Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados

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1 Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados LUIZ FELIPE RAMOS TURCI Orientadores : ELBERT E. N. MACAU TAKASHI YONEYAMA ITA - São São José dos Campos Este trabalho conta com apoio financeiro da FAPESP.

2 Tese apresentada à Divisão de Pós-Graduação do Instituto Tecnológico de Aeronáutica como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciência no Curso de Engenharia Eletrônica e Computação, Área Sistemas e Controle. Luiz Felipe Ramos Turci Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados: Elbert Einstein Nehrer Macau Orientador Takashi Yoneyama Co-orientador... Homero Santiago Maciel Chefe da Divisão de Pós-Graduação Campo Montenegro São José dos Campos, SP Brasil 2005

3 Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA Turci, Luiz Felipe Ramos Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados / Luiz Felipe Ramos Turci. São José dos Campos, f. Tese de Mestrado Engenharia Eletrônica e Computação, Área de Sistemas e Controle Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Orientadores: Dr. Elbert Einstein Nehrer Macau e Dr. Takashi Yoneyama. 1. Circuitos Chaveados. 2. Caos. 3. Controle. I. Centro Técnico Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Departamento de Sistemas e Controle. II. Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA Turci, Luiz Felipe Ramos. Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados f. Tese de Mestrado Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Luiz Felipe Ramos Turci TÍTULO DO TRABALHO: Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese / 2005 É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a autorização do autor. Luiz Felipe Ramos Turci Dpto. de Sistemas e Controle - ITA

4 Caracterização e Controle de Caos em Circuitos Chaveados Luiz Felipe Ramos Turci Composição da Banca Examinadora: Prof. Roberto Kawakami Harrop Galvão Prof. Elbert Einstein Nehrer Macau Prof. Takashi Yoneyama Prof. Antônio Cândido Faleiros Prof. Érico Luiz Rempel Prof. José Roberto Castilho Piqueira Presidente (ITA) Orientador (Inpe) Co-orientador (ITA) ITA ITA USP ITA

5 i Dedicatória A minha família e aos que acreditaram em mim para desenvolver este trabalho.

6 ii Agradecimentos A meus orientadores pelo suporte intelectual e à Fapesp pelo suporte financeiro.

7 iii Resumo Circuitos eletrônicos chaveados apresentam uma dinâmica extremamente elaborada, que ultimamente vêm sendo objeto de intensivas pesquisas. A característica primordial destes circuitos é a operação chaveada entre diferentes topologias de circuitos, o que ocasiona uma variedade de comportamentos não lineres, que incluem a ocorrência de cenários específicos de bifurcações e mesmo a presença da evolução caótica que podem surgir repentinamente via colisão de borda. Este trabalho tem por objetivo caracterizar e compreender a dinâmica destes comportamentos no âmbito de uma classe específica de sistemas chaveados que envolvem os conversores DC/DC. A análise destes circuitos concentra desde a análise convencional apresentada na literatura até o desenvolvimento de modelos não lineares apropriados para o estudo dos mesmos. A abordagens de modelamento de Mapas Iterativos Discretos resulta em mapas que oferecem informação mais completas sobre o comportamento dinâmico desses sistemas. Estes mesmos circuitos são usualmente empregados em sistemas de potência de satélites que, consequêntemente, apresentam comportamentos característicos da dinâmica dos conversores DC/DC. Com isso, além da necessidade de se caracterizar os fenômenos existentes nos sistemas de potência com circuitos conversores DC/DC, surge a necessidade de se controlar a dinâmica do mesmo, abrindo um campo para se explorar as mais diversas técnicas de controle de caos.

8 iv Abstract Switched Electronics Circuits have an extremely elaborated dynamic that has become a new object of intensive research. The main characteristic of these type of circuits is the switched operation between different circuit topologies that makes rise a wide range of nonlinear phenomena, including specific scenarios of bifurcations and route to chaos via border collision. The objective of this work is to characterize and understand the dynamic of a specific class of switched systems, DC/DC converters more specifically. These circuits analysis goes from the conventional analysis usually found on most references to the development of appropriate nonlinear models for better analysis. The Discrete-Time Iterative-Map approach results are maps that can give us more complete and detailed information about the dynamic of these type of systems. Switched Circuits are usually applied in satellites power systems that consequently presents the same characteristics behaviors of DC/DC converters dynamic. Thus, besides the necessity of characterizing power systems phenomena, rises the necessity of controlling their dynamic, which blossom a rich field to explore several chaos control technics.

9 Lista de Figuras 2.1 Circuito a Diodo Análise Padrão Órbita de Período Órbita de Período Órbita Caótica Atrator Caótico Diagrama de Bifurcação Expectro de Lyapunov Bifurcação Sela-Nó Bifurcação Sela-Nó Atrator Caótico Crise Interior Atrator Caótico após Crise Interior Zoom em parte do Diagrama de Bifurcação Atratores e Bacias de Atração Atratores e Bacias de Atração Atratore e Bacia de Atração Sela Caótica Controle de Caos - Método OGY Explorando a Influência da Sela Caótica Explorando a Influência da Sela Caótica - Comportamento no Espaço de Estados Circuito de Chua Controlado Espaços de Estados - Circuito de Chua v

10 LISTA DE FIGURAS vi 4.1 Conversor Buck Formas de Onda Conversor Buck Tensão Média sobre Indutância Conversor Boost Formas de Onda Conversor Boost Conversores Circuito de Controle Formas de Onda Controle em Modo Corrente Formas de Onda Controle Modo Tensão Mapeamentos Grazing e Border Collision Como se chega à colisão de borda Boost - Border Collision Biagrama de Bifurcação Buck - S-switching Biagrama de Bifurcação Buck - A-switching Atrator Buck - S-switching Atrator Buck - A-switching Conversor Buck - Período Conversor Buck - Border Collision Diagrama de Bifurcação 1 Conversor Boost - Estroboscópico Diagrama de Bifurcação 2 Conversor Boost - Estroboscópico Ampliação do Diagrama de Bifurcação 1 Conversor Boost - Estroboscópico Ampliação do Diagrama de Bifurcação 2 Conversor Boost - Estroboscópico Esquemático Sistema de Potência do Satélite Diagrama de Bifurcação Sistema de Potência do Satélite Atrator - Sistema de Potência do Satélite Controle OGY aplicado ao Sistema de Potência do Satélite Esquemático do Sistema de Potência do Satélite Alternativo Diagrama de Bifurcação Sistema de Potência do Satélite - Modelo Alternativo Diagrama de Bifurcação 2 Sistema de Potência do Satélite - Modelo Alternativo

11 LISTA DE FIGURAS vii 7.8 Típico Atrator do Sistema de Potência do Satélite - Modelo Alternativo - Mapeamento Estroboscópico Típico Atrator do Sistema de Potência do Satélite - Modelo Alternativo - Mapeamento S-Switching Diagrama de Bifurcação 3 do Sistema de Potência do Satélite - Modelo Alternativo Comportamento Estável da Tensão de Saída v Colisão de Borda - Sistema de Potência de Satélite Sistema de Potência de Satélite com Malha Limitadora Diagrama de Bifurcação do Sistema de Potência de Satélite, v x V LIM Diagrama de Bifurcação do Sistema de Potência de Satélite, i x V LIM Diagrama de Bifurcação do Sistema de Potência de Satélite, v 1 x V LIM A.1 Curva Característica do Diodo A.2 Capacitância de Depleção

12 Sumário 1 Introdução Contextualização Dinâmica Não Linear e Caótica em Circuitos Chaveados de Potência e Controle de Caos Sistemas Caóticos O Circuito a Diodo Análise Convencional Análise Não Linear Espaço de Estados e Atrator Diagrama de Bifurcação Crises Selas Caóticas Conclusão Controle de Caos Controle OGY Encontrando um Ponto Fixo Efeito da Alteração do Parâmetro de Controle Transformação M O Algoritmo de Controle Aplicando OGY Explorando Selas Caóticas Linearização Input-Output Controle de Caos com Limitadores Conclusão viii

13 SUMÁRIO ix 4 Conversores DC/DC - Análise Convencional Conversor Abaixador de Tensão - Buck Modo de Condução Contínua Conversor Buck- MCC Modo de Condução Descontínua Conversor Buck- MCD Conversor Elevador de Tensão - Boost Modo de Condução Contínua Conversor Boost- MCC Modo de Condução Descontínua Conversor Boost- MCD Conclusão Conversores DC/DC - Modelamento Estratégias de Modelamento Média Contínua no Tempo Derivação de Mapas Iterativos Estratégias de Controle Descrição do Sistema - Conversor Chaveado Modelamento em Malha Aberta Classificação do Chaveamento e Aplicação das Estratégias de Controle Modelamento em Malha Fechada Mapas Discretos no Tempo Mapas Estroboscópico e S-switching A-switching Conclusão Conversores DC/DC - Análise Não Linear Grazing e Border Collision Bifurcações nos Conversores Buck e Boost Conclusão Análise do Sistema de Potência de Satélites Sistema de Potência de Satélites Célula Solar Conversor DC/DC e Carga Filtro de Terceira Ordem Equações do Sistema

