ANTÓNIO MANUEL SARMENTO BATISTA MÁTICA ANCEIRA. O valor do dinheiro ao longo do tempo. 2ª edição

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1 ANTÓNIO MANUEL SARMENTO BATISTA MÁTICA ANCEIRA O valor do dinheiro ao longo do tempo 2ª edição

2 ÍNDICE Nota de Apresentação Prefácio à 2ª Edição I - Introdução II - Capitalização simples Introdução Fórmula geral da capitalização simples Cálculo do capital inicial Cálculo do juro Cálculo do tempo (n) Cálculo da taxa de juro (i) Cálculo da taxa de juro média em capitalização simples Equivalência de capitais no regime de capitalização simples Fracionamento da taxa de juro Equivalência de taxas em capitalização simples Ano comercial e ano civil Relação entre o juro comercial e o juro civil Juros de vários capitais. Método do divisor fixo Estudo analítico e representação gráfica da função capitalização simples EXERCÍCIOS Capitalização simples III - Desconto simples Introdução Juro simples Desconto por dentro, desconto racional, desconto verdadeiro ou desconto matemático (Regime de juro simples) Desconto por fora ou desconto bancário (regime de juro simples) Comparação entre o desconto por fora e o desconto por dentro Relação entre o desconto por fora e o desconto por dentro

3 MATEMÁTICA FINANCEIRA 3.7 Estudo analítico e representação gráfica das funções desconto por fora e desconto por dentro (juro simples) Equivalência de taxas na negociação de efeitos comerciais Desconto de vários capitais. Método do divisor fixo Vencimento comum e vencimento médio Produto líquido na negociação de efeitos comerciais. Desconto de letras Desconto forfait Cálculo do forfait EXERCÍCIOS Desconto simples IV Capitalização composta Introdução Fórmula geral da capitalização composta Cálculo do capital inicial Cálculo do tempo Cálculo da taxa de juro Cálculo do juro composto (J) Cálculo Equivalência de capitais em capitalização composta Capitalização composta para períodos Convenção exponencial e linear Interpolação linear e convenção linear Estudo analítico e representação gráfica da função de capitalização composta Interpolação direta e inversa Comparação entre capitalização simples e capitalização composta Fracionamento da taxa de juro Equivalência de taxas em capitalização composta Taxa equivalente e taxa proporcional. Conclusões Taxa nominal EXERCÍCIOS - Capitalização composta V - Desconto composto Introdução Desconto por dentro, desconto racional ou desconto matemático (Regime de juro composto) Desconto por fora ou desconto comercial (Regime de juro composto) Comparação entre o desconto por fora e o desconto por dentro (Regime de juro composto) Estudo analítico e representação gráfica comparada das funções de desconto por fora e o desconto por dentro Desconto por fora

4 ÍNDICE Desconto por dentro Equivalência entre taxa de juro de negociação o e taxa de juro efetiva. 195 EXERCÍCIOS VI - Rendas Conceito de renda Classificação das rendas Considerações gerais Rendas constantes Rendas constantes inteiras Inteiras temporárias Imediata postecipada A - Valor atual B Valor final Imediata antecipada A Valor atual B Valor final Diferida postecipada A Valor atual B Valor final Diferida antecipada A Valor atual B Valor final Inteiras perpétuas Imediata postecipada A Valor atual Imediata antecipada A Valor atual Diferida postecipada A Valor atual Diferida antecipada A Valor atual Rendas constantes fracionadas Fracionadas temporárias Imediata postecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 Valor final em função da taxa de juro (i k ) B2 - Valor final em função da taxa de juro (i) Imediata antecipada

5 MATEMÁTICA FINANCEIRA A1 Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 - Valor final em função da taxa de juro (i k ) B2 - Valor final em função da taxa de juro Diferida postecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 Valor final em função da taxa de juro (i k ) B2 Valor final em função da taxa de juro (i) Diferida antecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 Valor final em função da taxa de juro (i k ) B2 Valor final em função da taxa de juro (i k ) Fracionada perpétua Imediata postecipada A1 - Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) Imediata antecipada A1 - Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) Diferida postecipada A1 - Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) Diferida antecipada A1- Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) Rendas constantes com periodicidade superior a 1 ano Rendas temporárias Imediata postecipada A1- Valor atual em função da taxa de juro (i k ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 Valor final em função da taxa de juro (i k ) B2 Valor final em função da taxa de juro (i k ) Imediata antecipada A1 - Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) B1- Valor final em função da taxa de juro (i (h) ) B2 - Valor final em função da taxa de juro (i)

