TÉCNICA DE DECOMPOSIÇÃO COM O CÁLCULO DE MULTIPLICADORES IMPLÍCITOS NO PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS

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1 ÉCNICA DE DECOMPOSIÇÃO COM O CÁLCULO DE MULIPLICADORES IMPLÍCIOS NO PLANEJAMENO DA EXPANSÃO DE SISEMAS ELÉRICOS Fernanda Souza homé PSR Praia de Botafogo, 228 Ala B Sala 1705, CEP , Rio de Janeiro fernanda@psr-inc.com Mario Veiga Ferraz Pereira PSR - mario@psr-inc.com Silvio Binato PSR - silvio@psr-inc.com Nora Campodónico PSR - nora@psr-inc.com Márcia Helena Costa Fampa Programa de Engenharia de Sistemas e Computação COPPE/UFRJ Cidade Universitária, C, Bloco H, CEP , Rio de Janeiro fampa@dcc.ufrj.br Luiz Carlos da Costa Júnior PSR - luizcarlos@psr-inc.com RESUMO Este trabalho apresenta uma nova metodologia de decomposição aplicada à solução de problemas de planejamento da expansão de geração e rede de transmissão de sistemas elétricos. Esta metodologia utiliza a técnica de decomposição de Benders para decompor o complexo problema de expansão em um subproblema de investimento e um subproblema de operação. A novidade desta proposta está na utilização de uma formulação compacta para o subproblema de operação, onde a rede de transmissão é representada de forma implícita, resultando em importantes ganhos de tempo de CPU para a resolução deste subproblema. Esta nova metodologia é ilustrada através de um caso real de planejamento da expansão da geração e rede de transmissão do sistema elétrico da Bolívia. PALAVRAS CHAVE. Planejamento da expansão, multiplicadores implícitos, decomposição de Benders. ABSRAC his work presents a new decomposition methodology applied to the solution of electrical systems generation and transmission expansion planning problems. his methodology uses the Benders decomposition techinique to decompose the complex expansion problem into an investment subproblem and an operation subproblem. he novelty about this proposal relies on the utilization of a compact formulation for the operation subproblem, where the transmission network is implicitly represented, resulting in important gains in CPU time for solving this problem. his new methodology is illustrated by a real case of generation and network transmission expansion planning of the Bolivian electrical system. KEYWORDS. Expansion planning, implicit multipliers, Bender s decomposition. 460

2 1 Introdução O problema de planejamento da expansão da geração se origina das mudanças necessárias no sistema elétrico em face ao crescimento da demanda de energia, exigindo que novos geradores sejam construídos com o objetivo de atender a essas necessidades. Idealmente, poderíamos construir as novas unidades geradoras sob medida para o suprimento das novas necessidades dos mercados consumidores. Contudo, quase sempre não é possível fisicamente, ou economicamente, construir as novas unidades geradoras próximas aos centros consumidores, de forma que muitas vezes são construídas em lugares distantes. Com isto, torna-se necessária também a construção de novas linhas de transmissão com a finalidade de transmitir a potência elétrica produzida por estas usinas. O objetivo básico do processo de planejamento da expansão de sistemas elétricos é selecionar, no tempo e no espaço, o conjunto de unidades geradoras e linhas de transmissão que devem ser construídas para garantir o atendimento ao mercado consumidor previsto, a um custo mínimo, e sujeito a um conjunto de restrições e critérios de planejamento. Este processo de decisão dá origem a um problema de otimização de grande porte que deve ser solucionado pelos engenheiros de planejamento. Em diversos países, a metodologia aplicada ao planejamento da expansão de sistemas elétricos baseia-se geralmente em um procedimento hierárquico que reduz a complexidade do problema através de um esquema de solução em duas etapas. A primeira etapa consiste em resolver um problema de expansão somente do sistema de geração e a segunda etapa consiste em fixar o plano ótimo de investimento de geração que foi obtido na primeira etapa e resolver um problema de expansão somente da rede de transmissão para obter os reforços necessários ao atendimento da demanda. Uma alternativa para o planejamento da expansão de sistemas elétricos é considerar de maneira integrada a expansão do sistema de geração e da rede de transmissão. Desta forma, o processo de planejamento deve ser capaz de considerar conjuntamente todas as alternativas disponíveis e realizar uma análise