Incorporação de Restrições de Confiabilidade ao Problema de Planejamento Ótimo da Expansão de Sistemas Elétricos

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1 Incorporação de Restrições de Confiabilidade ao Problema de Planejamento Ótimo da Expansão de Sistemas Elétricos Luiz Carlos da Costa Júnior PSR - Praia de Botafogo, 228 Ala B Sala 1705, CEP , Rio de Janeiro luizcarlos@psr-inc.com Mario Veiga Ferraz Pereira PSR - mario@psr-inc.com Silvio Binato PSR - silvio@psr-inc.com Nora Campodónico PSR - nora@psr-inc.com Márcia Helena Costa Fampa Programa de Engenharia de Sistemas e Computação - COPPE/UFRJ Cidade Universitária, CT, Bloco H, CEP , Rio de Janeiro fampa@dcc.ufrj.br Fernanda Souza Thomé PSR - fernanda@psr-inc.com RESUMO Este trabalho descreve uma metodologia para incorporar restrições de confiabilidade no problema de planejamento ótimo da expansão de sistemas elétricos. Além da LOLP e EENS, tradicionalmente utilizados no setor elétrico, é proposta a utilização dos índices de risco VaR (Value-at-Risk) e CVaR (Conditional Value-at-Risk), vastamente utilizados na área financeira. A inclusão explícita de restrições de confiabilidade no problema de planejamento pode ser extremamente onerosa e, para minimizar o custo computacional, este trabalho faz uso da técnica de decomposição de Benders, decompondo o problema de planejamento em um problema de investimento e subproblemas para calcular a operação e confiabilidade do sistema. No caso específico dos índices de confiabilidade, utilizou-se o método de simulação Monte Carlo. A metodologia proposta é aplicada a um problema real de planejamento ótimo da expansão do sistema elétrico da Bolívia. PALAVRAS-CHAVE. Planejamento da expansão, Confiabilidade de sistemas elétricos, Decomposição de Benders ABSTRACT This work presents a methodology to incorporate reliability constraints in the optimal power systems expansion planning problem. Besides LOLP and EENS, traditionally used in power systems, this work proposes the utilization of the risk measures VaR (Value-at-Risk) and CVaR (Conditional Value-at-Risk), widely used in financial markets. The explicit consideration of reliability constraints in the planning problem can be an extremely hard task and, in order to minimize computational effort, this work applies the Benders decomposition technique decomposing the expansion planning problem it in an investment problem and subproblems to evaluate the system s operation and reliability. Specifically for reliability indexes, the Monte Carlo method is used. The proposed methodology is applied to the real problem of optimal expansion planning of the Bolivian power system. KEYWORDS. Expansion planning, Power systems reliability, Benders decomposition 355

2 1 Introdução O problema do planejamento da expansão de sistemas elétricos (PPE) origina-se das mudanças necessárias no sistema devido ao crescimento da demanda de energia com o passar dos anos. Para tanto, novos geradores devem ser construídos com o objetivo de satisfazer as novas necessidades do sistema e as decisões do processo de planejamento estão associadas à seleção das melhores usinas geradoras. Este processo de decisão dá origem a um problema de otimização de grande porte, onde o objetivo é planejar o sistema elétrico futuro minimizando os custos de investimento e operação sujeito a critérios mínimos de segurança pré-estabelecidos. Este processo de planejamento se constitui em um problema extremamente complexo que não pode ser solucionado sem que sejam feitas simplificações. Uma simplificação tipicamente realizada consiste em dividir o PPE em um procedimento hierárquico onde o plano de expansão é elaborado primeiramente sob o enfoque econômico (primeiro estágio), ou seja, com o objetivo de minimizar os custos de investimento e suprimento da demanda (operação) e, em seguida (segundo estágio), avaliam-se os investimentos adicionais necessários para a garantia dos critérios mínimos de segurança (reforços de confiabilidade). Uma das primeiras metodologias para a solução do problema de planejamento com restrições de confiabilidade foi proposta por [Coté(1975)] onde eram obtidas aproximações lineares da função confiabilidade ajustadas a partir de uma formulação não linear. Em seguida, [Bloom(1983)] apresentou um modelo similar, mas capaz de gerar cortes de Benders a partir de um modelo de simulação probabilística. Entretanto, sua modelagem era não convexa o que levava a problemas na convergência. De modo geral, o PPE pode ser formulado por uma função de mínimo custo total (investimento e operação) sujeito à restrições operativas e de confiabilidade que dependem diretamente das decisões de investimento. Esta formulação contém uma estrutura bastante oportuna para a aplicação de técnicas de decomposição. A utilização de esquemas de decomposição para o problema de investimento e operação foi explorada por [Pereira(1985)]. Posteriormente, [Oliveira(1987)] apresentou um modelo para expansão de capacidade de ponta levando em consideração restrições de confiabilidade de EENS, porém se restringe à solução do problema do segundo estágio, ou seja, à avaliação de investimentos adicionais para atender os requisitos de confiabilidade. Este trabalho é baseado na dissertação de Mestrado de [Costa Jr.(2008)] e, em linhas gerais, consiste em uma metodologia para a solução do PPE de maneira integrada, onde se considera em um único problema as análises econômica e de confiabilidade. Deste modo, é possível avaliar de forma correta a contribuição dos projetos, levando em conta tanto a contribuição para a redução do custo operativo como também para o aumento da confiabilidade do sistema. Com esta nova metodologia é possível questionar as premissas utilizadas para simplificar o problema de planejamento da expansão pelo processo de solução hierárquico. A proposta para a obtenção da solução baseia-se na técnica de decomposição de Benders na qual o problema é subdivido nos módulos de investimento, operação e confiabilidade. Esta partição permite que cada subproblema seja solucionado por um algoritmo especializado, e.g., o subproblema de investimento (um problema de programação linear inteira mista) é solucionado por Branch-and-Bound (B&B), o subproblema de operação por programação dinâmica dual estocástica (PDDE) e o subproblema de confiabilidade pelo método de simulação Monte Carlo (SMC). Este trabalho propõe também a utilização das duas medidas de risco, utilizadas na área de finanças, VaR α e CVaR α como alternativas à LOLP e EENS para critério de planejamento. 356

3 2 Planejamento da Expansão de Sistemas Elétricos De modo geral, o PPE pode ser formulado como o seguinte problema de programação linear inteira mista: Minimizar I(x) + O(x) (1a) sujeito a R(x) R (1b) onde x representa o vetor de decisões de investimento, I(x) a função custo de investimento, O(x) o custo de operação, R(x) o índice de risco, R o critério de confiabilidade e X o conjunto de planos que atende às restrições de investimento. 2.1 Planejamento Econômico (PE) A primeira etapa do processo de planejamento consiste em uma simplificação do problema (1), onde não são consideradas as restrições de risco: (1c) Minimizar I(x) + O(x) (2a) sujeito a (2b) Note que o problema (2) não considera as restrições de confiabilidade (1b). Em geral, este aspecto é representado de forma simplificada, aplicando-se um fator de redução na capacidade de geração das usinas correspondente a sua taxa de disponibilidade média. De acordo com está simplificação, o problema de planejamento da expansão de sistemas de geração pode ser formulado da seguinte forma: Minimizar c j x j + d j g j + d r r (3a) j G C j G sujeito a g j + r = D (3b) j G g j g j j G E (3c) g j g j x j 0 j G C (3d) onde G, G E e G C são os conjuntos das centrais geradoras, centrais geradoras existentes e candidatas (projetos); c j representa o custo de investimento do projeto j; d k representa o custo