Aula 1 Resolução da prova da 1ª fase de 2014 Prof.ª Crislany BM Dias

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1 Aula 1 Resolução da prova da 1ª fase de 2014 Prof.ª Crislany BM Dias

2 1. Após lançar 2014 vezes uma moeda, Antônio contou 997 caras. Continuando a lançar a moeda, quantas caras seguidas ele deverá obter para que o número de caras fique igual à metade do número total de lançamentos? A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

3 ALTERNATIVA C Seja x o número de caras consecutivas obtidas após os primeiros 2014 lançamentos. Então, de acordo com o enunciado do problema, x deverá satisfazer a igualdade x = x, 2 ou, equivalentemente, x = x, de onde obtemos x = = 20.

4 2. Dois números x e y estão localizados na reta numérica como abaixo. Onde está localizado o produto xy? A) À esquerda de 0. B) Entre 0 e x. C) Entre x e y. D) Entre y e 1. E) À direita de 1.

5 ALTERNATIVA B Como x > 0, multiplicamos os termos das desigualdades 0 < x < y < 1 por x e obtemos: Concluímos que 0 < xy < x. x 0 < x² < xy < x

6 3. Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a data da prova de Matemática. Andrea diz que será em agosto, dia 16, segunda-feira; Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira; Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terça-feira; Patrícia diz que será em agosto, dia 17, segunda-feira; Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segunda-feira. Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações: o mês, o dia do mês ou o dia da semana. Quem está certa? A) Andrea B) Daniela C) Fernanda D) Patrícia E) Tatiane

7 ALTERNATIVA D Podemos organizar as informações numa tabela: mês dia do mês dia da semana Andrea Agosto 16 Segunda Daniela Agosto 16 Terça Fernanda Setembro 17 Terça Patrícia Agosto 17 Segunda Tatiane Setembro 17 Segunda Se Andrea estivesse certa, então Fernanda não acertaria nenhuma das informações. Logo, não é ela que está certa, nem Fernanda (pelo mesmo motivo). Se Daniela estivesse certa, então Tatiane também nada acertaria. Logo Daniele e Tatiane não estão certas. Se Patrícia acertar tudo, as demais também acertarão alguma informação e, portanto, Patrícia é a única que está certa.

8 4. Guilherme precisa chegar em 5 minutos ao aeroporto, que fica a 5 km de sua casa. Se nos 2 primeiros minutos seu carro andar a uma velocidade média de 90 km/h, qual é a menor velocidade média que ele terá que desenvolver nos próximos 3 minutos para não chegar atrasado ao aeroporto? A) 35 km/h B) 40 km/h C) 45 km/h D) 50 km/h E) 60 km/h

9 ALTERNATIVA B Nos dois primeiros minutos, o carro andou a 90 km = 90km = 1,5 km, h 60min min ou seja, Guilherme andou, nos primeiros 2 minutos, 2 1,5 = 3 km. Falta percorrer 5 3 = 2 km no tempo de 3 minutos. A velocidade suficiente para isto é 2km = 2km = 2 km/h = 40km/h. 3min 3min. 1 h/min

10 5. Na figura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região cinza? A) R + S 2 B) R S 2 C) RS 2 D) RS E) R² + S²

11 ALTERNATIVA A O lado do quadrado maior é R e o lado do menor S. Traçamos o segmento BG e vemos que ele divide a região cinza em dois triângulos ABG e BFG, cujas áreas, somadas, dão a área da região cinza. A área do triângulo ABG é R R = R 2 2 e a área do triângulo BFG é S S = S 2 2 Logo, a área da região cinza é R + S 2

12 Outra solução: Construímos o triângulo BFH congruente ao triângulo BEF e denotamos por X a área de cada um deles. Se a área da região cinza é Y observamos que Y + X = A(ADGH) = R + S + 2X = R + S + X, de onde concluímos que Y = R + S. 2

13 6. Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras: em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos; em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número da outra deve ser igual a 25. Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que pode ser escrito na face destacada em cinza? A) 1 B) 5 C) 9 D) 11 E) 17

14 ALTERNATIVA C Como em cada face aparecem quatro números consecutivos, então na face onde estiver o número 1, obrigatoriamente estarão os números 1, 2, 3 e 4. Logo, na face onde estiver o número 5 estarão os números 5, 6, 7 e 8, e assim, sucessivamente, até chegarmos à face com os números 21, 22, 23 e 24. Sendo assim, no cubo apresentado a face com o número 23 também apresenta os números 21, 22 e 24. Como o enunciado diz que a soma do maior número de uma face com o menor da face oposta é igual a 25, podemos concluir que na face oposta à que contém o 23 estão os números 1, 2, 3 e 4. Na face em que aparece o número 7 aparecem os números 5, 6 e 8, e na face oposta a esta estão os números 17, 18, 19 e 20. Logo, na face destacada (em cinza) pode estar qualquer número de 9 até 16. Como a pergunta é qual é o menor número que pode aparecer na face cinza, a resposta é 9.