14 SUMÁRIO x Análise Não Linear Aplicando OGY Sistema de Potência de Satélites - Modelo Alternativo Rota para o Caos no Sistema de Potência de Satélites Controle do Sistema de Potência de Satélites Conclusão Conclusão 104 Bibliografia 108 A Diodo 117 A.1 Região de Polarização Direta A.2 Região de Polarização Reversa A.3 Capacitância de Depleção A.4 Capacitância de Difusão B Ferramentas Utilizadas 121

15 Capítulo 1 Introdução 1.1 Contextualização Circuitos eletrônicos chaveados apresentam uma dinâmica extremamente elaborada que, ultimamente, vêm sendo objeto de intensivas pesquisas [1-11]. A característica primordial destes circuitos é a operação comutada entre diferentes topologias de circuitos, o que ocasiona uma variedade de comportamentos não lineares, que incluem a ocorrência de cenários específicos de bifurcações e mesmo a presença da evolução caótica [1-6]. No passado, tentava-se evitar estes comportamentos não lineares e a manifestação de sinais temporais com características de "ruído" ajustando-se os parâmetros do circuito de forma a levá-los a uma região em que a operação se mostrasse mais "regular". Por esta época, empregavam-se, em geral, métodos de análise de estabilidade que faziam uso de modelos simplificados que permitiam a aplicação direta dos métodos clássicos de análise, baseados, sobretudo, nas técnicas de resposta em freqüência. A conseqüência deste enfoque foi concentrar o esforço de pesquisa em circuitos de potência no desenvolvimento de mecanismos que permitissem derivar, a partir de tais circuitos, modelos lineares apropriados a serem analisados pelas técnicas tradicionais. Em contrapartida, estes modelos não permitem a predição de qualquer comportamento ou operação não linear. Esse cenário vem se alternado nas últimas décadas, com o adequado entendimento da dinâmica não linear e do comportamento caótico. De fato, hoje sabe-se que sistemas de equações diferenciais autônomas não lineares com dimensão maior do que dois, e mesmo sistemas não lineares autônomos de equações a diferença finita na reta (de intervalo a intervalo) podem exibir um comportamento dinâmico rico e variado, que muitas 1

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 vezes inclui a manifestação da dinâmica caótica [12,13]. Desde os tempos de Poincaré [14], sabe-se que a dinâmica que ocorre nas proximidades de um ponto homoclínico é extremamente complexa. Uma descrição mais detalhada que permite um melhor entendimento do que ocorre nas vizinhanças deste ponto deve-se a Birkhoff [15]. Subseqüentemente, Cartwright e Littlewood [16] encontram a presença do fenômeno dos pontos homoclínicos ao estudarem as equações de Van der Pol. Contudo, deve-se a Smale [17] o entendimento adequado do fenômeno ao modelá-lo através de seu mapa da ferradura, que exibe um conjunto invariante caótico cuja dinâmica pode ser completamente analisada. Smale mostra que tais ferraduras sempre se encontram nas vizinhanças dos pontos homoclínicos e que imerso nestas estruturas de ferradura existem infinitos pontos periódicos de diferentes períodos, além de infinitas trajetórias que permanecem na estrutura de ferradura, mas implicam em trajetórias que oscilam de forma irregular, sem tenderem para nenhum movimento periódico (são as trajetórias caóticas). Subseqüentemente, mostra-se que a estrutura de ferradura está presente em numerosos sistemas não lineares, tais como as equações de Duffing e de Van der Pol, além de vários mapas não lineares, como o de Hénon e o de Ikeda [18]. Subseqüentemente, vários experimentos [19-21] revelam a existência da dinâmica caótica em sistemas físicos e as implicações deste comportamento no entendimento de sistemas físicos são propriamente avaliadas em uma série de trabalhos devido a Grebogi, Ott e Yorke [22-30]. No âmbito dos circuitos eletrônicos de potência, Hamill e colaboradores [31-34] reportamse, em 1988, a ocorrência de bifurcações e do comportamento caótico em conversores chaveados de potência, contribuindo também com formas de modelamento de conversores de potência em mapas iterativos; chegando a propor e analisar um modelo de sistema de potência de espaçonaves. Esses trabalhos pioneiros estimularam o esforço atual de pesquisa voltado para entender os comportamentos não lineares que se manifestam nos conversores de potência. Tanto Di Bernardo [35] e Vasca [36], quanto Tse [37], produziram artigos de revisão que permitem o entendimento do estado atual da pesquisa em circuitos eletrônicos de potência. Em especial é interessante destacar que nestes circuitos se manifestam bifurcações específicas que se caracterizam por transições abruptas para a evolução caótica a partir de soluções periódicas. Estas transições são devidas a uma classe de bifurcações, conhecidas como colisões de fronteira e particulares à sistemas dinâmicos chaveados [38].

17 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 Este projeto tem por motivação especial um evento que se verificou nos conversores DC-DC do satélite de sensoriamento remoto CBERS-2 [39], que o Brasil vem desenvolvendo em conjunto com a China. Esses conversores são idênticos aos que existem no satélite CBERS-1, atualmente em órbita e em pleno funcionamento. Pouco antes de ser levado à base de lançamento, na última bateria de testes funcionais realizada logo após a integração, o satélite foi exposto a condições ambientais extremas de umidade. Estando na base de lançamento, nos testes usuais de verificação constatou-se que os conversores apresentavam comportamentos inadequados que, se ocorressem em órbita, implicariam perda irremediável do subsistema de potência do satélite, prejudicando irremediavelmente a missão. Dados de telemetria revelaram que o problema foi conseqüência do surgimento de uma cascata de duplicações de período, ao que se seguiu um comportamento de transiente caótico que conduziu a níveis de tensão que superaram os limites de segurança adotados nas especificações de projeto. O que deve ter precipitado o fenômeno foi a exposição do satélite a condições extremas de umidade e suas conseqüências sobre a variação dos parâmetros dos componentes e circuitos eletrônicos. Tendo esse evento por motivação, o que se pretende é explorar diversas arquiteturas de conversores DC-DC, verificando suas respostas frente à manifestação de fenômenos não lineares, em especial diante da manifestação da dinâmica caótica. Pretende-se também explorar as técnicas de controle de caos e guiagem caótica de forma a explorar os limites da dinâmica não linear que impliquem em configurações mais robustas e estáveis. Uma descrição mais elaborada do fenômeno sob análise e da metodologia a ser empregada neste projeto em particular encontra-se a seguir. 1.2 Dinâmica Não Linear e Caótica em Circuitos Chaveados de Potência e Controle de Caos O funcionamento básico de qualquer circuito eletrônico de potência chaveado envolve comutações entre diferentes topologias de circuitos lineares e não lineares, sob o controle de um sistema de realimentação [40]. Em conseqüência, esses circuitos podem ser considerados como sistemas dinâmicos chaveados ou suaves por partes. Assim, no caso de um conversor simples tipo corrente contínua-corrente contínua (DC-DC), em geral chaveia-se uma carga indutiva entre a entrada e a saída. A forma como se aplica o chaveamento determina o nível da tensão de saída do conversor e seu

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 comportamento transiente. Usualmente, emprega-se na implementação do circuito de chaveamento um diodo (normalmente associado à proteção da "chave" semicondutora) associado a uma "chave" semicondutora, que tem seu estado modificado entre aberto e fechado segundo a ação de uma estratégia de controle com realimentação. Assim, no caso de uma operação típica de período-1, quando se tem, por exemplo, a chave fechada, a corrente pela carga do circuito progressivamente aumenta, enquanto ao se abrir a chave, essa corrente diminui podendo ir a zero. Esta característica de condução associada à estratégia de controle com realimentação assegura uma tensão na saída (na carga) aproximadamente constante. Define-se como ciclo de trabalho, à fração do período T de operação na qual a "chave" se encontra fechada, sendo que este parâmetro é continuamente ajustado pelo controlador com o objetivo de manter a tensão de saída em um valor fixo, mesmo diante de variações da tensão de entrada e variações da carga. O modo de operação de período-1, embora seja típico e usualmente escolhido na maioria das aplicações hoje existentes, representa apenas um regime particular de operação entre muitos outros possíveis. Na operação destes conversores, encontram-se comportamentos típicos de sistemas não lineares, entre os quais oscilações sub-harmônicas [1,2], "saltos" entre diferentes níveis de tensão [41-46], operação em regime quase-periódico [47], aumento abrupto do espectro de freqüência [9], bifurcações e evolução caótica [1-11]. Diante destes fenômenos não lineares, há a necessidade de os compreender e caracterizar, uma vez que podem levar a níveis de tensão que ultrapassam os limites de segurança considerados. O estudo dos comportamentos não lineares que ocorrem nestes conversores abre novos caminhos que permitem aproveitá-los de forma mais otimizada. Assim, saber, por exemplo, como e de que forma a evolução caótica ocorre permite ou evitá-la, se for desejado, ou explorar a complexidade de sua dinâmica no desenvolvimento de novas aplicações. Na transição para o comportamento caótico, os conversores chaveados de potência exibem tipos diferentes de bifurcações. Ente elas, incluem-se as encontradas tradicionalmente em sistemas não lineares, como é o caso das bifurcações sela-nó, de duplicação de período e de Hopf, como também outras que se mostram presentes apenas em sistemas não lineares que resultam da operação em diferentes topologias lineares por partes. Assim, têm-se as bifurcações de colisão de borda [26,48-51], a "grazing" [20,21,24,25] e a "sliding" [52]. Estas duas primeiras manifestam-se através de uma transição descontínua ou um salto abrupto de um regime periódico para o regime caótico, por exemplo. Explicam-se tais transições como sendo o resultado de interações entre as trajetórias do