variável de operação da central k, D representa a demanda do sistema, r é uma variável que representa o corte de demanda, g j é a capacidade disponível de cada central calculada em função da disponibilidade média como g j = (1 p j ) ḡ j, p j corresponde a taxa média de falha e ḡ j a capacidade instalada de j. A função objetivo (3a) consiste na minimização do custo total (investimento e operação), sujeito ao atendimento da demanda em cada etapa (3b), limites de geração das usinas geradoras existentes (3c) e candidatas (3d), e restrições de investimento (3e). Entretanto, a utilização da capacidade de geração média pode não ser suficiente para capturar a real exposição/risco do sistema a eventos de corte de carga, conforme ilustrado na figura 1. Note que, em termos médios, o sistema é capaz de atender a demanda, porém existem estados de capacidade insuficiente (regiões hachuradas). Por esta razão, se faz necessária a avaliação probabilística do sistema, que consiste na modelagem do estado operativo das usinas e, conseqüentemente, da capacidade total do sistema como uma variável aleatória (v.a.). (3e) 357

4 Figura 1: Comportamento aleatório da capacidade total do sistema 3 Análise de Confiabilidade de Sistemas Elétricos Um sistema de potência é composto basicamente por elementos como geradores, linhas de transmissão, transformadores e demanda. Os elementos podem se encontrar em um determinado estado pertencente a um conjunto de possíveis estados. Por exemplo, o estado operativo de um gerador pode se encontrar em dois estados: (a) 0 se o equipamento não está funcionando; (b) 1 se está funcionando. Outros elementos, como patamar de demanda, podem necessitar de uma representação multi-estado. O estado de um sistema de potência com J geradores é representado pelo vetor ξ s = [ξ 1s, ξ 2s,..., ξ Js ] onde ξ js é o estado do j-ésimo gerador. O conjunto de todos os possíveis vetores ξ s dado pela combinação dos estados dos geradores, é denotado por S, espaço de estados 1. Para cada estado do gerador j existe uma probabilidade de ocorrência associada p j = P (ξ j ) e, dado o estado de cada gerador para o cenário s, é possível calcular a probabilidade do estado do sistema p s = P (ξ s ). A capacidade total do sistema é denotada pela v.a. Ḡ = J j=1 ξ jḡ j e o respectivo corte de carga é dado pela v.a. R = max(d Ḡ, 0), que corresponde à insuficiência de capacidade do sistema. Como P (ξ) é uma distribuição de suporte finito, para cada realização do estado do sistema ξ s está associada uma capacidade total Ḡs e um respectivo corte de carga r s. Para mensurar o desempenho de um dado plano de investimentos x, são necessários índices de risco, em geral, baseados na distribuição de probabilidade do corte de carga. Uma vez que o objetivo do PPE é determinar quais geradores devem ser construídos, a distribuição de probabilidade P (R) é uma função da decisão de investimentos x. Com isto, o objetivo do PPE com restrições de risco envolve o ajuste da função de distribuição através da obtenção de um plano de investimentos tal que o índice de risco de interesse atenda o critério pré-estabelecido. A seguir, serão apresentados os índices de confiabilidade LOLP e EENS, tradicionalmente utilizados no setor elétrico e, em seguida, serão introduzidos no contexto da confiabilidade os índices VaR α e CVaR α, utilizados em finanças. Além disto, o cálculo destes índices será formulado como um problema de otimização com a finalidade de incorporá-los no PPE. 3.1 Índices de Confiabilidade Tradicionais LOLP A abordagem mais direta ao medir o risco de falha no suprimento de um sistema de potência é avaliar a quantidade de estados insuficientes. A LOLP (Loss Of Load Probability) corresponde à 1 os termos estado do sistema e cenário têm significado equivalente neste trabalho 358

