REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

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2 Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Divisão de Informação e Documentação Ramos Turci, Luiz Felipe Caracterização, Controle de Caos e Sincronização em Circuitos Chaveados / Luiz Felipe Ramos Turci. São José dos Campos, f. Tese de Doutorado Curso de Engenharia Eletrônica e Computação. Área de Sistemas e Controle Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Orientador: Prof. Dr. Elbert E. N. Macau. Co-orientador: Prof. Dr. Takashi Yoneyama. 1. Circuitos. 2. Sistemas de chaveamento. 3. Sistemas dinâmicos. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Sistemas e Controle. II. Caracterização, Controle de Caos e Sincronização em Circuitos Chaveados. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA RAMOS TURCI, Luiz Felipe. Caracterização, Controle de Caos e Sincronização em Circuitos Chaveados f. Tese de Doutorado Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Luiz Felipe Ramos Turci TITULO DO TRABALHO: Caracterização, Controle de Caos e Sincronização em Circuitos Chaveados. TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese / 2009 É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem sua autorização. Luiz Felipe Ramos Turci Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 CEP São José dos Campos SP

3 i CARACTERIZAÇÃO, CONTROLE DE CAOS E SINCRONIZAÇÃO EM CIRCUITOS CHAVEADOS Luiz Felipe Ramos Turci Composição da Banca Examinadora: Prof. Roberto Kawakami Harrop Galvão... Presitente - ITA Prof. Elbert Einstein Neher Macau... Orientador - INPE Prof. Takashi Yoneyama... Co-orientador - ITA Profa. Marisa Roberto... Membro Interno - ITA Prof. Marcelo Amorim Savi... Membro Externo - UFRJ Prof. José Roberto Castilho Piqueira... Membro Externo - USP ITA

4 ii Dedicatória À minha família e aos que acreditaram em mim para desenvolver este trabalho.

5 iii Agradecimentos A meus orientadores, Elbert Einstein Neher Macau e Takashi Yoneyama, pelo suporte intelectual; à Fapesp e a CAPES pelo suporte financeiro; e agradeço especialmente ao Prof. Mario di Bernardo, que me recebeu e me orientou durante o Estágio de Doutorado realizado na Universidade de Nápoles - Frederico II.

6 iv Resumo Circuitos eletrônicos chaveados apresentam uma dinâmica extremamente elaborada que, ultimamente, vem sendo objeto de intensivas pesquisas. A característica primordial desses circuitos é a operação comutada entre diferentes topologias de circuitos, o que ocasiona uma variedade de comportamentos não lineares. Importantes exemplos desses circuitos, os conversores DC/DC são os componentes fundamentais dos subsistemas de potência de satélites, e apresentam comportamentos típicos de sistemas não lineares descontínuos, entre os quais, salto entre diferentes níveis de tensão, operação em regime quase-periódico, e evolução caótica oriundos de específicos cenários de bifurcação. Além das bifurcações encontradas tradicionalmente em sistemas não lineares contínuos, há bifurcações típicas de sistemas descontínuos, e que resultam da operação em diferentes topologias suaves-por-partes, as bifurcações de colisão de borda, a grazing, asliding, a boundary-equilibrium bifurcation. Dentre os objetivos deste trabalho, espera-se caracterizar a ocorrência dessas bifurcações e suas consequências no caso das configurações típicas de subsistemas de potência de satélite. A partir dessa caracterização, tenciona-se contribuir com soluções de engenharia que impliquem em subsistemas mais robustos e previsíveis. Outra área a ser explorada neste projeto diz respeito a verificar a aplicabilidade dos métodos de controle não linear como controle de caos, e controle através de sincronização baseando-se nas abordagens de controle e sincronização aplicados a redes complexas.

7 v Abstract Switched electronic circuits have an extremely elaborated dynamic that lastly has become an object of intensive research. The main characteristic of such circuits is the switched operation between different circuit topologies that makes rise a wide range of nonlinear phenomena. Important examples os such circuits, the DC/DC converters, are fundamental devices in satellites power subsystems, and exhibit typical behaviors of discontinuous systems, say for example, voltage abrupt variation, quasi-periodic regimes, and chaotic evolution due to especific bifurcation. Apart from bifurcations traditionally related to continuous nonlinear systems, there are also bifurcations only related to discontinuous systems due to the operation in different topologies, that is the case of border-collision, grazing, sliding, boundary-equilibrium-bifurcation. One of the objectives of this work is to characterize such bifurcations and their consequences to typical configurations of satellites power subsystems. From the characterization we expect not only to understand but also to contribute to engineering solutions that result robust and predictable subsystems based on an appropriate comprehension of the nonlinear effects. Besides the necessity of characterizing power systems phenomena, rises the necessity of controlling their dynamic, which blossom a rich field to explore several chaos control technics that goes from the well know chaos control techniques applied to continuous nonlinear systems, to synchronization-based techniques based on complex network synchronization approaches.

8 Lista de Figuras FIGURA 1.1 Conversor Buck FIGURA 2.1 Esquemático do Subsistema de Potência de Satélite FIGURA 2.2 Esquemático do Modelo-1 do Subsistema de Potência de Satélite.. 33 FIGURA 2.3 Característica de Saída Painel do Solar FIGURA 2.4 Esquemático do Conversor Buck - Modelo-t FIGURA 2.5 Característica de Saída Painel do Solar - Modelo Linearizado FIGURA 3.1 Possíveis Cenários de BEB FIGURA 3.2 Órbita Periódica de um Fluxo Suave-por-Partes FIGURA 3.3 Seqüência de Eventos numa Órbita Periódica de um Fluxo Suavepor-Partes FIGURA 3.4 Efeito do Mapa de Descontinuidade FIGURA 3.5 Topologias de Intersecção de Fronteiras FIGURA 3.6 Bifurcação Induzida por Descontinuidade FIGURA 3.7 Mapa de Descontinuidade no Caso de Intersecção de Fronteiras FIGURA 3.8 Colisão de Quina FIGURA 4.1 Diagrama de Bifurcação do Modelo-1 de SPS FIGURA 4.2 Atrator do Modelo-1 de SPS FIGURA 4.3 Diagrama de Bifurcação 1 do Modelo-t de SPS... 73

9 LISTA DE FIGURAS vii FIGURA 4.4 Diagrama de Bifurcação 2 do Modelo-t de SPS FIGURA 4.5 Diagrama de Bifurcação 3 do Modelo-t de SPS FIGURA 4.6 Efeito da Variação de Temperatura no SPS FIGURA 4.7 Diagrama de Bifurcação 2D FIGURA 4.8 Diagrama de Bifurcação 4 do Modelo-t de SPS FIGURA 4.9 Diagrama de Bifurcação 5 do Modelo-t de SPS FIGURA 4.10 Boundary Equilibrium Bifurcation FIGURA 4.11 Diagrama de Bifurcação do Modelo-PWL de SPS FIGURA 4.12 Bifurcação Induzida pela Descontinuidade do Painel Solar FIGURA 5.1 Controle OGY aplicado ao Modelo-1 de SPS FIGURA 5.2 Janela de Controle FIGURA 5.3 Esquemático do Modelo-t Modificado de SPS FIGURA 5.4 Diagrama de Bifurcação do Modelo-t Modificado de SPS FIGURA 5.5 Tensão de Saída v Controlada FIGURA 5.6 Tensão de Saída v1 Controlada FIGURA 5.7 Corrente do Limitador FIGURA 5.8 Órbita Controlada de Período FIGURA 6.1 Rede Complexa FIGURA 7.1 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento de Valor Fixo FIGURA 7.2 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento de Valor Fixo FIGURA 7.3 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativo Centralizada...131

10 LISTA DE FIGURAS viii FIGURA 7.4 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativo Centralizada FIGURA 7.5 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Centralizada FIGURA 7.6 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.7 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.8 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.9 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.10 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.11 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.12 Erro de Sincronização numa Rede de Conversores Buck com Fraco Acoplamento FIGURA 7.13 Evolução dos Estados numa Rede de Conversores Buck com Fraco Acoplamento FIGURA 7.14 Erro de Sincronização numa Rede de Conversores Buck com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.15 Evolução dos Estados numa Rede de Conversores Buck com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.16 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Conversores Buck com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.17 Erro de Sincronização numa Rede de SPS com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada...143

11 LISTA DE FIGURAS ix FIGURA 7.18 Evolução dos Estados numa Rede de SPS com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.19 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de SPS com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada FIGURA 7.20 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle de Valores Fixos FIGURA 7.21 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle de Valores Fixos FIGURA 7.22 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo FIGURA 7.23 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo FIGURA 7.24 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo. 148 FIGURA 7.25 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.26 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.27 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.28 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.29 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.30 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos...153

12 LISTA DE FIGURAS x FIGURA 7.31 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.32 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Osciladores de Lü Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos FIGURA 7.33 Erro de Controle numa Rede de Conversores Buck FIGURA 7.34 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Conversores Buck. 156 FIGURA 7.35 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Conversores Buck FIGURA 7.36 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Conversores Buck..157 FIGURA 7.37 Erro de Controle numa Rede de SPS FIGURA 7.38 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de SPS FIGURA 7.39 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Conversores Buck FIGURA 7.40 Evolução da Força de Controle numa Rede de SPS FIGURA 7.41 Erro - Controle Pinning Associado a Controle de Caos FIGURA 7.42 Evolução dos Estados - Controle Pinning Associado a Controle de Caos FIGURA 7.43 Evolução da Força de Acoplamento - Controle Pinning Associado a Controle de Caos FIGURA 7.44 Evolução da Força de Controle - Controle Pinning Associado a Controle de Caos...163

13 Lista de Tabelas TABELA 2.1 Considerações para o projeto de SPS... 31

14 Sumário Lista de Figuras... vi Lista de Tabelas... xi 1 Introdução Contextualização Dinâmica Não Linear e Caótica em Sistemas Suaves por Partes Dinâmica Não Linear e Caótica em Circuitos Chaveados Controle de Caos em Circuitos Chaveados Controle de Sincronização em Circuitos Chaveados de Potência Concernência do Trabalho Subsistema de Potência de Satélites Subsistema de Potência de Satélites - SPS Modelo-1 - Modelo de Lim e Hamill Conversor DC/DC e Carga - Modelo Modelo-t Modelo-PWL Comentários Finais Fluxos e Mapas Descontínuos... 46

15 SUMÁRIO xiii 3.1 Fluxos Suaves-por-Partes Pontos de Equilíbrio de Fluxos Suaves-por-Partes Boundary Equilibrium Bifurcation Sistemas de Filippov Mapeamento de Descontinuidade Mapeamento Geral de Descontinuidade Bifurcação por Cruzamento de Intersecção de Fronteiras Mapas Suaves-por-Partes Mapas Locais Suaves-por-Partes Pontos de Equilíbrio de Mapas Locais Suaves-por-Partes Colisão de Borda Comentários Finais Análise do Sistema de Potência de Satélites Análise do Modelo Análise do Modelo-t Diagrama de Bifurcação 2D Análise Dinâmica Comentários Finais Controle de Caos no SPS Controle OGY Aplicado ao SPS Controle via Limitadores Aplicado ao SPS Comentários Finais Controle de Sincronização Introdução ao Problema de Sincronização em Redes Complexas..102

16 SUMÁRIO xiv 6.2 Estratégia Adaptativa Descentralizada de Controle de Sincronização Prova do Teorema Prova do Teorema Extensão para Campos Vetoriais Lipschitz Estabilidade Local Comentários Finais Aplicação dos Métodos de Sincronização Sincronização de Redes Complexas Exemplo 1: Sincronização em Rede de Osciladores de Chua Exemplo 2: Sincronização em Rede de Osciladores de Lü Exemplo 3: Sincronização em Rede de Conversores Buck Exemplo 4: Sincronização em Rede de Subsistemas de Potência de Satélites Controle Pinning de Redes Complexas Exemplo 5: Controle Pinning em Rede de Osciladores de Chua Exemplo 6: Controle Pinning em Rede de Osciladores de Lü Exemplo 7: Controle Pinning em Rede de Conversores Buck Exemplo 8: Controle Pinning em Rede de Subsistemas de Potência de Satélites Controle Pinning Associado a Controle de Caos Comentários Finais Conclusão e Comentários Finais Referências Bibliográficas Apêndice A QUAD x Lipschitz Glossário

17 1 Introdução 1.1 Contextualização O subsistema de potência é o item mais crítico de qualquer espaçonave. A energia provida por este subsistema é utilizada pelos subsistemas de comunicação, de controle de atitude, de propulsão, de guiagem, entre outros [1]. Com o alvorecer da Era Espacial, missões espaciais científicas tornaram-se mais complexas e ambiciosas; assim, o tamanho das espaçonaves aumentou, bem como o requerimento de energia dessas espaçonaves. Para lidar com essa tendência, foram projetados subsistemas de potência mais potentes e complexos, e consequentemente, mais pesados. Esse cenário muda drasticamente no início dos anos 90 [2]. Falhas completas ou parciais de diversas espaçonaves de caráter altamente científico, e a queda substancial no orçamento das Agências Espaciais, levam a uma mudança de paradigma no projeto de espaçonaves. Passa a vigorar o conceito de projetos rápidos, melhores, e mais barato, no qual espaçonaves menores, capazes de completar missões de escopo reduzido, a custos enormemente reduzidos, são o grande objetivo a ser perseguido. Para ser efetivo, esse conceito requer subsistemas simples e flexíveis, cujo projeto possa ser aplicado em diversas missões, e cujo peso seja o menor possível, de forma a reduzir os custos de lançamento.

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 16 Assim sendo, novas abordagens de projetos baseadas na eficiência, sem apenas aumentar o tamanho e a complexidade do subsistema de potência, devem ser concebidas de forma a lidar com o requerimento de energia de instrumentos científicos cada vez mais sofisticados [2, 3, 4, 5]. Uma possível abordagem de projeto consiste no aumento da eficiência das arquiteturas utilizadas no projeto dde cada um dos elementos dos subsistemas de potência. Subsistemas de Potência de Satélites (SPS) tipicamente compreendem painéis solares, filtros, baterias recarregáveis e conversores de tensão DC/DC, que são circuitos eletrônicos do tipo chaveados. Circuitos eletrônicos chaveados apresentam uma dinâmica extremamente elaborada que, ultimamente, vem sendo objeto de intensivas pesquisas [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. A característica primordial desses circuitos éaoperação comutada entre diferentes topologias de circuitos, o que ocasiona uma variedade de comportamentos não lineares, que incluem a ocorrência de cenários específicos de bifurcações e mesmo a presença da evolução caótica [6, 7, 8, 9, 11, 15]. No passado, tentava-se evitar esses comportamentos não lineares e a manifestação de sinais temporais com características de ruído ajustando-se os parâmetros do circuito de forma a levá-los a uma região em que a operação mostrasse-se mais regular. Por essa época, empregavam-se, em geral, métodos de análise de estabilidade que faziam uso de modelos simplificados, que permitiam a aplicação direta dos métodos clássicos de análise, baseados, sobretudo, nas técnicas de resposta em freqüência. A consequência desse enfoque foi concentrar o esforço de pesquisa em circuitos de potência no desenvolvimento de mecanismos que permitissem derivar, a partir de tais circuitos, modelos lineares apropriados a serem analisados pelas técnicas tradicionais. Em contrapartida, estes modelos não permitem a predição de qualquer comportamento ou operação não linear.

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 17 Esse cenário vem alterado-se nas últimas décadas, com o adequado entendimento da dinâmica não linear e do comportamento caótico. De fato, hoje, sabe-se que sistemas de equações diferenciais autônomas não lineares com dimensão maior do que dois, e mesmo sistemas não lineares autônomos de equações a diferença finita na reta (de intervalo a intervalo), podem exibir um comportamento dinâmico rico e variado, que muitas vezes inclui a manifestação da dinâmica caótica [17, 18]. Desde os tempos de Poincaré [19], sabe-se que a dinâmica que ocorre nas proximidades de um ponto homoclínico é extremamente complexa. Uma descrição mais detalhada que permite um melhor entendimento do que ocorre nas vizinhanças deste ponto deve-se a Birkhoff [20]. Finalmente, Cartwright e Littlewood [21] encontram a presença do fenômeno dos pontos de cruzamento homoclínico ao estudarem as equações de Van der Pol. Contudo, deve-se a Smale [22] o entendimento adequado do fenômeno ao modelá-lo através de seu mapa da ferradura, que exibe um conjunto invariante caótico cuja dinâmica pode ser completamente analisada. Smale mostra que tais ferraduras sempre encontram-se nas vizinhanças dos pontos de cruzamento homoclínicos e que, imerso nessas estruturas de ferradura, existem infinitos pontos periódicos de diferentes períodos, além de infinitas trajetórias que permanecem na estrutura de ferradura, mas implicam em trajetórias que oscilam de forma irregular, sem tenderem para nenhum movimento periódico - são as trajetórias caóticas. Finalmente, mostra-se que a estrutura de ferradura está presente em numerosos sistemas não lineares, tais como as equações de Duffing edevan der Pol, além de vários mapas não lineares, como o de Hénon eodeikeda [23]. Subseqüentemente, vários experimentos [24, 25, 26] revelam a existência da dinâmica caótica em sistemas físicos, e as implicações deste comportamento no entendimento de sistemas físicos são propriamente avaliadas em uma série de trabalhos devido a Grebogi, Ott e Yorke [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35].

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 18 No âmbito dos circuitos eletrônicos de potência, Hamill e colaboradores [10, 36, 37, 38] reportam-se, em 1988, à ocorrência de bifurcações e do comportamento caótico em conversores chaveados de potência, contribuindo também com formas de modelagem de conversores de potência em mapas iterativos, chegando a propor e analisar um modelo de subsistema de potência de espaçonaves [39]. Esses trabalhos pioneiros estimularam o esforço de pesquisa voltado para entender os comportamentos não lineares que se manifestam nos conversores de potência. Tanto Di Bernardo [16, 40] evasca [41], quanto Tse [42], produziram artigos de revisão que permitem o entendimento do estado atual da pesquisa em circuitos eletrônicos de potência. Em especial é interessante destacar que nestes circuitos manifestam-se bifurcações específicas que se caracterizam por transições abruptas para a evolução caótica a partir de soluções periódicas. Estas transições são devidas a uma classe de bifurcações, conhecidas como colisões de borda, particulares a sistemas dinâmicos chaveados [43]. Este projeto tem por motivação especial um evento que se verificou nos conversores DC/DC do satélite de sensoriamento remoto CBERS-2 [44], que o Brasil desenvolve em conjunto com a China. Na base de lançamento, nos testes usuais de verificação, constatouse que os conversores apresentavam comportamentos inadequados que, se ocorressem em órbita, implicariam na perda irremediável do subsistema de potência do satélite, prejudicando a missão. Dados de telemetria revelaram que o problema foi conseqüência do surgimento de uma cascata de duplicações de período, ao que se seguiu um comportamento de transiente caótico que conduziu a níveis de tensão que superaram os limites de segurança adotados nas especificações de projeto. O que deve ter precipitado o fenômeno foi a exposição do satélite a condições ambientais adversas e consequentemente, a variação dos parâmetros dos componentes e circuitos eletrônicos.

21 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 19 Tendo este evento por motivação, dentre os objetivos deste trabalho, pretende-se caracterizar a ocorrência de fenômenos não lineares e bifurcações típicas, como a colisão de borda, de sistemas chaveados nas configurações usuais de subsistemas chaveados de potência empregadas em missões espaciais. Para tanto, aplicar-se-ão ferramentas recentemente propostas para análise de sistemas não lineares suaves-por-partes [45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53]. A partir dessa caracterização espera-se contribuir para o adequado entendimento dos efeitos não lineares e assim, levar a soluções de engenharia que impliquem em conversores mais confiáveis e eficientes dentro de uma ampla gama de variações possíveis dos parâmetros. 1.2 Dinâmica Não Linear e Caótica em Sistemas Suaves por Partes O funcionamento básico de qualquer circuito eletrônico de potência chaveado envolve comutações entre diferentes topologias de circuitos lineares e não lineares, sob o controle de um sistema de realimentação [54], (veja Figura 1.1). Em conseqüência do chaveamento, esses circuitos podem ser tratados como sistemas dinâmicos suaves-por-partes. A análise tradicional de sistemas dinâmicos restringiam sua atenção à análise de sistemas suaves, evitando a investigação de processos não-suaves, tais como impactos, chaveamentos, deslizamento, e outras transições discretas de estado. Contudo, tornou-se cada vez mais claro que existem fenômenos exclusivos de sistemas chaveados, que poderiam ser analisados matematicamente, mas que se encontravam fora do escopo da metodologia usual aplicada a sistemas dinâmicos suaves.

22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 20 FIGURA 1.1 Conversor Buck - Este é um exemplo de circuito eletrônico de potência, conversor buck, cuja não linearidade advém da característica chaveadora; o controle da chave q é realizado por um esquema de realimentação da tensão e corrente de saída do conversor, com ganhos de realimentação g v e g i, respectivamente, comparados a um sinal de referência v r. Estudos abrangendo sistemas dinâmicos descontínuos e suaves-por-partes surgiram na década de 1960, com o trabalho de Andronov et al. [45] sobre bifurcações não-suaves de pontos de equilíbrio, e Babitskii [47] epeterka [46] com trabalhos sobre osciladores de impacto. Foi nas últimas duas décadas, no entanto, que os estudos intensificaram-se, com trabalhos de Feigin [18, 50] sobre C-Bifurcations (Bifurcação de Colisão de Borda) e Filippov [48] sobre movimento deslizante (sliding motion); além dos livros publicados recentemente por Leini [52], Mosekilde [51]. Uma descrição mais elaborada do fenômeno sob análise e da metodologia a ser empregada neste projeto em particular, encontra-se a seguir.

23 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Dinâmica Não Linear e Caótica em Circuitos Chaveados Conversores de potência simples tipo corrente contínua-corrente contínua (DC/DC), em geral, chaveiam uma carga indutiva entre a entrada e a saída do circuito; caso do conversor buck. A forma como se aplica o chaveamento determina o nível da tensão de saída do conversor e seu comportamento transiente. Usualmente, emprega-se na implementação do circuito de chaveamento um diodo (normalmente associado à proteção da chave semicondutora) associado a uma chave semicondutora, que tem seu estado modificado entre aberto (não conduzindo) e fechado (conduzindo), segundo a ação de uma estratégia de controle por realimentação. Assim, no caso de uma operação típica de período-1, quando se tem, por exemplo, a chave fechada, a corrente pela carga do circuito progressivamente aumenta, enquanto ao se abrir a chave, esta corrente diminui, podendo ir a zero. Esta característica de condução associada à estratégia de controle por realimentação assegura uma tensão na saída (na carga) aproximadamente constante. Define-se como ciclo de trabalho, a fração do período T de operação na qual a chave encontra-se fechada, sendo que este parâmetro é continuamente ajustado pelo controlador com o objetivo de manter a tensão de saída em um valor fixo, mesmo diante de variações da tensão de entrada e variações da carga. O modo de operação de período-1, embora seja típico e usualmente utilizado na maioria das aplicações hoje existentes, representa apenas um regime particular de operação entre muitos outros possíveis. Na operação desses conversores, encontram-se comportamentos típicos de sistemas não lineares, entre os quais oscilações sub-harmônicas [6, 10], saltos entre diferentes níveis de tensão [15, 55, 56, 57, 58, 59], operação em regime quasi-periódico [60], aumento abrupto do espectro de freqüência [13], bifurcações e evolução caótica [6, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 13, 14, 16, 14]. Diante destes fenômenos não lineares,

24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 22 há necessidade de compreender e caracterizá-los, uma vez que podem levar a níveis de tensão que ultrapassam os limites de segurança considerados. Além disso, o estudo dos comportamentos não lineares que ocorrem nesses conversores abre novos caminhos que permitem aproveitá-los de forma mais otimizada. Assim, saber, por exemplo, como e de que forma a evolução caótica ocorre permite ou evitá-la, se for desejado, ou explorar sua complexidade de sua dinâmica no desenvolvimento de novas aplicações. Na transição para o comportamento caótico, os conversores chaveados de potência exibem tipos diferentes de bifurcações. Entre elas, incluem-se as encontradas tradicionalmente em sistemas não lineares, como é o caso das bifurcações sela-nó, de duplicação de período, e de Hopf, como também outras que se mostram presentes apenas em sistemas não lineares que resultam da operação em diferentes topologias suaves-por-partes. Dentre as mais conhecidas, têm-se as bifurcações de colisão de borda [30, 43, 61, 62, 63, 64], a grazing [25, 26, 28, 29] easliding [65]. Explicam-se tais transições como sendo o resultado de interações entre as trajetórias do sistema e as fronteiras entre suas diversas regiões de operação, onde ocorre a comutação entre uma topologia de operação e outra. Além destas, há muitas outras bifurcações características de sistemas suaves-por-partes, sem contar as ainda não totalmente exploradas.

