Dados dos minicursos do III Colóquio de Matemática da Região Norte. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Transcrição

1 Dados dos minicursos do III Colóquio de Matemática da Região Norte. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM01 - Teoria dos Números e a Lei de Reciprocidade Quadrática. Fernando Vieira (UFAL) e outros. Dia 13 Auditório Rio Solimões e dias 15 e 17 Auditório da Faculdade de Direito (FD). Alunos de Graduação, Pós-Graduação e Professores. Carl Friedrich Gauss ( ) foi um matemático alemão, hoje considerado um dos maiores de toda a história. Em seu clássico livro Disquisitiones Arithmeticae, um trabalho que revolucionou a bela Teoria dos Números, introduziu uma nova notação e, com ela, demonstrou diversos resultados. Neste, demonstrou com formalidade, pela primeira vez, a já famosa Lei de Reciprocidade Quadrática, um grande resultado que permite tratar de maneira muito eficiente os resíduos quadráticos, pontapé inicial para congruências de grau mais elevado. Neste minicurso, vamos demonstrá-la e aplicá-la, o que nos fará perceber o quão simples as questões se tornam com a mesma. Para isso, teremos de percorrer importantes teoremas subjacentes à Lei, tais como: Teorema de Wilson, Pequeno Teorema de Fermat, Critério de Euler, Lema de Gauss, etc. Certamente o minicurso será mais proveitoso para aqueles que já tiveram um curso introdutório de Teoria dos Números, isto é, aqueles que têm alguma familiaridade com os resultados básicos de divisibilidade e congruência modular. Para além disso, todos os novos conceitos serão definidos e todos os resultados principais serão provados. Exporemos as aulas através de projeção e as demonstrações serão construídas em conjunto a turma no quadro. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM02 - O Grau Topológico de Brouwer e o Teorema de Poincaré-Miranda.

2 José Marcos (UFPE). Auditório José Henrique de Sá Mesquita Alunos de Graduação, Pós-Graduação e Professores. Neste trabalho, apresentaremos o Teorema de Poincaré-Miranda, o qual é uma generalização o do Teorema de Miranda, que por sua vez é uma versão generalizada do Teorema do Valor Intermediário, muito conhecido nos cursos de Cálculo e Análise Real. O Teorema de Poincaré-Miranda é muito utilizado no campo das Equações Diferenciais. Para demonstrá-lo, usaremos o Grau Topológico de Brouwer. Assim, dividiremos este trabalho em quatro cap ítulos. No Capítulo 1, estudaremos as definições e os resultados básicos envolvendo sequências, topologia e continuidade em R n. Já no Capítulo 2, veremos as aplicações diferenciáveis, compreendendo, inclusive, o Teorema da Aplicação Inversa e o Teorema de Sard. No Capítulo 3, faremos um estudo sobre o Grau Topológico de Brouwer e concluiremos com a apresentação do Teorema de Poincaré-Miranda, no Capítulo 4. Para facilitar o andamento do minicurso, é aconselhável que os interessados tenham conhecimentos básicos de Álgebra Linear. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM03 - Campos de Vetores Polinomiais e Hipersuperfícies Invariantes. Maurício Corrêa (UFMG). Sala 106 e 107 Bloco de salas do ice.

3 Vamos estudar a existência de soluções algébricas para sistemas de equações diferenciais Ordinárias e campos de vetores polinomiais. Vamos apresentar as teorias de integrabilidade algébrica de Darboux-Jouanolou e Lagutinskii-Pereira. Também trataremos o problema de Poincaré para campos polinomiais, exibindo um teorema de caracterização de Zariski-Esteves para campos homogêneos com hipersuperfícies algébricas não singulares invariantes. Por fim, demonstraremos a versão dinâmico discreta do teorema de Darboux-Jouanolou devido a S. Cantat. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM04 - Introdução aos Sistemas Dinâmicos Unidimensionais. Carlos Bocker (UFPB). Sala 201 e 202 do bloco de salas do ice. O principal objetivo no estudo de sistemas dinâmicos é entender o comportamento a longo prazo de estados presentes em um sistema cuja evolução é dada por uma regra determinística. Para representar a realidade, é razoável acreditar que precisamos de muitas variáveis. Entretanto, sistemas dinâmicos dependendo de apenas uma variável já apresentam comportamentos riquíssimos em termos de complexidade, podendo inclusive ser caótico. Neste minicurso estudaremos apenas sistemas dinâmicos unidimensionais. Mais precisamente, vamos introduzir o nosso estudo através de exemplos, vamos definir alguns objetos essenciais e, em seguida, vamos estudar uma família de funções a um parâmetro chamada de família quadrática e finalizamos com o Teorema de Sharkovsky. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4 MM05 - Introdução à Dinâmica Holomorfa. Sylvain Bonnot (USP). Sala 201 e 202 Bloco de salas do ice O objetivo deste mini-curso é dar uma introdução rápida na área da dinâmica holomorfa, com ênfase em exemplos explícitos. Para isso, muitas ilustrações foram incluídas: a maioria dos objetos da dinâmica holomorfa, como os conjuntos de Julia, ou o conjunto de Mandelbrot possuem uma beleza natural revelada somente nos anos 80 com o uso dos computadores. Nessas notas, me concentrei principalmente nos aspectos topológicos da teoria, mas muitas outras abordagens são possíveis. O curso aborda a dinâmica local de uma aplicação holomorfa (com varios teoremas de linearização), a dinâmica global (noções de conjuntos de Julia, de Fatou), um estudo da familia quadrática (com ênfase na topologia do conjunto de Mandelbrot) e uma introdução basica à dinâmica holomorfa em várias variáveis (aplicações de Hénon complexas). Dias 14, 16 e 17/10/2014 das 08h30min as 10h00min %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM06 - Grupos e álgebras de Lie Carlos Jose Matheus (UEPG) Auditório José Henrique de Sá Mesquita