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5 sistema e as fronteiras entre as diversas regiões de operação do sistema, onde ocorre a comutação entre uma topologia de operação e outra. Diz-se que ocorre uma colisão de borda quando, diante de variações de parâmetro, um ponto de equilíbrio (órbita periódica) cruza uma dessas fronteiras, enquanto no caso da grazing, ocorre uma tangência entre uma órbita periódica (ponto fixo) e a variedade de chaveamento. Já a bifurcação "sliding" pode ser entendida como resultado de uma situação que se caracteriza por um número grande e sucessivo de comutações de alta freqüência entre as diferentes configurações topológicas do sistema. Devido a estas comutações de alta freqüência, a trajetória do sistema se mantém nas vizinhanças da variedade de chaveamento. Embora ainda se tenha explorado pouco este tipo de bifurcação, os resultados preliminares indicam que elas desempenham um papel importante na organização da dinâmica dos circuitos eletrônicos de potência. Outros tipos de bifurcações ainda não totalmente exploradas podem estar presentes. Dentre os objetivos deste trabalho, espera-se caracterizar a ocorrência destas bifurcações e suas conseqüências no caso das configurações típicas de conversores DC-DC empregados nas missões espaciais. A partir desta caracterização, espera-se não só entender em particular o fenômeno que levou ao problema funcional do sistema de potência do CBERS, como também contribuir para que o adequado entendimento dos efeitos não lineares passíveis de ocorrer levem a soluções de engenharia que impliquem conversores mais confiáveis e cujo comportamento possa ser melhor previsível dentro de uma ampla gama de variações possíveis dos parâmetros envolvidos. Outra área a ser explorada neste projeto diz respeito a verificar a aplicabilidade dos métodos que estão sendo desenvolvidos em dinâmica não linear na implementação destes chaveadores. Trabalhos recentes vêm mostrando como se pode levar a patamares únicos de eficiência através da utilização de métodos que exploram de forma inteligente a diversidade de comportamentos que a evolução não linear e caótica permitem. Em especial, é importante mencionar as técnicas de controle de caos [55] e de guiagem caótica [56-59], que possibilitam tanto explorar de forma eficiente as órbitas periódicas instáveis imersas no invariante caótico, como a dinâmica caótica para transferir rapidamente a operação do sistema entre essas órbitas periódicas. Assim, dentro de uma região de evolução caótica, podem-se usar as técnicas de controle de caos para se estabilizar o sistema numa certa órbita periódica que implique determinado desempenho característico ao sistema. Outras dentre as múltiplas órbitas periódicas instáveis podem estar associadas a outros modos possíveis de operação do sistema. Quando se desejar passar de um modo a outro,

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6 usam-se os métodos de guiagem caótica para rapidamente alterar a resposta dinâmica do sistema. Esta metodologia é ainda pouco explorada em relação aos circuitos de potência, mas vêm se mostrando extremamente promissora, haja vista os excelentes resultados que vem sendo obtidos em outras áreas de aplicação, tais como em biologia [60], dinâmica orbital [58,59], etc [56]. Estudos preliminares vêm mostrando que este enfoque permite uma flexibilidade única, que implica em conversores DC-DC de elevadíssima eficiência e com uma velocidade de resposta apreciável.

21 Capítulo 2 Sistemas Caóticos Neste capítulo, introduzimos alguns conceitos e fenômenos relacionados a sistemas dinâmicos não lineares, especialmente os sistemas caóticos, que são abordados constantemente ao longo deste trabalho. Para este fim, fazemos uso, como fonte de ilustração, de um simples circuito a diodo (sistema dinâmico) cuja não linearidade provém do modelo do diodo e de uma fonte de excitação. 2.1 O Circuito a Diodo Desde a década passada, os circuitos eletrônicos que apresentam dinâmica caótica mostramse como instrumentos valiosos a serem explorados nas mais diversas aplicações, desde sistemas de comunicação [61,62], mecanismos de compressão e criptografia [62], tratamentos médicos [63], processamento de imagem [63], memórias associativas [64], entre outras. Impulsionado pelo número crescente de aplicações, surgiu a necessidade de se conceber circuitos eletrônicos simples, que apresentassem comportamento caótico, nas mais diversas regiões de operação. Em paralelo a esta demanda, os circuitos eletrônicos caóticos vêm se firmando como ambientes ideais para a exploração experimental dos elaborados fenômenos típicos da dinâmica não linear e caótica. Questiona-se o quão simples um circuito eletrônico deve ser de forma a apresentar dinâmica caótica? Dois circuitos tradicionalmente explorados são o circuito de Chua [65] e o oscilador Colpitts [66]. O primeiro tem como elemento fundamental um componente linear por partes, que apresenta, em determinadas regiões de operação, uma resistência negativa, enquanto o segundo baseia-se num elaborado circuito de realimentação. 7

22 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 8 Diante deste cenário, o circuito a diodo [67-70] apresenta-se como uma ótima escolha no estudo da dinâmica não linear e caótica por se tratar de um circuito de construção extremamente simples com uma dinâmica muito rica como veremos ao decorrer deste capítulo. Consideremos um circuito constituído de um único diodo D, um indutor L e uma resistência R, excitado por um sinal senoidal V in como mostra a Figura 2.1. Figura 2.1: Circuito a Diodo: o circuito é composto de uma fonte de tensão V in, um resistor R, um indutor L e um diodo D; onde V d é a queda de tensão no diodo. Segundo a lei das tensões de Kirchhoff, a tensão sobre o diodo no circuito da Figura 2.1, está relacionada com a corrente na malha I e a tensão do gerador de tensão (V in ) como segue: L di dt = V 0 sin(2πft) RI V d (2.1) onde V 0 é a amplitude (em Volts) e f é a freqüência (em Hertz) do sinal de entrada V in, I é a corrente que circula na malha e V d é a queda de tensão sobre o diodo; R e L são, respectivamente, a resistência e a indutância presentes no circuito. Pode-se reescrever a equação (2.1) de forma a obter o seguinte sistema de equações: dq dt = I L di dt = V 0 sin(2πft) RI V d (2.2) onde q é a carga acumulada na junção do diodo (vide apêndice). Fazendo uma pequena transformação, pode-se reescrever o sistema de equações (2.2) de forma a originar o sistema equivalente (2.3) porém, autônomo e de dimensão três.

23 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 9 dq dt = I L di dt = V 0 sin(θ) RI V d (2.3) dθ = 2πf dt Falta ainda, definirmos um modelo para o diodo D. Existem, na literatura, alguns diferentes modelos de baixa e alta freqüência para o diodo. Neste trabalho utilizamos o modelo de alta freqüência proposto por Sedra, Pierce e outros [71-74]. Trata-se de um modelo de capacitâncias linear por partes com uma pequena tensão de offset, como se segue: V d = q (C 2 C 1 ) 2C 2 C 1 + q(c 2 + C 1 ) 2C 2 C 1 + E 0 (2.4) onde C 1 e C 1 são capacitâncias e E 0 é uma pequena tensão de offset. V d Nota-se, do modelo acima, que para q > 0, V d = q/c 1 + E 0 ; e para q < 0, = q/c 2 + E 0. Dada esta observação e se considerando o modelo apresentado por Sedra [73], pode-se igualar C 2 a C j, e C 1 a (C d C j ) C d (C d 1000 C j ); onde C j e C d são, respectivamente, a capacitância de depleção e de difusão do diodo (vide anexo). Definimos, simplificadamente, um modelo não linear para o diodo. Além disso, de posse deste modelo para o diodo, o sistema de equações diferenciais autônomas fica, então, como se segue: dq dt = I ( ) L di = V q (C dt 0 sin(θ) RI j C d ) 2C j C d + q(c j+c d ) 2C j C d + E 0 (2.5) dθ = 2πf dt

24 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 10 Desta forma, ficam definidas, então, as equações diferenciais autônomas não lineares que formam o sistema dinâmico de ordem três que rege a dinâmica do circuto proposto para estudo. 2.2 Análise Convencional Adotando o modelo de queda de tensão constante para o diodo [71-73], é feita uma análise qualitativa do comportamento do circuito. As formas de onda sobre os elementos do circuito são mostradas na Figura 2.2. Figura 2.2: Análise Padrão: (a) formas de onda da análise padrão das tensões e corrente do circuito a diodo; (b) circuito a diodo indicando a tensão de entrada V in ; a tensão sobre o conjunto resistor e indutor, V C ; no diodo, V d ; e a corrente de malha I. V d0 é a tensão de barreira do diodo.