25 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Controle de Caos em Circuitos Chaveados Outra área a ser explorada neste projeto diz respeito a aplicabilidade dos métodos desenvolvidos em dinâmica não linear na implementação e controle de circuitos chaveados. Trabalhos recentes mostram como se pode levar a dinâmica dos sistemas não lineares a patamares únicos de eficiência através da utilização de métodos que exploram de forma inteligente a diversidade de comportamentos que a evolução não linear e caótica permite [66]. Em especial, é importante mencionar as técnicas de controle de caos [67] edeguia- gem caótica [68, 69, 70, 71], que possibilitam tanto explorar de forma eficiente as órbitas periódicas instáveis imersas no invariante caótico, como a dinâmica caótica para transferir rapidamente a operação do sistema entre estas órbitas periódicas. Assim, dentro de uma região de evolução caótica, podem-se usar as técnicas de controle de caos para estabilizar o sistema numa certa órbita periódica que implique em determinado desempenho característico ao sistema; outras órbitas, dentre as múltiplas órbitas periódicas instáveis presentes, podem estar associadas a outros modos possíveis de operação do sistema. Quando desejase passar de um modo a outro, usam-se os métodos de guiagem caótica para rapidamente alterar a resposta dinâmica do sistema. Esta metodologia é ainda pouco explorada em relação aos circuitos de potência, mas vêm mostrando-se extremamente promissora, haja vista os excelentes resultados que vêm sendo obtidos em outras áreas de aplicação, tais como em biologia [72], dinâmica orbital [70, 71], etc. Estudos preliminares vêm mostrando que este enfoque permite uma flexibilidade única, que implica em conversores DC/DC de elevadíssima eficiência e com uma velocidade de resposta apreciável. Objetiva-se verificar a aplicabilidade de métodos que estão sendo desenvolvidos em dinâmica não linear na implementação desses chaveadores, em especial com a exploração controlada do fenômeno de sincronização entre sistemas caóticos [70, 73, 74, 75, 76].

26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Controle de Sincronização em Circuitos Chaveados de Potência Subsistemas de potência de satélites são sistemas extremamente complexos, e que podem conter não apenas um, mas vários conversores DC/DC interligados. Uma vez que esses conversores estejam interligados de alguma forma, é possível que, sob certas circunstâncias, eles sincronizem. Neste trabalho, deseja-se explorar a possibilidade de sincronização de conversores interligados no controle de subsistemas de potência de satélites. Sincronização entre sistemas caóticos contínuos tem sido objeto de muitos estudos nas últimas décadas [77, 78, 79, 80, 81, 82, 83]. Contudo, segundo conhecimento do autor, há quase nada na literatura a respeito das condições de sincronizabilidade de sistemas descontínuos, principalmente sistemas chaveados. Uma das raras contribuições é a de Danca [84], que prova a sincronização de dois sistemas chaveados idênticos, de uma classe específica, acoplados linearmente, sob condições extremamente particulares. Além disso, esses trabalhos sobre sincronização têm foco na sincronização de apenas dois, ou três sistemas caóticos, e não uma cadeia deles; quando se trata da sincronização de grandes grupos de sistemas caóticos acoplados, a abordagem de sincronização em redes complexas tem sido amplamente estudada [85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92]. Frente a escassez de trabalhos sobre condições de sincronizabilidade de sistemas descontínuos, e a grande tendência de abordar o problema de sincronização segundo a abordagem utilizada em redes complexas, neste trabalho, explorar-se-ão técnicas adaptativas de sincronização de redes complexas ligeiramente modificadas no controle de subsistemas de potência de satélite. Mais especificamente, será apresentada um nova técnica totalmente

27 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 25 adaptativa descentralizada para o controle de sincronização de redes complexas Sincronização em Redes Complexas O termo rede complexa refere-se a um conjunto grande de agentes (nós), interconectados em uma estrutura de rede. Tipicamente, cada agente é um sistema dinâmico não linear que se comunica com outros agentes através de um protocolo de comunicação definido pelos links (interconexões) da rede. São as características topológicas não triviais de interconexão das redes complexas que as diferenciam das redes simples [93, 94, 95]. Essas características não triviais de interconexão envolvem, entre outros, grau de distribuição com cauda longa, estruturas hierárquicas, coeficientes elevados de agrupamento, estruturas de comunidade em diferentes escalas, nós com canais de interconexão de número variado ao longo da estrutura, dentre outras. Um número crescente de sistemas de controle complexo das mais diversas aplicações pode ser modelado como rede complexa de agentes dinâmicos. Pesquisas em diferentes áreas de aplicação da ciência e engenharia têm focado no estudo da escolha da topologia e dos protocolos de comunicação entre agentes da rede complexa a fim de que esta exerça uma certa função desejável. Exemplos incluem rendez-vous e problemas de flocking em robôs [96, 97, 98, 99], sincronização e problemas de consenso em teoria de controle [100], estudos de movimentos coordenados no comportamento animal [101, 102], movimento coletivo de veículos autônomos [103, 104, 105], controle de formação de veículos aéreos não tripulados e satélites [106, 107]. Ao longo dos anos, a dinâmica das redes complexas vêm sendo extensivamente estudada, com especial ênfase sobre o relacionamento entre a complexidade da topologia da rede e as características da dinâmica dos nós constituintes da rede. No que diz respeito à

28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 26 sincronização entre os nós da rede, que se define como um ajuste entre os ritmos dos osciladores de forma a que terminem por apresentar um comportamento temporal uniforme, procura-se entender a dependência deste estado em relação aos vários parâmetros da rede, tais como distância média, coeficiente de agrupamento, intensidade de acoplamento, grau de distribuição, entre outros. Inúmeras pesquisas têm focado em problemas de sincronização [85, 86, 87, 88, 89, 90] e consenso em redes complexas [108, 109, 110, 111]. A idéia consiste em encontrar estratégias para regular o comportamento de grandes agregações de agentes interagentes de modo a fazer com que cada agente da rede convirja assintoticamente a uma trajetória única que, em geral, não é conhecida a priori [112, 113, 114]. Especificamente, essa solução síncrona comum, caso exista, não pode ser especificada a priori de forma a ser uma trajetória desejada, diga-se x s. No que diz respeito ao controle dessas redes complexas, pode-se utilizar a estratégia canônica de controle empregada no controle da dinâmica espaço-temporal de redes de osciladores denominada por Controle Pinning. Ela foi proposta como um modelo destinado a fornecer subsídios ao entendimento dos mecanismos regulatórios que atuam no controle das estruturas em rede [115]. O conceito por trás desta metodologia é a ação de mecanismos de auto-realimentação (em relação a uma dada referência) que atuam sobre um subconjunto dos agentes dinâmicos da rede. Estes nós sobre os quais existem esses mecanismos de atuação são denominados por posições referência ou posições pinning e desempenham o papel de líderes ou marcadores de passo para a rede. Assim, o mecanismo de controle age apenas sobre esses nós líderes e o efeito sobre eles é propagado aos outros nós da rede através dos acoplamentos entre os nós da rede. Com o uso desta estratégia, dependendo do número de nós líderes, da topologia e da intensidade de acoplamento entre os nós, a dinâmica da rede consegue ser

29 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 27 estabilizada, de tal forma que surge um sincronismo entre os nós, cujo estado de sincronismo tem sua dinâmica seguindo uma referência desejada. Esta estratégia aproveita as características da variedade de sincronismo e sua implementação está ligada à existência de uma Função de Estabilidade Mestra (MSF), cujos pólos, em última análise, são alterados pelo mecanismo de realimentação nas posições relativas aos nós líderes. Esta estratégia, que vem sendo desenvolvida e aprimorada desde que foi proposta [115, 116, 117], é aplicável com sucesso, em termos gerais, nos casos em que todos os nós são idênticos e não existem tempos de atraso de propagação. Isto se deve ao fato de sua implementação estar ligada a ações empreendidas sobre a MSF. Neste caso, o objetivo da estratégia de controle é o de levar o estado de sincronismo dos nós a seguir uma determinada referência. 1.4 Concernência do Trabalho Este trabalho é desenvolvido nesse contexto. Assim sendo, estudaremos a dinâmica de circuitos chaveados, particularmente, subsistemas de potência de satélites; exploraremos a aplicação de controle de caos nesses circuitos; bem como investigaremos a possibilidade de sincronização, e controle via sincronização em redes de circuitos chaveados. Circuitos chaveados apresentam uma dinâmica extremamente rica e elaborada. Particularmente, conversores DC/DC apresentam cenários de bifurcação específicos de sistemas descontínuos, como colisão de borda, grazing, sliding. Neste trabalho, no entanto, desejase estudar o efeito da dinâmica dos circuitos chaveados em sistemas mais complexos nos quais os conversores são apenas uma das fontes de não linearidade. Por este motivo, o SPS são âmago deste trabalho. No Capítulo 2, são propostos modelos simples de SPS que preservam as características

30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 28 dinâmicas das não linearidades envolvidas. Primeiramente, é apresentado o modelo proposto por Lim e Hamill [15, 118, 119, 39], seguido de um modelo alternativo utilizando-se o modelo de conversor buck proposto por di Bernardo et al. [16, 41], e finalmente um modelo linear-por-partes que será de grande utilidade na caracterização da dinâmica do SPS. No Capítulo 3 apresentamos algumas definições e teoremas relacionados a sistemas descontínuos, mais especificamente, sistemas suaves-por-partes, e que serão utilizados no Capítulo 4. No Capítulo 4, analisamos o SPS com base nos modelos propostos, e apresentamos a correta caracterização dos fenômenos relacionados às características descontínuas do sistema. Apresentamos o diagrama de bifurcação 2D que fornece um cenário completo da dinâmica do sistema; apresentamos ainda, outros diagramas de bifurcação que auxiliam na caracterização das bifurcações presentes. No Capítulo 5, aplicamos técnicas de controle de caos ao SPS. Primeiramente, controlamos o modelo-1 de SPS aplicando a técnica de controle OGY; então, controlamos o modelo-t de SPS aplicando a técnica passiva de controle de caos conhecida como control by simple limiters. Contudo, nosso maior objetivo com relação ao controle é explorar a possibilidade de sincronizar, e de forma controlada, redes de sistemas chaveados a fim de obter ganhos de potência e robustez a falhas. Com esse intuito, no Capítulo 6, apresentamos uma breve introdução sobre sincronização, e controle de sincronização em redes complexas; propomos uma nova estratégia totalmente adaptativa e descentralizada para controle de sincronização em redes complexas acompanhada da prova de estabilidade. Finalmente, no Capítulo 7 apresentamos a simulação de exemplos de redes livres de escala para validar a nova estratégia proposta, e aplicamos essa estratégia no controle de uma cadeia de SPS.

31 2 Subsistema de Potência de Satélites Há inúmeros exemplos de circuitos chaveados, como inversores, conversores, retificadores, [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 36, 13, 14, 16]. Muitos destes exemplos são objetos de intensas pesquisas que abrangem desde a caracterização de sua dinâmica ao controle de tais circuitos. Contudo, esses circuitos normalmente são partes integrantes de sistemas ainda mais complexos. Subsistemas de potência de satélites têm conversores DC/DC como uma de suas partes integrantes. Sabe-se que os dispositivos chaveadores destes conversores os tornam não lineares. Tais não linearidades nos subsistemas de potência podem levar a comportamentos imprevisíveis e indesejados [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 36, 13, 14, 16], assim como aqueles verificados no subsistema de potência do satélite CBERS - II [44]. A verificação de fenômenos estritamente não lineares no subsistema de potência do satélite CBERS-II é a grande motivação deste trabalho. Assim sendo, concentramos o estudo de circuitos chaveados ao estudo desses subsistemas. Neste trabalho, serão propostos modelos de subsistemas de potência de satélite, estudarse-á a dinâmica de tais modelos caracterizando os fenômenos não lineares existentes, bem como analisar-se-á o uso de técnicas de controle de caos e de sincronização aplicadas a estes. Neste capítulo, contudo, atemo-nos à propositura dos modelos de subsistemas de

32 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 30 potência de satélites a serem estudados. Primeiramente, é apresentado um modelo proposto por Lim e Hamill [15, 118, 119, 39], seguido de um modelo alternativo utilizando-se o modelo de conversor buck proposto por di Bernardo et al. [16, 41], e finalmente um modelo linear-por-partes que será de grande utilidade na caracterização deste sistema. 2.1 Subsistema de Potência de Satélites - SPS O subsistema de potência é o item mais crítico em qualquer espaçonave, pois quase todos os demais subsistemas utilizam-se da energia por ele provida. Isto faz com que o desenvolvimento de um subsistema de potência seja a tarefa mais importante dentre os desafios dos projetistas de satélites [1]. Há um grande número de ítens a ser considerado no projeto de subsistemas de potência. Uma lista de considerações para o projeto é dada pela Tabela 2.1. Dentre muitas alternativas, a geração de energia utilizando-se painéis fotovoltáicos é o método mais comumente utilizado para prover energia ao satélite. A flexibilidade e variedade de painéis fotovoltáicos em diferentes configurações podem ser combinados para satisfazer as especificações de diversas missões, em diversos ambientes [120]. As tecnologias associadas a esse método vêm sofrendo mudanças dramáticas ao longo do tempo; num período de tempo de menos de quatro décadas a partir dos anos 60, a potência dos painéis solares para missões espaciais subiu de menos de 1W a mais de 75000W

33 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 31 1 Cliente/usuário 2 Configuração da espaçonave Limitações de peso Tamanho Limitações do veículo lançador Capacidade de dissipação térmica, etc. 3 Alvo/distância solar 4 Tempo de vida Total Tempo em vários modos, níveis de energia, etc. 5 Manobras/controle de atitude Taxas de manobras e cargas Spinner Estabilização em 3-eixos apontador Nadir Thrusters Rodas de momento Gradiente gravitacional, etc. 6 Parâmetros orbitais Altitude Inclinação Ciclo de eclipses, etc. 7 Requisitos de carga Tipo de energia, voltagem, corrente Duty cycle Proteção a falhas TABELA 2.1 Considerações para o projeto de SPS A Figura 2.1 mostra os elementos constituintes de um subsistema de potência utilizando energia solar. A energia provida pela radiação solar é convertida em energia elétrica nos painéis solares (bloco Fonte Primária de Energia), que é, então, condicionada (bloco Condicionamento) e distribuída (bloco Gerenciamento e Distribuição de Energia) aos demais subsistemas da espaçonave (bloco Sorvedouro de Energia). Além disso, uma espaçonave necessita armazenar energia (bloco Armazenamento de Energia) para ser utilizada durante períodos de eclipse solar, ou quando há um pico na demanda de energia pelas

34 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 32 cargas [120, 121]. FIGURA 2.1 Esquemático do Subsistema de Potência de Satélite. Os painéis solares são constituídos de um grande número de células solares arranjadas num substrato que converte a energia solar em energia elétrica através do que chamamos conversão fotovoltáica. As células solares são normalmente conectadas em série para maximizar a voltagem, ou em paralelo para maximizar a corrente. Contudo, para minimizar as perdas devido a falha em células solares, estas são conectadas em séries de arranjos paralelos para formar o painel solar [122, 121]. Muitas variáveis são consideradas no projeto de painéis solares utilizados em missões espaciais [122]: a corrente requerida pelos subsistemas da espaçonave, e pela bateria no final de sua vida; o coeficiente de degradação para a densidade máxima de corrente e tensão; o ângulo de incidência solar, variações na temperatura de operação, entre outras. As baterias têm muitas características que influenciam no projeto dos subsistemas de potência. Pode-se agrupá-las segundo 4 categorias: elétrica, de carga, de descarga, e de tempo de vida. A primeira categoria envolve características como tensão e corrente nominais, temperatura de operação, potência nominal, etc. A categoria de carga e descarga envolve características como quantidade e taxa de carga e descarga. Por último, a categoria de tempo de vida, que é definido como o número mínimo de ciclos de carga e descarga de uma bateria antes de uma possível falha.

35 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 33 O condicionamento é feito usualmente utilizando-se filtros passa-baixas que eliminam ruídos de alta freqüência, e conversores DC/DC, que são peças-chave para prover as diversas saídas de tensão e corrente que atendem os requisitos elétricos das diversas cargas. Pode-se criar modelos extremamente complexos a fim de reproduzir com a maior fidelidade necessária o funcionamento de cada uma das partes constituintes do subsistema de potência de satélite [123, 121, 124]. Contudo, estamos interessados em modelos simples que sejam capazes de reproduzir os fenômenos não lineares observados no subsistema de potência do satélite CBERS-II Modelo-1 - Modelo de Lim e Hamill O primeiro modelo apresentado, e que servirá de base para os demais, é o modelo de Lim e Hamill [118, 119, 39]. A Figura 2.2 mostra o esquemático do modelo proposto por Lim e Hamill; o subsistema é constituído de um painel solar, um filtro passivo passabaixas de terceira ordem, um conversor DC/DC tipo buck, uma chave q, e uma carga resistiva. FIGURA 2.2 Esquemático do Modelo de SPS proposto por Lim e Hamill: O subsistema é constituído de um painel solar, um filtro passivo passa-baixas de terceira ordem, um conversor DC/DC tipo buck, e uma carga resistiva. Este é o modelo mínimo para um subsistema de potência de satélites, que são sistemas muito mais complexos, incluindo outros elementos como baterias e conversores adicionais. No esquemático da Figura 2.2, o painel solar é o dispositivo responsável por

36 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 34 prover energia elétrica ao satélite através da conversão de energia da radiação solar incidente em energia elétrica. Contudo, a tensão de saída do painel solar depende de suas características de projeto e da taxa de incidência de raios solares, assim, em geral, a tensão de saída deve ser condicionada a adequados valores de tensão requeridos pelas cargas. Por esta razão, o conversor DC/DC é ligado ao painel solar, através de um filtro passa-baixas responsável por reduzir as correntes de ripple que fluem do conversor para o painel solar Painel Solar Um painel solar é constituído de células solares, que são essencialmente dispositivos semicondutores que convertem energia solar em eletricidade através do chamado efeito fotovoltáico, i. e., um fenômeno quantum-eletrônico em que os elétrons num estado de baixa energia são excitados a ocupar um nível de maior energia depois da absorção de energia eletromagnética da radiação solar, fazendo fluir corrente elétrica [125]. A corrente de saída i 1 drenada do painel solar, e a relacionada tensão de saída v 1 são normalmente descritas na literatura por uma característica exponencial derivada da física dos semicondutores [122, 5, 124]. Contudo, a precisão do modelo do painel solar não é um dos focos deste trabalho, o único requisito é obter um modelo que capture as características de saída de um painel solar. É possível obter um modelo simples para o painel solar através da interpolação de dados empíricos de um painel solar, resultando numa função polinomial de alta ordem relacionando as características de tensão e corrente (V I) do painel, e que ainda depende da iluminação e temperatura [118, 119, 39]. Assim sendo, fixando-se uma temperatura padrão, pode-se obter a equação que descreve a relação

37 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 35 V I de um painel solar para diferentes condições de iluminação, com se segue: ( i 1 = α cs I SC 1 ( v ) 1 ) p, 0 v 1 V OC, 0 i 1 I SC, (2.1) V OC com p =33- que retorna um erro máximo de 2%, α cs é o fator que denota a iluminação solar (0 α cs 1), I SC e V OC são, respectivamente, a corrente de curto-circuito, e a tensão de circuito aberto para α cs =1. Note que a corrente i 1 e a tensão v 1 não podem ultrapassar I SC e V OC, respectivamente. A Figura 2.3 mostra a característica de saída do painel solar descrito pela eq. (2.1) para diversos valores de V OC e α cs - a variação do parâmetro α cs é um efeito de variações da radiação solar, enquanto variações no parâmetro V OC podem ser explicadas como efeito de variações de temperatura [124]. É importante notar que o painel solar tem claramente duas regiões de operação: uma de baixa variação de corrente, e uma de baixa variação de tensão. A transição entre estas duas regiões pode ser responsável por comportamentos dinâmicos típicos de sistemas não suaves, uma vez que trajetórias do sistema podem interagir com a fronteira de descontinuidade entre as duas regiões de operação. Maiores explicações serão apresentadas no Capítulo Filtro Passa-Baixas O filtro passa-baixas, utilizado para reduzir a corrente de ripple que flui do conversor para o painel solar, compreende os capacitores C 1 e C 2, e um indutor L. Perdas são representadas pelo resistor R s.

38 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 36 As equações do filtro são: dv 1 dt = i 1(v 1 ) i L C 1, di L dt = v 1 i L R S v 2 L, (2.2) dv 2 dt = i L i 2 C 2, em que v 1 e v 2 são as tensões nos capacitores C 1 and C 2 respectivamente, i L é a corrente no indutor L, ei 2 é a corrente de entrada do conversor. FIGURA 2.3 Característica de Saída Painel do Solar: Característica de saída V I do painel solar para diversos valores dos parâmetros V OC e α cs.

39 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES Conversor DC/DC e Carga - Modelo-1 Assume-se que o conversor DC/DC seja do tipo buck e que opere em modo de condução contínua, i. e., a corrente no indutor é sempre maior que zero. A carga do conversor é representada por uma resistência constante R. Durante a órbita do satélite no espaço, a tensão de saída do painel solar varia e conseqüentemente, a tensão na entrada do conversor também varia. Devido a esta característica, o conversor buck apresenta um modo de operação, digamos, desejável quando há tensão suficiente fornecida pelo painel solar de modo que se tenha a tensão de saída regulada e constante. Por outro lado, um modo de operação indesejável ocorre quando não há tensão suficiente fornecida pelo painel solar para que se tenha a tensão de saída regulada. Assim, a característica na entrada do conversor pode ser descrita por: i 2 (v 2 )= V 2 ref Rv 2, v 2 V ref, v 2 R, v 2 <V ref, (2.3) sendo que v 2 e i 2 são a tensão e a corrente de entrada do conversor, e V ref é a tensão desejada na saída Equações do Sistema - Modelo-1 Combinando-se as equações dos modelos do painel solar, filtro e conversor descritos nas seções anteriores obtém-se um sistema de 3 equações diferenciais autônomas acopladas de primeira ordem que governam a dinâmica do modelo-1 do subsistema de potência de pequenas espaçonaves como satélites artificiais.