15 7. Um retângulo ABCD de papel branco, com área de 20 cm², é dobrado como mostra a figura, formando o pentágono BCD EF com área de 14 cm². Se pintarmos de azul os dois lados do papel dobrado e desfizermos a dobra, o retângulo ficará com uma região não pintada. Qual é a área dessa região? A) 10 cm² B) 12 cm² C) 14 cm² D) 16 cm² E) 18 cm²

16 ALTERNATIVA B Quando pintarmos o papel em forma de pentágono dos dois lados, a área total pintada será de 28 cm². Esta área pintada inclui a área de um dos lados do retângulo original, que ficará totalmente azul, e a área pintada do outro lado. Se da área total de 40 cm², correspondente aos dois lados do retângulo, retirarmos a área pintada de 28 cm², teremos 12 cm² de área não pintada.

17 8. Começando com um quadrado de 1 cm de lado, formamos uma sequência de figuras, como na ilustração. Cada figura, a partir da segunda, é formada unindo-se três cópias da anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm, 20 cm e 56 cm. Quanto mede o contorno da Figura 6? A) 88 cm B) 164 cm C) 172 cm D) 488 cm E) 492 cm

18 ALTERNATIVA D Cada figura é formada por 3 cópias da figura anterior, posicionadas de modo a colocar em contato apenas dois pares de quadradinhos das cópias das figuras. Em consequência, o comprimento do contorno da nova figura é igual a 3 vezes o comprimento do contorno da anterior, menos 4 cm (correspondentes aos lados em contato). A tabela abaixo dá o comprimento do contorno das sucessivas figuras. Figura 1 4 Contorno (cm) = = = = = 488 Portanto, o contorno da Figura 6 mede 488 cm.

19 9. O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos e divulgou as notas por meio do gráfico mostrado abaixo. Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, respectivamente; já o aluno B obteve notas 3 e 2. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. Qual dos gráficos representa a região correspondente às notas de aprovação?

20 ALTERNATIVA E As notas x e y obtidas pelo aluno nas duas provas devem ser tais que x + y 6, ou seja, x + y Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação x + y = 12 pertencem à reta que corta os eixos nos pontos (0, 12) e (12, 0). Os que satisfazem a desigualdade correspondem ao semi-plano determinado por esta reta que não contém a origem. A região pedida é a interseção desse semi-plano com o quadrado formado pelas notas possíveis (ou seja, satisfazendo às condições 0 x 10 e 0 y 10 ), representada na alternativa E.

21 10. Gustavo possui certa quantidade de moedas de 1, 10, 25 e 50 centavos, tendo pelo menos uma de cada valor. É impossível combiná-las de modo a obter exatamente 1 real. Qual é o maior valor total possível para suas moedas? A) 86 centavos B) 1 real e 14 centavos C) 1 real e 19 centavos D) 1 real e 24 centavos E) 1 real e 79 centavos

22 ALTERNATIVA C Como Gustavo possui pelo menos uma moeda de cada tipo, ele não pode ter 2 moedas de 50 centavos, senão formaria 1 real. Ele também não pode ter 2 moedas de 25 centavos. Com a moeda de 50 centavos e com uma moeda de 25 centavos ele também não pode formar 1 real. Concluímos assim, que Gustavo possui uma moeda de 50 centavos e uma moeda de 25 centavos. Gustavo não pode ter 5 moedas de 10 centavos, senão junto com a moeda de 50 centavos ele formaria 1 real. Para maximizar, podemos supor que ele tem, então, quatro moedas de 10 centavos. Com elas e com as moedas de 50 e 25 centavos ele não consegue formar 1 real. Por fim, ele não pode ter cinco moedas de 1 centavo, pois se tivesse, formaria 1 real juntando a elas a moeda de 50 centavos com a de 25 centavos e mais duas de 10 centavos. Assim, Gustavo deve ter, no máximo, quatro moedas de 1 centavo. Logo, o maior valor total possível que Gustavo pode ter é = centavos, ou seja, R$ 1,19.