25 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 11 O diodo passa a conduzir depois que V d atinge o valor da tensão de barreira do diodo, por isso só há corrente circulando no circuito quando V in <= V d0 (tensão de barreira), como pode ser visto na curva da corrente I da Figura 2.2. Enquanto V in > V d0, toda a tensão V in recai sobre o diodo até que este conduza, situação em que V d = V d0. A forma de onda sobre o resistor V R tem a mesma forma de onda da corrente já que V R é diretamente proporcional a I; no entanto, a tensão sobre o conjunto formado pelo resistor e o indutor V C tem a forma mostrada na Figura 2.2, uma vez que a tensão no indutor é proporcional à variação da corrente (V L = LdI/dt) e, quando o diodo deixa de conduzir, a variação brusca de corrente gera um pico de tensão no indutor no intuito de se opor a tal variação. Apesar da análise revelar formas de ondas assimétricas elas são, e sempre serão, periódicas e de período 1; caracterizando uma dinâmica simples. 2.3 Análise Não Linear Numa análise não linear mais detalhada, no entanto, este simples circuito exibe uma dinâmica muito mais complexa. Para uma análise mais detalhada precisamos recorrer a simulações numéricas e ferramentas específicas para análise não linear. Para a simulação numérica utilizamos o método de integração Runge-Kutta de 4 a ordem de passo fixo (fixado em 10 6 unidades de tempo). Fixaram-se os valores 0.18mH para o indutor L e 4.5Ω para a resistência R; e o diodo D1N1206C que tem, segundo modelo do software de simulação de circuitos Eletronics Workbech (EWB), capacitância de depleção C j = 453pF. A capacitância de difusão pode ser estimada polarizando-se o diodo com a tensão de junção V J (0.52V, também extraído do modelo apresentado no EWB), donde estima-se C d 30nF Espaço de Estados e Atrator Numa primeira abordagem, exploramos a evolução do sistema mediante alterações de parâmetros do sistema, chamados nesses casos de parâmetros de controle. Mesmo sem obter uma solução analítica para o sistema é possível identificar-se as principais características de suas soluções e compreender de modo qualitativo os possíveis movimentos deste sistema observando, por exemplo, o espaço de estados [75-79].

26 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 12 Um dado conjunto de valores (q, I, θ) é um estado do sistema. O espaço de estados mostra como esse estado evolui com o tempo. Observa-se que, diferentemente da análise padrão, onde não se considera o efeito de variações dos parâmetros do sistemas, a análise das simulações numéricas via espaço de estados revela órbitas de diferentes períodos e até mesmo caóticas. O espaço de estados é reconstruído traçando-se a órbita (q x I x θ); nas figuras seguintes, suprimiu-se a variável de estado θ, adotando uma seção de Poincaré em θ = 2π. A Seção de Poincaré é uma ferramenta muito importante para a análise não linear de sistemas dinâmicos não lineares [78]. A Seção de Poncaré é uma maneira de reduzir o estudo de um fluxo num espaço de estados com n dimensões a uma aplicação chamada mapa de Poincaré ou mapa de retorno [78], num espaço de estados de (n 1) dimensões. Como o próprio nome sugere, a Seção de Poincaré pode ser construída fazendo-se um corte no espaço de estados de dimensão n. Lembrando-se que no sistema em estudo existe um termo forçante de ação periódica com período 2π, uma boa escolha para construírmos o mapa de retorno é seccionarmos o espaço de estados tridimensional em θ = 2π. Com o advento da seção de Poincaré, a análise de fluxo reduz-se à análise do mapa de Poincaré; desta forma, na seqüência deste capítulo, análisamos o sistema 2.5 através do mapa de Poincaré (inclusive as definições apresentadas são definições aplicadas a mapas). Def. (Atrator) : é um conjunto invariante para o qual órbitas arbitrárias convergem depois de um tempo suficientemente longo. Um atrator caótico como o da Figura 2.6 é um conjunto caótico que é, inclusive, atrativo [79]. As curvas das Figuras 2.3, 2.4 e 2.5 são chamadas trajetórias ou órbitas [79]. Há uma gama de sistemas para os quais o atrator caótico possui dimensão topológica fractal (não inteira) [75]. Dentre alguns métodos de se estimar a dimensão fractal de um atrator presentes na literatura [67], a Dimensão de Correlação [75] é uma das mais populares pois se baseia apenas na órbita do sistema dinâmico [75,78]. Def. (Fractal) : um fractal é um subconjunto de R n que é auto-similar (a estrutura repete-se em escalas cada vez mais finas) e cuja dimensão fractal exceda sua dimensão topológica (o número de direções linearmente independentes de um espaço, que é sempre um número inteiro) [75].

27 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 13 Figura 2.3: Órbita de Período 2: Espaço de Estados mostrando órbita de período 2 do circuito a diodo quando f = 333kHz e V 0 = 0.8V. Figura 2.4: Órbita de Período 4: Espaço de Estados mostrando órbita de período 4 do circuito a diodo quando f = 333kHz e V 0 = 1.4V.

28 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 14 Figura 2.5: Órbita Caótica: Espaço de Estados mostrando órbita caótica do circuito a diodo quando f = 333KHz e V 0 = 2.3V. Def. (Dimensão Hausdorff) : Seja um conjunto de pontos A num espaço de estados de dimensão n. Recubra-se esses pontos com hiper-cubos ( cubos de n lados) de lado ε. Define-se a dimensão de Hausdorff, que é utilizada, sem rigorosidade, como definição de dimensão fractal, como: D 0 = lim ε 0 logn(ε) log( 1 ε ) (2.6) onde N(ε) é o número mínimo de hiper-cubos de lado ε necessário para cobrir todo o conjunto A, ou seja, N(ε) varia segundo ε D 0 para ε 0 [75]. Def. (Dimensão de Correlação) : Seja S = (v 0, v 1,...) a órbita de um mapa f em R n. Para cada r > 0, defina a função de correlação C(r) como sendo a proporção de pares de pontos da órbita cuja distância mutua seja menor que r. Para ser mais preciso, seja S N os N primeiros pontos da órbita S [75]. Então, (pares(w 1, w 2 ) : w 1, w 2 S N, w 1 w2 < r) C(r) = lim N (pares(w 1, w 2 ) : w 1, w 2 S N ) (2.7)

29 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 15 A função de correlação C(r) aumenta de 0 a 1 a medida que r aumenta de 0 a. Se C(r) r d para r pequeno, diz-se que a dimensão de correlação da órbita S é d. Mais precisamente: cordim(s) = lim r 0 logc(r) log(r) (2.8) Como curiosidade, estimou-se a dimensão de correlação para o atrator da Figura 2.6 e se obteve o valor cordim = , o que caracteriza o atrator como sendo um atrator fractal (de dimensão fracionária). Figura 2.6: Atrator Caótico: Atrator caótico construído a partir da Seção de Poincaré em θ = 2π, quando f = 333KHz e V 0 = 2.3V. As Figuras 2.3, 2.4 e 2.5 mostarm órbitas distintas para valores de parâmetros de controle distintos. O Diagrama de Bifurcação [76] é uma importante ferramenta para analisarmos as transições entre diferentes comportamentos apresentados pelo sistema frente a variações do parâmetro de controle Diagrama de Bifurcação Bifurcação significa separação em duas psrtes. O termo bifurcação é comumente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos não lineares para descrever qualquer mudança repentina no comportamento do sistema frente a alguma variação de parâmetro. O termo

30 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 16 bifurcação refere-se, então, à separação do sistema em duas regiões distintas: uma acima e outra abaixo a um particular valor de um certo parâmetro para o qual a mudança ocorre. Um sistema dinâmico é dito estruturalmente estável (as condições de estabilidade estrutural são dadas pelo Teorema de Peixoto) se, para qualquer perturbação suficientemente pequena das equações que o define, o fluxo resultante é topologicamente equivalente àquele associado ao sistema inicial sem a perturbação. Seja o sistema dinâmico bidimensional: ẋ = f(x, y, µ) (2.9) ẏ = f(x, y, µ) (2.10) onde µ é o parâmetro de controle (µɛr). As soluçoes dependem tanto do tempo quanto de µ. Matrizes Jacobianas, autovalores, autovetores também vão depender de µ. Ao variar-se o parâmetro de controle, podem mudar tanto a posição como as características qualitativas dos pontos estacionários. Por exemplo, digamos que ao se analisar a matriz Jacobiana em torno de um ponto fixo são obtidos dois autovalores conplexos conjugados λ 1,2 = α(µ) ± iβ(µ). Trata-se de um foco que será estável ou instável dependendo do sinal de α(µ). Variando-se µ pode-se eventualmente passar de um ponto foco instável para um foco estável quando µ atinge um valor crítico µ c. Em µ c o sistema dinâmico perde a estabilidade estrutural. Diz-se que ele sofreu uma bifurcação no ponto de bifurcação µ c. Diagrama de Bifurcação : A Figura 2.7 mostra o Diagrama de Bifurcação gerado fixando-se o parâmetro f em 333KHz e, à medida que o parâmetro de controle V 0 é variado, amostrando-se estroboscopicamente as iterações da variável de estado q, em regime, com um período de amostragem de 2π (Seção de Poincaré cortando θ = 2π). A razão pela qual amostramos a variável q com um período de amostragem de 2π é que a dinâmica do sistema varia com o mesmo período do termo forçante V in. Ou seja, o Diagrama de Bifurcação é uma ferramenta gráfica que mostra as bifurcações sofridas pelo sistema dinâmico frente à contínua variação de um de seus parâmetros. A Figura 2.8 trata-se do espectro do valor aproximado do maior Expoente de Lyapunov [75] do fluxo (2.5), calculado com a finalidade de caracterizar a dinâmica caótica.

