Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito Vitrocerâmico

Transcrição

1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Jader dos Santos Miranda Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito Vitrocerâmico São João Del-Rei, 2011

2 I Jader dos Santos Miranda Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito Vitrocerâmico Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Universidade Federal de São João Del-Rei, como requisito para a obtenção do titulo de Mestre em Engenharia Mecânica Área de Concentração: Materiais e processos de Fabricação Orientador: Prof. Dr. Avelino Manuel da Silva Dias Co-orientador: Prof. Dr. André Luis Cristóforo São João Del-Rei, 2011

3 II Miranda, Jader dos Santos F64p Título: Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito Vitrocerâmico / Jader dos Santos Miranda - São João Del-Rei, MG: [s.n.], Orientador: Prof. Dr. Avelino Manuel da Silva Dias. Dissertação/Tese - Universidade Federal de São João Del-Rei I.. II. Universidade Federal de São João Del-Rei. III. Título.

4 III

5 IV Dedico este trabalho de maneira muito especial ao meu pai Francisco, minha mãe Cleonice e minha avó Maria Rosa.

6 V Agradecimentos Agradeço a DEUS por guiar-me em mais esta fase de minha vida; Aos meus pais pelo incentivo em todos os momentos; A minha avó Maria Rosa pela bondade, carinho e amor (saudade eterna); Aos meus irmãos pela força, companheirismo e união; Aos amigos pela presença; A minha namorada pela paciência e amor; Ao meu orientador Professor Avelino Manuel da Silva Dias, pelo conhecimento compartilhado e apoio; Ao meu co-orientador Professor André Luis Christóforo; A todos os professores e colegas, que ajudaram de forma direta e indireta; A John Hough e a MSC. Software do Brasil pelo apoio; Ao Departamento de Engenharia Mecânica da UFSJ e ao Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Minas da UFMG, pelo apoio para execução deste trabalho.

7 Uma mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original. Albert Einstein VI

8 VII Resumo Os constantes avanços na indústria originam-se da necessidade de desenvolvimento de soluções para as mais variadas aplicações. A engenharia mecânica tem apresentado inovações no que tange à ciência dos materiais submetidos a esforços diversos. Estudos recentes demonstram o potencial de algumas classes de materiais, destaque especial para os cerâmicos. Neste trabalho estudou-se fundamentalmente a sub-classe vitrocerâmica através da análise do Zerodur. Zerodur é nome comercial dado a um material inorgânico de baixa expansão térmica, largamente utilizado em equipamentos submetidos a grandes variações de temperatura, onde é necessário manter boa precisão de forma e geometria. Possui elevada dureza superficial e conseqüentemente certa fragilidade quando submetido à tração. No intuito de potencializar as características mecânicas do Zerodur propõe-se a junção do mesmo com outros materiais (material compósito). Com auxílio do método dos elementos finitos torna-se possível analisar o comportamento global do compósito quando submetido a forças externas. Neste trabalho utilizou-se o solver comercial de elementos finitos Marc na análise numérica computacional de estruturas Zerodur - Aço. O objetivo deste trabalho é simular o comportamento do compósito quando submetido ao ensaio de flexão em três pontos através da análise da rigidez mecânica, campos de tensão na interface Zerodur /Aço, influência da força cortante nas vigas segundo modelos de Euler Bernoulli e Timoshenko e implementação de modelos com trinca difusa. Palavras-chaves: Compósitos, Elementos Finitos, Simulação Numérica, Zerodur, Trinca Difusa.

9 VIII Abstract The constant advances in the industry come from the need to develop solutions for a variety of applications. Mechanical Engineering has presented innovations regarding the science of materials subjected to various efforts. Recent studies demonstrate the potential of some classes of materials, special emphasis on ceramics. In this paper we study primarily the sub-class by examining the Zerodur ceramic glass. Zerodur is the commercial name given to an inorganic material with low thermal expansion, widely used in equipment subjected to large temperature variations, where it is necessary to maintain good precision of form and geometry. It has high surface hardness and hence fragility when subjected to tension. In order to enhance the mechanical characteristics of Zerodur proposes to merge the same with other materials (composite). With use of the finite element method is possible to analyze the overall behavior of the composite when subjected to external loads. In this work we used the commercial finite element solver Marc on numerical analysis of computational structures Zerodur - Steel. The main objective of this work is to simulate the behavior of the composite when subjected to the bending test of three points through the analysis of mechanical stiffness, stress fields at the interface Zerodur /Steel, influence of shear force on the second Euler Bernoulli and Timoshenko beam models and implementation of crack strain models. Keywords: Composite, Finite Elements, Numeric Simulation, Zerodur, Crack Strain.

10 IX Lista de Ilustrações Página Figura Padrões de medida fabricados com Zerodur 7 Figura Modelamento de uma calota esférica com 1/8 de simetria 10 Figura Ensaio de flexão em três pontos de viga bi apoiada 12 Figura Ilustração do Ensaio de Flexão Estática a Três Pontos 13 Figura Convenção de sinais positiva para os esforços 15 Figura Diagrama uniaxial de tensão versus deformação para modelo de trinca difusa 17 Figura Desenvolvimento de trinca perpendicular à direção da tensão principal 1 19 Figura Corpo de prova para ensaio de flexão de três pontos 21 Figura Modelo bidimensional do ensaio de flexão para o vitrocerâmico (Zerodur ) 23 Figura Modelo Numérico da viga feita de Zerodur, 24 Figura Compósito Zerodur /Aço com duas barras 25 Figura Compósito Zerodur /Aço com três barras 25 Figura Compósito Zerodur /Aço com quatro barras 26 Figura Parâmetros de entrada de uma simulação numérica do compósito Zerodur /Aço (Carga de 65 KN distribuída ao longo de incrementos - steps) Figura Condições de contorno do ensaio numérico 31 Figura Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga Zerodur em três pontos (compósito Zerodur /Aço - duas barras) 33 Figura Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga Zerodur em três pontos (compósito Zerodur /Aço - três barras) 33 Figura Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga Zerodur em três pontos (compósito Zerodur /Aço - quatro barras) 34 Figura Avaliação da deformação de trincamento em uma viga do 35

11 X compósito Zerodur /Aço submetida a um carregamento de 65 KN Figura Nós escolhidos para análise de deformação de trincamento 36 Página Figura Deformação equivalente de trincamento avaliada por nó na 37 interface

12 XI Lista de Tabelas Página Tabela Propriedades mecânicas dos materiais 22 Tabela Parâmetros para o modelo de trinca difusa no vitrocerâmico 28 Tabela Valores de deflexão obtidos através dos modelos numéricos em comparação com a deflexão calculada através da equação analítica de 29 Euler Bernoulli Tabela Comparação dos valores de deflexão da viga a partir do ensaio de flexão em três pontos, em função de seu comprimento para uma 30 mesma seção transversal Tabela Valores de deflexão (Y max ) obtidos através do modelo numérico e deflexão calculada através da Equação analítica de Euler 31 Bernoulli Tabela Valores de Y max obtidos numericamente para diferentes configurações de vigas Zerodur /Aço comparados com o valor de Y max de 32 um modelo numérico Cem por cento Zerodur

