ( 1 k 2 A i1...a ik 1 A l+1. (1.14 Observe que l i 1 <...<i k 1 l S 1 (l + P (A l+1 = l l+1 P (A i + P (A l+1 = P (A i = S 1 (l + 1. (1.15 i=l i=l S 2 (l + l P (A i A l+1 = l P (A i1 A i2 + P (A i A l+1 = 1 i 1 <i 2 l = 1 i 1 <i 2 l+1 P (A i1 A i2 = S 2 (l + 1. (1.16
16 1.1 Desigualdade de Bonferroni. 12 S 3 (l + P (A i1 A i2 A l+1 = P (A i1 A i2 A i3 + 1 i 1 <i 2 l 1 i 1 <i 2 <i 3 l + P (A i1 A i2 A l+1 = 1 i 1 <i 2 l 1 i 1 <i 2 <i 3 l+1 S 4 (l + P (A i1 A i2 A i3 A l+1 = 1 i 1 <i 2 <i 3 l P (A i1 A i2 A i3 = S 3 (l + 1. (1.17 = P (A i1 A i2 A i3 A i4 A l+1 + P (A i1 A i2 A i3 A l+1 = ( i 1 <i 2 <i 3 <i 4 l 1 i 1 <i 2 <i 3 l = P (A i1 A i2 A i3 A i4 A l+1 = S 4 (l i 1 <i 2 <i 3 <i 4 l+1 ( 1 k 2 S k 1 (l ( 1 k 3 A i1...a ik 2 A l+1 = 1 i 1 <...<i k 2 l ( 1 k 2 S k 1 (l + ( 1 k 2 A i1...a ik 2 A l+1 = ( i 1 <...<i k 2 l ( 1 (S k 2 k 1 (l + A i1...a ik 2 A l+1 = ( 1 k 2 S k 1 (l i 1 <...<i k 2 l ( 1 k 1 S k (l + ( 1 k 2 A i1...a ik 1 A l+1 = 1 i 1 <...<i k 1 l ( 1 k 1 S k (l + ( 1 k 1 A i1...a ik 1 A l+1 = ( i 1 <...<i k 1 l ( 1 (S k 1 k (l + A i1...a ik 1 A l+1 = ( 1 k 1 S k (l i 1 <...<i k 1 l De (1.15,(1.16,(1.17,(1.18,...,(1.19 e (1.20 em (1.14 resulta que P ( l+1 j=1 S1 (l + 1 S 2 (l S 3 (l + 1 S 4 (l ( 1 k 2 S k 1 (l ( 1 k 1 S k (l + 1. Demonstração. Seja k par. Se k = 2, então devemos provar que P ( n j=1a j S1 S 2 = n P (A i P (A i1 A i2. (1.21 i=l 1 i 1 <i 2 n
17 1.1 Desigualdade de Bonferroni. 13 Consideremos a prova (1.21 por indução no número de conjuntos de n. Se n = 2 o resultado segue-se de imediato. Tem-se neste caso a igualdade. 2 2 j=1a j = P (A1 + P (A 2 - P (A 1 A 2 = P (A i - P (A i1 A i2. 1 i 1 <i 2 2 Se n=3, do Princípio de Inclusão Exclusão segue-se que 3 3 j=1a j = P (A i - P (A i1 A i2 + P (A 1 A 2 A 3. 3 P (A i - 1 i 1 <i 2 2 P (A i1 A i2 = S 1 S 2. 1 i 1 <i 2 2 Admitimos como hipóteses de indução que o resultado é válido para um certo l, i.e., P ( l j=1a j l P (A i P (A i1 A i2. ( i 1 <i 2 2 Sejam agora os l + 1 conjuntos A 1,..., A l+1. Tem-se que P ( l+1 j=1 A (( j = P l j=1 A j Al+1 = P ( l j=1a j + P (Al+1 - P ( l j=1a j = P ( l j=1a j + P (Al+1 - P ( l j=1 (A j A l+1 (0.6 P ( l j=1a j + P (Al+1 - (0.22 l P (A j - j=1 l P (A j A l+1 = j=1 1 j 1 <j 2 l l+1 j=1 P (A j - l P (A j A l+1 j=1 P (A j1 A j2 + P (A l+1-1 j 1 <j 2 l+1 P (A j1 Aj 2.
18 14 2 CONSIDERAÇÕES FINAIS No entanto, o nosso trabalho foi demonstrar a desigualdade de Bonferroni, onde de inicio utilizamos e mostramos o princípio de inclusão-exclusão que é uma conhecida aplicação do problema de contar o número de desarranjos de um conjunto finito. Logo em seguida provemos por indução que é um método de demonstração matemática para provar a verdade de um número infinito de proposições. Lembrando que a demonstração por indução segue dois passos, o primeiro é verificar se a paridade é valida para n = 1 (ou n igual a outro inteiro e o segundo é mostrar que, se o enunciado vale para n = k, então o mesmo enunciado vale para n = k + 1. Também usamos a desigualdade de Boole da qual a de Bonferroni generaliza.
19 Referências Bibliográficas [1] William Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, volume 1. Wiley, January [2] Sheldon M. Ross. A First Course in Probability. Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., fifth edition, [3] A.C. Morgado. Analise combinatoria e probabilidade: com as soluções dos exercícios. Coleção do professor de matematica. SBM, 2006.
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