Desenvolvimento de modelos de previsão da vida à fadiga de ligações rebitadas

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1 UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS Desenvolvimento de modelos de previsão da vida à fadiga de ligações rebitadas José António Fonseca de Oliveira Correia Dissertação apresentada à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil, domínio científico da Engenharia Estrutural, realizada sob a orientação científica dos Professores Doutores Abílio Manuel Pinho de Jesus e Jorge Tiago Queirós da Silva Pinto do Departamento de Engenharias da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro. Dezembro 2008

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3 AGRADECIMENTOS Ao concluir a presente dissertação de mestrado queria expressar os meus agradecimentos a todos aqueles que estiveram envolvidos, directa ou indirectamente, na sua realização. Assim, gostaria de agradecer particularmente: - ao Professor Abílio de Jesus do Departamento de Engenharias da Universidade de Trásos-Montes e Alto Douro, não só pela orientação, mas também pelos meios que colocou ao meu dispor, pelo empenho e profissionalismo que manifestou no desenvolvimento do trabalho e pelo empenho que proporcionou na revisão cuidada da dissertação; - ao Professor Jorge Tiago Pinto do Departamento de Engenharias da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, não só pela co-orientação, mas também pelas sugestões que realizou no decorrer do trabalho e pelo apoio concedido; - ao Professor Alfredo Ribeiro do Departamento de Engenharias da Universidade de Trásos-Montes e Alto Douro pelas conversas informais que surgiram no decorrer da realização da dissertação e pela bibliografia cedida; - ao Professor José Morais do Departamento de Engenharias da Universidade de Trás-os- Montes e Alto Douro pela sua amizade e apoio concedido durante a realização do trabalho, nos momentos em que surgiam conversas informais; - às Instituições, Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (UTAD) e Instituto de Engenharia Mecânica Pólo FEUP (IDMEC), pela oportunidade que me proporcionaram à realização do presente trabalho; - à Fundação para a Ciência e Tecnologia que, através do projecto PTDC/EME- PME/78833/2006, financiou parcialmente o presente trabalho. i

4 Desejo expressar um agradecimento especial aos meus familiares, amigos e colegas de trabalho que através da sua amizade, companhia e incentivo facilitaram o trabalho desenvolvido: - aos meus alunos e colegas da Escola EB 2,3 de Santa Marta de Penaguião; - aos Engenheiros Jonny Batista, Cristóvão Santos e Rui Rego, que através da seu apoio e amizade permitiram amenizar os dias de trabalho mais intenso; - à Professora Carlota Ribeiro e Professor Álvaro Bonito da Escola Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Viseu, pelo incentivo prestado em todos os momentos; - aos Engenheiros António Maeiro, Bruno Santos, Eduardo Moreira, Paulo Mendes e Xavier Cruz, pela sua amizade e apoio moral concedido durante a realização do trabalho; - ao Álvaro Sequeira, Francisco Carvalho, Daniel Gomes, Susana Lopes, Sr. António Pereira, Sr. António Sobral, Sr. Carlos Pereira e Sr. Paulo Gil, pela sua compreensão, companheirismo e apoio concedido nos dias em que me encontrava com eles; - ao Alberto João e Inês Granado, pelas conversas informais de apoio e incentivo; - à Dr. Liliana Paiva, Patrícia Almeida e Luís Magalhães, que pelas suas palavras amigas e ocasionais serviram de apoio à concretização do trabalho; - ao meu pai, António Joaquim de Oliveira Correia, à minha segunda mãe, Odete da Silva Alves, e aos meus irmãos António Joaquim Fonseca de Oliveira Correia e Maria de Fátima Fonseca de Oliveira Correia, pelo apoio e encorajamento. À Memória Gostaria de deixar uma dedicação especial ao meu avô António de Oliveira Correia, e à minha querida mãe Maria Susana Fonseca de Oliveira Correia, que infelizmente já não se encontram entre nós. ii

5 RESUMO A presente dissertação tem como tema principal o desenvolvimento de modelos de previsão da vida à fadiga de ligações rebitadas. Este estudo visa, essencialmente, a apresentação de resultados do modelo de previsão baseado em duas fases de crescimento de fendas, para efeitos de apresentação de previsões da vida à fadiga de ligações rebitadas e de demonstração dos efeitos benéficos na resistência à fadiga do pré-esforço nos rebites. Para a modelação da resistência à fadiga de ligações rebitadas através de modelos de elementos finitos de ligações rebitadas assumiu-se a existência de fendas a emanar dos furos dos rebites, determinando-se, desta forma, factores de intensidade de tensões através da técnica modificada do fecho de fenda virtual. Com base nos valores numéricos dos factores de intensidade de tensões, foram realizadas previsões de propagação das fendas de fadiga até à rotura final das ligações, sendo estas previsões comparadas com os resultados experimentais. Também se propõem modelos de elementos finitos paramétricos de ligações rebitadas que permitem a avaliação das localizações críticas das ligações rebitadas e a determinação das histórias das deformações e tensões elastoplásticas nesses pontos críticos, utilizadas para a determinação do número de ciclos necessário à iniciação de fendas de fadiga. Este trabalho também serviu para gerar informação experimental relativa à resistência à fadiga de ligações rebitadas e à caracterização do comportamento à fadiga de um material usado em pontes metálicas rebitadas. Este comportamento à fadiga inclui as respostas elastoplásticas cíclicas, as relações deformação-vida e a resistência à propagação de fendas de fadiga. iii

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7 ABSTRACT The main theme of this thesis is the development of procedures for fatigue life prediction of riveted connections. The proposed procedures are based on a two-phase fatigue model that assesses the crack initiation and propagation according to distinct approaches. The proposed procedures area able to demonstrate the beneficial effects on fatigue strength or fatigue life of the clamping force of the rivets. While the crack initiation was modeled using local approaches, such as the strain-life approach, the crack propagation was based on the Linear Elastic Fracture Mechanics. Both analyses were supported by 3D finite element calculations. Two types of finite element models were built, namely models without cracks, to derive the critical locations and the respective elastic stress concentration factors, and models with cracks to derive the stress intensity factors according to the virtual crack closure technique. The proposed procedures were applied to a riveted shear splice from the Portuguese railway Trezói bridge. An experimental program was conducted to derive the required experimental data of the material (ex: strain-life curves, crack growth curves), as well as the fatigue strength of the connection. The performance of the proposed procedures was assessed through comparisons between predictions and experimental data available for the riveted connection. The comparisons revealed very consistent predictions, which are justified by the separate assessment of both crack initiation and propagation phases. The proposed model requires the support of a 3D finite element model able to account the local geometric features as well as the rivet clamping effects. v

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9 ÍNDICE GERAL Agradecimentos Resumo Abstract Índice Geral Índice de Figuras Índice de Tabelas Nomenclatura i iii v vii ix xv xvii Capítulo I Introdução Objectivos Estrutura da dissertação 3 Capítulo II Fadiga e Fractura dos Materiais Introdução Considerações gerais Modelos de previsão da resistência ou da vida à fadiga Modelos baseados nas tensões elásticas locais totais Modelos baseados nas deformações elastoplásticas locais totais Comportamento elastoplástico cíclico Relações deformação-vida Análise elastoplástica das tensões/deformações nos entalhes Modelos baseados na mecânica da fractura Considerações sobre a mecânica da fractura linear elástica Modos de solicitação de uma fenda Definição do factor de intensidade de tensões Propagação de fendas de fadiga Método dos elementos finitos Determinação dos factores de intensidade de tensões Técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas Técnica modificada do fecho de fenda virtual 33 Capítulo III Caracterização do comportamento à fadiga do aço da Ponte de Trezói Introdução Descrição da Ponte de Trezói 40 vii

10 3.3. Localização da barra extraída da Ponte Caracterização das propriedades mecânicas básicas do aço Composição química Microestrutura Ensaios de tracção Ensaios de dureza Ensaios de tenacidade Comportamento elastoplástico cíclico do material da Ponte de Trezói Avaliação da resistência à fadiga do material da Ponte de Trezói Relação deformação/vida Determinação de taxas de propagação de fendas de fadiga Ensaio de fadiga de ligações rebitadas 61 Capítulo IV Modelação da resistência à fadiga de uma ligação rebitada Introdução Modelação da iniciação de fendas Modelação da propagação de fendas Modelo de elementos finitos da ligação Descrição do modelo sem fendas para determinação do K t Factor elástico de concentração de tensões, K t Modelo com fendas para determinação dos factores de intensidade de tensões Valores numéricos dos factores de intensidade de tensões Resistência à fadiga da ligação rebitada 93 Capítulo V Conclusões e trabalhos futuros Conclusões Trabalhos futuros 99 Referências Bibliográficas 100 Anexo I 104 I.1. Modelo paramétrico em linguagem APDL da ligação rebitada sem fenda 105 I.2. Modelo paramétrico em linguagem APDL da ligação rebitada com fenda 124 viii

11 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Variações de tensão mais comuns: a) amplitude constante; b) blocos de 8 amplitude constante; c) aleatória [10]. Figura 2.2 Representação esquemática das curvas S-N, obtidas com base em ensaios de 11 provetes lisos [10]. Figura 2.3 Comportamentos cíclicos típicos: a) endurecimento cíclico; b) amaciamento 14 cíclico; c) relaxação da tensão média; d) fluência cíclica [10]. Figura 2.4 Curva cíclica do material [10]. 15 Figura 2.5 Ciclos de histerese típicos: a) comportamento tipo Masing; b) comportamento 16 tipo não-masing [10]. Figura 2.6 Relação entre a amplitude de deformação total e a vida, obtida através da 18 sobreposição das relações amplitude de deformação elástica versus vida e amplitude de deformação plástica versus vida [10]. Figura 2.7 Variação dos factores de concentração de tensões e deformações com as 19 tensões nos entalhes [10]. Figura 2.8 Ilustração da análise de tensões/deformações nos entalhes, de acordo com a 21 regra de Neuber [21]. Figura 2.9 Modos de solicitação/deformação de uma fenda [10]. 23 Figura 2.10 Placa infinita com fenda solicitada em modo I [10]. 25 Figura 2.11 Evolução do comprimento das fendas com o número de ciclos para vários 26 níveis de tensão [10]. Figura 2.12 Taxa de propagação de fendas versus gama do factor de intensidade de 27 tensões [10]. Figura 2.13 Técnica quarter node point [1]. 30 Figura 2.14 Técnica collapsed elements [1]. 31 Figura 2.15 Técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas, com elementos 2D de 4 32 nós, [1]. Figura 2.16 Técnica modificada do fecho de fenda virtual, [1]. 34 Figura 2.17 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para elementos quadráticos 35 2D com 8 nós, [1]. Figura 2.18 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para elementos sólidos 37 lineares 3D com 8 nós, [1]. Figura 2.19 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para nós de canto com 37 elementos sólidos quadráticos 3D com 20 nós, [1]. ix

12 Figura 2.20 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para nós a meio do lado com 38 elementos sólidos quadráticos 3D com 20 nós, [1]. Figura 3.1 Ponte de Trezói [46]. 40 Figura 3.2 Localização do contraventamento superior removido e a sua secção 41 transversal [46]. Figura 3.3 Microestrutura do material [46]. 42 Figura 3.4 Provetes lisos usados nos ensaios de fadiga: a) geometria e dimensões 45 (dimensões em mm); b) foto dos provetes. Figura 3.5 Ciclos de histerese estabilizados e curva cíclica do material do 48 contraventamento transversal extraído da Ponte de Trezói, quando solicitado em controlo de deformação com R ε =-1. Figura 3.6 Evolução da amplitude de tensão com o número de ciclos e com a gama de 49 deformação, relativa ao material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói, solicitado em controlo de deformação, R ε =-1. Figura 3.7 Representação alternativa da curva cíclica do material do contraventamento 49 extraído da Ponte de Trezói: amplitude de tensão versus amplitude de deformação plástica, obtida com ensaios realizados em controlo de deformação, R ε =-1. Figura 3.8 Comportamento não-masing do material do contraventamento extraído da 50 Ponte de Trezói. Figura 3.9 Representação das relações deformação-vida para o material do 51 contraventamento extraído da Ponte de Trezói, solicitado em controlo de deformação com R ε =-1. Figura 3.10 Geometria e dimensões dos provetes CT utilizados nos ensaios (dimensões 53 em mm). Figura 3.11 Sistema óptico de medição do avanço de fendas Figura 3.12 Taxas de propagação de fendas de fadiga para R σ =0. Figura 3.13 Taxa de propagação de fendas de fadiga para R σ =0.25. Figura 3.14 Taxas de propagação de fendas de fadiga para R σ =0.5. Figura 3.15 Comparação entre as taxas de propagação de fendas de fadiga obtidas para as razões de tensão R σ =0.0, R σ =0.25 e R σ =0.5. Figura 3.16 Comparação entre as correlações das taxas de propagação de fendas de fadiga obtidas para as razões de tensões R σ =0.0, R σ =0.25 e R σ = x

13 Figura 3.17 Dados de propagação de fendas de fadiga para materiais de diversas pontes 60 rebitadas antigas portuguesas. Figura 3.18 Dimensões nominais dos provetes de fadiga (dimensões em mm), [46]. 61 Figura 3.19 Provetes de fadiga [46]. 62 Figura 3.20 Provete de fadiga com rotura [46]. 62 Figura 3.21 Provete fadiga com rotura na ligação rebitada [46]. 63 Figura 3.22 Curva S-N para a ligação rebitada. 63 Figura 3.23 Curva S-N para a ligação rebitada, incluindo as curvas de projecto da 64 AASHTO e EC3. Figura 4.1 Geometria da ligação rebitada (dimensões em mm). 67 Figura 4.2 Curva Cíclica Tensão-Deformação. 69 Figura 4.3 Ilustração da fenda passante a iniciar no furo do rebite da ligação rebitada. 71 Figura 4.4 Malha de elementos finitos da ligação rebitada. 72 Figura 4.5 Campo de tensões, σ y, em MPa, da ligação rebitada: a) (FKN=0.01; 75 FTOLN=0.01; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn); b) (FKN=0.01; FTOLN=0.05/0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn); c) (FKN=0.1; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn); d) (FKN=1.0; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn). Figura 4.6 Campo de tensões, σ y, em MPa, da ligação rebitada: a) (FKN=0.01; 76 FTOLN=0.01; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn); b) (FKN=0.01; FTOLN=0.05/0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn); c) (FKN=0.1; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn); d) (FKN=1.0; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn). Figura 4.7 Campo de tensões, σ y, em MPa, da ligação rebitada: a) (FKN=0.01; 77 FTOLN=0.01; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn); b) (FKN=0.01; FTOLN=0.05/0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn); c) (FKN=0.1; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn); d) (FKN=1.0; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn). Figura 4.8 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN, FTOLN e 78 coeficiente de atrito, sem pré-esforço (ΔT=0ºC). Figura 4.9 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN=0.01, 79 FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Figura 4.10 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN=0.1, 80 FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. xi

14 Figura 4.11 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Figura 4.12 Comparação da evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN, FTOLN e coeficiente de atrito, em função da variação de temperatura, ΔT. Figura 4.13 Evolução do pré-esforço no rebite com FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Figura 4.14 Evolução do pré-esforço no rebite com FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Figura 4.15 Evolução do pré-esforço no rebite com FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Figura 4.16 Comparação das evoluções dos pré-esforços no rebite para vários valores de FKN, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura. Figura 4.17 Evolução do factor de concentração de tensões, K t, com FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do préesforço no rebite. Figura 4.18 Evolução do factor de concentração de tensões, K t, com FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do préesforço no rebite. Figura 4.19 Evolução do factor de concentração de tensões, K t, com FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do préesforço no rebite. Figura 4.20 Comparação das evoluções do factor de concentração de tensões, K t, para vários valores de FKN, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. Figura 4.21 Campos de tensões na direcção do carregamento para diferentes comprimentos de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC. Figura 4.22 Factores de intensidade de tensões para diferentes comprimentos de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC xii