6 ÍNDICE Diferida postecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 Valor final em função da taxa de juro (i (h) ) B2 Valor final em função da taxa de juro (i) Diferida antecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) B1 Valor final em função da taxa de juro (i (h) ) B2 Valor final em função da taxa de juro (i) Rendas perpétuas Imediata postecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) Imediata antecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) Diferida postecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) Diferida antecipada A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h) ) A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) Rendas anuais variáveis Renda anual variável em progressão aritmética Temporárias Imediata postecipada A Valor atual B Valor final Imediata antecipada A - Valor atual B - Valor final Diferida postecipada A - Valor atual B Valor final Diferida antecipada A Valor atual B Valor final Perpétuas Imediata postecipada

7 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Valor atual Imediata antecipada A Valor atual Diferida postecipada A Valor atual Diferida antecipada A Valor atual Renda anual variável em progressão geométrica Temporárias Imediata postecipada A Valor atual B Valor final Imediata antecipada A - Valor atual B - Valor final Diferida postecipada A - Valor atual B Valor final Diferida antecipada A Valor atual B Valor final Perpétuas Imediata postecipada A Valor atual Imediata antecipada A Valor atual Diferida postecipada A Valor atual Diferida antecipada A Valor atual EXERCÍCIOS - Rendas VII - Amortização de empréstimos Introdução Amortização integral de capital no fim do período Amortização integral de capital e juros no fim do período Amortização integral de capital no fim do período com pagamento periódico de juros Amortização antecipada do capital e juros, em um determinado momento h Amortização antecipada e integral de capital e juros em um determinado momento h

8 ÍNDICE Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa do empréstimo (i' i) Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa do empréstimo (i' < i) Amortização antecipada e parcial de capital e juros em um determinado momento h Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' i) Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) Amortização antecipada do capital com pagamento periódico de juros Amortização total Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' i) Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) Amortização parcial Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' i) Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) Amortização mediante uma renda Sistema francês ou de amortização progressiva Tabela de amortização de um empréstimo Cálculo da h-esima linha da tabela de amortização Amortização de um empréstimo mediante uma renda anual, constante e diferida em p anos e postecipada Amortização de um empréstimo mediante uma renda constante fracionada Amortização de empréstimos mediante quotas de amortização constantes Cálculo dos elementos da tabela de amortização Amortização de empréstimos com juros antecipados (Sistema alemão) Cálculo dos elementos da tabela de amortização Fundo de amortização (Sistema americano) Cálculo dos elementos da tabela de reconstrução Usufruto de um empréstimo, propriedade plena, nua propriedade e domínio direto Algumas definições genéricas em termos não financeiros Reserva matemática, valor ou plena propriedade de um empréstimo

9 MATEMÁTICA FINANCEIRA Cálculo da nua propriedade (NP h ) Cálculo da nua propriedade pelo sistema francês Cálculo da nua propriedade mediante quotas de amortização constantes Cálculo da nua propriedade pelo sistema alemão Cálculo do usufruto (U h ) Cálculo do usufruto pelo sistema francês Cálculo do usufruto mediante quotas de amortização constantes Cálculo do usufruto pelo sistema alemão EXERCÍCIOS Amortização de empréstimos VIII - Empréstimos por obrigações Introdução Amortização de um empréstimo obrigacionista mediante uma renda anual constante Cálculo dos elementos da tabela de amortização de um empréstimo obrigacionista que se amortiza mediante uma renda anual constante Cálculo da h-esima linha da tabela de amortização de um empréstimo por obrigações Amortização de um empréstimo por obrigações com prémio de reembolso constante Empréstimo obrigacionista amortizável ao par com prémio anual de lote constante Empréstimo obrigacionista amortizável com prémio de reembolso e lote anual constante Empréstimo obrigacionista amortizável ao par mediante quotas de amortização constantes IX - Taxa de juro efetiva de um empréstimo Introdução Taxa efetiva de rendimento de um empréstimo Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento de juros ao fim de n anos Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital com pagamento periódico de juros Taxa efetiva do custo de um empréstimo Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento de juros ao fim de n anos Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital com pagamento periódico de juros