de compromisso entre custo de investimento e custo de operação de cada alternativa em busca da solução mais econômica que satisfaça às restrições do problema. Estas metodologias de planejamento estão ilustradas na Figura 1.1. Candidatos de geração Candidatos de transmissão Expansão da Geração Expansão da ransmissão Cronograma de expansão da geração Expansão da Geração e ransmissão Candidatos de geração e transmissão Cronograma de expansão da geração e rede de transmissão Cronograma de expansão da geração e rede de transmissão Figura 1.1 Planejamento Hierárquico x Planejamento Integrado Um dos primeiros trabalhos propostos para a solução do problema de expansão da transmissão foi desenvolvido por Garver (1970) utilizando algoritmos de programação linear para identificar as rotas mais diretas entre geradores e as cargas. Kaltenbatch (1970) foi pioneiro em solucionar problemas de planejamento de expansão considerando múltiplos estágios através da combinação de programação linear e programação dinâmica. Um algoritmo puro de programação dinâmica foi proposto por Dusonchet (1973), contudo, relaxações de importantes restrições eram necessárias em aplicações práticas. endo em vista estas desvantagens, Gonzaga (1973) propôs um algoritmo de busca em grafos. A primeira proposta de algoritmos do tipo Branch-and-Bound 461

3 para este problema é de Lee (1974), restrita a aplicações de pequeno porte. O uso de análise de sensibilidade no problema de planejamento foi inicialmente proposta pelo trabalho de De Champs (1979) e posteriormente proposto por Pereira (1985). Villasana (1984) desenvolveu um aperfeiçoamento do trabalho proposto por Garver e também elaborou uma formulação linear inteira mista para o problema de expansão da transmissão. De maneira geral, o problema de planejamento pode ser formulado como a determinação de um cronograma de expansão que minimize o custo de investimento e operação do sistema, sujeito a um conjunto de restrições operativas diretamente relacionadas às decisões de investimento no sistema. Esta estrutura especial do problema sugere a utilização de técnicas de decomposição matemática conforme Benders (1962). O uso de esquemas de decomposição para este problema teve início com o trabalho de Pereira (1985) e outras diversas metodologias foram propostas, destacando-se os trabalhos de Romero (1989), Pinto (1990), Levi (1991) e samasphyrou (1999). A metodologia de decomposição de Benders aplicada ao problema de planejamento da expansão consiste na decomposição do problema completo de expansão em dois subproblemas: o subproblema de investimento e o subproblema de operação. O algoritmo de solução deste modelo consiste em um processo iterativo que, para uma solução do subproblema de investimento, obtém-se uma proposta de expansão que é utilizada para solucionar um subproblema de operação. A partir do vetor de multiplicadores de Lagrange deste subproblema de operação é construído um corte de Benders, que é adicionado às restrições do subproblema de investimento, visando obter assim uma nova proposta de expansão. A Figura 1.2 ilustra este processo. Subproblema de Investimento Corte de Benders Cronograma de expansão Subproblema de Operação Figura 1.2 Esquema de decomposição de Benders As técnicas de decomposição permitem que os subproblemas de investimento e operação sejam modelados separadamente através de um problema de programação inteira e um problema de programação linear, respectivamente, visando reduzir a complexidade do problema original e permitir a utilização de algoritmos de solução independentes. Para o problema de operação, em particular, a metodologia de decomposição de Benders permite considerar características de estocasticidade e acoplamento temporal das variáveis através da utilização de algoritmos de programação dinâmica, em especial, a Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE). Portanto, na prática, a formulação do problema de operação não requer a informação de quais são os elementos existentes e candidatos, necessitando conhecer apenas a informação dos elementos que estão presentes no sistema para um determinado plano de expansão, já que as restrições associadas aos elementos candidatos que não foram adicionados ao sistema são indiferentes na solução do problema de operação. No entanto, para a construção do corte de Benders que é adicionado ao problema de investimento é necessário conhecer todos os multiplicadores de Lagrange associados às restrições que envolvem os