Quadros, representações redundantes e adaptativas. Hilton de Oliveira Mota

Transcrição

1 Quadros, representações redundantes e adaptativas Hilton de Oliveira Mota

2 Introdução Na aula anterior: DWT bases ortogonais/biortogonais de suporte compacto. Ortogonalidade máxima compactação, sem redundância. Suporte compacto atuação localizada. Análise multiresolução processamento do todo ou das partes. Somente vantagens? Algum problema? Representações rígidas decomposição e reconstrução únicas. Variantes à translação! Nesta aula, estenderemos o conceito a representações mais flexíveis: Quadros justos ( tight frames ) representações sobrecompletas, infinitas formas de reconstrução, representações canônicas. Ladrilhamento tempo-frequência adaptativo pacotes de wavelets. Transformada de wavelets estacionária. Wavelets direcionais, Ridgelets, Curvelets, Contourlets.

3 Pacotes de wavelets STFT ladrilhamento constante resolução tempo-frequência constante. WT ladrilhamento variável com área constante resolução tempo frequência variável, mas fixa!

4 Pacotes de wavelets Pacotes de wavelets (WP) generalização da DWT: Ladrilhamento mais flexível definido pelo usuário. Gera um frame justo representação redundante infinitas reconstruções. Proporciona algoritmos adaptativos! Ladrilhamento da DWT Ex.: um dos possíveis ladrilhamentos de WP

5 Pacotes de wavelets WPs baseiam-se no mesmo algoritmo da DWT decomposição piramidal. Mas tanto as aproximações quanto os detalhes são decompostos em cada nível! DWT decomposition bank *Obs.: a reconstrução canônica de WP é similar à reconstrução da DWT. Wavelet packets decomposition bank

6 Decomposição por pacotes de wavelets Decomposição da DWT Decomposição por WP Decomposição final: matriz MxN. Qualquer combinação de caixas desta matriz permite reconstruir o sinal! Decomposição final: vetor 1xN Adaptativo!

7 Funções de pacotes de wavelets Funções (átomos) de WP são obtidos das wavelets ortogonais ou biortogonais. Ex.: átomos de WP de Daubechies 3.

8 Funções de pacotes de wavelets

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10 Funções de pacotes de wavelets

11 Ladrilhamento do plano tempoescala Cada nível corresponde a um ladrilhamento com retângulos de mesmo tamanho Vão se tornando mais largos no tempo (diminui resolução temporal) Vão se tornando mais estreitos na frequência (aumenta resolução em frequência).

12 Ladrilhamento do plano tempoescala Vários ladrilhamentos podem ser utilizados: Dependendo de quais pacotes o usuário mantém. Desde que o plano seja completamente coberto. Exemplos: Pacotes originais da DWT Ladrilhamento tempo-frequência

13 Ladrilhamento do plano tempoescala Outros pacotes: Ladrilhamento correspondente: Notar que: O eixo do tempo deve ser completamente coberto. Não pode haver sobreposição no tempo. Pode haver sobreposição na frequência. Raciocínio: quais frequências são melhores em cada intervalo? Obs.: como seria a reconstrução canônica?

14 Bases de pacotes de wavelets Bases de pacotes de wavelets seleção dos melhores pacotes (ladrilhamento) com base em algum critério ( best basis ). Uma forma (largamente usada) entropia de Shannon [1]. S ( p)= pi log p i i onde p é uma função densidade de probabilidade (PDF) normalizada (energia do pacote). Maior entropia informação mais espalhada. Baixa entropia informação concentrada em poucos coeficientes. Portanto encontre o conjunto de pacotes que resulte na menor entropia representação mais esparsa. [1] R. R. Coifman and M. V. Wickerhauser, Entropy-based algorithms for best basis selection, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 38, no. 2, pp , 1992.

15 Bases de pacotes de wavelets Seleção de bases de WP com entropia. Analise a matriz de WP de baixo para cima. Compare a entropia de um par de pacotes-filhos com a entropia do pacote-pai. Se a entropia dos filhos for maior descarte os filhos. Se a entropia dos filhos for menor mantenha os filhos, atribua a sua entropia ao pai. Suba para o nível superior e repita até o 1o nível. Lembre-se esta é apenas uma das formas de se selecionar os pacotes: Pode-se usas outros critérios matching pursuit, basis pursuit, etc...

16 Bases de pacotes de wavelets

17 Ex.: decomposição por WP 3 level WP decomposition WP tree

18 Ex.: decomposição por WP WP tree DWT tree Best entropy WP tree

19 Ex.: decomposição por WP Best entropy WP tree Corresponding coefficients

20 Ex.: decomposição por WP Reconstruction from the best tree

21 Árvores de pacotes de wavelets Árvores admissíveis árvores em que em cada nó há somente zero ou duas filhas. Qualquer árvore admissível gera uma base ortogonal para o espaço original. Uma decomposição por WP completa, até o J = log2 N, possui BJ árvores admissíveis, portanto BJ bases ortogonais, onde N /2 5N /8 2 B J 2

22 Considerações: A WP sofre os mesmos efeitos de bordas da DWT. Lembre-se: periodization, zero padding, smoothing window, etc... O tipo de tratamento afeta o número de coeficientes em cada nível BE CAREFUL! Para sinais de comprimento N = 2M e tratamento por periodização: O máximo número de níveis é J = log2 N. A decomposição completa gera N log2 N coeficientes.