10 ÍNDICE 9.4 Cálculo do custo efetivo de empréstimos nas operações bancárias mais comuns Empréstimo amortizado com reembolso único de capital e pagamento antecipado de juros Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento periódico de juros Empréstimo amortizado mediante pagamentos periódicos constantes Empréstimo amortizado mediante quotas de amortização constantes Tabelas Anexos Bibliografia

11 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 - Representação esquemática do fator de capitalização aplicado ao capital inicial, em regime de juro simples Figura 2 Vários capitais aplicados a diferentes taxas de juro Figura 3 Vários capitais aplicados à mesma taxa de juro Figura 4 Atualização dos capitais e à taxa de juro anual simples Figura 5 - No momento o capital sendo capitalizado e o capital sendo atualizado ambos à mesma taxa de juro, se apresentarem valores iguais, dizem-se equivalentes Figura 6 - No momento os capitais e capitalizados à mesma taxa de juro, se apresentarem valores iguais, dizem-se equivalentes Figura 7 Representação esquemática do fator de capitalização de um capital em regime de juro simples Figura 8 - Representação esquemática do fator de atualização de um capital, em regime de juro simples Figura 9 - Representação esquemática do desconto por dentro (racional) de um capital, em regime de juro simples Figura 10 - Representação esquemática do desconto por fora dado pela diferença entre e Figura 11 - Representação esquemática do desconto por fora Figura 12 - Desconto por fora dado pela capitalização do desconto por dentro pelo fator de capitalização simples Figura 13 - O desconto por dentro é igual ao produto do desconto por fora pelo fator de atualização simples Figura 14 - Representação esquemática do efeito da aplicação da taxa de juro efetiva ao valor atual de um efeito comercial Figura 15 - Valores nominais das letras cujos vencimentos são: respetivamente.. 93 Figura 16 - Conjunto de vários capitais referentes a várias letras para as quais se pretende substituir por uma única letra Figura 17 - Letra única que substitui o conjunto anterior

12 MATEMÁTICA FINANCEIRA Figura 18 - Conjunto de vários capitais referentes a várias letras para as quais se pretende substituir por uma única letra Figura 19 - Letra única que substitui o conjunto anterior (Fig. 16) Figura 20 - Representação esquemática do efeito do fator de capitalização em regime de juro composto Figura 21 - Representação esquemática da atualização de um capital através do factor de atualização Figura 22 - Vários capitais aplicados a diferentes taxas de juro em regime de juro composto Figura 23 - Vários capitais aplicados à mesma taxa de juro i, em regime de juro composto Figura 24 - Representação esquemática da equivalência de capitais em dois momentos diferentes, no momento n Figura 25 - Capitais equivalentes no momento n Figura 26 - Capitais equivalentes no momento n Figura 27- Representação esquemática da capitalização, em regime de juro composto Figura 28 - Representação esquemática do desconto, em regime de juro composto Figura 29 - Representação esquemática do desconto por dentro ou desconto racional Figura 30 - Representação esquemática do desconto comercial, em regime de juro composto Figura 31 - Representação esquemática da capitalização do valor atual de um efeito comercial Figura 32 Representação esquemática de rendas segundo o vencimento do primeiro pagamento Figura 33 Representação esquemática do valor atual de uma renda representada pelo somatório de todos os seus termos atualizados no momento zero Figura 34 Representação esquemática do valor final de uma renda representada pelo somatório de todos os seus termos capitalizados no momento n Figura 35 Representação esquemática do valor atual de um conjunto de capitais que constituem uma renda imediata anual constante e de termos postecipados 214 Figura 36 Representação esquemática da transferência simultânea de todos os termos da renda para o momento zero, através do fator Figura 37 Representação esquemática do termo não inteiro no momento Figura 38 - Representação esquemática da atualização e capitalização de um capital no momento em regime de juro simples, para o momento n e para o momento respetivamente Figura 39 Representação esquemática do valor final de um conjunto de capitais que constituem uma renda imediata anual constante e de termos postecipados 229 Figura 40 Representação esquemática da transferência simultânea de todos os termos da renda para o momento n, através do fator de capitalização