elementos do sistema. Este trabalho é baseado no trabalho de homé (2008) e consiste em apresentar a aplicação da técnica de decomposição de Benders na solução do problema da expansão de sistemas elétricos considerando o cálculo de multiplicadores implícitos para a construção dos cortes de Benders. Os multiplicadores implícitos estão associados às restrições cuja representação explícita no problema de operação não é obrigatoriamente necessária para a obtenção da solução ótima do problema e são obtidos através da relação entre os multiplicadores disponíveis. Para a simplificação da notação adotada para a derivação da metodologia desenvolvida neste trabalho, foi considerada a formulação de um sistema puramente térmico para um estágio, levando-se em considera- 462

4 ção que não exitem maiores dificuldades para a generalização desta metodologia para um sistema hidrotérmico, cuja formulação pode ser obtida conforme o trabalho de Porto (1994). Na próxima seção é apresentada a formulação do problema de planejamento integrado da expansão de sistemas de geração e rede de transmissão. A seção 3 descreve a aplicação da técnica de decomposição de Benders na solução deste problema utilizando o cálculo de multiplicadores implícitos para a construção dos cortes de Benders. Os resultados de um estudo de caso são apresentados na seção 4. Finalmente são apresentadas as conclusões deste trabalho. 2 Problema de Planejamento da Expansão de Sistemas Elétricos A formulação clássica do problema de planejamento da expansão integrada de geração e transmissão é não-linear e não convexa, o que pode trazer sérias dificuldades para métodos de planos cortantes como o algoritmo de decomposição de Benders, pois os cortes produzidos podem excluir partes da região de viabilidade do problema, inclusive a região que contém a solução ótima global. Esta não-linearidade está associada à multiplicação de variáveis de decisão das restrições de segunda lei de Kirchhoff para os circuitos candidatos. Para solucionar esta questão, Villasana (1984), Granville (1985) e Sharifnia (1985) propuseram formulações lineares disjuntiva para o problema da expansão da rede de transmissão. Neste trabalho: [ φ ] denota a matriz diagonal com os elementos do vetor φ; e J denota a multiplicidade do conjunto J. 2.1 Formulação Disjuntiva Sejam N o conjunto de barras do sistema, K E e K C os conjuntos de circuitos existentes e candidatos, respectivamente, então o problema de planejamento da expansão de geração e rede de transmissão pode ser formulado pelo seguinte problema de programação linear inteira mista: Min z = I g + I f + C E + C C (2.1) s/a: S E f E + S C f C + + = d (2.1a) f E [ γ E ] S E θ = 0 (2.1b) f C [ γ C ] S C θ M ( e ) (2.1c) f C [ γ C ] S C θ M ( e ) (2.1d) f Ē f E f Ē (2.1e) f C [ f C ] 0 (2.1f) f C + [ f C ] 0 (2.1g) g E (2.1h) [ g C ] 0 (2.1i) { 0,1 } N (2.1j) { 0,1 } K C (2.1k) onde as variáveis de decisão do problema são: e vetores de decisão de investimento em circuitos e geradores candidatos; f E e f C vetores de fluxo nos circuitos existentes e candidatos; e vetores de geração existente e candidata; e θ vetor de ângulo de tensão de barra. Os dados de entrada do problema são: I f e I g vetores de custo de investimento em circuitos e geradores candidatos; C E e C C vetores de custo de operação dos geradores existentes e candidatos; d vetor de demanda das barras; γ E e γ C vetores de susceptância dos circuitos existentes e candidatos; S E e S C matrizes de incidência barra-circuito, para circuitos existentes e candidatos; f Ē e f C vetores de capacidade de carregamento dos circuitos existentes e candidatos; g E e g C vetores de capacidade de geração existente e candidata; M constante disjuntiva dos circuitos candidatos. A função objetivo do problema corresponde à minimização da soma dos custos atualizados de investimento em projetos de geração e de transmissão e o custo de operação das unidades tér- 463