5 (a) (b) Figura 2: Índices de Confiabilidade Tradicionais probabilidade de perda de carga, conforme ilustrado na figura 2(a), e é dada por LOLP = P (R > 0) = s Ω p s (4) onde Ω = {s S r s > 0} é o conjunto dos estados com corte de carga. O cálculo deste índice pode ser formulado como um problema de programação linear inteira mista, onde se utiliza uma variável inteira φ s, para cada cenário s, com o objetivo de indicar se houve corte de carga neste cenário. A LOLP, então, é calculada como a média destes indicadores ponderada pela probabilidade de ocorrência do respectivo cenário. Incorporando explicitamente esta formulação no PPE, o PPE com restrições de LOLP pode ser formulado como: Minimizar c j x j + O(x) (5a) j G C sujeito a p s φ s LOLP (5b) s S r s + j G C ξ js ḡ j x j D j G E ξ js ḡ j s S (5c) φ s 1 D r s 0 s S (5d) r s 0 s S (5e) φ s {0, 1} s S (5f) onde LOLP [0, 1] é um nível de confiabilidade aceitável correspondente ao critério de planejamento adotado. A restrição (5c) relaciona o corte de carga com a insuficiência de capacidade em cada cenário e a restrição (5d) assegura que a variável indicadora φ s será igual a 1 para os cenários com corte de carga. Observe que a restrição (5b) limita a LOLP(x) e, conseqüentemente, restringe o conjunto de planos de investimentos. Entretanto, é possível notar que a LOLP é uma medida não sensível à profundidade do corte de carga, sendo esta uma crítica à utilização desta medida como critério de planejamento EENS De maneira complementar à LOLP, a EENS (Expected Energy Not Supplied) corresponde ao valor esperado do corte de carga, conforme ilustrado na figura 2(b), e é definida como (5g) EENS = E[R] = s S p s r s (6) Similarmente, a EENS pode ser formulada como um problema de otimização e incorporada 359

6 explicitamente no PPE, resultando no modelo de PPE com restrições de EENS (7). Minimizar c j x j + O(x) j G C sujeito a p s r s EENS s S r s + j G C ξ js ḡ j x j D (7a) (7b) j G E ξ js ḡ j s S (7c) r s 0 s S (7d) onde EENS é o critério de planejamento pré-estabelecido para EENS. Apesar de a EENS capturar em média a severidade do corte de carga, este índice também incorpora os cenários onde não ocorreu corte de carga e, com isto, esta medida acaba diluída, não refletindo o real risco do sistema. 3.2 Índices de Risco utilizados em Finanças Como visto anteriormente, seria interessante se o índice de confiabilidade conseguisse capturar simultaneamente as características da LOLP e EENS, ou seja, a quantidade de cenários com corte de carga e a severidade destes cenários. Neste sentido, buscou-se novas medidas de risco utilizadas em finanças para o apoio à problemas de decisão de portfólio. A seguir, serão apresentadas as medidas de risco VaR α e CVaR α e introduzidas no contexto da análise da confiabilidade para o planejamento da expansão de sistemas elétricos. 3.3 VaR α O VaR α (Value-at-Risk) ([Jorion(1998)]) é um índice de risco que tem como objetivo medir o menor corte de carga associado a um nível de confiança α ou, de maneira análoga, o máximo corte de carga previsto dentro de um nível de confiança 1 α, conforme ilustrado na figura 3(a). Exemplificando, VaR 5% responde à pergunta qual é o máximo corte de carga possível com um nível de confiança de 95%? Assim como definido para LOLP e EENS, é possível definir o problema de planejamento quando se utiliza R(x) = VaR α (x) como critério de confiabilidade. Para isto, incorpora-se explicitamente sua formulação no problema (3), como apresentado em (8). Minimizar c j x j + O(x) (8a) j G C (7e) sujeito a r s Dφ s VaR s S (8b) p s φ s α (8c) s S r s + j G C ξ js ḡ j x j D j G E ξ js ḡ j s S (8d) r s 0 s S (8e) φ s {0, 1} s S (8f) onde VaR α é o limite pré-estabelecido pelo planejador. Observe que, assim como a LOLP, também são necessárias variáveis inteiras por cenário, dificultando sua representação. Rearranjando a restrição (8b), tem-se que φ s D 1 ( r s VaR ) que indica que, quando o corte de carga r s exceder o limite VaR a variável φ s deverá assumir valor 1, caracterizando os (8g) 360