13 ÍNDICE FIGURAS Figura 41 - Fator de capitalização de uma renda à taxa de juro composto i pelo tempo n, obtendo-se o fator de capitalização Figura 42 - Fator de atualização de uma renda à taxa de juro composto i pelo tempo n, obtendo-se o fator atualização Figura 43 - Diagrama cronológico de um conjunto de n capitais, cujo primeiro vencimento tem lugar no momento zero Figura 44 - Representação esquemática da transferência dos termos de uma renda constante, inteira imediata de n termos antecipados para o momento zero Figura 45 Representação esquemática da renda diferida postecipada Figura 46 Representação esquemática do valor da renda no momento p Figura 47 Representação esquemática da transferência do valor da renda do momento p para o momento zero. Convencionou-se utilizar para as rendas diferidas o símbolo que antecede o símbolo do valor atual Figura 48 Representação esquemática de uma renda diferida com termos antecipados, com diferimento de p períodos Figura 49 Representação esquemática do valor final de uma renda diferida, com termos antecipados Figura 50 Representação esquemática de uma renda perpétua de termos antecipados 255 Figura 51 - Renda diferida postecipada de termos infinitos Figura 52 - Renda diferida antecipada de termos infinitos Figura 53 Renda fracionada temporária imediata e postecipada Figura 54 Renda fracionada temporária imediata e antecipada Figura 55 Ilustração do valor atual da renda antecipada se lhe tivesse sido aplicado Figura 56 Ilustração da capitalização de para o momento zero Figura 57 Representação esquemática de uma renda fracionada diferida postecipada Figura 58 - Representação esquemática de uma renda fracionada diferida postecipada, em função da taxa de juro anual i Figura 59 Representação esquemática de uma renda fracionada diferida antecipada Figura 60 - Representação esquemática da renda constante com periodicidade superior ao ano (h > 1) Figura 61 - Representação esquemática de uma renda em progressão aritmética de razão ρ 307 Figura 62 - Decomposição de uma renda de em progressão aritmética de razão ρ Figura 63 - Diagrama cronológico de uma renda anual perpétua variável em progressão aritmética Figura 64 - Diagrama cronológico de uma renda anual variável em progressão geométrica Figura 65 - Cancelamento antecipado total de um empréstimo amortizável com reembolso único de capital e pagamento periódico de juros Figura 66 - Amortização antecipada para de um empréstimo amortizável com reembolso único de capital e pagamento periódico de juros

14 MATEMÁTICA FINANCEIRA Figura 67 - O valor de capitalizado à taxa de juro de mercado por períodos Figura 68 - Os juros anuais e que agora serão valorizados ao momento n à taxa de juro do mercado Figura 69 - O saldo que fica pendente de amortização Figura 70 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda, cujos termos são iguais 430 Figura 71 - Representação esquemática da amortização progressiva de um empréstimo pelo sistema francês: 431 Figura 72 - Representação esquemática da amortização de um empréstimo, mediante uma renda anual constante diferida p anos e postecipada, em que durante os anos de diferimento pagam-se apenas os juros Figura 73 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda anual constante diferida p anos e postecipada em que durante os anos que perdura o diferimento não se pagam juros Figura 74 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda constante fracionada 443 Figura 75 - Atualização de uma renda de termos k-esimais Figura 76 - Representação esquemática da amortização mediante quotas de amortização constantes Figura 77 - Representação esquemática de amortização de empréstimos com juros antecipados (Sistema alemão) Figura 78 - Valor no momento h de todas as quotas de reconstrução destinadas ao fundo e valoradas à taxa de juro Figura 79 - Representação esquemática de plena propriedade ou reserva matemática, e nua propriedade Figura 80 - Representação esquemática do valor de um empréstimo, no momento h Figura 81 - Representação esquemática de um empréstimo amortizável por quotas constantes Figura 82 - Representação cronológica da determinação da nua-propriedade de um empréstimo amortizável por quotas constantes Figura 83 - Representação cronológica do cálculo da nua propriedade pelo sistema alemão