40 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 38 Contudo, o modelo ainda não está totalmente definido. É preciso ainda definir o funcionamento do circuito de controle da chave q. Define-se, aqui, que o circuito funcionará de tal forma que quando a tensão v 2 atingir níveis abaixo do limite inferior V lo =19V a chave será aberta, desconectando o conversor do restante do circuito, enquanto o capacitor C 2 recarrega-se. Já quando a tensão v 2 atingir níveis acima do limite superior V up =21V a chave será fechada, reconectando o conversor ao restante do circuito. Dessa forma, tem-se: i 2 (v 2 )= V 2 ref Rv 2, v 2 V up, 0, v 2 <V lo. (2.4) Vale notar que se V lo v 2 V up, o estado da chave S não se altera. Finalmente, pode-se escrever: v 1 i L v 2 = A 0 v 1 i L v 2 + se H 0 (v 2 ) 2, A 0 v 1 i L v 2 + ( ) α csi SC C 1 1 ( v 1 V OC ) p 0 0 ( ) α csi SC C 1 1 ( v 1 V OC ) p 0 V 2 ref C 2 Rv 2,, (2.5) se H 0 (v 2 ) > 0, sendo que H 0 (v 2 )=v 2 V up é a função que define a fronteira entre duas regiões de operação do modelo-1, a região, diga-se S 1, em que a chave está fechada (q =1,se H 0 (v 2 ) > 0), e a

41 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 39 região S 2, em que a chave está aberta (q =0,se H 0 (v 2 ) 2). A matriz A 0 é dada por: A 0 = 0 1/C 1 0 1/L R s /L 1/L 0 1/C 2 0. (2.6) Definem-se assim, as equações que descrevem o modelo de um SPS descrito por Lim e Hamill [118, 119, 39]. O segundo modelo proposto é uma modificação do modelo de Lim e Hamill; nele, substitui-se o modelo do conversor buck pelo modelo de conversor buck proposto por di Bernardo et al. [16] Modelo-t O segundo modelo proposto é uma combinação do modelo de subsistema de potência proposto por Lim e Hamill e o modelo de conversor buck proposto por di Bernardo et al., obtido substituindo-se o modelo do conversor buck do modelo-1 pelo modelo de conversor buck proposto por di Bernardo et al. [16] Conversor Buck - Modelo-t Um esquemático do conversor buck proposto em [16] pode ser visto na Figura 2.4. A Tensão de saída v, sobre o capacitor C, que é uma fração da tensão de entrada v 2, sobre o capacitor do filtro C 2, é apropriadamente obtida controlando-se a chave q. A chave é controlada comparando-se a tensão de saída v a um sinal de referência v r, definindo assim, as duas regiões de operação (veja [16]): a região S 1, em que a chave está fechada (q =1,se v r >v), e a região S 2, em que a chave está aberta (q =0,se v r v).

42 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 40 FIGURA 2.4 Esquemático do Conversor Buck - Modelo-t: As tensões v e v 2 são as tensões nos capacitores C e C 2, respectivamente; i e i 2 são as correntes de saída e entrada do conversor buck, respectivamente; o sinal v r é o sinal de referência para controle da chave q, e R é a carga resistiva. O conversor buck da Figura 2.4 pode ser descrito pelas seguintes equações: di dt = v+q(t)v 2 L B dv = i v dt C RC (2.7) sendo que L B é o indutor do conversor, e i é a corrente no indutor. O sinal de referência v r é determinado pela expressão v r (t) =γ + β(t mod T ), sendo T o período do sinal v r, e γ e β são constantes. Deste ponto em diante, definimos órbita P (m, n) como uma órbita nt -periódica com m chaveamentos por período. Definimos ainda a superfície de descontinuidade Σ dada pelo sinal rampa v r como Σ=Σ 1 Σ 2, com Σ 1 := {v = v r (t),t 0mod T }, eσ 2 := {t =0mod T } Equações do Sistema - Modelo-t Pode-se definir agora, o sistema de equações que descreve o modelo-t de SPS. Contudo, vale notar que com o novo modelo de conversor buck definido pela eq. (2.7), necessita-se

43 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 41 redefinir as equações da corrente de entrada i 2, que é agora dada por: i 2 = 0, se q(t) = 0, i, se q(t) = 1. (2.8) O modelo resultante do SPS (Modelo-t), consistindo das eq. (2.1), (2.2), (2.8), (2.7), pode ser escrito como: v 1 i L v 2 i v = A v 1 i L v 2 i v + α csi SC C 1 ( 1 ( v 1 V OC ) p ) , se H 2 (v) > 0. A v 1 i L v 2 i v + α csi SC C 1 ( 1 ( v 1 V OC ) p ) 0 i/c 2 v 2 /L B 0, se H 2 (v) 0. (2.9) sendo que H 2 (v) =v v r é a função que define a fronteira entre duas regiões de operação.

44 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 42 A matriz A é dada por: A = 0 1/C /L R s /L 1/L /C /L B /C 1/RC. (2.10) O modelo-t é um sistema linear-por-partes bimodal, e tem grau de descontinuidade 1, i. e., é um sistema de Filippov, como apresentado no Capítulo 3. Resta ainda o último modelo a ser analisado, modelo-pwl, que é uma versão linearizado do modelo-t Modelo-PWL A característica de saída do painel solar tem duas regiões de operação: uma de baixa variação de corrente, e uma de baixa variação de tensão, e a transição entre estas duas regiões pode ser responsável por comportamentos dinâmicos típicos de sistemas não suaves, uma vez que trajetórias do sistema podem interagir com a fronteira de descontinuidade entre as duas regiões de operação. Contudo, a fronteira entre essas duas regiões não se apresenta claramente definida pela eq. (2.1). Para definir essa fronteira entre as duas regiões de operação do painel solar, a equação

45 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 43 (2.1) pode ser linearizada-por-partes, resultando no modelo-pwl do painel solar: i 1 = α cs I sc, se H 1 (v 1 ) 0 α csi sc(v OC v 1 ) V OC V L, se H 1 (v 1 ) > 0 (2.11) sendo que H 1 (v 1 ) = v 1 V L é a função que define a fronteira entre as duas regiões de operação do painel solar; V L é dado por V L =(1 X) 1/p V OC,eX é um percentual arbitrário para o qual ainda se considera a corrente i 1 constante (i 1 = α sc I sc ); por exemplo, X =0.99, significa que i 1 é considerada constante para valores i 1 > 0.99α sc I sc. A Figura 2.5 mostra, em preto, a característica de saída do painel solar para V OC = 35V e α cs =1, gerada utilizando-se o modelo linearizado (2.11). Observe que é uma boa aproximação da curva gerada pela equação (2.1) (curva lilás). FIGURA 2.5 Característica de Saída Painel do Solar: Característica de saída V I do painel solar para diversos valores dos parâmetros V OC e α cs ; além da característica de saída do painel solar para V OC =35V e α cs =1, gerada utilizando-se o modelo linearizado (2.11).

46 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 44 Utilizando a eq. (2.11) no modelo-t, o modelo-pwl resultante é descrito pelas equações: v 1 i L v 2 i v = A v 1 i L v 2 i v + α csi SC C 1 0 i/c 2 v 2 /L B 0, se H 1 (v) 0 eh 2 (v 1 ) 0 A v 1 i L v 2 i v + α cs I sc (V OC v 1 ) (V OC V L )C 1 0 i/c 2 v 2 /L B 0, se H 1 (v) 0 eh 2 (v 1 ) > 0 A v 1 i L v 2 i v + α csi SC C , se H 1 (v) > 0 eh 2 (v 1 ) 0 A v 1 i L v 2 i v + α csi sc(v OC v 1 ) (V OC V L )C , se H 1 (v) > 0 eh 2 (v 1 ) > 0 (2.12) O modelo-pwl é um sistema linear-por-partes de 4 modos, e tem grau de descontinuidade 1, i. e., é um sistema de Filippov, como apresentado no Capítulo 3.

47 CAPÍTULO 2. SUBSISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 45 Os valores dos parâmetros são ajustados de acordo com [15] e[16]. Especificamente, V OC =46.2V, I SC =4A, L = 250μH, C 1 = 120μF, C 2 = 250μF, R S =0.2Ω, V lo =19V, V up =21V, V ref =14V, L B =20mH, C =47μF, R = 22Ω, γ =11.7V, β = V/s, T = 400μs, X = Comentários Finais Este Capítulo define os três modelos de subsistema de potência de satélite analisados neste trabalho: o modelo-1, o modelo-t, e o modelo-pwl de subsistemas de potência de satélites. Como foi visto, dentre os elementos constituintes de um subsistema de potência de satélite está o conversores buck, que é um circuito chaveado - isso significa que sua operação caracteriza-se por chaveamentos entre diferentes topologias de circuito, o que pode levar a uma variedade de comportamentos não lineares que tipicamente ocorrem em sistemas dinâmicos suaves-por-partes, como colisões de borda, bifurcações sliding, boundary-equilibrium bifurcation [61, 14, 55, 56, 43, 42, 40]. Sendo assim, far-se-á necessário definir essas bifurcações e o modo de classificá-las antes de se proceder com a análise do comportamento dinâmico do SPS. É o que descrevemos no próximo capítulo.

48 3 Fluxos e Mapas Descontínuos Existem fenômenos não lineares que são exclusivos de sistemas não lineares suavespor-partes, e que se encontram fora do escopo da metodologia usual aplicada a sistemas dinâmicos contínuos e suaves. Até os dias atuais, não existe, ao que se sabe, uma teoria completa única para tratar tais sistemas. Contudo, nas últimas duas décadas, alguns pesquisadores têm despendido grandes esforços em formular uma teoria que descreva a dinâmica de uma classe de sistemas descontínuos e sistemas suaves-por-partes. Neste capítulo, apresenta-se um resumo da teoria que vem sendo desenvolvida para analisar sistemas não lineares suaves-por-partes, mais especificamente, sistemas do tipo Filippov, em que se inclui o modelo do subsistema de potência em estudo. 3.1 Fluxos Suaves-por-Partes Definição 3.1 Um Fluxo Suave-por-Partes é dado por um número finito de EDOs ẋ = F i (x,μ), para xɛs i, (3.1) com i S i = D R n e cada S i tem um interior não-vazio. A intersecção Σ ij = S i Sj é, ou uma variedade R n 1 dimensional pertencente às fronteiras S i e S j, ou um conjunto

49 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 47 vazio. Cada campo vetorial F i é suave em x eemμ, e define um fluxo suave Φ i (x,t) em qualquer subconjunto aberto U S i. Em particular, cada fluxo Φ i (x,t) é bem definido em ambos os lados da fronteira S j. Uma fronteira não-vazia entre duas regiões, Σ ij, será chamada conjunto de descontinuidade, fronteira de descontinuidade, ouvariedade de chaveamento, e separa regiões do espaço de estado onde agem diferentes fluxos suaves. Supõe-se que cada parte de Σ ij tenha codimensão-1, i.e., que Σ ij seja uma variedade suave (n 1) dimensional imersa no espaço de estados n dimensional. Além disso, espera-se que cada Σ ij seja suave-por-partes. Definição 3.2 O grau de suavidade num ponto x 0 na variedade de chaveamento Σ ij de um fluxo suave-por-partes é a maior ordem r tal que a expansão em série de Taylor de Φ i (x,t) e Φ j (x,t) em respeito a t, calculado em t =0, coincidem-se até os termos O(t r 1 ). Isto é, a primeira derivada parcial não nula com respeito a t da diferença Φ i (x,t) Φ j (x,t) t=0 é de ordem r. Definição 3.3 A variedade de chaveamento Σ ij é uniformemente descontínua no domínio D se o grau de suavidade do sistema é o mesmo para todos os pontos x Σ ij D. Além disso, diz-se que a descontinuidade é uniforme com grau m se a primeira derivada parcial de F i F j calculada em Σ ij for de ordem m 1. Assim, o grau de suavidade é 1seF i F j 0para todo x Σ ij D. Sistemas com grau de descontinuidade 1 são conhecidos como sistemas de Filippov.

50 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 48 Concentramo-nos a regiões D R n do espaço de estados que contenham apenas uma fronteira de descontinuidade. Assim, por uma escolha apropriada de variáveis locais, o fluxo pode ser descrito como: F 1 (x,μ), seh(x,μ) < 0, ẋ = F 2 (x,μ), seh(x,μ) > 0, (3.2) com F i : R n R R n, i =1, 2 e H : R n R R funções escalares suficientemente suaves, diferenciáveis em x ɛ R n e μ R. A superfície descrita implicitamente pela condição H(x,μ)=0define uma fronteira suave Σ={x ɛ D H(x,μ)=0}, (3.3) que separa D em duas regiões S 1 = {x ɛ D H(x,μ) < 0}, (3.4) S 2 = {x ɛ D H(x,μ) > 0}. (3.5) Assume-se que o fluxo seja contínuo ao longo da fronteira, i. e., F 1 (x,μ)=f 2 (x,μ) para todo x ɛ Σ, tal que se possa escrever F 2 (x,μ)=f 1 (x,μ)+j(x,μ)h(x,μ), (3.6) para alguma função suave J(x,μ). Pode-se identificar diferentes tipos de pontos de equilíbrio do sistema (3.2).

51 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS Pontos de Equilíbrio de Fluxos Suaves-por-Partes Definição 3.4 Um ponto x D éumponto de equilíbrio admissível de (3.2) sex é tal que F 1 (x,μ)=0eh(x,μ) < 0, ou (3.7) F 2 (x,μ)=0eh(x,μ) > 0. (3.8) Alternativamente, diz-se que y D é um ponto de equilíbrio virtual de (3.2) se y é tal que F 1 (y,μ)=0mas H(y,μ) > 0, ou (3.9) F 2 (y,μ)=0mas H(y,μ) < 0. (3.10) Para alguns valores de parâmetros, é possível que o ponto de equilíbrio recaia sobre a variedade de chaveamento. Definição 3.5 Um ponto de equilíbrio z D éumponto de equilíbrio de fronteira de (3.2) sef 1 (z,μ)=0,ouf 2 (z,μ)=0e H(z,μ) =0.

52 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS Boundary Equilibrium Bifurcation Podemos agora apresentar o seguinte Teorema: Teorema 3.6 Diz-se que o sistema (3.2) sofre uma boundary equilibrium bifurcation (BEB) em μ = μ se existe um ponto x tal que, para i =1e 2: 1. F i (x,μ )=0; 2. H(x,μ )=0; 3. F i,x (x,μ ) inversivel (equivalentemente, det(f i,x ) 0); 4. H μ (x,μ ) H x (x,μ )[F 1 i,x F i,μ](x,μ ) 0. A condição 1 implica, segundo a definição (3.4), em que o ponto de equilíbrio x seja admissível, e a condição 2 implica em que seja um ponto de equilíbrio de fronteira. A condição 3 é uma condição de não-degeneração que garante que x seja um ponto de equilíbrio hiperbólico isolado em ambos os campos vetoriais F 1 e F 2. A condição 4 é uma condição de não-degeneração em respeito ao parâmetro μ, que garante que ramos admissíveis partindo do ponto de equilíbrio, diga-se x + (μ) e x (μ), dos campos vetoriais F 1 e F 2 respectivamente, cruzam a fronteira no ponto de bifurcação em μ = μ Possíveis Cenários Dinâmicos Numa boundary equilibrium bifurcation, muitos cenários dinâmicos diferentes podem ser observados devido a variações de parâmetros. Há três cenários básicos envolvendo pontos de equilíbrio para fluxo gerais n dimensionais na forma (3.17) (veja Figura 3.1):

53 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 51 Persistência: neste caso, um ponto de equilíbrio admissível x ɛs 1 e um ponto de equilíbrio virtual ỹ ɛs 1 atingem a fronteira no ponto de bifurcação, tornando-se um ponto de equilíbrio virtual x ɛs 2 e um ponto de equilíbrio admissível y ɛs 2, respectivamente, ao passar pelo ponto de bifurcação. (veja Figura 3.1 (a)). Dobra Não-Suave: neste caso, dois pontos de equilíbrio admissíveis de fronteira, x ɛs 1 e y ɛs 2 atingem a fronteira tornando-se dois pontos de equilíbrio virtuais x ɛs 2 e ỹ ɛs 1. Por conseguinte, não existe nenhum ponto de equilíbrio admissível após passarem pelo ponto de bifurcação. (veja Figura 3.1 (b)). Duplicação de Período Não-Suave: neste caso, uma órbita de período-2, (x 1, x 2) - órbita periódica que passa uma fração δt em um lado da fronteira, e uma fração (1 δ)t do outro lado da fronteira - converge para um ponto de equilíbrio de fronteira numa boundary equilibrium bifurcation.(veja Figura 3.1 (c)). Além desses cenários, há outros conjuntos invariantes envolvidos numa boundary equilibrium bifurcation analisados na literatura [126, 127, 52]. Teorema 3.7 Se (x,μ ) é um ponto de equilíbrio de fronteira assintoticamente estável (estável no sentido de Lyapunov, e atrativo) de um sistema suave-por-partes, Filippov, ou de impacto (veja definição em [53], então, para todo μ nas vizinhanças de μ,háao menos um atrator nas vizinhanças de x.

54 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 52 FIGURA 3.1 Possíveis Cenários de BEB - (a) Persistência - um ponto de equilíbrio admissível x ɛs 1 e um ponto de equilíbrio virtual ỹɛs 1 atingem a fronteira no ponto de bifurcação, tornando-se um ponto de equilíbrio virtual x ɛs 2 e um ponto de equilíbrio admissível y ɛs 2, respectivamente, ao passar pelo ponto de bifurcação, (b) Dobra Não-Suave - dois pontos de equilíbrio admissíveis de fronteira, x ɛs 1 e y ɛs 2 atingem a fronteira tornando-se dois pontos de equilíbrio virtuais x ɛs 2 e ỹɛs 1, (c) Duplicação de Período Não-Suave - uma órbita de período-2, (x 1, x 2), caracterizado por ter uma iteração em cada um dos lados da fronteira, convergem para um ponto de equilíbrio x. 3.2 Sistemas de Filippov Os sistemas de Filippo têm descontinuidade uniforme de grau 1 (salto no valor de F ) localmente à variedade de chaveamento. Nesses sistemas há a possibilidade de movimento deslizante (sliding motion); há ainda diferentes tipos de BEB de codimensão-1 em que pseudo-equilíbrios tornam-se pontos de equilíbrio admissíveis de um dos campos vetoriais. Pode-se identificar diferentes tipos de pontos de equilíbrio do sistema (3.2) do tipo Filippov: Definição 3.8 Um ponto x D éumponto de equilíbrio admissível de (3.2) sex é tal que F 1 (x,μ)=0eh(x,μ):=λ 1 < 0, ou (3.11) F 2 (x,μ)=0eh(x,μ):=λ 2 > 0. (3.12)

55 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 53 para escalares λ 1 e λ 2. Definição 3.9 Um ponto x éumpseudo-equilíbrio se x é um ponto de equilíbrio do fluxo de deslizamento ( sliding flow) F 12 =(1 α)f 1 + αf 2 ; i.e., para um escalar α, F 1 ( x,μ)+α(f 1 F 2 )=0, (3.13) H( x,μ)=0. (3.14) Definição 3.10 O pseudo-equilíbrio é admissível se (0 < α < 1). Alternativamente, o pseudo-equilíbrio é virtual se (α < 0). Note que tipicamente, o pseudo-equilíbrio não é equilíbrio de F 1,nemdeF 2. Definição 3.11 Um ponto ˆx é um pseudo-equilíbrio de fronteira se F 1 (ˆx,μ)=0ou F 2 (ˆx,μ)=0, (3.15) H(ˆx,μ)=0. (3.16) Teorema 3.12 Diz-se que o sistema (3.2) sofre uma boundary equilibrium bifurcation em μ = μ se existe um ponto x tal que, para i =1e 2: 1. F i (x,μ )=0, mas F j (x,μ ) 0; 2. H(x,μ )=0; 3. F i,x (x,μ ) inversivel (equivalentemente, det(f i,x ) 0); 4. H μ (x,μ ) H x (x,μ )[F 1 i,x F i,μ](x,μ ) 0.

56 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 54 Outros cenários de bifurcação envolvem ciclos limites interagindo (tangenciando ou cruzando) com a variedade de chaveamento. Nesses casos, mapas de descontinuidade locais podem ser adequadamente derivados e, então, a análise das bifurcações nesses mapas podem ser associadas às bifurcações no fluxo. 3.3 Mapeamento de Descontinuidade O termo mapa de descontinuidade (discontinuity map) foi introduzido por Nordmark [43]. Trata-se de um mapa de Poincaré definido localmente próximo ao ponto onde a trajetória interage com a fronteira de descontinuidade. Para se ilustrar a necessidade e o uso dos mapas de descontinuidade, considere o fluxo suave-por-partes ilustrado na Figura 3.2, com uma superfície de Poincaré Π em uma das regiões S i, sendo interceptada transversalmente no ponto x p da órbita periódica p(t) de período T. FIGURA 3.2 Órbita Periódica de um Fluxo Suave-por-Partes: A figura ilustra uma órbita periódica de um fluxo suave-por-partes cruzando a variedade de fronteira em dois pontos distintos, além de cruzar a seção de Poincaré Π no ponto x p. Figura extraída da ref. [53].

57 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 55 A trajetória p(t) faz duas intersecções transversais com o conjunto de descontinuidade Σ. Tender-se-ia escrever a linearização do mapa de Poincaré como sendo P (x) = N 1 N 2 N 1 (x x p ), sendo N i =Φ i,x (x p,t) a linearização do fluxo Φ i. Contudo, não é este o caso, pois cada vez Σ é cruzado transversalmente, uma correção deve ser aplicada. Essa correção é necessária porque trajetórias de diferentes pontos x próximos a x p levam diferentes tempos para atingir o conjunto de descontinuidade Σ logo, pequenos erros são gerados tomando-se a linearização de Φ 1 para um tempo constante t. A correção desse erro é dada pelo mapa de descontinuidade. Uma versão geral desse mapa é descrita na seção seguinte Mapeamento Geral de Descontinuidade Considere um sistema híbrido segundo definição a seguir, assumindo-se ter duas regiões S 1 e S 2, como ilustrado na Figura 3.2. Definição 3.13 Um Fluxo Híbrido Suave-por-Partes é dado por um número finito de EDOs ẋ = F i (x,μ), para xɛs i, (3.17) mais o mapa de reset x = R ij (x,μ), se xɛσ ij = S i Sj, (3.18) para i S i = D R n e cada S i tem um interior não-vazio. A intersecção Σ ij = S i Sj é, ou uma variedade R n 1 dimensional pertencente às fronteiras S i e S j, ou um conjunto vazio. Cada função F i e R ij é suave e bem definida em qualquer vizinhança de S i e Σ ij,

58 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 56 respectivamente. Note que para o caso de fluxos suaves-por-partes (não híbridos) o mapa de reset é apenas uma matriz identidade. Suponha que uma órbita periódica p(t) cruze transversalmente a fronteira de descontinuidade Σ em dois pontos x e x, como ilustrado na Figura 3.3. UmavezqueR, Φ 1 e Φ 2 são suaves, o mapa de Poincaré associado à órbita periódica é suave e com Jacobiano não singular. Para computar este Jacobiano, e assim o mapa de Poincaré, considera-se uma seqüência de eventos específica partindo do ponto x próximo a x p na seção de Poincaré Π. Escolhe-se o instante inicial como sendo aquele em que a órbita periódica intercepta a seção de Poincaré Π em x p S 1 quando t =0. Tomando-se uma condição inicial x próxima a x p e se evoluindo no tempo, tem-se que em t 1 + δ, a trajetória intercepta Σ num ponto x 2 Σ próximo a x. Quando se evolui x por um tempo t 1, atinge-se o ponto x 0 =Φ 1 (x,t 1 ), conforme ilustrado na Figura 3.4. Aplicando-se o mapa R e, então, o fluxo Φ 2 ao ponto x 0, gera-se um erro uma vez que se aplica R a x 0 em t 1 ao invés de se aplicar a x 2 em t 1 + δ. Para corrigir este erro, pode-se encontrar x 4 tal que a ação de Φ 2 ao ponto x 4 para t>t 1 coincida com a ação de Φ 2 ao ponto x 3 = R(x 2 ) para t>t 1 + δ. A correção x 4 = Q(x 0 ) éomapeamento de descontinuidade neste caso. Esta correção é aplicada ao ponto x 0 e pode ser definida pela expressão: Q(x 0 )=Φ 2 (R(Φ 1 (x 0,δ)), δ) =Φ 2 (x 3, δ). (3.19)

59 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 57 O mesmo pode ser feito para a intersecção subseqüente em x Σ. Assim, o mapa para a evolução de todo o fluxo suave-por-partes sob p(t) pode ser expresso por: P (x,t)=φ 1 [Q(Φ 2 [Q(Φ 1 [x p,t 1 ]),t 2 t 1 ]),T t 2 ], (3.20) com Jacobiano definido por: P x (x,t)=φ 1,x [R(x,T t 0 ]Q x (x )Φ 2,x [R(x ),t t 0 ]Q x (x )Φ 1,x (x p,t 0 ), (3.21) com Φ i, x = Φ i x e Q x dado pela linearização da eq. (3.19). FIGURA 3.3 Seqüência de Eventos: A figura ilustra uma seqüência de eventos de uma órbita periódica de um fluxo híbrido suave-por-partes. Supondo-se x 0 = x +Δx, pode-se derivar uma expressão mais explicita para Q como se segue (veja [53] para detalhes): Q(x 0 )=R x (x [F 2 (R(x )) R x (x )F 1 (x )]H x (x ) )+[R x ]Δx + O( Δx 2 ). (3.22) H x (x )F 1 (x )

60 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 58 Assim, Q x é dada por: Q x (x )=R x (x )+ [F 2(R(x )) R x (x )F 1 (x )]H x (x ), (3.23) H x (x )F 1 (x ) sendo H(x) uma função suave tal que Σ=x R n : H(x) =0,e H = H x. FIGURA 3.4 Efeito do Mapa de Descontinuidade: A figura ilustra o efeito do mapa de descontinuidade Q próximo a uma intersecção. Observação 3.14 Mapas de descontinuidade diferentes são definidos para intersecção não transversais com a fronteira de descontinuidade, que ocorrem nos casos de bifurcações do tipo grazing e sliding Bifurcação por Cruzamento de Intersecção de Fronteiras Há bifurcações que estão relacionadas a interações de órbitas periódicas com as fronteiras de descontinuidade dos fluxos suaves-por-partes. Em muitos casos, e é este o caso do SPS, há mais de uma fronteira, e as bifurcações ocorrem devido a interações das órbitas periódicas com as intersecções de fronteiras. Nesta seção, definem-se tais intersecções, as bifurcações relacionadas, bem como o mapa de descontinuidade para análise das mesmas. Seja um fluxo suave-por-partes definido pela equação (3.17).