23 11. Quatro circunferências de mesmo raio estão dispostas como na figura, determinando doze pequenos arcos, todos de comprimento 3. Qual é o comprimento de cada uma dessas circunferências? A) 18 B) 20 C) 21 D) 22 E) 24

24 ALTERNATIVA E Devido às simetrias presentes na figura, podemos construir o quadrado ABCD, com vértices A, B, C e D situados nos centros de cada uma das circunferências, conforme mostrado na figura. Observamos que em cada circunferência, os dois lados do quadrado que saem do centro dela determinam um arco cujo comprimento é = 6, 2 2 sendo essa medida a quarta parte do comprimento de cada círculo. Logo, o comprimento de cada círculo é 24.

25 12. O símbolo n! é usado para representar o produto dos números naturais de 1 a n, isto é, n! = n (n 1) 2 1. Por exemplo, 4! = = 24. Se n! = , qual é o valor de n? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

26 ALTERNATIVA D Como n! = , tem-se n 13. Por outro lado, 13! = 13 (2 2 3) 11 (2 5) (2 3) = , E, portanto, n! = = = ! Logo, n! = 13! = 16!, ou seja, n = 16.

27 13. Em uma orquestra de cordas, sopro e percussão, 23 pessoas tocam instrumentos de corda, 18 tocam instrumentos de sopro e 12 tocam instrumentos de percussão. Nenhum de seus componentes toca os três tipos de instrumentos, mas 10 tocam instrumentos de corda e sopro, 6 tocam instrumentos de corda e percussão e alguns tocam instrumentos de sopro e percussão. No mínimo, quantos componentes há nessa orquestra? A) 31 B) 33 C) 43 D) 47 E) 53

28 ALTERNATIVA A As informações sobre os componentes da orquestra estão representadas no diagrama. Seja x o número de componentes que tocam instrumentos de sopro e percussão. É claro que x 6. O número de componentes da orquestra é dado pela soma: (6 x) = 37 x ; sabendo que x 6, temos que o número mínimo de componentes da orquestra ocorre quando x = 6, ou seja, quando a orquestra tem 31 componentes.

29 14. Na cidade de Isabel e Talia, o preço de uma corrida de táxi, registrado no taxímetro, é calculado multiplicando-se um certo valor pelo número de quilômetros percorridos, acrescentando-se R$ 4,00 a esse total. O taxímetro sempre inicia a corrida marcando esses R$ 4,00. Elas pegaram um mesmo táxi e combinaram dividir o valor total da corrida de forma proporcional à distância que cada uma percorreria. Quando o taxímetro marcava R$ 28,00, Isabel desceu sem pagar nada. O táxi prosseguiu com Talia, que pagou no final o valor de R$ 44,00 registrado no taxímetro, correspondente a todo o percurso. Quanto Talia deve receber de Isabel? A) R$ 4,00 B) R$ 9,00 C) R$ 13,50 D) R$ 14,00 E) R$ 16,50

30 ALTERNATIVA E Sendo x a distância percorrida com as duas juntas e y a distância percorrida apenas por Talia, fica claro que Isabel deve pagar pela distância x e Talia pela distância x + y. Como os pagamentos são proporcionais a essas distâncias, a fração correspondente a Isabel é x = x. x + (x + y) 2x + y Seja p o preço por quilômetro rodado. Então 4 + px = 28 px = 28 4 = 24 px = px + py = py = 44 py = = 16 Portanto, Isabel deve pagar 24 x = p = 24 = 24 = 3. do valor total, ou seja, 2x + y p p Talia deve receber de Isabel = R$ 16,50. 8 Observe que não foi necessário conhecer o valor de p.

31 15. Quantos números inteiros e positivos de cinco algarismos têm a propriedade de que o produto de seus algarismos é 1000? A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

32 ALTERNATIVA E Como 1000 = , os possíveis números são formados pelos algarismos: 5, 5, 5, 2 e 4, caso em que contabilizamos 5 4 = 20 possibilidades; 5 possibilidades para a posição do algarismo 2 e 4 possibilidades para o algarismo 4 (as demais casas do número devem receber o algarismo 5). 5, 5, 5, 8 e 1, caso em que, de forma análoga, contabilizamos 5 4 = 20 possibilidades. Logo, existem = 40 números com tal propriedade.