5 micas. As restrições operativas do problema correspondem respectivamente a: (2.1a) restrição de atendimento à demanda (primeira lei de Kirchhoff); (2.1b) segunda lei de Kirchhoff para os circuitos existentes; (2.1c)-(2.1d) segunda lei de Kirchhoff para os circuitos candidatos; (2.1e)- (2.1g) limite de carregamento dos circuitos existentes e candidatos; e (2.1h)-(2.1i) limite de geração dos geradores existentes e candidatos. As restrições (2.1j)-(2.1k) representam a integralidade das variáveis associadas à decisão de construção de projetos de geração e transmissão. Para as restrições disjuntivas (2.1c)-(2.1d), a constante M de valor elevado permite que estas restrições estejam relaxadas quando k = 0, isto é, quando o circuito k não é construído, caso contrário, quando k = 1, ou seja, o circuito k é construído, então impõe-se que a segunda lei de Kirchhoff esteja satisfeita para este circuito. Este problema de programação linear pode ser resolvido através de algoritmos de solução padrão (Branch-and-Bound), entretanto, nesta formulação existem três tipos de variáveis de decisão de operação, correspondentes aos vetores g, f e θ. A formulação descrita a seguir é derivada da manipulação das equações resultando em um problema com apenas o vetor de gerações g como variáveis de decisão. A formulação com representação compacta da rede de transmissão permite a utilização de um algoritmo de solução do problema de operação que utiliza um esquema de relaxação de restrições do problema, visando à redução do esforço computacional e do volume de dados armazenados durante o processo de solução. 2.2 Formulação Disjuntiva Compacta Sejam as equações que representam a primeira e segunda leis de Kirchhoff: S f + g = d (2.2) f = [ γ ] S θ. (2.3) Substituindo a variável f de (2.3) na equação (2.2), obtém-se a seguinte equação: B θ + g = d (2.4) onde B = S γ S é a matriz de susceptâncias de dimensão N N. O vetor θ é obtido a partir da solução do sistema de equações lineares (2.4). Como o posto da matriz B é igual a N 1, é necessário eliminar uma linha e uma coluna desta matriz, correspondentes a uma barra s, definida como a barra de referência angular. θ = B (d g ) (2.5) onde θ, g, d e B correspondem aos vetores θ, g, d e à matriz B sem a linha (e a coluna) correspondente à barra s. O ângulo da tensão da barra s é então fixado em θ s = 0. Reescrevendo a equação (2.5) em termos dos vetores completos de geração e demanda, adicionando uma linha e uma coluna nulas na posição s da matriz B -1, tem-se: θ = B -1 ( d g ). (2.6) Substituindo a equação (2.6) na restrição (2.3) correspondente à segunda lei de Kirchhoff, obtém-se a seguinte equação para o fluxo nos circuitos: f = β ( d g ) (2.7) onde β = γ S B -1 é uma matriz de sensibilidade de dimensão K N. O valor da geração da barra de referência é calculado implicitamente a partir do balanço total de geração e demanda das demais barras e, então, tem-se a seguinte equação de balanço total de demanda do sistema: e g = e d (2.8) onde e é um vetor unitário de dimensão N. Finalmente, substituindo as equações (2.7) e (2.8) na formulação disjuntiva do problema de planejamento da expansão (2.1) é obtida a seguinte forma compacta: Min z = I g + I f + C E + C C (2.9) s/a: e + e = e d (2.9a) β f E E (d ) f E (2.9b) β f Ck Ck (d ), k K f Ck x C fk = 1 (2.9c) 464

6 ḡ E (2.9d) [ ḡ C ] 0 (2.9e) {0,1} N {0,1} K C. (2.9f) (2.9g) 3 Decomposição de Benders no Problema de Planejamento da Expansão O problema da expansão ótima de um sistema elétrico pode ser representado, de forma geral, pelo seguinte problema de programação linear inteira mista: Min z = c x + d y (3.1) s/a: E x + F y h (3.1a) x {0,1} (3.1b) y 0. (3.1c) Neste problema, as variáveis x representam investimentos em capacidade dos equipamentos e assumem valores inteiros. Uma vez tomada uma decisão de investimento, os elementos do sistema são utilizadas para suprir a demanda. As variáveis y representam as variáveis operativas do sistema. As restrições nestas variáveis (atendimento da demanda, limites operativos, etc.) são expressas genericamente pelas restrições (3.1a). A estrutura do problema (3.1) é típica de um problema de decisão em dois estágios, onde inicialmente toma-se uma decisão de investimento e em seguida determina-se a melhor operação do sistema para esta decisão. A metodologia de decomposição de Benders aplicada ao problema de planejamento da expansão consiste em um processo iterativo, onde para cada iteração μ: 1. Resolve-se uma relaxação do problema de expansão (problema Mestre) e obtém-se uma proposta de investimento x μ : Min z = c x + α (3.2) s/a: α + π ν E x π ν h, ν = 1,..., μ 1 (3.2a) x {0,1}. (3.2b) 2. Resolve-se o subproblema de operação (problema Escravo) para x = x μ. Min d y (3.3) s/a: F y h E x μ (3.3a) y 0. (3.3b) 3. Verifica-se o critério de otimalidade. Se não é ótimo, obtém-se o vetor e multiplicadores do subproblema de operação é constrói-se um corte de Benders: α + π μ E x π μ h. (3.4) Adiciona-se o corte às restrições do problema Mestre e retorna ao passo Modelo Disjuntivo Supondo que para a iteração μ do modelo de decomposição de Benders obtém-se μ μ μ μ (, ) como solução do problema Mestre. Fixando (, ) = (, ) no problema (2.1), obtém-se o seguinte problema de operação (ou problema Escravo): Min z = C E + C C (3.5) s/a: S E f E + S C f C + + = d (3.5a) f E [ γ E ] S E θ = 0 (3.5b) μ μ M ( e ) f C [ γ C ] S C θ M ( e ) (3.5c) f E f E f E (3.5d) μ [ f C ] f C [ f C ] g E μ (3.5e) (3.5f) 465