13 XII Lista de Abreviaturas e Siglas MEF - Método dos Elementos Finitos a.c. - antes de Cristo MFV - Método das Forças Virtuais PTV - Princípio dos Trabalhos Virtuais

14 XIII SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - Introdução...1 CAPÍTULO 2 - Revisão da Literatura Materiais cerâmicos Vitrocerâmicos Zerodur Materiais compósitos Método dos Elementos Finitos Análise Estrutural Ensaio de flexão em três pontos Teoria de vigas Modelo de Bimodularidade...16 CAPÍTULO 3 - Metodologia Modelagem numérica...22 CAPÍTULO 4 - Resultados e Discussões...29 CAPÍTULO 5 - Conclusões...38 CAPÍTULO 6 - Referências Bibliográficas...40 ANEXOS...43

15 1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Desde a antiguidade o homem busca desenvolver materiais que sejam adequados para as variadas necessidades e aplicações. Nos dias atuais é notável o surgimento de estruturas de elevada complexidade oriundas da junção das mais diversas classes de materiais. Mesmo com o grande progresso no entendimento da engenharia dos materiais nos últimos anos, remanescem grandes desafios para a compreensão dos diversos ramos dessa ciência. A necessidade de desenvolver materiais eficientes para as mais variadas aplicações tem estimulado a pesquisa por novos compostos que sejam resistentes a condições adversas. No entanto, a caracterização mecânica destes compostos tem sido difícil e onerosa, principalmente, por haver uma diferença das propriedades mecânicas das fases constituintes e do compósito resultante. Na atualidade alguns materiais tem tido destaque especial em função de suas propriedades tribológicas. Estudos recentes demonstram o grande potencial dos materiais cerâmicos, principalmente em condições em que se exige do material simultaneamente boa resistência ao desgaste, ataque químico e impacto em temperaturas elevadas. Os cerâmicos são constituídos basicamente por diferentes elementos químicos, metálicos e não metálicos, através de ligações iônicas e/ou covalentes. Podem ser classificados como cristalinos, amorfos ou vitrocerâmicos. (Braun, 2008). Os vitrocerâmicos possuem características diferenciadas resultantes do processo de cristalização controlada a que são submetidos durante formação. Estas características especiais são descritas ao longo do texto, servindo como motivação para o desenvolvimento desta pesquisa.

16 2 Neste trabalho estudou-se o comportamento mecânico de um vitrocerâmico denominado comercialmente de Zerodur, assim como de um compósito tendo com fase matriz o vitrocerâmico. Neste estudo, simulou-se o comportamento destes materiais quando submetido ao ensaio mecânico de flexão em três pontos. A metodologia numérica adotada foi baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF). Analisaram-se estruturas com cem por cento Zerodur e compósitos tendo como fase matriz o Zerodur e fase dispersa pequenas barras longitudinais de aço. Este arranjo teve como objetivo melhorar o comportamento mecânico deste vitrocerâmico quando submetido à esforços de flexão. O deslocamento transversal dos corpos de provas simulados foi avaliado com o objetivo de comparar a rigidez mecânica quanto à flexão entre os diferentes materiais e suas configurações. Em etapa complementar introduziu-se um modelo de trinca difusa para avaliar possível trincamento (fratura frágil) nos modelos numéricos do compósito em estudo. Também, avaliou-se o comportamento da força cortante nestes mesmos compósitos através da comparação dos resultados numéricos com os obtidos pelas teorias de vigas de Timoshenko e Euler Bernoulli (Gere, 2003). As simulações propostas neste trabalho utilizaram modelos discretos através do MEF, o qual é uma técnica numérica confiável para análise de tensões e deformações e na simulação de diferentes problemas de engenharia. Este método tem sido utilizado para simular e resolver inúmeros problemas não lineares nas áreas de instabilidade estrutural, de sistemas dinâmicos e termo-fluidodinâmicos, sistemas eletromagnéticos e de conformação mecânica. As simulações numéricas foram executadas no solver comercial de elementos finitos MARC (2010).

17 3 CAPÍTULO 2 REVISÃO DA LITERATURA 2.1 Materiais cerâmicos Este trabalho tem como base de estudo um material da sub-classe dos vitrocerâmicos comercialmente denominado Zerodur, largamente empregado na indústria moderna. Antes de dissertar sobre aspectos gerais do trabalho é interessante fazer uma pequena menção ao desenvolvimento dos cerâmicos ao longo do tempo. Os materiais cerâmicos são largamente utilizados na fabricação de utensílios domésticos, isolantes, revestimentos, etc. O aperfeiçoamento da ciência dos materiais teve grande destaque na revolução industrial, na Primeira e Segunda Guerra Mundial. No entanto, existem diversos marcos de interesse ao longo dos tempos. Há vestígios de cerâmicos que datam desde o período neolítico (10000 a 6000 anos a.c) na forma de potes que eram usados para armazenamento de grãos. Relacionado com a construção das civilizações, os cerâmicos são utilizados desde períodos remotos com evidência de grandes blocos, estruturas de sustentação e revestimentos. A idade da Pedra (10000 a 5000 a.c) foi marcada pela utilização de artefatos desenvolvidos através de cerâmicas primitivas (Rosa, et. al., 2003). Durante a revolução industrial (meados do século XVII) os cerâmicos eram usados em larga escala como revestimento de utensílios. Tal técnica contribuía para maior durabilidade dos produtos ( acessado em Março/2011). Como marco recente, tem-se a fase da cerâmica industrial caracterizada pelo desenvolvimento da indústria mecânica. Nesta fase temos o desenvolvimento dos materiais modernos, onde se inclui o Zerodur, aplicações aeroespaciais e

18 4 tecnologias de ponta, como blindagem térmica de ônibus espaciais, produção de nanofilmes, sensores, etc. Os materiais cerâmicos são oriundos do processo de fusão da argila. Possuem propriedades bem definidas tais como resistência ao ataque de produtos químicos, resistência a compressão, refratividade, boa dureza superficial. São constituídos basicamente por elementos metálicos e não metálicos através de ligações iônicas e/ou covalentes, cuja estrutura após processo de queima em altas temperaturas apresenta-se inteiramente ou parcialmente cristalizada. Possuem a característica de serem produtos de cristalização. São classificados em cristalinos, amorfos ou vitrocerâmicos (Callister Jr., 2000). É interessante fazer uma distinção em subclasses, uma vez que neste trabalho restringiu-se os estudos na sub-classe vitrocerâmica. A indução da argila sob altas temperaturas tem como resultado a formação de estruturas cristalinas amorfas e inorgânicas. Ao nível microscópico é facilmente perceptível a organização da estrutura atômica da cerâmica, de maneira seqüencial e simétrica, com forma bem definida, apresentando pequenos cristais um do lado do outro. 2.2 Vitrocerâmicos Os materiais vitrocerâmicos foram criados a aproximadamente quarenta anos produzidos à partir da cristalização de materiais vítreos. A cristalização é feita de maneira controlada, marcada por fenômenos relacionados a reação do vidro com agentes nucleantes ( acessado em Março/2011). Os nucleantes são geralmente óxido de titânio, óxido de fósforo e óxido de tântalo submetidos a temperaturas que variam de 500 C a 1100 C. ( acessado em Março/2011). O processo de fusão é feito de maneira monitorada e contribui diretamente nos aspectos físicos e químicos destes materiais. Estudos na área da metalurgia do pó

