2 Comportamento mecânico de dutos enterrados

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1 2 Comportamento mecânico de dutos enterrados Uma abordagem geral do comportamento de dutos enterrados e alguns trabalhos que tratam desse assunto serão expostos nesse capítulo. Primeiramente, trataremos sucintamente de algumas considerações abordados no livro: Structural Mechanics of Buried Pipes de Watkins and Anderson (2000) e em seguida os outros trabalhos. Esse livro abrange todas as questões referentes ao projeto de dutos enterrados e suas premissas, o qual se tornou importante nessa pesquisa, pois os aspectos básicos e práticos, como a integridade do duto, devem ser levados em consideração. 2.1.Considerações gerais sobre comportamento mecânico de dutos enterrados. Para avaliação da integridade de dutos enterrados, a fim de garantir seu bom funcionamento, é necessário verificar a resistência do mesmo aos três tipos de carregamento que devem ser suportados: pressão interna, cargas provenientes do transporte e instalação, e cargas externas. Simplifica-se a análise quando se assume que a seção transversal é circular e que, sendo o duto rígido, não há deflexão. Fazendo a verificação da resistência do duto em relação à pressão interna do fluido, o carregamento que o mesmo deve suportar é: P ( DI) S σ = = (2.1) 2A FS onde : σ = tensão na parede do duto P = pressão interna DI = diâmetro interno A = seção transversal do duto por unidade de comprimento S = módulo de elasticidade do material do duto

2 FS = fator de segurança Em relação à resistência às cargas impostas ao duto durante o transporte e instalação, a carga mais comum é a carga diametral mostrada na figura xxxx. Esta carga ocorre quando os dutos são empilhados ou quando o solo é compactado em sua lateral ou em seu topo. Se a resistência do material do duto é excedida devido a esse carregamento, a parede do duto sofrerá fissura ou a seção transversal do duto deformará permanentemente, conseqüências que não são toleráveis. Portanto a resistência ao escoamento do material do duto deve ser o limite de desempenho mesmo que o duto não colapse. Figura 1 Força lateral no duto devido ao transporte e instalação (Adaptado de Watkins and Anderson, 2000) Duas análises são requeridas para o transporte e instalação de dutos, cada uma com seu limite de desempenho correspondente: limite de escoamento e deflexão da seção transversal do duto. A primeira é aplicada a dutos rígidos e a segunda a dutos flexíveis. Considerando o carregamento externo na metade da seção transversal de um duto (semi-círculo), a força que deve resistir a esse carregamento é dada pela seguinte expressão: σ = P( OD) 2A = S FS (2.2) 21

3 onde : σ = tensão na parede do duto P = pressão externa DE = diâmetro externo A = seção transversal do duto por unidade de comprimento S = módulo de elasticidade do material do duto FS = fator de segurança Deformações em Dutos As deformações no duto acontecem sob qualquer carregamento. Para a maioria das análises de dutos enterrados essa deformação é tão pequena que pode ser negligenciada. Entretanto, para algumas análises as deformações no duto devem ser consideradas. O colapso deve ocorrer mesmo se as tensões não atingirem a resistência ao escoamento, entretanto só ocorre se o duto se deforma. As análises de ruptura requerem um conhecimento da forma da deformada do duto. Para uma pequena deflexão de um duto circular enterrado, a deflexão da seção transversal é uma elipse. A equação da elipse em coordenadas cartesianas x e y é: onde: a = raio menor da elipse b = raio maior da elipse r = raio do círculo de igual circunferência a x + b y = a 2 b 2 A circunferência de uma elipse é π (a + b) que é reduzido a 2πr para um círculo de igual circunferência. A deflexão do anel pode ser escrita em termos dos raios da elipse a e b: d = (2.3) D 22

4 onde : = decréscimo no diâmetro vertical da elipse de um círculo de igual circunferência. = 2r = diâmetro médio do círculo a = r(1-d) para pequenas deflexões no anel (< 10%) b = r(1+d) para pequenas deflexões no anel (< 10%) Assumindo que as circunferências são as mesmas para o círculo e a elipse e que a deflexão vertical do anel é igual à deflexão horizontal, a área da elipse é πab e A e 2 2 = π r (1 d ) (2.4) A razão das áreas da elipse e do círculo é: A r = Ae/A o A deflexão no duto devido à pressão interna ocasiona uma expansão no mesmo com aumento do seu raio e pode ser expressa por: r d = r onde: D 2πrε = = = ε (2.5) D 2πr d = deflexão do duto em percentagem r e D = incrementos devido à pressão interna r = raio médio D = diâmetro médio ε =deformação E = módulo de elasticidade σ = tensão Igualando σ = Εε à equação (1) temos que a deflexão é igual a: ' P ( DI ) d = (2.6) 2AE 23

5 2.1.2.Mecânica dos Dutos Em uma análise mecânica de dutos enterrados as forças são estaticamente indeterminadas devido à não uniformidade dos solos. A pressão interna, quando há, também é indeterminada. O desconhecimento dos carregamentos no solo é atenuado pela capacidade do solo de arquear sobre o duto aliviando o mesmo de uma parcela do carregamento. A estabilidade da seção transversal de um duto é a resistência à deformação devido a um carregamento constante causado por pressão interna, carregamento em suas paredes, ou pressão externa. A ruptura devido à pressão externa acontece quando ao atingir a tensão de escoamento o diâmetro da seção transversal do duto aumenta e a espessura da parede do mesmo diminui. Já em relação ao carregamento na parede do duto, a ruptura se dá por fratura ou flexão do duto quando o momento fletor é excessivo. O colapso é caracterizado pela ruptura ocasionada pela pressão externa. A instabilidade da seção transversal é uma deformação instantânea que progride em direção à inversão da curvatura, sendo na pior das hipóteses o colapso da mesma. Dutos enterrados podem sofrer inversão apenas se a sua seção transversal sofrer deflexão e o solo deslizar concomitantemente. Portanto, a instabilidade de dutos enterrados é analisada como uma interação solo-estrutura. A rigidez do duto resiste à inversão e o solo suporta o duto ao mantê-lo em uma forma estável praticamente circular. O solo é resistente à inversão do duto. 2.2.Tensões em cilindros estruturais enterrados Höeg (1968) analisou a magnitude e a distribuição da tensão normal em cilindros enterrados em depósitos homogêneos de areia seca. Resultados experimentais, obtidos a partir de ensaios de laboratório empregando uma nova técnica para a medição das tensões de contato, foram apresentados. Vários procedimentos foram utilizados para a obtenção da tensão de contato na interface solo-cilindro, visto que é de grande importância para o entendimento do mecanismo de interação solo-estrutura. A caixa de aço utilizada para a investigação experimental foi projetada de forma que os movimentos radiais externos fossem suficientemente pequenos para 24