7 [ ḡ C ] x μ g. (3.5g) Após solucionado o problema de programação linear (3.5), pode-se calcular os cortes de Benders conforme a equação (3.4) que são representados por: α + π μ E g + π μ E f π μ h (3.6) onde π μ é o vetor de multiplicadores de Lagrange associados às restrições do problema de operação obtido na μ-ésima iteração e é dado por: π μ = μ π μ d π μ γe π μ γc π μ fe π μ fc π μ ge π gc. E g e E f são, respectivamente, as matrizes que acoplam as restrições de investimento em geração e transmissão com as restrições de operação, e são dadas por: E g = [ [ ḡ C ] ] E f = [ 0 0 ± M 0 ± [ ] 0 0 f C ]. O vetor h é formado por: h = [ d 0 ± e M ± f E 0 ḡ E 0 ]. Substituindo E g, E f, h e π μ conforme a equação (3.6), obtém-se a seguinte expressão para os cortes de Benders: α μ π gc [ ḡ ] C + μ π γc M + μ π fc [ f C ] RHS μ (3.7) RHS μ μ = π d d μ π γc M e μ π μ fe + π f E ge ḡ E. Deve-se destacar que um valor muito elevado para a constante disjuntiva resulta em mau condicionamento numérico dos cortes, consequentemente dificultando a convergência do método de decomposição de Benders. Uma alternativa explorada na construção dos cortes de Benders é o cálculo da constante disjuntiva M de valor significativamente reduzido, conforme proposto por Binato (2000) Cálculo dos Multiplicadores Implícitos Como os modelos de investimento e operação possuem algoritmos de solução independentes, na prática, a formulação do problema de operação não requer a informação de quais são os elementos existentes e candidatos, necessitando conhecer apenas a informação dos elementos que estão presentes no sistema para um determinado plano de expansão, já que as restrições associadas aos elementos candidatos que não foram adicionados ao sistema são indiferentes na solução deste problema. Em outras palavras, uma formulação equivalente para o problema de operação (3.5) pode ser obtida sem a representação explícita das variáveis f Ck, k K = 0 e i, i N = 0 e suas respectivas restrições (3.5c), (3.5e) e (3.5g). iμ No entanto, para a construção do corte de Benders que é adicionado ao problema de investimento, conforme a equação (3.7), é necessário conhecer todos os multiplicadores de Lagrange associados a estas restrições, correspondentes aos vetores completos de multiplicadores π γc, e π gc. Seja o problema dual ao problema (3.5): Max z' = d μ + f Ē + [ f C ] + g μ E π ge + [ ḡ C ] π gc (3.8) s/a: S E + π γe + = 0 (3.8a) S C + π γc + = 0 + π ge C E + π gc C C 0, π γe, π γc,,, π ge, π gc 0. (3.8b) (3.8c) (3.8d) 466

8 Da teoria de programação linear, tem-se que na solução ótima os multiplicadores obtidos no problema (3.5) são idênticos às variáveis do problema dual (3.8). Desta forma, quando não estão sendo representadas todas as variáveis do problema, então os multiplicadores associados às suas respectivas restrições podem ser obtidos implicitamente através da relação entre os multiplicadores disponíveis. Quando um circuito k não é adicionado ao sistema, ou seja kμ = 0, então a restrição disjuntiva (3.5c) associada a este circuito deve estar relaxada pela constante M. Por esta razão, como esta restrição não está ativa, o multiplicador de Lagrange associado a esta restrição tem valor igual a zero. Portanto: π γck = 0, k K = 0. (3.9) Da restrição (3.8b) tem-se que: = S C π γc. (3.10) Sejam de(k) e para(k) as barras terminais do circuito k, então: k = de(k) para(k) π γ Ck, k K c (3.11) Substituindo (3.9) em (3.10), tem-se que: k = de(k) para(k), k K = 0. (3.12) De acordo com a restrição (3.8d), como o problema (3.8) é de maximização e π gc 0, então na solução ótima deste problema tem-se que: π gc = min{ 0 ; C C }. (3.13) Portanto: π gci = min { 0 ; C Ci i}, i N. (3.14) 3.2 Modelo Disjuntivo Compacto Aplicando-se a decomposição de Benders à formulação compacta do problema de planejamento da expansão e lembrando que as restrições (2.9c) do problema (2.9) só existem quando kμ = 1, então o problema Escravo, ou de despacho ótimo, pode ser escrito da seguinte forma para a iteração μ: Min z = C E + C C (3.15) s/a: e + e = e d (3.15a) f E β E (d ) f E (3.15b) f Ck β Ck (d ) f Ck, k K = 1 (3.15c) ḡ E [ ḡ C ] μ (3.15d) (3.15e) onde π λ,,, π ge e π gc são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições do problema (3.15). Em comparação com o problema que utiliza a formulação tradicional (3.5), nota-se que no problema compacto não são representados os circuitos candidatos k K = 0, que não foram adicionados ao sistema. Como a representação destes circuitos não afeta a solução do problema pode-se garantir que os problemas de operação (3.5) e (3.15) são equivalentes. Desta forma, como o problema Mestre de planejamento da expansão obtido a partir da formulação compacta é o mesmo da formulação tradicional, então é necessário calcular o mesmo corte de Benders para estes problemas. No entanto, para a formulação compacta não são conhecidos explicitamente os valores para os multiplicadores i i N, π γ Ck k K c e k k K = 0 associados, respectivamente, às restrições (3.5a), (3.5c) e (3.5e) do pro- 467

9 blema com formulação tradicional. Faz-se necessário então conhecer a relação entre os multiplicadores do problema com formulação tradicional e do problema com formulação compacta para que se possam calcular os mesmos cortes de Benders (3.7) no problema Mestre do modelo compacto Cálculo dos Multiplicadores Implícitos Seja o problema dual ao problema (3.15): Max z' = e μ d π λ + f Ē + [ f C ] + g μ E π ge + [ ḡ C ] π gc (3.16) s/a: π λ e β E β C + π ge C E (3.16a) π λ e β E β C + π gc C C (3.16b) π λ 0,,, π ge, π gc 0. (3.16c) Analogamente ao problema (3.8), a partir da restrição (3.16b) tem-se que: π gc = min{ 0 ; C π λ e + β C E + β C }. (3.17) Das equações (3.13) e (3.17) pode-se chegar à seguinte relação: C = C C π λ e + β C E + β C. (3.18) Rearranjando os termos da equação (3.18) é obtida a seguinte expressão: = π λ e β E β C. (3.19) Portanto: π = i λ β Ek,i k β Ek,i k, i N. k K E k K C x =1 fk (3.20) Da restrição (3.8b) tem-se que: π γc = S C. (3.21) Como π γck = 0 k K = 0, então: π γck = de(k) para(k) π f Ck, k K = 1. (3.22) Uma vez calculados os multiplicadores para o problema com formulação compacta, os multiplicadores associados às restrições de capacidade operativa para os elementos não adicionados ao sistema, f Ck k K c x μ μ = 0 e g fk Ci, i N = 0, também podem ser obtidos implicitamente através da mesma relação encontrada para o problema com formulação tradicional, equa- i ções (3.12) e (3.14), por se tratarem de problemas equivalentes. 3.3 Algoritmo de Solução O algoritmo de solução do problema de planejamento da expansão de sistemas elétricos é dividido em soluções iterativas de um módulo de investimento e um módulo de operação. O modelo de investimento utiliza a técnica de relaxação dos cortes de Benders, que são adicionados ao problema a cada iteração do algoritmo, a fim de obter um novo plano de expansão que é informado ao modelo de operação. O modelo de operação, por sua vez, é constituído por um problema de programação linear cuja solução fornece os multiplicadores de Lagrange que são utilizados na construção dos cortes de Benders. A utilização da formulação compacta no modelo de operação permite que a solução deste problema seja obtida através de soluções alternadas do problema de operação com relaxação das restrições (3.15b)-(3.15c) de carregamento dos circuitos, e de um modelo de cálculo de fluxo de potência linearizado Stott (1974) que determina os circuitos cujas restrições de capacidades estão sendo violadas e, portanto, são adicionadas ao problema de operação. A solução ótima é encontrada sem que necessariamente todas as restrições de limites de carregamento sejam adicionadas ao problema de programação linear. Isto se deve ao fato de que nem todas as restrições de carregamento estão ativas na solução ótima do problema. 468

10 4 Estudo de Caso O caso exemplo apresentado é utilizado para uma comparação entre as metodologias de planejamento hierárquico e planejamento integrado da expansão de um sistema elétrico utilizando os modelos disjuntivo e disjuntivo compacto para a representação da rede de transmissão. O sistema utilizado neste trabalho é um caso real do sistema elétrico da Bolívia com a rede de 69kV, 115kV e 230 kv do ano de Esta rede é formada por 46 barras e 53 circuitos existentes e o parque de geração existente é constituído de 28 usinas hidroelétricas e 25 usinas térmicas. Para este estudo de planejamento foram considerados 26 circuitos candidatos e 30 usinas térmicas candidatas à expansão em um horizonte de 7 anos ( ). 