Módulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algébricas. Produtos Notáveis. Oitavo Ano

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1 Módulo de Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algéricas Produtos Notáveis Oitavo Ano

2 Produtos Notáveis 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Siga o modelo e calcule os produtos notáveis: a) (x+1). ) (4+x). c) (x+ 3). d) (3x+1). e) (4x+). (x+5) = x + x 5+5 = x +10x+5 Exercício. Calcule os produtos notáveis: a) (x+3). ) (x+3y). c) (x +3). d) (a +3 ). e) (x 4 +3 ). Exercício 3. Veja o seguinte exemplo para calcular o quadrado de um número: 4 = (40+) = = = 1764 Calcule os quadrados de 13, 41e19 sem usar a calculadora. Exercício 4. Calcule o valor das expressões: a) ( a+ ) a. a) (x 1)(x+1). ) (4 a)(4+a). c) (x 3z)(x +3z). d) ( x+ y)( x y)(x+y) Exercício 7. Siga o modelo aaixo e calcule o valor das expressões dadas. a) ) c) = (30 3)(30+3) = 30 3 = 891 Exercícios de Fixação Exercício 8. Ao efetuarmos a multiplicação (a + )(a + ) usando a distriutividade, quantas operações de multiplicação faremos? Exercício 9. Repita o exercício anterior com a multiplicação (a + )(a + )(a + ). Em seguida, determine quantas cópias de a aparecem no resultado. Finalmente, conclua com argumentos de contagem que: (a+) 3 = a 3 +3a +3a + 3. Exercício 10. Encontre uma figura que explique geometricamente, através do uso de áreas, a equação: = 6 7. Exercício 11. A figura aaixo explica geometricamente, usando áreas, o desenvolvimento do produto notável (a+) = a +a+. Você conseguiria oter uma figura que explicasse geometricamente, tamém usando áreas, a equação (a+) +(a ) = (a + )? ) (x+1) +(x 1). c) (a+1) +(a+1)a+a +(a+1)+1. Exercício 5. Calcule as expressões: a) ( a ). a ) ( a+). c) (a+3c). d) (a ). Exercício 6. Calcule os produtos: a Exercício 1. Encontre uma figura que explique geometricamente, através do uso de áreas, a equação: = matematica@omep.org.r

3 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 13. O professor Medialdo acaa de explicar a seus alunos que a média aritmética de dois números a e é a+ e a média geométrica é a. Antes de entregar as notas de duas provas aplicadas anteriormente, ele decidiu testar o conhecimento dos seus alunos perguntando se eles prefeririam que cada um receesse a média geométrica ou a média aritmética das duas notas. Considerando que os alunos desejam a maior nota possível no oletim, o que eles devem dizer ao professor Medialdo? Exercício 14. João deseja construir um retângulo usando um arame com metros de comprimento. Qual é a maior área possível de tal retângulo? Exercício 15. Sejam a e números reais. decidiu procurar algum padrão que pudesse ajudá-lo a descorir qual a quantidade ideal de produtos que deveriam ser ofertadas para maximizar a quantidade de produtos vendidos. Depois de um om tempo querando a caeça, ele perceeu que se a produtos eram ofertados, então a loja vendia a(10 a) itens. Em seguida, com a ajuda de um produto notável semelhante a essa expressão, foi possível achar a quantidade ideal de produtos que deveriam ser vendidos. Como ele fez isso? Exercício 0. O pai de João (veja o prolema anterior), perceendo a astúcia do filho, decidiu desafiá-lo a fazer o mesmo com uma fórmula em diferente e supondo agora que a é um número real qualquer. Nesse novo prolema, dado a real, ele deve tentar achar o valor máximo de 4a a 4. Novamente usando produtos notáveis, João conseguiu descorir que o máximo de tal expressão é 3. Você consegue descorir como ele fez isso? a) Verifique que (a+) 4a. ) Verifique que 1 a a+. c) Verifique que 1 a c + 16 d 64 a++c+d Exercício 16. Se x,y,a e são reais tais que x y = a e x+ y =, determine o valor de xy. (a) 4 a 4 4 (d) 1 (e) a. () a (c) a + Exercício 17. Calcule o valor do número: (014013)(01401) Exercício 18. Sejam: A = B = Quanto vale A B? (a) () 3 (c) 1 (d) + (e) + 3. Exercício 19. João está ajudando seu pai com as finanças de sua loja. Como a quantidade de produtos ofertados estava influenciando a quantidade de produtos vendidos, ele matematica@omep.org.r

