Aula - 8 A Física das estrelas

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1 Aula - 8 A Física das estrelas Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

2 O que ocorre dentro das estrelas Reações nucleares geram energia e calor. Com isso aumenta a pressão e empurra a matéria para fora. A gravidade é uma força atrativa que exerce uma força no sentido de manter a matéria da estrela agrupada. O balanço desses dois processos determina a evolução de uma estrela Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

3 Estrelas são sistemas que se auto-regulam. Taxa de fusão de uma estrela aumenta Temperatura aumenta Pressão Aumenta O caroço expande Densidade e temperatura diminuem Taxa de fusão diminui Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

4 caroço envelope Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

5 Suponha que não haja geração de energia no caroço A pressão aumenta e o caroço se torna mais quente que o envelope Energia escapa via radiação, convecção Caroço encolhe devido a gravidade caroço fica ainda mais quente Conclusão: Caroço colapsa a menos que haja uma fonte de energia que compense a energia que escapa. Essa fonte de energia são as reações nucleares Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

6 Propriedades das estrelas: As estrelas são regidas por propriedades térmicas e irradiam energia continuamente para o espaço. Se as propriedades térmicas são constantes então deve existir uma fonte constante de energia. A teoria deve descrever a origem da energia mas também o transporte até a superfície e irradiação. A taxa de mudança das propriedades é desprezível (constante com o tempo). Todas as estrelas são: esféricas simétricas em relação ao seu centro estáticas (constante no tempo) isoladas Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

7 Equações que regem as estrelas são quatro e dependem da distância do centro. 1) Equação de equilíbrio hiostático. Para cada raio, forças devido a diferença de pressão compensam a gravidade. ) Equação de Conservação da massa 3) Equação de conservação (geração) de energia. Para cada raio, a mudança no fluxo de energia deve ser igual a energia local liberada. Energia gerada=energia irradiada. 4) Equação do transporte de energia. Relação entre o fluxo de energia e o gradiente de temperatura. Como a energia é transportada do caroço para superfície Essas equações básicas são ainda complementadas com: Equação de estado a pressão do gas como uma função da densidade e temperatura. Opacidade (quão transparente é a estrela com relação a radiação Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

8 Equação de equilíbrio hiostático O balanço entre a gravidade e a pressão interna é conhecido como o equilíbrio hiostático. Considere o elemento de massa dm ( da As forças que agem nesse elemento de massa são: 1) Força para fora devido a pressão da parte interna P ( da ) Força para dentro devido a pressão da parte externa ao raio r mais a força gravitacional atrativa da parte interna ao raio r GM ( P( r d da dm r GM ( P( r d da ( da r P( dm r P( r d da Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

9 Equação de equilíbrio hiostático No equilíbrio hiostático essas forças devem se equilibrar: GM ( P( da P( r d da ( da r GM ( P( r d P( ( r Considerando que P ( r d P( dp( Temos: dp( GM ( ( r Equação do equilíbrio hiostático Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

10 Equação de equilíbrio hiostático E no caso em que a força gravitacional não é equilibrada pela pressão? Ou seja, a força para fora não é igual a força para dentro. Vai surgir uma força resultante que gera uma aceleração GM ( P( r d da ( da P( da dma ( da a r dp( GM ( ( ( a r GM ( A aceleração local (no ponto devido a gravidade é dada por: g r Temos: dp( ( g ( a Força resultante para dentro Equação do equilíbrio hiostático na forma generalizada Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

11 Equação de equilíbrio hiostático Vamos supor agora que a força resultante é uma fração da força gravitacional ( g ( a a g uma aceleração resultante para dentro Assumindo que o movimento de colapso de uma estrela começa no repouso o deslocamento após um tempo t é: d 1 at 1 gt Podemos com isso estimar o tempo de colapso de uma estrela de raio r (d=. 3 1 r t GM Assumindo =1 t d r GM 3 com GM ( g r Para o Sol t d = 000 s Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

12 Equação de equilíbrio hiostático Podemos ainda escrever a equação de equilíbrio hiostático considerando a massa como variável independente. dp dm dp dm dp( GM ( ( r Usando que: dm dp ( da Gm r dp dm dp dm Gm r 1 4r dp( dm Gm 4r 4 Equação do equilíbrio hiostático na forma alternativa Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