5 Apresentamos tópicos fundamentais da teoria de Lie, enfatizando a relação entre os grupos de Lie e suas álgebras de Lie. O capítulo 1 trata das álgebras de Lie, em uma tentativa de evidenciar a beleza e elegˆancia dessa teoria algébrica. O capítulo 2 trata das variedades diferenciáveis que vão formar o ambiente para a apresentação dos grupos de Lie. O capítulo 3 trata dos grupos de Lie e de suas relações com as álgebras de Lie, passando por conceitos fundamentais como o da aplicação exponencial e o da representação adjunta.. Dias 14, 16 e 17/10/2014 das 08h30min as 10h00min %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM07 - Aplicações biológicas de cadeias de Markov. Armando Neves (UFMG). Sala 106 e 107 Bloco de salas do ice. Cadeias de Markov são modelos para alguns sistemas que evoluem de forma estocástica. Por exemplo, as frequências de genes em uma população dependem de processos aleatórios tais como qual indivíduo teve o azar de morrer em um determinado instante e qual indivíduo teve a sorte de se reproduzir. A deriva genética é um fenômeno interessante em que, mesmo na ausência de seleção natural, as frequências com que genes aparecem em uma população se movem de forma errática. O objetivo deste minicurso é usar a Matemática básica ensinada ao nível universitário para - de forma autocontida - definir cadeias de Markov e estudar sua convergência ou para um estado de equilíbrio, ou para estados absorventes. No caso em que existem estados absorventes, como nos modelos da Genética de Populações, podemos calcular a

6 probabilidade de absorção em cada um deles e quanto tempo leva, em média, para que a absorção ocorra. Usando as mesmas ideias também falaremos de um modelo que formulamos com Maurizio Serva para a extinção dos Neandertais e o processo de miscigenação destes com populações africanas, originando a humanidade atual. Dias 14, 16 e 17/10/2014 das 8:30 as 10:00 h. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MM08 - Introdução à Álgebra Geométrica Responsáveis: Cícero Mota (UFAM) e Marcus Marrocos (UFABC) Auditório da Faculdade de Direito (FD) Alunos de graduação, Ensino Médio e Professores. Pré-requisitos Trata-se de um curso introdutório à teoria e aos métodos de Álgebra Geométrica, os prérequisitos são mínimos: conhecimento de Geometria Euclidiana ou Geometria analítica ao nível do Ensino Médio. Para as aplicações é necessário algum conhecimento de Cálculo. Objetivos A Álgebra Geométrica fornece uma linguagem algébrica que exprime de forma mais concisa, unificada e abrangente algumas propriedades dos espaços euclidiano, especialmente aquelas envolvendo conceitos lineares como retas e planos. Eliminando quase que completamente o uso de coordenadas, a Álgebra Geométrica permite a representação algébrica de propriedades geométricas de forma muito sintética, unificada e elegante, levando frequentemente a uma entendimento mais claro do assunto pelos alunos. Muitos conceitos da Física são descritos por conceitos originados na geometria: forças são representadas por vetores, etc. A Álgebra Geométrica permite apresentar esses conceitos de forma mais intuitiva, unificada e natural. Esperamos que o assunto atraia a atenção dos estudantes de engenharia e das ciências naturais.

7 O curso abrange os principais tópicos de um curso de Geometria Analítica elementar. Iniciaremos apresentando a Álgebra Geométrica de forma axiomática, dessa forma conseguimos chegar nas aplicações nas diversas vertentes das ciências aplicadas. Exibiremos os conjuntos dos complexos, quartérnios e perplexos como subestruturas naturais da Álgebra Geométrica. Seguiremos para as aplicações em geometria analítica exibindo objetos tais como retas, planos, cônicas e quádricas sem o apelar a coordenadas cartesianas. Contudo, será indicado sempre que necessário o caminho para exibir os respectivos objetos utilizando coordenadas. Encerraremos o curso apresentando uma solução para o problema dos dois corpos. Dias 14, 16 e 17/10/2014 das 08:30 as 10:00 h.