61 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 59 Considere a vizinhança do ponto de intersecção transversal de duas fronteiras Σ 1 = {x ɛ D H 1 (x) =0} e Σ 2 = {x ɛ D H 2 (x) =0}, para funções H 1 e H 2 distintas. Dessa maneira, o sistema pode ser reescrito como: ẋ = f(x,μ)= F 1 (x,μ), seh 1 (x) < 0 eh 2 (x) < 0, F 2 (x,μ), seh 1 (x) < 0 eh 2 (x) > 0, F 3 (x,μ), seh 1 (x) > 0 eh 2 (x) < 0, F 4 (x,μ), seh 1 (x) > 0 eh 2 (x) > 0. (3.24) A característica geral desse sistema é que a descontinuidade na fronteira apresentará uma singularidade do tipo quina (corner) formado pela intersecção transversal, ao longo do conjunto C, de duas superfícies suaves (supõe-se que sejam suaves) Σ i e Σ j que dividem localmente o espaço de estados em quatro regiões com campos vetoriais diferentes F i, i =1, 2, 3, 4.. Se o sistema tem uma órbita periódica parametrizada p(t, μ), então, interessantes comportamentos podem acontecer quando, à medida que μ é variado, esta órbita intercepta o conjunto C; esses comportamentos podem ser caracterizados utilizando-se um mapa de descontinuidade, que é localmente suave-por-partes. O conjunto C é formado pelos pontos de intersecção de fronteiras da vizinhança considerada. Mais especificamente, diz-se que a passagem de uma trajetória por um ponto cɛc é uma DIB (Discontinuity Induced Bifurcation), devido à mudança no perfil de fase, i. e., na vizinhança da intersecção de fronteiras, há distintas trajetórias que não se comportam de maneira similar com respeito à região do espaço de estados em cada lado de Σ=Σ i Σ j ; veja Figura 3.5 (a).

62 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 60 Definição 3.15 Uma Bifurcação Induzida por Descontinuidade (DIB) ocorre para um valor crítico de parâmetro em que o sistema suave-por-partes deixa de ser estruturalmente estável no sentido suave-por-partes. Isto é, existe uma perturbação arbitrariamente pequena que leva a um sistema não equivalente topologicamente [128] (veja Figura 3.6). FIGURA 3.5 (a) Uma trajetória intercepta a variedade de C formada pela intersecção das superfícies Σ 1 e Σ 2, e outras duas trajetórias próximas partindo da região do espaço de estados cujo campo vetorial é F 1. (b) Caso especial de cruzamento de quina - a variedade C pode ser descrita pela quina, uma única superfície de descontinuidade formada pela intersecção das superfícies Σ 5 e Σ 6. FIGURA 3.6 Estes dois retratos de fases são topologicamente equivalentes, mas não topologicamente equivalentes no sentido suave-por-partes. Note que o retrato em cada região S i separadamente, é topologicamente equivalente entre (a) e (b); contudo, em (a), existe um ciclo limite que visita as quatro regiões do espaço, enquanto em (b), o ciclo limite correspondente não visita S 1. Se um parâmetro foi variado entre os dois casos, uma DIB ocorre na fronteira entre S 1 e S 2.

63 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS Mapeamento de Descontinuidade Considere uma trajetória iniciada na região do espaço de estados onde o campo vetorial é dado por F 1 ; e superfícies de descontinuidade Σ 1 e Σ 2, definidas pelas funções suaves H 1 e H 2, respectivamente. Considere ainda, que esta trajetória seja parte de uma órbita periódica p(t, μ) parametrizada por μ. Pode-se ajustar as coordenadas locais de forma que o ponto de intersecção da órbita periódica com Σ 1 Σ 2 seja x =0quando μ =0. A aproximação linear do fluxo e das fronteiras é suficiente para determinar a expressão para o mapeamento de descontinuidade nas vizinhanças do ponto (x,μ)=(0, 0). Assim, o campo vetorial F i (x,μ) pode ser substituído por F i (0,μ) e por simplicidade, supondose que o comportamento local próximo ao ponto x =0não varia com o parâmetro μ, então, F i (x,μ) F i (0, 0) := F i. Considere que o índice final indique um componente na direção perpendicular a cada superfície, H j := H j,x = H j x, tal que, F ij = H j,x F i (0) e x j = H j,x x, para j =1, 2. Assume-se ainda, que todos os campos vetoriais cruzam as fronteiras Σ 1 e Σ 2 transversalmente, ou seja, que não há deslizamento (sliding) ou grazing. Isto é, F ij > 0 para i =1, 2, 3, 4; j =1, 2. (3.25) Devido a esta suposição, é possível tomar uma das superfícies Σ i como sendo uma seção de Poincaré. Sem perda de generalidade, pode-se tomar a seção Π=Σ 1 = {x H 1 (x) =0} (3.26)

64 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 62 Teorema 3.16 Sob essas condições, o mapa de descontinuidade local de Poincaré na vizinhança de uma intersecção de fronteira PDM(x), baseado na seção de Poincaré Π= Σ 1 = {x H 1 (x) =0}, é dado por (veja [53] para detalhes): PDM(x) = ( ) x + x 2 F F 12 F 11 2 F 21 F 1 + O( x 2 ) se x 2 > 0 ( ) x + x 2 F F 32 F 31 4 F 41 F 3 + O( x 2 ) se x 2 < 0 (3.27) Aqui, a correção é feita a uma trajetória para qual se assume evoluir de acordo com o campo vetorial F 1 antes de atingir o ponto de intersecção das variedades Σ 1 e Σ 2,eo campo vetorial F 4 depois de uma curta evolução gerada por F 2 e F 3. A Figura 3.7 ilustra a construção do mapa local de descontinuidade de Poincaré na vizinhança de um cruzamento de fronteira. Para obter o mapa de descontinuidade global deve-se ainda fazer uma composição do mapa de descontinuidade local de Poincaré (PDM) ao mapa de retorno global normalizado associado ao fluxo, que, nas vizinhanças do ponto de colisão, assume a seguinte forma: Q(x) =Nx + M(μ) (3.28) com N = F x e M = F μ. Assim, o mapa de descontinuidade global é dado por: PDMoQ(x) se x 2 > 0 P (x) = QoP DM(x) se x 2 < 0 (3.29)

65 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 63 No caso particular do subsistema de potência de satélites em estudo, as superfícies H 1 =0e H 2 =0são definidas pelos dois segmentos do sinal dente-de-serra, ou seja, são duas superfícies cuja intersecção forma uma quina, como mostra a Figura 3.5 (b). No caso da intersecção das superfícies formar uma quina, tem-se F 1 = F 2 = F 4 = F 5 e F 3 = F 6,e Σ 1 =Σ 5 e Σ 2 =Σ 6, no caso de uma colisão de quina externa, como mostra a Figura 3.8 (a). Já para uma colisão de quina interna, F 2 = F 3 = F 4 = F 6 e F 1 = F 5,e Σ 1 =Σ 6 e Σ 2 =Σ 5, como mostra a Figura 3.8 (b). FIGURA 3.7 Mapa de Descontinuidade no Caso de Intersecção de Fronteiras - Representação da construção do mapa PDM local na vizinhança de uma intersecção de cruzamento de fronteira. O princípio do mapeamento é fazer uma correção na órbita, que se supõe governada por F 1, para considerar os efeitos de F 2(3) antes de adentrar a região governada por F 4.

66 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 64 FIGURA 3.8 (a) Colisão de quina externa - trajetória colide externamente com a quina formada pela intersecção das superfícies de fronteira, (b) Colisão de quina interna - trajetória colide internamente com a quina formada pela intersecção das superfícies de fronteira. O teorema (3.16) aplicado a este caso é dado por: Teorema 3.17 PDM para colisão de quina (corner collision): x se x 6 > 0 PDM externo (x) = ( ) x + x 6 F F 56 F 55 6 F 65 F 5 + O( x 2 ) se x 6 < 0 x se x 5 < 0 PDM interno (x) = ( ) x + x 5 F F 55 F 55 6 F 66 F 5 + O( x 2 ) se x 5 > 0 (3.30) (3.31) Claramente, este é um mapa suave-por-partes, definido na seção a seguir.

67 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS Mapas Suaves-por-Partes Definição 3.18 Um Mapa Suave-por-Partes é dado por um número finito de mapas suaves x F i (x,μ), para xɛs i (3.32) com i S i = D R n, sendo que cada S i tem um interior não-vazio. A intersecção Σ ij = S i Sj é, ou uma variedade R n 1 dimensional pertencente às fronteiras S i e S j, ou um conjunto vazio. Cada função F i é suave em x eemμ em qualquer subconjunto aberto U S i. Uma fronteira não-vazia entre duas regiões, Σ ij será chamada conjunto de descontinuidade, fronteira de descontinuidade, ouvariedade de chaveamento, e separa regiões do espaço de estado onde agem diferentes mapas suaves. Supõe-se que cada parte de Σ ij tenha codimensão-1, i.e., seja uma variedade suave (n 1) dimensional imersa no espaço de estados n dimensional. Além disso, espera-se que cada Σ ij seja suavepor-partes Mapas Locais Suaves-por-Partes Concentrando atenção a regiões D R n do espaço de estados que contenham apenas uma fronteira de descontinuidade, ou seja, por uma escolha apropriada de variáveis locais,

68 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS 66 o mapa investigado pode ser descrito como F 1 (x,μ), seh(x,μ) < 0 x f(x,μ)= F 2 (x,μ), seh(x,μ) > 0 (3.33) sendo F i : R n R R n, i =1, 2 e H : R n R funções escalares suficientemente suaves e diferenciáveis de x ɛ R n. A superfície descrita implicitamente pela condição H(x,μ)=0 define uma fronteira suave Σ={x ɛ D H(x,μ)=0} (3.34) que separa D em duas regiões S 1 = {x ɛ D H(x,μ) < 0} (3.35) S 2 = {x ɛ D H(x,μ) > 0} (3.36) Assume-se que o mapa seja contínuo ao longo da fronteira, i. e., F 1 (x,μ)=f 2 (x,μ) para todo x ɛ Σ, tal que possamos escrever F 2 (x,μ)=f 1 (x,μ)+e(x,μ)h(x,μ) (3.37) para alguma função suave E(x,μ). Assume-se ainda, que as funções F i têm linearização bem definida ao longo de Σ. Assim, para uma vizinhança suficientemente pequena de D, pode-se aproximar o mapa (3.32) por um mapa local suave-por-partes. Mais precisamente, assume-se que o Jacobiano F i,x é bem definida e não singular em D, mas que F 1,x F 2,x para todo x ɛ Σ. Pode-se identificar diferentes tipos de pontos de equilíbrio do sistema (3.32).

69 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS Pontos de Equilíbrio de Mapas Locais Suaves-por-Partes Definição 3.19 Diz-se que um ponto de equilíbrio x = x éumponto de equilíbrio admissível de (3.32) se, para i =1ou i =2, x = F i (x,μ) e x ɛs j com j = i. Diz-se, por outro lado, x = x é um ponto de equilíbrio virtual de (3.32) se, para i =1ou i =2, x = F i ( x,μ) e x ɛs j com j i. Definição 3.20 Um ponto de equilíbrio x = x éumponto de equilíbrio de fronteira x ɛ Σ, i. e., F 1 ( x,μ)=f 2 ( x,μ) e H( x,μ)=0. Agora, suponha que x (μ) seja um ramo do ponto de equilíbrio do mapa x F i (x,μ), e dependa continuamente do parâmetro μɛ( ε, ε). Suponha que x torne-se um ponto de equilíbrio de fronteira do mapa (3.32) quando μ =0, ou seja, H(x (0) = 0). Então, se a aproximação a Σ é transversal, o que garante que não se trata de um caso de bifurcação grazing ou sliding, o Teorema da Função Implícita implica em que x (μ) seja um ponto de equilíbrio admissível de (3.32) para apenas um sinal de μ (μ positivo, ou μ negativo) [129]. Sem perda de generalidade, assume-se que o sinal de μ seja negativo. Pode-se agora, definir Definição 3.21 Tal ponto de equilíbrio x é chamado de ponto de equilíbrio de cruzamento de fronteira se o ramo x (μ) cruza Σ transversalmente a medida que μ passa por zero. Desse modo, o ponto de equilíbrio será admissível para um, e somente um sinal de μ. Sem perda de generalidade, seja μ<0. Especificamente, requer-se que: 1. x = F i (x,μ) ɛs i para ε<μ<0; 2. x ɛ Σ para μ =0; 3. x = F i (x,μ) ɛs j para 0 <μ<ε, comj i;

70 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS H x F i,μ 0(H x F i representa o componente de F i normal a H). A condição 1 implica em que o ponto de equilíbrio é admissível, a condição 2 implica em que este ponto de equilíbrio seja um ponto de equilíbrio de fronteira, a condição 3 implica em que x mude continuamente para um ponto de equilíbrio virtual de (3.32) para μ>0, e finalmente, a condição 4 implica em que o cruzamento de fronteira deve ser transversal Colisão de Borda Finalmente, podemos apresentar o seguinte Teorema: Teorema 3.22 Diz-se que um ponto de equilíbrio x, sofre bifurcação por colisão de borda em μ =0se x (μ) é um ponto de equilíbrio de cruzamento de borda e o mapa linearizado sobre x (0) em S 1 e S 2 resulta F 1 x (x,μ) F 2 μ=0 x (x,μ) (3.38) μ=0 ou equivalentemente, utilizando (3.37) E(x,μ) H x (x ) 0 (3.39) μ=0 Note que a condição (3.38) assegura que o Jacobiano do mapa (3.32) sob o ponto de equilíbrio é descontínuo no ponto colisão de borda.

71 CAPÍTULO 3. FLUXOS E MAPAS DESCONTÍNUOS Comentários Finais Neste capítulo, apresenta-se um resumo da teoria que vem sendo desenvolvida para analisar sistemas não lineares suaves-por-partes. Mais especificamente, definiu-se o que é um fluxo suave-por-partes, os tipos de pontos de equilíbrio associados a um fluxo suavepor-partes, a as bifurcações relacionadas a interações dos pontos de equilíbrio com a fronteira de descontinuidade desses fluxos. Outros tipos de bifurcações em fluxos suaves-por-partes estão associados a interação de órbitas periódicas com a fronteira de descontinuidade. Nesses casos, para se analisar as bifurcações, necessita-se derivar um mapa de descontinuidade local definido na seção Esses mapas variam de acordo com o tipo de interação entre as órbitas e as fronteiras; e de acordo com o número e a ocorrência, ou não, de intersecções entre as fronteiras. Neste capítulo definiu-se o mapa de descontinuidade para sistemas descontínuos em geral, em que a órbita intersecciona transversalmente uma única fronteira de descontinuidade; bem como o mapa de descontinuidade para o caso do subsistema de potência de satélite segundo o modelo-t, em que a órbita intersecciona transversalmente uma intersecção entre duas fronteiras de descontinuidade. Como se viu, esses mapas de descontinuidade são mapas suaves-por-partes. Assim, para analisar as bifurcações nesses mapas, definiu-se na seção 3.4 o que é um mapa suave-por-partes, os tipos de pontos de equilíbrio associados a um mapa suave-por-partes, a as bifurcações relacionadas a interações dos pontos de equilíbrio com a fronteira de descontinuidade desses mapas. No próximo capítulo, utilizando-se parte da teoria apresentada aqui, apresentaremos a análise da dinâmica de subsistemas de potência de satélites.

72 4 Análise do Sistema de Potência de Satélites Neste capítulo, são analisados os modelos de subsistema de potência de satélite propostos no Capítulo 2, utilizando-se as definições e teoremas apresentados no Capítulo 3; e ferramentas de análise de sistemas não-lineares, como diagramas de bifurcação. As figuras exibidas neste capítulo, incluindo-se os diagramas de bifurcação, são gerados utilizando-se simulação numérica. Os modelos são integrados no Matlab, utilizando-se Runge-Kutta de 4 a ordem com passo de integração variante, e a opção de detecção de evento. Por evento, entende-se aqui um chaveamento no conversor buck do SPS. A opção de detecção de evento detecta a ocorrência de um chaveamento (evento), pára a simulação, determina o preciso tempo em que o evento ocorreu, e então, reenicia a simulação a partir desse instante de tempo, com os valores das variáveis de estado relativos a esse instante de tempo.

73 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES Análise do Modelo-1 Para analisar o comportamento dinâmico do modelo-1 de SPS, construiu-se o diagrama de bifurcação amostrando-se a variável de estado desejada sempre que esta cruzava o plano v 2 =21V para diferentes valores do parâmetro α cs. Além disso, a amostragem foi feita de forma síncrona aos instantes de chaveamento, ou seja, o sistema foi amostrado quando a trajetória cruzou o plano v 2 =21V sincronamente a instantes de chaveamento, definindo-se um mapeamento do tipo S-switching [41]. O resultado é o diagrama de bifurcação da Figura 4.1. Com iluminação adequada (α cs > 0.6), a chave permanece fechada e a operação se reverte em um regime de equilíbrio estável [39]. FIGURA 4.1 Diagrama de Bifurcação do Modelo-1 de SPS: Diagrama de bifurcação v 1 α cs obtido amostrando-se a trajetória quando esta cruza a seção de Poincaré v 2 =21V sincronamente a instantes de chaveamento.

74 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 72 A Figura 4.2 ilustra um típico atrator caótico [36, 9] do modelo-1 de SPS, reconstruído tomando-se α cs = Veja que a tensão v 1 varia entre 18.5 e 23.5V aproximadamente, fato que, para uma gama de circuitos eletrônicos, não causa relevantes alterações em sua operação, supondo que se deseja estabilizar v 1 em 21V para assegurar uma tensão de 12V na carga. No entanto, a corrente no indutor i L varia entre 0 e 3.5A aproximadamente, fato este que pode ser muito mais danoso ao funcionamento do sistema, uma vez que a corrente chega a ser nula. É essencial assegurar uma corrente mínima constante, e mais ainda, uma potência constante; para isso, técnicas de controle de caos podem ser empregadas, como mostrado no Capítulo 5. FIGURA 4.2 Atrator Caótico do Modelo-1 de SPS: Atrator caótico do modelo-1 de SPS no espaço de estados v 1 i L, tomado em α cs = Note que, assim como no caso dos conversores DC/DC estudados em [55, 16, 41, 40], no diagrama de bifurcação da Figura 4.1 há interrupção de uma órbita periódica seguido pelo surgimento de um regime supostamente caótico, fenômeno característico nesse tipo de circuito. Contudo, o comportamento apresentado não reproduz o comportamento

75 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 73 observado no subsistema de potência do satélite CBERS-II, que apresentou uma cascata de duplicações de período ao se variar a temperatura do ambiente. Cascatas de duplicação de período estão também presentes nos conversores buck definidos pela eq. (2.7) do Capítulo 2, assim, espera-se que este comportamento seja devidamente reproduzido utilizando-se o modelo-t de SPS. 4.2 Análise do Modelo-t Para analisar o comportamento dinâmico do modelo-t de SPS, construiu-se o diagrama de bifurcação amostrando-se a variável de estado desejada para diferentes valores do parâmetro α cs. A amostragem da trajetória do sistema é feita nos instantes de tempo múltiplos do período do sinal de referência v r, ou seja, através de um mapeamento estroboscópico. O resultado é o diagrama de bifurcação da Figura 4.3. FIGURA 4.3 Diagrama de Bifurcação 1 do Modelo-t de SPS: Diagrama de bifurcação v α cs obtido amostrando-se a trajetória estroboscopicamente, com o período de amostragem igual ao período do sinal de referência v r.

76 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 74 Analisando o diagrama de bifurcação observa-se que para α cs <αcs (αcs representa um certo valor crítico) a tensão de saída do conversor v não se estabiliza em torno dos 12V desejados neste caso, pois não há luminosidade suficiente para que o painel solar alimente o conversor com a tensão necessária v 2 para que o mesmo tenha a tensão desejada v à saída. Contudo, para α cs α cs, a tensão de saída v no conversor, parece apresentar um regime supostamente caótico, oscilando entre aproximadamente 11.8 e 13.5V. Discutirse-á adiante, as causas desta rota para o caos, mas antes, vejamos como se comporta a corrente i no indutor L B do conversor. A Figura 4.4 mostra o diagrama de bifurcação da corrente i em função do parâmetro α cs. O comportamento da corrente i no indutor do conversor buck é topologicamente similar ao comportamento apresentado pela tensão na carga v; quando evoluindo caoticamente, a corrente i oscila entre aproximadamente 0.33 a 0.87 A. FIGURA 4.4 Diagrama de Bifurcação 2 do Modelo-t de SPS: Diagrama de bifurcação i α cs obtido amostrando-se a trajetória estroboscopicamente, com o período de amostragem igual ao período do sinal de referência v r.