15 Figura 4.23 Factores de intensidade de tensões para diferentes comprimentos de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC. Figura 4.24 Factores de intensidade de tensões para diferentes comprimentos de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC. Figura 4.25 Valores máximos e médios do factor de intensidade de tensões ao longo do comprimento de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC. Figura 4.26 Valores máximos e médios do factor de intensidade de tensões ao longo do comprimento de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC. Figura 4.27 Valores máximos e médios do factor de intensidade de tensões ao longo do comprimento de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC. Figura 4.28 Valores médios do factor de intensidade de tensões ao longo do comprimento de fenda para ΔT=0ºC, ΔT=75ºC e ΔT=275ºC: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0. Figura 4.29 Previsão da vida à fadiga para ligações rebitadas: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC. Figura 4.30 Previsão da vida à fadiga para ligações rebitadas: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC. Figura 4.31 Previsão da vida à fadiga para ligações rebitadas: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC xiii

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17 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.1 Composição química do material [46]. 42 Tabela 3.2 Resultados dos ensaios de tracção [46]. 43 Tabela 3.3 Resultados dos ensaios de impacto Charpy [46]. 44 Tabela 3.4 Resultados dos ensaios COD [46]. 44 Tabela 3.5 Planificação dos ensaios de fadiga realizados com provetes lisos. 46 Tabela 3.6 Resultados dos ensaios de fadiga realizados em controlo de deformação com 48 razão de deformações, R ε =-1, obtidos para o material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói. Tabela 3.7 Constantes da curva deformação-vida para o material do contraventamento 52 extraído da Ponte de Trezói, solicitado em controlo de deformação com R ε =-1. Tabela 3.8 Dimensões dos provetes CT adoptadas e recomendadas segundo a norma 53 ASTM E [40]. Tabela 3.9 Resumo do programa experimental para determinação das taxas de 54 propagação de fendas de fadiga. Tabela 3.10 Constantes da lei de Paris relativas aos provetes testados. 59 Tabela 3.11 Constantes da lei de Paris relativas aos provetes testados, agrupados por 59 razões de tensões. Tabela 3.12 Resumo dos resultados dos ensaios de fadiga das ligações rebitadas [46]. 62 xv

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19 NOMENCLATURA Abreviaturas UTAD IDMEC MEF MF EUA MFLE MFEP ASTM REFER NP COD CT MT Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro; Instituto de Engenharia Mecânica; Método de Elementos Finitos; Mecânica da Fractura; Estados Unidos da América; Mecânica da Fractura Linear Elástica; Mecânica da Fractura Elastoplástica; American Society for Testing and Materials; Rede Ferroviária Nacional; Norma Portuguesa; Crack Opening Displacement; Compact Tension; Middle Tension. Simbologia a comprimento de uma fenda de profundidade constante; a c, a f, a i comprimentos crítico, final e inicial de uma fenda de fadiga; A extensão após rotura; b expoente de resistência à fadiga; espessura das chapas (equação 2.41); B espessura dos provetes CT; c expoente de ductilidade à fadiga; C constante da lei de Paris; d diâmetro do rebite; da/dn taxa de propagação de fendas de fadiga; dε/dt taxa de deformação média; d máx E f f u f y deslocamento máximo na direcção do carregamento; módulo de Young; frequência; tensão de rotura; tensão de cedência; F, F min, F max força; força mínima; força máxima; F pré-esforço Pré-esforço no rebite; xvii

20 G taxa de libertação de energia; G c valor crítico da taxa de libertação de energia; G I taxa de libertação de energia em modo I; G II taxa de libertação de energia em modo II; G III taxa de libertação de energia em modo III; K coeficiente de resistência monótono; factor de intensidade de tensões; K coeficiente de endurecimento cíclico; K c tenacidade crítica do material; K f factor de redução da resistência à fadiga; K max factor de intensidade de tensões máximo; K t factor elasto-estático de concentração de tensões; K ε factor elastoplástico de concentração de deformações; K σ factor elastoplástico de concentração de tensões; m expoente da lei de Paris; n expoente de endurecimento monótono; n expoente de endurecimento cíclico; N número de ciclos; N f número de ciclos de rotura; N i, N p número de ciclos para iniciação de uma fenda; número de ciclos para propagação de uma fenda; r raio de curvatura; coordenada polar; R ε razão de deformações ( R ε = ε / ε ); R σ razão de tensões ( R σ = σ / σ ); R 2 min coeficiente de determinação; t espessura da placa; tempo; T final temperatura final; T ref temperatura de referência; u, v, w deslocamentos nas direcções x, y e z, respectivamente; W largura nominal do provete CT; largura da ligação (equação 4.7); X i força nodal no ponto i na direcção x; Y parâmetro geométrico adimensional de correcção do factor de intensidade de tensões; Y i força nodal no ponto i na direcção y; Z coeficiente de estricção; Z i força nodal no ponto i na direcção z; α coeficiente da equação 3.4; ε, ε E, ε P deformação; deformação elástica; deformação plástica; ε a, E ε a, P ε a min xviii max max amplitude de deformação; amplitude de deformação elástica; amplitude de deformação plástica;

21 ε f coeficiente de ductilidade à fadiga; ε loc deformação local; ε loc, min, loc, max ε deformação local mínima e máxima, respectivamente; ε max, ε med, ε min deformações máxima, média e mínima do ciclo de deformação; ε nom deformação nominal; μ coeficiente de atrito; ν θ σ σ a coeficiente de Poisson; coordenada polar; tensão uniaxial; amplitude de tensão; σ alf, amplitudes das tensões limite de fadiga para σ med 0 ; σ f coeficiente de resistência à fadiga; σ loc tensão local; σ loc, max, loc, min σ, σ loc, med tensão local máxima; tensão local mínima; tensão local média; σ max, σ med, σ min tensões máxima, média e mínima do ciclo de tensões; σ nom tensão nominal; σ nom, max, nom, min σ tensão nominal máxima; tensão nominal mínima; σ x, σ y,máx σ σ y, σ z componentes normais do tensor das tensões; tensão máxima na direcção da carga; tensão remota; σ 1, σ 2, σ 3 tensões principais do tensor das tensões ( σ 1 > σ 2 > σ 3 ); τ xy, τ yz, τ zx componentes de corte do tensor das tensões; Δ Δa Δu l, Δv l, Δw l ΔF ΔA ΔE ΔK ΔK inicial ΔK th ΔN ΔT Δε Δε E gama ou variação máxima; incremento da fenda; deslocamentos no nó l na direcção x, y e z, respectivamente; gama da força; área da superfície criada pela propagação da fenda Δa; variação de energia necessária para fechar a fenda; gama do factor de intensidade de tensões; valor inicial da gama do factor de intensidade de tensões; gama do factor de intensidade de tensões limiar de propagação; incrementos no número de ciclos de rotura; gama de temperatura; gamas de deformação; gamas de deformação elástica; xix

22 Δε P gamas de deformação plástica; Δε loc Δε nom Δσ Δσ loc Δσ nom gama de deformação local; gama de deformação nominal; gamas de tensão; gama de tensão local; gama de tensão nominal; 2N, 2N f número de reversões; número de reversões até à rotura; 2N t número de reversões de transição entre comportamentos à fadiga de curta e longa duração; xx

23 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO 1

24 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO 1.1. Objectivos No final do século XIX e início do século XX inúmeras pontes metálicas rebitadas foram construídas. A avaliação das condições de segurança destas pontes tem uma relevância cada vez maior, pois estas pontes foram dimensionadas para condições de tráfego completamente diferentes das que se verificam actualmente. Neste contexto, tem aumentado a preocupação das entidades governamentais na manutenção e avaliação da vida residual destas estruturas metálicas rebitadas. Na época em que foram projectadas, o conhecimento de alguns fenómenos era escasso, sendo que hoje os conhecimentos científicos estão bastante mais desenvolvidos e fenómenos como a fadiga são tidos como aspectos fundamentais. Enquanto a fadiga apenas foi profundamente estudada durante o século XX, na época em que foram projectadas as pontes metálicas rebitadas, este fenómeno não era tido em conta. Actualmente, o estudo da fadiga tem um papel de extrema importância, no que diz respeito, à manutenção e avaliação da vida residual destas pontes. Pretende-se com este trabalho apresentar contributos para a modelação da resistência à fadiga de ligações rebitadas através de modelos de elementos finitos de ligações rebitadas. Assumindo fendas a emanar dos furos dos rebites, são determinados factores de intensidade de tensões usando algumas das técnicas disponíveis na literatura como, por exemplo, a técnica do fecho de fenda virtual ou a técnica modificada do fecho de fenda virtual [1]. Usando os valores dos factores de intensidade de tensões, serão realizadas previsões de propagação das fendas de fadiga até à rotura final das ligações. Também serão construídos modelos de elementos finitos paramétricos de ligações rebitadas que permitam a avaliação das localizações críticas das ligações rebitadas e a determinação das histórias das deformações e tensões elastoplásticas nesses pontos críticos. Estes resultados devem ser usados em modelos de aproximação local, baseados nas tensões e deformações locais, para determinação no número de ciclos necessário à iniciação de fendas de fadiga. Para além do objectivo de construção de modelos de elementos finitos de ligações rebitadas para obtenção de resultados numéricos dos factores 2

25 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO de intensidade de tensão; do uso modelos de aproximação local, baseados nas tensões e deformações locais, para determinação no número de ciclos necessário à iniciação de fendas de fadiga; e a realização de previsões de propagação das fendas de fadiga; também se pretende gerar informação experimental relativa à resistência à fadiga de ligações rebitadas, assim como de caracterização do comportamento à fadiga de um material usado em pontes metálicas rebitadas. Este comportamento à fadiga deve incluir as respostas elastoplásticas cíclicas, relações deformação-vida e a resistência à propagação de fendas de fadiga determinadas, respectivamente, através de provetes lisos e entalhados. Finalmente, os modelos desenvolvidos serão integrados de modo a resultar uma ferramenta global de previsão do comportamento à fadiga de ligações rebitadas. As previsões resultantes deste modelo serão comparadas com os resultados experimentais. Por último, pretende-se também que este trabalho sensibilize e consciencialize a comunidade científica e as organizações do estado para a necessidade de conservar o património existente, como é o caso das pontes metálicas rebitadas antigas, que por razões económicas ainda continuam em operação, sendo susceptíveis de apresentarem danos acumulados que podem ser significativos, requerendo deste modo intervenções de reabilitação Estruturação da dissertação Esta dissertação encontra-se organizada em 5 Capítulos, incluindo o presente: No Capítulo 2 apresenta-se uma exposição teórica sobre a fadiga e a fractura dos materiais, com particular destaque para os modelos de previsão da resistência ou da vida à fadiga, o método de elementos finitos (MEF), e ainda a técnica de pós processamento utilizada para a obtenção dos factores de intensidade de tensões, a técnica do fecho de fenda virtual [1]. Os modelos de previsão da resistência à fadiga enunciados foram os modelos baseados nas tensões elásticas locais totais, os modelos baseados nas deformações elastoplásticas locais totais e os modelos baseados na mecânica da fractura (MF). Estes dois últimos foram usados para descrever o processo de iniciação de fendas de fadiga e o processo de propagação de fendas de fadiga, respectivamente. Os factores de intensidade de tensões 3

26 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO necessários aos modelos baseados na MF foram calculados através de análises de elementos finitos utilizando a técnica do fecho de fenda virtual [1]. No Capítulo 3 efectua-se a caracterização do comportamento à fadiga do aço da Ponte de Trezói. Para tal, faz-se uma breve descrição da ponte e explica-se a localização da barra extraída, que foi utilizada para elaborar os provetes. Este capítulo descreve as propriedades básicas do aço (composição química, microestrutura, resistência à tracção, dureza e tenacidade), a resistência à fadiga, na forma de relações deformação-vida, assim como as taxas de propagação de fendas de fadiga, para várias razões de tensões e, por fim, apresenta-se a resistência à fadiga de ligações rebitadas originais da dita ponte. Neste capítulo também se faz a comparação dos resultados das taxas de propagação de fendas de fadiga e da resistência à fadiga de ligações rebitadas com outros dados disponíveis na literatura. No Capítulo 4 apresenta-se a modelação da resistência à fadiga da ligação rebitada. Após a descrição da ligação rebitada, faz-se a modelação de iniciação e propagação de fendas de fadiga. Apresenta-se o modelo de elementos finitos da ligação sem e com fenda que serve de suporte às previsões. A modelação da iniciação de fendas de fadiga pressupõe uma análise em duas etapas distintas: a primeira consiste na análise elastoplástica local com vista à determinação das tensões e deformações locais totais nos pontos críticos da ligação; a segunda etapa envolve a comparação dos valores locais das tensões e deformações com as curvas de resistência à fadiga do material resultando, desta comparação, o número de ciclos necessário para iniciar uma fenda de fadiga. Na avaliação do período de propagação, a fenda é propagada até o valor máximo do factor de intensidade de tensões se aproximar da tenacidade do material. Com vista à modelação da iniciação e propagação de fendas na ligação rebitada em estudo, foi construído um modelo de elementos finitos 3D, usando o código comercial ANSYS [2] e linguagem APDL, considerando para tal, três sólidos, nomeadamente, duas placas e um rebite. Neste capítulo apresentam-se resultados do factor de concentração de tensões em função do pré-esforço, assim como o factor de intensidade de tensões, em função do comprimento de fenda e posição ao longo da frente da fenda. Também se apresentam os resultados das previsões das fases de iniciação e propagação de fendas, assim como da vida total, na forma de curvas S-N. Por fim, apresenta-se uma discussão dos resultados obtidos. 4

27 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO Finalmente, no Capítulo 5, apresentam-se as conclusões finais do trabalho, assim como a referência a perspectivas para futuros trabalhos de investigação relacionados com o presente trabalho. 5

28 CAPÍTULO II FADIGA E FRACTURA DOS MATERIAIS 6

29 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais 2.1. Introdução Os processos de fadiga e fractura devem ser considerados na definição de níveis de fiabilidade das pontes metálicas rebitadas antigas. Tendo em conta as condições particulares de operação destas pontes metálicas, a avaliação da sua integridade estrutural reveste-se de especial importância. Códigos de projecto modernos para estruturas metálicas, como por exemplo o BS5400 [3], o EC3 [4] e o AASHTO [5], exigem a avaliação da resistência à fadiga e factura. Existe uma preocupação especial em relação às pontes rebitadas pois a maioria foi projectada e posta em serviço no final do século XIX, início do século XX e, por razões económicas, continuam em operação. Estas pontes são susceptíveis de apresentarem danos acumulados que podem ser significativos, tendo em conta o aumento verificado da intensidade de tráfego (cargas e frequência), pondo em causa a sua segurança. As elevadas incertezas associadas aos carregamentos, assim como ao próprio fenómeno de fadiga, tornam a avaliação do comportamento à fadiga destas pontes uma tarefa complexa. Apesar dos primeiros estudos sobre o comportamento à fadiga de pontes rebitadas antigas terem sido levados a cabo nos EUA, mais recentemente outros investigadores têm vindo a interessar-se por este assunto dada a importância económica que ele representa para os países industrializados [6-9]. As ligações rebitadas são localizações críticas das pontes uma vez que elas promovem a concentração de tensões, principalmente na vizinhança dos furos dos rebites. As fendas de fadiga iniciam, geralmente, na vizinhança dos furos e propagam-se através da secção resistente dos elementos estruturais, levando à rotura destes elementos. Em Portugal, apesar de existir um apreciável número de pontes rebitadas antigas em serviço, não tem havido estudos exaustivos que procurem avaliar a fiabilidade destas pontes tendo em conta a fadiga. Nesta perspectiva, a presente dissertação apresenta o desenvolvimento de modelos de previsão da vida à fadiga de ligações rebitadas, baseado nos métodos de aproximação local e mecânica da fractura linear elástica (MFLE) usados na previsão das fases de iniciação e propagação de fendas de fadiga. 7

30 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais 2.2. Considerações gerais A fadiga dos materiais surge associada a campos de tensões variáveis no tempo. Estes campos de tensões podem ser uniaxiais ou multiaxiais. Os campos de tensões multiaxiais podem ser ainda biaxiais ou triaxiais. Enquanto que os campos de tensões biaxiais ocorrem normalmente à superfície dos componentes estruturais, os campos de tensões triaxiais ocorrem nos pontos do interior do material. Considere-se um carregamento uniaxial, caracterizado por uma tensão, σ(t), variável no tempo. Esta tensão pode variar segundo os modos esquematizados na Figura 2.1. Na Figura 2.1-a) representa-se um carregamento de amplitude constante. Na Figura 2.1-b) ilustra-se um carregamento composto por blocos distintos, sendo a tensão, em cada bloco, de amplitude constante. Finalmente, a Figura 2.1-c) mostra um carregamento aleatório. Na prática, a análise de um carregamento aleatório passa pela transformação deste num carregamento mais simplificado, equivalente ao da Figura 2.1-b). σ σ max 2 reversões σ σ med σ min σ a σ a Δσ σ a) t b) t c) t Figura 2.1 Variações de tensão mais comuns: a) amplitude constante; b) blocos de amplitude constante; c) aleatória [10]. Relativamente ao carregamento da Figura 2.1-a) pode definir-se a gama de tensão, Δσ, como sendo a diferença entre a tensão máxima e a tensão mínima: Δσ = σ max σ min (2.1) 8