6 justificar a suposição de que as tensões laterais possam ser determinadas na condição K 0 (coeficiente de empuxo no repouso). A pressão de ar foi aplicada na superfície do solo através de uma bolsa de neoprene e o cilindro de teste foi enterrado a uma distância constante da base da caixa em todos os experimentos, variando-se a profundidade da cobertura de solo acima do topo do cilindro. O solo utilizado nos experimentos foi uma areia uniforme consistindo de partículas arredondadas de quartzo que passam nas peneiras #20 e #30. A areia foi uniformemente lançada na caixa de ensaios por uma técnica previamente testada no MIT, obtendo-se uma densidade relativa aproximadamente uniforme. Em todos os testes a resultante da tensão de contato teve uma pequena componente ascendente. O equilíbrio da força vertical foi mantido pela resultante descendente da força de atrito na interface. Um outro enfoque dado por Höeg (1968) foi uma análise através de uma formulação matemática que satisfazia as condições de compatibilidade de deformações na interface solo-duto de um sistema idealizado. O solo utilizado foi assumido como material isotrópico, homogêneo e com relação tensão x deformação linearmente elástica. O caso básico analisado é mostrado na Figura 2 e se constitui de um exemplo de deformação plana, isto é, a deformação na direção z (ao longo do eixo do duto enterrado) e as tensões cisalhantes τ rz e τ θz são consideradas nulas. Os limites denotados por AB, CD, AC e BD são assumidos como afastados (afastamento D) e o peso específico do solo não é levado em consideração nesta análise. 25

7 θ A p B kp r θ kp (ν,m) C D p u v v w θ τ σ θ σ θ + dθ θ τ r r + σ rθ σ dr rθ + dθ θ τ r rθ τ rθ τ rθ + dr r σ r τ rθ σ θ r R Figura 2 Análise por deformação plana (Höeg, 1968) Um carregamento normal é aplicado sobre os quatro contornos ilustrados na Figura 2, onde o carregamento horizontal equivalente a k vezes o valor da intensidade do carregamento vertical prescrito. A formulação assume simetria em relação aos eixos horizontal e vertical passando pelo centro do duto. A distribuição de tensões e deformações depende da rigidez relativa entre o duto e o solo. Dois valores foram usados na modelagem do problema, definidos por: Onde: C = taxa de compressibilidade = M 1 ν Ec 1 ν c c D t 1 1 2ν M D F = taxa de flexibilidade =, 4 1 ν Ec t 1 ν M = módulo unidimensional; ν = coeficiente de Poisson do solo; E c = módulo de elasticidade; ν c = coeficiente de Poisson do material do duto; D = diâmetro médio do duto; 3 (2.7) (2.8) 26

8 t = espessura. O parâmetro C, definido para uma pressão radial uniforme, é a compressibilidade do duto estrutural relativa a um duto sólido de solo. A taxa adimensional, F, relaciona a flexibilidade do duto estrutural com a compressibilidade de um duto sólido de solo, sendo que um alto valor de F significa que o duto possui uma baixa rigidez à flexão. Um sistema solo-duto com valores de C e F iguais a zero diz respeito a um duto enterrado perfeitamente rígido. Como as tensões radiais e tangenciais dependem dos parâmetros de rigidez relativa (C e F) entre o duto enterrado e o meio circunvizinho, estas podem tornar-se de tração em uma fina zona da interface solo-duto, em regiões do topo e nas laterais do duto. Como o solo suporta pouca ou nenhuma tração, é necessário então modificar-se a análise matemática redistribuindo-se as tensões ao longo do duto. Próximo à interface solo-duto as tensões cisalhantes podem tornar-se maiores do que a resistência ao cisalhamento local, devendo ser empregada uma teoria elastoplástica para cálculo das correspondentes tensões, deformações e deslocamentos. Algumas considerações foram feitas para a ocorrência de deformações plásticas, analisando-se os efeitos em uma camada fofa na interface solo-duto. A condição de compatibilidade de deslocamentos na interface foi neste caso expressa como: w u = = h (2.9) r R onde, w = deslocamento radial da parede do duto R = raio do duto u r=r = deslocamento radial no meio para r=r h = deformação da camada na interface solo-duto sob pressão radial uniforme 2.3.Comportamento de Dutos de Concreto Enterrados Krizek e McQuade (1978) utilizaram os resultados de ensaios experimentais do comportamento de dutos para aferição do modelo de previsão de tensões baseado no método dos elementos finitos. O objetivo foi calcular a reação de oito dutos enterrados de concreto localizados em diferentes locais dos Estados Unidos: dois em 27