19 5 contribuíram para produção de vitrocerâmicos cada vez mais homogêneos. O vidro é fragmentado e a inclusão do agente nucleante é feita de maneira controlada. 2.3 Zerodur Em 1968, a Schott Glass Technologies Inc., desenvolveu o Zerodur. Este novo material foi concebido para aplicações onde mudanças de temperatura são inevitáveis e podem influenciar negativamente o tamanho e as exatidões de dimensões. É um material vitrocerâmico usinável de baixa expansão térmica, não poroso, isotrópico e muito utilizado em aplicações onde ocorrem variações de temperatura. É caracterizado por uma fase de nanocristais uniformemente distribuídos dentro de uma fase de vidroresidual, contendo importantes propriedades. A produção do Zerodur advém de métodos modernos da tecnologia de cristais e ópticos. Os cristais são fundidos, refinados, homogeneizados e finalmente conformados. Após o subseqüente cozimento, diminui-se a pressão, para realização do tratamento do centro cristalino. Este processo é acompanhado de uma ceramização precisa, durante a qual os cristais são transformados em vitrocerâmicos através de uma cristalização de volume controlado (Hartmann, et al., 2008). Durante este tratamento formam-se núcleos dentro do vidro, e, ocorre o surgimento de cristais em altas temperaturas. O material resultante é transparente e claro, com as seguintes propriedades (Döhring, et. al., 2005): Coeficiente de expansão térmico extremamente baixo; Boa homogeneidade; Qualidade interna elevada; Bom acabamento superficial; Grande estabilidade química. Basicamente, este vitrocerâmico é formado por óxidos (Li 2 O, SiO 2, Al 2 O 3 ), com densidade de 2,53 g/cm³, condutividade térmica de 1,6 W/m.K e coeficiente de expansão térmica menor 0,10x10-6 m/k (Mirkarimi, et. al., 2000).

20 6 Ele também possui uma boa processabilidade, ou seja, é de fácil manuseio durante a sua fabricação, apesar de apresentar uma faixa de temperatura de sintetização que vai de 700 C a 1000 C (Berezhinsky, et. al., 2004). A principal característica do Zerodur é a presença de uma fase amorfa que tem dilatação térmica positiva (expansão) e uma fase cristalina que apresenta uma expansão térmica negativa (contração), o que lhe proporciona um baixo índice de variação de tamanho quando submetido a grandes variações de temperatura. Esta característica é obtida pela nucleação bem definida e condições adequadas de cristalização, o que torna o Zerodur um material com baixa expansão térmica. Em determinadas faixas de temperatura seu coeficiente de expansão térmica pode ser aproximadamente zero ou, até, ligeiramente negativo, dependendo do processo de ceramização utilizado (Schmitz, et. al., 2002). Quantitativamente é composto de 70% a 78% de fase cristalina, com alta solução de quartzo, que dá a sua superfície transparência e o torna mais robusto. Esta fase apresenta cerca de 11 nm de diâmetro, o que a torna muito dura, de difícil penetração e com baixa reflexão. Por outro lado, se a parte desta fase ainda receber uma matriz de sílica fundida é transmitido uma maior proteção (Soufli, et. al., 2007). Quando nos referimos à transparência do Zerodur é indicado um grau de transparência para o mesmo, que é definido através da litografia ultravioleta. É uma técnica que analisa o quanto a fase amorfa interfere nessa transparência, sendo possível a partir desta análise aperfeiçoar a porcentagem das duas fases para estabelecer uma maior precisão do grau de pureza desejado (Mirkarimi et. al., 2001). O Zerodur possui uma estrutura isotrópica não-direcional tendo superfície não porosa. As fases cristalinas e vítrea têm características químicas e durezas similares àquelas de cristais ópticos, podendo ser processado usando máquinas e ferramentas idênticas com técnicas de cristais e ópticos (por exemplo, corte trituração e polimento) (Mitra et. al., 2004).

21 7 Segundo Dohring, et. al. (2006), a capacidade cerâmica do Zerodur acompanha por aproveitamento de suas qualidades o processo de tecnologia das indústrias modernas. Outra peculiaridade deste material é geometria dimensional (circular ou hexagonal) em conjunto com a qualidade interna e as propriedades do material. Devido a sua grande qualidade e desempenho, este material tem sido utilizado em diversos ramos da indústria moderna como, em elementos óticos para equipamentos de litografia, peças mecânicas para equipamentos de metrologia de elevada precisão, espelhos para grandes telescópios astronômicos e padrões para a tecnologia da medida de precisão, Figura 2.1. Entretanto, este vitrocerâmico apresenta um baixo módulo de elasticidade, conseqüentemente, baixa rigidez estrutural, e um comportamento frágil típico de materiais cerâmicos, limitando seu uso principalmente na aplicação estrutural. Figura Padrões de medida fabricados com Zerodur 2.4 Materiais compósitos As inúmeras possibilidades de combinações dos componentes bem como o desenvolvimento de novos materiais e de novas tecnologias de fabricação, têm contribuído para o aumento crescente do emprego dos materiais compósitos. Como conseqüência natural de aplicações cada vez mais numerosas, pode-se notar um

22 8 crescente avanço nas pesquisas voltadas para a modelagem matemática e simulações computacionais do comportamento estático e dinâmico de materiais compósitos. Confeccionados de acordo com as necessidades mecânicas de projeto, os materiais compósitos são a solução mais adequada quando se necessita de estruturas mais leves e resistentes, ou combinações de propriedades mecânicas difíceis de serem obtidas nos materiais convencionais (Pinheiro, et. al., 2006). Segundo Daniel, et. al. (1994) um compósito estruturado pode ser definido como um sistema de materiais composto de duas ou mais fases numa escala macroscópica, cujo desempenho mecânico e propriedades são projetados para serem superiores as de seus constituintes atuando independentemente. Uma das fases é geralmente descontínua, mais forte e resistente, sendo denominada dispersa ou reforçador; enquanto que a fase menos resistente é contínua e denominada matriz. A aplicação de materiais compósitos em diversos ramos da engenharia tem crescido significativamente nos últimos anos, destacando-se as aplicações nas indústrias aeroespaciais, automobilística, civil, petrolífera, dentre outras. Diante da motivação pela busca do aumento da resistência mecânica do Zerodur propõe-se neste trabalho a adição de barras de aço ordenadas de forma a trazer uma maior rigidez para a estrutura formada. A opção de utilizar aço como reforço surgiu da grande difusão do mesmo industrialmente, além de possuir alto módulo de elasticidade. Cogita-se a possibilidade de usar fibra de carbono mas no entanto têm-se limitações referentes a construção do compósito e por também apresentar um comportamento frágil. No momento atual, o foco é analisar formas de se fabricar o compósito Zerodur /Aço. Uma alternativa interessante é a utilização de métodos de fundição, vazando o Zerodur ainda em estado líquido sobre as barras de aço. Este método envolveria altas temperaturas e poderia ter como conseqüências transformações estruturais do aço. Outra hipótese seria a utilização de processos de fabricação por meio de usinagem de alta precisão. Tal procedimento consistiria em fazer entalhes no Zerodur para adicionar as barras de aço.