13 Equação da conservação da massa A massa M( em uma estrela de raio r é determinada pela densidade do gas nessa estrela. dm da Considerando que uma fina camada dentro da estrela com raio interno r e um raio externo r+: ou dv dm 4r dv( 4r ( r dm ( 4r ( Equação da conservação da massa Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

14 Quão esférica é uma estrela? Estamos assumindo que estrelas são esféricas No entanto, estrelas são corpos gasosos com movimento de rotação. O movimento de rotação não provoca achatamento nos polos? Considere um elemento de massa próximo a superfície da estrela de massa M e raio r. Haverá uma força adicional nesse elemento devido ao movimento de rotação da estrela dada pela força centrípeta. df c dm r Podemos dizer que a estrela não será achatada nos polos se essa força centrípeta for muito menor que a força gravitacional. r dm dm GMdm r 1 ou GM 1 r 3 Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

15 Podemos ainda usar a expressão para o tempo de colapso de uma estrela. t d r GM 3 t d ou GM 3 r t Podemos então reescrever a velocidade angular em termos de tempo de colapso d Como /T e T é o período de rotação. Para que uma estrela permaneça esférica é preciso que T >> t d Conclusão: Para o nosso Sol T d ~ 000 s e T ~ 1 mês Podemos ignorar a força centrípeta nas estrelas e considera-las esféricas. Para umas poucas estrelas com alta velocidade de rotação será preciso corrigir as equações de estrutura, o que pode mudar o resultado dos modelos. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

16 Equação de estado de uma estrela O interior de uma estrela contem uma mistura de íons, elétrons e radiação (fótons). Para maioria das estrelas (exceto as de massa muito baixa) os íons e elétrons podem ser tratados como gás ideal e os efeitos quânticos podem ser ignorados. A pressão total numa estrela seria então dado por: P P total total P P ions gas P P eletrons rad P rad P P P ions eletrons rad Pressão de íons Pressão de elétrons Pressão de radiação Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

17 Equação de estado de uma estrela Pressão do gás A equação de estado para um gás ideal é: P gas nkt Onde n= ni+ne é o número de densidade dos elétrons mais os ions. Em termos da densidade P gas n m H R kt T Pressão de radiação Massa média das partículas em unidades da massa do hiogênio vezes a massa do hiogênio A equação para radiação de corpo negro: P rad 1 3 at 4 Constante de radiação a c h c [ erg cm [ J m 3 3 K K 4 ] 4 ] Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

18 Equação de estado de uma estrela Qual das pressões é mais importante? São iguais quando: T 3 3R a P P rad gas 1 3 at 4 R T Pressão de gás é mais importante para estrelas com massa pequena Pressão de radiação é mais importante para estrelas com massas grandes Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

19 Modelos solares dão como condições para o Sol: T [ K] 150[ g cm 3 ] X Y Z X ( H ) 0.34 Y ( He) 0.64 Z( metal) R [ erg g K ] Constante de gás ideal P P rad gas at R T a 3R 3 T Portanto a pressão de radiação não é importante no centro do Sol com as condições acima. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

20 Equação de geração de energia As estrelas esfriam na superfície e a perda de energia é dada pela Luminosidade. Para manter a temperatura constante em toda estrela luminosidade (energia) precisa ser gerada. Assumindo que as estrelas estão em equilíbrio térmico, num dado raio r a estrela não é aquecida e nem esfriada com o passar do tempo. Seja a energia por unidade de massa em unidades 1 1 [ erg s g ] Massa da camada esférica no raio r dm 4r Então a luminosidade para uma camada esférica de raio r é dada por: dl( 4r dl( 4r Equação da geração de energia A luminosidade é gerada no centro da estrela por reações nucleares e então transportada para a superfície. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

21 Equação de transporte de energia Transporte de energia em estrelas é um processo muito complexo. Temos 3 processos básicos e nas estrelas acontecem uma combinação deles. Radiação: energia transporta por difusão (emissão e absorção) de fótons Convecção: energia transportada por movimentos de massa do gás Condução: energia transportada por colisões de partículas Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