31 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Define-se amplitude de tensão, σ a, como sendo metade da gama de tensão: Δσ σ max σ min σ a = = (2.2) 2 2 A tensão média pode exprimir-se à custa da tensão mínima e máxima do ciclo de tensão: σ med σ max + σ min = (2.3) 2 Em alternativa à tensão média é comum usar-se a razão de tensões, R σ : R σ min σ = σ (2.4) max A razão de tensões pode tomar dois valores comuns, sendo eles, R σ =0 ( σ = / 2 ) e med σ max R σ =-1 ( σ med = 0 ). Enquanto que o carregamento com razão de tensões nula é designado de pulsante, o carregamento com razão de tensões igual a 1 é designado de alternado ou totalmente reversível. Caso a grandeza controlada seja a deformação, definem-se expressões análogas para a gama de deformação, Δε = ε max ε, para amplitude de deformação, ε = Δε / 2, para a deformação média, ε = ε ε )/ 2, e para a razão de deformações, a R ε = ε min / ε max. med min ( max min 2.3. Modelos de previsão da resistência ou da vida à fadiga Nesta secção procede-se à descrição dos diversos modelos normalmente usados na previsão da resistência ou vida à fadiga de ligações rebitadas. Os modelos de análise à fadiga assentam em dois tipos distintos de abordagens: as abordagens globais e as abordagens locais. As abordagens locais serão objecto de exposição neste ponto, pelo facto da iniciação de fendas de fadiga ser normalmente modelada com base nos valores das deformações e tensões locais totais. 9

32 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais As abordagens locais baseiam-se em parâmetros determinados directamente a partir das tensões e deformações locais totais, e descrevem fenómenos locais de danificação, tais como a iniciação e propagação de fendas de fadiga e ainda a rotura final. É usual utilizar-se um método baseado nas deformações elastoplásticas locais totais, para modelar a iniciação de uma fenda de fadiga e a MF para modelar a propagação da fenda até à rotura final do componente Modelos baseados nas tensões elásticas locais totais Os modelos baseados nas tensões elásticas locais totais são normalmente utilizados na previsão da resistência à fadiga de detalhes estruturais, de modo a garantir uma vida infinita ou um número elevado de ciclos. A iniciação de fendas de fadiga ou, em último caso, a propagação destas fendas deverá ser evitada. Estes modelos assentam no pressuposto de um comportamento linear elástico na raiz dos entalhes. Com efeito, para vidas infinitas (elevadas) não ocorrem deformações plásticas apreciáveis na raiz dos entalhes e a tensão limite de fadiga dos detalhes estruturais reduz-se proporcionalmente ao factor de redução da resistência à fadiga, o qual depende do factor de concentração de tensões elasto-estático e do factor de sensibilidade ao entalhe do material. O factor de concentração de tensões elasto-estático depende da geometria do componente estrutural e do carregamento. Normalmente, para o caso de entalhes severos, o factor de redução da resistência à fadiga é igual ao factor de concentração de tensões modificado (reduzido), tendo em conta uma hipótese de suporte microestrutural. As tensões na raiz do entalhe, determinadas tendo em conta o factor de redução da resistência à fadiga, devem ser comparadas com a tensão limite de fadiga do material. A tensão limite de fadiga do material é função da tensão média, sendo normalmente apresentada na forma de diagramas que ilustram esta dependência. A tensão limite de fadiga também é influenciada pelo acabamento superficial, dureza e tensões residuais nas camadas mais superficiais do material. 10

33 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Em situações de carregamento tridimensional e para materiais dúcteis poderá ser aplicado o critério de von Mises na definição de uma tensão equivalente para comparação com as tensões limites de fadiga do material. Em alternativa, para os materiais frágeis, poderá ser usado um critério baseado na tensão normal principal. Os modelos de previsão da resistência à fadiga de detalhes estruturais, baseados nas tensões locais, assentam nos resultados de ensaios de fadiga de provetes lisos realizados em controlo de tensão, com tensão média nula. Estes resultados são, normalmente, expressos na forma de curvas que exprimem a relação entre a amplitude de tensão, σ a, aplicada ao provete e o número de ciclos até à rotura, N f, tal como se ilustra na Figura 2.2. Amplitude de tensão, σa Número de ciclos até à rotura, N f Figura 2.2 Representação esquemática das curvas S-N, obtidas com base em ensaios de provetes lisos [10]. Alguns materiais exibem um patamar de resistência horizontal, para vidas superiores a 10 6 ciclos. A aplicação de amplitudes de tensão inferiores a este patamar de resistência não provoca a rotura do provete. A amplitude de tensão, abaixo da qual se tem vida infinita, é designada de amplitude de tensão limite de fadiga, σ a,lf. Alguns materiais, tais como alguns aços de alta resistência, não apresentam um patamar horizontal de resistência à fadiga, continuando esta a diminuir com o número de ciclos. Para estes materiais é habitual convencionar um valor da tensão limite de fadiga como sendo o valor da tensão que resulta numa vida de aproximadamente 10 7 ciclos. 11

34 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Os resultados dos ensaios de fadiga de provetes lisos, realizados em controlo de tensão com tensão média nula, R σ =-1, podem ser expressos através da relação proposta por Basquin [11]: Δσ b σ a = = σ' f ( 2N f ) (2.5) 2 onde σ ' f é o coeficiente de resistência à fadiga, b é o expoente de resistência à fadiga e 2N f é o número de reversões Modelos baseados nas deformações elastoplásticas locais totais Os modelos de previsão da resistência ou da vida à fadiga de detalhes estruturais baseados nas deformações elastoplásticas totais, localizadas na raiz dos entalhes, procuram descrever o processo de iniciação de fendas de fadiga. Estes modelos baseiam-se no pressuposto de que o comportamento do material na raiz do entalhe, em relação à deformação local, dano local e iniciação de uma fenda de fadiga, é similar ao comportamento global de um provete de pequenas dimensões, liso ou suavemente entalhado, solicitado axialmente. O provete pode ser imaginado na raiz do entalhe ou pode ser realmente extraído do entalhe. O provete deve apresentar a mesma microestrutura, o mesmo acabamento superficial (incluindo tensões residuais) e, se possível, o mesmo volume do material mais solicitado no entalhe. Se alguma destas condições não corresponder às condições observadas no entalhe analisado, os resultados dos ensaios de fadiga dos provetes testados devem ser corrigidos antes de se proceder à sua utilização. Os modelos baseados nas deformações elastoplásticas totais incluem, normalmente, a estimativa das tensões e deformações na raiz dos entalhes, tendo em conta um comportamento elastoplástico do material, e a comparação das grandezas estimadas com uma curva S-N, baseada nas deformações. A curva S-N pode ser determinada com base num critério de rotura total, para os provetes de pequenas dimensões, ou com base num critério de iniciação de uma fenda macroscópica (ex: fendas com 0.25mm de profundidade), para provetes de maiores dimensões. 12

35 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais As deformações e tensões na raiz dos entalhes dos componentes estruturais são, normalmente, calculadas com base na curva cíclica do material, juntamente com fórmulas de suporte macroestrutural. Na presença de entalhes severos deverão ser realizadas correcções das tensões máximas, tendo em conta hipóteses de suporte microestrutural Comportamento elastoplástico cíclico Os metais, quando submetidos a um carregamento com deformações plásticas reversíveis, exibem um comportamento, designado de comportamento cíclico, que é distinto do comportamento monótono do material. Na Figura 2.3 representam-se algumas respostas cíclicas típicas. Constata-se que a resposta do metal depende da grandeza controlada e do modo como é feito esse controlo. Os comportamentos cíclicos mais importantes incluem o endurecimento e amaciamentos cíclicos, a relaxação cíclica da tensão média e a fluência cíclica ou deformação plástica progressiva. Para além destes comportamentos, representados na Figura 2.3, referem-se, adicionalmente, o efeito de memória e a dependência da taxa de deformação. Para uma percentagem importante dos metais, a resposta cíclica ou estabilizada após um determinado número de ciclos de aplicação da carga ou varia, de ciclo para ciclo, de forma pouco significativa. Para aqueles materiais cuja resposta cíclica não estabiliza é comum considerar como resposta cíclica estabilizada a obtida para metade da vida à fadiga do material. Normalmente, o comportamento cíclico estabilizado do material é descrito através da curva cíclica que traduz a relação entre a tensão e a deformação, para um comportamento estabilizado. A curva cíclica pode ser determinada unindo as extremidades de vários ciclos de histerese estabilizados, obtidos para diferentes amplitudes de deformação, tal como se ilustra na Figura 2.4. Esta técnica de determinação da curva cíclica requer um provete por cada ponto da curva. A curva cíclica pode ser descrita através da relação proposta por Morrow [12]: P Δσ Δε K' 2 2 = n' (2.6) 13

36 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais onde K' e n' são, respectivamente, o coeficiente e expoente de endurecimento cíclico, Δε P é a gama de deformação plástica e Δσ é a gama de tensão. O expoente de endurecimento cíclico, n', varia, normalmente, para os metais segundo o intervalo de 0.05 a Outra alternativa para exprimir a equação cíclica do material, inspirada na relação de Ramberg-Osgood [13], apresenta a forma seguinte: Δε Δε = 2 2 E Δε + 2 P Δσ Δσ = + 2E 2K' 1 / n' (2.7) ε Variável independente (input) ε max σ Variável dependente (output) Ciclos de histerese σ a) t t ε ε min ε ε max σ σ b) t t ε ε min ε ε max σ σ c) ε min t t ε σ σ max ε σ d) t t σ min ε Figura 2.3 Comportamentos cíclicos típicos: a) endurecimento cíclico; b) amaciamento cíclico; c) relaxação da tensão média; d) fluência cíclica [10]. 14

37 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Muitos fenómenos relacionados com o comportamento cíclico podem ser deduzidos à custa da forma dos ciclos de histerese, pelo que a descrição analítica da forma destes ciclos assume um interesse especial. A curva cíclica do material descreve a relação entre a amplitude de tensão e a amplitude de deformação, para um comportamento estabilizado do material. A curva cíclica pode ainda ser usada para descrever a forma dos ciclos de histerese, para os materiais com comportamento tipo Masing. Com efeito, um material exibe um comportamento tipo Masing se os ramos, ascendentes e descendentes, dos ciclos de histerese puderem ser descritos através da curva cíclica do material, multiplicada por um factor de escala de 2: 1 / n' E P Δσ Δσ Δ ε = Δε + Δε = + 2 (2.8) E 2K' Uma forma simples de constatar se um material exibe um comportamento tipo Masing consiste em sobrepor diferentes ciclos de histerese estabilizados de modo a ficarem com a extremidade inferior coincidente. Se os ramos ascendentes dos ciclos de histerese formarem uma curva única, então o material apresenta um comportamento tipo Masing (ver Figura 2.5-a)). Caso contrário, o comportamento do material é do tipo não-masing (ver Figura 2.5-b)). A maioria dos aços ao carbono apresenta um comportamento tipo não- Masing. Ciclos de histerese Δσ/2 Curva cíclica Δε/2 Figura 2.4 Curva cíclica do material [10]. 15

38 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Δσ Δσ Curva cíclica Curva cíclica Δε a) b) Δε Figura 2.5 Ciclos de histerese típicos: a) comportamento tipo Masing; b) comportamento tipo não-masing [10] Relações deformação-vida Coffin [14] e Manson [15], trabalhando de forma independente no estudo da fadiga térmica, propuseram a caracterização do comportamento à fadiga das ligas metálicas com base na amplitude de deformação plástica, Δε P /2, de acordo com a equação seguinte: Δε 2 P c = ε' f ( 2N f ) (2.9) onde ε' f e c são o coeficiente e expoente de ductilidade à fadiga. A equação de Basquin, equação (2.5), pode ser rescrita em termos da deformação elástica: Δε 2 E Δσ 2E σ' f b = = ( 2N f ) (2.10) E As equações (2.9) e (2.10) podem ser combinadas resultando uma equação geral, válida para domínios de fadiga de curta e longa duração: Δε 2 σ' E P Δε Δε f b c = + = ( 2N f ) + ε' f ( 2N f ) (2.11) 2 2 E 16

39 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais As equações (2.9), (2.10) e (2.11) estão representadas na Figura 2.6. A análise da figura revela que enquanto o comportamento à fadiga de longa duração é controlado pela amplitude de deformação elástica, o comportamento à fadiga de curta duração é controlado pela amplitude de deformação plástica. A transição de um comportamento para o outro pode ser definida através do número de reversões de transição, 2N t. O número de reversões de transição pode ser determinado igualando as componentes elástica e plástica da deformação: 2N t ε' f E = ' σ f 1/( b c ) (2.12) A equação (2.11) pode ser modificada de modo a contemplar o efeito da tensão média, usando a sugestão de Morrow [16]: Δε 2 σ' σ f med b c = ( 2N f ) + ε' f ( 2N f ) (2.13) E Smith, Watson e Topper [17] propuseram a seguinte relação, que tem em conta o efeito da tensão média: 2 2b b+ c ( σ' ) ( 2N ) + σ' ' E( 2N σ (2.14) max ε ae = f f f ε f f ) onde σ max e ε a são, respectivamente, a tensão máxima e a amplitude de deformação. Esta equação assenta no pressuposto de que para diferentes valores da amplitude de deformação, ε a, e da tensão média, σ med, o produto σ max ε a permanece constante para uma determinada vida. Se a tensão máxima for nula, a equação (2.14) prevê uma vida infinita. De acordo com a equação (2.14), só existem roturas por fadiga se o carregamento incluir uma componente de tracção. A equação proposta por Smith, Topper e Watson fornece, em geral, melhores resultados do que a equação proposta por Morrow, para uma maior gama de materiais. 17

40 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Amplitude de deformação (escala logarítmica) Δε P / 2 b 1 Δε / c 2 1 Δε E / 2 2N t Número de reversões até à rotura, 2N f (escala logarítmica) Figura 2.6 Relação entre a amplitude de deformação total e a vida, obtida através da sobreposição das relações amplitude de deformação elástica versus vida e amplitude de deformação plástica versus vida [10] Análise elastoplástica das tensões/deformações nos entalhes Os modelos baseados nas deformações elastoplásticas totais requerem a determinação da história das tensões e deformações nos pontos críticos (entalhes) do detalhe estrutural em análise. As tensões e deformações locais são, normalmente, relacionadas com as deformações e tensões remotas, usando formulários simplificados ou modelos constitutivos de plasticidade cíclica. Neste capítulo apenas se referem alguns dos formulários simplificados mais importantes. O estado de tensão pode relacionar-se com o estado de deformação, através da relação de Ramberg-Osgood [13]: 1 n E P σ σ ε = ε + ε = + (2.15) E K onde K é o coeficiente de resistência monótono, n é o expoente de endurecimento monótono e E é o módulo de Young. O comportamento cíclico estabilizado do material pode ser descrito com base nas equações (2.7) ou (2.8). Essas equações podem ser aplicadas em qualquer ponto material do detalhe estrutural, incluindo os entalhes e a secção remota. 18

41 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais A presença de um entalhe num detalhe estrutural tem como efeito a intensificação local do campo de tensões e deformações. Se as tensões locais se mantiverem dentro do domínio elástico, o seu valor pode ser estimado com base no factor elasto-estático de concentração de tensões, K t : K t σ σ loc = (2.16) nom Na equação anterior, σ loc representa a tensão local e σ nom representa a tensão nominal. Se o estado de tensão local ultrapassar o domínio elástico pode definir-se um factor elastoplástico de concentração de tensões, K σ, e um factor elastoplástico de concentração de deformações, K ε, os quais assumem valores distintos: K σ = σ σ loc nom ε loc ; Kε = ε (2.17) nom Nas equações anteriores σ loc e ε loc correspondem às tensões e deformações elastoplásticas locais; σ nom e ε nom correspondem às tensões e deformações nominais. Os factores K σ e K ε são iguais para situações de elasticidade total. A Figura 2.7 ilustra a variação dos factores de concentração de tensões e deformações elastoplásticos. K K ε K = K = K t ε σ 1 K σ 0 σ ced σ loc Figura 2.7 Variação dos factores de concentração de tensões e deformações com as tensões nos entalhes [10]. 19