23 9 Estas discussões são escopo de propostas para trabalhos futuros. O que se pretende neste trabalho é estudar através de modelos numéricos qual seria a interação do Zerodur com o Aço e avaliar qual é a relevância deste tipo de compósito para aplicações industriais onde a variação de temperatura é fator crítico. 2.5 Método dos Elementos Finitos Segundo Azevedo (2003) o desenvolvimento do método dos elementos finitos e sua utilização para resolução de problemas de engenharia apresentam alguns marcos importantes, que datam da década de 60, com a impossibilidade de resolução de problemas complexos e início da adoção de aproximações e hipóteses simplificadoras para determinação dos esforços nas estruturas (geometria simples e aplicação de séries de Fourier). Já na década de 70, houve um avanço no uso desta metodologia com adoção do uso de elementos finitos triangulares e os tetraédricos, passando-se, em seguida, a dar preferência aos elementos tridimensionais quadriláteros e aos hexaedros, na simulação de problemas tridimensionais. A partir da década de 80, com a difusão do uso de computadores pessoais, houve um incremento na implementação de problemas complexos e não lineares (geometrias variadas, múltiplos carregamentos e múltiplos materiais). Atualmente, o método dos elementos finitos tem sido uma ferramenta numérica eficiente na área de projeto estrutural que envolve a determinação de forças internas, deformações e deslocamentos da estrutura. Também é um método numérico muito utilizado na análise de diferentes problemas físicos em meios contínuos. Na solução destes problemas contínuos, utiliza-se de equações diferenciais e integrais para simular o comportamento de estruturas submetidas a carregamentos através de análise matriciais e de convergência. Discretiza o problema dividindo o domínio de integração em um número finito de pequenas regiões denominadas de elementos, transformando o problema contínuo em um discreto, conforme ilustrado na Figura 2.2. Calculam-se os deslocamentos, as deformações e as tensões através de funções de interpolação dentro dos elementos e, em seguida, efetua o somatório

24 10 destas contribuições ao longo de toda a geometria. Através de equações de compatibilidade garante-se a continuidade entre os elementos. No presente trabalho, usou-se o MEF, através do solver comercial de elementos finitos MARC (2010), com o objetivo de determinar os campos de tensões e de deformações de um sólido capaz de representar o comportamento de corpo de prova do ensaio de flexão feito de diferentes materiais (cerâmico e compósito). Figura Modelamento de uma calota esférica com 1/8 de simetria (Fonte: MSC. MARC, 2010) As Equações 2.1 e 2.2 mostram as integrais de domínio base do método dos elementos finitos. No Anexo I encontra-se uma breve descrição do desenvolvimento do MEF. V fdv n i 1 Vi fdv (2.1) V n V i i 1 (2.2)

25 Análise Estrutural O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura auxiliando no cálculo das tensões, deslocamentos e deformações decorrentes de esforços diversos em uma parte ou em toda a estrutura. A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura. Tal afirmação confirma a necessidade de modelar com perfeição as condições de contorno da estrutura real a ser simulada via método dos elementos finitos. O bom entendimento do ensaio real é crucial para o modelamento adequado. A idealização estrutural é a formulação de um modelo matemático de elementos discretos equivalente à estrutura contínua real. Os métodos numéricos de análise estrutural podem ser subdivididos em dois tipos: soluções numéricas de equações diferenciais para deslocamentos ou tensões, e métodos matriciais baseados na idealização discreta em elementos estruturais. No primeiro tipo a análise é baseada na aproximação matemática de equações diferenciais. As equações de elasticidade são resolvidas para uma configuração estrutural, tanto por técnicas de diferenças finitas quanto pela integração numérica direta. (Azevedo, 2003) No segundo tipo a teoria é desenvolvida na álgebra matricial. A estrutura é inicialmente idealizada com uma montagem de elementos estruturais discretos com formas da distribuição de deslocamentos e tensões, e a solução completa é então obtida pela combinação dessa distribuição de maneira que se satisfaça o equilíbrio de forças e a compatibilidade de deslocamentos nas junções desses elementos. (Azevedo, 2003) 2.6 Ensaio de flexão em três pontos Os ensaios de flexão em três pontos têm sido largamente utilizados na caracterização de materiais frágeis para determinação da tensão e flexa de ruptura

26 12 permitindo avaliar propriedades mecânicas tais como módulo de elasticidade à flexão, fator de intensidade de tensão crítico (K IC ), entre outros. O ensaio consiste em aplicar uma carga concentrada vertical, mono tonicamente crescente, no meio do vão de uma viga simplesmente biapoiada, conforme Figura 2.3. Figura Ensaio de flexão em três pontos de viga biapoiada A força F causa a contração das fibras na região superior (acima da linha neutra) devido compressão, enquanto que as fibras da região inferior (abaixo da linha neutra) são alongadas devido tração. Entre a região que se contrai e a que se alonga fica uma linha que mantém sua dimensão inalterada - a chamada linha neutra. Em corpos de prova feitos de materiais homogêneos e com seção transversal simétrica, costuma-se considerar que a linha neutra fica a igual distância das superfícies inferior e superior do corpo de prova ensaiado. O ensaio de flexão em três pontos apresenta peculiaridades do ponto de vista da mecânica da fratura sendo apropriado para avaliação do comportamento de materiais frágeis. Neste trabalho, optou-se pela utilização deste tipo de ensaio em detrimento da necessidade de estudar soluções que contribuam para o aumento da resistência mecânica do Zerodur quando submetido à flexão, sendo possível avaliar conjuntamente o comportamento da estrutura diante de esforços de compressão e tração. Na fase inicial de pesquisas surgiram algumas opções de reforço tais como fibra de carbono, fibra de vidro. No entanto, a escolha em se utilizar o aço carbono como reforço foi motivada por análise de compatibilidade das fases matriz e fibra (Zerodur /Aço) em relação a aspectos relativos a fabricação do compósito estrutural proposto.