22 Radiação Condução e radiação são processos similares no sentido que envolvem interação direta, entre partículas e entre partículas e fótons. Como numa estrela o número de partículas é muito maior que fótons isso poderia indicar que condução é mais importante que radiação. Energia típica de uma partícula na estrela: 3 ~ kt Energia típica de um fóton ~ hc Caminho livre médio das partículas ~10-10 m Caminho livre médio dos fótons ~10 - m Portanto fótons pode se mover mais facilmente e podem transportar mais energia. Para o Sol anos para que a energia chegue na superfície. Condução é desprezível no transporte de energia Radiação é dominante Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

23 Equação de transporte de energia O fluxo de energia pode ser expresso em termos de gradiente de temperatura e coeficiente de condutividade radiativa L ( Area )( J / s) L 4r rad dt o sinal de menos indica que o fluxo diminui o gradiente de temperatura Opacidade é definida pela relação: 3 4acT 3 Combinando essas duas equações podemos obter a equação de transporte de energia radiativa. rad : coeficiente de condutividade radiativa a: constant de densidade de radiação = e-15 erg/cm 3 /K 4 dt 3 4ac T 3 4 L r Equação de transporte de energia Gradiente de temperatura é dada pelo fluxo transporte de energia radiativa. Luminosidade e/ou opacidade alta implica num aumento (negativo) do gradiente de temperatura. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

24 A Luminosidade pode ainda sofrer interferência da opacidade, devido a absorção de fótons: L nr r L0e L0e Isso induz gradiente de temperatura quente no caroço e frio na superfície. A pressão, temperatura e densidade diminuem em direção a superfície. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

25 Corrente de Convecção Critério de Schwarzschild: Suponha um deslocamento de um elemento de massa dm para cima Suponha ainda que não há troca de calor com o ambiente, isto é, o processo é adiabático PV const. c c p V Razão calor específicos O elemento de massa se expande para que haja um balanço de pressão com o novo ambiente. A nova densidade do elemento dm não é necessariamente igual a densidade do meio ambiente na nova posição. Esse mecanismo for predominante no transporte de energia então o meio se torna instável para movimento de convecção. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

26 Condição de estabilidade para que não haja convecção: dt star dt adiabatica Gradiente de temperatura na estrela deve ser menor que o gradiente de temperatura quando um elemento de massa se move adiabaticamente. Partindo da equação dos gases R P ( T ) R dt d P dt P d dp ( T ) ( ) T Para gas numa expansão adiabatica P K d P d dp K 1 ) dt Igualando as duas e isolando o gradiente de temperatura obtemos: ad ( 1) T P P d 1 T P dp Usando a equação do equilíbrio hiostático: dt dp ad Gm r 1 T P Gm r 1 Gm R r Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

27 Para não haver convecção: dt start dt adiabatica Gradiente de temperatura na estrela deve ser menor que o gradiente de temperatura quando um elemento de massa se move adiabaticamente. dt star 1 Gm R r Para que haja convecção ou o gradiente de temperatura é pronunciado ou a razão dos calores específicos é próxima de 1 Quando uma grande quantidade de energia é liberada no centro da estrela, gera um grande gradiente de temperatura entre o centro e o envelope. A forma de liberar essa energia é através do transporte por convecção. Podemos também definir qual deveria ser máxima energia que poderia ser transportada por radiação: Expressão complicada para se deduzir (k=opacidade) L max ~ Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear Acima dessa Luminosidade = convecção

28 Outras condições para que haja convecção. -effect: Opacidade depende da temperatura, densidade e composição química. Se o plasma é muito opaco, a convecção se torna mais importante e eficiente. -effect: Parte do calor usado para aquecer uma camada externa da estrela pode ir para ionizar o gas. Assim o calor específico do gas a volume constante é quase o mesmo que o calor específico a pressão constante e isso provoca convecção nas camadas externas. Em estrelas de baixa massa a opacidade é grande na superfície e < 5/3 gerando convecção na zona de superfície Estrelas com alta massa: Luminosidade aumenta com a massa muito rapidamente L~M 4 para com massa acima do sol. A maior parte dessa energia é gerada no caroço e pode exceder o limite provocando convecção no caroço Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