15 ÍNDICE DE GRÁFICOS Gráfico 1 - Representação gráfica da função monótona crescente, ilustrativa da capitalização, em regime de juro simples Gráfico 2 - O desconto por dentro por muito grande que seja n nunca atingirá o valor nominal, o que prova a racionalidade deste desconto Gráfico 3 - Representação gráfica da função de capitalização composta Gráfico 4 - Função Gráfico 5 - Representação gráfica conjunta da capitalização simples e composta Gráfico 6 - Representação gráfica das funções do e do em regime de juro composto

16 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1 - Períodos de tempo e respetivos k-esimos Tabela 2 - Ilustração do cálculo de juro simples utilizando o divisor fixo (D) e Números 53 Tabela 3 Ilustração do cálculo do desconto por fora utilizando o divisor fixo e Números Tabela 4 - Dedução da fórmula de capitalização composta Tabela 5 - Comparação entre capitalização simples e capitalização composta Tabela 6 - Fracionamento da taxa de juro Tabela 7 - Dedução da expressão analítica do valor atual ou valor efetivo de um efeito comercial Tabela 8 Classificação das rendas Tabela 9 Soma dos termos da progressão geométrica decrescente Tabela 10 Soma dos termos da progressão geométrica crescente Tabela 11 - Fórmula resolvente da soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente

17 NOTA DE APRESENTAÇÃO O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte para aplicações profissionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora. A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e de métodos quantitativos de análise e gestão financeira. Este livro resultou do meu trabalho de docente, que teve como suporte um conjunto alargado de fontes bibliográficas que versam esta temática, e do inestimável contributo dos meus alunos. Estes, através de questões e dúvidas sobre o desenvolvimento de certas matérias, ensinaram-me a expor os mesmos temas através de abordagens mais simples e compreensíveis, sem abandonar o rigor técnico e científico dos seus conteúdos. Uma das dificuldades mais evidenciadas, atualmente, pelos estudantes incide sobre o desenvolvimento matemático e das suas transições no prosseguimento do método dedutivo, que me conduziu a apresentar todas as passagens, mesmo aquelas que parecem demasiado evidentes, que por certo serão para alguns, mas não serão para todos. Com a publicação do Decreto-Lei 64/2006, de 21 de março, que regula o acesso ao ensino superior por maiores de 23 anos, novos desafios foram colocados aos professores no ensino ministrado a estudantes, os quais já não têm muito presentes estas matérias. Esta constatação tem constituído algumas barreiras à aprendizagem e assimilação das noções básicas da matemática, dentro dos calendários dos períodos letivos, destinados à unidade curricular de Cálculo Financeiro. 23

18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Este livro tenta mitigar algumas dessas dificuldades, apresentando através de figuras, gráficos e tabelas os suportes das explicações teóricas que lhes permitem uma aprendizagem mais célere. Como ponto de partida, apresenta-se o alcance que exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis que lhe estão associadas. O Capítulo I trata a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, e terá sempre como objetivo uma recompensa. A quantia que recompensa a aplicação ou a utilização do capital por terceiros designa-se por juro. Este, produzido pela aplicação de certas regras financeiras, gerará um novo capital e cujo processo se designa por capitalização. O Capítulo II trata a capitalização simples, deduzindo-se a sua fórmula geral e através dela a possibilidade de cálculo do capital inicial, do juro, do tempo e da taxa de juro. O Capítulo III versa sobre o conceito oposto ao da capitalização ou desconto, matéria muito utilizada nas práticas bancárias no desconto de letras. Aqui introduzem-se os conceitos de desconto por fora, desconto bancário ou desconto comercial e o desconto por dentro, ou desconto racional. O Capítulo IV regressa à capitalização, mas desta vez à capitalização composta, caracterizada por acumular ao capital principal os juros, produzindo juros cada vez maiores, nos sucessivos períodos de tempo. O Capítulo V introduz o desconto composto, que, sendo o oposto à capitalização composta, traduz a transferência de um capital de um momento a outro anterior, utilizando a taxa de juro composto, no seu processo de atualização desse capital. O Capítulo VI estuda as rendas que constituem um conjunto de capitais financeiros cujos vencimentos são equidistantes, isto é, que se vencem com a mesma periodicidade. Aqui, classificam-se as rendas segundo a sua natureza, periodicidade, vencimento do primeiro pagamento, número de termos e ainda segundo o seu regime de capitalização. Neste capítulo, utilizam-se certos símbolos próprios de notação da matemática financeira e cuja finalidade é a de abreviar e resumir uma série de cálculos financeiros que estão já traduzidos em tabelas financeiras, evitando um conjunto de cálculos necessários à sua determinação. São exemplos desta notação os símbolos entre outros, e cuja explicação será encontrada no desenvolvimento deste capítulo. O Capítulo VII trata a amortização de empréstimos, quer por reembolso único, quer por reembolso parcial do capital emprestado, e as equivalências nos resultados finais, 24