42 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Neuber [18] estabeleceu que o factor teórico de concentração de tensões é igual à média geométrica dos factores de concentração de tensões e deformações elastoplásticos, resultando a relação seguinte: K t 1 2 = ( K K ) (2.18) σ ε A relação anterior é válida para entalhes severos. Para entalhes suaves Neuber [19] propôs a seguinte relação alternativa: K ( K t t 1) = Kσ ( Kε 1) (2.19) Introduzindo as equações (2.17) nas equações (2.18) e (2.19) resultam as seguintes relações entre as deformações/tensões locais e as deformações/tensões nominais: loc loc nom nom 2 t σ ε = σ ε K (entalhes severos) (2.20) σ ε ε ) = σ ε K ( K 1) (entalhes suaves) (2.21) loc( loc nom nom nom t t As equações (2.20) e (2.21) são válidas para carregamentos monótonos. A extensão destas relações para carregamentos cíclicos pode ser feita substituindo a tensão e a deformação pelas respectivas gamas. Adicionalmente, o factor teórico de concentração de tensões poderá ser substituído pelo factor de redução da resistência à fadiga, tal como sugerem alguns autores [20]. loc loc nom nom 2 f Δ σ Δε = Δσ Δε K (entalhes severos) (2.22) Δ σ Δε Δε ) = Δσ Δε K ( K 1) (entalhes suaves) (2.23) loc( loc nom nom nom f f Admitindo que o estado de tensão nominal é elástico, as equações anteriores podem ser rescritas na forma seguinte: 2 ( Δσ nomk f ) Δ σ locδε loc = (entalhes severos) (2.24) E 20

43 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais 2 Δσ nomk f ( K f 1) nom Δσ Δ σ loc Δε loc = (entalhes suaves) (2.25) E E As equações (2.24) e (2.25), juntamente com as equações (2.15) e (2.7), permitem determinar a história das tensões e deformações nos entalhes desde que seja conhecida a evolução das tensões nominais. A Figura 2.8 ilustra o processo de determinação das tensões e deformações locais. Substituindo nas equações (2.24) e (2.25) a gama de deformação pelo resultado da equação (2.8) resultam as seguintes equações, que relacionam a gama de tensão local com a gama de tensão nominal: Δσ E Δσ E 2 loc 2 loc 1 n ( Δσ K ) 2 Δσ loc nom f + 2Δσ loc = (entalhes severos) (2.26) 2K' E + 2Δσ loc Δσ 2K' loc 1 n Δσ loc Δσ E nom Δσ = 2 nom K f E ( K 1) f (entalhes suaves) (2.27) σ loc σ nom A σ nom,max A ( ε, σ ) loc,max loc,max O t Δσ nom ε σ = σ ( K ) 2 loc,max loc,max f nom,max / E B σ nom,min loc,max loc,max loc,max ( ) 1/ n ε = σ /E + σ /K O ε loc loc,min B ( ε, σ ) loc,min ( ) 1/ n Δεloc = Δσ loc /E+ 2 Δσ loc / 2K ε σ = σ ( K ) 2 loc,min loc,min f nom,min Figura 2.8 Ilustração da análise de tensões/deformações nos entalhes, de acordo com a regra de Neuber [21]. / E 21

44 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Seeger e Heuler [22] propuseram o alargamento das equações (2.20) e (2.21) para situações de plasticidade generalizada. Estes autores usaram a relação de Ramberg-Osgood para modelar quer o comportamento local quer o comportamento nominal do material Modelos baseados na Mecânica da Fractura A previsão da resistência e vida à fadiga de detalhes estruturais com fendas incipientes pode ser realizada recorrendo à MF. A MF complementa a abordagem baseada nas deformações locais totais, uma vez que esta última é normalmente usada na modelação da fase de iniciação de fendas de fadiga. A taxa de propagação das fendas é, geralmente, relacionada com a gama do factor de intensidade de tensões, através de inúmeras leis de propagação disponíveis na literatura, desde que o comprimento destas fendas não seja considerado curto. A propagação das fendas ocorre sempre que a gama do factor de intensidade de tensões ultrapassa o valor limiar do factor de intensidade de tensões. Esta propagação termina assim que a gama do factor de intensidade de tensões ultrapassa o valor crítico do factor de intensidade de tensões (tenacidade do material) ou quando a secção resistente é incapaz de suportar os esforços a que está sujeita. A propagação de fendas em meios elastoplásticos, com tensões elevadas, pode ser modelada com base no valor do integral J. O efeito do fecho da fenda deverá ser modelado, caso os ciclos de tensão incluam tensões de compressão. Uma forma simples de contabilizar o efeito do fecho de fenda consiste em suprimir a componente de compressão da gama de tensão. O comprimento da fenda pode ser determinado, integrando a lei de propagação. Um inconveniente importante do método tem a ver com a facto de ser necessário prever a propagação de fendas curtas, o que não deve ser feito com base no valor da gama do factor de intensidade de tensões Considerações sobre a Mecânica da Fractura Linear Elástica A MF descreve o comportamento de sólidos contendo fendas, prevendo a propagação destas fendas desde dimensões incipientes até dimensões críticas, responsáveis pela rotura do sólido. A MF inclui dois ramos importantes: a MFLE e a mecânica da fractura elastoplástica (MFEP). A MFLE assenta no pressuposto de um comportamento linear 22

45 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais elástico generalizado do sólido. Apesar desta limitação importante da MFLE ela continua a ser usada preferencialmente na grande maioria das aplicações, pelo que a exposição que se segue incidirá, essencialmente, sobre este ramo da MF Modos de solicitação de uma fenda As fendas podem ser solicitadas de 3 modos distintos, tal como se ilustra na Figura 2.9. Os três modos de solicitação podem ser aplicados isoladamente ou em combinação, produzindo modos de solicitação mistos. Uma vez que o modo de solicitação mais comum na fadiga é o modo I, a revisão que se segue incidirá essencialmente sobre este modo de solicitação. Modo I Modo II Modo III Figura 2.9 Modos de solicitação/deformação de uma fenda [10] Definição do factor de intensidade de tensões Considere-se uma fenda passante, solicitada em modo I, no seio de uma placa de material isotrópico com comportamento linear elástico, Figura O estado de tensão no material próximo da extremidade da fenda define-se através das equações seguintes [23]: σ σ x y K θ θ 3θ cos 1 sen sen 2 r 2 π 2 2 K θ θ 3θ cos 1 sen sen 2 r 2 + π 2 2 σ = 0 ( estado plano de tensão ) z σ z = ν( σ x + σ y ) ( estado plano de deformação ) τ xy = K θ θ 3θ cos sen cos 2πr τ = τ = 0 xz = = yz 23 (2.28)

46 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais A análise das equações anteriores revela que as tensões na vizinhança da extremidade de uma fenda dependem das coordenadas r e θ, assim como do parâmetro K o qual é designado de factor de intensidade de tensões. As equações (2.28) prevêem tensões infinitas na extremidade da fenda. Na prática observa-se a formação de uma zona plástica na extremidade da fenda com uma determinada extensão. Os princípios da MFLE são válidos enquanto a dimensão dessa zona plástica for reduzida, quando comparada com as dimensões globais da fenda e do sólido. O factor de intensidade de tensões é função do carregamento, da forma da fenda, do modo de deformação da fenda e da geometria do sólido. A forma mais simples do factor de intensidade de tensões é obtida para uma placa infinita, com uma fenda solicitada em modo I, devido a uma tensão aplicada remotamente (Figura 2.10): K = σ π a (2.29) Para geometrias e carregamentos mais complexos o factor de intensidade de tensões é dado por: K = Yσ π a (2.30) onde Y é um parâmetro geométrico adimensional que tem em consideração a geometria, incluindo a dimensão da fenda e o tipo de carregamento. Os factores de intensidade de tensões podem ser determinados usando métodos analíticos, métodos numéricos ou ainda métodos experimentais [24]. Diversas referências apresentam compilações, mais ou menos exaustivas, de soluções conhecidas do factor de intensidade de tensões [25-31]. 24

47 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais σ y σ y τ xy r θ σ x a a x σ Figura 2.10 Placa infinita com fenda solicitada em modo I [10]. Os primeiros trabalhos conducentes à definição do factor de intensidade de tensões foram levados a cabo por Griffith [32,33] e Irwin [23,34,35]. Griffith introduziu o conceito de taxa de libertação de energia na previsão da rotura de materiais frágeis, tais como o vidro. Segundo Griffith a rotura dá-se quando a taxa de libertação de energia, G, resultante da propagação de uma fenda, for superior a um valor crítico da taxa de libertação de energia, G c. Mais tarde Irwin propôs a extensão da abordagem de Griffith para os metais e usou o factor de intensidade de tensão, K, para caracterizar as condições de fractura. Irwin relacionou o factor de intensidade de tensões com a taxa de libertação de energia, resultando as equações seguintes: 2 K G = (estado plano de tensão) (2.31) E 2 K 2 G = ( 1 ν ) (estado plano de deformação) (2.32) E Propagação de fendas de fadiga A resistência de um componente ou estrutura pode ser significativamente reduzida pela presença de fendas. No entanto, na maioria das aplicações a presença de uma fenda incipiente não provoca imediatamente a rotura catastrófica da estrutura. Na prática, assistese a um crescimento controlado, subcrítico da fenda inicial até esta atingir uma dimensão crítica responsável pela rotura final. O crescimento controlado da fenda é, geralmente, originado por mecanismos de fadiga. 25

48 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais A Figura 2.11 ilustra o efeito do nível de tensão no crescimento de fendas de fadiga. Para o efeito, representa-se a evolução do comprimento de uma fenda de dimensão inicial, a i, com o número de ciclos, para três níveis de tensão distintos, σ 1, σ 2 e σ 3, com σ 1 >σ 2 >σ 3. Da observação das curvas conclui-se que, para um determinado comprimento de fenda, a, a taxa de propagação das fendas (declive das curvas) é superior para as tensões mais elevadas. O número de ciclos, aquando da fractura, N f, é menor para as tensões mais elevadas; o comprimento de fenda final, aquando da fractura, a c, é menor para as tensões mais elevadas. σ i a c3,n f3 Comprimento da fenda, a a a i σ 1 >σ 2 >σ 3 a c1,n f1 σ 1 σ 2 σ 3 da/dn Δa/ΔN N Número de ciclos, N t a c2,n f2 Δa ΔN Figura 2.11 Evolução do comprimento das fendas com o número de ciclos para vários níveis de tensão [10]. Pelo exposto, conclui-se que a vida de um componente estrutural, contendo uma fenda inicial, depende do nível de tensão aplicado, assim como da resistência à fractura do material. As curvas da Figura 2.11 não são adequadas para situações de projecto, a não ser que as condições de projecto sejam as mesmas dos ensaios usados na determinação das referidas curvas. A forma mais comum de apresentação dos resultados dos ensaios de propagação de fendas consiste na representação da taxa de propagação das fendas em função da gama do factor de intensidade de tensões, como se representa esquematicamente na Figura 2.12, em eixos bilogarítmicos. 26

49 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Log da/dn Zona I Zona II K max =K c Zona III ΔK th Log ΔK Figura 2.12 Taxa de propagação de fendas versus gama do factor de intensidade de tensões [10]. O gráfico da Figura 2.12 pode ser dividido em três zonas distintas. A zona I corresponde à zona junto ao limiar de propagação, ΔK th, abaixo do qual não é observável qualquer propagação de fendas. As fendas podem existir, mas não são propagáveis. A propagação de fendas na zona I é controlada pela microestrutura do material, tensão média, frequência e condições ambientais. A zona de propagação II corresponde à zona de propagação estável de fendas. Esta zona é caracterizada por uma relação aproximadamente linear entre Log(da/dN) e Log(ΔK). A taxa de propagação de fendas na zona II é influenciada pelas condições ambientais sendo, no entanto, menos influenciada pela microestrutura e tensão média. A zona III apresenta taxas de propagação de fendas muito elevadas pois o valor do factor de intensidade de tensão máximo aproxima-se do valor da tenacidade crítica do material, K c. O número de ciclos decorrido nesta zona é reduzido. Aqui, a taxa de propagação depende, essencialmente, da tenacidade do material, que por sua vez depende da microestrutura, tensão média e condições ambientais. Normalmente, estabelecem-se relações entre a taxa de propagação de fendas de fadiga e a gama do factor de intensidade de tensões, com a forma geral seguinte: da dn = f ( ΔK ) (2.33) 27

50 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais com ΔK definido genericamente através da relação seguinte: Δ K = YΔσ π a (2.34) Uma das relações mais simples foi proposta por Paris [36,37] e traduz a relação linear que se observa na zona II de propagação. da dn m = C( ΔK ) (2.35) onde C e m são constantes. Inúmeras leis de propagação têm sido propostas com o intuito de alargar o domínio de aplicação da lei de Paris, à custa de um aumento da complexidade destas. Por exemplo, a lei proposta por Forman modela as zonas de propagação II e III [38]: da C( K ) dn = Δ (1 R )K ΔK (2.36) σ c m onde C e m são constantes, K c representa a tenacidade crítica do material e R σ a razão de tensões. A referência [39] resume cerca de três dezenas de leis de propagação que foram propostas na literatura. O número de ciclos necessários para propagar uma fenda, desde o comprimento inicial, a i, até ao comprimento final, a f, pode ser determinado integrando a lei de propagação do material: a f [ f ( K ) ] N = Δ 1 da (2.37) ai Para realizar a integração da relação anterior (2.37), a gama do factor de intensidade de tensões terá de ser expressa em função do comprimento da fenda, a. O integral pode ser aproximado, assumindo incrementos de fenda sucessivos, Δa, com a gama de factor de 28

51 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais intensidade de factores constante, resultando em incrementos no número de ciclos de rotura: Δ 1 1 N = a m C ΔK Δ (3.38) A aproximação anterior conduz ao resultado exacto do integral, à medida que os incrementos de fenda se aproximam de zero. A aplicação dos conceitos da MFLE na previsão da propagação de fendas de fadiga está limitada a problemas de propagação de fendas longas, com uma extensão reduzida da zona plástica. A previsão do comportamento de fendas curtas, com base na MFLE produz, em geral, resultados não conservadores. Com efeito, a taxa de propagação das fendas curtas é, em geral, superior à taxa de propagação prevista pela MFLE. As fendas curtas podem propagar-se para valores da gama do factor de intensidade de tensão, ΔK, abaixo do limiar de propagação, ΔK th. A norma ASTM E647 [40] apresenta as seguintes definições de fendas curtas: - Fendas cujo comprimento é pequeno, quando comparado com dimensões microestruturais relevantes (ex.: ordem de grandeza dos grãos); - Fendas cujo comprimento é pequeno, quando comparado com as dimensões da zona plástica na extremidade da fenda; - Fendas cuja dimensão física é pequena (ex.: a <1mm) Método dos elementos finitos A determinação do factor de intensidade de tensões através de técnicas baseadas no MEF requer uma análise estática da estrutura com fenda, utilizando uma lei constitutiva linear para o material e a aplicação de um carregamento remoto que cria um campo de tensões na proximidade da extremidade da fenda. O factor de intensidade de tensões das fendas pode ser calculado na análise de elementos finitos utilizando diversas técnicas. 29