29 Estrelas com M<0.5 M 0 Transporte de energia por convecção Estrelas com 0.5 M 0 <M<1.5 M 0 Caroço com transporte radioactivo de energia e camadas externas com convecção (como nosso Sol) Estrelas com M>1.5 M 0 Caroço convectivo e camadas externas radiativas Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

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32 Em resumo: Equações que temos para uma estrela num raio r, esfericamente simétrica: (I) (II) (III) (IV) dp( GM ( ( r dm ( 4r ( dl( L( 4r 4r 3 4acT 3 dt Equação do equilíbrio hiostático Equação da conservação da massa Equação da geração de energia Essa é a equação de transporte de energia radiativa A solução dessas equações não é trivial. Depende da : opacidade, densidade, composição química, temperatura. Etc. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

33 Podemos combinar as equações para obter grandezas. Ex. pressão no caroço da estrela Dividindo equações (I) e (II) temos dp( / dm ( dp dm GM ( 4 4r GM ( dp 4 4r dm Integrando toda massa de 0 até M s P c P s dp dm M 0 s GM GM s dm 4 4 4r 8r GM 8r Aproximando a pressão próxima a superfície como sendo zero s P podemos dizer que a mínima pressão que o caroço deve ter é: c 4 Estimativa para pressão do caroço para o Sol P c GM 8r s 4 P c _ min [ dyn / cm ] Valor real: 10 [ dyn / cm ] P c 8 [ atm] Um pouco grande para um material gasoso!!! Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

34 O Sol tem sido monitorado por satélites e temos um bom conhecimento de sua estrutura. Podemos usar seus parâmetros para estimar e verificar modelos teóricos de estrelas SOHO, 171A Fe emission line Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

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36 Podemos fazer umas estimativas para o Sol. Qual densidade do Sol? sun 3 3 M sun 1.4[ g / cm 3 4 r sun ] Um pouco maior que a densidade da água core 76.39[ g / 3 cm ] Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

37 Estimativa para temperatura do Sol 3 kt ~ Gmp M sun / R T Valor real: T 7 K K Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

38 Quanta massa o Sol já gastou para irradiar a energia que já irradiou? Luminosidade atual L W 410 Js 1 Sol não mudou o fluxo nos últimos 10 bilhões de anos t s Total de energia irradiada nos 10 bilhões de anos: E 1.10 Usando que E=mc temos que o sol consumiu uma massa de: 0 m lost 43 J Kg 10 M Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

39 Estimativas de tempo Escala de Tempo Dinâmico Tempo envolvido no processo de contração e/ou expansão quando o balanço entre pressão e gravidade é quebrado. dyn R vesc 3 R GM Tempo dinâmico em função da densidade média Escala de Tempo Térmico Para o Sol: dyn dyn 1100 s 1 G O tempo térmico seria o tempo necessário para que toda a energia térmica da estrela se esvaia, se as reações nucleares pararem de ocorrer. É uma escala de tempo importante para definir velocidade de contração. Escala de tempo de Kelvin-Helmholtz; Teorema do Virial (Teorema da mecânica clássica que estabelece a relação entre a energia cinética e potencial de uma estrutura em equilíbrio): kh U L energia potencial gravitacional Luminosidade kh GM RL anos Para o Sol: Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

40 Escala de Tempo Nuclear Tempo que uma estrela levaria para consumir sua energia nuclear caso continuasse a queimar com a taxa atual. nucl Mc L Energia para queimar uma grama de hiogênio: 610 [ erg g 18 1 ] nucl qxm 610 L [ erg g 18 1 ] Fração de massa do hiogênio inicialmente presente na estrela Fração de combustível disponível para queimar no caroço da estrela X q Uma estimativa para a escala de tempo nuclear para uma estrela na sequência principio seria: nuc anos Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016

41 dinamico termico nuclear Maioria das estrelas estão no equilíbrio térmico ou hiostático. As mudanças na estrutura e composição dependem dos tempos nucleares. Estrelas são estáticas. Mudanças dinâmicas rápidas ocorrem em colapsos de estrelas (explosões de novas e supernovas) Mudanças térmicas ocorrem em estrelas no estágio de pré-sequência principal. Valdir Guimaraes ( ) Curso Astrofísica Nuclear - 016