EEL 6300 Despacho Econômico de Unidades Térmicas Parte 2
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1 EEL 6300 Despacho Econômico de Unidades Térmicas Parte 2 Antonio Simões Costa UFSC - LABSPOT A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 1 / 19
2 Despacho Econômico x Alocação de Unidades Em estudos de programação da operação, o problema de DE é precedido pela solução de outro problema, denominado Alocação de Unidades ( Unit Commitment ); A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 19
3 Despacho Econômico x Alocação de Unidades Em estudos de programação da operação, o problema de DE é precedido pela solução de outro problema, denominado Alocação de Unidades ( Unit Commitment ); O problema de Alocação de Unidades contempla horizontes de operação mais amplo (um dia, vários dias, uma semana), e busca determinar quantas e quais unidades devem estar em operação para cada condição de carregamento; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 19
4 Despacho Econômico x Alocação de Unidades Em estudos de programação da operação, o problema de DE é precedido pela solução de outro problema, denominado Alocação de Unidades ( Unit Commitment ); O problema de Alocação de Unidades contempla horizontes de operação mais amplo (um dia, vários dias, uma semana), e busca determinar quantas e quais unidades devem estar em operação para cada condição de carregamento; O DE parte da solução do problema de Alocação de Unidades para determinar os despachos ótimos das unidades para cada patamar de carga do horizonte de estudo; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 19
5 Despacho Econômico x Alocação de Unidades Em estudos de programação da operação, o problema de DE é precedido pela solução de outro problema, denominado Alocação de Unidades ( Unit Commitment ); O problema de Alocação de Unidades contempla horizontes de operação mais amplo (um dia, vários dias, uma semana), e busca determinar quantas e quais unidades devem estar em operação para cada condição de carregamento; O DE parte da solução do problema de Alocação de Unidades para determinar os despachos ótimos das unidades para cada patamar de carga do horizonte de estudo; Portanto, na solução do DE não existe a opção de se alterar as decisões tomadas na alocação de unidades, tais como: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 19
6 Despacho Econômico x Alocação de Unidades Em estudos de programação da operação, o problema de DE é precedido pela solução de outro problema, denominado Alocação de Unidades ( Unit Commitment ); O problema de Alocação de Unidades contempla horizontes de operação mais amplo (um dia, vários dias, uma semana), e busca determinar quantas e quais unidades devem estar em operação para cada condição de carregamento; O DE parte da solução do problema de Alocação de Unidades para determinar os despachos ótimos das unidades para cada patamar de carga do horizonte de estudo; Portanto, na solução do DE não existe a opção de se alterar as decisões tomadas na alocação de unidades, tais como: retirar de operação uma unidade, ou A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 19
7 Despacho Econômico x Alocação de Unidades Em estudos de programação da operação, o problema de DE é precedido pela solução de outro problema, denominado Alocação de Unidades ( Unit Commitment ); O problema de Alocação de Unidades contempla horizontes de operação mais amplo (um dia, vários dias, uma semana), e busca determinar quantas e quais unidades devem estar em operação para cada condição de carregamento; O DE parte da solução do problema de Alocação de Unidades para determinar os despachos ótimos das unidades para cada patamar de carga do horizonte de estudo; Portanto, na solução do DE não existe a opção de se alterar as decisões tomadas na alocação de unidades, tais como: retirar de operação uma unidade, ou colocar em operação uma nova unidade. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 19
8 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (1) Problema de despacho de N unidades geradoras desconsiderandoos limites de geração: min s.a. F t (P) = N F i (P i ) i=1 e T P P L = 0 onde: e T = [ ] e P T = [ P 1 P 2... P N ] ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 19
9 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (1) Problema de despacho de N unidades geradoras desconsiderandoos limites de geração: min s.a. F t (P) = N F i (P i ) i=1 e T P P L = 0 onde: e T = [ ] e P T = [ P 1 P 2... P N ] ; Função Lagrangeana correspondente: L = F T (P) + λ(p L e T P) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 19
10 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (2) Condições de otimalidade A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 19
11 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (2) Condições de otimalidade Factibilidade dual: P L = 0 = F T (P ) = λ e A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 19
12 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (2) Condições de otimalidade Factibilidade dual: P L = 0 = F T (P ) = λ e Factibilidade primal: e T P = P L A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 19
13 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (2) Condições de otimalidade Factibilidade dual: P L = 0 = F T (P ) = λ e Factibilidade primal: e T P = P L Supor variação de carga, de P L para P L + P L. Em conseqüência: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 19