9 East Liberty, Ohio e seis em Mountainhouse Creek, Califórnia. Levou-se em consideração a distribuição de tensões na interface solo-duto e a mudança do diâmetro do duto. Para o caso dos dutos em East Liberty consideraram-se também as tensões e deformações do solo imediatamente adjacente aos mesmos. a) Ensaios em East Liberty Duas campanhas de ensaios experimentais de campo, uma em aterro e a outra em trincheira, foram feitas no Ohio Transportation Research Center em East Liberty. Cinco dutos de concreto, instrumentados, com 1,5 m de diâmetro interno, foram colocados em cada uma das situações descritas (aterro ou trincheira) com uma cobertura de solo de 7,6 m. Vários ensaios de laboratório foram executados para determinar as propriedades mecânicas dos solos nestes dois casos: deformação uniaxial, ensaio triaxial convencional com medidas de deformação radial, ensaio de deformação plana e ensaio triaxial. As observações de campo e as determinações das densidades relativas feitas durante o processo de instalação dos dutos indicaram uma considerável variação no solo, especialmente no material granular do reaterro. Na aplicação de programa de elementos finitos para previsão das tensões nos dutos, procurou-se incorporar, ao menos qualitativamente, a influência da densidade relativa do solo (fofa, média, densa) utilizando-se valores compatíveis de propriedades geomecânicas. b) Ensaios em Mountainhouse Creek Seis ensaios experimentais executados em Mountainhouse Creek foram analisados pelo método dos elementos finitos a fim de se determinar os efeitos de várias condições de acamamento do solo no comportamento de dutos de concreto. A maior dificuldade na simulação do comportamento dos dutos pelo método dos elementos finitos foi quantificar adequadamente as propriedades geotécnicas do solo, pois não foram feitos ensaios de laboratório específicos para sua quantificação. As propriedades foram estimadas com base na experiência ganha na análise dos resultados de East Liberty e nas sugestões obtidas no livro Structural Behaviour of a Concrete Pipe Culvert de Davis, Bacher e Obermuller (1974) 28

10 Pode-se observar pelas distribuições das tensões normais e cisalhantes, que há variação nas tensões na interface devido às diferentes condições de acamamento. Os dados experimentais para a tensão normal são considerados um tanto não-confiáveis devido ao vazamento de óleo e a falta de estabilidade em longo prazo das medidas. A maior parte desses dados mostra que não há uma boa concordância com as simulações feitas. Em uma outra abordagem do trabalho de Krizek e McQuade (1978) foram verificadas as deformações no solo adjacente e a mudança no diâmetro do duto para o caso da East Liberty (aterro e trincheira). Já para o Mountainhouse Creek foi apenas verificada a variação no diâmetro do duto. No caso da East Liberty os deslocamentos verticais precisos foram obtidos a partir de pontos discretos em cada uma das situações (aterro e trincheira) pelo uso de placas de recalque quadradas com 0,5m de lado. Um total de 22 placas (11 no plano vertical que passa pelo eixo longitudinal do duto e 11 no plano vertical que é perpendicular a este) foi utilizado na instalação do aterro. Outras oito foram utilizadas na instalação da trincheira, no plano vertical que passa pelo eixo longitudinal do duto. Para tais placas no plano longitudinal em cada caso, os deslocamentos foram medidos relativos à parede do duto e os dados resultantes foram interpretados para fornecer deformações verticais em pontos discretos desses planos. As comparações das variações no diâmetro, medidas e calculadas, para o aterro e a trincheira resultaram que no caso do aterro a maioria das comparações está relativamente boa, exceto para as discrepâncias na variação do diâmetro vertical em valores maiores do que 5 m de aterro, o que pode ser explicado pelas mudanças que acontecem no sistema com os 4 meses de construção. Embora não se percebeu fissura no duto durante e depois deste estágio de carregamento, um aumento rápido na mudança do diâmetro medido sugere que microfissuras não visíveis devem ter ocorrido. Já para a trincheira encontram-se casos em que são previstas mudanças no diâmetro menores do que os valores medidos, embora para valores maiores que 6 m mostre uma boa concordância. Para as análises de mudança de diâmetro no Mountainhouse Creek verificouse que há algumas discrepâncias em relação à magnitude dos resultados. A altura máxima do aterro difere em cada zona, pois o modelo matemático não é capaz de simular a reação do duto de concreto quando as fissuras se tornam excessivas. Para a 29

11 maioria das zonas é difícil fazer uma comparação válida entre os resultados calculados pelo modelo matemático e as reações medidas no campo para aterros com altura menor do que 3,7 m porque para essa variação de altura os dois modos principais para medir a mudança no diâmetro (extensômetro e fotogrametria) não apresentam concordância. Por outro lado, para altura do aterro maior do que essa, a diferença entre as medidas é de 5 %. A explicação mais lógica para as discrepâncias em aterros com baixa altura é a precisão insuficiente das medidas para variações pequenas no diâmetro. Outra anomalia na variação da altura do aterro é a existência da variação do diâmetro horizontal sendo negativa e a vertical positiva. Desde que as mudanças no diâmetro horizontal e vertical podem ser positivas e negativas respectivamente, o inverso observado com o sinal pode ser resultado do assentamento impróprio do duto. Isso pode ocorrer principalmente devido à forma do acamamento ou à má compactação do aterro na vizinhança do duto, ou ambos, resultando em uma distribuição assimétrica das tensões na interface ao longo do duto. 2.4.Estudo experimental da influência da rigidez relativa duto-solo no momento fletor e no deslocamento vertical do duto Valores do momento fletor e do deslocamento vertical do duto foram obtidos por Shmulevich e Galili (1986) utilizando, em ensaios de laboratório, uma caixa de solo (Figura 3) com o objetivo de verificar a interação solo-estrutura. Foram considerados cinco dutos construídos em fibro-cimento e um duto em poliéster reforçado com fibra de vidro, todos com 2m de comprimento, diâmetro variando entre 0,83m a 1,3m e espessura de parede entre 9,9 mm e 62 mm. p 0 aterro 0.3 m 2.5 m berço 3.0 m Figura 3 Esquema da caixa do ensaio experimental 30