52 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Quando o campo de tensões é determinado usando o MEF, aparecem algumas dificuldades quando a região da extremidade da fenda é modelada. Os valores calculados das tensões são influenciados pelo refinamento das malhas, localizações dos nós, funções de forma, entre outros parâmetros. Porque as tensões são calculadas em pontos de Gauss, que nunca incluem a extremidade da fenda e, sendo o valor teórico da tensão na extremidade da fenda infinita, este valor nunca é encontrado por causa da interpolação linear das tensões, a partir dos pontos de Gauss. O uso do MEF é tratado em detalhe nas referências [41-43], com alguns exemplos práticos de determinação do factor de intensidade de tensões. No intuito de uma melhor modelação da extremidade da fenda, duas técnicas são comumente utilizadas: localização do nó intermédio (elementos quadráticos), a uma distância da extremidade da fenda igual a um quarto do lado do elemento ( quarter node point ), e elementos colapsados ( collapsed elements ). A técnica quarter node point pode ser utilizada para os elementos quadráticos com oito nós. Na Figura 2.13 ilustra-se uma malha de elementos finitos 2D com os elementos na extremidade de fenda com nós deslocados para a posição ¼ da aresta. Figura 2.13 Técnica quarter node point [1]. A técnica dos elementos colapsados é aplicada tanto a elementos planos como sólidos, e baseia-se no colapso das faces dos elementos que definem a extremidade da fenda, tornando-os triangulares, como se pode observar na Figura

53 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Figura 2.14 Técnica collapsed elements [1]. Estas duas técnicas conduzem a uma melhor caracterização do campo de tensões. O deslocamento dos nós para uma localização a um quarto do lado do elemento, permite captar a singularidade do campo de tensões na extremidade da fenda Determinação dos factores de intensidade de tensões Nesta secção apresenta-se a técnica de pós processamento para a determinação dos factores de intensidade de tensões, designada de técnica do fecho de fenda virtual. Para além desta técnica existem outras, tais como, o método da extrapolação do deslocamento, método das forças e integral J, as quais não serão objecto desta dissertação. A técnica do fecho de fenda virtual baseia-se na taxa de libertação de energia que resulta do incremento infinitesimal de uma fenda. Esta técnica foi proposta por Rybicki e Kanninen em 1977 [44], mas ainda não foi implementada em pacotes comerciais de MEF, talvez porque o método clássico desta técnica exibe dois modelos de elementos finitos para calcular a taxa de liberação de energia. Recentemente, foi proposta uma modificação, a qual só precisa de um modelo para calcular a taxa de liberação de energia. Deste modo, existem duas versões da técnica do fecho de fenda virtual para o cálculo da taxa de libertação de energia uma baseada nas tensões/deformações calculadas em duas etapas (técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas) e a outra baseada apenas numa análise (técnica modificada do fecho de fenda virtual). 31

54 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas A técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas consiste no cálculo da energia libertada (ΔE) quando uma fenda de comprimento a é propagada de um incremento Δa. A energia necessária para propagar a fenda Δa é igual à energia necessária para fechar a fenda em Δa. Esta análise requer dois modelos de elementos finitos tal como se ilustra na Figura 2.15, para um problema 2D. No modelo 2D, e usando uma malha composta por elementos de 4 nós, Figura 2.15, a energia ΔE necessária para fechar a fenda pode ser calculada como: 1 ΔE = ( X 1l Δu2l + Z1l Δw2l ) (2.39) 2 onde X 1l e Z 1l são as forças nodais no nó l ao longo das direcções x e y respectivamente, Figura 2.15 (a); Δu 2l e Δw 2l correspondem aos deslocamentos nodais após a abertura da fenda, Figura 2.15 (b). Assim, a primeira análise é utilizada para obter as forças nodais, e a segunda é utilizada para obter os deslocamentos correspondentes à abertura da fenda. (a) Primeira Etapa Fenda Fechada. Figura 2.15 Técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas, com elementos 2D de 4 nós [1]. 32

55 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais (b) Segunda Etapa Fenda Propagada. Figura 2.15 Técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas, com elementos 2D de 4 nós [1] Técnica modificada do fecho de fenda virtual Este método é baseado nos mesmos pressupostos da técnica do fecho de fenda virtual em duas etapas, mas assume que as condições na extremidade da fenda não são significativamente alteradas quando a fenda se propaga por um Δa, desde um comprimento de fenda a+δa (nó i) até ao comprimento a+2δa (nó k), Figura 2.16 [1]. Deste modo, quando a extremidade da fenda está localizada no nó k, os deslocamentos atrás da fenda (nó i) são aproximadamente os mesmos dos deslocamentos atrás da fenda (nó l) quando esta tem a extremidade no nó i. A energia necessária para propagar a fenda entre a+δa e a+2δa é igual à energia necessária para fechar a fenda entre os nós i e k. Assim, a variação de energia ΔE para fechar a fenda ao longo de uma distância Δa é [1]: 1 ΔE = ( X i Δul + Zi Δwl ) (2.40) 2 33

56 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais onde X i e Z i são as forças nodais i e, Δu l e Δw l são os deslocamentos no nó l. Portanto, a informação necessária para o cálculo da variação da energia são obtidas a partir de uma única análise de elementos finitos. Após a obtenção da variação da energia, a taxa de libertação da energia é calculada da seguinte forma: ΔE ΔE G = = ΔA Δa b (2.41) onde ΔA é a área da superfície criada pela propagação de fenda Δa; no caso das chapas de espessura b, esta área é Δa.b. O cálculo das taxas de libertação de energia de deformação para cada modo (I, II e III - Figura 2.9) é feita utilizando os deslocamentos e forças nodais correspondentes à energia de deformação desse modo. Assim, para o caso da Figura 2.16, a taxa de libertação de energia é: G G I II 1 1 = ZiΔwl = Zi 2Δa 2Δa = 1 1 X iδul = X i 2Δa 2Δa ( w w ) l l* ( u u ) l l* (2.42.a) (2.42.b) Figura 2.16 Técnica modificada do fecho de fenda virtual [1]. 34

57 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Se o modelo de elementos finitos contém elementos quadráticos de 8 nós, Figura 2.17, as componentes da taxa de libertação da energia de deformação são [1,45]: G G I I = 1 2Δa 1 = 2Δa [ Z ( w w ) + Z ( w w )] i l l* j m m* [ X ( u u ) + X ( u u )] i l l* j m m* (2.43.a) (2.43.b) Figura 2.17 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para elementos quadráticos 2D com 8 nós, [1]. A técnica modificada do fecho de fenda virtual pode ser facilmente generalizável para uma análise 3D. No caso de elementos quadráticos de 8 nós são utilizadas as seguintes expressões para o cálculo das taxas de libertação de energia de deformação (ver Figura 2.18): G G G I II III 1 = Z 2Δa Li 1 = X 2Δa 1 = Y 2Δa ( w w ) Li Li Ll Ll* ( u u ) Ll Ll* ( v v ) Ll Ll* (2.44.a) (2.44.b) (2.44.c) 35

58 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais No caso de elementos 3D, quadráticos com 20 nós, Figura 2.19, a determinação das taxas de libertação energia de deformação nos nós de canto são dadas por: G G I II 1 = 2ΔA L 1 = 2ΔA L 1 Z 2 Ki 1 X 2 ( w w ) + Z ( w w ) + Z ( w w ) + Z ( w w ) Ki Kl Kl* Li Ll Ll* Lj ( u u ) + X ( u u ) + X ( u u ) + X ( u u ) Kl Kl* Li Ll Ll* Lj Lm Lm Lm* Lm* Mi Mi Ml Ml Ml* Ml* (2.45.a) (2.45.b) G III 1 = 2ΔA L 1 Y 2 Ki ( v v ) + Y ( v v ) + Y ( v v ) + Y ( v v ) Kl Kl* Li Ll Ll* Lj Lm Lm* 1 2 Mi Ml Ml* (2.45.c) onde ΔA L =a.b e o factor (1/2) é devido à energia ser distribuída por dois nós. Para os nós do meio das arestas dos elementos, situados no lado da face da fenda, as equações anteriores devem ser modificadas para a seguinte forma (Figura 2.20): G I 1 = 2ΔA M 1 Z 2 + Z Li Mi ( w w ) + Z ( w w ) Ll 1 1 ( ) ( ) ( ) w w + Z w w + Z w w Ml Ll* Ml* Lj Ni Lm Nl Lm* Nl* + 2 Nj Nm Nm* (2.46.a) G II 1 = 2ΔA M 1 X 2 + X Li Mi ( u u ) + X ( u u ) Ll 1 1 ( ) ( ) ( ) u u + X u u + X u u Ml Ll* Ml* Lj Ni Lm Nl Lm* Nl* + 2 Nj Nm Nm* (2.46.b) G III 1 = 2ΔA M 1 Y 2 + Y Li Mi ( v v ) + Y ( v v ) Ll 1 1 ( ) ( ) ( ) v v + Y v v + Y v v Ml Ll* Ml* Lj Ni Lm Nl Lm* Nl* + 2 Nj Nm Nm* (2.46.c) 36

59 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Figura 2.18 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para elementos sólidos lineares 3D com 8 nós [1]. Figura 2.19 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para nós de canto com elementos sólidos quadráticos 3D com 20 nós [1]. 37

60 CAPÍTULO II Fadiga e Fractura dos Materiais Figura 2.20 Técnica modificada do fecho de fenda virtual para nós a meio do lado com elementos sólidos quadráticos 3D com 20 nós [1]. 38

61 CAPÍTULO III CARACTERIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO À FADIGA DO AÇO DA PONTE DE TREZÓI 39

62 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói 3.1. Introdução No presente capítulo apresenta-se uma descrição da Ponte ferroviária de Trezói, as propriedades genéricas do aço e o seu comportamento elastoplástico cíclico. Relativamente ao aço, também se apresenta a sua resistência à fadiga, na forma de relações deformaçãovida, assim como as taxas de propagação de fendas de fadiga, para várias razões de tensões. Adicionalmente também se apresenta a resistência à fadiga de uma ligação rebitada original da Ponte de Trezói. O aço da Ponte de Trezói é um aço carbono com características similares aos aços de construção modernos [46] Descrição da Ponte de Trezói A Ponte Ferroviária de Trezói, pertencente à Linha da Beira Alta, foi construída em 1881 com projecto de 1879 original da Eiffel et Cie, empresa de Gustave Eiffel. A referida ponte era constituída por vigas de rótula em cruz de Stº André de via única, recta com m, de tabuleiro intermédio, três tramos contínuos de 38.5 m, 49 m e 38.5 m. A ponte existente actualmente (substitui a original de Gustave Eiffel), inaugurada em 20 de Agosto de 1956 foi concebida e construída pela empresa alemã Fried Krupp, constituída por um tabuleiro formado por três tramos contínuos com vãos teóricos de 39 m, 48 m e 39 m, totalizando um comprimento de 126 metros e apresenta uma largura constante de 4.40 m ao longo da sua extensão. A Figura 3.1 apresenta uma vista global da ponte de Trezói actual. Figura 3.1 Ponte de Trezói [46]. 40

63 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói 3.3. Localização da barra extraída da ponte Com vista à realização do trabalho experimental, foi extraída da ponte uma peça cedida pela REFER que estava garantidamente em serviço desde a construção da ponte. Devido a condicionalismos de segurança e de facilidade de remoção da peça metálica, foi retirado um elemento estrutural com 3 metros de comprimento, pertencente ao contraventamento superior, constituído por duas cantoneiras de 100x150x10mm [46]. A localização da secção composta do contraventamento superior, e a sua constituição está ilustrada na Figura 3.2. a) Localização do contraventamento superior removido. b) Secção transversal do contraventamento superior. Figura 3.2 Localização do contraventamento superior removido e a sua secção transversal [46] Caracterização das propriedades mecânicas básicas do aço A caracterização das propriedades mecânicas básicas do aço foi efectuada com o material extraído da ponte. Um elemento estrutural foi retirado da ponte, tendo esse elemento um comprimento de 3 metros, pertencente ao contraventamento transversal superior. Vários tipos de provetes foram preparados usando o material removido da ponte. Os provetes foram empregues para a caracterização das propriedades mecânicas básicas do material, incluindo a análise da composição química e da microestrutura, ensaios de dureza, ensaios de tracção e de tenacidade. Os resultados são apresentados nas subsecções que se seguem. 41

64 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Composição química A composição química do material foi determinada, por espectrometria de emissão de faísca. Foi analisada apenas uma amostra do material da ponte. Na tabela 3.1 estão ilustrados os valores da composição química obtidos da amostra. Tabela 3.1 Composição química do material [46]. %C %Si %Mn %P %S A análise química da amostra retirada demonstra tratar-se de um aço carbono, com baixos teores de manganês, silício e carbono. As percentagens de fósforo e enxofre são baixas e têm valores aceitáveis [46] Microestrutura A microestrutura das cantoneiras apresenta praticamente só ferrite, como era de esperar, devido ao baixo teor em carbono. A Figura 3.3 ilustra a microestrutura da barra, onde se observam uns grãos ferríticos, algumas inclusões alinhadas, folheamentos e uma baixa percentagem de perlite. Figura 3.3 Microestrutura do material [46]. 42

65 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Ensaios de tracção Foram preparados provetes para realização de ensaios de tracção, segundo a norma NP [47]. Para determinação dos valores das propriedades de resistência mecânica foram seleccionadas dimensões de provetes adaptadas às dimensões dos elementos estruturais. Foram ensaiados 3 provetes retirados do material da ponte. Os valores médios das propriedades resultantes dos ensaios de tracção estão sumariados na Tabela 3.2, nomeadamente a tensão de rotura, f u, tensão de cedência, f y, extensão após a rotura, A, e o coeficiente de estricção, Z. Tabela 3.2 Resultados dos ensaios de tracção [46]. f u f y A Z MPa MPa % % O material apresenta elevada ductilidade, tendo um comportamento elastoplástico com encruamento. Observando a diferença entre os valores de f u e f y pode dizer-se que o encruamento é de 63MPa. Estes factos decorrem do aço apresentar uma microestrutura ferrítica com uma fracção volumétrica de perlite muito baixa Ensaios de dureza As durezas Vickers HV40 foram medidas de acordo com os procedimentos da norma NP Três amostras do material da ponte foram analisadas resultando numa dureza média de 136 HV40 [46] Ensaios de tenacidade A tenacidade do material foi medida usando o ensaio de impacto Charpy e o ensaio COD (crack opening displacement) [46]. Os ensaios de impacto Charpy foram conduzidos de acordo com a norma NP [48] para várias temperaturas; e os ensaios COD foram efectuados de acordo com a norma BS 5762 [49]. As energias Charpy medidas estão 43

66 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói sumariadas na Tabela 3.3 e os valores do CTOD (crack tip opening displacement) estão sumariados na Tabela 3.4. De acordo com o eurocódigo, a energia Charpy mínima admissível deve ser 27J para a temperatura de serviço. As análises para a avaliação da tenacidade do material revelaram valores relativamente baixos. Tabela 3.3 Resultados dos ensaios de impacto Charpy [46]. Material Direcção Espessura Provetes Energia Temperatura mm N.º J º C Longitudinal Contraventamento Transversal Tabela 3.4 Resultados dos ensaios COD [46]. CTOD@ CTOD@ Material Direcção Espessura Provetes Temperatura "pop-in" F máx mm N.º mm mm º C Contraventamento Longitudinal Comportamento elastoplástico cíclico do material da Ponte de Trezói Com vista à caracterização do comportamento elastoplástico cíclico do material da Ponte de Trezói, foi executado um conjunto de ensaios de fadiga com provetes lisos, em concordância com as especificações da norma ASTM E [50], relativas à preparação dos provetes e realização dos ensaios. Os ensaios foram executados em controlo de deformação numa máquina servohidráulica, da marca INSTRON, modelo 8801, com capacidade de carga de 100 kn. A deformação foi medida com recurso a um extensómetro de navalhas dinâmico, da marca INSTRON, modelo , com comprimento de referência de 25 mm e deslocamento de ±2.5 mm. A Figura 3.4 ilustra a geometria e dimensões dos provetes usados nos ensaios dinâmicos. A escolha de provetes de secção rectangular, em vez de provetes de secção circular, prende-se com o facto destes terem sido retirados de um contraventamento transversal da Ponte de Trezói, com espessura relativamente reduzida. As faces dos provetes foram polidas na zona central. 44

