Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 04 - Análise Tempo-Frequência

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1 de Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 04 - Prof. (eduardo.simas@ufba.br) Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal da Bahia

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3 de Em muitos casos práticos as características do sinal variam com o tempo. Por exemplo, numa música é possível perceber a mudança nos componentes de frequência (graves - baixas frequências e agudos - altas frequências) ao longo de sua execução. Outros exemplos de sinais variantes no tempo: - Sinais do sistema elétrico; - Sinais de instrumentação biomédica (eletrocardiograma, eletroencefalograma, etc); - Áudio em geral (voz, música, sinais acústicos de máquinas elétricas, etc); - Vídeo Nestes casos, é importante realizar o processamento dos sinais de modo que seja possível explorar, ao mesmo tempo, os domínios do tempo e da frequência.

4 Resolução nos Domínios do Tempo e da de Na análise tempo-frequência há sempre um compromisso entre as resoluções obtidas em cada domínio. Para obtermos uma boa resolução no domínio da frequência é preciso de uma maior janela de tempo e, consequentemente para curtas janelas de tempo não é possível obter boa resolução na frequência. Essa limitação é mostrada na figura abaixo em termos da caixa de Heisenberg ou átomo tempo-frequência.

5 Resolução nos Domínios do Tempo e da de Percebe-se então que, é preciso manipular adequadamente a transformação tempo-frequência de modo que os requisitos de resolução sejam atendidos em ambos os domínios. Existem duas formas mais comuns de realizar a análise tempo-frequência (que serão apresentadas a seguir): A análise de (ou Janelada) A análise de A principal diferença entre elas é que na primeira a resolução tempo-frequência é mantida constante em toda a análise do sinal e na segunda é possível realizar o que é definida como uma análise multi-resolução. Ou seja, a transformada permite variar a resolução da transformação tempo-frequência no decorrer da análise do sinal.

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7 de de Na análise de (do inglês Short-Time Fourier Analysis) o sinal temporal é sub-dividido em janelas de curta duração e a transformada de Fourier é calculada para cada janela. As janelas temporais podem ser definidas com ou sem superposição entre as janelas adjacentes. As funções janela mais utilizadas são as semelhantes às vistas anteriormente para o projeto de filtros FIR: - Retangular; - Triangular; - Hamming; - Hanning; -... Lembrando que janelas de cortes abruptos (ex. retangular) geram oscilações de Gibbs nos componentes de frequência estimados.

8 de de A de (STFT - Short-Time Fourier Transform) é então definida, no domínio discreto como: X (m, ω) = x[n]f [n m]e jωn sendo f [n] uma função janela de comprimento limitado L. Ou seja: f [n] = 0, se n < L/2 Numa implementação prática, o deslocamento no tempo (representado pelo parâmetro m) não pode ser realizado continuamente. Neste caso, deve-se escolher um conjunto de valores discretos de m um espaçamento m pré-determinado. Quando m < L há superposição entre as janelas adjacentes.

9 de de Para a apropriada visualização dos resultados da STFT pode-se utilizar: - Gráficos 3D: onde os eixos x e y estão associados ao tempo e à frequência, e o eixo z à amplitude dos componentes. - Gráficos 2D: nos quais os eixos x e y estão associados ao tempo e à frequência, e a amplitude é indicada por um código de cores. Esta visualização é normalmente chamada de Espectrograma. O espectrograma pode ser considerado como uma vista superior do gráfico 3D.

10 Visualização 3D da STFT - Exemplo 1 de

11 Visualização 3D da STFT - Exemplo 2 de As cores podem ser associadas à intensidade ou à energia associada aos componentes de frequência.

12 Exemplo de Visualização 2D da STFT (Espectrograma) de No início o sinal não tem informação em qualquer frequência; Logo a seguir (p/ T < 2) aparecem componentes de baixa frequência; Para T > 2 começam aparecer componentes de frequência mais alta; Quando 6 < T < 8 a energia está concentrada em algumas faixas de frequência; Em T > 10 percebe-se que há energia em quase toda a faixa de frequências analisada (provavelmente representando contaminação por ruído branco).

13 Outras s Janeladas de O conceito do janelamento do sinal temporal para a realização de uma análise tempo-frequência também pode ser estendido para outras transformadas como a da Cossenos. Essa abordagem dá origem à modified discrete cosine transform (MDCT), que utiliza janelas adjacentes com sobreposição de 50% e atualmente é aplicada em diversos algoritmos de compactação de áudio como: MP3, AC-3, Vorbis, WMA, ATRAC, Cook e AAC.

