Análise multiescala de séries temporais GPS a partir de wavelets não decimadas para a investigação dos efeitos da

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1 Análise multiescala de séries temporais GPS a partir de wavelets não decimadas para a investigação dos efeitos da cintilação ionosférica Gabriela de O. N. Brassarote, Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT/ UNESP Rua Roberto Simonsen, 305, Presidente Prudente, SP, gabrielabrassarote@gmail.com, Eniuce M. de Souza Departamento de Estatística, UEM Av. Colombo, 5790, Maringá, PR, emsouza@uem.br, João F. G. Monico Departamento de Cartografia, FCT/UNESP Rua Roberto Simonsen, 305, Presidente Prudente, SP, galera@fct.unesp.br. Resumo: Devido às inúmeras possibilidades de aplicação, a teoria de wavelets tem sido utilizada nas mais diversas áreas de pesquisa. A Transformada Wavelet Discreta é a versão mais conhecida. Porém, o processo de decimação necessário para seu cálculo, faz com que ela seja sensível à origem, o que para algumas aplicações não é o ideal. Ao contrário, a Transformada Wavelet Discreta Não Decimada é invariante à translação, pois leva em consideração todos os elementos da amostra, de modo a representar uma série temporal com o mesmo número de coeficientes em cada escala, tendo o processo de decimação eliminado. Neste artigo pretende-se realizar uma análise multiescala/multirresolução de séries temporais não estacionárias a partir de wavelets não decimadas. Tal procedimento será aplicado na investigação do efeito da cintilação ionosférica nos sinais de satélite artificiais, de modo que informações e padrões escondidos, que não podem ser detectados no domínio do tempo, podem assim, ser explicitados no domínio espaço/freqüência. Palavras-chave: Wavelets Não Decimadas, Análise Multiescala, Séries Temporais, Cintilação Ionosférica, GPS. 1 Introdução A teoria de wavelets tem sido bastante difundida, proporcionando grandes avanços nas mais variadas áreas da ciência. Inúmeras são suas possibilidades de aplicações, podendo ser utilizadas para modelagem, decomposição, remoção de ruídos e/ou efeitos indesejados, compressão, detecção de singularidades, dentre outras aplicações. De modo geral, a versão decimada (Transformada Wavelet Discreta - TWD) é a mais conhecida. Ela é calculada através de um eficiente algoritmo desenvolvido por Mallat, denominado algoritmo piramidal, que usa filtros discretos e decimação por 2 (downsampling). Este processo elimina as amostras pares ou ímpares, de modo que no nível j tem-se metade dos coeficientes do nível anterior j 1. Aplicar uma decimação ímpar é equivalente a aplicar uma decimação par em 748

2 dados transladados de 1 elemento. A TWD depende da escolha da decimação, que corresponde à escolha de uma origem. Em algumas aplicações, no entanto, é necessário que o método não seja sensível à origem, ou seja, é preferível que seja invariante à translação, o que é conseguido com a Transformada Wavelet Discreta Não Decimada (TWDND), pois esta leva em consideração todos os elementos: pares e ímpares, fazendo com que um sinal seja representado com o mesmo número de coeficientes em cada escala. A crescente influência do GPS (Global Positioning System) na navegação e no sensoriamento remoto, é bastante evidente nos dias atuais. No entanto, até que o sinal do satélite chegue até seu receptor GPS, efeitos, muitas vezes severos, acabam por exercer influência sobre o sinal, ocasionando erros ou até mesmo a perda do sinal do satélite pelo receptor. A ionosfera é uma região plasmática da atmosfera que contém íons e elétrons em quantidade suficiente para afetar qualquer sinal que por ela passe. A cintilação ionosférica, que é irregularidade na densidade dos íons presentes na ionosfera, é ainda pior. Seus efeitos são mais severos em altas latitudes, em que sua ocorrência está relacionada com períodos de alta atividade solar, tempestades magnéticas e outras atividades extremas, e nas regiões equatorial e de baixas latitudes, onde ocorrem anomalias da ionização equatorial (AIE), principalmente no intervalo após o por do sol e antes da meia noite. O Brasil tem localização privilegiada para estudar a ionosfera por estar situado na zona equatorial e sofrer seus intensos efeitos, além dos impactos das altas atividades solares. Neste artigo pretende-se investigar o comportamento do efeito da cintilação ionosférica nos sinais GPS a partir de uma abordagem de séries temporais (ST) que vá além das metodologias clássicas, as quais supõe estacionariedade [4], pois devido às irregularidades e espalhamento da camada F da ionosfera, os efeitos da cintilacão nos sinais de satélite podem ser não estacionários. Uma análise tradicional de wavelets, por si só já permite uma análise não paramétrica para ST não estacionárias. No entanto, para uma análise completa em multiescala será utilizada a TWDND, em que o mesmo número de coeficientes correspondentes a todos os instantes de tempo em que os dados foram coletados é mantido para cada escala. Informações e padrões escondidos, que não podem ser detectados no domínio do tempo, podem assim, ser explicitados no domínio espaço/freqüência. 2 Aspéctos Teóricos Wavelet é uma função ψ(t) L 2 (R) que satisfaz as seguintes propriedades [6]: ψ(t)dt = 0 e ψ 2 (t)dt = 1. Há duas funções que exercem papel primordial na Análise Wavelet, a função escala φ, conhecida como wavelet pai e a wavelet ψ, também chamada de wavelet mãe. A wavelet pai, pode ser expressa como φ(t) = 2 l h l φ(2t l) (1) em que h l é tido como um filtro passa-baixa, denominado filtro wavelet. Por outro lado, da relação entre os filtros h l e g l, g l = ( 1) l h 1 l (2) dita Relação do Filtro de Quadratura, tem-se que a wavelet mãe ψ pode ser definida como ψ(t) = 2 l g l φ(2t l), (3) 749