19 NOTA DE APRESENTAÇÃO derivadas do momento em que se introduzem alterações de amortização antecipada nos contratos inicialmente acordados entre o mutuante e o mutuário. Estas negociações apelam ao interesse do mutuante em aceitar ou não as propostas do mutuário, atendendo às taxas de juro que vigoram no momento no mercado, face àquela que foi acordada no momento do empréstimo. São também tratadas as amortizações de empréstimos mediante rendas, utilizando vários sistemas, nomeadamente o francês, o alemão e o americano. O Capítulo VIII aborda os empréstimos por obrigações ou empréstimos obrigacionistas. As obrigações como títulos de crédito podem ser emitidas quer por empresas quer pelo Estado, sendo que, quando emitidas por este, são designadas por obrigações do tesouro (OT) e bilhetes de tesouro. Os procedimentos que se utilizam mais frequentemente na amortização de empréstimos obrigacionistas são, nomeadamente, a amortização mediante uma renda anual constante e a amortização mediante quotas anuais constantes. Para uma melhor compreensão das transferências de capital entre os diversos momentos em que decorre o empréstimo, são utilizadas diversas representações esquemáticas dos respetivos processos. O Capítulo IX incide sobre o cálculo da taxa anual efetiva (TAE) quer do rendimento da aplicação do capital, através do empréstimo, quer do custo efetivo desse empréstimo, ou seja, depois de suportados encargos, comissões bancárias e outros cust os inerentes aos processos de concessão de crédito. Em Anexos apresentam-se tabelas financeiras mais frequentemente utilizadas no cálculo financeiro. António Manuel Sarmento Batista 25

20 PREFÁCIO À 2ª EDIÇÃO Durante os quatro anos em que a 1ª edição esteve disponível, procedeu-se a uma revisão e atualização das matérias ali versadas. Graças ao escrutínio atento de professores e alunos, foi possível melhorar a qualidade da edição anterior, através das inestimáveis contribuições de aqueles que alertaram para a identificação de alguns erros de simbologia e algumas gralhas, que a edição anterior continha. A apresentação do texto foi melhorada através de um melhor grafismo e de uma melhor arrumação, proporcionando uma leitura mais fácil e um entendimento mais compreensivel dos seus conteúdos. Nesta 2ª edição foram incluídos cerca de 400 exemplos e exercícios resolvidos, que permitirão adotar técnicas e metodologias de abordagem às questões apresentadas, que facilitarão a resolução de problemas mais complexos. 27