27 Teoria de vigas De forma analítica, o estudo da relação entre comprimento (L) da viga e altura da seção transversal (h) para o qual o efeito das forças cisalhantes se torna desprezível no cálculo das deflexões é aqui desenvolvido segundo o Método das Forças Virtuais (MFV), sendo este uma versão do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Maiores informações sobre o PTV e MFV podem ser encontradas em literatura referente à área da mecânica dos materiais, tais como as obras de Crandall, et. al. (1978), Popov, (1978), Higdon, et. al. (1981), Beer, et. al. (1995), Gere (2003), Hibbeler (2010), entre outros. O MFV é empregado sobre o modelo estrutural de flexão estática a três pontos (Figura 2.4), objetivando-se encontrar a expressão para o cálculo do deslocamento abaixo do ponto de aplicação da força, considerando-se para tanto, a parcela dos esforços momento fletor e cortante. Figura Ilustração do Ensaio de Flexão Estática a Três Pontos De forma genérica, considerando-se apenas os esforços fletores e cisalhantes, o deslocamento em um ponto de interesse para uma estrutura constituída por elementos de barra é expresso pela Equação 2.3. n M ( x) * m( x) f s * Q( x) * q( x) 1 * Y dx dx (2.3) i 1 E * I G * A Nesta expressão,

28 14 Y - deslocamento linear ou rotação a ser calculado mediante o emprego da força ou momento virtual de módulo um; F - carga aplicada; M(x) - variação do momento fletor para um trecho da estrutura segundo o real histórico de cargas; m(x) - variação do momento fletor para um trecho da estrutura segundo o emprego de uma força ou momento unitário aplicado em um ponto de interesse; Q(x) - variação do esforço cortante para um trecho da estrutura segundo o real histórico de cargas; q(x) - variação do esforço cortante para um trecho da estrutura segundo o emprego de uma força ou momento unitário aplicado em um ponto de interesse; f s - fator de forma da seção transversal (dependente da geometria das seções transversais); E - módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young; I - momento de inércia da seção transversal; G - módulo de elasticidade transversal; A - área da seção transversal; L - comprimento da viga; b - medida da base da seção transversal; h - medida da altura da seção transversal. Os esforços solicitantes determinados entre os trechos AB e BC da Figura 2.4 são expressos respectivamente pelas Equações 2.4, 2.5, 2.6 e 2.7, segundo a convenção de sinais ilustrada na Figura 2.5.

29 15 Figura 2.5. Convenção de sinais positiva para os esforços F 1 M ( x) AB * x m( x) AB * x (2.4) 2 2 F 1 (2.5) M ( x) BC * ( 2 * x L) m( x) BC * ( 2 * x L) 4 4 ( ) F ; ( ) 1 (2.6) Q x AB q x AB 2 2 ( ) F ; ( ) 1 (2.7) Q x BC q x BC 2 2 Explicitando-se a Equação 2.3 para o caso do ensaio de flexão estática a três pontos (Figura 2.4), chega-se a expressão do cálculo do deslocamento (Y B ) abaixo do ponto de aplicação da força, assim como expressa a Equação 2.8. L/2 L L/2 L M( x) AB * m( x) AB M( x) BC * m( x) BC fs * Q( x) AB * q( x) AB fs * Q( x) BC* q( x) BC 1 * Y dx dx dx dx (2.8) E* I E* I G* A G A Z L Z * 0 /2 0 L/2 O fator de forma (f s ) para seções retangulares é igual a 6/5 (Beer, et. al., 1995). Substituindo este valor assim como os das Equações 2.4 a 2.7 na Equação 2.8 e fazendo-se algumas manipulações algébricas chega-se a Equação 2.9, que permite determinar o deslocamento vertical no ponto central B da viga (Figura 2.4). Y B F * L 3 3* F * L (2.9) 48* E * I 10* G * A Z O primeiro termo do lado direito da igualdade apresentada na Equação 2.9 contabiliza a parcela de deslocamento referente ao esforço de momento fletor e, a segunda, o esforço da força cortante. Utilizando-se da relação entre módulo de elasticidade longitudinal e transversal para materiais isotrópicos juntamente com a substituição do momento de inércia da seção retangular e da área de seção transversal, de medidas b e h, chega-se a expressão analítica final (Equação 2.10) utilizada para o cálculo do deslocamento vertical do ponto central da viga (ponto B).

30 16 3 Y F * L 3* (1 ) * F * L B 3 4* E * B * h 5* E * b * (2.10) h Estes raciocínios são a base para as teorias de vigas desenvolvidas por Euller- Bernoulli e Timoshenko. Designa-se por viga de Euler-Bernoulli (Equação 2.11) a formulação do elemento finito de viga em que se considera que as seções se mantêm planas e normais ao eixo da barra após a deformação. Neste modelo não é considerada a parcela da deformação devida ao esforço cortante. (Azevedo, 2003). Este modelo é também conhecido como modelo de viga longa. F * L 3 Y máx (2.11) 48* E * I Na formulação do elemento de viga de Timoshenko (Equação 2.12) é considerado que as seções planas se mantêm planas. Contudo, supõe-se que uma seção normal ao eixo da viga não mantém essa característica após a deformação. Deste modo é possível considerar a deformação devida ao corte. Y F * L 3 2* F * L(1 ) máx 48* E * I 4* E * b * (2.12) h 2.8 Modelo de Bimodularidade Para incorporar ao modelo numérico alguns mecanismos de processos de fratura tem sido utilizada em diversos trabalhos uma relação constitutiva baseada nos modelos clássicos da mecânica dos meios contínuos, conhecida como modelo de bimodularidade ou trinca difusa (Oller, 2001). Este modelo constitutivo considera que o material analisado teria um comportamento quando solicitado à tração diferente de quando estivesse sob compressão. Ou seja, o material apresenta uma

31 17 baixa resistência à tração, porém possui boa resistência à compressão, podendo, inclusive sofrer deformações plásticas, com ou sem endurecimento, sob compressão (Figura 2.6). Figura 2.6 Diagrama uniaxial de tensão versus deformação para modelo de trinca difusa Para esforços de tração, o modelo de trinca difusa permite um comportamento elástico até o limite de ruptura ( cr ). Alcançando este limite, admite-se o trincamento (caracterizado pela deformação de trincamento) do material na direção normal à máxima tensão principal (teoria de Rankine). Após a formação desta primeira trinca, o modelo passa a ter um comportamento ortotrópico permitindo a formação de, no máximo, três trincas perpendiculares entre si, caso as três tensões principais excedam o limite de ruptura do material. Desta forma, quando o valor da tensão principal máxima ( 1 ) em um ponto excede um valor predefinido para a tensão de ruptura, uma trinca perpendicular à direção principal seria formada. Neste mesmo ponto, uma outra trinca também poderia ser formada, mas somente no caso da segunda tensão principal ( 2 ) exceder o valor da resistência à ruptura, Figura 2.7. Em um caso extremo, neste mesmo ponto, uma terceira trinca, perpendicular às