12 Extensômetros foram utilizados para a obtenção dos deslocamentos radiais em 36 pontos igualmente espaçados ao redor do perímetro e 24 medidores de deformação (strain gages) foram empregados para a avaliação das deformações tangenciais nas superfícies interna e externa do duto a cada intervalo de 30 o. Os valores das deformações tangenciais foram empregados para a estimativa do momento M através da equação (Ford e Alexander, 1977): ( ) M k ε ε 0 (2.10) = i onde, ε i, ε 0 = deformações tangenciais nas paredes interna e externa do duto respectivamente; k ri t r ri E r = (2.11) com r 0, r i = raios externo e interno do duto, respectivamente; t = espessura da parede do duto E = módulo de elasticidade do material do duto. A distribuição dos momentos fletores M ao redor da interface solo-duto é mostrado na Figura 4(duto rígido) e Figura 5 (duto flexível). Momento Fletor (Nm/m) zero topo do duto base da caixa 50 kpa de pressão 100 kpa 150 kpa Ângulo em graus medido em sentido horário a partir do topo Figura 4 Momento fletor avaliado a partir de deformações ao longo do duto sob areia. Ângulo de acamamento de 90 o e 85% de compactação Proctor Normal (Shmulevich and Galili ) 31

13 Momento Fletor (Nm/m) zero topo do duto base da caixa 50 kpa de pressão 100 kpa 150 kpa 200 kpa Ângulo em graus medido em sentido horário a partir do topo Figura 5 Momento fletor avaliado a partir de deformações ao longo do duto sob areia. Ângulo de acamamento de 120 o e 97% de compactação Proctor Normal (Shmulevich and Galili ) Como pode ser observado, os momentos fletores aumentam com a rigidez do duto e decrescem com o grau de compactação do solo acima do duto. O valor máximo M máx do momento normalmente ocorre na região inferior de dutos rígidos (Figura 4) ou na região superior de dutos flexíveis (Figura 5). 2.5.Distribuição de tensões no solo ao redor de dutos enterrados A distribuição de tensões ao redor de dutos foi estudada por muitos pesquisadores. Devido às dificuldades experimentais na avaliação das tensões de cisalhamento na interface solo-duto, a maioria das pesquisas se limitou à avaliação das tensões normais. Ainda assim, vários resultados (Höeg, 1968; Krizek, 1978) tiveram sua validade questionada em decorrência das técnicas de medição empregadas, geralmente com base em cálculos de pressão e medidores de deformação (strain gages). Para evitar problemas associados com a determinação experimental direta de tensões, alguns métodos indiretos foram sugeridos com base no cálculo de tensões através da teoria da elasticidade linear em função das deformações tangenciais do duto ou da medida dos deslocamentos radial e tangencial ao longo da interface soloduto (Gabriel e Dabaghinn, 1967). Outra possibilidade bastante utilizada é a previsão da distribuição das tensões através do emprego de uma técnica numérica, normalmente o método dos elementos finitos. Na maioria destas aplicações, constatou-se que o carregamento total sobre o 32

14 duto assume um resultado menor do que aquele previsto pelos métodos clássicos de projeto (Splangler e Handy, 1973) que não consideram a influência das tensões tangenciais. Para verificar e validar as previsões numéricas, Shmulevich et al (1986) estudaram experimentalmente a distribuição das tensões normal e tangencial na interface solo-duto, instrumentando a seção transversal média do duto enterrado com 12 transdutores de pressão igualmente distribuídos ao redor do perímetro. Foram considerados os mesmos dados dos ensaios do caso anterior com os mesmos dutos e as mesmas propriedades do solo. Os resultados experimentais, que incorporam os efeitos da rigidez relativa do duto, do tipo do solo e do seu grau de compactação, permitiram as seguintes conclusões de ordem qualitativa: a) O aumento da compactação do solo acima do duto (areia ou argila) torna os valores da tensão normal menores na parte superior do duto e maiores em suas laterais. b) Tensões normais nas laterais do duto são menores em dutos rígidos do que em dutos flexíveis. c) Tensões cisalhantes medidas ao longo da interface com a base de areia foram bem menores do que aquelas medidas na parte superior do duto. Para alguns pontos, situados aproximadamente a 45 o em relação ao eixo vertical, os valores da tensão cisalhante atingiram cerca da metade dos correspondentes valores da tensão normal, evidenciando, portanto, que as tensões cisalhantes ao longo da interface solo-duto não podem ser simplesmente ignoradas no projeto de dutos subterrâneos. 2.6.Distribuição de Tensões ao longo de dutos rígidos enterrados superficialmente Nas décadas de 1960 e 1970 várias investigações de campo e laboratório foram feitas com objetivo de determinar os efeitos da mudança de vários parâmetros de projeto, como a rigidez relativa entre o solo e o duto, a espessura da camada de cobrimento, a distribuição dos carregamentos, etc. Esses estudos levaram a um melhor entendimento do fenômeno de arqueamento no solo; assim, cargas são mais 33