31 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 17 O Expoente de Lyapunov é uma medida quantitativa da taxa de divergência de trajetórias com condições iniciais próximas, ou seja, quantifica a dependência sensível às condições iniciais de um sistema dinâmico não linear. Figura 2.7: Diagrama de Bifurcação do circuito a diodo, amostrando estroboscopicamente (Seção θ = 2π) a carga q em função do parâmetro de controle V 0. À medida que o parâmetro de controle V 0 é variado, amostrou-se estroboscopicamente as iterações da variável de estado q, em regime, com um período de amostragem de 2π (Seção de Poincaré cortando θ = 2π). Figura 2.8: Expectro de Lyapunov: valor aproximado do maior expoente de Lyapunov em função do parâmetro de controle V 0

32 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 18 Def. (Expoente de Lyapunov): Seja f um mapa suave em R m, J n = Df n (v 0 ) a Jacobiana da n-ésima iteração do mapa e, para k = 1,..., m, seja rk n o k-ésimo eixo ortogonal mais longo do elipsóide J n U para uma órbita com ponto inicial em v 0, onde U é uma esfera unitária em R m [75]. Então, rk n mede a contração ou expansão próxima a órbita de v 0 durante as n primeiras iterações. O k-ésimo número de Lyapuvov de v 0 é definido por: L k = lim n (r n k ) 1/n (2.11) se o limite existir. O expoente de Lyapunov h k é definido como: h k = ln L k (2.12) O teorema ergódico multiplicativo de Oseledec [78] garante a existência do limite usado na definição do expoente de Lyapunov sob circunstâncias gerais. Em particular, seja µ uma medida ergódica natural do atrator, o expoente de Lyapunov h k (v 0 ) é o mesmo valor para todos os pontos v 0 com respeito à medida µ. Este fato implica que os expoentes de Lyapunov com respeito à medida µ são o mesmo conjunto de valores para todo v 0 na bacia de atração do atrator, exceto para um conjunto de medida de Lebesgue zero. Definimos atrator como sendo caótico quando este apresenta expoente de Lyapunov maior que zero [78]. Def. (Órbita Caótica): Seja f um mapa em R m, m 1, e a órbita limitada (contida numa região limitada do espaço de estados) (v 0, v 1,...) de f. A órbita é caótica se: (a) não for assintoticamente periódica; (b) se nenhum número de Lyapunov é unitário; (c) se L 1 (v 0 ) > 1. Sabe-se [75] que existem três condições necessárias para a ocorrência de atratores caóticos (dinâmica caótica) em sistemas contínuos: (a) dimensão de espaço de estados n 3; (b) que a somatória dos expoentes de Lyapunov do fluxo seja menor que zero, o que garante contração do volume no espaço de estados (sistemas dissipativos); (c) que haja pelo menos um expoente de Lyapunov maior que zero.

33 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 19 Pode-se verificar, confirmando nossas expectativas com base na literatura [75,78], que nas regiões de órbitas supostamente caóticas da Figura 2.7, o valor do expoente de Lyapunov é maior que zero enquanto que em regiões de órbitas periódicas, o valor do expoente é menor ou igual a zero. Assim, podemos agora, afirmar que o atrator da Figura 2.6 é realmente um atrator caótico. O Diagrama de Bifurcação é uma importante ferramenta, pois permite que se conheça a evolução do sistema frente a variações dos parâmetros de controle. No Diagrama de Bifurcação da Figura 2.7 nota-se a ocorrência de órbitas de diferentes períodos bem como a mudança repentina de comportamento (bifurcação), mudanças estas que são investigadas nas próximas seções. Vale ressaltar que, a utilização da seção de Poincaré, permitirá que toda a caracterização, e mesmo o controle do sistema, seja feita analisando o sistema como um mapa; mapa que é comumente chamado na literatura de 2π map [78]. Bifurcação por Duplicação de Período Como fora dito, no Diagrama de Bifurcação de Figura 2.7 nota-se a ocorrência de órbitas de diferentes períodos bem como a mudança repentina de comportamento. Uma das mudanças de comportamento que ocorrem no sistema é a chamada Duplicação de Período [77]. O comportamento de duplicação de período é caracterizado quando, aplicando-se um sinal senoidal de período 1, por exemplo, ao sistema, a saída do sistema inicialmente assemelha-se à entrada (neste caso, assemelhar-se se refere a ter o mesmo período), mas à medida que o valor do parâmetro de controle é variado, o período do sinal de saída bifurcar-se-á, neste caso duplicar-se-á ( ) podendo atingir períodos elevados e até mesmo caos (rota para o caos por uma cascata de duplicação de período). No Diagrama de Bifurcação apresentado na Figura 2.7, observa-se a ocorrência de rota para o caos via duplicação de período. A partir de uma órbita de período 3, o sistema sofre sucessivas duplicações de período até atingir o estado caótico. No mesmo Diagrama de Bifurcação ainda é possível notar a acorrência de duplicação de período quando a órbita de período 2 sofre bifurcação duplicando seu período. Além da bifurcação por duplicação de período, nota-se no diagrama que existem órbitas, como a de período 2 e período 3, que surgem repentinamente ou, desaparecem subitamente como a órbita de período 4. Tal fato dá-se devido a bifurcações sela-nó.

34 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 20 Bifurcação Sela-Nó A Figura 2.9 ilustra a ocorrência de uma bifurcação sela-nó [77]. Numa bifurcação sela-nó, dois pontos fixos, um estável e um instável, surgem (desaparecem) com o aumento do valor do parâmetro de controle. Da mesma forma, pode-se dizer que dois pontos fixos desaparecem (surgem) com a redução do valor do parâmetro de controle [77,79]. Figura 2.9: Bifurcação Sela-Nó: Esquema característico da ocorrência de uma bifurcação sela-nó. Quando o parâmetro de controle µ = µ 0, surge m uma órbita estável (nó) e uma órbita instável (sela). O termo sela-nó deriva desse tipo de bifurcação em um espaço de estados bidimensional, onde a órbita instável é uma sela 1 e a órbita estável é um atrator ou nó. Para mapas unidimensionais, esta bifurcação é, algumas vezes, chamada de bifurcação tangente. Este nome deriva do fato de que a derivada do mapa no ponto de retorno (ponto de bifurcação), veja ref. [75,79], deve ser +1, e assim, o gráfico deve ser tangente à linha diagonal y = x. A órbita de período 2 vista no Diagrama de Bifurcação nasce de uma bifurcação sela-nó que ocorre quando V 0 0, 02803V. A Figura 2.10 é uma seção de Poincaré do espaço de estados, e ilustra a ocorrência desta bifurcação sela-nó. O sentido das setas indica a direção seguida pela órbita com o aumento do valor do parâmetro de controle V 0. Esta mesma órbita de período 2 sofre duas bifurcações por duplicação de período chegando a uma órbita de período 8 (não evidente no Diagrama de Bifurcação). Quando V V, a órbita de período 8 sofre, então, uma bifurcação sela-nó e desaparece, dando lugar a uma órbita supostamente caótica. 1 sela: um ponto fixo de sela de um mapa bidimensional é um ponto fixo instável com um autovalor λ s < 1 e outro autovalor λ u > 1

35 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 21 Por fim, o surgimento da órbita de período 3 dá-se também, devido à ocorrência de uma bifurcação sela-nó em V 0 2, 52145V. Uma ilustração da ocorrência destas duas bifurcações sela-nó citadas nos dois últimos parágrafos, seria similar à da Figura 2.10, a menos do período de cada órbita. Figura 2.10: Bifurcação Sela-Nó: Surgimento da órbita de período 2 estável e instável quando V 0 0, 02803V. As setas indicam a direção das trajetórias quando o parâmetro de controle V 0 é aumentado. Observa-se que, por volta de V 0 2, 0 existe uma janela periódica. Esta janela periódica não foi caracterizada mas se acredita que o surgimento e o desaparecimento da mesma deva-se a bifurcações sela-nó. Com isso, ficam carcterizadas algumas das bifurcações (sela-nó e duplicação de período) presentes no sistema em estudo. No entanto, comportamentos muito mais complexos podem estar presentes na dinâmica do sistema, que é o caso, por exemplo, de Crise de Fronteira e Crise Interior Crises Súbitas mudanças no atrator caótico mediante variação de parâmetros são comumente verificados em muitos sistemas reais. Tais mudanças, causadas pela colisão do atrator caótico com uma órbita periódica instável ou, equivalentemente, com sua variedade instável [75], têm sido chamadas de crises [75] e foram inicialmente estudadas por Grebogi et al.[22,24].