14 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (2) Condições de otimalidade Factibilidade dual: P L = 0 = F T (P ) = λ e Factibilidade primal: e T P = P L Supor variação de carga, de P L para P L + P L. Em conseqüência: despacho variará desde o valor ótimo P para P + P para garantir o balanço de potência: e T (P + P) = P L + P L A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 19
15 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (2) Condições de otimalidade Factibilidade dual: P L = 0 = F T (P ) = λ e Factibilidade primal: e T P = P L Supor variação de carga, de P L para P L + P L. Em conseqüência: despacho variará desde o valor ótimo P para P + P para garantir o balanço de potência: e T (P + P) = P L + P L Logo: e T P = P L A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 19
16 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (3) Ainda em consequência da variação de carga de P L para P L + P L, o custo total variará de F T = F T (P + P) F T (P ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 5 / 19
17 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (3) Ainda em consequência da variação de carga de P L para P L + P L, o custo total variará de F T = F T (P + P) F T (P ) Ou, pela expansão em série de Taylor até o termo de 1a. ordem: F T T F T (P ) P A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 5 / 19
18 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (3) Ainda em consequência da variação de carga de P L para P L + P L, o custo total variará de F T = F T (P + P) F T (P ) Ou, pela expansão em série de Taylor até o termo de 1a. ordem: F T T F T (P ) P Como F T (P ) = λ e e e T P = P L, conclui-se que F T λ P L ou λ F T P L A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 5 / 19
19 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (4) λ F T P L Conclusão: λ é o incremento de custo em relação ao despacho ótimo para se gerar o próximo MW de potência; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 6 / 19
20 Interpretação do Multiplicador de Lagrange λ (4) λ F T P L Conclusão: λ é o incremento de custo em relação ao despacho ótimo para se gerar o próximo MW de potência; Portanto, λ é o custo marginal de operação do sistema. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 6 / 19
21 Fatores de Participação (1) Permitem extrapolar os resultados da solução mais recente do Despacho Econômico; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 19
22 Fatores de Participação (1) Permitem extrapolar os resultados da solução mais recente do Despacho Econômico; Calculados a partir da curva de custo incremental de cada unidade: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 19
23 Fatores de Participação (1) Supondo que a variação P i é pequena, temos: λ = F i (P 0 i ) P i P i = λ/f i (P 0 i ) ( ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 19
24 Fatores de Participação (1) Supondo que a variação P i é pequena, temos: λ = F i (P 0 i ) P i P i = λ/f i (P 0 i ) Desprezando as perdas de transmissão: P L = N P j = λ j=1 N ( 1/F j (Pj 0 ) ) j=1 ( ) A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 19
25 Frame Title Partindo da expressão P L = λ N ( 1/F j (Pj 0 ) ) j=1 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 19
26 Frame Title Partindo da expressão P L = λ e usando a expressão ( ), temos: [ P L = F i (P 0 i ) N ( 1/F j (Pj 0 ) ) j=1 N j=1 ( )] 1 F j (Pj 0) P i A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 19
27 Frame Title Partindo da expressão P L = λ e usando a expressão ( ), temos: [ P L = F i (P 0 i ) N ( 1/F j (Pj 0 ) ) j=1 N j=1 ( )] 1 F j (Pj 0) P i Define-se então o fator de participação para a unidade i como: f part,i ( ) = Pi P L = (1 / F i (Pi 0)) N (1 / F j (Pj 0)) j=1 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 19
28 Fatores de Participação - Exemplo Reconsidere o despacho econômico determinado no Exemplo A para a carga de 850 MW. As características das unidades são: Unidade 1: P 1 = 150 MW P 1 = 600 MW (carvão) F 1 (P 1 ) = , 92 P 1 + 0, P 2 1 Unidade 2: P 2 = 100 MW P 2 = 400 MW (óleo) F 2 (P 2 ) = , 85 P 2 + 0, P 2 2 Unidade 3: P 3 = 50 MW P 3 = 200 MW (óleo) F 3 (P 3 ) = , 97 P 3 + 0, P 2 3 Suponha agora que a carga do sistema evolui para P L = 900 MW. Use os fatores de participação para atualizar o despacho ótimo das três unidades. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 10 / 19
29 Solução Cálculo dos fatores de participação: f part1 = f part2 = f part3 = (1/0,003124) (1/0,003124)+(1/0,00388)+(1/0,00964) (1/0,00388) (1/0,003124)+(1/0,00388)+(1/0,00964) (1/0,00964) (1/0,003124)+(1/0,00388)+(1/0,00964) = 0, 47 = 0, 38 = 0, 15 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 11 / 19
30 Solução Cálculo dos fatores de participação: f part1 = f part2 = f part3 = (1/0,003124) (1/0,003124)+(1/0,00388)+(1/0,00964) (1/0,00388) (1/0,003124)+(1/0,00388)+(1/0,00964) (1/0,00964) (1/0,003124)+(1/0,00388)+(1/0,00964) As novas potências geradas serão dadas por: P i = P 0 i + f parti P L = 0, 47 = 0, 38 = 0, 15 onde P 0 1 = 393, 2 MW ; P0 2 = 334, 6 MW e P0 3 = 122, 2 MW. Logo: P 1 = 393, 2 + 0, = 416, 7 MW P 2 = 334, 6 + 0, = 353, 6 MW P 3 = 122, 2 + 0, = 129, 7 MW A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 11 / 19