7 (a) (b) Figura 3: Índices de Risco Financeiros cenários que compõe a cauda da distribuição. Apesar de incorporar o parâmetro α que seleciona a cauda da distribuição, o VaR α corresponde ao menor valor desta cauda e, por esta razão, também não é sensível à severidade dos cenários de corte de carga superiores ao VaR α CVaR α O CVaR α (Conditional Value-at-Risk) tem como objetivo medir o valor esperado dos α% cenários mais severos, ou seja, a média dos cenários que compõem a cauda da distribuição do corte de carga e é definido como CVaR α (R) = E[R : R VaR α (R)] (9) Apesar de o CVaR α possuir diversas características interessantes ([Acerbi and Tasche(2001)]), em primeira análise sua utilização está condicionada ao cálculo do VaR α, herdando assim suas dificuldades de representação. Entretanto, [Rockafellar and Uryasev(2000)] demostrou que é possível formular o CVaR α como um problema de programação linear independente do VaR α, o que impulsionou sua utilização. Assim como definido para as medidas apresentadas anteriormente, o PPE com restrições de CVaR α é apresentado em (10). Minimizar c j x j + O(x) (10a) j G C sujeito a y + α 1 s S p s z s CVaR s S (10b) r s + j G C ξ js ḡ j x j D j G E ξ js ḡ j s S (10c) z s r s + y 0 s S (10d) r s 0 s S (10e) z s 0 s S (10f) (10g) onde CVaR é um dado limite pré-estabelecido pelo planejador, y é a variável que representa o VaR α calculado implicitamente e z s é a quantidade de corte de carga que excede o y, calculado pela equação (10d). Deste modo, o CVaR α pode ser calculado como a soma de y e o valor esperado condicionado aos cenários que excedem o VaR α, conforme o lado esquerdo da equação (10b). 4 Incorporação de Restrições de Risco em Esquemas de Decomposição Como observado nas seções anteriores, o problema de planejamento da geração com restrições de risco é um problema de otimização inteira mista de grande escala. A incorporação de restrições de confiabilidade requer a representação adicional de um conjunto de variáveis e restrições para cada estado do sistema e o número de estados cresce combinatorialmente com o número de geradores do sistema. 361

8 O principal objetivo da concepção de técnicas de decomposição matemática é conseguir solucionar problemas muito complexos, ou muito grandes, através da solução repetida de uma série de problemas mais fáceis, ou menores. A partir do modelo (1) é possível notar que o PPE com restrições de confiabilidade tem uma estrutura em blocos e que o acoplamento entre os problemas se encontra no vetor de variáveis de decisão de investimento x, sendo a estrutura oportuna para aplicação de técnicas de decomposição. Neste trabalho é utilizada a técnica de decomposição de Benders [Benders(1962)] e o problema original é dividido em três subproblemas, reproduzindo de maneira intuitiva o processo de um estudo de planejamento da expansão, que consiste nos seguintes passos: Primeiramente, soluciona-se o subproblema de investimento (denominado subproblema Mestre), que têm como objetivo obter uma proposta de plano de investimentos x µ, com base nas informações obtidas até iteração µ: uma aproximação da região viável e da função objetivo (custo de investimento mais custo de operação aproximado); Dado o plano proposto, x µ, soluciona-se o subproblema de operação (denominado subproblema Escravo) e verifica-se se a aproximação da função custo representada no subproblema de investimento é adequada. Caso esta função ainda não tenha a precisão adequada, é realizada uma análise de sensibilidade de modo construir um corte e melhorar a aproximação da função custo no problema Mestre. A partir do mesmo plano proposto x µ, soluciona-se o subproblema de confiabilidade (também denominado subproblema Escravo) de modo a verificar se a solução proposta é viável. Caso a solução não seja viável, é realizada a análise de sensibilidade do problema de modo a construir um corte e melhorar a representação da região viável no problema Mestre; Em outras palavras, a cada iteração, é obtida a solução do subproblema Mestre e enviada aos dois subproblemas Escravos, que avaliam a decisão x µ e retornam cortes de Benders que melhoram a representação do problema. Este procedimento é repetido iterativamente até que seja encontrada uma solução viável e a função custo esteja aproximada satisfatoriamente. 