3 em que g l, por sua vez, é um filtro passa-alta denominado filtro escala. Através de dilatações e translações apropriadas para φ e ψ, descritas por φ j,l (t) = 2 j/2 φ(2 j t l) e ψ j,l (t) = 2 j/2 φ(2 j t l), j, l Z, (4) é possível construir bases para vários espaços de funções. Essa é a principal motivação para o desenvolvimento da Transformada wavelet (TW), cujo objetivo é expandir uma função f L 2 (R) utilizando-se de um conjunto de funções wavelets que possuem, por sua vez, localização espaço/frequência. Deste modo, tem-se que qualquer sinal f(t) L 2 (R) pode ser representado como [3] f(t) = c j0,lφ j0,l(t) + d j,l ψ j,l (t), (5) l j j 0 l em que c j0,l = f(t), φ j0,l(t) = d j,l = f(t), ψ j,l (t) = f(t)φ j0,l(t)dt, (6) f(t)ψ j,l (t)dt, (7) e j 0 representa o nível de resolução mais baixo. Os coeficientes descritos em (6) e (7), denominados coeficientes suave (ou wavelet) e detalhe (ou escala), respectivamente, são o resultado da filtragem da função f(t) L 2 (R), com os respectivos filtros wavelet e escala. Visando a aplicação prática em que utiliza-se sinais amostrados, dar-se-á nesse trabalho principal atenção à TWD, em especial, à TWDND. Portanto, daqui em diante será utilizada uma notação diferenciada para os coeficientes wavelet e escala da TWDND, denotando-os em forma matricial. A grande motivação para o uso da TWDND neste trabalho, é utilizar uma transformada que atua semelhantemente à TWD, mas não sofre sensibilidade na escolha da origem para uma ST, ou seja, é invariante à translação. Essa sensibilidade da TWD é devida inteiramente à decimação da produção dos filtros wavelet e escala de cada estágio (ou nível) do algoritmo piramidal, em que a cada duas saídas do filtro uma é descartada. A ideia da TWDND é eliminar a decimação, levando em consideração todos os elementos, e de modo a representar uma ST com o mesmo número de coeficientes em cada escala. As saídas dos filtros que são descartadas no primeiro nível do algoritmo piramidal da TWD, podem ser obtidas aplicando o algoritmo piramidal da TWD no vetor transladado T X ao invés de X, sendo X uma sequência de observações (ST). Isto sugere que a TWDND pode ser obtida aplicando o algoritmo piramidal usual (da TWD) duas vezes, uma vez para X e outra para T X, e depois interceptando os dois conjuntos de coeficientes da TWD [6]. Os coeficientes wavelet Wj e escala Ṽj da TWDND, do nível j, são calculados através dos coeficientes escala Ṽj 1 do nível j 1, assim como na TWD. No entanto, não há o processo de decimação, e os filtros são modificados a cada escala. Os coeficientes wavelet e escala da TWDND, podem ser vistos como o resultado da filtragem de uma série temporal X com os filtros wavelet e escala da TWDND, que serão apresentados a seguir. Os filtros wavelet } { hl e escala { g l } da TWDND, devem satisfazer e h l = 0, h 2 l = 1/2 e g l = 1, g 2 l = 1/2 e + + h l hl+2n = 0, g l g l+2n = 0, 750