15 direcionadas para a estrutura se esta for relativamente rígida, e mais transferidas para o solo se a estrutura for relativamente flexível. Anand (1976) utilizou o método de elementos finitos para calcular as tensões normais e tangenciais em dutos rígidos superficialmente enterrados, considerando várias configurações de cargas e propriedades dos materiais. As variações das cargas ao longo do duto, devido a diferentes larguras da superfície de carregamento, foram examinadas, bem como os efeitos de variação da rigidez relativa do sistema soloduto. Adicionalmente, compararam-se os resultados calculados com os valores experimentais disponíveis para melhor direcionar os trabalhos numéricos e experimentais a serem executados posteriormente. O problema foi tratado considerando-se o estado plano de deformação (análise 2D), sendo os resultados numéricos obtidos pelo método dos elementos finitos comparados com aqueles obtidos pela solução de Burns para uma casca cilíndrica enterrada em um semi-espaço elástico e sujeita a um carregamento de superfície. A formulação é estritamente aplicável para cascas enterradas a grandes profundidades, mas para o caso em análise, foi utilizada para dutos enterrados a profundidades iguais ou superiores a uma vez o seu diâmetro D. Em relação aos resultados experimentais obtidos por Höeg (1968) houve discrepâncias atribuídas ao fato de que na análise numérica pelo método dos elementos finitos não foi contemplada a possibilidade de deslizamento na interface solo-duto. 2.7.Coeficientes de reação do solo para dutos flexíveis enterrados. A literatura apresenta algumas formulações para a determinação do coeficiente normal de reação do solo k n através da teoria da elasticidade linear, considerando o maciço de solo como um meio isotrópico e homogêneo. Dentre elas destacam-se: a) k n = 2 Ri Es 1 R o 2 R R o i ( 1+ ν ) 1+ ( 1 2ν ) R s s (Luster, 1996) (2.12) 34

16 b) k = Es 2( 1 2ν )R (Meyerhof e Baike, 1963) (2.13) n 2 s c) k n Es = (Kloppel e Glock, 1970) (2.14) ( 1 +ν )R s Entretanto, e contrariamente às proposições acima, o coeficiente normal de reação do solo k n varia ao redor do duto, dependendo da densidade relativa do material granular do reaterro e da espessura do solo de cobertura. Okeagu e Abdel-Sayed (1984) investigam esta variação de k n considerando solos granulares com comportamento tensão x deformação representado pelo modelo hiperbólico (Duncan e Chang, 1970), com parâmetros constitutivos listados na Tabela 1 Tabela 1 Parâmetros hiperbólicos utilizados para elementos de solo Parâmetro Símbolo Densa Média-densa Resistência ao cisalhamento φ 45 o 45 o Razão de ruptura R f Parâmetro de módulo K Número de módulo n Número de Poisson G Número de Coeficiente de Poisson F Nota : 1. Módulo tangente de solos não coesivos : E t = {1-[R f (σ 1 -σ 3 )(1-senφ)/2σ 3 senφ]} KP a (σ 3 /P a ) n 2. Coeficiente de Poisson inicial ν 1 = G F log 10 (σ 3 /P a ) Após uma série de análises pelo método dos elementos finitos (elementos quadráticos planos para discretização do solo, elementos de viga para representação do duto e elementos de mola para a interface solo-duto) e considerando vários valores da razão H/D entre a espessura da camada de solo da cobertura da coroa H e o diâmetro do duto D, obtiveram a seguinte equação após o ajuste dos resultados numéricos pelo método dos mínimos quadrados: onde, 1 k = βγc Cθ α + ( 1 cosθ ) (2.15) n d 2 35

17 D θ β = 0,45 + 0,5 500 π γ = peso específico do material granular do reaterro C d 2 (2.16) D = 4,25 0,75 (2.17) θ C θ = 1 + 5, 4 (2.18) 4 π H α = (2.19) D considerando D medido em centímetros e θ o ângulo central medido a partir da coroa do duto. Okeagu e Abdel-Sayed (1984) também investigaram os valores do coeficiente tangencial de reação do solo k s, normalmente ignorado ou considerado de forma aproximada, admitindo-se que as molas de Winkler associadas à reação normal k n estão inclinadas do ângulo de resistência ao cisalhamento φ em relação à normal a parede do duto. Do mesmo estudo paramétrico pelo método dos elementos finitos, concluíram que o valor de k s pode ser assumido constante ao redor do duto, sendo estabelecido de maneira aproximada pela seguinte relação: k = 0,32 α + 1 (2.20) s C d 2.8.Restrição lateral do solo para duto enterrado Ng et al (1994) investigaram o uso de técnicas numéricas para prever o comportamento do duto quando sujeito a um carregamento lateral. Os resultados previstos foram comparados com os resultados de ensaios de campo para avaliar a eficácia das técnicas numéricas. Ensaios de trajetória de tensões em amostras de solo foram feitos para determinar as propriedades dos materiais do aterro e do solo adjacente. Os resultados desses ensaios e as informações do local são os parâmetros de entrada para a análise bidimensional por elementos finitos para prever a relação tensão-deformação do sistema solo-duto. 36

18 Um programa que usa o princípio de uma viga elástica em uma fundação elástica é adicionado aos resultados da análise pelo método dos elementos finitos para simular os ensaios de campo e comparar os resultados previstos com os resultados desses ensaios. Uma investigação geotécnica de campo foi feita para complementar os ensaios de carregamento com o intuito de quantificar a natureza e as propriedades mecânicas dos solos na proximidade do duto. Ensaios de penetração com cone dinâmico foram realizados usando uma sonda Mackintosh para identificar as diferentes camadas de solo. Três camadas distintas de solo foram encontradas: areia argilosa como material de aterro, o solo natural constituído de uma areia argilosa similar ao aterro e uma argila rija à profundidade de 2,6m. No laboratório foram feitos os ensaios de adensamento unidimensional, cisalhamento direto e compressão no triaxial, além dos índices físicos: determinação de umidade, peso específico, plasticidade e densidade. Ng et al fizeram três ensaios de trajetória de tensões, dois no aterro e um no terreno natural, para obter uma melhor estimativa das propriedades desses solos Ensaio de elemento unitário Para representar o solo do aterro e verificar a sua adequabilidade, utilizaramse três modelos diferentes para este solo: Cam clay modificado, Modelo elastoplástico e Modelo elástico não-linear. Ensaios de elemento unitário foram realizados para checar se os parâmetros de entrada se comportam bem. Um elemento quadrilateral de 8 nós foi usado para representar ¼ do corpo de prova do solo e análises axissimétricas foram feitas. Os resultados para o elemento A qualquer são mostrados na Figura 6. 37