4.1 Subproblema de Investimento O subproblema de investimento pode ser formulado pelo seguinte problema de programação linear inteira mista: Minimizar c j x j + α (11a) j G C sujeito a α ) x i x j O(x i ) ) j G C j x i x i j j G C j i A (11b) ) x i x j R R(x i ) + ) j G C j x i x i j j G C j i R (11c) (11d) onde A e R são os conjuntos de iterações onde foram adicionados um corte de otimalidade e um corte de viabilidade, respectivamente. Além disto, x i é o vetor de soluções obtido na iteração i. 362

9 4.2 Subproblema de Operação Dada um proposta de investimento x µ, o problema de operação é pode ser formulado como: O(x µ ) = Minimizar d j g j + d r r (12a) sujeito a j G g j + r = D j G g j ḡ j g j ḡ j x j µ (12b) πḡ j j G E (12c) πḡ j j G C (12d) onde πḡ j corresponde a variável dual da restrição de capacidade máxima do gerador j. A partir da teoria de programação linear, sabe-se que πḡ j é a derivada da função objetivo O(x µ ) com relação ao lado direito das restrições (12c) e (12d). Aplicando a regra da cadeia, temse: O(x µ ) x j µ = O(xµ ) (ḡ j x µ j ) (ḡ jx µ j ) x µ j = πḡ j ḡj (13) é a derivada do custo operativo com relação à decisão de investimento x µ, utilizada na construção dos cortes de Benders de otimalidade. 4.3 Subproblema de Confiabilidade Dada uma solução de investimento x µ, é possível calcular o valor da medida de risco associada a este plano, assim como as derivadas da função confiabilidade R(x µ ) com relação à decisão de investimento necessárias para a construção dos cortes de Benders que aproximam a região viável sob o ponto de vista do critério de confiabilidade no problema Mestre. Os cortes de Benders de viabilidade consistem em planos cortantes tangentes à região de viabilidade segundo o critério de confiabilidade e, devido a isto, um dos requisitos para que o método de decomposição de Benders seja aplicado com sucesso é que os cortes gerados não eliminem soluções viáveis, o que não é possível garantir caso o subproblema seja não convexo. Entretanto, foi visto que os modelos de planejamento com critério de confiabilidade LOLP e VaR α exigem a utilização de variáveis inteiras em sua formulação, caracterizando problemas não convexos, o que impossibilita a aplicação deste esquema de decomposição. Por esta razão e pelo fato de o CVaR α ser um modelo mais geral, neste trabalho é considerada apenas a decomposição de Benders dos problemas de planejamento da expansão utilizando os critérios de confiabilidade de EENS e CVaR α Critério de EENS Para este subproblema faz-se R(x) = EENS(x) e para sua solução não é necessário representar explicitamente a variável corte de carga r s pois, dada a solução do problema de investimento x µ, é possível calcular a EENS de maneira equivalente como EENS(x µ ) = p s D µ ξ js ḡ j ξ js ḡ j x j (14) s Ω j G E j G C Derivando a equação (14) com relação à variável de investimento x i µ, tem-se EENS(x µ ) x i µ = s Ω p s ξ is ḡ i (15) que consiste no coeficiente do corte de Benders de viabilidade. 363

10 4.3.2 Critério de CVaR α O subproblema para cálculo do CVaR α consiste no seguinte problema de programação linear: CVaR α (x µ ) = Minimizar y + α 1 s S p s z s (16a) sujeito a z s r s y w s s S (16b) r s D µ ξ js ḡ j ξ js ḡ j x j v s s S (16c) j G E j G C onde as variáveis de decisão y, r s e z s são não negativas e v s e w s são as variáveis duais das restrições (16b) e (16c), respectivamente. Entretanto, é possível demonstrar ([Costa Jr.