77 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 75 A tensão v, que se deseja estabilizar em 12V, varia entre 11.8 e 13.5V aproximadamente, fato que para uma gama de circuitos eletrônicos não causa relevantes alterações em sua operação. No entanto, a corrente no indutor i varia entre 0.33 e 0.87A aproximadamente; assim, pode ser fundamental, dependendo do caso, assegurar uma corrente mínima constante, e mais ainda, uma potência constante na carga. Além disso, o comportamento supostamente caótico do sistema leva a tensão de saída v 1 do painel solar a valores próximos da tensão de circuito aberto V OC, veja o diagrama de bifurcação da Figura 4.5, fato que leva a corrente fornecida pelo painel solar a baixas amplitudes. FIGURA 4.5 Diagrama de Bifurcação 3 do Modelo-t de SPS: Diagrama de bifurcação v 1 α cs obtido amostrando-se a trajetória estroboscopicamente, com o período de amostragem igual ao período do sinal de referência v r. Em resumo, observa-se uma transição do equilíbrio para um regime supostamente caótico, fenômeno típico de conversores DC/DC [55, 16, 41, 40]. No entanto, esta transição dá-se de forma súbita, e não através de uma cascata de duplicação de período como observado no subsistema de potência do satélite CBERS-II. Deve-se lembrar contudo, que a cascata de duplicação de período observada no CBERS-II ocorreu ao variar-se a

78 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 76 temperatura do ambiente, e não a taxa de luminosidade, representada aqui pelo parâmetro α cs. A Figura 4.6 ilustra o efeito da variação de temperatura na característica de saída do painel solar segundo referência [124]. Observando-se a Figura 2.3, vê-se que efeito similar ao da variação da temperatura pode ser obtido variando-se o parâmetro V OC. Assim sendo, uma análise mais completa compreenderia a variação simultânea dos parâmetros α cs e V OC do modelo-t de SPS. FIGURA 4.6 Efeito da Variação de Temperatura: A figura ilustra o efeito da variação de temperatura na característica de saída do painel solar. Figura adaptada da referência [124] Diagrama de Bifurcação 2D Em diagramas de bifurcação usuais, as mudanças dinâmicas no SPS são analisadas em respeito a variações em um dos parâmetros de controle (α cs e V OC ). Contudo, pensando na variação de V OC como forma de simular a variação de temperatura, tem-se que os dois parâmetros estão em contínua alteração e um retrato do cenário dinâmico como um todo seria mais útil para compreender o comportamento dinâmico que pode surgir devido a variação simultânea dos parâmetros. O diagrama de bifurcação 2D pode fornecer tal

79 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 77 retrato do cenário dinâmico. O diagrama de bifurcação 2D é uma ferramenta de análise dinâmica que mostra a estrutura de bifurcação total quando dois parâmetros são variados [130, 131]. A Figura 4.7 mostra o diagrama de bifurcação 2D do modelo-t do SPS - diferentemente do diagrama de bifurcação usual, os dois eixos fornecem o intervalo de variação dos parâmetros, e cada ponto no gráfico representa, de acordo com sua cor, o regime dinâmico do sistema para um conjunto de parâmetros (α cs e V OC ). FIGURA 4.7 Diagrama de Bifurcação 2D: A figura ilustra o diagrama de bifurcação 2D do modelo-t de SPS - cada ponto no gráfico representa, de acordo com sua cor, o regime dinâmicos do sistema para um conjunto de parâmetros (α cs e V OC ). No diagrama de bifurcação 2D da Figura 4.7, nota-se a existência de três regiões distintas. Na faixa superior, acima da seção A, cada cor (amarelo, lilás, azul claro, azul escuro) representa um diferente tipo de órbita periódica (P(1,1),P(1,2),P(1,4),P(1,8)) do sistema, sendo que a cor vermelha representa órbitas caóticas. Define-se órbita P (m, n) como a órbita de período-n que passa por m chaveamentos por período. Pode-se observar que, para α cs maior que um certo valor crítico, que como será visto, equivale ao α cs

80 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 78 mencionado na seção anterior, o SPS modelo-t passa por uma cascata de duplicação de período a medida que o valor de V OC aumenta. Há um segundo valor crítico de α cs, diga-se α cs, abaixo do qual existem apenas soluções de equilíbrio. Pode-se ver que este valor crítico α cs não é constante; análises mostram que α cs varia em função de V OC. O conjunto de parâmetros (α cs e V OC ) para o qual existem somente soluções de equilíbrio está representado pela região de cor preta no diagrama de bifurcação 2D, abaixo da seção C. A faixa colorida mais estreita, entre as seções A e C, é uma região de histerese, i.e., representa o conjunto de parâmetros para os quais órbitas periódicas e soluções de equilíbrio coexistem - as cores marrom, ouro, laranja, rosa e verde representam, respectivamente, coexistência da solução de equilíbrio com soluções P(1,1), P(1,2), P(1,4), P(1,8), e caótica. A seguir, analisa-se o que acontece na transição entre diferentes regiões do diagrama de bifurcação 2D, estudando representativas seções 1D do mesmo Seções do Diagrama de Bifurcação 2D O primeiro diagrama de bifurcação analisado é mostrado na Figura 4.8. O diagrama ilustra o comportamento da tensão de saída v dada a variação do parâmetro V OC, para um valor fixo de α cs = este diagrama corresponde à seção A do diagrama de bifurcação 2D. Três mudanças qualitativas de comportamento podem ser observadas no diagrama de bifurcação da Figura 4.8: uma transição abrupta de uma solução de equilíbrio para uma solução P(1,1); uma seqüência de duplicações de período; e uma transição abrupta para um regime supostamente caótico. Observando o diagrama de bifurcação 2D, pode-

81 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 79 se concluir que para valores de α cs 0.134, com α cs >α cs, o diagrama de bifurcação obtido será topologicamente equivalentes ao da Figura 4.8. O parâmetro α cs é um valor crítico abaixo do qual soluções periódicas não mais existem, como será explicado na Seção FIGURA 4.8 Diagrama de Bifurcação 4 do Modelo-t de SPS: Diagrama de bifurcação v V OC para α cs = Em azul, soluções de equilíbrio; e em preto, soluções periódicas/caóticas. Equivale à seção A do diagrama de bifurcação 2D. A cascata de duplicação de período e a transição abrupta para o regime supostamente caótico são comportamentos típicos de conversores DC/DC tipo buck, já caracterizados na literatura. Em particular, mostra-se em [55, 56, 16, 40] que a cascata de duplicação de período ocorre nesses conversores a medida que a tensão de entrada dos mesmos é aumentada; e além disso, esses conversores sofrem uma transição abrupta para o regime supostamente caótico através de uma bifurcação por colisão de borda [56, 16, 132, 53] para um valor crítico da tensão de entrada. No modelo-t de SPS, um aumento no valor de V OC pode ser interpretado como um aumento indireto na tensão de entrada v 2 do conversor buck, pois, aumentando-se V OC, a tensão de saída v 1 do painel solar também

82 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 80 é aumentada, veja Figura 2.3. Isto significa que a cascata de duplicação de período e a transição abrupta para o caos no SPS dá-se devido a bifurcações do conversor buck, que se encontram extensamente explicadas na literatura [16, 133, 41, 134, 130, 131]. A caracterização exata das duplicações de período, e da bifurcação por colisão de borda no modelo-t de SPS exigiriam a construção de mapas de descontinuidade locais ao ponto de bifurcação - veja Capítulo 3 - tarefa que se mostrou ser de altíssima dificuldade para o modelo-t de SPS. Isto deve-se à dificuldade em se determinar a solução exata do sistema para se determinar o ponto de cruzamento de fronteira x (veja seção 3.3 do capítulo 3), pois trata-se de um sistema de 5 a ordem totalmente acoplado. Além disso, sua solução envolve a solução de um polinômio de potência 33, que éapotência da equação (2.1) que modela o painel solar. Neste ponto, vale lembrar que analisar o comportamento do SPS dado variações de V OC é equivalente a analisar seu comportamento sob variações de temperatura. Sendo assim, a cascata de duplicação de período observada no SPS ao aumentar-se o parâmetro V OC pode explicar a ocorrência de uma cascata de duplicação de período no subsistema de potência do satélite dado variações da temperatura ambiente [44]. O próximo diagrama de bifurcação, veja Figura 4.9, mostra o comportamento da tensão de saída v dado variações do parâmetro α cs, para um valor fixo V OC =20V (valor para o qual o sistema apresenta solução P(1,1), de acordo com o que se observa no diagrama da Figura 4.8) - este diagrama corresponde à seção B do diagrama de bifurcação 2D. Equivalentemente ao comportamento observado no caso anterior, a evolução do SPS dado variações no parâmetro α cs passa por uma transição abrupta de uma solução de equilíbrio para uma solução P(1,1) quando, aumentando-se o valor de α cs, este atinge um valor crítico α cs = αcs. Comportamento similar pode ser observado quando, variando-se o

83 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 81 parâmetro de trás para frente, i.e., diminuindo-se o valor de α cs, a solução P(1,1) colapsase numa solução de equilíbrio quando α cs = α cs. Note que a transição da solução de equilíbrio para P(1,1) não ocorre no mesmo ponto que a transição solução P(1,1) para equilíbrio. Conclui-se que o sistema apresenta algum tipo de histerese. FIGURA 4.9 Diagrama de Bifurcação 5 do Modelo-t de SPS: Diagrama de bifurcação v α cs para V OC =20V - Em azul, soluções de equilíbrio; e em preto, soluções P(1,1). Equivale à seção B do diagrama de bifurcação 2D. A literatura existente expressa esta última bifurcação em termos do que se chama colapso de tensão [135, 136]. No colapso de tensão, o painel solar não tem energia suficiente, dada baixa radiação solar, para manter o SPS a uma potência de operação aproximadamente constante. A região de operação para a qual o SPS é capaz de operar a uma potência constante corresponde à região de baixa variação de tensão do painel solar, veja Figura 2.3. Quando a tensão colapsa, não há energia suficiente para manter a tensão de saída v 1 do painel solar na região de baixa variação de tensão, e a evolução do sistema move-se em direção à região de baixa variação de corrente. Concluindo, o colapso de tensão é resultado de uma mudança na região de operação do painel solar.

84 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 82 Na próxima seção, tenta-se explicar os fenômenos observados nos diagramas de bifurcação apresentados aqui. Primeiramente, analisa-se o que acontece na transição da solução de equilíbrio para a solução P(1,1) Análise Dinâmica Nesta seção, tenciona-se explicar as transições entre diferentes soluções e a presença de histerese entendendo-se como a solução de equilíbrio dá lugar à solução P(1,1), e o cenário reverso para variação decrescente dos parâmetros. A solução de equilíbrio do modelo-t de SPS pode ser computada a partir da eq. (2.9), resultando em: (v 1,i L,v 2,i,v ) = ( ) v1,i 1 (v1),v 1 R,i 1 (v R + R 1),v1 R ), se H 2 (v) 0, (4.1) s R + R s (v 1,i L,v 2,i,v ) = (V OC, 0,V OC, 0, 0), se H 2 (v) > 0, (4.2) A tensão v 1 pode ser calculado utilizando a equação: (R + R s ) α csi sc V p (v1) p + v1 (R + R s )α cs I sc =0 (4.3) OC que tem uma única solução real para o intervalo dos parâmetros de controle considerados neste trabalho - α cs ɛ [0, 1.0] e V OC ɛ [13.5V,46.2V ]. Ambas soluções de equilíbrio são focos estáveis para o intervalo dos parâmetros de controle considerados neste trabalho. No entanto, note que essas soluções de equilíbrio não podem existir simultaneamente. Especificamente, para H 2 (v) 0 o equilíbrio (4.1) éumequilíbrio admissível, e o equilíbrio (4.2) éumequilíbrio virtual, e vice-versa para

85 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 83 H 2 (v) > 0. Veja Capítulo 3 e referência [53] para mais detalhes Boundary Equilibrium Bifurcation (BEB) Suponha que para α cs ɛ (α cs,α cs) o sistema encontre-se inicialmente no equilíbrio (4.1), ou seja, a topologia do sistema é aquela para H 2 (v) 0. Aumentando-se continuamente o valor de α cs, o sistema converge para novos valores de equilíbrio (4.1); a Figura 4.10 (a) ilustra um destes casos. Até que para α cs = αcs, v1 converge para V MIM = γ R R+R s, que é o valor mínimo da tensão de saída v 1 do painel solar que faz com que o sistema mude da topologia em H 2 (v) 0 para a topologia em H 2 (v) > 0. Quando v1 = γ R R+R s, o valor de equilíbrio da tensão v, dada pela eq. (4.1), é v = γ - γ é o valor do limite inferior do sinal de referência v r. Especificamente, isso significa que a condição 1 para ocorrência de BEB do Teorema 3.6 é satisfeita, uma vez que para α cs = αcs tem-se um equilíbrio (4.1) recaindo sobre a fronteira H 2 (v (αcs)) = 0. Uma vez que v (αcs) =γ, a condição 2 também é satisfeita. A condição 3 é satisfeita uma vez que em instantes de tempo t =(0mod T ), o equilíbrio (4.1) é transversal à superfície Σ 2 (veja Figura 4.10 (b)). Finalmente, a condição 4 é automaticamente satisfeita. Concluindo, tem-se um cenário de boundary equilibrium bifurcation (BEB). As Figuras 4.10 (a) e 4.10 (b) ilustram, respectivamente, os sinais de tensão de saída v e de referência v r para α cs <α cs, valor para o qual v <γ; e para α cs = α cs, valor para oqualv = γ, e o equilíbrio recai sobre o sinal de referência v r, e a BEB ocorre. No presente caso, a BEB é do tipo persistência, i.e., no ponto de bifurcação, para α cs = α cs, o equilíbrio admissível (4.1) na região H 2 (v) 0 torna-se um equilíbrio de fron-

86 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 84 FIGURA 4.10 Boundary Equilibrium Bifurcation: Tensão de saída v e sinal de referência v r para (a) α cs <α cs, valor para o qual v <γ,e(b) α cs = α cs, valor para o qual v = γ, e a BEB ocorre. Em ambos os casos, V OC =20V.

87 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 85 teira; e para α cs >α cs, este equilíbrio torna-se um equilíbrio virtual. Simultaneamente, o equilíbrio virtual (4.2) emh 2 (v) > 0 torna-se um equilíbrio admissível. O valor v 1 no ponto de bifurcação é conhecido previamente, de forma que é possível, utilizando-se a eq. (4.1) e a eq. (2.1), obter uma função explícita para α cs: α cs = γv p OC Rp RI sc [V p OC Rp γ p (R + R s ) p ] (4.4) No caso em particular, para V OC =20V, α cs = A mesma análise pode ser aplicada para se explicar a transição do equilíbrio à solução P(1,1) quando V OC é usado com parâmetro de controle, veja diagrama de bifurcação da Figura 4.8. Para o valor α cs =0.134, valor usado na construção do diagrama da Figura 4.8, da eq. (4.4) pode-se estimar o valor crítico de V OC para o qual a BEB ocorre, que neste caso é VOC =13.67V. A BEB explica as abruptas transições das soluções de equilíbrio para soluções P(1,1). Dependendo do valor de V OC, a transição pode ser de uma solução de equilíbrio para diferentes soluções P(1,n), ou até mesmo caóticas, veja o diagrama da Figura 4.8 eo diagrama 2D da Figura 4.7 para melhor entendimento. Na próxima seção, a transição da solução P(1,1) para solução de equilíbrio será analisada Bifurcação Induzida por Descontinuidade no Painel Solar Nesta seção, analisa-se a transição da solução P(1,1) para solução de equilíbrio (4.1) quando o parâmetro de controle α cs é variado de α =1a α =0. No modelo-t, a fronteira entre as duas regiões de operação do painel solar não é bem

88 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 86 definida. Contudo, para analisar corretamente a transição da solução P(1,1) para solução de equilíbrio (4.1) precisamos que essa fronteira seja bem definida. Assim, recorremos ao modelo-pwl de SPS, para o qual a fronteira entre as duas regiões de operação do painel solar é bem definida por H 1 (v) =0; e contamos com a equivalência dinâmica entre os dois modelos. Para avaliar a equivalência dinâmica entre o modelo-t e o modelo-pwl de SPS, reconstruiuse o diagrama de bifurcação do modelo-pwl amostrando-se a tensão de saída v estroboscopicamente a medida que o parâmetro de controle α cs é variado, fixando-se V OC =20V. Observe que o diagrama de bifurcação do modelo-pwl da Figura 4.11 é topologicamente equivalente ao diagrama de bifurcação do modelo-t não linearizado da Figura 4.9. FIGURA 4.11 Diagrama de Bifurcação do Modelo-PWL de SPS: Diagrama de bifurcação v α cs para V OC =20V - Em azul, soluções de equilíbrio; e em preto, soluções P(1,1).

89 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 87 A solução de equilíbrio do modelo-pwl de SPS é dada por: (v 1,i L,v 2,i,v )=((R + R s )α cs I sc,α cs I sc,α cs I sc R, α cs I sc,α cs I sc R), (v 1,i L,v 2,i,v )= se H 1 (v 1 ) < 0 and H 2 (v) < 0 (4.5) ( ) v1, v1 R v (R + R s ),v 1 R 1, R + R s (R + R s ),v 1, R + R s se H 1 (v 1 ) < 0 and H 2 (v) < 0 (4.6) (v 1,i L,v 2,i,v )=(V OC, 0,V OC, 0, 0), se H 1 (v 1 ) < 0 and H 2 (v) > 0 (4.7) (v 1,i L,v 2,i,v )=(V OC, 0,V OC, 0, 0), se H 1 (v 1 ) > 0 and H 2 (v) > 0 (4.8) A tensão v 1 é agora dada por v 1 = α csi scv OC (R+R s) (V OC V L )+α sc I sc (R+R s ). À primeira vista, parece não haver equivalência entre as soluções de equilíbrio do modelo-pwl, e as soluções de equilíbrio do modelo-t. Isto deve-se ao fato de que a corrente i 1 é agora dada por duas diferentes funções, dependendo das duas novas regiões de operação que surgem devido à linearização. Tendo sido isto compreendido, conclui-se que os equilíbrios (4.7) e(4.8) do modelo-pwl de SPS são equivalentes ao equilíbrio (4.2) do modelo-t de SPS. Os equilíbrios (4.5) e(4.6) do modelo-pwl de SPS são equivalentes ao equilíbrio (4.1) do modelo-t de SPS. Observadas as equivalências topológicas entre o diagrama de bifurcação do modelopwl da Figura 4.11, e o diagrama de bifurcação do modelo-t não linearizado da Figura 4.9, além da equivalência entra as soluções de equilíbrio, conclui-se que o comportamento dinâmico do modelo-t pode ser analisado utilizando-se o modelo-pwl equivalente. Uma vez verificada a equivalência dinâmica entre o modelo-t e o modelo-pwl de SPS, que define claramente a fronteira entre as duas regiões de operação do painel solar através da função H 1 (v 1 ), pode-se, então, proceder com a análise do que acontece na transição da

90 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 88 solução P(1,1) para a solução de equilíbrio. Simulações numéricas cuidadosas mostram que a transição da solução P(1,1) para a solução de equilíbrio ocorre quando a órbita periódica cruza inteiramente a fronteira H 1 (v 1 ), i.e., ocorre uma bifurcação induzida pela descontinuidade do painel solar. Especificamente, no plano de fase v 1 i 1, a solução P(1,1) desaparece quando, para α cs , v 1 cruza totalmente a fronteira H 1 (v 1 ):=v 1 V L entre as duas regiões de operação do painel solar - para V OC =20V, V L = V. A Figura 4.12 ilustra este cenário; na figura, os pontos ilustram 200 amostras do ponto de máximo do sinal de v 1 para diferentes valores de α cs. Observe que para α cs , os pontos de máximo cruzam a fronteira em V L, e o que se vê são os pontos de máximo do transitório da trajetória do sistema até que esta atinja a solução de equilíbrio. Isso explica a presença de histerese, uma vez que a transição da solução P(1,1) para solução de equilíbrio (4.1)não ocorre devido a mesmo bifurcação(beb) que ocorre na transição da solução de equilíbrio (4.1) para a solução P(1,1). Infelizmente, assim como no caso da caracterização da bifurcação por colisão de borda, a caracterização exata da transição da solução P(1,1) para a solução de equilíbrio no modelo-t de SPS exigiria a construção de um mapa de descontinuidade local ao ponto de bifurcação, tarefa que se mostrou ser de altíssima dificuldade para um sistema de 5 a ordem como o modelo-t de SPS.

91 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 89 FIGURA 4.12 Bifurcação Induzida pela Descontinuidade do Painel Solar: Os pontos da figura ilustram 200 amostras do ponto de máximo de v 1 para diferentes valores de α cs. Para α cs , os pontos de máxima cruza a fronteira em V L, a bifurcação acorre, e o que se vê a partir deste ponto são os pontos de máxima do transitório da trajetória do sistema até que esta atinja a solução de equilíbrio. 4.3 Comentários Finais Neste capítulo, o comportamento dinâmico do subsistema de potência de satélite fora analisado com base em diagramas de bifurcação 1D e 2D. Observou-se que o SPS apresenta fenômenos típicos de sistemas não-lineares contínuos, como duplicações de período, bem como fenômenos típicos de sistemas não-lineares descontínuos. No último caso, verificou-se que boundary equilibrium bifurcations são responsáveis por abruptas transições de soluções de equilíbrio para soluções periódicas, e até mesmo caóticas; verificou-se ainda, que bifurcação induzida pela descontinuidade do painel solar são responsáveis pela ocorrência do fenômeno conhecido com colapso de tensão neste tipo de sistemas.

92 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DO SISTEMA DE POTÊNCIA DE SATÉLITES 90 No próximo capítulo, veremos como técnicas de controle de caos podem ser exploradas para melhorar a performance desses sistemas.

93 5 Controle de Caos no SPS Neste capítulo, técnicas de controle de caos amplamente conhecidas são utilizadas com o objetivo de obter melhor performance dos subsistemas de potência de satélites. A idéia de controle da caos foi enunciada no início da década passada na Universidade de Maryland. Na referência [67], a idéia de controle de caos foi apresentada e um método para estabilização de órbitas periódicas instáveis, conhecido com OGY, foi proposto. A idéia de controle de caos consiste em aguardar uma passagem natural da órbita caótica próximo o bastante da órbita periódica instável desejada imersa no atrator caótico, e então, aplicar-se pequenas (baixa energia) e criteriosas perturbações para estabilizar tal órbita. Aplicando pequenas perturbações, a trajetória pode mover-se para a vizinhança da variedade estável da órbita periódica instável desejada que então, será estabilizada. A partir disso, o fato de sistemas caóticos serem sensíveis a perturbações nas condições iniciais [137] pode ser, de fato, muito desejável em situações experimentais. Realmente, se é verdade que pequenas perturbações podem levar a grandes mudanças na resposta do sistema ao longo do tempo, é também verdade que a escolha criteriosa de tais perturbações pode direcionar a trajetória para qualquer lugar no atrator, produzindo uma série de estados desejados [138].

94 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 92 O método OGY aplica-se a sistemas contínuos. Contudo, exploramos o uso dessa técnica supondo-se que a aplicação do controle ao sistema quando sua trajetória encontrase em uma de suas duas regiões de operação seja o suficiente para manter a trajetória controlada em ambas as regiões de operação causando um efeito global. A aplicação do método OGY pode ser complicada em sistemas com dimensão n> 3, que é o caso do subsistema de potência de satélites, mesmo porque torna-se mais difícil determinar um ponto de equilíbrio (órbita periódica) para o sistema devido a sua descontinuidade. Para contornar este problema, aplicamos ao subsistema de potência o método de controle sugerido por Corron e colaboradores [139, 140, 141], que introduz uma nova abordagem de controle - control by simple limiters. 5.1 Controle OGY Aplicado ao SPS Imerso nos atratores caótico há um número infinito de órbitas periódicas instáveis. Conhecendo-se a localização de uma órbita periódica no espaço de estados e, conhecendo sua dinâmica local, pode-se aplicar a técnica OGY para controlar (seguir) essa órbita. Conhecendo-se com a mínima precisão necessária a localização de uma órbita instável de período-1 no espaço de estados para α cs =0.415, situação em que a dinâmica apresenta regime caótico, aplicou-se, então, o método de controle de caos OGY ao modelo-1 de SPS. A órbita de período-1 pode ser determinada aplicando-se o método de Newton. A partir de uma condição inicial adequada, iniciou-se a simulação numérica do sistema com α cs =0.415, situação em que a dinâmica apresenta regime caótico. Naturalmente, pela própria dinâmica do sistema, a trajetória do sistema passará tão próximo quanto se deseja do ponto de equilíbrio (na seção v 2 =21V ) conhecido, e neste momento, o controle

95 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 93 OGY é aplicado; sendo que a perturbação no parâmetro α cs é calculada com base no campo vetorial da topologia de chave fechada (H 0 (v 2 ) > 0) do modelo-1 de SPS. A Figura 5.1 mostra a corrente i L do subsistema em seu transitório caótico e posteriormente controlada seguindo a órbita de período 1. O fato importante é que se conseguiu manter uma corrente de regime constante em torno de 1A; nesta mesma situação, a tensão v 1 estabilizou-se em torno de 20.7V. FIGURA 5.1 Controle OGY aplicado ao Modelo-1 de SPS: a figura mostra o sistema em regime caótico seguido por regime periódico devido a ação do controle OGY. Como se sabe [65], α cs é um parâmetro que depende de fatores naturais. Controlar α cs demandaria, talvez, um sistema de cobertura do painel solar (para reduzir α cs ) e baterias auxiliares em série com o painel solar que forneceriam parte da tensão necessária para suprir a impossibilidade de aumentarmos naturalmente a luminosidade (aumentar α cs ). No entanto, esta aplicação mostra a potencialidade do uso de controle de caos para tentar buscar um melhor desempenho deste tipo de sistema.