67 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Foram testados vários provetes lisos, em controlo de deformação, para uma razão de deformação, R ε =-1, de forma a caracterizar o comportamento elastoplástico cíclico do material, assim como a sua resistência à fadiga. No total foram testados 10 provetes, tais como se esquematiza na Tabela 3.5. A frequência dos ensaios foi ajustada de modo a garantir uma taxa de deformação média, dε/dt, igual a 0.8 %/s. No entanto, esta taxa de deformação não foi respeitada nos ensaios que resultassem num número de ciclos elevado (fadiga de longa duração). a) b) Figura 3.4 Provetes lisos usados nos ensaios de fadiga: a) geometria e dimensões (dimensões em mm); b) foto dos provetes. Na Tabela 3.5 apresenta-se a planificação dos ensaios de fadiga realizados com provetes lisos. Para tal, apresenta-se na dita tabela, o L 1 e o L 2, que são as dimensões da secção central do provete liso, dimensões essas medidas antes de colocar o provete na máquina de 45

68 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói ensaio. S t é a área da secção transversal central do provete. Apresenta-se também a razão de deformação, R ε, a gama de deformação, Δε, utilizada para cada provete no ensaio, e finalmente a frequência, f. Tabela 3.5 Planificação dos ensaios de fadiga realizados com provetes lisos. Provetes L 1 L 2 S t R ε Δε f mm mm mm 2 % Hz LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF A Tabela 3.6 resume os resultados do programa de ensaios de provetes lisos. Os ensaios foram realizados com, R ε, igual a -1. Com vista à caracterização do comportamento cíclico do material da Ponte de Trezói representam-se, na Figura 3.5, ciclos de histerese obtidas para 50% da vida total dos provetes. O critério de selecção dos ciclos de histerese, baseado na vida média dos provetes, é usado em alternativa ao critério do comportamento cíclico estabilizado. Com efeito, na Figura 3.6 representa-se a evolução da amplitude de tensão em função do número de ciclos e gama de deformação total, não revelando uma tendência clara para o comportamento cíclico do material. A Figura 3.5 apresenta os ciclos de histerese estabilizados juntamente com a curva cíclica do material. A curva cíclica do material resulta, teoricamente, da união das diversas extremidades dos ciclos de histerese estabilizados. Na prática, dada a dispersão dos resultados experimentais, a curva cíclica obtém-se por ajuste de uma função predefinida aos resultados experimentais, usando uma técnica de ajuste adequada. A curva cíclica estabelece uma relação entre a amplitude de tensão e a amplitude de deformação dos ciclos de histerese estabilizados. Uma das relações matemáticas mais usadas para representar a curva cíclica do material é a equação empírica, proposta por Ramberg e Osgood [13]. Esta equação pressupõe uma relação linear entre a amplitude de tensão e a amplitude de 46

69 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói deformação plástica, quando estas grandezas são representadas num gráfico bilogarítmico, tal como se ilustra na Figura 3.7, para o material. A relação linear da Figura 3.7 pode ser traduzida pela equação de Morrow [12], que se segue: n' P P Δσ Δε Δε K' = = (3.1) onde K e n são, respectivamente, o coeficiente e expoente de endurecimento cíclicos. Explicitando a deformação plástica, na equação anterior, e adicionando a componente elástica da deformação, definida através da lei de Hooke, obtém-se a relação de Ramberg e Osgood [13] para o material extraído da Ponte de Trezói: Δε Δε = 2 2 E Δε + 2 P Δσ Δσ = + 2E 2K' 1 / n' Δσ Δσ = / (3.2) Na equação anterior as tensões exprimem-se em MPa. A curva cíclica da Figura 3.5 é a representação gráfica da equação (3.2). Constata-se que em termos globais a representação é satisfatória. A Figura 3.8 procura esclarecer o tipo de comportamento do material extraído do contraventamento transversal da Ponte de Trezói. Os ciclos de histerese que aparecem no gráfico da Figura 3.8 resultaram da translação dos ciclos de histerese originais, representados na Figura 3.5, de modo a ficarem com a extremidade inferior sobre a origem do gráfico. No mesmo gráfico também se representou a curva cíclica do material e a curva cíclica afectada por um factor de escala igual a 2. Observa-se que os ramos ascendentes dos ciclos de histerese não coincidem com a curva cíclica afectada por um factor de escala de 2, nem tão pouco são coincidentes entre si, pelo que o material extraído do contraventamento da Ponte de Trezói apresenta um comportamento não-masing. 47

70 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Tabela 3.6 Resultados dos ensaios de fadiga realizados em controlo de deformação com razão de deformações, R ε =-1, obtidos para o material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói. Provetes L 1 L 2 S t R ε Δε dε /dt f mm mm mm 2 % %/s Hz LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF LCF Δσ/2 [MPa] Curva Cíclica Δε/2 [%] Figura 3.5 Ciclos de histerese estabilizados e curva cíclica do material do contraventamento transversal extraído da Ponte de Trezói, quando solicitado em controlo de deformação com R ε =-1. 48

71 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói 475 Amplitude de Tensão, Δσ/2 [MPa] E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Número de Ciclos, N Δε (% ) Figura 3.6 Evolução da amplitude de tensão com o número de ciclos e com a gama de deformação, relativa ao material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói, solicitado em controlo de deformação, R ε = E+3 Amplitude de Tensão, Δσ/2 [MPa] 1 n' 1.0E+2 1.0E-4 1.0E-3 1.0E-2 1.0E-1 Amplitude de Deformação Plástica, Δε P /2 [% ] Figura 3.7 Representação alternativa da curva cíclica do material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói: amplitude de tensão versus amplitude de deformação plástica, obtida com ensaios realizados em controlo de deformação, R ε =-1. 49

72 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Δσ/2 [MPa] Curva Cíclica x Curva Cíclica Δε/2 [%] Figura 3.8 Comportamento não-masing do material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói Avaliação da resistência à fadiga do material da Ponte de Trezói - relação deformação/vida A resistência à fadiga do material do contraventamento transversal extraído da Ponte de Trezói é caracterizada com base nos resultados experimentais provenientes dos ensaios de fadiga levados a cabo com os provetes lisos. Estes ensaios de fadiga já serviram, no ponto anterior, para caracterizar o comportamento elastoplástico cíclico do aço. Agora, os resultados são usados na definição de relações que traduzem a resistência à fadiga do material do contraventamento transversal extraído da Ponte de Trezói. São apresentadas relações formuladas no domínio das deformações, tirando assim partido dos resultados dos ensaios realizados em controlo de deformação. As relações do tipo deformação-vida adoptadas contabilizam, separadamente, os efeitos das deformações elásticas e plásticas através das relações de Basquin e Coffin-Manson [14,15], respectivamente. Da combinação destas relações resulta a relação geral seguinte: ' f E P Δε Δε Δε σ b ' = + = ( 2N ) ( ) c f + ε f 2N f (3.3) E 50

73 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói onde σ f e b são o coeficiente e expoente de resistência à fadiga cíclicos, ε f e c são o coeficiente e expoente de ductilidade à fadiga cíclicos, E é o módulo de Young, Δε/2, Δε E /2 e Δε P /2 são as amplitudes de deformação total, elástica e plástica, respectivamente. A relação (3.3) foi ajustada aos dados experimentais, resultantes dos provetes testados em controlo de deformação. Este ajuste foi executado individualmente para as componentes elástica e plástica de deformação. A componente plástica da deformação foi determinada com base na largura do ciclo de histerese correspondente à vida média do provete. Na Figura 3.9 representa-se graficamente as relações deformação-vida, obtidas para o material do contraventamento transversal extraído da Ponte de Trezói, baseados nos resultados da série de ensaios executados em controlo de deformação, com razões de deformação, R ε = E+0 Amplitude de Deformação, Δε/2 [-] 1.0E-1 1.0E-2 1.0E-3 1.0E-4 1.0E-5 1.0E-6 1.0E+0 (Δε/2 ) = (2N f ) (2N f ) (Δε E /2 ) = (2N f ) (Δε P /2 ) = (2N f ) E+1 1.0E+2 1.0E+3 1.0E+4 1.0E+5 1.0E+6 1.0E+7 Número de Reversões até à rotura, 2N f Figura 3.9 Representação das relações deformação-vida para o material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói, solicitado em controlo de deformação com R ε =-1. 51

74 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói A Tabela 3.7 resume as principais constantes derivadas da curva deformação-vida obtidas através dos ensaios em controlo de deformação. Tabela 3.7 Constantes da curva deformação-vida para o material do contraventamento extraído da Ponte de Trezói, solicitado em controlo de deformação com R ε =-1. Coeficiente de resistência à fadiga ciclico, σ' f [MPa] Número de reversões de transição, 2N f Expoente de resistência à fadiga cíclico, b Amplitude de deformação total de transição, Δε t /2 [%] Coeficiente de determinação, R Coeficiente de ductilidade à fadiga ciclico, ε ' f [-] Expoente de ductilidade à fadiga cíclico, c Coeficiente de determinação, R σ' f / E [-] Determinação de taxas de propagação de fendas de fadiga Ensaios de medição das taxas de propagação de fendas de fadiga foram realizados com vista à aplicação da Mecânica da Fractura Linear Elástica. Para tal foram usados provetes de geometria CT (Compact Tension), definidos de acordo com a norma ASTM E [40]. A escolha da geometria CT permite maior economia de material em relação à geometria MT (Middle Tension) referida na norma. A geometria CT não permite a realização de ensaios com razão de tensões negativa, contudo não é limitativo, pois só se está interessado em conhecer as taxas de propagação de fendas, para razões de tensões positivas. A Figura 3.10 apresenta a geometria e dimensões dos provetes CT adoptadas para a realização dos ensaios com vista à obtenção das taxas de propagação de fendas de fadiga do material da ponte de Trezói. A Tabela 3.8 resume as dimensões adoptadas e dimensões sugeridas pela norma para os provetes CT. 52

75 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Corte A-A an=10 A D=2xØ12.5H7 he=3 B=8 H/2=30 H/2=30 a=60º Ø12.5 A h/2=13.75 h/2=13.75 W=50 L=62.5 Figura 3.10 Geometria e dimensões dos provetes CT utilizados nos ensaios (dimensões em mm). Tabela 3.8 Dimensões dos provetes CT adoptadas e recomendadas segundo a norma ASTM E [40]. Valores segundo ASTM E Tolerância segundo ASTM E Valores Adoptados W L H/2 h/2 B D h e a n [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] 25min min máx ±0.5 ±0.25 ± Os provetes foram obtidos a partir do contraventamento transversal extraído da Ponte de Trezói, com 10 mm de espessura, tendo sido rectificadas as faces laterais de forma a se obter uma espessura final de 8 mm. As taxas de propagação de fendas de fadiga foram determinadas para o aço da Ponte de Trezói, recorrendo a provetes CT com pré-fendas, para três razões de tensões, nomeadamente a razão de tensões aproximadamente nula, R σ =0.0, e as razões de tensões R σ =0.25 e R σ =0.5. Os ensaios foram realizados numa máquina servohidráulica, da marca INSTRON, modelo 8801, equipada com célula de carga de 100 kn. A fixação dos provetes foi executada através de um par de amarras, desenvolvido especificamente para este tipo de provetes. A 53

76 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói medição do avanço de fenda foi realizada com a ajuda de um sistema óptico. O sistema é composto por duas objectivas iguais, equipadas com retículas e com ampliação igual a 45X. As objectivas foram montadas num conjunto de mesas micrométricas XY, tal como mostra a Figura A medição do avanço da fenda é feito com resolução de 1μm, conseguido à custa de cabeças micrométricas digitais, sendo monitorizadas ambas as faces dos provetes CT. Figura 3.11 Sistema óptico de medição do avanço de fendas. Na Tabela 3.9 resume-se o programa experimental usado na determinação das taxas de propagação de fendas de fadiga para o aço extraído da Ponte de Trezói. Na totalidade foram testados 8 provetes. Tabela 3.9 Resumo do programa experimental para determinação das taxas de propagação de fendas de fadiga. Referência do Provete f [Hz] R σ F máx [N] F min [N] ΔK inicial [N.mm -1.5 ] ΔK inicial [MPa.mm 0.5 ] P P P P P P P P

77 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Os comprimentos da fenda foram medidos nas duas faces laterais do provete tendo-se usado apenas a média desses comprimentos no processamento dos resultados. A formulação da gama do factor de intensidade de tensões, Δ K, para a geometria do provete tipo CT, incluída na norma ASTM E [40], tem a forma seguinte: ( 2 + α ) 2 ( 1 α ) ( α 13.32α α 5.6 ) ΔF ΔK = α (3.4) 3 B W com α dado por: α=a/w. A variável a corresponde ao comprimento da fenda, medido desde a linha de aplicação da carga, ΔF é a gama de força, B e W são a espessura e a largura nominal dos provetes CT, tal como se ilustra na Figura O resultado principal dos ensaios de propagação de fendas, documentado nesta secção, corresponde às taxas de propagação de fendas de fadiga em função da gama do factor de intensidade de tensões. Estas taxas de propagação foram determinadas recorrendo ao método polinomial incremental, tal como vem referido na norma ASTM E [40]. Este método baseia-se no ajuste de polinómios do 2º grau a conjuntos sucessivos de pontos experimentais, que definem o comprimento de fenda em função da gama do factor de intensidade de tensões. A taxa de propagação de fendas de fadiga resulta da derivada destes polinómios de 2º grau, em ordem à gama do factor de intensidade de tensões. De seguida apresenta-se um conjunto de gráficos que mostram a evolução da taxa de propagação de fendas de fadiga, em função da gama do factor de intensidade de tensões, para o material extraído da Ponte de Trezói, para as várias razões de tensões. A taxa de propagação de fendas de fadiga vem expressa em mm/ciclo e a gama do factor de intensidade de tensões vem expressa em N.mm Na Figura 3.12 apresenta-se um conjunto de curvas, obtidas para o aço extraído do contraventamento da Ponte de Trezói, existindo três curvas para a razão de tensões, R σ =0.0, correspondendo a três provetes testados. Com base no gráfico da Figura 3.12 podemos constatar que os provetes testados evidenciam pequenas dispersões para a razão de tensões testada. 55

78 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Na Figura 3.13 apresenta-se um conjunto de curvas, obtidas para o aço extraído do contraventamento da Ponte de Trezói, existindo duas curvas para a razão de tensões, R σ =0.25, correspondentes aos dois provetes testados. Com base no gráfico da Figura 3.13 podemos constatar que os provetes testados evidenciam pequenas dispersões para a razão de tensões testada, tal como verificado para o gráfico da Figura Na Figura 3.14 apresenta-se um conjunto de 3 curvas obtidas para o aço extraído do contraventamento da Ponte de Trezói, para a razão de tensões, R σ =0.5. Com base no gráfico da Figura 3.14 podemos constatar que os provetes testados evidenciam pequenas dispersões para a razão de tensões testada, tal como verificado para os gráficos da Figura 3.12 e Na Figura 3.15 representam-se todas as curvas relativas às taxas de propagação determinadas experimentalmente no presente estudo, para as três razões de tensões. Na Figura 3.16 representam-se a comparação entre as correlações das taxas de propagação de fendas de fadiga obtidas para as razões de tensões R σ =0.0, R σ =0.25 e R σ =0.5. De um modo geral, a variação dos valores experimentais das taxas de propagação de fendas, com a gama do factor de intensidade de tensões, revela ser do tipo linear, numa representação bilogarítmica. Isto indicia que os domínios relativos ao limiar de propagação e propagação instável de fendas de fadiga não foram abrangidos pelos testes. Deste modo, das leis de propagação de fendas de fadiga existentes na literatura, a mais adequada ao domínio dos resultados experimentais é a lei de Paris [36,37]. Esta lei adequa-se à descrição das taxas de propagação para valores intermédios de ΔK, excluindo os domínios extremos, relativos ao limiar de propagação e propagação instável. Esta lei tem a forma geral seguinte: da dn m = CΔK (3.5) onde C e m são constantes, ΔK é a gama do factor de intensidade de tensões e da/dn é a taxa de propagação de fendas. 56

79 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Nas Tabelas 3.10 e 3.11 apresentam-se diversos valores de constantes C e m, obtidos por regressão linear dos resultados experimentais, log(da/dn) vs log(δk). Foram determinadas constantes para todas as curvas, assim como para várias combinações de curvas, dentro da mesma razão de tensões e por fim uma global. As constantes foram determinadas para dois sistemas de unidades distintos, vulgarmente usados. Também foram indicados os coeficientes de determinação relativos às correlações efectuadas. da/dn [mm/ciclo] 1.0E-2 1.0E-3 1.0E-4 1.0E-5 P (R=0.0) P (R=0.0) P (R=0.0) R σ =0.0 da/dn=1.1054e-16 ΔK R 2 = E ΔK [N.mm -1.5 ] Figura 3.12 Taxas de propagação de fendas de fadiga para R σ =0. 1.0E-3 P (R=0.25) P (R=0.25) da/dn [mm/ciclo] 1.0E-4 R σ =0.25 da/dn=1.6479e-14 ΔK R 2 = E ΔK [N.mm -1.5 ] Figura 3.13 Taxa de propagação de fendas de fadiga para R σ =