4.1 Planejamento Hierárquico Para o estudo de planejamento hierárquico, o cálculo do cronograma de expansão do sistema elétrico é realizado através de dois passos: primeiramente determina-se o plano ótimo de expansão da geração, com as restrições de limite de fluxo relaxadas. Por esta razão, a solução ótima deste problema consiste na construção das usinas mais econômicas independentemente das suas localizações geográficas. Conhecidos os reforços de geração, obtidos no primeiro passo, é então determinada a expansão ótima da transmissão para a obtenção de reforços da rede necessários para o atendimento da demanda. A abela 4.1 apresenta as parcelas que compõem o custo total associado à solução ótima do problema de planejamento hierárquico e a abela 4.2 apresenta os resultados de convergência do algoritmo. abela 4.1 Planejamento Hierárquico - Custo otal Custo otal (M$) Custo de Investimento Geradores Linhas de ransmissão Custo de Operação abela 4.2 Planejamento Hierárquico Convergência Modelo Disjuntivo radicional Compacto empo de CPU (seg) Expansão da Geração Investimento Operação Expansão da ransmissão Investimento Operação Número de Iterações 37 Expansão da Geração 12 Expansão da ransmissão Planejamento Integrado O estudo de planejamento integrado consiste na determinação conjunta de um plano de expansão de geração e transmissão. Neste estudo, é levada em consideração a relação de compromisso entre o custo de investimento e o custo de operação buscando obter o cronograma ótimo de expansão cuja soma total dos custos é a mais econômica dentre todas as possíveis alternativas de expansão do sistema elétrico. Para este caso, o cronograma de investimento em capacidade de geração possibilitou o investimento em menos reforços de transmissão no sistema. Este resultado pode ser alcançado porque a localização dos projetos geradores candidatos é considerada durante o processo de decisão, e a importância disto é observada pela diferença de custo total dos planos de expansão obtidos segundo as metodologias de planejamento hierárquico e integrado. De acor- 469

11 do com as tabelas 4.1 e 4.3 pode-se observar que um acréscimo de expansão de geração no sistema, levando-se em conta o sinal locacional, requer menos reforços de linhas de transmissão e permite a obtenção de um despacho mais econômico do sistema, resultando em um menor custo de investimento, operação e, consequentemente, em um menor custo total. abela 4.3 Planejamento Integrado - Custo otal Custo otal (M$) Custo de Investimento Geradores Linhas de ransmissão Custo de Operação abela 4.4 Planejamento Integrado Convergência Modelo Disjuntivo radicional Compacto empo de CPU (seg) Expansão Integrada Investimento Operação Número de Iterações Conclusão Como foi visto, o planejamento hierárquico da expansão de sistemas elétricos consiste em um processo de decisão cuja obtenção dos reforços de transmissão é realizada visando acomodar as decisões de investimento em geração, que foram feitas sem tomar em conta as congestões na rede de transmissão. Por esta razão, este procedimento conduz a um maior custo total em relação ao planejamento integrado porque não considera a otimização conjunta das alternativas de expansão de geração e transmissão. Computacionalmente mostrou-se que a utilização do modelo disjuntivo compacto permite um ganho de aproximadamente 47% no tempo de execução de subproblemas de operação, tornando a convergência do algoritmo mais rápida em relação ao modelo disjuntivo tradicional. Neste trabalho foi visto que a aplicação da técnica de decomposição do problema de planejamento da expansão de sistemas elétricos em um módulo de operação e um módulo de investimento permite a utilização de algoritmos especializados para a solução de cada subproblema. A importância do cálculo dos multiplicadores implícitos origina-se da necessidade em se obter os coeficientes dos cortes de Benders para a solução do problema de expansão, uma vez que a solução do problema de operação não exige a informação dos elementos que não foram adicionados ao sistema para um determinado plano de investimento. Para a representação da rede de transmissão segundo o modelo disjuntivo compacto, este cálculo torna-se indispensável para a obtenção dos multiplicadores associados às restrições que não são explicitamente representadas devido à compactação do problema. A vantagem associada à utilização do modelo disjuntivo compacto na formulação do problema de expansão consiste na