96 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS Controle via Limitadores Aplicado ao SPS Uma nova técnica de controle de caos foi proposta por Myneni, et al. em [141] no final da década de 90. Essa técnica usa um pulso de controle de amplitude fixa e duração dependente do tempo de evolução do sistema por um volume no espaço de estados. Explicitamente, as perturbações aplicadas diretamente a variáveis do sistema (ou indiretamente, através de perturbações de parâmetros) são tais que: ξ, se x(t) W δ p = 0, caso contrario, (5.1) sendo x(t) o vetor de estados, e W é o volume específico no espaço de estados, que chamaremos janela de controle. O pulso de controle de amplitude fixa ξ é acionado quando a trajetória do sistema entra no volume de controle W, e desliga ao sair. A polaridade e amplitude de ξ são ajustados para evitar que a trajetória escape e divirja na direção da variedade instável. A intensidade da perturbação depende da amplitude ξ do pulso, que é fixa, e depende do tempo em que o pulso é aplicado, que por sua vez, é dependente do tempo de evolução do sistema pelo volume W. A intensidade do controle não deve ser maior que a intensidade de ruídos presentes no sistema uma vez que a trajetória do sistema atinja a órbita periódica instável. Assim, a fronteira do volume de controle deve ser posicionada de forma que o tempo de evolução da trajetória dentro do volume tenda a zero, uma vez que a trajetória aproxime-se da órbita periódica instável. A Figura 5.2 ilustra este cenário numa projeção do volume W no plano, ou seja, numa janela de controle.

97 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 95 Para estabilizar órbitas periódicas instáveis nos casos ideais de latência zero, largura de banda infinita, suficiente ξ; o posicionamento e a forma do volume de controle devem seguir as seguintes propriedades: (a) a intersecção de W com a órbita periódica instável deve ser vazia, (b) o tempo de excursão da trajetória dentro do volume de controle deve diminuir à medida que se aproxima da variedade instável. O volume de controle e a perturbação podem ser implementados através de um único dispositivo passivo. O controlador passa a ser, então, um simples limitador, que é ativado quando estados do sistema excedem um determinado limiar, puxando os estados novamente a níveis abaixos desse limiar. Ajustando-se o limiar, pode-se estabilizar diferentes órbitas periódicas. Em analogia ao volume de controle, o limitador forma uma parede de controle no espaço de estados. FIGURA 5.2 Janela de Controle: a figura mostra uma janela de controle W no plano. Trajetórias que entram na janela são perturbadas de forma serem atraídas para a órbita periódica instável (UPO). Esta abordagem foi chamada Controle via Simples Limitadores [139], e os autores apostam que sua implementação seja muito simples quando comparada a métodos de controle de caos mais tradicionais. O procedimento geral para implementação do método resume-se a adicionar uma carga adicional ao sistema de forma a limitar sua excursão no espaço de estados. Como resultado, estados em áreas proibidas (indesejadas) são eliminados, e o sistema modificado tende a substituir a órbita caótica por uma órbita

98 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 96 periódica; e a modificação no sistema pode ser tal que a órbita periódica controlada aproxime-se de uma órbita periódica desejada. A abordagem de controle via limitadores pode ser aplicada ao modelo-t de SPS através da adição de uma carga extra na saída do conversos DC/DC, de forma que as variáveis de saída do conversor sejam limitadas no espaço de estados. A carga extra é composta de um diodo D LIM, um resistor R D, e uma fonte de tensão controlada (bateria) V LIM.A Figura 5.3 mostra o esquemático do modelo-t modificado. O efeito da carga extra é tal que quando a tensão v no capacitor C excede um certo valor, o diodo conduz drenando parte da corrente da carga R. A diferença de tensão (v V LIM V D ) determina a condução, ou não, do diodo, sendo que V D representa a queda de tensão de barreira do diodo - quando (v V LIM V D > 0) o diodo conduz. FIGURA 5.3 Esquemático do Modelo-t Modificado de SPS: a figura mostra o esquemático do modelo-t do SPS com a carga extra composta de um diodo D LIM, um resistor R D, e uma fonte de tensão controlada (bateria) V LIM. Para analisar a efetividade do método, construiu-se o diagrama de bifurcação v V LIM do modelo-t modificado, fixando-se R D = 50Ω, V OC =46.2 e α cs =0.3; a Figura 5.4 mostra o diagrama de bifurcação. Observa-se que se variando V LIM, pode-se alterar o comportamento dinâmico do sistema; especificamente, para o valor de R D adotado, obtémse regimes caóticos e um regime de período-2 para um pequeno intervalo de valores de

99 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 97 V LIM. Para diferentes valores de RD, obtém-se diferentes cenários dinâmicos. FIGURA 5.4 Diagrama de Bifurcação do Modelo-t Modificado de SPS: diagrama de bifurcação v V LIM do modelo-t modificado, para R D = 50Ω e α cs =0.3. Observa-se que variando-se V LIM, pode-se alterar o comportamento dinâmico do sistema. Fixando-se V LIM =12V, pode-se, então, controlar o sistema de forma a estabilizar a órbita de período-2. A Figura 5.5 mostra a tensão v, oscilando numa trajetória de período-2 em torno da tensão de saída desejada de 12V. A Figura 5.6 mostra o efeito do controle na tensão de saída v 1 do painel solar, que também oscila numa trajetória de período-2 em torno da tensão de circuito aberto de V OC. Um importante aspecto a ser analisado é a corrente no limitador i D. Espera-se que a corrente i D não seja contínua, e que seu valor de pico não exceda uma porcentagem máxima da corrente de saída i. Nos trabalhos de Corron et al. [139], o valor de pico da corrente i D é usualmente menor que 0.5% do valor de pico da corrente i. Esse comportamento da corrente do limitador fornece forte evidência de que a órbita controlada é realmente uma órbita periódica instável imersa no atrator caótico do sistema original. A Figura 5.7 mostra a corrente do limitador i D ; neste caso, o valor de pico da corrente i D não excedeu 2% do valor de pico da corrente i. Apesar de esta porcentagem de 2% não ser tão pequena

100 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 98 quanto o valor sugerido em [139], a Figura 5.8 mostra que a órbita de período-2 controlada superpõe-se perfeitamente à órbita caótica do sistema sem controle, fornecendo evidência de que a órbita controlada é realmente uma órbita periódica instável imersa no atrator caótico do sistema original. FIGURA 5.5 Tensão de Saída v Controlada: série temporal da tensão de saída v 1 aplicando-se controle via limitador com V LIM =12V e RD = 50Ω. FIGURA 5.6 Tensão de Saída v 1 Controlada: série temporal da tensão de saída v 1 aplicando-se controle via limitador com V LIM =12V e RD = 50Ω.

101 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS 99 Uma possível vantagem desta abordagem na aplicação em SPS éapossibilidade do uso de baterias recarregáveis no lugar da fonte de tensão controlada V LIM. Assim, a bateria, continuamente carregada pela corrente do limitador i D, poderia ser utilizada em casos de falhas do SPS e eclipse solar. FIGURA 5.7 Corrente do Limitador: a corrente i D do limitador é descontínua e seu valor de pico não excede 2% do valor de pico da corrente de saída i. FIGURA 5.8 Órbita Período-2: órbita de período-2 controlada superposta à órbita caótica do sistema sem controle, fornecendo evidência de que a órbita controlada é realmente uma órbita periódica instável imersa no atrator caótico do sistema original.

102 CAPÍTULO 5. CONTROLE DE CAOS NO SPS Comentários Finais Neste capítulo, técnicas de controle são utilizadas com o objetivo de obter melhor performance dos subsistemas de potência de satélites. Na primeira seção, o método OGY foi aplicado ao modelo-1 de SPS mostrando-se eficiente para controlar órbitas periódicas instáveis do sistema mesmo que originalmente o método tenha sido desenvolvido para aplicação em sistemas contínuos. Em seguida, utilizou-se o método passivo de controle via limitadores no qual se adiciona uma carga extra ao sistema original de forma a limitar a excursão da trajetória no espaço de estados, estabilizando órbitas periódicas instáveis definindo-se apropriadamente os limites de excursão. Nos próximos capítulos, investiga-se o uso de sincronização com finalidade de controle em cadeias de SPS.

103 6 Controle de Sincronização Subsistemas de potência de satélites são sistemas extremamente complexos que podem conter não apenas um, mas vários conversores DC/DC interligados. Uma vez que esses conversores estejam interligados de alguma forma, é possível, e mesmo desejável - para amplificação de potência, ou mesmo para aumentar a robustez a falhas - que sob certas circunstâncias, eles sincronizem. Neste trabalho, deseja-se explorar a possibilidade de sincronização, e sincronização controlada, de cadeias de conversores e subsistemas de potência de satélites. Sincronização entre sistemas caóticos contínuos tem sido objeto de muitos estudos nas últimas décadas [77, 78, 79, 80, 81, 82, 83]. Contudo, há quase nada na literatura, a menos não de nosso conhecimento, a respeito das condições de sincronizabilidade de sistemas descontínuos, principalmente sistemas chaveados. Uma das raras contribuições éadedanca [84], que prova a sincronização de dois sistemas chaveados idênticos, de uma classe específica, acoplados linearmente, sob condições extremamente particulares. Além disso, esses trabalhos sobre sincronização têm foco na sincronização de apenas dois, ou três sistemas caóticos, e não uma cadeia deles. Quando se trata da sincronização de grandes grupos de sistemas caóticos acoplados, a abordagem de sincronização em redes complexas tem sido amplamente estudada [85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92].

104 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 102 Frente à escassez de trabalhos a respeito das condições de sincronizabilidade de sistemas descontínuos, e a extrema relevância de se considerar sistemas descontínuos interligados em rede, neste trabalho, explorar-se-ão técnicas adaptativas de sincronização de redes complexas no controle de subsistemas de potência de satélite. Mais especificamente, neste capítulo, propõe-se um nova técnica adaptativa descentralizada para sincronização de redes complexas. 6.1 Introdução ao Problema de Sincronização em Redes Complexas Nas mais diversas áreas, é grande o número de sistemas reais que podem ser modelados como redes de agentes dinâmicos interconectados. A abstração matemática de uma rede complexa é um grafo compreendendo um conjunto de nós conectados por um conjunto de links, veja Figurafig: Grafo. Tipicamente, cada agente (ou nó) da rede é um sistema dinâmico não linear comunicando-se com os demais através de um protocolo de comunicação definido nos links (interconexões) da rede. Pesquisas em diferentes áreas da ciência aplicada e da engenharia têm estudado o problema de como escolher o protocolo de comunicação entre agentes da rede, e a topologia da rede, de forma que esta tenha determinado comportamento dinâmico. Exemplos incluem rendez-vous e formação em grupos de robôs [96, 97, 98, 99], sincronização de redes de sensores [100], problemas de sincronização e consenso em teoria de controle [108], movimentos/ações coordenadas em sistemas biológicos [101, 102, 142]. Em particular, muita atenção tem sido dada ao estudo de sincronização [85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92] e consenso [108, 109, 110, 111] em redes complexas. A idéia consiste

105 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 103 em definir estratégias para regular o comportamento de grandes conjuntos de agentes interativos de forma que todos os sistemas da rede convirjam a uma mesma solução assintótica, que, em geral, é desconhecida a priori [112, 113, 114]. As primeiras tentativas para se solucionar o problema assumem acoplamento difusivo entre sistemas não lineares idênticos, com cada nó da rede sendo descrito por: ẋ i (t) =f(x i (t),t) σ j E i Γ(h(x i (t)) h(x j (t))), (6.1) com i =1, 2,..., N, x i =(x i1,x i2,..., x in ) T R n é o vetor de estados do i ésimo nó da rede; f : R n R + R n é um campo vetorial suave; σ é a única força de acoplamento global entre os nós, assumida ser constante e invariante no tempo; Γ é a chamada matriz interna, que define quais variáveis são acopladas - assumimos Γ=I n n ; E é o conjunto de links de toda a rede contendo pares de índices associados à existência, ou não, de links entre nós, i.e., (i, j) E;eE i Eé o subconjunto de links partindo do nó i. A função de acoplamento h(x), para o caso de acoplamento difusivo, é dada por h(x) =x. FIGURA 6.1 Rede Complexa A figura ilustra uma rede complexa que compreendendo um conjunto de nós conectados por um conjunto de links.

106 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 104 O problema, então, passa a ser, dada a dinâmica do nó, determinar para que valor σ = σ min, a rede sincroniza. Tal problema, denominado de sincronizabilidade, pode ser solucionado principalmente utilizando-se a abordagem da chamada Função de Estabilidade Mestra (Master Stability Function) (primeiramente introduzida em [73]), ou a abordagem de Lyapunov (veja, por exemplo, [86, 143, 108, 144, 145]); mais recentemente, Teoria da Contração, inspirada nos trabalhos do matemático russo Demidovic, fora proposta como uma alternativa viável no estudo da sincronizabilidade, veja [146, 147, 148, 149]. Em muitas redes reais, observa-se que para atingir e manter a sincronização, o protocolo de comunicação entre os nós varia no tempo, de forma que a força de acoplamento entre os nós auto-ajuste-se, alterando as condições de operação, modificando a topologia da rede, etc. Para capturar e explorar os aspectos essenciais de muitas redes biológicas, sociais e tecnológicas, estratégias adaptativas de sincronização foram propostas [150, 151, 152, 153, 144, 145]. Nelas, assume-se que a força de acoplamento σ entre os nós seja uma função variante no tempo e dependente de quantidades macroscópicas mensuráveis da rede, ou dependente de estados de um cluster local (abordagem global), ou de nós vizinhos (abordagem local) [150, 151, 152, 153, 144, 145], sem que necessariamente conheça-se a topologia da rede. Os métodos adaptativos podem convergir para um valor de σ que se situa abaixo de σ min estimado de forma offline, solução muitas vezes superestimada [150].

107 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 105 Por exemplo, a abordagem adaptativa apresentada em [150] atém-se ao uso de uma única força de acoplamento adaptativa, igual para todos os links da rede, e estimada com base em informações globais do comportamento da rede, como se segue: σ(t) =cx(t)a IX(t), (6.2) sendo c uma constante positiva, A é uma matriz irredutível de ordem N [154], I uma matriz identidade de ordem n (n é a ordem do sistema dinâmico i), e o vetor de vetores de estado X(t) =[x T 1 (t), x T 2 (t),..., x T N (t)]t. Estratégias descentralizadas são discutidas em [151] e[152]. Nestas referências diferentes forças de acoplamento adaptativas são atribuídas a cada nó ou link da rede, estimadas com base em informação local. Uma revisão unificada das abordagens adaptativas, discutindo as estratégias adaptativas conhecidas por vertex-based e edge-based, foi apresentada em [144, 145]. Nelas osciladores mutuamente acoplados negociam a força de acoplamento entre eles, utilizando-se apenas de informações locais sobre o descasamento entre suas funções de saída. Apesar da efetividade em se fazer com que todos os agentes da rede atingissem uma solução síncrona assintótica, permanecia um grande problema do ponto de vista de controle. Especificamente, tal solução comum, se existir, além de depender das forças de acoplamento (valores diferentes de forças de acoplamento resultam em diferentes variedades de sincronização), pode não ser determinada a priori, de modo a ser alguma trajetória desejada, diga-se x s. Uma possível solução para atingir tal objetivo seria adicionar uma entrada de controle realimentada em cada sistema da rede de modo a conduzir a dinâmica de cada indivíduo a uma trajetória desejada. Na prática, quando se consideram

108 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 106 grandes conjuntos de agentes formando uma rede, essa abordagem torna-se inviável, uma vez que se configura como impossível, tanto fisicamente, quanto em termos de exequividade, controlar cada um dos agentes da rede. Para solucionar o problema, a estratégia de Controle Pinning foi proposta [155, 116]. A idéia, inspirada na metodologia proposta por Grigoriev [115] para controlar EDPs, consiste em controlar ( pinar ) apenas um número relativamente pequeno de nós da rede. A ação de controle é então exercida diretamente em um subconjunto de nós da rede e propagada aos outros agentes que não sofrem ação direta de controle através dos links. O problema agora, consiste em determinar a intensidade e a forma da ação de controle a ser adicionada aos nós pinados, além de se determinar quantos, e de que tipo, devem ser os nós pinados de forma que o comportamento desejado ocorra. Tipicamente, os nós pinados são controlados por realimentação de estados, com ganhos de controle constantes [156, 157]. O problema de se determinar o número e/ou o tipo de nós da rede a serem pinados - denominado Controlabilidade Pinning - foi discutido em [158] e[159], e são apresentadas condições suficientes que impliquem assintoticamente numa solução comum desejada. Novamente, assume-se que o ganho dos controladores locais atuantes sobre os nós pinados sejam estimados de forma offline, e que normalmente um único ganho q aja sobre todos os nós pinados. A equação resultante da rede torna-se: ẋ i (t) =f(x i (t),t) σ j E i (x i (t) x j (t)) δ i q (x i x s ), para i =1,..., N. (6.3)

109 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 107 com 1, para i =1,..., N pin, δ i = 0, para i =(N pin +1),..., N. (6.4) sendo N pin o número de nós pinados, q éoganho de controle constante, e x s a solução síncrona desejada a ser atingida. A discussão, então, passa a girar em torno de como ajustar o ganho q (e a força de acoplamento σ) de modo que a solução x s seja localmente (ou globalmente) assintoticamente estável para cada oscilador da rede. Como discutido em [158] e[159], há uma delicada interdependência entre σ e q que pode ser analisada de diversas maneiras. Para evitar a necessidade de se estimar de forma offline o ganho de controle, uma estratégia adaptativa foi proposta em [117, 160, 161]. Nestes trabalhos, um único nó da rede é controlado via lei adaptativa de realimentação de estados. Escolhendo-se uma lei adaptativa apropriada para estimar um único ganho de controle q = q(t), o problema de controle da rede pode ser efetivamente solucionado dado que um valor apropriado da força de acoplamento σ, estimada de forma offline ou online, tenha sido atribuído aos links da rede. Neste capítulo, uma nova estratégia totalmente adaptativa é proposta, para a qual tanto a força de acoplamento σ, quanto o ganho de controle q, são estimados adaptativamente [162]. A idéia consiste em considerar uma estratégia descentralizada local em que nós vizinhos mutuamente acoplados negociem a força de acoplamento entre eles para atingir sincronização. Ao mesmo tempo, os nós de referência ajustam seus ganhos de controle para atuar na dinâmica dos nós da rede que são diretamente controlados (nós pinados ).

110 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO Estratégia Adaptativa Descentralizada de Controle de Sincronização Considere uma rede complexa geral de N sistemas não lineares idênticos, com acoplamento difusivo, descrita por: ẋ i (t) =f(x i (t),t) j E i σ ij (t)(x i (t) x j (t)), (6.5) sendo σ ij (t) a força de acoplamento local entre nós interligados i e j. De acordo com a estratégia de sincronização edge-based [144], a força de acoplamento local σ ij (t) entre nós interligados é adaptativamente estimada por uma função escalar variante no tempo dada por: σ ij (t) =ϕ(e c ij(t)), (i, j) E, (6.6) sendo e c ij(t) =x i (t) x j (t) um vetor (n 1) chamado erro de acoplamento. A função escalar ϕ : R n R é uma função genérica deste erro. Consideram-se duas possíveis escolhas para a função escalar ϕ. Especificamente, assume-se que ϕ pertença a uma das seguintes classes: Classe 1: ϕ(e c ij(t)) = α e c ij(t) p, 0 <p 2. (6.7) com o escalar α>0.

111 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 109 Classe 2: ϕ é uma função monotonicamente crescente do erro, tal que: 1. ϕ(0) = 0, 2. para alguma constante finita d<, 0 ϕ(e c ij(t)) d. (6.8) Para sincronizar a rede (6.5) em alguma solução desejada, diga-se x s, pina-se um subconjunto dos nós da rede utilizando-se uma lei adaptativa de realimentação de estados. Especificamente, a rede controlada é descrita por: ẋ i (t) =f(x i (t),t) j E i σ ij (t)(x i (t) x j (t)) δ i q i (t)e p i, para i =1,..., N. (6.9) sendo δ i dado pela eq. (6.4), N pin é o número de nós pinados, q i é o ganho de controle do nó i, ee p i = x i (t) x s (t) é um vetor (n 1) chamado erro de controle pinning. Observe que e c ij pode ser escrito como e c ij(t) =x i (t) x j (t) =e p i (t) ep j (t), i.e., o erro de acoplamento pode ser escrito em função do erro de controle. O vetor de estados de ordem (n 1), x s (t; t 0, x(0)) R n, com x(0) R n, é a solução de referência, que se assume ser tal que ẋ s (t) =f(x s,t), partindo-se de qualquer condição inicial arbitrária. A lei adaptativa do ganho de controle pinning é dada por: q i (t) =ϑ(e p i ), (6.10) para i =1, 2,..., N pin,eϑ é uma função pertencente a uma das duas classes previamente descritas.

112 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 110 A estratégia adaptativa de sincronização edge-based garante a sincronização da rede dada pela eq. (6.5) [144, 145], contudo, é a ação do controle pinning que garante que a rede sincronize-se com uma trajetória de referência desejada x s, de acordo com o Teorema 6.3. Definição 6.1 A Função f : R n R + R n é QUAD(Δ, ω), veja [163, 150], se, para todo x, y R n, (x y) T [f(x,t) f(y,t)] (x y) T Δ(x y) ω(x y) T (x y) sendo Δ uma matriz diagonal arbitrária de ordem n, e ω é um escalar positivo. Definição 6.2 Seja x i (t; t 0,X 0 ), i =1,..., N, solução da rede controlada (6.9), com X 0 = (x T 1 (0), x T 2 (0),..., x T N (0))T R nn. Assuma que f :Ω R + R n e q i (t)e p i :Ω... Ω R n,i=1,..., N pin, seja continuamente diferenciável, Ω R n. Se existir um conjunto não vazio Γ Ω, comx(0) Π,i =1,..., N, tal que x i (t; t 0,X 0 ) Ω,i =1,..., N, para todo t t 0,e lim t x i (t; t 0,X 0 ) x s (t; t 0, x s (0)) 2 =0, i =1,...N, (6.11) com x s (0) Ω, então, a rede controlada (6.9) é dita atingir sincronização controlada, e Π... Π é chamada região de sincronização da rede controlada (6.9) [161]. Teorema 6.3 Assumindo que f seja QUAD(Δ, ω), com Δ ωi < 0, então, a estratégia adaptativa descentralizada dada por (6.9) garante sincronização globalmente assintoticamente estável da rede com a trajetória desejada x s de acordo com a definição 6.2.

113 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 111 Para atingir a sincronização controlada, o controle q i (t)e p i deve fazer com que todos os vetores de erro de controle e p i tendam a zero à medida que o tempo t tende a infinito, ou seja: lim t e p i 2=0,i=1,..., N. (6.12) Apesar da exatidão formal, o Teorema 6.3 baseia-se em hipóteses que podem parecer difíceis de serem satisfeitas. Note que, assim como atestado em [150], muitos sistemas não lineares são QUAD e, além do mais, pode-se escolher Δ =0. Neste caso, tem-se o seguinte corolário. Corolário 6.4 Se f é QUAD(0, ω), a estratégia adaptativa descentralizada dada pela eq. (6.9) garante sincronização globalmente assintoticamente estável da rede com a trajetória desejada x s de acordo com a definição Prova do Teorema Para provar o Teorema 6.3, algumas definições adicionais são necessárias. Definição 6.5 Seja A uma matriz m-dimensional. De acordo com [154], a matriz A é dita diagonalmente dominante se m a ii a ij. (6.13) j=1,j i Lema 6.6 Seja A uma matriz Hermitiana m-dimensional diagonalmente dominante com elementos diagonais não negativos. Então, A é positiva semidefinida (PSD).