14 Limitações da STFT Conforme mencionado anteriormente, a análise tempo-frequência janelas e transformadas com funções de base invariantes (senos e/ou cossenos) apresenta uma limitação inerente que é a resolução fixa. de Ou seja há um compromisso entre as resoluções possíveis de serem obtidas nos dois domínios (não se pode ter uma excelente resolução tanto no tempo como na frequência). Isso pode se tornar um problema a depender da aplicação. Um modo de contornar essa limitação é utilizar transformadas com funções de base variáveis, como as s.

15 Exemplos utilizando o Matlab de Para realizar análise de Fourier em janelas, o Matlab dispõe de rotinas nativas como o spectrogram. Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de áudio (músicas) e visualizar a mudança nos componentes de frequência à medida que as músicas se desenvolvem no tempo. Foram utilizadas as músicas a seguir (disponíveis para download juntamente com esse módulo de slides no arquivo ExMusicasPDSaula04.mat): - y1: Música Carinhoso, executada pela OBMJ (Orquestra Brasileira de Música Jamaicana); y2[-]: Música I Could Have Died for You, executada pelos Red Hot Chili Peppers. As músicas podem ser importadas com o comando load.

16 Exemplos utilizando o Matlab de Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir: figure;spectrogram(y1(1:t*fs),t*fs/100,[],nfft,fs);, e A sintaxe do comando garante que: - O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos; - Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposição de 50 % e duração T/100; - A FFT é realizada com Nfft pontos. Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 e Nfft=2048. Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os parâmetros acima para verificar sua influência na apropriada visualização das informações de interesse no sinal. Para executar os arquivos em formato de áudio utilizem os comandos wavplay (que executa diretamente do Matlab, mas só funciona com SO Windows) ou wavwrite (gera um arquivo.wav para ser executado através de um programa apropriado).

17 Espectrograma do sinal y1 de

18 Espectrograma do sinal y2 de

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20 de Para analisar estruturas de sinais com escalas diferenciadas em ambos os domínios é necessário utilizar átomos tempo-frequência com diferentes suportes temporais. A transformada wavelet decompõe um sinal em versões escalonadas e transladadas das funções wavelet. Uma wavelet é definida como uma função ψ L 2 (R) com média zero: ψ(t)dt = 0, normalizada ψ = 1 e centrada em torno de t = 0. Um dicionário de átomos tempo-frequência é obtido do escalonamento por s e da translação por u de ψ: { D = ψ u,s(t) = 1 ( ) } t u ψ s s u R,s R +

21 de A transformada do sinal f no tempo u e escala s é definida por: W f (u, s) = f (t) 1 ( ) t u ψ dt s s Exemplo de uma função wavelet tipo spline cúbico (a) e sua respectiva transformada de Fourier (b):

22 Multiresolução de Um átomo tempo-frequência wavelet corresponde a uma caixa de Heisenberg centrada em (u, η/s) de comprimento sσ t no tempo e σ ω /s na frequência. A área do retângulo permanece constante, mas a resolução no tempo e na frequência dependem do fator de escala s.

23 A Família de s Daubechies As wavelets tipo Dalbechies foram propostas por Ingrid Daubechies. São funções wavelet ortogonais muito utilizadas em análises através da de, pois são funções limitadas no tempo. de

24 A Família de s Daubechies As funções podem também serem definidas em mais de uma dimensão, como por exemplo a Daubechies 20 2-d: de Com funções wavelet limitadas no tempo (definidas por séries de suporte temporal finito) é possível realizar o processamento discreto através da (Discrete Transform).

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26 de Para operar em sistemas digitais a transformada precisa ser executada de modo discreto. Um modo eficiente para realizar a (Discrete Transform) é através de filtragens sucessivas do sinal discreto x[n]. Considerando dois filtros digitais (filtros espelhados em quadratura) com sequências de resposta a impulso finitas g[n] (passa-baixas) e h[n] (passa-altas), o sinal de interesse x[n] é então decomposto em: y Low [n] = k= Graficamente temos: x[k]g[2n k] e y High [n] = k= x[k]h[2n k] Percebe-se que após a filtragem, os sinais são sub-amostrados por um fator de 2.