36 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 22 Def. (Variedade Estável e Instável): Seja f um mapa suave um-para-um (one-toone) em R n, e seja p um ponto fixo hiperbólico (um ponto p de período k é hiperbólico se Df k no ponto p não tem autovalor com valor absoluto igual a 1), ou ponto periódico hiperbólico de f. A variedade estável de p é o conjunto de pontos x R n tal que f n (x) f n (p) 0, com n. A variedade instável de p é o conjunto de pontos x R n tal que f n (x) f n (p) 0, com n [75]. Três tipos de crises podem ser distinguidas de acordo com a natureza da mudança descontínua que a crise causa ao atrator caótico: no primeiro tipo, um atrator caótico é repentinamente destruído quando o parâmetro atinge um valor crítico; num segundo tipo, o tamanho do atrator no espaço de estados subitamente aumenta; e num terceiro tipo, dois ou mais atratores caóticos fundem-se em um único atrator caótico. A destruição repentina de um atrator caótico ocorre quando o atrator colide com uma órbita periódica na fronteira da bacia de atração da mesma, e é chamado de crise de fronteira. O aumento repentino do tamanho de um atrator caótico ocorre quando a órbita periódica e o atrator caótico colidem no interior de sua bacia de atração, e é chamado de crise interior. Numa crise onde os atratores fundem-se ("merging crise"), dois ou mais atratores caóticos colidem simultaneamente com uma órbita periódica (ou órbitas) na fronteira de bacia que as separam. Def. (Bacia de Atração): Seja f um mapa em R n, e seja p um ponto fixo ou periódico atrativo de f. A bacia de atração de p é o conjunto de pontos x tal que f k (x) f k (p) 0, com k [75]. Ou, eliminando o formalismo matemático, é o conjunto de todas as possíveis condições iniciais que convergem para o mesmo atrator. Crise Interior A mesma cascata de duplicação de período discutida na seção leva o sistema a um regime caótico à medida que o valor do parâmetro V 0 aumenta, é o que se chama de rota para o caos por duplicação de período. Quando V 0 5, 2765V a dinâmica do sistema apresenta então, regime caótico; o atrator caótico está ilustrado no espaço de estados da Figura 2.11.

37 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 23 Figura 2.11: Atrator Caótico originado da cascata de duplicação de período (veja Diagrama de Bifurcação). Figura 2.12: Crise Interior: Esta figura mostra uma ampliação da região do atrator caótico que está circulada na Figura As setas indicam a direção da trajetória da sela de período 24 a medida que aumentamos o valor do parâmetro V 0, até que esta colide-se com o atrator caótico quando V 0 5, 28145V. Este mesmo atrator caótico colide-se, então, com uma órbita periódica instável, mais precisamente um sela de período 24, quando V 0 5, 28145V, sofrendo uma crise interior. A Figura 2.12 ilustra a colisão da órbita periódica com o atrator. A região do atrator

38 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 24 mostrada na Figura 2.12 é a região do atrator que está circulada na Figura Da mesma forma que o ponto fixo muda de posição no espaço de estados a medida que se aumenta o parâmetro V 0, o atrator caótico aumenta um pouco seu tamanho, mas este aumento, neste caso, é quase imperceptível nesta escala e por esse motivo, não se preocupou em ilustrar tal fato na Figura No entanto, vale ressaltar que este aumento do tamanho do atrator caótico ocorre. Após sofrer esta crise interior, o atrator caótico aumenta seu tamanho no espaço de estados ficando com a forma mostrada na Figura Figura 2.13: Atrator Caótico após Crise Interior: figura mostra o aumento de tamanho ocorrido no atrator caótico após crise interior. Mas o sistema exibe não somente crise interior como também crise de fronteira. Crise de Fronteira Ampliando-se a região do Diagrama de Bifurcação compreendido entre V 0 : [0.0, 0.2], observa-se que antes do surgimento do órbita de período 2 em V V, existia outro atrator. Após o surgimento da órbita de período 2 via bifurcação sela-nó, os dois atratores passam a coexistir. Esta é mais uma característica muito importante da dinâmica do sistema; diz-se, nesse caso, que se trata de um sitema com multiatratores. A órbita de período 1 sofre sucessivas duplicações de período, como se pode ver na

39 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 25 Figura 2.14; até que em V V, o atrator fica caótico (fato que não está ilustrado na figura). Figura 2.14: Zoom na parte inicial do Diagrama de Bifurcação do circuito a diodo. O atrator caótico e o de período 2 passam então a coexistir até que, em V V, o atrator caótico colide com a variedade estável da sela de período 2 originada da bifurcação sela-nó. Após a colisão, o atrator caótico desaparece, caracterizando a ocorrência de uma crise de fronteira. A Figura 2.15 mostra o atrator caótico e de período 2 em suas respectivas bacias de atração pouco antes da crise de fronteira. Já a Figura 2.17 mostra como o atrator caótico desaparece após a crise de fronteitra, restando, somente o atrator de período 2. Com isso, ficam caracterizadas estas subitas mudanças chamadas crise interior e de fronteira, presentes na dinâmica do sistema. No entanto, as curiosidades do circuito a diodo não param por aí, na próxima seção verifica-se a presença de conjuntos invariantes não atrativos chamados Selas Caóticas Selas Caóticas Muitos estudos em sistemas dinâmicos não lineares estão voltados para caracterização de atratores [80-82]. Existem outros tipos de conjuntos invariantes em sistemas dinâmicos que são não atrativos e que no entanto, são fundamentais para o entendimento e predição da dinâmica [83]. A estes se dá o nome de Selas Caóticas.

40 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 26 Figura 2.15: Atratores e Bacias de Atração do sistema antes da crise de fronteira, em V 0 = 0.19V. Figura 2.16: Atratores e Bacias de Atração do sistema antes da crise de fronteira. V 0 = 0.203V. É possível notar uma redução no tamanho da bacia de atração do Atrator 2 que, para V 0 = 0.203V, é caótico.

41 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 27 Figura 2.17: Atratores e Bacia de Atração do sistema após crise de fronteira ocorrida em V V, quando o atrator caótico colide-se com a variedade estável do ponto de sela de período - 2. Selas caóticas são responsáveis por comportamentos como transientes caóticos, bacias de atração fractais, espalhamento caótico, crise interior e intermitência [84]. Nos casos típicos, estes conjuntos invariantes podem ter complicadas estruturas geométricas do tipo Conjunto de Cantor. Além disso, os pontos que formam uma sela caótica são pontos de sela, pontos cujos espaços tangentes são a soma direta dos subespaços estáveis e instáveis, ou seja, pontos formados pelo cruzamento das variedades estáveis e instáveis, que são, por definição, conjutos de Cantor [83]. Def. (Conjunto de Cantor): Um conjunto de Cantor Λ é um conjunto fechado, desconecto, e subconjunto perfeito de I = (x 0 x 1). Um conjunto é desconecto se não contém intervalos; é perfeito se todos os pontos são pontos de acumulação ou pontos limites de outros pontos no conjunto [77]. Def. (Ponto Limite) : Seja S R. Um ponto xɛr é um ponto limite de S se existe uma sequência de pontos x n ɛs que convergem a x. S é um conjunto fechado se contém todos seus pontos limites [75].

42 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 28 Selas caóticas são responsáveis por comportamentos como transientes caóticos, bacias de atração fractais, espalhamento caótico, crise interior e intermitência [84]. Um dos métodos para se encontrar uma sela caótica fora proposto por Nusse et al.[85,86] (Saddle Straddle Trajectory - SST). Nos próximos parágrafos, apresentamos um resumo do método SST. Primeiramente, define-se uma região de aprisionamento que contenha o atrator. Então, escolhe-se uma grade de valores (30 divisões, por exemplo) num segmento de reta cruzando a variedade estável; no caso de uma região de aprisionamento retangular, podese escolher a reta diagonal entre os pontos esquerdo inferior e direito superior (pontos limites) da região de aprisionamento. Itera-se cada ponto da grade e se estima o tempo de escape (tempo que cada condição inicial leva para deixar a região de aprisionamento) de cada um dos pontos. Escolhem-se, então, dois novos pontos como pontos limites do segmento de reta de tal forma que entre eles esteja o ponto com o maior tempo de escape, e que eles tenham o segundo e terceiro maior tempo de escape respectivamente. Aplica-se este procedimento de refinamento até que os pontos limites estejam a uma distância menor que um certo ε (10 8, por exemplo) um do outro. Quando isso acontecer, os pontos do segmento são tomados como condições iniciais e suas órbitas, então, são tomadas como pontos pertencentes à sela caótica. Até que, quando a distância entre os pontos limites (extremidades do segmento) for maior que ε, aplica-se novamente o procedimento de refinamento até que estejam a uma distancia menor que ε um do outro. Aplicando-se continuamente este procedimento, é possível, então, encontrar este conjunto invariante não atrativo, responsável por uma variedade de comportamento presente na dinâmica do sistema, chamado Sela Caótica. A região do Diagrama de Bifurcação do circuito a diodo onde se têm, em regime, órbitas periódicas de período 3, apresenta transiente tipicamente caótico. Este transiente caótico é devido à existência de sela caótica que, apesar de não aparecer no diagrama por não ser um conjunto atrativo, infuencia diretamente a dinâmica do sistema. A Figura 2.18 apresenta uma sela caótica característica do sistema em estudo. Esta sela caótica foi obtida aplicando-se o algoritmo que fora aqui descrito resumidamente. Os parâmetros de controle do sistema neste caso são f = 333KHz e V 0 = 3.8V, situação em que se tem um atrator periódico de período 3.