80 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói 1.0E-3 P (R=0.5) da/dn [mm/ciclo] 1.0E-4 1.0E P (R=0.5) P (R=0.5) R σ =0.5 da/dn=9.5469e-15 ΔK R 2 = ΔK [N.mm -1.5 ] Figura 3.14 Taxas de propagação de fendas de fadiga para R σ =0.5. da/dn [mm/ciclo] 1.0E-2 1.0E-3 1.0E-4 P (R=0.0) P (R=0.0) P (R=0.0) P (R=0.25) P (R=0.25) P (R=0.5) P (R=0.5) P (R=0.5) 1.0E-5 1.0E R σ =0.0 + R σ = R σ =0.5 da/dn=4.5273e-15 ΔK R 2 = ΔK [N.mm -1.5 ] Figura 3.15 Comparação entre as taxas de propagação de fendas de fadiga obtidas para as razões de tensão R σ =0.0, R σ =0.25 e R σ =

81 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói 1.0E-3 da/dn [mm/ciclo] 1.0E-4 1.0E-5 da/dn=9.5469e-15 ΔK R 2 = ΔK [N.mm -1.5 ] da/dn=1.1054e-16 ΔK R 2 = R σ R=0.0 R σ R=0.25 da/dn=1.6479e-14 ΔK R 2 = R σ R=0.5 R σ R=0.0+R=0.25+R=0.5 =0+R σ =0.25+R σ = E Figura 3.16 Comparação entre as correlações das taxas de propagação de fendas de fadiga obtidas para as razões de tensões R σ =0.0, R σ =0.25 e R σ =0.5. Tabela 3.10 Constantes da lei de Paris relativas aos provetes testados. da/dn = C.ΔK m Ref. Provete R σ =σ min /σ max C * C ** m P E E P E E P E E P E E P E E P E E P E E P E E * da/dn em mm/ciclo e ΔK em N.mm -1.5 ** da/dn em m/ciclo e ΔK em MPa.m 0.5 R 2 Tabela 3.11 Constantes da lei de Paris relativas aos provetes testados, agrupados por razões de tensões. Material R σ =σ min /σ max da/dn = C.ΔK m C * C ** m P-00-xx E E P-25-xx E E P-05-xx E E P-xx-xx 0.0; 0.25; E E * da/dn em mm/ciclo e ΔK em N.mm -1.5 ** da/dn em m/ciclo e ΔK em MPa.m R 2

82 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Após a comparação entre as taxas de propagação de fendas de fadiga do material da Ponte de Trezói para as razões de tensão R σ =0.0, R σ =0.25 e R σ =0.5, efectuada na Figura 3.15, apresenta-se a seguir, a comparação com dados de outras pontes portuguesas, extraídas das referências [51-53]. A Figura 3.17 apresenta uma relação da/dn vs ΔK conservadora tendo em conta os dados obtidos nos ensaios dos materiais de todas as pontes. Foi realizada uma análise de regressão linear ao conjunto dos dados, resultando num coeficiente de determinação, R 2 =0.87, que é relativamente elevado, tendo em conta as diferentes origens dos materiais das pontes. Tal como se pode verificar na Figura 3.17, alguns dados da Ponte D. Luiz I divergem dos valores médios, apresentando valores elevados de propagação de fendas. Um provete da Ponte de Viana exibe taxas de propagação de fendas inferiores, para gamas de factores de intensidade de tensões intermédios. 1.0E-2 da/dn=4.1997e-15 ΔK E-3 da/dn [mm/ciclo] da/dn=7.0e-13 ΔK 3 1.0E-4 1.0E-5 1.0E-6 da/dn=9.2673e-16 ΔK Ponte do Pinhão Ponte D. Luiz I Ponte de Viana Ponte de Trezói Limite Superior m= Limite Superior m=3 1.0E ΔK [N.mm -1.5 ] Figura 3.17 Dados de propagação de fendas de fadiga para materiais de diversas pontes rebitadas antigas portuguesas. A constante m da Lei de Paris obtida para o conjunto de todos os dados é superior a 3, sendo este último valor usualmente adoptado como prática corrente dos códigos de projecto [54], indirectamente como o declive das curvas S-N dos detalhes estruturais. A constante C é significativamente inferior aos valores usualmente recomendados na 60

83 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói literatura para aços modernos [54], C A Figura 3.17 também inclui um limite superior, paralelo à recta de regressão linear, que pode ser usado para efeitos de projecto. Somente alguns pontos do material da Ponte D. Luiz I se situam acima desta linha; contudo estes pontos correspondem à Fase III da propagação de fendas. Outro limite superior foi estabelecido com um declive de 3. Para este caso, a constante C aproxima-se dos valores referidos na literatura para os aços modernos [54]. Claramente, a curva de propagação de fendas baseada num declive, m, igual a 3 e C= produzirá resultados satisfatórios para todos os materiais analisados Ensaio de fadiga de ligações rebitadas A resistência à fadiga de ligações rebitadas é normalmente avaliada através de curvas S-N, que basicamente resultam de resultados experimentais. É de referir que os ensaios de fadiga de ligações rebitadas da Ponte de Trezói, aqui referidos, foram retirados da referência [46]. Estes resultados serão tidos em conta na análise numérica apresentada no Capítulo IV. Segundo a referência [46], apenas foi possível testar 8 provetes rebitados (F 1 F 8 ) dada a limitação de material. Estes provetes também foram extraídos do contraventamento transversal da Ponte de Trezói. Na Figura 3.18 esquematizam-se as dimensões dos provetes de fadiga usados no programa experimental. Na Figura 3.19 ilustram-se os provetes preparados para o ensaio. Figura 3.18 Dimensões nominais dos provetes de fadiga (dimensões em mm) [46]. 61

84 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Figura 3.19 Provetes de fadiga [46]. Há que referir, em relação às dimensões dos provetes, que houve necessidade de alterar as mesmas, dado que os primeiros provetes apresentaram rotura na amarra ou na secção remota fora da secção que contém o eixo do rebite, como ilustra a Figura Esta alteração de dimensões consistiu na introdução de um rebaixo na secção central (nominal) de modo a localizar nessa secção a rotura. A Tabela 3.12 resume os resultados dos ensaios de fadiga das ligações rebitadas. Figura 3.20 Provete de fadiga com rotura [46]. Tabela 3.12 Resumo dos resultados dos ensaios de fadiga das ligações rebitadas [46]. Provete Secção Remota [mm 2 ] Secção Nominal* [mm 2 ] Força Máxima [N] Gama de Força [N] Tensão Nominal [MPa] Nº ciclos para rotura N f F F F F F F F F * resistente A Figura 3.21 ilustra o aspecto da rotura no final do ensaio do provete F 1. Como se pode verificar, ao contrário da Figura 3.20, a rotura deu-se na ligação rebitada. 62

85 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói Figura 3.21 Provete fadiga com rotura na ligação rebitada [46]. O provete P 8 não se levou em consideração na determinação da curva S-N, pelo facto de a rotura deste provete ter sido na soldadura. A partir dos dados obtidos foi determinada a curva S-N, por regressão linear, e obtida a respectiva equação que se representa na Figura Os ensaios foram realizados para uma razão de tensões de R σ =0.1. Para N f =2x10 6 ciclos a curva S-N propõe uma resistência à fadiga, Δσ=115.1MPa. 500 Log(Δσ)= Log(N) Δσnominal (MPa) E E E E+07 Número de ciclos de rotura, N f Figura 3.22 Curva S-N para a ligação rebitada. 63

86 CAPÍTULO III Caracterização do Comportamento à Fadiga do Aço da Ponte de Trezói A Figura 3.23 apresenta os resultados dos ensaios realizados, comparando-os com os resultados dos ensaios de ligações rebitadas similares de outras Pontes Portuguesas, tais como, a Ponte do Pinhão e a Ponte Luiz I. Observando a curva S-N dos ensaios efectuados para a Ponte de Trezói da Figura 3.23, verificamos que o declive é superior a 3. As ligações rebitadas não estão especificamente mencionadas no Eurocódigo 3 (EC3) [4]. Assim, assumiu-se que para ligações rebitadas a curva se situava entre as classes 50 e 80 das categorias de detalhe do EC3 [4]. Desta forma, a curva S-N contida na Figura 3.23 corresponde à categoria de detalhe 71 do EC3 [4], visto que coincide com a curva proposta pela AASTHO [5]. Tomando em conta a curva S-N deduzida experimentalmente, verificase que os resultados obtidos são aceitáveis, visto que a curva se situa acima das curvas da AASHTO [5] e da categoria de detalhe 71 do EC3 [4]. Esta curva é consistente com o facto de que as curvas de projecto incluem margens de segurança. Para estes dados mais recentes, alguns pontos situam-se abaixo das curvas de projecto que podem ser justificados pelo facto de que algumas ligações rebitadas poderem apresentar fendas iniciais desenvolvidas durante a operação da Ponte. 5.00E+2 Limite de fadiga sob amplitude constante Log(Δσ)= Log(N) Δσ (MPa) 1.00E+2 Δσ c Δσ D 1 3 Curva S-N Categoria de Detalhe 71 EC3 1 5 Limite de truncatura Δσ L Ponte Trezói 1.00E E+04 Ponte D. Luiz I Ponte Pinhão Curva S-N Categoria D - AASHTO 1.00E E E E E E+08 N.º de ciclos de rotura, N f Figura 3.23 Curva S-N para a ligação rebitada, incluindo as curvas de projecto da AASHTO e EC3. 64

87 CAPÍTULO IV MODELAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FADIGA DE UMA LIGAÇÃO REBITADA 65

88 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada 4.1. Introdução Pretende-se, com este trabalho, desenvolver procedimentos para a modelação por elementos finitos da resistência à fadiga de ligações rebitadas. Com efeito, são modeladas fendas a emanar dos furos dos rebites, nomeadamente são determinados factores de intensidade de tensões para as fendas em causa usando a técnica modificada do fecho de fenda virtual [1]. A modelação das ligações rebitadas foi realizada recorrendo a modelos de elementos finitos paramétricos, permitindo a avaliação das localizações críticas das ligações rebitadas e a determinação das histórias das deformações e tensões elastoplásticas nesses pontos críticos. Estes resultados devem ser usados nos modelos de aproximação local, baseados nas tensões e deformações locais, para determinação no número de ciclos necessário à iniciação de fendas de fadiga. Também foram usados modelos de elementos finitos de ligações rebitadas com fendas, visando a estimativa dos campos de tensões e deformações na extremidade das fendas de modo a possibilitar o cálculo dos factores de intensidade de tensões, necessários à modelação da propagação. Finalmente, os modelos desenvolvidos são integrados de modo a resultar uma ferramenta global de previsão do comportamento à fadiga de ligações rebitadas. A vida total à fadiga de ligações rebitadas pode ser estimada considerando um período de iniciação e um período de propagação de fendas de fadiga. O número total de ciclos, N f, é determinado somando o número de ciclos despendido no período de iniciação, N i, com o número de ciclos decorridos durante o período de propagação, N p : N = N + N (4.1) f i p Enquanto que a previsão do período de iniciação de uma fenda pode ser executada com base em modelos assentes em relações do tipo deformação-vida, a previsão do período de propagação pode ser feita com base na MFLE. A transição entre a fase de iniciação e a fase de propagação é, em geral, definida através de uma dimensão característica da fenda. Diversas dimensões características são propostas na literatura, as quais variam, de um 66

89 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada modo geral, entre 0.25 mm e 1 mm, gerando alguma subjectividade na definição deste parâmetro. O procedimento de avaliação da vida à fadiga de ligações rebitadas foi demonstrado para uma ligação rebitada com corte simples e rebite único, ilustrada na Figura 4.1. A ligação foi extraída de uma barra de contraventamento original da ponte rebitada ferroviária de Trezói. Ao todo foram testados 8 (oito) provetes para uma razão de tensões de 0.1. Um dos modos de rotura principais consistiu na iniciação de fendas no furo do rebite e propagação destas na secção resistente (plano que contém o eixo do rebite e é normal à direcção da carga). Toda a informação experimental encontra-se na secção 3.8 do Capítulo III, a onde se expõe todo o procedimento dos ensaios de fadiga das ligações rebitadas. Figura 4.1 Geometria da ligação rebitada (dimensões em mm) Modelação da iniciação de fendas O modelo de previsão da fase de iniciação de fendas de fadiga, empregue neste estudo, pressupõe uma análise em duas etapas distintas: a primeira consiste na análise elastoplástica local com vista à determinação das tensões e deformações locais totais nos pontos críticos da ligação; a segunda envolve a comparação dos valores locais das tensões e deformações com as curvas de resistência à fadiga do material resultando, desta comparação, o número de ciclos necessário para iniciar uma fenda de fadiga. 67

90 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada A relação de Coffin [14] e Manson [15] é uma relação muito conhecida que relaciona a deformação elastoplástica total com o número de reversões de iniciação: Δε 2 σ' E P Δε Δε f b c = + = ( 2N f ) + ε' f ( 2N f ) (4.2) 2 2 E onde σ f e b são o coeficiente e expoente de resistência à fadiga cíclicos, ε f e c são o coeficiente e expoente de ductilidade à fadiga cíclicos, E é o módulo de Young, Δε/2, é a amplitude de deformação total e 2N f é o número de reversões de iniciação de uma fenda. A análise elastoplástica local pode ser executada usando a regra de Neuber [18,20] e a curva cíclica do material, na forma da relação de Ramberg-Osgood [13], resultando o seguinte sistema de equações, válidos para carregamentos cíclicos: 2 Δσ Δσ + 2 Δσ E 2K' Δσ Δσ Δε = + 2 E 2K' 1 n' 1 n' K = 2 t Δσ E 2 nom (4.3) onde Δσ é a gama de tensão local, Δσ nom é a gama de tensão nominal, K e n são o coeficiente e expoente de endurecimento cíclicos, e K t é o factor elástico de concentração de tensões. As propriedades necessárias à aplicação deste modelo de iniciação já foram apresentadas na secção 3.5. Na Figura 4.2 apresenta-se a curva cíclica do material estimada com base na relação de Ramberg-Osgood [13], e que foi utilizada nesta análise elastoplástica simplificada. 68

91 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Δσ/2 [MPa] Δε/2 Figura 4.2 Curva Cíclica Tensão-Deformação Modelação da propagação de fendas De um modo geral, as leis de propagação relacionam directamente a gama do factor de intensidade de tensões, ΔK, com a taxa de crescimento da fenda, da/dn. Na presente análise foi adoptada a lei de Paris [36,37]: da dn m = C( ΔK ) (4.4) As constantes da lei de Paris foram obtidas experimentalmente, para o material extraído da ponte de Trezói na secção 3.7 do Capítulo III. O número de ciclos de rotura pode ser determinado integrando a equação (4.4) entre as dimensões inicial e final da fenda: N f = 1 C a f ai 1 ΔK m da (4.5) Para realizar a integração anterior, a gama do factor de intensidade de tensões terá de ser expressa em função do comprimento da fenda, a. O integral pode ser aproximado, assumindo incrementos de fenda sucessivos, Δa, com a gama de factor de intensidade de tensões constante, resultando em incrementos no número de ciclos de rotura: Δ 1 1 N = a m C ΔK Δ (4.6) 69