21 CAPÍTULO 1

22 INTRODUÇÃO As instituições financeiras e as empresas (não financeiras) têm que, diariamente, tomar múltiplas decisões, nomeadamente, decisões de concessão de crédito e de investimento. Estas decisões visam a obtenção de um benefício, num determinado período de tempo. Naturalmente, que esse benefício será o lucro, ou seja, um determinado capital que ficará sujeito a destinos diversos, designadamente à satisfação de compromissos com os fornecedores, ao cumprimento de obrigações fiscais, pagamento de salários e outras obrigações, por um lado, e por outro lado, a aplicações alternativas, tais como: à distribuição pelos acionistas/sócios; ao empréstimo a terceiros; e ao investimento. Se aquele capital for distribuído pelos acionistas/sócios significa que se estará a recompensar aqueles que investiram no negócio, remunerando a aplicação dos respetivos capitais investidos. Se o mesmo capital for emprestado, significa que se estará a ceder temporariamente a sua disponibilidade a terceiros, esperando-se receber no futuro o capital emprestado mais uma determinada quantia. Esta quantia é destinada a minorar os efeitos da erosão que o dinheiro sofreu durante o período do empréstimo, bem como recompensar a indisponibilidade da sua utilização e a remunerar o risco de incumprimento do devedor. Se o capital for investido, significa que se estará a sacrificar a disponibilidade presente desse valor, esperando-se que os resultados obtidos tragam no futuro a recompensa esperada daquela decisão. A quantia que recompensa a aplicação ou a utilização do capital por terceiros designa-se por juro. A pessoa ou empresa que empresta dinheiro a juros designa-se por prestamista 1 1. Novo Dicionário da Língua Portuguesa Lello Editores 31

23 MATEMÁTICA FINANCEIRA O juro estará assim dependente do capital emprestado ou investido, do tempo que durar o empréstimo ou a amortização do investimento e da taxa de juro que for fixada na operação financeira. Entende-se por operação financeira toda a ação destinada a substituir um capital ou vários, por outros, em diferentes momentos, aplicando-se-lhe uma determinada regra financeira, num determinado momento de referência. O juro produzido pela aplicação dessa regra financeira será adicionado ao capital inicial, resultando um novo capital que se designará por capital final ou montante. Ao processo que permite determinar o capital final designa-se por capitalização. A capitalização apresenta dois regimes diferentes: a capitalização simples e a capitalização composta, que serão desenvolvidos nos próximos capítulos. 32

24 CAPÍTULO 2 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

25 2.1 Introdução O regime de capitalização simples caracteriza-se por não ser acumulável o juro produzido, em cada período, com o capital principal. O juro produzido em qualquer período será o resultado do produto do capital inicial por uma taxa de juro. No fim de cada período, o juro produzido será entregue ao mutuante 2 (quem emprestou), mantendo-se o mutuário 3 (quem pediu emprestado) devedor do capital que lhe foi emprestado inicialmente. Representando-se por: 2. Pessoa que mutua ou dá por empréstimo. 3. Pessoa que recebe alguma coisa por empréstimo. 35

26 MATEMÁTICA FINANCEIRA 2.2 Fórmula geral da capitalização simples Para deduzir a fórmula geral de capitalização simples bastará somar ao capital inicial o juro total produzido nos respetivos períodos. Admitindo-se que cada período representaria um ano, no final de cada ano o montante obtido será o resultado da adição ao capital inicial o juro correspondente aos n períodos. Assim, no final de cada ano, o montante será: Poder-se-á, deste modo, concluir que se o investimento ou empréstimo durar n nos, o capital final ou montante obtido será: A fórmula geral de capitalização simples indica que o capital final foi obtido ao investir um capital inicial a uma taxa de juro i, durante n períodos. Se admitirmos que o capital investido é igual à unidade resultará: Portanto será o valor final que se obterá ao investir uma unidade monetária à taxa de juro anual simples i durante n anos. Representando esquematicamente: Figura 1 Representação esquemática do fator de capitalização aplicado ao capital inicial, em regime de juro simples. Considerar-se-á a partir de agora que é o fator de capitalização em regime de juro simples. Este fator serve para transferir capitais de um dado momento para um outro posterior. 36

27 TABELAS

28 TABELAS Tabela de contagem de número de dias Dias do mês JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Exemplo para utilização da tabela: Quantos dias decorreram de 1 fevereiro a 15 de maio do mesmo ano?: - O dia 1 de fevereiro corresponde ao número 32 - O dia 15 de maio corresponde ao nº 135; - O número de dias entre as datas será dado pela diferença entre os dois números: (135-32) = O número de dias corridos entre as datas é igual a

29 MATEMÁTICA FINANCEIRA Tabela: Valor final de uma unidade monetária colocada a juro composto n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela: Valor final de uma unidade monetária colocada a juro composto n/i 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