4 Respostas e Soluções 1 Exercícios Introdutórios 1. a) x +x+1. ) 16+8x+x. c) x + 3x+3. d) 9x +6x+1. e) 16x +16x+4.. a) 4x +1x+9. ) 4x +1xy +9y. c) x 4 +6x +9. d) a 4 +6a e) x 8 +18x = (10+3) = = 169; 41 = (40+1) = = 1681; 19 = (0 1) = = a) ( a+ ) a = a+ a+ a = a+. ) (x+1) +(x 1) = (x +x+1)+(x x+1) = x +. c) (a+1) +(a+1)a+a +(a+1)+1 = ((a+1)+a) +(a+1)+1 = (a+). 5. a) a +a+. ) 4a 4a+. c) 4a +1ac+9c. d) 4a 8a a) x 1. ) 16 a. c) x 4 9z. d) 7. a) = ) = c) = 100. ( x+ y)( x y)(x+y) = (x y)(x+y) = (x y ) Exercícios de Fixação 8. Cada termo otido após usarmos a distriutividade teve um de seus memros vindo de alguma letra entre os primeiros parênteses e o segundo vindo de alguma entre os segundos parênteses. Assim, como temos duas possiilidade de escolhas em cada um deles, teremos no total termos possíveis na múltiplicação. Isso pode tamém pode ser facilmente visualizado se momentaneamente colocarmos um índice para distinguirmos de qual parêntese veio cada letra. Por exemplo: (a )(a + ) = a 1 a +a a Como temos três parênteses e em cada um deles temos duas escolhas, o número de termos é = 8. Para formarmos o termo a, dois parênteses irão fornecer a letra a e o outro a letra. Uma vez escolhido aquele que irá fornecer a letra, os demais estão determinados. Podemos fazer tal escoha de 3 formas e assim existirão três termos a. O mesmo argumento se aplica ao termo a. A única maneira de formarmos os termos a 3 e 3 é escolhendo a mesma letra em todos os parênteses e isso só pode ser feito de uma forma. Assim, (a+) 3 = a 3 +3a +3a matematica@omep.org.r

5 10. O retângulo 6 7 desenhando aaixo foi dividido em duas figuras na forma de escada. Em cada coluna, estamos escrevendo quantos quadrados foram pintados. Como as duas figuras são iguais, a soma dos quadrados pintados - que corresponde ao termo da equação -, deve ser igual à metada da área do retângulo, ou seja, = 6 7. Veja que área do quadrado maior de lado 9 é a soma das áreas das regiões destacadas e cada uma delas é da forma n + 1 onde n é o lado do quadrado que a região contorna. É possível construirmos quadrados cada vez maiores e mostrarmos que a soma dos k primeiros inteiros positivos ímpares é igual à k. 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames 13. Como todo quandrado perfeito é um número não negativo, se a e representam as notas de um aluno, temos: Construindo um rentângulo n (n+1), é possível mostrar que: n = n(n+1). 11. Um exemplo seria: a a + = + a a a Comentário: O exemplo anterior é de Shirley Wakin e foi retirado do livro Proofs without words escrito por Roger Nelsen. O leitor interessado poderá encontrar mais exemplos interessantes em tal fonte. 1. Um exemplo seria: ( a ) 0 a a+ 0 a+ a a+ a Assim, é preferível escolher a média aritmética porque ela é sempre maior ou igual à média geométrica. Comentário: Provamos que se a e são não negativos, então: a+ a. Isso é um caso particular do resultado mais geral de que a média aritmética de n números reais não negativos é sempre maior ou igual à média geométrica de tais números. 14. Sejam a e as dimensões do retângulo, devemos ter que a+ =, ou seja, a+ = 1. A área otida será a. Pelo exercício anterior, a = ( a) ( a+ ) = 1 4. Assim, a área máxima é 1. Podemos otê-la construindo 4 um quadrado de lado a) Vamos usar novamente o fato de que todo quadrado é um número não negativo, daí: (a ) 0 a a+ 0 a +a+ 4a (a+) 4a ) Dividindo a expressão do item anterior por a(a + ) otemos: 1 a + 1 = a+ 4 a a matematica@omep.org.r

6 c) Usaremos o item anterior três vezes: ( 1 a + 1 ( 4 a+ + 4 c ( ) + 4 c + 16 d ) + 16 d ) 16 a++c + 16 d 64 a++c+d. 16. (Extraído da OBM 014) Usando a diferença de quadrados, podemos escrever: Assim, otemos: ( x+ y)( x y) = (x y). x y = x+ y = x y x+ y = a Resolvendo o sistema anterior, encontramos x = +a e y = a. Assim, xy = 4 a Se denotarmos por a = o valor da expressão anterior pode ser escrito como: (a+1) (a+1)a+a = [(a+1) a] = 1. Para terminar, veja que: A B = + 3 C = Resposta C 19. Note que: = 1 a(10 a) = 10a a = a a = 5 (5 a) Como (5 a) é sempre um número não negativo, a última expressão é no máximo 5. Tal valor é atingido apenas quando (5 a) = 0, ou seja, quando a = a a 4 = 4a a +a a 4 = 4a+1 a 1+a a 4 = 4a+1 a (a 1) = 3 +4a a (a 1) = 3 (a 1) (a 1). Como (a 1) +(a 1) é sempre um número não negativo por se tratar da soma de três quadrados, a expressão anterior é no máximo 3. Veja que tal valor pode ser atingido quando a = Pela diferença de quadrados, temos: B = = Apliquemos novamente a diferença de quadrados para oter o número: C = B = = 3 Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 5 matematica@omep.org.r