31 DE com funções-custo lineares por partes (1) Em algumas situações, as funções-custo são aproximadas por funções lineares por partes: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 12 / 19
32 DE com funções-custo lineares por partes (2) Consequentemente, as funções de custo incremental correspondentes tornam-se constantes por partes: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 19
33 DE com funções-custo lineares por partes (3) Nestes casos, o cálculo do despacho econômico é facilitado, pois pode-se usar a técnica do empilhamento. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 14 / 19
34 DE com funções-custo lineares por partes (3) Nestes casos, o cálculo do despacho econômico é facilitado, pois pode-se usar a técnica do empilhamento. Exemplo para duas unidades: A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 14 / 19
35 DE com funções-custo lineares por partes (3) Solução do exemplo para carregamentos entre 70 e 380 MW : λ ($/MWh) Geração (MW ) P 1 (MW ) P 2 (MW ) 5, , , , , , , , A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 15 / 19
36 Métodos Computacionais para Solução do DE O método clássico para a solução do DE é o método da secante; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 19
37 Métodos Computacionais para Solução do DE O método clássico para a solução do DE é o método da secante; O método da Secante parte de duas sugestões iniciais para λ, a partir das quais é projetado um novo valor de λ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 19
38 Métodos Computacionais para Solução do DE O método clássico para a solução do DE é o método da secante; O método da Secante parte de duas sugestões iniciais para λ, a partir das quais é projetado um novo valor de λ; Cada valor de λ gera um despacho distinto, não necessariamente viável; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 19
39 Métodos Computacionais para Solução do DE O método clássico para a solução do DE é o método da secante; O método da Secante parte de duas sugestões iniciais para λ, a partir das quais é projetado um novo valor de λ; Cada valor de λ gera um despacho distinto, não necessariamente viável; Os valores projetados de λ são tais que os desvios no atendimento da demanda são progressivamente reduzidos; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 19
40 Métodos Computacionais para Solução do DE O método clássico para a solução do DE é o método da secante; O método da Secante parte de duas sugestões iniciais para λ, a partir das quais é projetado um novo valor de λ; Cada valor de λ gera um despacho distinto, não necessariamente viável; Os valores projetados de λ são tais que os desvios no atendimento da demanda são progressivamente reduzidos; O algoritmo não permite que a solução final viole os limites de geração. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 19
41 Algoritmo do método da Secante 1 Supor um λ inicial, λ (1) ; e fazer k = 0; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 19
42 Algoritmo do método da Secante 1 Supor um λ inicial, λ (1) ; e fazer k = 0; 2 k k + 1; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 19
43 Algoritmo do método da Secante 1 Supor um λ inicial, λ (1) ; e fazer k = 0; 2 k k + 1; 3 Com o valor de λ (k), obter P (k) i das curvas de custo incremental, i = 1,..., N. Caso P i caia fora dos limites, fixá-lo no valor do limite ultrapassado; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 19
44 Algoritmo do método da Secante 1 Supor um λ inicial, λ (1) ; e fazer k = 0; 2 k k + 1; 3 Com o valor de λ (k), obter P (k) i das curvas de custo incremental, i = 1,..., N. Caso P i caia fora dos limites, fixá-lo no valor do limite ultrapassado; N 4 Somar: P (k) i = P (k) L i=1 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 19
45 Algoritmo do método da Secante 1 Supor um λ inicial, λ (1) ; e fazer k = 0; 2 k k + 1; 3 Com o valor de λ (k), obter P (k) i das curvas de custo incremental, i = 1,..., N. Caso P i caia fora dos limites, fixá-lo no valor do limite ultrapassado; N 4 Somar: P (k) i = P (k) L i=1 5 Se k = 1, sugerir outro valor para λ, λ (2), e retornar ao passo 2; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 19
46 Algoritmo do método da Secante 1 Supor um λ inicial, λ (1) ; e fazer k = 0; 2 k k + 1; 3 Com o valor de λ (k), obter P (k) i das curvas de custo incremental, i = 1,..., N. Caso P i caia fora dos limites, fixá-lo no valor do limite ultrapassado; N 4 Somar: P (k) i = P (k) L i=1 5 Se k = 1, sugerir outro valor para λ, λ (2), e retornar ao passo 2; 6 Seja ξ = P (k) L P L. Se ξ > δ, com δ fixado em um valor pequeno, projetar λ usando o método da secante: λ (k+1) = λ (k) + (P L P (k) L )[ λ(k) λ (k 1) P (k) L P (k 1) ] L e retornar ao passo 2. Por outro lado, se ξ δ a convergência foi atingida, FIM. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 19
47 Ilustração do Método da Secante A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 18 / 19
48 Exemplo de aplicação Considere três unidades geradoras cujas funções custo F 1, F 2 e F 3 são dadas na tabela abaixo. A carga do sistema é P L = 100 MW e a tolerância para convergência é δ = 1, 0 MW. Determine o despacho econômico através do método da secante. F 1 = , 10P 1 + 0, 01P1 2, 20 P 1 60 MW F 2 = , 15P 2 + 0, 015P2 2, 10 P 2 50 MW F 3 = , 20P 3 + 0, 01P3 2, 10 P 3 30 MW A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 19 / 19
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