4 respectivamente, para n um inteiro não-negativo. Dada uma ST {X t : t = 0,..., N 1}, o resultado da filtragem de {X t } com os filtros wavelet e escala da TWDND é dado, respectivamente, por L 1 W j,t = h j,l X t lmodn e Ṽj,t = g j,l X t lmodn, t = 0, 1,..., N 1. (8) Estas duas sequências dadas pela equação (8) constituem a TWDND do nível j, e estipula que os elementos } de W j, Ṽj e Ṽj 1 são obtidos filtrando circularmente {X t } com os respectivos filtros { hj,l, { g j,l } e { g j 1,l }. Além disso, pode-se mostrar (ver seção 5.5 [6]) que é possível obter W j e Ṽj pela filtragem de Ṽj 1 através das fórmulas e W j,t = h l Ṽ j 1,t 2 j 1 lmodn, t = 0, 1,..., N 1 (9) Ṽ j,t = g l Ṽ j 1,t 2 j 1 lmodn, t = 0, 1,..., N 1. (10) As equações (9) e (10) constituem o algoritmo piramidal da TWDND, e podem ser escritas na forma matricial como W j = B j Ṽ j 1 e Ṽj = ÃjṼj 1, em que as linhas de B } j contém a versão de { hj transladada circularmente depois de ter sofrido um upsamle de largura 2 j 1 (L 1) + 1 (que consiste em inserir 2 j 1 zeros entre cada um dos L valores do filtro original) e então periodizada para comprimento N, e com uma construção similar para Ãj baseada em { g j }. A TWDND também possibilita reconstruir Ṽj 1 de W j e Ṽj. A TWDND inversa pode ser calculada via algoritmo piramidal inverso, descrito pela seguinte equação Ṽ j 1,t = h l Wj,t+2 j 1 lmodn + g l Ṽ j,t+2 j 1 lmodn, t = 0, 1,..., N 1. Ou ainda, na forma matricial, Ṽ j 1 = B T j W j + ÃT j Ṽj. O periodograma é um estimador do espectro de wavelets, sendo calculado a partir dos coeficientes wavelets da TWDND dada em (8). Através dele, tem-se a energia do processo (ST) decomposta em diversas escalas e com localização espaço/frequência. O periodograma de wavelets da ST {X t } é dado por [3] I j,t = W 2 j,t (11) em que W j,t = L 1 h j,l X t lmodn, t = 0, 1,..., N 1. Cada coeficiente de (11) é representado através de uma linha vertical traçada a partir de uma linha horizontal de referência para cada nível. Os coeficientes em cada nível são espaçados de modo a representar sua localização. O periodograma fornece uma boa descrição de onde as mudanças significativas estão localizadas na função. Mudanças abruptas na função correspondem proporcionalmente a coeficientes de grande magnitude. 751

5 3 Aplicação e Resultados A fim de investigar a ST do efeito da cintilação ionosférica nos sinais de satélites artificiais, foram coletadas observações no período de 14 de fevereiro de 2011 a 31 de dezembro de 2012, provenientes de um satélite escolhido aleatoriamente, cujo receptor está localizado na FCT/Unesp, na cidade de Presidente Prudente. O receptor é da Septentrio PolaRxS, o qual representa o estado da arte em receptores para rastreamento de multiconstelações e tripla freqüência no monitoramento da ionosfera. Possue tecnologia OXCO para um ruído baixíssimo e permite intervalos de coleta de até 100 hz. Inclue o cálculo de índices de cintilação S4 e σφ para monitoramento e banda de frequência. Para maior agilidade no processamento, foram utilizadas apenas as informações coletadas em intervalos de um minuto no período de 3 meses. O gráfico da série aparece plotado na Figura (1). A implementação foi realizada em linguagem R ( em que rotinas de código aberto, tais como os pacotes wavethresh, tseries, dentre outros, foram utilizados nesse artigo. O índice de amplitude S4 que aparece na Figura (1) é o indicador de cintilação ionosférica. Se S4 1.0 o nível de cintilação é classificado como forte, quando 0.5 S4 1.0 a cintilação é de intensidade moderada, e tem-se cintilação fraca para 0 S Figura 1: ST do efeito da cintilação ionosférica originada a partir dos dados coletados e processados. No procedimento de investigação do efeito da cintilação ionosférica, aplicou-se a TWDND à ST para a obtenção dos coeficientes wavelet e escala dados em (8) considerando-se a família de wavelets Symmlets com 10 momentos nulos (SYM10)[2]. Na Figura (2) é possível visualizar o espectro wavelet estimado através do periodograma a partir da ST e descrito pela equação (11). Os coeficientes em cada escala foram escalonados para que fosse possível visualizar as informações em todas as escalas. Na Figura (2) é possível identificar alguns níveis de resolução, principalmente o 7, em que a representação dos coeficientes é expressiva para todo o período em que há a presença de dados. 4 Considerações Finais Os resultados apresentados são iniciais. Diversas investigações ainda serão realizadas. Embora estejam disponíveis dados durante 2 anos e com intervalo de coleta de 50 hz, só foi possível processar observações com intervalo de 1 minuto no período de 3 meses. Devido à redundância de informações da TWDND (necessária nessa análise) e à grande quantidade de dados, o esforço computacional exigido é bastante expressivo. 752

6 Figura 2: Periodograma da ST do efeito da cintilação ionosférica. 5 Agradecimentos Este trabalho está sendo desenvolvido com o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP, através de atribuição de bolsa de mestrado à primeira autora. Referências [1] CHATFIELD, C.:The Analysis of Times Series: An Introduction, Chapman and Hall: London, [2] DAUBECHIES, I: Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia, PA, [3] MORETTIN, P. A. Ondas e Ondaletas: da análise de Fourier à análise de ondaletas. EDUSP, São Paulo, [4] MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. M. C: Análise de Séries Temporais, Edgar Blucher: São Paulo, [5] NASON, G. P.; SILVERMAN, B. W. The stationary wavelet transform and some statistical applications. In Lecture Notes in Statistics, n. 103, Springer-Verlag, 1995, [6] PERCIVAL,D.B., WALDEN, A.T.:Wavelets Methods for Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, England,