32 18 anteriores, poderia acontecer somente se a tensão normal a ela ( 3 ) também ultrapassasse a resistência à fratura do material. O modelo também permite a incorporação de um comportamento de decréscimo na resistência da estrutura após a formação das primeiras trincas descritas através de um parâmetro de amolecimento do módulo de elasticidade (E S ). Este parâmetro, o qual pode ser determinado a partir das características do material e da geometria da malha utilizada, impede que a tensão de tração do modelo numérico num ponto trincado tenda rapidamente a zero, após a tensão normal máxima ter ultrapassado seu limite de resistência (Oller, 2001). O Zerodur apresenta um comportamento que se assemelha a este modelo de bimodularidade, ou seja, este material apresenta uma baixa resistência à tração, porém possui boa resistência à compressão, podendo, inclusive sofrer grandes deformações plásticas, com endurecimento sob compressão (Trent, 1984). Pode-se verificar que a correta incorporação de aspectos mecânicos e fenomenológicos inerentes à fratura em materiais é um fator chave para o sucesso e eficácia das metodologias aplicáveis à análise numérica de integridade mecânica. Por exemplo, a implementação da teoria de Rankine como critério de falha ainda deixa alguma imprecisão, pois não leva em consideração o histórico do carregamento nem a triaxialidade do campo de tensões que ocorre em problemas estruturais complexos (Oller, 2001). Entretanto, este critério de falha tem sido utilizado para avaliação do comportamento de materiais frágeis e pode apresentar bons resultados quando associado a uma análise numérica incremental do problema. Nos ensaios de indentação em materiais frágeis, o fato relacionado à ocorrência de fissuras localizadas nas proximidades da região de indentação e a manutenção do comportamento linear elástico da estrutura longe desta região, podem validar a utilização da teoria de Rankine como critério de falha nestas simulações numéricas. Isto talvez explique porque estes trabalhos de modelagem dos ensaios de

33 19 indentação têm utilizado como critério de falha a teoria de Rankine na análise dos processos de falhas em ensaios de indentação em materiais frágeis. Figura 2.7 Desenvolvimento de trinca perpendicular à direção da tensão principal σ 1 (Fonte: MSC. MARC, 2010) A evolução de trincas na estrutura resulta em uma diminuição de sua capacidade de resistência à carga, assim o campo das tensões internas deve ser redistribuída para regiões onde não ocorrem falhas, tornando esta simulação numérica uma análise extremamente não linear. Este modelo de fissura distribuída apresenta bons resultados globais quando a zona de fissura está restrita a pequenas dimensões em comparação com o tamanho da estrutura (Lemaitre, et. al., 1994; Oller, 2001). Um modelo similar de bimodularidade foi testado por Zhang e Subhash (2001) em um trabalho de análise numérica do ciclo de indentação em materiais frágeis. Entretanto, estes autores não estudaram um material específico, mas trabalharam com valores de dureza, módulo de elasticidade e resistência dentro da faixa de valores encontrados para materiais frágeis (Zhang, et. al., 2001). Para ilustrar o gasto computacional, informaram que este modelo numérico demandou 10h na execução desta análise, utilizando um computador de última geração para a época (Zhang, et. al., 2001).

34 20 Dentre as limitações apresentadas por diversos autores na utilização do modelo de trinca difusa, a principal seria no modelamento da nucleação de trincas uma vez que o modelo não permite o aparecimento de trincas que não estejam orientadas segundo as direções ortogonais principais (Zhang, et. al., 2001). No presente trabalho utilizou-se o modelo de bimodularidade para simular o comportamento do Zerodur durante ensaios de flexão em três pontos implementados no software comercial de elementos finitos MARC. O solver comercial MARC tem sido uma ferramenta eficaz no estudo de processos de fratura originados dos conceitos da mecânica clássica. CAPÍTULO 3 METODOLOGIA A metodologia utilizada neste trabalho tem como preceito o ensaio de flexão em três pontos. Este ensaio tem sido largamente utilizado na avaliação da resistência mecânica de materiais frágeis como, por exemplo, os cerâmicos e, recentemente, em compósitos estruturados.

35 21 O ensaio consiste em aplicar uma carga concentrada vertical, mono tonicamente crescente, no meio do vão de uma viga simplesmente biapoiada, conforme Figura 3.1. Tendo em vistas as particularidades do Zerodur e do compósito a ser estudado partiu-se do pressuposto que este tipo de análise teria um grande potencial na resolução do problema proposto. Figura Corpo de prova para ensaio de flexão de três pontos A boa interface gráfica do software de elementos finitos Marc (2010) e outros fatores como, conhecimento prévio no uso deste programa na simulação de ensaios de indentação e disponibilidade de sua licença no Laboratório de Mecânica Computacional do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de São João Del-Rei - MG, contribuíram na decisão de se usar este solver na análise dos modelos a serem estudados. As dimensões iniciais dos corpos de prova do ensaio de flexão foram definidas com base nas referências técnicas da norma ASTM E399 (1996). As relações descritas na norma estão ilustradas na Figura 3.1, onde L é a distância entre apoios, W é a altura, B a largura e P é a carga aplicada. Esta norma exibe os parâmetros básicos do ensaio de flexão em três pontos utilizado na mecânica da fratura linear elástica para determinação do fator crítico de tensões K IC. Ao longo das várias análises foi mantida constante a área da seção transversal (área = W*B) variando apenas o comprimento do corpo de prova.

36 22 Os materiais usados neste trabalho foram considerados isotrópicos e homogêneos. As principais propriedades mecânicas utilizadas estão mostradas na Tabela 3.1. Tabela Propriedades mecânicas dos materiais (Matweb, 2011) Material Módulo de elasticidade (E) Coeficiente de Poisson ( ) Zerodur 91 GPa 0,24 Aço 210 GPa 0,30 Os detalhes do modelo numérico proposto, arranjos e configurações analisados, validação dos modelos e metodologia de análise estão descritas no item subsequente. 3.1 Modelagem numérica Um modelo numérico deve representar de maneira satisfatória o ensaio experimental correspondente. Tal ação pode ser conseguida através da análise precisa dos fenômenos relacionados com o ensaio real, escolha de condições de contornos adequadas e que não gerem grande imprecisão ao modelo numérico. Na realização deste trabalho deparou-se com alguns problemas na modelagem devido à necessidade de simular com precisão os apoios e verificar a maneira adequada para modelar a aplicação da carga total do ensaio. A identificação destas condições tornou-se possível após análises de modelos bidimensionais e tridimensionais de vigas feitas com Zerodur. O corpo de prova bidimensional foi modelado por elementos isoparamétricos de 4 nós com restrição de movimento nas direções x e y, Figura 3.2. A malha adotada para o modelo tem distância entre apoios L = 2 m e altura W = 0,2 m. Neste modelo aplicou-se uma carga central de F = 500 N, considerando estado plano de tensões.

37 23 Figura Modelo bidimensional do ensaio de flexão para o vitrocerâmico (Zerodur ) Em seguida, as condições modeladas para o estado plano de tensões foram extrapoladas para um modelo tridimensional (3D), Figura 3.3. O modelo foi elaborado com elementos tridimensionais hexagonais de oito nós. A configuração geométrica 3D apresentou resultado de deflexão máxima que destoava dos resultados esperados segundo o modelo analítico de Euller-Bernoulii (Equação 2.11). A busca por respostas para este resultado inesperado serviu de motivação para estudos quanto ao efeito da força cortante em vigas curtas e longas.