30 ANEXOS

31 TABELA GERAL DO IMPOSTO SELO (OPERAÇÕES FINANCEIRAS) 17 Operações financeiras: Pela utilização de crédito, sob a forma de fundos, mercadorias e outros valores, em virtude da concessão de crédito a qualquer título exceto nos casos referidos na verba 17.2, incluindo a cessão de créditos, o factoring e as operações de tesouraria quando envolvam qualquer tipo de financiamento ao cessionário, aderente ou devedor, considerando-se, sempre, como nova concessão de crédito a prorrogação do prazo do contrato - sobre o respetivo valor, em função do prazo: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) Crédito de prazo inferior a um ano - por cada mês ou fração 0,04% Crédito de prazo igual ou superior a um ano 0,50% Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos 0,60% Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos 0,60% Crédito utilizado sob a forma de conta corrente, descoberto bancário ou qualquer outra forma em que o prazo de utilização não seja determinado ou determinável, sobre a média mensal obtida através da soma dos saldos em dívida apurados diariamente, durante o mês, divididos por 30 0,04% Pela utilização de crédito em virtude da concessão de crédito no âmbito de contratos de crédito a consumidores abrangidos pelo Decreto-Lei n.º 133/2009, de 2 de junho, considerando-se, sempre, como nova concessão de crédito a prorrogação do prazo do contrato - sobre o respetivo valor, em função do prazo: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) Crédito de prazo inferior a um ano - por cada mês ou fração - 0,07 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) 579

32 MATEMÁTICA FINANCEIRA Crédito de prazo igual ou superior a um ano - 0,90 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos - 1 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) Crédito utilizado sob a forma de conta corrente, descoberto bancário ou qualquer outra forma em que o prazo de utilização não seja determinado ou determinável, sobre a média mensal obtida através da soma dos saldos em dívida apurados diariamente, durante o mês, divididos por 30-0,07% (Redação dada pela Lei n.º 12- A/2010, de 30/06) 17.3 Operações realizadas por ou com intermediação de instituições de crédito, sociedades financeiras ou outras entidades a elas legalmente equiparadas e quaisquer outras instituições financeiras - sobre o valor cobrado: (Redação dada pela Lei n.º 12- A/2010, de 30/06 anterior verba 17.2) Juros por, designadamente, desconto de letras e bilhetes do Tesouro, por empréstimos, por contas de crédito e por crédito sem liquidação 4% Prémios e juros por letras tomadas, de letras a receber por conta alheia, de saques emitidos sobre praças nacionais ou de quaisquer transferências 4% Comissões por garantias prestadas 3% Outras comissões e contraprestações por serviços financeiros, incluindo as taxas relativas a operações de pagamento baseadas em cartões - 4 %. (Redação da Lei n.º 7-A/2016, de 30 de março). 580

33 BIBLIOGRAFIA Ayres, F., Matemática Financeira, McGraw-Hill Cadilhe, M., Matemática Financeira Aplicada, Edições ASA Costa, M., Cálculo Financeiro, Plátano Editora Fernandes, L., Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro, INCM Lisboa, J. et al., Cálculo Financeiro, Vida Económica Mateus, A., Cálculo Financeiro, Edições Sílabo Matias, R., Cálculo Financeiro, Escolar Editora Olavo, F., Desconto Bancário, Anuário Com. Português Rodrigues, A. et al., Elementos de Cálculo Financeiro, Rei dos Livros Samanez, C., Matemática Financeira - Aplicações à Análise de Investimentos Silva, A., Matemática das Finanças, Editora McGraw-Hill Sobrinho, J., Matemática Financeira, Editora Atlas Vieira, E.,. Técnicas Financeiras, Univ. Lusíada Editora 585

34 MATEMÁTICA FINANCEIRA O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte em aplicações profissionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora. A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e métodos quantitativos de análise e gestão financeira. Como ponto de partida, exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis que lhe estão associadas. Por toda a extensão dos capítulos são desenvolvidas, em termos matemáticos, as fórmulas que são utilizadas na resolução de casos práticos. Desde a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, apuramento de taxas e juros, cálculo e determinação de rendas, este livro contempla as matérias normalmente lecionadas nos cursos superiores desta unidade curricular, constituindo um manual de referência para estudantes e professores. ISBN: Visite-nos em livraria.vidaeconomica.pt