19 Tensão desviadora (kn/m 2 ) Ensaio Triaxial Elastoplástico Elástico não-linear Cam Clay modificado Deformação Cisalhante (%) Figura 6 Resultados do ensaio do elemento unitário (Ng et al, 1994) Os resultados dos ensaios com elemento unitário mostram que tanto os modelos Elastoplástico quanto o Elástico não-linear simularam bem o ensaio triaxial. Para o Cam-clay modificado, as tensões de ruptura da análise são similares às dos modelos anteriores, mas as deformações são muito menores Análise por elementos finitos Fazendo-se a análise por elementos finitos e baseando-se na feita por Booth (1991) verificou-se que o movimento do solo se localizava na região da trincheira de forma que foi conveniente fixar o limite inferior do modelo na superfície da camada de argila rija e assumir que os deslocamentos foram restringidos nas duas direções. Os limites verticais estão afastados de 5 m do centro do duto sendo restritos na horizontal e livres na vertical. A malha bidimensional de elementos finitos consiste de 184 elementos quadrilaterais de 8 nós (Figura 7). y z x Figura 7 Malha de elementos finitos 2-D (Ng et al, 1994) 38

20 Com o objetivo de simular o movimento lateral de um duto rígido, todos os nós da cavidade estavam sujeitos ao mesmo deslocamento prescrito. Para a primeira análise os nós da cavidade foram restritos na direção y e nas análises subseqüentes estavam livres para deslocar. O programa de elementos finitos CRISP foi utilizado para a análise utilizando a aproximação de rigidez tangente para soluções não-lineares. A precisão no resultado depende da escolha do tamanho do incremento. Se forem usados incrementos muito pequenos, o método produz uma solução que tende a divergir da solução exata. Por essa razão foram feitas análises preliminares de onde se concluiu que se obtêm resultados precisos com 200 incrementos nas análises iniciais e 2000 incrementos nas finais. Todos os modelos de solo citados anteriormente são capazes de resistir tanto à tração quanto à compressão da mesma forma. Portanto foi conveniente assumir que o solo não pode sofrer nenhuma tração aplicando no modelo elastoplástico a opção para o uso do procedimento sem tração onde, estando um elemento do solo sob tração, o programa reduz sua resistência e sua rigidez a valores muito baixos, de forma que apenas uma quantidade preestabelecida da tensão de tração pode ser desenvolvida Cálculos da viga elástica Para o segundo estágio da análise foi usado um programa desenvolvido pelo próprio British Gas baseado na viga de Winkler para a aproximação da fundação elástica, onde a restrição do solo é representada por uma série de molas discretas. A introdução de viga elástica assegura a compatibilidade dos deslocamentos através dos elementos do solo. A Figura 8 mostra os resultados das análises comparados com os ensaios de cargas. Por esses resultados percebe-se que os modelos cam clay modificado, elastoplástico com tração e elástico não linear, não fornecem uma boa concordância com o resultado dos ensaios. Todos esses modelos de ensaio subestimam o movimento do duto em pelo menos 50%, levando a crer que os resultados tensão-deslocamento previstos por esses modelos são altos, ou seja, para um aumento na tensão há um incremento pequeno no deslocamento. No caso do modelo elastoplástico sem tração, uma boa concordância é observada entre os valores estimados para os deslocamentos e os dados de campo. 39

21 Deslocamento horizontal do duto (m) Ensaio de carga Cam Clay Modificado Elastoplástico Elástico não linear Elastoplástico sem tração Distância do final do carregamento (m) Figura 8 Resultados previstos para a partir de uma viga elástica em um programa de fundações sob carregamento de 296 kn (Ng et al, 1994) 2.9.Previsão da restrição do solo ao duto enterrado usando elementos de interface Ng et al (1997) se basearam em seu trabalho anterior (Ng et al, 1994) e deram continuação ao mesmo a fim de investigar o bom desempenho do uso dos elementos de interface para modelar o deslizamento e a separação da interface solo-duto e da interface entre o aterro e o solo natural. Os resultados previstos pelo modelo numérico foram comparados com os resultados dos ensaios de campo. A modelagem foi igual à do trabalho anterior sendo que o programa utilizado foi uma versão modificada do CRISP90. Esta possui uma opção de autoflutuação desenvolvida pela Universidade de Cambridge, onde o movimento vertical pode ser determinado em uma única análise. O duto não foi incluído na malha de elementos finitos, mas é modelado como uma cavidade rígida. Assumindo um movimento vertical inicial do duto, o programa calcula a reação vertical total do mesmo no final de cada incremento. Um ajuste do movimento vertical é então feito no programa para o próximo incremento, de acordo com o sinal da força de reação. A reação vertical converge vagarosamente para zero com movimento vertical do duto sendo calculado automaticamente. Assim o duto rígido flutua para cima e para baixo durante a análise para manter a reação zero no caso de um movimento horizontal prescrito. 40

22 Duas análises foram realizadas, sendo uma com modelo assumindo tração e outra com modelo sem tração. Com o intuito de modelar a separação na interface solo-duto devido às tensões de tração desenvolvidas à esquerda da seção transversal do duto, usou-se um segundo modelo de elementos finitos com elementos de interface. A geometria desse modelo é similar ao anterior, porém o duto foi inserido na malha. Os elementos de interface foram colocados entre o anel do duto e o solo no programa, podendo modelar a separação na interface solo-duto devido às tensões de tração, ou qualquer deslizamento possível entre a interface solo-duto devido às tensões cisalhantes. Tensões isotrópicas in situ foram usadas na análise para assegurar que os elementos de interface estejam inicialmente em compressão e para evitar que a separação ocorra no início da análise Elementos de interface para modelar a reação do solo de fundação para o projeto de duto Backer et al (1997) desenvolveu um modelo de reação do solo de fundação para analisar tanto o comportamento das deformações como o das tensões em túneis, aplicando técnicas baseadas na modelagem por elementos finitos. Relações simples para o módulo de reação do solo foram comparadas com os resultados obtidos através de elementos finitos utilizando o programa PLAXIS. Elementos de viga curvos de alta ordem com 3 ou 5 nós por elemento são utilizados para modelar as paredes do túnel, e elementos de interface de 6 ou 10 nós são usados para modelar a reação do solo e a interação entre as paredes. Na Figura 9 são mostrados os anéis de segmentos em uma configuração de elemento sólido, do qual o túnel é constituído. Figura 9 duto segmentado (Backer et al, 1997) 41