43 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 29 Figura 2.18: Sela Caótica típica do sistema, encontrada em V 0 = 3.8V, região de regime de período Conclusão Neste capítulo inicial, introduzimos alguns conceitos e fenômenos relacionados a sistemas dinâmicos não lineares, especialmente aos sistemas caóticos. Para este fim, fizemos uso, como fonte de ilustração, de um simples circuito a diodo (sistema dinâmico) cuja não linearidade provém do modelo de capacitâncias linear por partes do diodo e de uma fonte de excitação não linear. Verifica-se que o sistema dinâmico estudado apresenta, para um grupo de parâmetros de controle, bifurcações bem conhecidas [75-79] e caracterizadas como bifurcações selanó e de duplicação de período. Mais do que isso, observa-se também, a ocorrência de rota para o caos por duplicação de período, fenômeno presente em muitos sistemas dinâmicos, mesmo nos mais simples, como é o caso do mapa quadrático [76]. Com a finalidade de se caracterizar tais bifurcações foram introduzidas técnicas de análise de sistemas não lineares como a análise em espaço de estados e a geração do Diagrama de Bifurcação. Além da rota para o caos por duplicação de período, pode-se verificar no sistema transições abruptas para o comportamento caótico, ou ainda, o desaparecimento abrupto do mesmo. Tal comportamento é característico da ocorrência de crises. Nas análises realizadas neste trabalho, verifica-se a ocorrência de crise de fronteira, resultando no de-

44 CAPÍTULO 2. SISTEMAS CAÓTICOS 30 saparecimento de um atrator caótico; e a ocorrência de crise interior, quando o atrator caótico originado de uma cascata de duplicação de período tem seu tamanho aumentado ao se chocar com uma órbita periódica instável. Outro fato importante é a existência de selas caóticas no sistema em estudo. Sabese que tais conjuntos são responsáveis por comportamentos diversos como transiente caótico, espalhamento caótico, entre outros. A influência de tais conjuntos não foi estudada tão a fundo, no entanto, na Figura 2.18, pode-se ter idéia das características topológicas de uma sela caótica presente no sistema obtida através da aplicação do método SST. No capítulo seguinte introduzimos algumas técnicas de controle de caos que exploram a dinâmica do atrator caótico (OGY), a dinâmica das selas caóticas (controle clássico + OGY), ou os limites físicos impostos ao sistema (limitadores).

45 Capítulo 3 Controle de Caos Frente à sensível dependência às condições iniciais dos sistemas caóticos e ao fato de que, em geral, condições iniciais experimentais são quase nunca conhecidas exatamente, tais sistemas são intrinsecamente imprevisíveis a longo prazo. Na realidade, a trajetória prevista de uma condição inicial bem estimada e a trajetória real que parte de uma condição inicial real, divergem em média exponencialmente no decorrer do tempo, ou seja, o erro de predição cresce em média exponencialmente com o tempo, até que as trajetórias sejam não correlacionadas [75]. Além da sensibilidade às condições iniciais, sistemas caóticos apresentam duas outras importantes propriedades. Primeiramente, há um número infinito contável de órbitas periódicas instáveis imersas nos conjuntos caóticos. Em outras palavras, o esqueleto de um atrator caótico é uma coleção de infinitas órbitas periódicas [75]. Em segundo lugar, a dinâmica nos atratores caóticos é ergódica (transitivo, para os matemáticos), o que implica que durante a evolução temporal, o sistema ergodicamente visita pequenas vizinhanças de todos os pontos das órbitas periódicas instáveis imersas no atrator caótico [78]. Uma conseqüência relevante dessas propriedades é que uma dinâmica caótica pode aparentar um comportamento regular em determinado instante de tempo e, irregularmente pular das proximidades de uma órbita periódica para outra. A ídéia de controle de caos é então, quando a trajetória aproximar-se de uma órbita periódica desejada imersa no atrator, aplicar-se pequenas perturbações para estabilizar tal órbita. Aplicando pequenas perturbações, a trajetória pode mover-se para a vizinhança da órbita periódica desejada que então, será estabilizada. A partir disso, o fato de sistemas caóticos serem sensíveis a perturbações nas condições iniciais pode ser, de fato, muito desejável em situações 31

46 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 32 experimentais. Realmente, se é verdade que pequenas perturbações podem levar a grandes mudanças na resposta do sistema ao longo do tempo, é também verdade que a escolha criteriosa de tais perturbações pode direcionar a trajetória para qualquer lugar no atrator, produzindo uma série de estados desejados [87]. O ponto importante aqui é que, devido ao caos, é possível obter um número infinito de comportamentos dinâmicos desejados utilizando-se o mesmo sistema caótico, com o auxílio apenas de pequenas perturbações escolhidas apropriadamente. A idéia de controle da caos foi enunciada no início da década passada na Universidade de Maryland [55]. Na refêrência [55], a idéia de controle de caos foi delineada e um método para estabilização de órbitas periódicas instáveis sugerida como prova de tal princípio. A idéia básica consiste em aguardar uma passagem natural da órbita caótica próximo o bastante da órbita periódica desejada, e então, aplicar pequenas (low energy) e criteriosas perturbações (feedback method) com o intuito de estabilizar tal órbita. No contexto da dinâmica caótica, controle pode assumir significados diversos. Pode significar eliminação de multiplas bacias de atração, estabilização de pontos fixos ou, estabilização de órbitas periódicas [87-91]. Controle de Caos é um tópico muito recente mas que oferece um enorme potencial. 3.1 Controle OGY Nos sistemas caóticos dissipativos, os pontos periódicos instáveis têm direções associadas ao longo das quais as trajetórias convergem e divergem, que são, respectivamente, as variedades estáveis e instáveis [75]. Os pontos periódicos instáveis no atrator possuem ao menos uma variedade estável e uma instável, isto é, são pontos de sela. A dinâmica local é aproximada pela matriz Jacobiana, a derivada do mapa linear local. Os autovalores da Jacobiana fornecem a escala local de amplitude, e os autovetores determinam as direções locais das variedades. Se for possível determinar pontos periódicos instáveis no atrator caótico e aprender a dinâmica local em torno do ponto correspondente na superfície de uma seção (seção de Poincaré), pode ser possível estabilizá-los.

47 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 33 O método OGY [55] apresenta duas fases, o aprendizado e o controle. A fase de aprendizado é dividida em três estágios. O primeiro estágio consiste em modelar o sistema caótico utilizando mapas de retorno [88-90]. No segundo estágio, os mapas de retorno são usado para localizar o ponto de controle. Um ponto de controle é um ponto periódico instável que, quando controlado, fornece o comportamento desejado ao sistema. Uma vez selecionado um ponto de controle, obtémse uma linearização local em torno do ponto, isto é, constróe-se a Jacobiana aproximada. A estrutura do atrator caótico na vizinhança de um ponto periódico e o movimento dos pontos em sua vizinhança são determinados pelo espaço tangente ao ponto periódico. No terceiro estágio, faz-se uma análise de sensibilidade que determina o efeito de pequenas perturbações do parâmetro de controle na dinâmica em torno do ponto de controle. Na fase de controle, a perturbação necessária para controlar o sistema é calculada e aplicada quando o sistema encontra-se próximo ao ponto de controle. Para controlar sistemas caóticos, é necessário confinar as iterações na superfície da seção em uma pequena vizinhança do ponto de controle. Quando uma iteração cai perto da vizinhança, o parâmetro de controle pc é alterado de seu valor nominal pc 0 por um δpc, alterando a localização do ponto de controle e suas variedades. A perturbação δpc é escolhida de forma que a iteração seguinte seja forçada a voltar para a variedade estável do ponto de controle original quando pc = pc 0. O método força o ponto a permanecer na vizinhança de um ponto periódico instável no atrator; o que o difere de outros métodos [88-90]. Nas próximas seções serão detalhados cada um dos estágios do método, já aplicandoos ao sistema em estudo (circuito a diodo) Encontrando um Ponto Fixo Pontos fixos, e conseqüêntemente órbitas periódicas, podem ser determinados com uma pequena adaptação no algorítmo para geração da seção de Poincaré. Deve-se armazenar pares de pontos consecutivos (q n, I n ) e (q n+1, I n+1 ), calcular a distância entre eles, e comparar a distância com uma pequena distância pré-determinada ɛ. Se a distância for menor que ɛ, então, as coordenadas indicam a presença de um ponto fixo muito próximo, (q F, I F ) [88].