33 16. O paralelogramo ABCD tem área 24 cm² e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero EFGH? A) 4 cm² B) 5 cm² C) 6 cm² D) 7 cm² E) 8 cm²

34 ALTERNATIVA B Denotaremos por AF a área de uma figura F e por ~ a relação de semelhança de triângulos. Sejam b a medida da base Do paralelogramo e h sua altura. Então: AABC = 24 cm² b h = 24 cm² GCF ~ GDA h 1 h 2 = b 2 b h 1 h 2 = 1 2 h 2 = 2h 1 3h 1 = h h 1 = h 3 Portanto, AGFC = b 2. b 3 2 = b.h 12 = = 2cm2. Da mesma forma, também podemos concluir que AAHE = 2 cm 2. Vamos calcular agora a área ABEF, lembrando que triângulos semelhantes possuem áreas relacionadas com o quadrado da constante de proporcionalidade: EBG ~ ABC AEBF = b 2 b 2 = = 1 4 AEBF = AABC 4 Agora vamos calcular a área do quadrilátero EFGH por diferença: AEFGH = AABC AGFC AAEH AEBF = = 5 cm². = 12 4 = 3cm².

35 Outra solução: ADFC = 1 AABCD = 6, 4 ADEA = 1 AABCD = 6, 4 ABFE = 1 AABCD = 3. 8 Daí, ADEF = = 9. Temos que DEF ~ DHG e a razão entre suas alturas é 3BD 4 BD 2 = 3 2 Portanto, ADHG = 4 ADEF = 4. 9 A área procurada é a diferença 9 4 = 5 cm².

36 17. Mônica tem três dados nos quais a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ela enfileira os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número, obtendo um número de três algarismos nas faces superiores. Por exemplo, o número 436 pode ser obtido como mostrado na figura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos números diferentes ela pode obter? A) 72 B) 96 C) 168 D) 192 E) 216

37 ALTERNATIVA C Como as faces opostas somam 7, as faces podem ser divididas em três duplas: {1,6}, {2,5} e {3,4}. Vamos considerar três casos: a) Os algarismos que aparecem no topo dos três dados são todos da mesma dupla. Neste caso, a dupla {1,6} gera = 8 números diferentes: 111, 116, 161, 611, 661, 616, 166 e 666. Analogamente, a dupla {2,5} gera outras oito possibilidades e a dupla {3,4} mais oito. Assim, neste primeiro caso temos um total de 24 possibilidades. b) Dois dos algarismos do topo pertencem a uma dupla e o outro pertence a uma dupla diferente. Em dois dados aparecem algarismos da dupla: No outro dado aparece algarismo da dupla: {1,6} {2,5} {1,6} {3,4} {2,5} {1,6} {2,5} {3,4} {3,4} {1,6} {3,4} {2,5}

38 Pensemos nas possibilidades de formação de números em cada uma das linhas da tabela acima; por exemplo, no caso em que 1 ou 6 aparece no topo de dois dados e no outro dado aparece 2 ou 5, teremos = 24 possibilidades (a saber: 112, 121, 211, 115, 151, 511, 162, 126, 216,..., 566). Analogamente, cada um dos casos apresentados nas linhas da tabela produzirão 24 números diferentes. No total, neste caso teremos 6 24 = 144 possibilidades. c) Os três números que aparecem no topo dos dados são provenientes de números de duplas diferentes. Este caso nunca ocorre, pois é impossível enfileirar os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número. Logo, podemos obter = 168 números diferentes.

39 Outra solução, utilizando o complementar: já que o caso c) não ocorre, basta descontar do total de números obtidos sem restrições de contato (6 6 6 = 216) os números obtidos que utilizam algarismos das três duplas. Para formar números utilizando algarismos das três duplas, temos 6 escolhas para o primeiro dado (números das 3 duplas), 4 escolhas para o segundo dado (números de duas duplas) e 2 escolhas para o terceiro dado (números de uma dupla). Logo, existem = 48 números no caso c). Consequentemente, Mônica pode obter = 168 números.

40 Uma terceira solução é a seguinte: podemos considerar inicialmente três casos: a) As faces 1 e 6 (ou 6 e 1) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {2, 3, 4, 5}. Neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer = 64 números diferentes. b) As faces 2 e 5 (ou 5 e 2) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {1, 3, 4, 6}. Analogamente neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a). c) As faces 3 e 4 (ou 4 e 3) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {1, 2, 5, 6}. Como nos casos anteriores, no topo dos três dados, podem aparecer = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a) ou no caso b). Os três casos juntos produzem 3 64 = 192 números, porém nem todos distintos. Precisamos retirar desta contagem os números comuns aos casos a) e b), b) e c) e a) e c). Não há algarismos comuns aos três casos. Como {2, 3, 4, 5} {1, 3, 4, 6} = {3, 4}, os algarismos comuns aos casos a) e b) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 3 e 4. A quantidade de tais números é = 8. Analogamente, como {2, 3, 4, 5} {1, 2, 5, 6} = {2, 5}, os algarismos comuns aos casos a) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é = 8. Do mesmo modo, como {1, 3, 4, 6} {1, 2, 5, 6} = {1, 6}, os algarismos comuns aos casos b) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é = 8. Assim, Mônica pode obter = 168 números diferentes.