23 Para a simulação 2D foram modelados 2 anéis por elemento, onde cada anel consiste de um número de segmentos. Entre os segmentos ( A e B por exemplo) foram usadas articulações impedindo que os momentos fletores fossem transferidos. Entre dois anéis consecutivos há uma interação impedindo que eles se movam independentemente, sendo modelado utilizando elementos de interface para limitar a diferença nos deslocamentos (radiais e tangenciais). A modelagem por elementos finitos é representada na Figura 10. Os segmentos A, B e C são os mesmos da figura anterior e a interação entre os elementos é dada pelo elemento de interface a. A interação entre os segmentos e o solo circunvizinho é modelada usando elementos de interface b e c. Cada segmento consiste de um número de elementos de viga para assegurar a compatibilidade. Figura 10 modelo de elementos finitos para um duto segmentado; os anéis possuem a mesma coordenada (Backer et al, 1997) Para os segmentos foram usados elementos de viga curvos capazes de descrever deformações normais, cisalhantes e relativas à flexão como mostra a Figura 11. Para a interação entre os segmentos a e o solo adjacente foi usado elementos de espessura zero ou elementos de interface. Figura 11 elemento de viga de cinco nós (Backer et al, 1997) Para as deformações nos elementos de interface usou-se uma espessura virtual l virtual (Figura 12), combinada com a diferença nos deslocamentos dos lados opostos do elemento, u. Estas são expressas por: 42

24 & ε n = u& l n virtual & u& s ε s = (2.21) lvirtual Para o cálculo das tensões utilizou-se a equação abaixo: & σ n k n = & σ s 0 0 & ε n 1 = k s & ε s l virtual kn 0 0 u& k s u& n s (2.22) onde k n é a rigidez à tensão normal no solo e k s a rigidez à tensão cisalhante no solo, e são dadas para esse caso pelas seguintes fórmulas: k n 12K = (2.23) L L s r k s 2 nk = (2.24) L L r s L r e L s são a largura e o comprimento dos segmentos, n é o número de nós no segmento e K a rigidez do elemento. Figura 12 elemento de interface de dez nós (Backer et al) 2.11.Modelagem por elementos finitos de um duto de polietileno para o sistema de coleta de resíduos de minério de cobre Johsi et al (2001) utilizaram a formulação em elementos finitos para a verificação das tensões em dutos de polietileno corrugado sob uma pilha de lixiviação de minério de cobre com aproximadamente 120m de altura, e para a avaliação dos efeitos da geometria da trincheira na efetividade do arqueamento do solo. No processo, o minério é lixiviado com uma solução de ácido fraco aplicado no topo da pilha e que é coletada na base pelos dutos de coleta com aproximadamente 100mm de diâmetro. Esses dutos perfurados de polietileno são ligados a dutos 43

25 principais de polietileno corrugado, não perfurados, com aproximadamente 600 mm de diâmetro, localizados numa trincheira ao longo da pilha de minério. Foram utilizadas nesse trabalho tanto soluções analíticas como técnicas numéricas para avaliar as tensões e deformações no sistema solo-duto devido ao carregamento em vários dutos, como exposto anteriormente. As análises numéricas foram feitas usando o programa PLAXIS onde o modelo foi calibrado para verificar a solução do problema de um único duto modelado como uma casca circular elástica enterrada em um meio elástico sem peso, proposto por Burns and Richard (1964). Três modelos foram simulados, sendo o primeiro (modelo 1) uma simulação do problema proposto por Burns e Richard e os outros dois (modelos 2 e 3) simulando duas configurações diferentes para a instalação da série de dutos descrita anteriormente. Os dutos foram modelados como elementos curvos de viga com rigidez à extensão e à flexão na direção perpendicular ao plano. A camada de geomembrana foi modelada como um elemento de interface com um ângulo de atrito interno reduzido comparado com o solo adjacente. Assumiu-se que nenhum deslizamento poderia ocorrer entre o solo e o material que circunda o duto uma vez que se considera que o material de aterro da zona do duto é bem compactado. O modelo no PLAXIS foi calibrado a partir da solução de um problema de apenas um duto proposto por Burns anda Richard. Uma correta solução para o mesmo indica que o modelo do PLAXIS pode ser visto como confiável para modelar um único duto, sendo possível modelar problemas com vários dutos, como é o caso Análise elástica de dutos enterrados sujeitos a carregamento na superfície Fernando et al (1996) apresentam um método a ser utilizado para calcular os deslocamentos, as tensões e os momentos em estruturas enterradas, como dutos e galerias, sujeitas à flexão longitudinal. Esse tipo de flexão pode ocorrer caso haja um carregamento na superfície aplicado no solo acima dessas estruturas. A transformada de Fourier foi utilizada para reduzir o problema tridimensional em um problema envolvendo apenas duas direções espaciais, facilitando o cálculo. 44