38 24 Figura Modelo Numérico da viga feita de Zerodur Foram criados diversos modelos 3D mantendo a seção transversal da viga constante (área = W*B) e alterando o seu comprimento. Observou-se que à medida que se aumentava o comprimento das vigas os resultados de deflexão máxima convergiam para os valores esperados segundo a equação analítica de Euler Bernoulli (Equação 2.11). Para melhor entendimento desta situação, comparou-se também estes resultados numéricos com os valores obtidos através da equação analítica de Timoshenko (Equação 2.12). A validação do modelo tridimensional foi conseguida mediante a determinação de um comprimento de viga que propiciou uma equalização dos resultados de deflexão (Y max ) obtidos no modelo numérico com os resultados obtidos através das equação analítica de Euller-Bernoulli (Equação 2.11). Procedeu-se os estudos com simulações de compósitos. Foi representado numericamente o ensaio de flexão para avaliar estes materiais, que têm como fase matriz o Zerodur e como fase dispersa barras de aço carbono, dispostas conforme arranjos mostrados nas Figuras 3.4, 4.5 e 3.6. As barras de aço carbono totalizam uma área superficial de 0,00142 m² em cada viga. Espera-se que estas configurações para fase dispersa melhorem a rigidez mecânica do compósito quanto

39 25 a flexão, quando comparada com o comportamento de uma viga de mesmas dimensões feitas apenas com o material vitrocerâmico (Figura 3.3). Também se espera que as barras metálicas apresentem uma maior contribuição para resistir aos esforços de tração proveniente da flexão da viga (Miranda, et. al., 2011). Figura Compósito Zerodur /Aço com duas barras Figura Compósito Zerodur /Aço com três barras

40 26 Figura Compósito Zerodur /Aço com quatro barras Na formação do compósito Zerodur /Aço há uma região de interface entre os dois constituintes. Esta região tende ser crítica do ponto de vista da mecânica da fratura devido a concentração de tensões podendo acarretar uma fratura frágil na matriz do compósito. No intuito de incorporar ao modelo numérico esta particularidade utilizou-se o modelo de trinca difusa para avaliar o dano na interface. Para estudar o fenômeno de nucleação e propagação de trincas utilizou-se carregamento por incrementos. Isto se fez necessário uma vez que no modelo de trinca difusa as tensões internas devem ser redistribuídas para regiões onde não ocorrem falhas, tornando esta simulação numérica uma análise extremamente não linear. A análise incremental do modelo de trinca de difusa foi configurada com carga F=65 KN distribuída ao longo de 50 incrementos, conforme Figura 3.7.

41 27 Figura Parâmetros de entrada de uma simulação numérica do compósito Zerodur /Aço (Carga de 65 KN distribuída ao longo de 50 incrementos - steps) A última etapa do presente trabalho consistiu em avaliar o campo de tensões no compósito e utilizar os principios da mecânica da fratura através do modelo de dano de trinca difusa para avaliar uma possivel nucleação de trincas, principalmente, na interface Zerodur /Aço. Esta motivação decorre dos inconvenientes relativos a fratura frágil que podem acarretar o colapso total da estrutura sem uma propagação visível das trincas. É comumente definida como fratura silenciosa, pois nem sempre é precedida por uma trinca mensurável. As principais propriedades mecânicas usados nos modelos dos compósito estão ilustradas na Tabela 3.1. Os parâmetros para o modelo de trinca difusa adotado neste trabalho estão apresentados na Tabela 3.2. Através de sucessivas análises numéricas para validação do módulo de amolecimento, verificou-se que o

42 28 mesmo pode ser estimado como sendo um centésimo do valor do módulo de elasticidade do Zerodur (Dias, et. al., 2010). Tabela Parâmetros para o modelo de trinca difusa no vitrocerâmico E E s cr crush 91 GPa 9,1 GPa 98 MPa 1000 Para avaliar a formação de trincas nos modelos numéricos do compósito Zerodur /Aço calculou-se a carga crítica a ser aplicada nas vigas. A Equação 3.1 foi desenvolvida a partir do cálculo da tensão normal devido a flexão em vigas prismáticas. F cr 2 2 crbh (3.1) 3L Onde F cr é a carga crítica a ser aplicada no meio do vão capaz de nuclear trincas, cr é tensão crítica do material, b é a largura da viga, h é a altura e L o comprimento.

43 29 CAPÍTULO 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES Para modelar as vigas submetidas à flexão, restringiu-se o deslocamento nos apoios nas direções x, y e z. Aplicou-se uma carga total de 500 N no meio do vão das amostras. Na simulação numérica desta barra biapoiada, adotaram-se os seguintes valores: distância entre apoios, L = 2 m; altura de 0,2 m e largura de 0,1 m. A comparação entre os valores de deflexão dos modelos numéricos cem por cento Zerodur (bidimensional e tridimensional) e analítico estão apresentadas na Tabela 4.1. Os resultados numéricos se mostraram compatíveis com o valores de deflexão máxima esperados em uma barra biapoiada segundo Equação 2.11 (Modelo Analítico de Euler Bernoulli). Tabela Valores de deflexão obtidos através dos modelos numéricos em comparação com a deflexão calculada através da equação analítica de Euler Bernoulli MODELO Y máx (m) DIFERENÇA (%) Euler Bernoulli 1,389E-05 - Zerodur bidimensional 1,399E-05 0,72 Zerodur tridimensional 1,419E-05 2,16 Na etapa inicial do trabalho tinha-se como foco limitações das vigas quanto ao tamanho e metodologia a ser aplicada. A premissa inicial era desenvolver o modelo numérico e comparar os resultados com a equação analítica proposta por Euler- Bernoulli (Equação. 2.11). Com o desenvolvimento do presente trabalho, apareceram algumas situações interessantes que conduziram o estudo para abordagens a respeito de quanto o efeito da força cortante sobre o deslocamento transversal da viga era relevante. Por isso, manteve-se constante a carga aplicada (F=500N), a área da seção transversal da viga (0,2 x 0,1 m) para, em seguida, variar o seu comprimento. Esta