23 2D wavelet packets Caso mais simples wavelets ortogonais, mesma escala ao longo de x1 e x2. Lembrando: 2D-DWT. No caso da 2D-WP cada submatriz de aproximações e detalhes é completamente decomposta. Conhecido como Wavelet Packets Quad-trees. 1 Horizontal 2 Vertical 3 Diagonal

24 Wavelet packets quad-trees Quad-trees admissíveis quad-trees cujos nós têm zero ou quatro filhas. Qualquer quad-tree admissível corresponde a uma base ortogonal para sinais 2D. Uma decomposição por WP-2D com N1 = N2 = 2N até o nível máximo J = log2 N gera BJ árvores admissíveis, onde N 4 2 B J 2 49 N 48 4

25 Bancos de filtros para 2D Wavelet packets Bancos de filtros de 2D-WP são iguais a 2D DWT. A única diferença tanto aproximações quanto detalhes são decompostos. Decomposition Reconstruction

26 Ex.: decomposição de imagens...

27 Ex.: compressão de imagens com WPOriginal image Reconstruction with 10% largest best basis coefficients Reconstruction with 10% largest DWT coefficients

28 A transformada de wavelets estacionária (SWT) Transformadas de wavelets ortogonais e biortogonais têm êxito em algumas aplicações. Ex.: padrão de compressão de imagens JPEG 2000 com wavelets biortogonais. Para outras aplicações podem não ser tão boas. Eliminação de ruídos. Desconvolução e deblurring. Extração de características. Geralmente signais corrompidos por interferências informação distorcida ou incompleta.

29 A transformada de wavelets estacionária Ortogonal ou biortogonal variantes à translação dizimação por 2 em cada nível de decomposição. Para um sinal de comprimento N N decomposições diferentes (uma para cada rotação). Perda de dados dependendo do processamento realizado. Pseudo-Gibbs próximo às descontinuidades do sinal.

30 A transformada de wavelets estacionária Possíveis soluções: Trabalhe com transformada de wavelet contínua. Altamente redundante, computacionalmente custosa, problemas com reconstruções aproximadas, etc... Retire a dizimação transformada de wavelet ESTACIONÁRIA*. DWT decomposition 1 l k 2 n a m,k 2 k 1 d m +1,n = h k 2 n a m, k 2 k a m+1, n= UWT decomposition 1 l k n a m,k 2 k 1 d m +1,n = h k n a m, k 2 k a m+1, n= *A SWT também é conhecida como translation-invariant wavelet transform (TI-WT), undecimated wavelet transform (UWT), ε-decimated WT e algorithme à trous. [1] G. P. Nason and B. W. Silverman, The stationary wavelet transform and some statistical applications, in Lecture notes in statistics waveelets and statistics, A. Antoniadis and G. Oppenheim, Eds. New York: Springer-Verlag, 1995, pp [2] R. R. Coifman and D. L. Donoho, Translation-Invariant De-Noising, in Lecture notes in statistics wavelets and statistics, A. Antoniadis and G. Oppenheim, Eds. Springer-Verlag, 1995, pp

31 Decomposição por SWT Decomposição em cada subnível é realizada separando-se coeficientes indexados por pares e ímpares. Cada subvetor é decomposto separadamente. Obs.: filtro de separação (não é dizimação). Note that: c0 N samples c 1 [c e1, c o1 ] N samples c 2 [c 2,1, c 2,2 ] [[c e2,1, c o2,1 ], [c e2,2, c o2,2 ]] N samples c 3 [c 3,1, c 3,2, c 3,3, c 3,4 ] e [[c 3,1, c o3,1 ], [c e3,2,c o3,2 ]], [[c e3,3, c o3,3 ], [c e3,4, c o3,4 ]]

32 Reconstrução da SWT Reconstrução canônica recombinação das partes pares e ímpares seguida do filtro de reconstrução.

33 Realizações eficientes Algorithme à trous. Insira 2j 1 zeros entre cada coeficiente dos filtros ou Amostre o nível anterior com passos de 2j e deslocamentos simples.

34 Realizações eficientes WT invariante à translação (TI-WT). Sinais de comprimento finito N faça deslocamentos circulares em cada nível de decomposição. Execute o algoritmo piramidal em cada versão deslocada. Recombine os coeficientes de forma a obter a SWT. Sinal de comprimento N matriz com N x N coeficientes. A matriz contém as DWTs de todas as versões circulares do sinal. Reconstrução canônica média de cada 2 aproximações. Sinais 2D mesmo procedimento.

35 Ex: TI-table e Stat-table

36 Ex.: decomposição de imagens por SWT

37 Ex.: comparação de denoising por DWT and SWT DWT hard-thresholding SWT hard-thresholding

38 Ex.: denoising de imagens por SWT e DWT Original image Denoised by SWT Corrupted image Denoised by DWT

39 Ex.: denoising por SWT máximos de wavelets Linhas e máximos de SWT Cycle Spinning

40 Ex.: denoising por SWT máximos de wavelets