92 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada A aproximação anterior conduz ao resultado exacto do integral, à medida que os incrementos de fenda tendem para zero. Na avaliação do período de propagação, a fenda é propagada até o valor máximo do factor de intensidade de tensões se aproximar da tenacidade do material. Neste estudo adoptou-se como medida de tenacidade o factor de intensidade de tensões máximo, registado durante os ensaios de propagação de fenda, para R σ =0.0. Os factores de intensidade de tensões foram avaliados usando a técnica modificada do fecho de fenda virtual [1], através das equações (2.45) e (2.46), para elementos finitos com 20 nós, usando resultados de análise de elementos finitos. Com vista à modelação da propagação de fendas na ligação rebitada, foi inserida uma fenda passante, a iniciar no furo do rebite, conforme ilustra a Figura 4.3. A fenda passante foi introduzida apenas numa das placas da ligação. Também se assume que a fenda irá propagar de forma simétrica, normal à direcção de solicitação. Outras configurações de fendas poderiam ter sido propostas, tais como, a fenda semicircular de canto e a fenda semi-elíptica, mas pretende-se manter este estudo como uma abordagem simplificada. O objectivo traçado passa por estudar a fenda passante, que é o caso mais simples. Como é sabido, a frente da fenda passante apresenta factores de intensidade de tensões não uniformes ao longo dessa frente, levando a uma propagação não uniforme na frente de fenda, embora se considere por hipótese uma fenda de profundidade constante. A simulação da ligação rebitada com fenda tem por objectivo a determinação do factor de intensidade de tensões ao longo da frente de fenda para diversos pré-esforços no rebite. Com base nesta avaliação propor-se-á curvas S-N para a ligação rebitada, para diversos pré-esforços no rebite. 70

93 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Figura 4.3 Ilustração da fenda passante a iniciar no furo do rebite da ligação rebitada Modelo de elementos finitos da ligação Descrição do modelo sem fendas para determinação do K t Com vista à modelação da iniciação de fendas, na ligação rebitada em estudo, foi construído um modelo de elementos finitos 3D usando o código comercial ANSYS [2]. Foi construído o modelo paramétrico em linguagem APDL do ANSYS, considerando para tal, três sólidos, nomeadamente, duas placas e um rebite. Estes sólidos foram modelados usando elementos isoparamétricos hexaédricos de 20 nós (SOLID95). O contacto entre o rebite e as placas foi modelado aplicando a tecnologia de elementos de contacto disponível no ANSYS, usando a opção superfície-superficie. Em particular, os elementos CONTA174 e TARGE170 foram usados para modelar respectivamente, as superfícies de contacto e alvo, formando os pares de contacto. Ambas as superfícies de contacto foram consideradas flexíveis. Uma vez que a ligação admite um plano de simetria, apenas metade da ligação foi modelada. Os deslocamentos dos nós localizados no plano de simetria, foram impedidos na 71

94 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada direcção normal a este. O modelo foi construído usando cinco pares de contacto, nomeadamente, dois entre as cabeças do rebite e as superfícies laterais das placas, dois entre o corpo cilíndrico do rebite e as superfícies dos furos das placas, e um par de contacto entre as duas placas. O modelo foi construído de acordo com as dimensões da Figura 4.1. Na Figura 4.4 ilustra-se a malha de elementos finitos da ligação. Os nós da base da ligação foram restringidos em todas as direcções, e os nós de topo da ligação foram restringidos em todas as direcções do plano normal ao carregamento e deslocados do valor de d máx =0.1mm, na direcção do carregamento. Ambas as placas de aço e o rebite foram modelados como materiais isotrópicos e elásticos. Foi assumido um módulo de Young (E) de 210 GPa e um coeficiente de Poisson igual a O módulo de Young proposto está de acordo com o valor medido experimentalmente nos ensaios de tracção. Uma vez que os materiais foram considerados lineares elásticos, o modelo apenas é capaz de simular o comportamento elástico da junta. Este modelo é utilizado para avaliar o factor elástico de concentração de tensões. Apesar de se considerar o comportamento elástico dos materiais, o problema global é não linear motivado pelo contacto. Deste modo, o carregamento é aplicado de forma incremental: dez incrementos iguais de 0.01 mm. Figura 4.4 Malha de elementos finitos da ligação rebitada. 72

95 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada O modelo de contacto é governado por um número importante de parâmetros tais como, o algoritmo de contacto, o modelo de atrito, rigidez normal e tangencial de contacto, penetração máxima, etc. Cada par de contacto exige a definição da superfície de contacto e alvo, que terão de ser discretizadas com os elementos CONTA174 e TARGE170, respectivamente. Para além dos parâmetros do modelo de contacto, existem parâmetros geométricos, tais como a folga entre o rebite e os furos, que podem ter uma influência no comportamento da ligação. As simulações foram realizadas usando o algoritmo de contacto Augmented Lagrange disponível no ANSYS. Todas as simulações foram levadas a cabo usando o modelo de atrito de Coulomb, tendo em conta três coeficientes de atrito distintos: μ=0, μ=0.3 e μ=0.6. O algoritmo Augmented Lagrange requer a definição da rigidez normal e tangencial de contacto. A quantidade de penetração entre as superfícies de contacto e alvo depende do valor da rigidez normal de contacto. Valores elevados de rigidez reduzem a penetração, aumentando as dificuldades de convergência do algoritmo de contacto. Valores reduzidos de rigidez podem conduzir a penetrações elevadas, produzindo assim soluções menos precisas. Idealmente, é desejável uma rigidez suficientemente elevada para reduzir a penetração a valores aceitáveis, mas que garanta uma convergência para a solução em tempo útil. A rigidez normal de contacto é calculada automaticamente pelo ANSYS tendo em conta a elasticidade dos corpos em contacto, podendo ser escalada através do factor FKN. Os valores usuais para o FKN situam-se na gama de , sendo o valor 1.0 usado por defeito pelo ANSYS. Nas presentes simulações foram testados valores de FKN de 0.01, 0.1 e 1.0. Outro parâmetro importante na aplicação do algoritmo Augmented Lagrange é o FTOLN. Este parâmetro define um factor de tolerância à penetração a ser aplicado na direcção normal à superfície de contacto, sendo usado na avaliação da condição de compatibilidade à penetração. A condição de compatibilidade à penetração é satisfeita se a penetração for superior à tolerância admissível (FTOLN x Espessura dos elementos subjacentes às superfícies de contacto). Normalmente este factor é considerado inferior à unidade (frequentemente inferior a 0.2). Nas presentes simulações foram testados valores do FTOLN de 0.01, 0.05 e

96 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Para todos os restantes parâmetros não referidos explicitamente, foram adoptados os valores sugeridos por defeito pelo ANSYS [2]. As simulações foram executadas considerando uma folga nula entre os rebites e os furos. Também foi imposto pré-esforço nos rebites ( Clamping ), através da aplicação de um ΔT ao rebite usando propriedades de expansão térmica ortotrópicas, tais como, o coeficiente de expansão térmica, α Z, igual a 1x10-5 (na direcção do eixo do rebite), e uma temperatura final, T final, igual a 25ºC. O pré-esforço nos rebites foi imposto através da variação de uma temperatura de referência, T ref. Foram testados valores de T ref de 25, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350 e 400. As propriedades de expansão térmica, no plano transversal do rebite, foram consideradas nulas. As Figuras 4.5 a 4.7 ilustram o campo de tensões segundo a direcção do carregamento. Constata-se que os valores extremos das tensões se observam nos furos e que a distribuição de tensões ao longo da espessura não é uniforme, sendo máxima junto ao plano de corte. Nestas figuras apresentam-se os campos de tensões para o coeficiente de atrito, μ, igual a 0.0, com o FKN a variar entre 0.01 e 1.0 e o FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1. O campo de tensões para os coeficientes de atrito, μ, entre 0.0 e 0.6 é praticamente o mesmo, apresentando o μ igual a 0.0 os valores superiores, sendo a sua diferença em relação ao coeficiente de atrito igual a 0.3 e 0.6 mínima, para as condições de FKN e FTOLN atrás apresentadas. Importa referir que nas várias simulações foi imposto um deslocamento remoto constante, sendo a correspondente carga calculada através das reacções. Constata-se assim que variações nos parâmetros do contacto traduzem variações nas cargas. 74

97 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada a) b) c) d) Figura 4.5 Campo de tensões, σ y, em MPa, da ligação rebitada: a) (FKN=0.01; FTOLN=0.01; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn); b) (FKN=0.01; FTOLN=0.05/0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn); c) (FKN=0.1; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn); d) (FKN=1.0; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC; F= kn). 75

98 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada a) b) c) d) Figura 4.6 Campo de tensões, σ y, em MPa, da ligação rebitada: a) (FKN=0.01; FTOLN=0.01; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn); b) (FKN=0.01; FTOLN=0.05/0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn); c) (FKN=0.1; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn); d) (FKN=1.0; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=75ºC; F= kn). 76

99 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada a) b) c) d) Figura 4.7 Campo de tensões, σ y, em MPa, da ligação rebitada: a) (FKN=0.01; FTOLN=0.01; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn); b) (FKN=0.01; FTOLN=0.05/0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn); c) (FKN=0.1; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn); d) (FKN=1.0; FTOLN=0.01/0.1; μ=0.0; ΔT=275ºC; F= kn). 77

100 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Factor elástico de concentração de tensões, K t O factor elástico de concentração de tensões, K t, foi definido dividindo a tensão máxima, σ y, pela tensão resistente de uma das placas: K t = σ y,máx (W d )t F (4.7) onde: W é a largura da ligação, d diâmetro do rebite, t é a espessura da placa, F é a carga aplicada e σ y,máx é a tensão máxima na direcção da carga, observada na superfície do furo. Na Figura 4.8 apresenta-se o factor elástico de concentração de tensões para vários valores de FKN, FTOLN e contacto com e sem atrito, para uma variação de temperatura, ΔT, igual a 0, isto é, sem pré-esforço. Os valores numéricos de K t para uma variação de temperatura, ΔT, igual a 0, isto é, sem pré-esforço, variam entre 3.06 e O valor médio de K t igual a 3.27, para um ΔT=0, foi usado na modelação da iniciação. Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=0.01 FTOLN=0.01 FKN=0.01 FTOLN= FKN=0.1 FTOLN= FKN=1.0 FTOLN= Figura 4.8 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN, FTOLN e coeficiente de atrito, sem pré-esforço (ΔT=0ºC). 78

101 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Na Figura 4.9 apresenta-se o factor elástico de concentração de tensões para valores de FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Na Figura 4.10 apresenta-se o factor elástico de concentração de tensões para valores de FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Na Figura 4.11 apresenta-se o factor elástico de concentração de tensões para valores de FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Na Figura 4.12 apresenta-se a comparação da evolução do factor elástico de concentração de tensões para vários valores de FKN, FTOLN e coeficiente de atrito, em função da variação de temperatura, ΔT. Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=0.01 e FTOLN=0.01 μ= FKN=0.01 e FTOLN= Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.9 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. 79

102 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Factor de Concentração de Tensões, K t Variação de Temperatura, ΔT [ºC] μ= FKN=0.1 e FTOLN= Figura 4.10 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=1.0 e FTOLN= Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.11 Evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. 80

103 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=0.01 e FTOLN=0.01 μ= FKN=0.01 e FTOLN= μ= FKN=0.1 e FTOLN= μ= FKN=1.0 e FTOLN= Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.12 Comparação da evolução do factor elástico de concentração de tensões com FKN, FTOLN e coeficiente de atrito, em função da variação de temperatura, ΔT. Na Figura 4.13 apresenta-se a evolução do pré-esforço no rebite, F pré-esforço, para valores de FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Pré-esforço, F pré-esforço [N] μ= FKN=0.01 e FTOLN= Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.13 Evolução do pré-esforço no rebite com FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Na Figura 4.14 apresenta-se a evolução do pré-esforço no rebite, F pré-esforço, para valores de FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. 81

104 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Na Figura 4.15 apresenta-se a evolução do pré-esforço no rebite, F pré-esforço, para valores de FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Na Figura 4.16 apresenta-se a comparação das evoluções dos pré-esforços no rebite, para vários valores de FKN, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. Pré-esforço, F pré-esforço [N] μ= FKN=0.1 e FTOLN= Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.14 Evolução do pré-esforço no rebite com FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT μ= FKN=1 e FTOLN= Pré-esforço, F pré-esforço [N] Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.15 Evolução do pré-esforço no rebite com FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura, ΔT. 82

105 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Pré-esforço, F pré-esforço [N] μ= FKN=0.01 e FTOLN= μ= FKN=0.1 e FTOLN= μ= FKN=1 e FTOLN= Variação de Temperatura, ΔT [ºC] Figura 4.16 Comparação das evoluções dos pré-esforços no rebite para vários valores de FKN, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função da variação de temperatura. Na Figura 4.17 apresenta-se o factor de concentração de tensões, K t, para valores de FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. Na Figura 4.18 apresenta-se o factor de concentração de tensões, K t, para valores de FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. Na Figura 4.19 apresenta-se o factor de concentração de tensões, K t, para valores de FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. Na Figura 4.20 apresenta-se a comparação das evoluções do factor de concentração de tensões, K t, para vários valores de FKN, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. 83

106 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=0.01 e FTOLN= Pré-esforço no rebite [N] Figura 4.17 Evolução do factor de concentração de tensões, K t, com FKN=0.01, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=0.1 e FTOLN= Pré-esforço no rebite [N] Figura 4.18 Evolução do factor de concentração de tensões, K t, com FKN=0.1, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. 84

107 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=1 e FTOLN= Pré-esforço no rebite [N] Figura 4.19 Evolução do factor de concentração de tensões, K t, com FKN=1.0, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1 e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do pré-esforço no rebite. Factor de Concentração de Tensões, K t μ= FKN=0.01 e FTOLN= μ= FKN=0.1 e FTOLN= μ= FKN=1 e FTOLN= Pré-esforço no rebite [N] Figura 4.20 Comparação das evoluções do factor de concentração de tensões, K t, para vários valores de FKN, FTOLN a variar entre 0.01 e 0.1, e coeficiente de atrito a variar entre 0.0 e 0.6, em função do préesforço no rebite. Da análise destes resultados constata-se que o parâmetro FKN=1.0 conduz a resultados consistentes uma vez que se verifica uma redução monótona no factor de concentração de tensões com o aumento do pré-esforço. Relativamente aos restantes parâmetros de contacto não se observam influências significativas. 85

108 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada Modelo com fendas para determinação dos factores de intensidade de tensões Com base no modelo de elementos finitos da secção foram simuladas fendas com diversas profundidades, a, consideradas constantes. Na Figura 4.21 apresentam-se os campos de tensões na direcção da carga para os vários comprimentos de fenda, com a ausência de pré-esforço, ΔT=0ºC. Foram também simuladas fendas com diversas profundidades, introduzindo ΔT=75ºC e ΔT=275ºC, para simular a presença de pré-esforço. Os factores de intensidade de tensões foram avaliados usando a técnica modificada do fecho de fenda virtual [1], através das equações (2.45) e (2.46) para elementos com 20 nós, usando a análise de elementos finitos Valores numéricos dos factores de intensidade de tensões Os resultados apresentados nas Figuras 4.22 a 4.24 dizem respeito a modelos de elementos finitos com FKN=1, FTOLN=0.1 e ausência de atrito, para um ΔT, igual a 0ºC, 75ºC e 275ºC. A presença de pré-esforço verifica-se para um ΔT igual a 75ºC e 275ºC, visto que para um ΔT=0ºC corresponde à ausência de pré-esforço. O pré-esforço é de 22576N (49.9MPa) para um ΔT igual a 75ºC e de 93859N (207.47MPa) para 275ºC. A coordenada x representa a distância ao plano de corte da ligação. As gamas dos factores de intensidade de tensões foram normalizadas através da tensão nominal usada na equação (4.7). A análise de resultados revela que os factores de intensidade de tensões não são uniformes ao longo da espessura, contrariando assim a hipótese de base de fendas de profundidade constante. As Figuras 4.25 a 4.27 ilustram a evolução do valor máximo e médio do factor de intensidade de tensões que ocorre ao longo da frente de fenda, para várias profundidades de fenda. Polinómios de sexto grau foram ajustados aos dados numéricos resultando funções do tipo K=K(a) necessárias para a integração da lei de Paris. 86

109 CAPÍTULO IV Modelação da Resistência à Fadiga de uma Ligação Rebitada a) a=0.5 mm b) a=1.25 mm c) a=2.5 mm d) a=3.75 mm e) a=5.0 mm f) a=6.25 mm g) a=7.5 mm h) a=8.75 mm i) a=10.0 mm j) a=11.25 mm k) a=12.25 mm l) a=13.75 mm Figura 4.21 Campos de tensões na direcção do carregamento para diferentes comprimentos de fenda: FKN=1.0; FTOLN=0.1; μ=0.0; ΔT=0ºC. 87