48 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 34 Este procedimento para encontrar um ponto fixo pode ser modificado para encontrar órbitas de diversos períodos. Para uma órbita de período k simplesmente checa-se a distância entre (q n, I n ) e (q n+k, I n+k ) [88] Efeito da Alteração do Parâmetro de Controle O próximo passo é determinar como a variação do parâmetro de controle afeta as coordenadas do ponto fixo. Próximo a (q F, I F ), uma pequana alteração δv 0 (lembrando que V 0 é o parâmetro de controle do circuito a diodo) no parâmetro V 0 resultará num novo ponto fixo (q F, I F ), que pode ser aproximado por: q F I F q F I F + δv 0 q F / V 0 I F / V 0 (3.1) Para determinar o vetor ( q F / V 0, I F / V 0 ), simplesmente fazem-se pequenas alterações em V 0 e observam-se as mudanças nos ponto fixos. A menos de algumas possíveis dispersões, a aproximação linear em torno do ponto fixo é suficiente e assim, as inclinações das curvas q F e I F vs V 0, ajustadas pelo método de mínimos quadrados, fornecem o valor do vetor ( q F / V 0, I F / V 0 ) [88,90]. O mecanismo de controle não é especialmente sensível e variações na magnitude desses parâmetros são toleráveis [88] Transformação M Em geral, a transformação M é um mapeamento não linear de (q n, I n ) em (q n+1, I n+1 ). No entanto, em pequenas regiões no espaço de estados, pode ser aproximada de um mapa linear. Próximo ao ponto fixo, o mapa pode ser escrito como: q n+1 I n+1 q F I F + M q n q F I n I F (3.2) onde M, neste caso, será uma matriz de transformação 2X2.

49 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 35 Comprimimos a notação, definindo: q n I n q n q F I n I F Assim, a eq. (3.2) pode ser reescrita como: I n+1 e q n+1 q n+1 q F I n+1 I F (3.3) q n+1 M q n (3.4) I n+1 I n Na seção de Poincaré, como já foi dito, há trajetórias que emanam do ponto fixo: a variedade instável, ao longo da qual a órbita aproxima-se do ponto fixo para iterações inversas; e a variedade estável, ao longo da qual a órbita aproxima-se do ponto fixo para iterações diretas. Nas vizinhanças do ponto fixo, vetores que estão apontando na direção das variedades estável e instável do ponto fixo mantêm suas direções sob a transformação M e consequentemente, os autovetores de M. O mapa local M pode ser determinado a partir da evolução, por um período de integração, de um conjunto de n condições iniciais na vizinhança do ponto fixo, como sugerem as seguintes equações. Para uma condição inicial ( q n, I n ), pode-se escrever: equivalentemente, I n+1 q n+1 = M q n (3.5) I n q n+1 = m 11 q n + m 12 I n I n+1 = m 21 q n + m 22 I n (3.6) Repetindo para n condições iniciais e reagrupando as equações tem-se: ( q n+1 I n+1 ) nx2 = ( q n I n ) nx2 Θ (3.7) [ ( qn I n ) T ( q n I n ) ] 1 ( qn I n ) T ( q n+1 I n+1 ) = Θ (3.8) M = Θ T (3.9)

50 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 36 Os autovalores e autovetores associados à matriz M são, respectivamente, λ u e λ s, e u e e s. Os vetores f u e f s perpendiculares a e s e e u, respectivamente, podem ser calculados através da relação: e, para normalização, f u e s = 0 e f s e u = 0, (3.10) f u e u = 1 e f s e s = 1, (3.11) Finalmente, para derivação do algorítmo de controle, utiliza-se o fato de que o mapa M pode ser escrito como combinação das quantidades acima: M = λ u e u f u + λ s e s f s (3.12) O Algoritmo de Controle O objetivo do controle é, então, forçar a trajetória do sistema em direção ao ponto fixo na seção de Poincaré. O objetivo é atingido ajustando-se o parâmetro de controle de modo que desloque a intersecção do ponto com a seção de Poincaré em direção à variedade estável nas proximidades do ponto fixo. Então, a atração natural ao longo da variedade estável encarrega-se de puxar o ponto de intersecção para o ponto fixo [55,87]. O ponto fixo (q F, I F ) está localizado na intersecção das variedades estável e instável. Se V 0 é alterado em δv 0, o ponto fixo é movido para uma nova posição (q F, I F ) tal que, q F I F = q F I F + δv 0 q F / V 0 I F / V 0 Com a alteração em V 0, o próximo ponto (q n+1, I n+1) torna-se: (3.13) q n+1 I n+1 = q F I F + M q n I n, onde q n I n = q n q F I n I F (3.14)

51 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 37 Este novo ponto (q n+1, I n+1) é o resultado da aplicação do mapa M, com V 0 + δv 0, sobre (q n, I n ). Para o vetor que vai do ponto fixo original (q F, I F ) ao novo ponto, denotase: q n+1 I n+1 = q n+1 q F I n+1 I F (3.15) Finalmente, incluindo a alteração δv 0 ao parâmetro de controle do mapa M, o vetor da eq. (3.15) pode ser escrito primeiramente, como: e, então como, q n+1 I n+1 = q F I F q F I F + M q n q F I n I F (3.16) q n+1 I n+1 = q F / V 0 I F / V 0 δv 0 + M q n I n q F / V 0 I F / V 0 δv 0 (3.17) Usando M na forma expandida da eq. (3.12), o vetor pode ser escrito como: q n+1 I n+1 = + (λ u e u f u + λ s e s f s ) q n I n q F / V 0 I F / V 0 q F / V 0 I F / V 0 δv 0 + δv 0 (3.18) Para controle, deseja-se que o ponto (q n+1, I n+1) mova-se rumo à variedade estável e conseqüentemente, o vetor ( q n+1, I n+1 ) deve alinhar-se à variedade estável. Isto significa que δv 0 deve ser ajustado de modo que: f u q n+1 I n+1 = 0 (3.19)

52 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 38 OGY. Quando combinado com a equação (3.18), esta condição leva ao resultado do método δv 0 = λ u λ u 1 f u q n I n f u q/ V 0 I/ V 0 (3.20) Esta expressão determina a variação em V 0 necessária para modificar a trajetória de forma que a próxima intersecção com a seção de Poincaré seja próximo o bastante da variedade estável de (q F, I F ). Esta expressão é utilizada para variar V 0 a cada período de integração (ciclo da seção de Poincaré) Aplicando OGY Como já foi dito, imerso nos atratores caótico há um número infinito de órbitas periódicas instáveis. Conhecendo com certa precisão a localização de uma órbita periódica instável no espaço de estados e, conhecendo sua dinâmica local, pode-se aplicar a técnica OGY para controlar (seguir) esta órbita. Conhecendo-se com precisão a localização de uma órbita periódica no espaço de estados para f = 333KHz e V 0 = 2.3V, situação em que a dinâmica apresenta regime caótico, aplicou-se, então, o método de controle de caos OGY ao sistema do circuito a diodo. A partir de uma condição inicial adequada, iniciou-se a simulação numérica do sistema com V 0 = 2.3V, situação em que a dinâmica apresenta regime caótico. Sabe-se que naturalmente, pela própria dinâmica do sistema, a trajetória do sistema passará tão próximo quanto se deseja do ponto fixo(órbita periódica) que é conhecido, e neste momento, o controle OGY é acionado. A Figura 3.1 mostra a trajetória do sistema em seu transitório caótico posteriormente controlado para órbitas de períodos distintos (1, 2, 4 e 8 respectivamente). As setas azuis indicam o momento em que o sistema naturalmente atinge a vizinhança do ponto fixo (periódico) e o controle é acionado; as setas vermelhas indicam, o momento em que o controle é desligado.

53 CAPÍTULO 3. CONTROLE DE CAOS 39 Figura 3.1: Controle de Caos - Método OGY: a figura mostra o sistema em regime caótico seguido por regime periódico devido a ação do controle OGY. As seta azuis indicam o momento em que a órbita caótica atinge as vizinhanças dó ponto periódico que se deseja estabilizar, quando, então, inicia-se o controle OGY. As setas vermelhas indicam o momento em que o controle OGY é interrompido, e a órbita do sistema volta a ter regima caótico; situação que se repete para períodos 1, 2, 4 e Explorando Selas Caóticas Como dito anteriormente, além dos atratores, existem outros tipos de conjuntos invariantes em sistemas dinâmicos que não são atrativos e que no entanto, são fundamentais para o entendimento e predição da dinâmica [83]. A esses conjuntos dá-se o nome de Selas Caóticas. Selas caóticas são responsáveis por comportamentos como transientes caóticos, bacias de atração fractais, espalhamento caótico, crise interior e intermitência [84]. A influência das selas caóticas na dinâmica do sistema que pode ser indesejável em alguns casos (transientes caóticos, p. ex.), pode ser utilizada de forma inteligente para que se seja capaz de controlar o sistema dinâmico. Assim como nos atratores caóticos, imersas nas selas caóticas também existem infinitos pontos fixos (órbitas periódicas) instáveis que uma vez atingidos pelo sistema, neles permanecerá. No entanto, diferentemente dos atratores caóticos, selas caóticas são conjuntos invariantes não atrativos e a trajetória em regime do sistema nunca atingirá naturalmente uma das órbitas periódicas instáveis imersas na sela caótica. Contudo, é possível, através de métodos de controle não linear clássicos [92], levar o sistema de seu regime