41 18. Um triângulo equilátero ABC gira uma vez em torno do vértice C e outra vez em torno do vértice B, sempre se apoiando em uma reta, como na figura ao lado. Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto A?

42 ALTERNATIVA A Como em um compasso, o giro de um ponto em torno de outro é sempre um arco de circunferência. Como o ponto A gira duas vezes, a primeira vez em torno de C e a segunda vez em torno de B, sua trajetória será a união dos arcos de duas circunferências. Logo, somente as alternativas A) e B) podem estar certas. A alternativa B) é facilmente descartada, pois ao terminar o primeiro giro, o ponto A não fica sobre a reta que apoia o triângulo. Assim, a figura que aparece na alternativa A), sendo a união de dois arcos de circunferência de 120 0, é a que representa a trajetória do ponto A.

43 19. Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou azul. Ao jogá-los, a probabilidade de observarmos duas faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem cinco faces vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas tem o outro? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

44 ALTERNATIVA D Podemos supor que o primeiro cubo tem cinco faces vermelhas e uma branca. Seja v o número de faces vermelhas do segundo cubo. Ao se lançar os dois dados, há 6 6 = 36 casos possíveis. Para que as faces tenham a mesma cor, devem ser ambas vermelhas (5 v possibilidades) ou ambas azuis (1x(6 v) possibilidades). A probabilidade de se observar faces iguais é, portanto, Número de casos favoráveis Número de casos possíveis = 5v + (6 v) 36 = 4v = 2v Para que a probabilidade possa ser igual a 11/18, deve-se ter 2v + 3 = 11, ou seja, v = 4. O segundo cubo deve ter, portanto, 4 faces vermelhas.

45 20. Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro. Começando pela ponta de marca 0 cm, ele dobra a fita várias vezes em zigue-zague, como na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49 cm e de 71 cm ficaram sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm ficou alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final da fita ficou sobreposta? A) 160 cm B) 176 cm C) 184 cm D) 190 cm E) 196 cm

46 ALTERNATIVA D Como as marcas 49 e 71 ficaram sobrepostas em pedaços que são vizinhos, houve uma dobra exatamente no ponto médio, isto é, em ( )/2 = 60. Como o processo iniciou-se com a marca 0, o tamanho de cada pedaço, isto é, a distância entre duas dobras sucessivas, deve ser um divisor de 60. Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o próprio 60. Mas, estando 49 e 71 em pedaços vizinhos, descartamos os divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 10 pois a distância de 49 (ou 71) até a dobra 60 é 11, maior do que todos eles. Resta decidir qual é o tamanho de cada pedaço dentre as possibilidades 12, 15, 20, 30 ou 60 e, para isto, usaremos a informação de que a marca 139 ficou alinhada com 49 e 71. As distâncias da marca de 139 aos dois pontos anteriores são, respectivamente, 90 e 68. Como a marcação de 139 coincide com as anteriores, uma dessas distâncias deve ser um múltiplo do dobro do tamanho da dobra, ou seja, deve ser um múltiplo de 24, 30, 40, 60 ou 120. Mas 68 não é um múltiplo de nenhum desses números, enquanto 90 é múltiplo apenas de 30. Portanto, o tamanho de cada pedaço é 15, o que faz com que a última dobra ocorra na marca de 195 cm e, daí, ao dobrar-se o último pedaço, a marca de 200 cm fica sobre 195 ( ) = 190 cm.

47 As figuras a seguir ilustram o que acontece para os cinco possíveis valores das medidas dos pedaços. Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 12, teríamos a situação descrita pela figura ao lado e a marca 139 não estaria alinhada com 71 e 49. Logo, este caso não ocorre. Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 15, teríamos a seguinte situação:

48 Este é o único caso correto. De fato, veremos a seguir que os demais casos não podem ocorrer: Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 20, teríamos a seguinte situação: Este caso também não pode ocorrer pois 139 não se alinha com 49 e 71. Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 30, teríamos a seguinte situação: E vemos que também este caso também não ocorre. Finalmente, se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 60, teríamos a seguinte situação: Este último caso também não ocorre. Logo o comprimento de cada pedaço é 15 cm e a última dobra é feita na marca 195; assim a marca 200 alinha-se com a marca 190, a qual está no penúltimo pedaço.

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