(2008)]) que tanto o CVaR α como sua derivada com relação a x j µ podem ser obtidos solucionando cada cenário independentemente, o que permite a aplicação de SMC. 5 Estudo de Caso O estudo de caso consiste no planejamento da expansão da geração do sistema da Bolívia (BO), para o horizonte O sistema é composto por um parque gerador existente de 28 usinas hidroelétricas e 25 usinas térmicas e possui uma capacidade instalada de cerca de 850MW em Além disto, 30 projetos de usinas térmicas compõem a lista de alternativas de investimento para o plano de expansão. Observe que o número máximo de usinas que podem estar em operação no sistema é de 83 e, com isto, tem-se que o número máximo de estados do subproblema de confiabilidade é de 2 83, que é da ordem de estados. Inicialmente, é realizada uma análise comparativa dos planos de expansão obtidos quando da utilização de uma metodologia de planejamento hierárquico e a metodologia de planejamento integrado. Adicionalmente, é realizada uma comparação entre os resultados obtidos a partir do critério de confiabilidade de EENS e CVaR α. Foi adotado com critério de confiabilidade um limite para a EENS igual a 1% da demanda para cada etapa (mensal) ao longo do horizonte de estudo. O subproblema de confiabilidade é solucionado por SMC e foi utilizado como critério de convergência um máximo coeficiente de variação para o estimador da EENS igual a 5% ([Pereira et al.(1992)]). 5.1 Planejamento Hierárquico EENS (PHE) A abordagem do planejamento hierárquico consiste em obter um plano de investimento inicial (primeiro estágio) considerando apenas a análise dos investimentos que contemplam a minimização do custos operativos (PE), como apresentado na seção 2.1. A tabela 1 mostra a capacidade adicionada em cada ano do horizonte de planejamento e a tabela 2 o custo total obtidos com a aplicação desta metodologia. É possível observar na figura 4(a) que a EENS resultante não é viável segundo o critério de confiabilidade estabelecido. O segundo estágio do PHE é realizado fixando a solução do primeiro estágio e solucionando novamente o problema para a obtenção de reforços de confiabilidade. Observe na tabela 1 que foi necessário o investimento em 44.1MW adicionais no ano de 2005 (ano que ocorre a primeira violação de EENS) para garantir o atendimento dos critérios de confiabilidade e, com isto, houve um aumento no custo total deste plano de investimentos, também ilustrado na tabela Planejamento Integrado com critério de EENS (PIE) A metodologia de planejamento integrado consiste na consideração dos problemas de operação e confiabilidade em um único problema de investimento. Uma vez que a solução não se fixa a solução como no PHE, é possível considerar os benefícios econômicos de modo integrado aos benefícios em termos de garantia do atendimento do critério de confiabilidade e reavaliar a solução. A tabela 1 ilustra que, mantendo o investimento em 44.1MW em 2005, é possível reduzir os 364

11 Tabela 1: Planejamento Hierárquico x Integrado: Capacidade Adicional [MW] Metodologia PE PHE PIE PIC Tabela 2: Planejamento Hierárquico x Integrado: Custos Metodologia Custo de Custo de Custo # de etapas Investimento Operação Total violadas PE M$ M$ M$ 22 PHE M$ M$ M$ 0 PIE M$ M$ M$ 0 PIC M$ M$ M$ 0 investimentos no ano de 2006 também para 44.1MW e ainda assim obter um plano viável. Note que, comparado à metodologia PHE, a metodologia PIE obtém um plano de investimentos de custo menor e maior custo de operação, ilustrando que há um benefício em investir em uma usina de custo de construção inferior e maior custo operativo, mas que ainda garante o critério de confiabilidade e um menor custo total, conforme mostrado na tabela Planejamento Integrado com critério de CVaR α (PIC) Com o objetivo de comparar os índices de risco EENS e CVaR α, foi calculado o CVaR 5% para o plano de investimentos ótimo obtido com o PIE e o máximo valor obtido (aproximadamente 10% da demanda) foi utilizado como limite para o CVaR 5% para a obtenção de um plano considerando restrições de confiabilidade de CVaR 5% 10%. É possível observar os resultados obtidos com este plano na tabela 2 e a capacidade instalada adicional na tabela 1. A diferença para o PIE consiste que a metodologia PIC não considerou necessária o investimento em 44.1MW no último ano, obtendo um plano de investimentos de menor custo. Além disto, observando a EENS para este plano na figura 4(b), nota-se que, como o critério da metodologia PIC diz respeito à média dos 5% cenários mais severos e não à média de todos os cenários (EENS), foi possível encontrar um plano mais econômico às custas de uma EENS superior a 1% da demanda no último ano (mas que respeita o critério de CVaR 5% ). 