114 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 112 Prova: Pelo Teorema do Círculo de Gershgorin [154], para cada autovalor λ de A, um índice i existe tal que: λ [ a ii m j=1,j i a ij, a ii + m j=1,j i a ij ], (6.14) que implica, da Definição 6.5, emλ j 0, j =1,..., m. Definição 6.7 A matriz Laplaciana m-dimensional A de uma rede conectada indireta é uma matriz PSD simétrica irredutível, com rank(a) =m 1, definida por: A = 1, se (i, j) E, k E i a ik, se i = j, 0, caso contrario. (6.15) Lema 6.8 Assuma que A, B sejam matrizes Hermetianas (N N). Suponha que ξ 1 ξ 2 ξ N, ζ 1 ζ 2 ζ N,eτ 1 τ 2 τ N sejam os autovalores de A, B, A + B, respectivamente. Então, como provado em [164], tem-se: ξ i + ζ N τ i ξ i + ζ 1, 1 i N. (6.16)

115 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO Prova do Teorema 6.3 Baseado em [165], a prova do teorema pode ser organizada como se segue. Introduzindo uma função de Lyapunov apropriada, deve-se mostrar que 1. as várias forças de acoplamento σ ij e o ganho de controle q i são limitados, 2. V é negativo semidefinido (NSD), e zero somente quando o erro de controle é zero; assim, aplicando-se o Teorema de Krasovskii-Lasalle, o Teorema pode ser provado. Defina-se a matriz coluna (N N)-dimensional Λ =[Λ ij ] como: Λ ij = σ ij, se (i, j) E, k E i σ ik, se i = j, 0, caso contrário, (6.17) e a matriz estendida Λ E como a matrix ((N +1) (N + 1)) Λ E = Λ

116 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 114 Seja também, M a matriz ((N +1) (N + 1)) definida como se segue: M = I Npin M in , sendo I Npin uma matriz identidade (N pin N pin ),em in, uma matriz ((N N pin +1) (N N pin + 1)) PSD tipo Laplaciana de acordo com a Definição 6.7. Ainda, de acordo com a Definição 6.7, a matriz M é conseqüentemente uma matriz PSD tipo Laplaciana. Utilizando-se as definições dadas anteriormente, e omitindo-se a dependência explicita com o tempo t, a equação que define a rede controlada (6.9) pode ser reescrita como: Ẋ = F (X)+Λ E X Λ pin X, X(0) = X 0, (6.18) com X =[x T 1, x T 2,..., x T N, xt s ] T, F (X) =[f(x 1 ) T,f(x 2 ) T,..., f(x N ) T,f(x s ) T ] T,e,

117 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 115 q q 1 0 q q Λ pin = q Npin 0 0 q Npin, que é uma matriz tipo Laplaciana ((N + 1)(N +1)). A lei adaptativa da força de acoplamento embutida em Λ E é dada, com base na estratégia edge-based, como se segue: σ ij = ϕ(e c ij), σ ij (0) = σ 0 ij, (6.19) com σ 0 ij 0, {ij} E,eϕ é definida na Seção 6.2. A lei adaptativa do ganho de controle é dada por: q i = ϑ(e p i ), q i(0) = qi 0, (6.20) com q 0 i 0, i =1,..., N pin,eϑ é definida na Seção 6.2. O erro de controle pode, então, ser escrito como e = X T MX, e a sincronização é atingida se lim t e =0, i.e., see lim t e c ij =0e lim t e p i =0. Para provar isso, considera-se função de Lyapunov candidata V (X, σ, q) = 1 2 ηxt MX + 1 2γ [c σ]t [c σ]+ 1 2β [r q]t [r q],

118 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 116 sendo η, γ e β escalares positivos, r é um vetor N pin -dimensional arbitrário, c é um vetor m-dimensional arbitrário, σ = {σ i } é definido como sendo um vetor cujos elementos são todos as forças de acoplamento (i.e., σ =[σ 11 σ 12 ], m = E ), q = {q i } é definido como sendo um vetor cujos elementos são os ganhos de controle. Tem-se, então que V = ηx T M[F (X)+Λ E X Λ pin X]+ 1 γ m (c i σ i ) T σ i 1 N pin (r i q i ) T q i β = ηx T M[F (X) ΔX]+ηX T MΔX + ηx T MΛ E X ηx T MΛ pin X 1 m (c i σ i ) T σ i 1 N pin (r i q i ) T q i. γ β i=1 i=1 i=1 i=1 Uma vez que f é QUAD por assunção, pode-se afirmar que X T M[F (X) ΔX] ωx T MX, tal que, V η ωx T MX ηx T MΛ pin X + ηx T [MΔ + MΛ E ]X 1 γ N pin m (c i σ i ) T σ i 1 (r i q i ) T q i. (6.21) β i=1 i=1 A equação (6.21) pode ser escrita como, V ηx T MΛ pin X + ηx T [M(Δ ωi)+mλ E ]X 1 [c ij σ ij (t)]ϕ(x i x j ) γ E 1 (r i q i )ϑ(x i x s ):=W 1 (X, q)+w 2 (X, σ)+w 3 (X, σ)+w 4 (X, q), β P sendo P o conjunto dos nós pinados da rede. As matrizes M, Λ pin e Λ E são simétricas reais, e conseqüentemente, MΛ pin e MΛ E são ambas simétricas reais (veja [144]). Da Definição 6.5, MΛ pin e MΛ E são diagonalmente

119 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 117 dominantes (veja [144]), com nenhum elemento diagonal negativo. Do Lema 6.6 segue que MΛ pin é PSD, bem como MΛ E (i.e. MΛ E é NSD). Assim, na eq. (6.22), W 1 (X, q) < 0 e, da assunção que Δ ωi < 0, vem que [M(Δ ωi + Λ E )] < 0. Logo, tem-se que W 2 (X, σ) < 0 em (6.22). Falta ainda, analisar os termos W 3 (X, σ) e W 4 (X, q) na eq. (6.22). Caso 1: ϕ e ϑ pertencentes à classe 1. Neste caso, W 3 (X, σ) = E (ci σ i ) e c ij p e W 4 (X, q) = P (r i q i ) e p i p. As funções W 2 (X, σ) e W 3 (X, σ) na eq. (6.22) são ambas funções lineares de σ i ; similarmente, W 1 (X, q) e W 4 (X, q) são funções lineares de q i. Assim, se σ i e q i divergissem, estes termos divergiriam exponencialmente. Contudo, é possível encontrar valores para as constantes η, γ e β tal que, para todo X, σ i e q i, W 2 (X, σ) W 3 (X, σ) e W 1 (X, q) W 4 (X, q). Como W 1 (X, q) é NSD e W 2 (X, σ) é NSD, tem-se que para todo X, σ i e q i, V 0 contrariando a assunção de que σ i e q i divergem. Logo, σ i e q i são limitados, e V 0 para todo X R nn,σ i R i =1,..., m, q i R i =1,..., N pin ; e o erro de controle e = X T MX é limitado. Caso 2: ϕ e ϑ pertencentes à classe 2. Neste caso, da eq. (6.8) vem que W 3 (X, σ) 1 γ E (ci σ i )d e W 4 (X, q) P 1 (r β i q i )d. Escolhendo-se γ = β = d, vem que W 3 (X, σ) E (ci σ i ) e W 4 (X, q) P (r i q i ). Sabe-se que W 2 (X, σ) e W 1 (X, q) divergem para à medida que σ i e q i divergem para +, respectivamente. Assim, baseado nos argumentos utilizados no caso 1, conclui-se que o erro de sincronização e = X T MX é limitado.

120 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 118 Caso 3: ϕ e ϑ pertencentes a classes diferentes. Nos casos anteriores, tem-se que, para valores apropriados de η, γ e β, o erro de controle e = X T MX é limitado. Isto vale mesmo quando ϕ e ϑ pertencem a diferentes classes. Assuma, sem perda de generalidade, que ϕ pertença à classe 1 e ϑ pertença à classe 2. Neste caso, escolhendo-se β = d, vem que W 4 (X, q) P (r i q i ), e com a escolha apropriada de η pode-se garantir que W 1 (X, q) W 4 (X, q). Ainda, com a escolha apropriada de γ, pode-se garantir que W 2 (X, σ) W 3 (X, σ). Logo, baseado nos argumentos utilizados no caso 1, conclui-se que o erro de sincronização e = X T MX é limitado. O mesmo é valido quando ϕ pertence à classe 2 e ϑ pertence à classe 1. Agora, observando-se que em todos os casos, o lado direito da equação (6.22) é zero see e p i =0, então, o Teorema de Krasovskii-Lasalle fecha a prova do Teorema 6.3. Observação 6.9 Note que os argumentos apresentados nesta seção para provar que V 0 são válidos para qualquer conjunto P, incluindo o caso P =1, i.e., o caso em que há apenas um nó pinado. Observação 6.10 A prova do Teorema 6.3 acima, é valida sob a assunção de que o campo vetorial dos sistemas da rede são QUAD(Δ, ω) comδ ωi < 0. No caso em que Δ =0, a prova é automaticamente verificada para qualquer valor positivo de ω; provando assim, do Corolário 6.4.

121 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO Extensão para Campos Vetoriais Lipschitz Nesta seção, prova-se que, com a escolha apropriada das leis adaptativas ϕ e ϑ, pode-se abdicar da hipótese QUAD e requerer que o campo vetorial que descreve a dinâmica dos nós da rede seja simplesmente Lipschitz, com constante μ. Note que - como mostrado no Apêndice - isso implica em que f seja QUAD(Δ,ω) com Δ ωi > μi, e assim, o Teorema 6.3 não se aplica dado que em geral, μ 0. (Para uma extensa discussão da relação entre QUAD e Lipschitz, veja [166]). Especificamente, pode-se provar o seguinte teorema. Teorema 6.11 Assuma que f(x i (t),t)=gx i + h(x i (t),t), para uma certa matriz constante G, e função não linear h : R n R R n. Suponha que h(x i,t) seja Lipschitz e contínua, i.e., que existe uma constante de Lipschitz μ satisfazendo h(x i,t) h(x s,t) 2 μ e p i 2 para 1 i N. Então, a solução síncrona x s (t) da rede controlada (6.9) é globalmente assintoticamente estável (GAS) sob a ação das leis adaptativas da força de acoplamento e do ganho de controle da forma σ ij = α x i x j 2, σ ij (0) = σ 0 ij, (6.22) com σ 0 ij 0, {ij} E,e q i = κ x i x s 2, q i (0) = qi 0, (6.23) com q 0 i 0.

122 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO Prova do Teorema segue: Note que o sistema (6.9) pode ser reescrito em termos do erro de controle e p como se ė p i (t) =Gep i (t)+h(x i(t),t) h(x s (t),t) j E i σ ij (t)(e p i (t) ep j (t)) δ iq i (t)e p i, para i =1,..., N. (6.24) com δ i dado pela eq. (6.4). Ainda, como G é uma matriz constante, então, G ρ para algum escalar positivo ρ. Considere a função de Lyapunov candidata: V (e p i,σ,q) = 1 2 N i=1 e pt i e p i + 1 2γ [σ ij σ ij ] [q i q i ] 2, 2β E,j>i P com q i, σ ij, γ e β escalares positivos arbitrários. Agora, escolhendo-se q i >ρ+ μ, i =1,..., N pin, β = κ, eγ = α, tem-se, V = N i=1 N pin ( ) e p T G + G T i e p i 2 + h(x i,t) h(x s,t) N σ ij e pt i (e p i ep j ) i=1 j E i q i e p i 2 + [σ ij σ ij ] e p i ep j 2 + [q i q i ] e p i 2 := i=1 E,j>i P T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 (6.25)

123 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 121 Note que, N T 2 := (e p i ep j )T σ ij (e p i ep j )= i=1 j E i σ ij e p i T (e p i ep j )= E,j>i = E,j>i σ ij e p i ep j 2. (6.26) Além disso, somando-se T 2 a T 4 vem T 2 + T 4 = σ ij e p i ep j 2 = 1 2 E,j>i σ ij e p i ep j 2 =+ 1 2 E N N Λ ij e pt i e p j. i=1 i=1 Note ainda que T 5 = P [q i q i ] e p i 2 = N pin i=1 [q i q i ] e p i 2. Somando-se T 3 a T 5 vem T 3 + T 5 = N pin i=1 q i e p i 2 = N pin i=1 q ie p i T e p i. Finalmente, tem-se: V = N i=1 ( ) e p T G + G T i e p i 2 + h(x i,t) h(x s,t) N i=1 N i=1 N pin Λ ij e pt i e p j q i e pt i e p i i=1 e pt [(ρ + μ)i N Λ Q]e p, (6.27) sendo Q = diag{ q 1, q 2,..., q Npin, 0,..., 0} uma matriz diagonal N-dimensional, e =( e p 1 e p 2... e p N )T,e Λ éumλ arbitrário definido pela matriz (6.17) com valores constantes. Assuma que ˆλ 1 ˆλ 2 ˆλ N sejam os autovalores da matriz ( 1 2 Λ Q). De acordo com o Lema 6.8, umavezque0= λ 1 λ 2 λ N são os autovalores de 1 2 Λ, tem-se q i + λ N ˆλ i q i, 1 i N pin, λ N ˆλ i 0, (N pin +1) i N, (6.28)

124 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 122 e q i + λ i ˆλ i λ i, 1 i N. (6.29) Agora, sendo ( 1 2 Λ Q) uma matriz simétrica real, existe uma matriz ortogonal P satisfazendo ( 1 2 Λ Q) =P T diag{ˆλ 1, ˆλ 2,..., ˆλ N }P. Logo, da eq. (6.27), tem-se: V (Pe) T R(Pe), (6.30) com R = diag{(ρ+μ q 1 ), (ρ+μ q 2 + λ 2 ),..., (ρ+μ q Npin + λ Npin ), (ρ+μ+ λ Npin +1),..., (ρ+ μ + λ N )}. De acordo com a assunção q i >ρ+ μ, tem-se ρ + μ q i + λ i < 0, i =1,..., N pin. além disso, pode-se escolher λ i arbitrário tal que λ i >ρ+ μ, i =(N pin +1),..., N. Logo, R é uma matriz negativa definida. Assim, Pe 0 à medida que t. Uma vez que P é uma matriz ortogonal, o vetor de erro e p 0 à medida que t, ou seja, a solução síncrona x s (t) da rede controlada é GAS sob a ação da estratégia adaptativa descentralizada Estabilidade Local Finalmente, investiga-se a estabilidade assintótica local da solução síncrona desejada, no caso em que a dinâmica dos nós é descrita por um campo vetorial f genérico, cujo Jacobiano sob a solução de referência x s tenha norma limitada. Especificamente, prova-se o seguinte teorema:

125 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 123 Teorema 6.12 Suponha que Df(x s ) seja limitado, sendo Df(x s ) o Jacobiano de f(x i (t),t) calculado em x i = x s, ou seja, existe uma constante não negativa ν satisfazendo Df(x s ) ν. Então, a solução síncrona x s (t) da rede controlada (6.9) é localmente assintoticamente estável (LAS) Prova Pode-se reescrever o sistema (6.9) em termos do erro de controle e p como se segue: ė p i (t) =Df(x s)e p i (t) j E i σ ij (t)(e p i (t) ep j (t)) δ iq i (t)e p i, for i =1,..., N. (6.31) com δ i dado pela eq. (6.4). Considerando a função de Lyapunov candidata (6.25) com q i >ν, i =1,..., N pin, β = κ, eγ = α, tem-se, V = N ( ) N N e p T Df(xs )+Df(x s ) i e p i 2 σ ij e pt i (e p i ep j ) pin q i e p i 2 + i=1 i=1 j E i i=1 + [σ ij σ ij ] e p i ep j 2 + [q i q i ] e p i 2 E,j>i P e pt [νi N Λ Q]e p. (6.32) Como q i >ν, tem-se ν q i + λ i < 0, i =1,..., N pin, escolhe-se λ i tal que λ i >ν, i= (N pin +1),..., N, e o restante da prova do Teorema 6.12 segue os mesmos passo da prova do Teorema Assim, a solução síncrona x s (t) da rede controlada é LAS sob a ação da estratégia adaptativa descentralizada.

126 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 124 Observação 6.13 Assim como no caso do Teorema 6.3. Os argumentos apresentados nesta seção para provar que V <0 são válidos para qualquer conjunto P, incluindo o caso P = Comentários Finais Neste capítulo, foi discutida uma nova abordagem de controle de redes complexas de agentes dinâmicos não lineares que tem como objetivo fazer com que os agentes da rede evoluam em sincronia, seguindo assim uma solução assintótica desejada. Em contraste com estratégias presentes na literatura, a estratégia aqui apresentada resulta da ação combinada de duas estratégias adaptativas descentralizadas, uma para a força de acoplamento entre os nós da rede, e outra regulando a evolução dinâmica do ganho de controle ao longo do tempo. A idéia consiste em atingir uma solução desejada controlando-se apenas um subconjunto dos nós da rede via realimentação de estados, enquanto os demais nós adaptam suas forças de acoplamento mutuamente. Utilizando-se a abordagem de Lyapunov, provou-se a estabilidade global assintótica da solução síncrona desejada quando o campo vetorial descrevendo a dinâmica de cada agente da rede é QUAD(Δ,ω) ou Lipschitz. Ao mesmo tempo, mostra-se que as forças de acoplamento e os ganhos de controle são limitados. Esses teoremas serão validados no próximo capítulo através da simulação de representativos exemplos, mostrando o efeito do método de controle adaptativo proposto. Além disso, apesar de os teoremas serem válidos quando o campo vetorial dos sistemas da rede são contínuos, no próximo capítulo, estes métodos serão explorados na sincronização de cadeias de circuitos chaveados buck, e cadeias de SPS.

127 CAPÍTULO 6. CONTROLE DE SINCRONIZAÇÃO 125 Muitos problemas de controle de redes complexas continuam abertos. Em particular, deseja-se estender a teoria de controle pinning para o caso em que a dinâmica da referência seja qualquer uma que se deseje, e não meramente uma réplica dos demais nós da rede.

128 7 Aplicação dos Métodos de Sincronização Neste capítulo, diversos exemplos são utilizados para ilustrar a efetividade dos métodos de controle e sincronização propostos no capítulo 6. Na Seção 7.1, ilustra-se a ocorrência de sincronização em redes complexas de diferentes sistemas dinâmicos, incluindo circuitos chaveados, utilizando os métodos de sincronização apresentados no capítulo 6. Na Seção 7.2, ilustra-se a aplicação da técnica de Pinning Control no controle das redes complexas apresentadas no capítulo 6. Finalmente, na Seção 7.3, ilustra-se a aplicação da técnica de Pinning Control, associada a técnicas de controle de caos, no controle de redes complexas. As simulações aqui apresentadas são resultado de simulações numéricas, utilizandose Simulink/Matlab, pois este permite emular redes complexas integrando-se diferentes condições iniciais simultaneamente.

129 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Sincronização de Redes Complexas Nesta Seção, utilizamos os métodos de sincronização apresentados no capítulo 6 para ilustrar a ocorrência de sincronização em redes complexas de diferentes sistemas dinâmicos. Primeiramente, ilustra-se a ocorrência de sincronização numa rede complexa de osciladores de Chua utilizando-se três diferentes estratégias de sincronização de redes complexas: acoplamento de valor fixo, acoplamento adaptativo centralizado, e acoplamento adaptativo descentralizado. Na sequência, ilustra-se a ocorrência de sincronização numa rede complexa de osciladores de Lü [162], uma variação do oscilador de Lorenz, utilizando acoplamento adaptativo descentralizado. Finalmente, ilustra-se a ocorrência de sincronização numa rede complexa de conversores DC/DC tipo Buck, e numa rede complexa de subsistemas de potência de satélites, utilizando acoplamento adaptativo descentralizado Exemplo 1: Sincronização em Rede de Osciladores de Chua Como primeiro exemplo representativo, considera-se uma rede complexa formada por 100 osciladores de Chua idênticos. Este é um problema teste recorrentemente utilizado na literatura sobre sincronização em redes complexas de osciladores caóticos [145]. Especificamente, considere uma rede complexa na forma da equação (6.1), consistindo de 100

130 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 128 osciladores de Chua idênticos, definidos como se segue: ẋ i = 0 c c 2 0 x i1 x i2 x i3 + c 1 v(x i ) 0 0, (7.1) para i =1,..., 100, c 1 =0.59/0.12, c 2 =0.59/0.162, ev(x i )=m 0 x i (m 1 m 0 )( p + 1 p 1 ), com m 0 = 0.07,m 1 =1.5, parâmetros para os quais o oscilador de Chua exibe comportamento caótico [145]. A topologia da rede é construída seguindo uma distribuição do tipo Scale-free, utilizandose o modelo BA proposto em [167]. Esta topologia de rede será mantida nos diversos exemplos apresentados neste capítulo - vale ressaltar que nosso abjetivo é validar a estratégia de controle de sincronização proposta no Capítulo 6, e sua aplicabilidade no caso de sistemas descontínuos; e não apresentar uma discussão mais completa a respeito de controle de sincronização em redes complexas, nas suas mais diversas topologias (scalefree, small-world, randon). As condições iniciais dos nós da rede são randomicamente selecionadas à partir de uma distribuição normal com média 4 e desvio padrão Sincronização Utilizando Força de Acoplamento de Valor Fixo Primeiramente, fixamos o valor de σ ij σ min, ij, i.e., valor mínimo da força de acoplamento que garante a sincronização da rede complexa, cuja estimativa é obtida de acordo com [168]. A desvantagem deste método reside no fato de a força de acoplamento ser estimada de forma de forma offline, requerendo conhecimento da topologia da rede, além de o valor mínimo ser sobrestimado [117].

131 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 129 A Figura 7.1 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100, eσ ij = σ =4, ij. Pode-se observar que o erro de sincronização e s i 0 à medida que t, i.e., a rede sincroniza-se. A Figura 7.2 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única. FIGURA 7.1 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento de Valor Fixo - Exemplo 1: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1, 2, 3. de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Chua. FIGURA 7.2 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento de Valor Fixo - Exemplo 1: A figura mostra a evolução dos estados x s in, n =1, 2, 3., de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Chua.

132 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Sincronização Utilizando Força de Acoplamento Adaptativa Centralizada Pode-se ainda obter a sincronização da mesma rede de osciladores ajustando-se o valor da força de acoplamento adaptativamente até que este atinja um valor que garanta a sincronização da rede. Como dito no Capítulo 6, o método adaptativo elimina a necessidade de conhecimento da topologia da rede e resulta em valores menores da força de acoplamento. Contudo, requer acesso aos estados de todos os nós da rede. A lei de adaptação utilizada é dada pela equação (6.2), com condição inicial σ(0) = 0, e α =0.1. O número de links da rede utilizada é ε = 720. A Figura 7.3 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100, eσ ij = σ, ij. Pode-se observar que o erro de sincronização e s i 0 à medida que t, i.e., a rede sincroniza-se. A Figura 7.4 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única. A Figura 7.5 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ entre os nós da rede - observe que a força de acoplamento converge para um valor constante.

133 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 131 FIGURA 7.3 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativo Centralizada - Exemplo 1: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1, 2, 3. de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Chua. FIGURA 7.4 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativo Centralizada - Exemplo 1: A figura mostra a evolução dos estados x s in, n =1, 2, 3., de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Chua.

134 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 132 FIGURA 7.5 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Centralizada - Exemplo 1: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ da rede complexa de osciladores de Chua, estimada adaptativamente segundo eq. (6.2) Sincronização Utilizando Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada A sincronização da mesma rede de osciladores de Chua é atingida ajustando-se localmente o valor das forças de acoplamento adaptativas até que estas atinjam valores que garantam a sincronização da rede. Como dito no capítulo 6, a vantagem do método descentralizado é o fato de que as forças de acoplamento necessárias para que a rede sincronize são negociadas localmente, resultando numa redução do custo de acoplamento para sincronização da rede (6.1). A lei de adaptação utilizada é dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0) = 0, α =0.1, ep =1. A Figura 7.6 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de sincronização e s i 0 à medida que t, i.e., a rede sincroniza-se. A Figura 7.7 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede

135 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única. A Figura 7.8 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. FIGURA 7.6 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 1: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1, 2, 3. de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Chua. FIGURA 7.7 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 1: A figura mostra a evolução dos estados x s in, n =1, 2, 3., de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Chua.