27 de A sub-amostragem é viável pois após os filtros temos: - em y Low [n] apenas a primeira metade dos componentes de frequência do sinal x[n] e - em y High [n] apenas a segunda metade dos componentes de frequência do sinal x[n]. Assim, é possível reduzir a frequência de amostragem (por um fator igual a 2) e ainda assim manter válido o teorema de Nyquist. Os coeficientes dos filtros g[n] e [h[n] estão relacionados com as funções utilizadas na decomposição. Conforme definição, a com um único nível de decomposição é capaz de dividir em duas faixas de frequência o sinal original e gerar dois sinais temporais concentrando essas informações

28 Se for necessário explorar outras faixas de frequência pode-se realizar sucessivas decomposições: de O espectro de frequências fica então mapeado conforme mostrado a seguir:

29 de Uma nomenclatura normalmente adotada para a análise via considera que: - y Low [n] = g 1[n] são os coeficientes de aproximação do primeiro nível de decomposição do sinal x[n] e - y High [n] = h 1[n] são os coeficientes de detalhe do primeiro nível de decomposição do sinal x[n]. Considerando um nível de decomposição genérico k, temos: - g k [n] os coeficientes de aproximação do nível k; - h k [n] os coeficientes de detalhe do nível k. Devido à subamostragem, g k [n] e h k [n] tem uma redução de 2 k no número de amostras em comparação ao sinal original x[n]. = Um aspecto interessante da é que os sinais g k [n] e h k [n] preservam a informação no domínio do tempo referente a faixas de frequência específicas.

30 Packet Decomposition de Conforme visto anteriormente, a estrutura de decomposição definida na normalmente envolve apenas a operação sequencial sobre os coeficientes de aproximação, o que proporciona uma crescente resolução em baixas frequências. Se for necessário explorar mais detalhadamente também outras regiões do espectro, pode-se modificar a estrutura da tradicional, dando origem ao que se chama Packet Decomposition (ou WPD):

31 Packet Decomposition Com a WPD o espectro de frequências pode ser mapeado de modo regular: Sinal Original de fm Decomposição de Nível 1: fm/2 fm Decomposição de Nível 2: Freq Freq fm/4 fm/2 3fm/2 fm Freq

32 Exemplo - de Considerando um sinal acústico de curta duração como: Amplitude (V) a b Time (s) 0.15 E realizando-se uma decomposição do tipo : X[k] 2 d 1[k] 2 d 2[k]... 2 h 1[k] h 2[k]... c d m[k] h m[k]

33 Exemplo - de Após 5 níveis sequenciais de decomposição chega-se a: Signal d1 d2 d3 d4 d Number of points A cada nível o sinal é sub-amostrado por um fator de 2 e representa as informações de frequências mais baixas.

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35 de Entre as principais aplicações da (e da WPD) pode-se mencionar: - Extração de Características - Remoção de Ruído - Compressão de Sinais No exemplo mostrado no Slide 31, a foi utilizada para extrair características do sinal acústico. Naquela aplicação, os coeficientes de aproximação de ordem 5 foram utilizados para inferir informações acústicas a respeito da condição de operação de um transformador auto-regulado (OLTC - On-Load Tap Changer).

36 Denoising de O processo de filtragem de ruído utilizando wavelets (conhecido como Denoising), pode ser resumido pelo diagrama a seguir: x[n] + N[n] Patamar I x[n] A etapa patamar se refere à eliminação dos coeficientes de detalhe d k [n] que sejam inferiores a um valor limite pré-estabelecido: { 0, dk [n] λ d k [n] = m d k [n], d k [n] > λ m = Escolha de λ m : - quanto menor λ m, menor a intensidade da filtragem; - com valores muito elevados de λ m pode-se acabar eliminando o sinal de interesse.

37 Denoising - Exemplo Sinais original, ruidoso e filtrado com Denoising: de

38 Compressão da informação com s de De modo análogo ao realizado no processo de remoção de ruído, a compressão da informação s pode ser realizada a partir da eliminação de um conjunto de coeficientes pouco representativos da informação de interesse. O sinal compactado (com menor número de coeficientes) pode ser utilizado para reconstruir a informação através da transformação wavelet inversa. Para compactação podem ser utilizados esquemas ou WPD.

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40 de Para analisar adequadamente sinais com características variantes no tempo é preciso fazer uso de extensões dos métodos tradicionais. O processamento deve ser capaz de descrever o sinal durante todo o período de análise. Para esse objetivo pode-se utilizar a análise tempo-frequência. Observamos que a análise tempo-frequência pode ser executada a STFT (transformada de tempo curto) ou a transformada. Nas análises tempo-frequência há uma relação de compromisso entre as resoluções possíveis nos domínios do tempo e da frequência. A análise via STFT apresenta resolução tempo-frequência fixa, enquanto a análise wavelet permite uma análise multi-resolução.

41 Bibliografia Consultada de Na elaboração destes slides foram utilizadas as fontes a seguir: - MALLAT, S. Tour of Signal Processing, The Sparse Way, Academic Press, DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais. Bookman, MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill, Algumas figuras foram retiradas na íntegra das referências acima.