6 Conclusões Este trabalho apresentou uma metodologia para incorporar restrições de confiabilidade no problema de planejamento ótimo da expansão de sistemas elétricos. Através de um exemplo real, mostrou-se que somente a aplicação de critérios de planejamento econômico não é suficiente para garantir o atendimento dos critérios de confiabilidade. Também mostrou-se que a aplicação de um procedimento hierárquico de dois estágios para resolver o problema de planejamento com critérios de confiabilidade não leva à solução de menor custo. Em contrapartida, mostrou-se que é possível a obtenção da solução ótima com a aplicação de uma metodologia integrada que considera critérios econômicos e de confiabilidade simultaneamente. A vantagem da utilização de uma metodologia integrada consiste na possibilidade de identificar projetos que contribuem tanto em termos econômicos quanto em termos de melhoria da 365

12 (a) EENS resultante para o plano obtido com o PE (b) EENS resultante para o plano obtido com o PIC Figura 4: EENS mensal confiabilidade do sistema, o que não é possível com a utilização de um procedimento hierárquico. Além das medidas tradicionais de confiabilidade em sistemas elétricos, LOLP e EENS, este trabalho ilustrou também como incorporar no planejamento da expansão de sistemas elétricos as medidas de risco VaR α e CVaR α, vastamente utilizadas na área financeira. Em especial, mostrou-se que a utilização do critério do CVaR α permite controlar a profundidade da função de distribuição de probabilidade do corte de carga. Com isto, torna-se possível a prevenção contra eventos desastrosos com o nível de confiabilidade desejado, estimulando a diversificação do portfólio de usinas. Referências Bibliográficas [Acerbi and Tasche(2001)] Acerbi, C. and Tasche, D. (2001). Expected shortfall: A natural coherent alternative to value at risk. Economic Notes 31, [Benders(1962)] Benders, J. F. (1962). Partitioning procedures for solving mixed-variables programming problems. Numerische Mathematik 4, [Bloom(1983)] Bloom, J. (1983). Solving an electricity generating capacity expansion planning problem by generalized Benders decomposition. Operations Research 31, [Costa Jr.(2008)] Costa Jr., L. C. (2008). Incorporação de Restrições de Confiabilidade ao Problema de Planejamento Ótimo da Expansão de Sistemas Elétricos. Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ. [Coté(1975)] Coté, G. (1975). Reliability aspects of optimal generation planning models for power systems. Tese de Doutorado, University of London. [Jorion(1998)] Jorion, P. (1998). Value at risk: A nova fonte de referência para o controle do risco de mercado. Bolsa de Mercadorias e Futuros-São Paulo. [Oliveira(1987)] Oliveira, G. C. (1987). Metodologia de Expansão da Capacidade de Ponta em Sistemas Interligados de Geração Hidrotermoelétrica. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ. [Pereira(1985)] Pereira, M. V. F. (1985). Aplicação de Análise de Sensibilidade no Planejamento da Expansão de Geração/Transmissão. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. [Pereira et al.(1992)] Pereira, M. V. F., Maceira, M. E. P., Oliveira, G. C. and Pinto, L. M. V. G. (1992). Combining analytical models and monte-carlo techniques in probabilistic power system analysis. IEEE Transactions on Power Systems 7, ISSN [Rockafellar and Uryasev(2000)] Rockafellar, R. T. and Uryasev, S. (2000). conditional value at risk. The Journal of Risk 2, Optimization of 366