136 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 134 FIGURA 7.8 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 1: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij da rede complexa de osciladores de Chua,estimada adaptativamente segundo eq. (6.19) Exemplo 2: Sincronização em Rede de Osciladores de Lü Como segundo exemplo representativo, considera-se uma rede complexa formada por 100 osciladores de Lü idênticos. Este exemplo será importante quando ilustrarmos o controle Pinning de redes complexas. Especificamente, considere uma rede complexa na forma da equação (6.1), consistindo de 100 osciladores de Lü idênticos, definidos como se segue: ẋ i = r 1 r r 3 0 x i1 x i2 + 0 x i1 x i3, (7.2) 0 0 r 2 x i3 x i1 x i2 para i =1,..., 100, r 1 =36, r 2 =3, r 3 =20, parâmetros para os quais o oscilador de Lü exibe comportamento caótico [162]. A topologia da rede é a mesma utilizada no Exemplo As condições iniciais dos nós da rede são randomicamente selecionadas à partir de uma distribuição normal com

137 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 135 média 0 e desvio padrão 4. Ilustraremos que a rede de osciladores de Lü pode atingir a sincronização ajustandose localmente o valor das forças de acoplamento adaptativamente até que estas atinjam valores que garantam a sincronização da rede. A lei de adaptação utilizada é dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0) = 0, α =0.1, ep =1. A Figura 7.9 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de sincronização e s i 0 à medida que t, i.e., a rede sincroniza-se. A Figura 7.10 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única. A Figura 7.11 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. FIGURA 7.9 Erro de Sincronização numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 2: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1, 2, 3. de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Lü.

138 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 136 FIGURA 7.10 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 2: A figura mostra a evolução dos estados x s in, n =1, 2, 3., de cada nó i, i =1,..., 100, da rede complexa de osciladores de Lü. FIGURA 7.11 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 2: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij da rede complexa de osciladores de Lü, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19).

139 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Exemplo 3: Sincronização em Rede de Conversores Buck Neste exemplo, investigamos a eficácia de nosso método em levar à sincronização uma rede complexa de conversores buck (2.7) em dois cenários diferentes: utilizando-se acoplamento fraco, com valor fixo e igual para todos os links; e utilizando-se acoplamento adaptativo descentralizado. A sincronização de sistemas descontínuos já foi reportada na literatura [84]. Contudo, as técnicas de sincronização em redes complexas presentes na literatura limitam-se a sistemas contínuos [85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92]. As técnicas de acoplamento adaptativo mostraram-se efetivas quando aplicadas a pequenas redes de conversores buck. Considera-se que o acoplamento seja feito através de capacitores C ij conectados entre as saídas de dois conversores i e j. Neste caso, os nós da rede não são completamente acoplados, i.e., por todas as variáveis de estado, mas apenas pela tensão de saída v. Além disso, a função de acoplamento h(x) é dada por: h(x i )=[ x i1 C i x i2 C i R i ;0], (7.3) para i =1,..., N, ex i1, x i2, C i, R i são, respectivamente, a corrente no indutor L Bi do conversor buck i, a tensão de saída, a capacitância na saída, e a resistência na saída do conversor buck i. A força de acoplamento σ ij é dada por: σ ij = C j C ij C i C j + C i C ij + C j C ij, (7.4) sendo que C i e C j são as capacitâncias de saída dos conversores i e j, respectivamente.

140 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 138 Assim, pode-se estimar os valores σ ij capazes de sincronizar a rede adaptativamente e, munido do valor estimado, calcular o valor da capacitância C ij. A rede consiste numa cadeia de 7 conversores buck com condições iniciais de x i2 (0) randomicamente selecionadas à partir de uma distribuição normal com média 10 e desvio padrão 3, sendo que x i1 (0) = x i2 (0)/R i, com i =1,..., 7. Supõe-se que todos os conversores sejam idênticos, com R = 22Ω, C =47μF,eL B =20mH, e tensão de entrada constante E =33V, parâmetros para os quais o conversor buck exibe comportamento caótico [16] Acoplamento Fraco, com Valor Fixo e Igual para Todos os Links Primeiramente, vejamos o que acontece quando a conexão entre os conversores é feita utilizando-se um capacitor de baixa capacitância. A Figura 7.12 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 7, eσ ij = σ =0.1, ij. Pode-se observar que o erro de sincronização não vai a zero. A Figura 7.13 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó não converge para uma trajetória única. Neste caso, claramente a rede não se sincroniza Sincronização Utilizando Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada Agora, considere que a força de acoplamento seja estimada adaptativamente segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0)=0, α =0.1, e p =1.

141 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 139 x Erro de Sincronização es e v s e i s tempo (s) FIGURA 7.12 Erro de Sincronização numa Rede de Conversores Buck com Fraco Acoplamento - Exemplo 3: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1, 2. de cada nó i, i =1,..., 3. da rede complexa de conversores buck. FIGURA 7.13 Evolução dos Estados numa Rede de Conversores Buck com Fraco Acoplamento - Exemplo 3: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1, 2., de cada nó i, i =1,..., 7. da rede complexa de conversores buck. A Figura 7.14 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 7. Pode-se observar que o erro de sincronização e s i 0 à medida que t, i.e., a rede sincroniza-se. A Figura 7.15 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única. A Figura 7.16 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os

142 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 140 nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. Pode-se concluir que para valores adequados de capacitância de acoplamento, uma rede de conversores buck idênticos e interligados em cadeia, pode sincroniza. 0.5 x Erro de Sincronização es e v s e i s tempo (s) FIGURA 7.14 Erro de Sincronização numa Rede de Conversores Buck com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 3: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1, 2. de cada nó i, i =1,..., 7. da rede complexa de conversores buck. FIGURA 7.15 Evolução dos Estados numa Rede de Conversores Buck com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 3: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1, 2., de cada nó i, i =1,..., 7. da rede complexa de conversores buck.

143 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 141 FIGURA 7.16 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de Conversores Buck com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 3: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij da rede complexa de conversores buck, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19) Exemplo 4: Sincronização em Rede de Subsistemas de Potência de Satélites Neste exemplo, investigamos a ocorrência de sincronização numa rede complexa de subsistemas de potência de satélite do modelo (2.9) utilizando-se acoplamento adaptativo descentralizado. Considera-se novamente que o acoplamento é feito através de capacitores C ij conectados entre as saídas de dois conversores i e j. Assim como na rede de conversores buck, aqui, os nós da rede não são completamente acoplados, i.e., por todas as variáveis de estado, mas apenas pela tensão de saída v. Além disso, a função de acoplamento é dada por: h(x i ) = [0; 0; 0; x i4 C i x i5 C i R i ;0], (7.5) para i =1,..., N, ex i4, x i5, C i, R i são, respectivamente, a corrente no indutor, a tensão

144 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 142 v de saída, a capacitância na saída, e a resistência na saída do i ésimo conversor buck. A rede consiste numa cadeia de 7 subsistemas de potência de satélites com condições iniciais de x i5 (0) randomicamente selecionadas a partir de uma distribuição normal com média 12 e desvio padrão 3, sendo que x i4 (0) = x i5 (0)/R i ; a tensão de saída da célula solar x i1 tem condição inicial randomicamente selecionadas a partir de uma distribuição normal com média 39 e desvio padrão 2, a condição inicial da tensão de saída do filtro é dada por x i3 (0) = x i1 (0) (R/(R + R s ); e a condição inicial da corrente no indutor do filtro é dada por x i2 (0) = (x i1 (0) x i3 (0))/R s, com i =1,..., 7. Supõe-se que todos os subsistemas sejam idênticos, com α cs =0.5, I SC =4A, V OC = 42V, p =33, L = 250μH, C 1 = 120μF, C 2 = 250μF, R s =0.2Ω, R = 22Ω, C =47μF, e L B =20mH, parâmetros para os quais o subsistema de potência exibe comportamento caótico. Considera-se que a força de acoplamento seja estimada adaptativamente segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0) = 0, α =0.1, ep =1. A Figura 7.17 mostra a evolução do erro de sincronização e s i de cada nó i da rede, com i =1,..., 7. Pode-se observar que o erro de sincronização e s i 0 à medida que t, i.e., a rede sincroniza-se. A Figura 7.18 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única. A Figura 7.19 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. Pode-se concluir que para valores adequados de capacitância de acoplamento, uma rede de SPS idênticos e interligados em cadeia, pode sincronizar.

145 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 143 FIGURA 7.17 Erro de Sincronização numa Rede de SPS com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 4: A figura mostra a evolução do erro de sincronização e s in associado a cada estado n, n =1,..., 5. de cada nó i, i =1,..., 7. da rede de SPS. FIGURA 7.18 Evolução dos Estados numa Rede de SPS com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 4: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 5., de cada nó i, i =1,..., 7. da rede de SPS.

146 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 144 FIGURA 7.19 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede de SPS com Força de Acoplamento Adaptativa Descentralizada - Exemplo 4: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19), numa rede de SPS. 7.2 Controle Pinning de Redes Complexas Nesta seção, ilustra-se a aplicação de controle pinning em redes complexas de diferentes sistemas dinâmicos, utilizando os métodos de controle pinning apresentados no Capítulo 6. Primeiramente, ilustra-se a aplicação de controle pinning numa rede complexa de osciladores de Chua utilizando três diferentes estratégias de controle: com força de acoplamento e ganho de controle de valores fixos centralizados, com força de acoplamento fixa centralizada e ganho de controle adaptativo, e totalmente adaptativo descentralizado. Este último, servirá como exemplo de validação do Teorema 6.3. Na sequência, ilustra-se a aplicação de controle pinning totalmente adaptativo numa rede complexa de osciladores de Lü [161] a fim de validar o Teorema Finalmente, ilustra-se a aplicação de controle pinning totalmente adaptativo numa

147 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 145 rede complexa de conversores DC/DC tipo Buck, e numa rede complexa de subsistemas de potência de satélites Exemplo 5: Controle Pinning em Rede de Osciladores de Chua Neste exemplo, utiliza-se a mesma rede de osciladores de Chua descrita na Seção O sistema de referência é idêntico a cada um dos osciladores de Chua da rede, com condição inicial x s (0) = [4 4 4] T. O número mínimo de nós que devem ser pinados a fim de controlar a rede depende de sua topologia e da força de acoplamento entre os nós. Nos exemplos de acoplamento fixo, consideramos, contudo, um valor de σ ij σ min, ij, i.e., valor mínimo da força de acoplamento que garante a sincronização da rede complexa, cuja estimativa é obtida de acordo com [161]. Assim, de acordo com [117], basta pinar um único nó, escolhido aleatoriamente, a fim de controlar a rede Controle Pinning Utilizando Força de Acoplamento e Ganho de Controle de Valores Fixos Adotamos força de acoplamento σ ij = σ =4, ij, e ganho de controle q q mim, i.e., valor mínimo do ganho do controle que garante o controle da rede complexa, cuja estimativa é obtida de acordo com [162]. Adotamos q =10, para a rede de osciladores de Chua. Como dito no Capítulo 6, a desvantagem deste método é que o valor de q mim é superestimado [117]. A Figura 7.20 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com

148 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 146 i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., segue a referência x s. A Figura 7.21 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única, que neste caso, é a trajetória da referência x s. FIGURA 7.20 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle de Valores Fixos - Exemplo 5: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 3. de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Chua controlada, com força de acoplamento e ganho de controle fixos. FIGURA 7.21 Evolução dos Estados numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle de Valores Fixos - Exemplo 5: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 3., de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Chua controlada, com força de acoplamento e ganho de controle fixos.

149 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Controle Pinning Utilizando Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo Pode-se estimar o valor do ganho de controle adaptativamente, segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.20), com condição inicial q(0) = 0, α = 0.1, e p = 2. Mantemos a força de acoplamento σ ij = σ =4, ij, A Figura 7.22 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., a rede segue a referência x s. A Figura 7.23 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única, que neste caso, é a trajetória da referência x s. A Figura 7.24 mostra a evolução do ganho de controle q - observe que este converge para um valor constante. FIGURA 7.22 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo - Exemplo 5: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 3. de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Chua controlada, com força de acoplamento fixa e ganho de controle adaptativo.

150 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 148 FIGURA 7.23 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo - Exemplo 5: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 3., de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Chua controlada, com força de acoplamento fixa e ganho de controle adaptativo. FIGURA 7.24 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento Fixa e Ganho de Controle Adaptativo - Exemplo 4: A figura mostra a evolução do ganho de controle q, estimado adaptativamente segundo eq. (6.20), numa rede controlada de osciladores de Chua.

151 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Controle Pinning Utilizando Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos Pode-se ainda combinar o método adaptativo para estimar o ganho de controle com o acoplamento adaptativo descentralizado da rede complexa, resultando num método de controle pinning totalmente adaptativo e descentralizado. Considera-se que a força de acoplamento seja estimada adaptativamente segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0)=0, α =0.1, e p =1; enquanto o valor do ganho de controle é estimado adaptativamente, segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.20), com condição inicial q(0) = 0, α =0.1, ep =2. Este exemplo é adotado como teste de validação do Teorema 6.3. Como apresentado em [145], oscilador de Chua é QUAD com Δ =0. Desta forma, de acordo com o Teorema 6.3, o método de controle pinning totalmente adaptativo e descentralizado garante o controle da rede complexa de osciladores de Chua. A Figura 7.25 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., a rede segue a referência x s. A Figura 7.26 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única, que neste caso, é a trajetória da referência x s. A Figura 7.27 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. A Figura 7.28 mostra a evolução do ganho de controle q - observe que este converge para um valor constante.

152 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Erro "Pinning" e i p e i1 p e i2 p e i3 p tempo (s) FIGURA 7.25 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 5: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 3. de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Chua controlada, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos. FIGURA 7.26 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 5: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 3., de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Chua controlada, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos.

153 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO σ ij σ ij tempo (s) FIGURA 7.27 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 5: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19), numa rede controlada de osciladores de Chua. 0.8 q q tempo (s) FIGURA 7.28 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Osciladores de Chua com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 5: A figura mostra a evolução dao ganho de controle q, estimado adaptativamente segundo eq. (6.20), numa rede controlada de osciladores de Chua.

154 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Exemplo 6: Controle Pinning em Rede de Osciladores de Lü Neste exemplo, utiliza-se o mesma rede de osciladores de Lü descrita na Seção O sistema de referência é idêntico a cada um dos osciladores de Lü da rede, com condição inicial x s (0) = [4 5 6] T. Considera-se que a força de acoplamento seja estimada adaptativamente segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.22), com condição inicial σ ij (0)=0, α =0.1, e p =2; enquanto o valor do ganho de controle é estimado adaptativamente, segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.23), com condição inicial q(0) = 0, α =0.1, ep =2. Este exemplo é adotado como teste de validação do Teorema Como fora reportado em [161], o oscilador de Lü, como os parâmetros apresentados na Seção 7.1.2, é Lipschitz, com constante de Lipschitz μ Desta forma, de acordo com o Teorema 6.11, o método de controle pinning totalmente adaptativo e descentralizado garante o controle da rede complexa de osciladores de Lü. A Figura 7.29 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., a segue a referência x s. A Figura 7.30 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única, que neste caso, é a trajetória da referência x s. A Figura 7.31 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. A Figura 7.32 mostra a evolução do ganho de controle q - observe que este converge para um valor constante.

155 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 153 FIGURA 7.29 Erro de Controle numa Rede de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 6: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 3. de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Lü controlada, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos. FIGURA 7.30 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 6: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 3., de cada nó i, i =1,..., 100. da rede de osciladores de Lü controlada, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos.

156 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 154 FIGURA 7.31 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Osciladores de Lü com Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 6: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij, estimada adaptativamente segundo eq. (6.22), numa rede controlada de osciladores de Lü. FIGURA 7.32 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Osciladores de Lü Força de Acoplamento e Ganho de Controle Adaptativos - Exemplo 6: A figura mostra a evolução do ganho de controle q, estimado adaptativamente segundo eq. (6.23), numa rede controlada de osciladores de Lü Exemplo 7: Controle Pinning em Rede de Conversores Buck Neste exemplo, investigamos a aplicação do controle pinning totalmente adaptativo e descentralizado na rede complexa de conversores buck apresentada na Seção Considera-se que a força de acoplamento seja estimada adaptativamente segundo a

157 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 155 lei de adaptação dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0)=0, α =0.1, e p =1; enquanto o valor do ganho de controle é estimado adaptativamente, segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.20), com condição inicial q(0) = 0, α =0.1, ep =2. Considera-se novamente que o acoplamento seja feito através de capacitores C ij conectados entre as saídas de dois conversores i e j. Novamente, a função de acoplamento é dada por (7.3). O sistema de referência é idêntico a cada um dos conversores Buck da rede, mas com condição inicial x s (0) = [0.4 12] T. Considera-se que a referência seja acoplada ao nó pinado também através de um capacitor C is, mas que a tensão de saída da referência seja bufferizada, de modo que o nó pinado não influencie na dinâmica da referência. O ganho de controle q é dada por: q = C s C is C i C s + C i C is + C s C is, (7.6) sendo que C i e C s são as capacitâncias na saída dos conversores i e de referência, respectivamente. Assim, pode-se estimar q capaz de controlar a rede adaptativamente e, munido do valor estimado, calcular o valor da capacitância C is. A Figura 7.33 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com i =1,..., 7. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., a rede segue a referência x s. A Figura 7.34 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única (em preto), que neste caso, é a trajetória da referência x s. A Figura 7.35 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes

158 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 156 convergem para valores constantes. A Figura 7.36 mostra a evolução do ganho de controle q - observe que este converge para um valor constante Erro "Pinning" e p 5000 e v p e i p FIGURA 7.33 Erro de Controle numa Rede de Conversores Buck - Exemplo 7: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 2. de cada nó i, i =1,..., 7. da rede controlada de conversores Buck, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos. FIGURA 7.34 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de Conversores Buck - Exemplo 7: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 2., de cada nó i, i =1,..., 7. da rede controlada de conversores Buck, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos. Em preto, vê-se a evolução dos estados x s da referência.

159 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 157 FIGURA 7.35 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de Conversores Buck - Exemplo 7: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19), numa rede controlada de conversores Buck. FIGURA 7.36 Evolução do Ganho de Controle numa Rede de Conversores Buck - Exemplo 7: A figura mostra a evolução do ganho de controle q, estimado adaptativamente segundo eq. (6.20), numa rede controlada de conversores Buck.

160 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO Exemplo 8: Controle Pinning em Rede de Subsistemas de Potência de Satélites Neste exemplo, investigamos a aplicação do controle pinning totalmente adaptativo e descentralizado na rede complexa de SPS apresentada na Seção Considera-se que a força de acoplamento seja estimada adaptativamente segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.19), com condição inicial σ ij (0)=0, α =0.1, e p =1; enquanto o valor do ganho de controle é estimado adaptativamente, segundo a lei de adaptação dada pela equação (6.20), com condição inicial q(0) = 0, α =0.1, ep =2. Considera-se novamente que o acoplamento seja feito através de capacitores C ij conectados entre as saídas de dois conversores i e j. Novamente, o ganho de controle q é dado pela eq. (7.6). A função de acoplamento h(x s ) é dada pela eq. (7.5). O sistema de referência é idêntico a cada um dos conversores Buck da rede, mas com condição inicial x s (0) = [ ] T. Considera-se que a referência seja acoplada ao nó pinado também através de um capacitor C is, mas que a tensão de saída da referência seja bufferizada, de modo que o nó pinado não influencie na dinâmica da referência. A Figura 7.37 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com i =1,..., 7. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., a rede segue a referência x s. A Figura 7.38 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para uma trajetória única (em preto), que neste caso, é a trajetória da referência x s. A Figura 7.39 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. A Figura 7.40 mostra a evolução do ganho de controle q - observe que este converge para um valor constante.

161 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 159 FIGURA 7.37 Erro de Controle numa Rede de SPS - Exemplo 8: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 5. de cada nó i, i =1,..., 7. da rede controlada de SPS, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos. FIGURA 7.38 Evolução dos Estados numa Rede Controlada de SPS - Exemplo 8: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 5., de cada nó i, i =1,..., 7. da rede controlada de SPS, com força de acoplamento e ganho de controle adaptativos. Em preto, vê-se a evolução dos estados x s da referência.

162 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 160 FIGURA 7.39 Evolução da Força de Acoplamento numa Rede Controlada de SPS - Exemplo 8: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19), numa rede controlada de SPS. FIGURA 7.40 Evolução da Força de Controle numa Rede de SPS - Exemplo 8: A figura mostra a evolução do ganho de controle q, estimado adaptativamente segundo eq. (6.20), numa rede controlada de SPS. 7.3 Controle Pinning Associado a Controle de Caos Nesta seção, ilustra-se a possibilidade do uso de técnicas de controle de caos, associadas ao controle pinning de redes complexas. O controle pinning é capaz de fazer com que os nós da rede complexa sincronizem-se com a trajetória de referência x s não apenas quando esta é caótica, mas também é capaz

163 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 161 de fazer com que os nós da rede complexa sincronizem-se com pontos-fixos, ou órbitas periódicas instáveis imersas no atrator caótico. A idéia de aplicar controle pinning associado a controle de caos consiste em aplicar controle de caos ao sistema de referência, estabilizando uma órbita periódica (ponto-fixo), o que se propaga para toda a rede complexa através do controle pinning. Para ilustrar a possibilidade do uso do controle pinning associado ao controle de caos, considera-se a rede complexa de osciladores Chua apresentada na Seção 7.2.1, controlada utilizando-se controle pinning totalmente adaptativo descentralizado. A única alteração foi feita na condição inicial do sistema de referência, alterada para x s (0) = [ ] T ; valor muito próximo do ponto-fixo instável x s =[000] T imerso no atrator caótico. A Figura 7.41 mostra a evolução do erro de controle e p i de cada nó i da rede, com i =1,..., 100. Pode-se observar que o erro de controle e p i 0 à medida que t, i.e., a rede segue a referência x s. A Figura 7.42 mostra a evolução dos estados de cada nó i da rede - observe que a evolução dos estados de cada nó converge para as vizinhanças do ponto-fixo x s =[000] T antes que a trajetória de referência seja atraída pelo atrator caótico. Observe que, mesmo depois de a trajetória de referência ser atraída pelo atrator caótico, a trajetória dos nós da rede complexa mantêm-se sincronizadas com a trajetória de referência. Assim, utilizando-se técnicas de controle de caos, a trajetória de referência poderia ser mantida nas vizinhanças do ponto-fixo x s =[000] T e, consequentemente, toda a trajetória de todos os nós da rede complexa. A Figura 7.43 mostra a evolução do valor da força de acoplamento σ ij entre os nós da rede - observe que estes convergem para valores constantes. A Figura 7.44 mostra a evolução da força do ganho de controle q - observe que este converge para um valor

164 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 162 constante. FIGURA 7.41 Erro - Controle Pinning Associado a Controle de Caos: A figura mostra a evolução do erro de controle e p in associado a cada estado n, n =1,..., 3. de cada nó i, i =1,..., 100. da rede controlada de osciladores de Chua. FIGURA 7.42 Evolução dos Estados - Controle Pinning Associado a Controle de Caos: A figura mostra a evolução dos estados x in, n =1,..., 3., de cada nó i, i =1,..., 100. da rede controlada de osciladores de Chua.

165 CAPÍTULO 7. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SINCRONIZAÇÃO 163 FIGURA 7.43 Evolução da Força de Acoplamento - Controle Pinning Associado a Controle de Caos: A figura mostra a evolução da força de acoplamento σ ij, estimada adaptativamente segundo eq. (6.19), numa rede controlada de osciladores de Chua. FIGURA 7.44 Evolução da Força de Controle - Controle Pinning Associado a Controle de Caos: A figura mostra a evolução do ganho de controle q, estimado adaptativamente segundo eq. (6.20), numa rede controlada de osciladores de Chua.