incorporação de um esquema de relaxação de restrições de carregamento máximo das linhas de transmissão no algoritmo de solução do problema de operação de um esquema de decomposição do problema original. O problema de operação que apresenta relaxamento de restrições de carregamento é um problema menos complexo e, portanto, mais fácil de ser solucionado. Os benefícios associados a este esquema se destacam quando se utiliza o algoritmo de programação dinâmica dual estocástica, onde são solucionados um número considerável de problemas de operação. A técnica de relaxação das restrições não-ativas de cada problema garante a redução do volume de dados armazenados e da complexidade do problema de operação melhorando o desempenho computacional do algoritmo de solução de um problema de expansão. Portanto, a metodologia de decomposição de Benders com formulação disjuntiva compacta visa 470

12 tornar computacionalmente viável e eficiente a utilização de um modelo de programação dinâmica dual estocástica em um problema de planejamento da expansão integrada de sistemas hidrotérmicos de grande porte. Referências Benders, J. F., "Partitioning procedures for solving mixed variables programming problems". Numerische Mathematik, v. 4, pp , Binato, S., Expansão ótima de sistemas de transmissão através de decomposição de Benders e técnicas de planos cortantes. ese de Doutorado, COPPE/RJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, De Champs, C., Vankelecom, J., Jamoulle, E., RANEX An interactive computer program for transmission expansion planning. IEEE IPES Summer Meeting, Vancouver, Canada, Jul. 1979, paper A Dusonchet, Y. P., El-Abiad, A. H., ransmission planning using discrete dynamic pptimization. IEEE ransactions on PAS, v. 92, pp , Abr Garver, L. L., ransmission network estimation using linear programming. IEEE ransactions on Power Apparatus and Systems, v. 89, n. 7, pp , Set Gonzaga, C. C., Estudos de algoritmos de busca em grafos e sua aplicação a problemas de planejamento. ese de Doutorado, COPPE, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Granville, S., Pereira, M. V. F., Analisys of the linearized power flow in Benders decomposition. In: Report SOL 85-04, System Optimization Lab. Stanford University, Kaltenbatch, J. C., Peshon, J., Gehrig, E. H., "A mathematical optimization technique for the expansion of electrical power transmission systems". IEEE ransactions on PAS, v. PAS-89, n. 11, pp , Jan Lee, S.. Y., Hicks, K. L., Hnyilicza, E., "ransmission expansion by Branch-and-Bound integer programming with optimal cost capacity curve". IEEE ransactions on PAS, v.93, n.5, pp , Set Levi, V. A., Calovic, M. S., "A new decomposition based method for optimal expansion planning of large transmission networks." IEEE ransactions on Power Systems, v. 6, n. 3, pp , Ago Pereira, M. V. F., Aplicação de análise de sensibilidade no planejamento da expansão de sistemas de geração/transmissão. ese de Doutorado. COPPE, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Pinto, L. M. V., Nunes, A., "A model for optimal transmission expansion planning". Proceedings of the 10th Power System Computation Conference (PSCC), pp , Graz, Austria, Out Porto,. O., Representação de problemas estocásticos multi-estágios em decomposição: uma aplicação ao planejamento da expansão de sistemas elétricos. Dissertação de Mestrado, PUC/RJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Romero, R., Planejamento da expansão de sistemas de transmissão por decomposição de Benders hierarquisada, Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Brasil, Dez Sharifnia, A., Aashtiani, M. H., ransmission network planning: a method for synthesis of minimum cost secure networks. IEEE ransactions on Power Apparatus and Systems, v. 104, n. 8, pp , Ago Stott, B., Alsaç, O., "Fast decoupled load flow." IEEE ransactions on PAS, v.93, p , homé, F. S., Aplicação de técnica de decomposição com o cálculo de multiplicadores implícitos no planejamento da expansão da geração e rede de transmissão de sistemas elétricos. Dissertação de Mestrado. COPPE, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, samasphyrou, P., Renaud, A., Carpentier, P., "ransmission network planning: an efficient Benders decomposition scheme". Proceedings of the 13th Power System Computation Conference (PSCC), pp , rondheim, Norway, Jun.-Jul Villasana, R., ransmission network planning using linear and linear mixed integer programming. PhD hesis. Ressenlaer Polytechnic Institute,