44 30 ação apontou oportunidades de estimar o que seria efetivamente uma viga longa e uma viga curta. A Tabela 4.2 traz resultados das simulações numéricas feitas comparando as diferentes configurações de vigas com os modelos analíticos de Euler- Bernoulli e Timoshenko. Tabela Comparação dos valores de deflexão da viga a partir do ensaio de flexão em três pontos, em função de seu comprimento para uma mesma seção transversal ANALÍTICA NUMÉRICA (Zerodur ) L (m) Y (m) Euler Bernoulli Y (m) Timoshenko Viga Y (m) 0,96 1,54E-06 1,73E-06 0,2 x 0,1 x 0,96 1,86E-06 1,20 3,00E-06 3,25E-06 0,2 x 0,1 x 1,4 3,34E-06 2,00 1,39E-05 1,43E-05 0,2 x 0,1 x 2 1,419E-05 2,40 2,40E-05 2,45E-05 0,2 x 0,1 x2,4 2,61E-05 2,80 3,81E-05 3,87E-05 0,2 x 0,1 x 2,8 3,89E-05 3,20 5,69E-05 5,76E-05 0,2 x 0,1 x 3,20 5,67E-05 4,80 1,92E-04 1,93E-04 0,2 x 0,1 x 4,80 1,92E-04 8,00 8,89E-04 8,91E-04 0,2 x 0,1 x 8,0 8,76E-04 Estes resultados indicaram que em vigas de comprimento inferior a L= 3,20 m, a existência da força cortante exerce influência significativa sobre deslocamento transversal da viga. Deste modo, para vigas chamadas de curtas, os valores de deflexão da Equação analítica de Timoshenko traz resultados com maior exatidão quando comparados com os resultados obtidos pela Equação analítica de Euller- Bernoulli. Após essas comparações e análises entre vigas longas e curtas, optou-se por estudar o compósito com as seguintes dimensões : L = 4,8 m; h = 0,2 m e b = 0,1 m e carga F = 500N. Conforme Tabela 4.2, este comprimento garante que as vigas a serem analisadas tenham um comportamento de viga longa, podendo comparar os resultados de deflexão com o resultado analítico, obtido através da equação de deflexão da linha elástica de uma barra biapoiada com uma carga aplicada no meio do vão, Equação 2.11.

45 31 A Figura 4.1 ilustra a malha do modelo numérico tridimensional para avaliar seu comportamento durante o ensaio de flexão. A comparação entre os valores de deflexão deste modelo numérico e o analítico estão apresentados na Tabela 4.3. Tabela Valores de deflexão (Y max ) obtidos através do modelo numérico e deflexão calculada através da Equação analítica de Euler Bernoulli Modelo Y max (m) Euler Bernoulli (analítico) 1,92E-04 Cem por cento Zerodur (numérico) 1,92E-04 Figura Condições de contorno do ensaio numérico Este resultado numérico para o modelo 3D se mostrou compatível com o analítico. Desta forma, foi possível concluir que este modelo se encontra calibrado. A validação do modelo foi uma etapa muito importante da análise pois indica o quanto o grau de influência de certas considerações e condições de contorno assumidos nos modelos numéricos. Posteriormente, comparou-se a Y max do modelo numérico cem por cento Zerodur com Y max dos compósitos Zerodur /Aço nas diferentes configurações apresentadas. Os resultados estão expressos na Tabela 4.4.

46 32 Tabela Valores de Y max obtidos numericamente para diferentes configurações de vigas Zerodur /Aço comparados com o valor de Y max de um modelo numérico Cem por cento Zerodur Configuração Cem por cento Zerodur Compósito com duas barras de aço Compósito com três barras de aço Compósito com quatro barras de aço Y máx (m) 1,92E-04 1,69E-04 1,75E-04 1,75E-04 A diminuição na deflexão indica um aumento da rigidez mecânica do compósito, potencializando a resistência da viga, o que traz boas perspectivas de utilização do compósito Zerodur /Aço em diversas estruturas. Percebeu-se que a configuração com duas barras de Aço é a opção mais indicada quando se pretende utilizar um compósito sujeito a solicitações majoritariamente de flexão. O valor da máxima deflexão para esta configuração representou uma diminuição no deslocamento da barra de aproximadamente 12% quando comparado com o modelo 3D do vitrocerâmico. Esta diminuição na deflexão indica um aumento da rigidez do compósito melhorando suas perspectivas de utilização em diversas estruturas. A distribuição numérica dos campos de tensão dos compósitos segundo critério de falha de Rankine está representada na Figuras. 4.2, 4.3 e 4.4.

47 33 Figura Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga Zerodur em três pontos (compósito Zerodur /Aço - duas barras) Figura Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga Zerodur em três pontos (compósito Zerodur /Aço - três barras)

48 34 Figura Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga Zerodur em três pontos (compósito Zerodur /Aço - quatro barras) Para análise, escolheu-se uma seção transversal do meio do vão ao final do ensaio uma vez que esta seção apresenta a maior deflexão e consequentemente, o maior gradiente de tensões devido a flexão da viga. Pode-se verificar que a região inferior central é a porção crítica da barra, com grande nível de solicitação à tração. As fibras superiores estão sujeitas apenas aos esforços de compressão. Avaliando a distribuição de tensões nestas seções, verifica-se que em todas as configurações as barras de aço estão submetidas a maiores tensões. Isto mostra que o posicionamento das barras foi correto, pois elas tendem a suportar bem as tensões de tração. Dessa forma, funcionam como reforço estrutural do compósito impedindo o carregamento trativo direto sobre as fibras inferiores do vitrocerâmico. No arranjo com duas barras de aço, a tensão principal máxima foi da ordem de 1,24 MPa, no arranjo com três barras de aço foi 1,18 MPa e no arranjo com quatro barras 1,28 MPa.

49 35 Para efeito de análise das regiões sujeitas a propagação das trincas e possível falha analisou-se os campos de deformação de trincamento no arranjo com três barras de Aço. Aplicou-se carga de 65 KN, carga superior a F crit (54,44 KN), propiciando a avaliação dos danos após a nucleação das trincas. A Figura 4.5 mostra a criticidade de tais regiões segundo critério de dano de trinca difusa.. Figura Avaliação da deformação de trincamento em uma viga do compósito Zerodur /Aço submetida a um carregamento de 65 KN Escolheu-se nós dispostos em regiões críticas da viga para avaliar a deformação de trincamento no decorrer da análise (incrementos). A Figura 4.6 representa a locação e nomenclatura dos nós analisados e a Figura 4.7 o campo de deformações na viga. Os nós, localizados na interface Zerodur /Aço (7805, 9257 e 10709) assim como, na fibras inferiores da viga (2844, 3086 e 3449) foram escolhidos levando-se

50 36 em consideração os resultados anteriores de Tensão Principal Máxima. Para uma melhor intrepretação da criticidade desta região, também foi escolhido um nó fora da interface e a uma certa distância das fibras inferiores (12403). Figura Nós escolhidos para análise de deformação de trincamento A região das fibras inferiores do compósito se mostrou mais crítica do que a região de interface Zerodur /Aço. Ocorreu dano nos nós das fibras inferiores (2844, 3086 e 3449) a partir do trigésimo quinto incremento, conforme o comportamento da deformação de trincamento nesta região. Já na região da interface, o dano a estrutura começou a surgir entre o trigésimo quinto e o quadragésimo incremento. Além disso, o dano nas fibras inferiores foi muito mais intenso do que em qualquer outra região da seção transversal. No nó 12403, situado entre as duas barras de aço, mas fora da interface e a uma certa distância das fibras inferiores, ocorreu dano semelhante aos da região de