26 Assume-se neste caso que o solo se comporta como um meio contínuo elástico sem ruptura plástica. Considera-se ainda que o solo que circunda a estrutura é bem compactado antes de receber a carga de superfície e que não há deslizamento entre os elementos de placa (estrutura) e os elementos contínuos adjacentes (solo) quando há deformação. O carregamento tridimensional é transformado na direção z pelo uso da transformada de Fourier, quando a coordenada global z é alinhada paralela ao eixo longitudinal do duto ou da galeria. Uma malha de elementos finitos bidimensional é usada para modelar o campo de deslocamento transformado no plano x-y. Para avaliar a reação na direção z, a transformada de Fourier é invertida para determinar as tensões e os deslocamentos. A integração numérica dos valores transformados é usada para determinar valores como tensões e deslocamentos no espaço real x-y-z. Obtêm-se diretamente, então, os momentos fletores e as forças cisalhantes e axiais. Fernando e Carter (1998) fizeram um estudo paramétrico com o intuito de avaliar o comportamento de dutos enterrados sujeitos a uma pequena área de cargas verticais uniformemente distribuídas aplicadas na superfície do solo circunvizinho. Nesta análise considera-se que o duto deve ser representado como um tubo elástico de diâmetro e espessura constante. Assume-se também que o solo se comporta como um meio contínuo sem ruptura plástica e que o solo circunvizinho ao duto é bem compactado antes de receber a aplicação da carga, como no trabalho anterior (Fernando et al, 1996). O efeito do material rígido de pavimentação da superfície não é levado em consideração, o que geralmente ocasiona estimativas mais conservadoras das forças e dos momentos. Isso é bom para os projetos de duto, uma vez que estes sofrerão carregamento aplicado na superfície do solo antes que a pavimentação esteja concluída. Para o estudo paramétrico, um duto enterrado com diâmetro D foi analisado com uma pequena área de tensão vertical sendo aplicada na superfície do solo. Na maioria dos casos o carregamento foi aplicado diretamente sobre o eixo central do duto. A malha de elementos finitos utilizada na análise se encontra na Figura 13, onde apenas metade do duto e da massa de solo são analisados uma vez que se considera a simetria. 45

27 Figura 13 Malha de elementos finitos típica utilizada na análise (Fernando e Carter, 1998) A altura h da cobertura acima do duto, a espessura t da parede do duto, o módulo de elasticidade do duto, E p, o módulo de elasticidade do solo E s e a área sobre a qual a carga é aplicada são todos variáveis durante todo o estudo paramétrico. Foi considerado no estudo paramétrico tanto um carregamento simétrico em relação ao eixo do duto, como um assimétrico. Este último teve o objetivo de verificar se a tensão máxima e o momento máximo que acontecem quando a carga é aplicada diretamente no eixo do duto Interação solo-duto no movimento lento de encostas Uma aplicação da análise inversa utilizando o método de elementos de contorno. Mandolini et al (2001) apresentam o caso de um duto atravessando um talude sujeito a movimentos lentos sendo monitorado. Os dados do monitoramento são usados para calibrar o programa numérico implementado baseado no método de elementos de contorno. O modelo constitutivo adotado para o solo é linear elástico, o duto é descrito pelo modelo de viga de Bernoulli e a interface solo-duto é de atrito do tipo Coulomb. O procedimento numérico foi implementado com o objetivo de prever a evolução do fenômeno em termos de tensões induzidas no duto, provenientes do campo de deslocamento do solo circunvizinho. Além disso, procurou-se disponibilizar um programa que a partir de dados de deslocamento de um talude seja capaz de analisar o comportamento tensão-deformação de estruturas similares, mas em diferentes condições em relação às analisadas no presente trabalho. 46

28 O movimento de massa em questão é um deslizamento em estágio final de evolução que já não possui mais a sua escarpa e os taludes laterais originais. Seu comprimento foi estimado como sendo 1000m e a inclinação média 9,5º. Uma pequena correnteza no pé do talude ocasionando erosão é um fator adicional de desestabilização do mesmo. O deslizamento envolve xisto argiloso muito fissurado e altamente plástico, e o corpo do talude principal é constituído por materiais muito moles, altamente heterogêneos. Um gasoduto, com diâmetro interno igual a 0,61m, atravessa longitudinalmente o talude estando a uma profundidade de 2m abaixo da superfície. As instrumentações utilizadas no talude foram 7 piezômetros e 20 inclinômetros, instalados em diferentes épocas perto do duto. Um medidor automático de chuva foi instalado em janeiro de 1995 e os dados de chuva entre 1985 e 1995 foram extraídos de arquivos oficiais da estação pluviométrica de Ginestra degli Savoni, localizada na mesma bacia hidrográfica. Em outubro de 1995 o solo ao redor do duto foi escavado para a instalação de extensômetros. Constatou-se, a partir dos perfis de deslocamento dados pelo inclinômetro e pela espessura do solo remoldado durante as investigações de campo, que a superfície de deslizamento é rasa na parte superior do talude (3:4 m) e mais profunda (14:15m) no pé do talude (Figura 14). Elevação (m) Superfície de escoamento Solo remoldado observado em furos de sondagem Escoamento Distância (m) Figura 14 Superfície de deslocamento estimada através de medidas de inclinômetros e furos de sondagem (Mandolini et al, 2001) 47

29 Como é necessário tratar dados experimentais fazendo certas simplificações, assumiu-se que o talude possuía comprimento infinito visto que a sua dimensão transversal era muito grande em relação ao diâmetro do duto. Os valores do deslocamento ao longo das seções longitudinais são considerados constantes. Foi aplicada neste trabalho uma junção entre o problema de contato e a análise inversa onde os procedimentos numéricos são derivados das simplificações nos dados experimentais provenientes das medidas de deslocamento ao longo da superfície de deslizamento em uma seção longitudinal. Para o desenvolvimento do modelo de solo foi dada ênfase à junção com o modelo de viga. A elasticidade tridimensional foi acoplada ao corpo unidimensional levando-se em conta a diferença nos graus de liberdade entre os dois modelos. Percebeu-se que seria de grande importância formular o problema em termos das variáveis definidas no domínio unidimensional constituído pelo eixo do duto. 48