SELEÇÃO DE PORTFÓLIOS COM CURTOSE: UMA APROXIMAÇÃO PARA MÚLTIPLOS OBJETIVOS SOB A SEMIVARIÂNCIA DO MERCADO

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1 SELEÇÃO DE PORTFÓLIOS COM CURTOSE: UMA APROXIMAÇÃO PARA MÚLTIPLOS OBJETIVOS SOB A SEMIVARIÂNCIA DO MERCADO Resumo Autoria: Alberto S. Matsumoto, Carlos Alberto Orge Pinheiro Na presença de curtose a seleção de portfólios envolve objetivos competitivos e conflitantes, tais como maximizar ambos, retorno esperado e o inverso da curtose além de minimizar o risco, medido através da semivariância. Como é improvável que a seleção de portfólios possa resolver um problema simultâneo de múltiplos objetivos, a seleção de portfólios depende da preferência do investidor entre esses objetivos. A partir do modelo desenvolvido por Lai (1991) e da aversão do investidor por curtose, conforme Scott e Horvath (1980), este artigo tem como objetivo mostrar que a preferência do investidor pode ser incorporada a um problema de programação de objetivo polinomial do qual a seleção de portfólios com curtose é determinada, sob a condição da semivariância ser igual a semivariância do mercado. A aplicação da programação de objetivo polinomial na seleção de portfólio deve-se a: (i) existência de uma solução ótima; ii) flexibilidade na incorporação da preferência do investidor e iii) relativa simplicidade da computação. Desta forma, com base no retorno de cinco ativos com risco e do ativo livre de risco, para o mercado brasileiro, no período de janeiro de 2007 a dezembro de 2008, foi possível, com base em diferentes combinações entre as preferências por retorno e curtose, verificar que o portfólio de média-semivariância ineficiente é um portfólio ótimo ao considerar a média-semivariância-curtose. A eficiência deste portfólio é especificada pela presença da menor curtose. 1. Introdução Com base nas funções de utilidade de von Neumann-Morgenstern, Markowitz (1952) estabeleceu uma negociação entre retorno e risco para um conjunto de portfólios, através do modelo de seleção de média-variância. No contexto, o modelo definiu a fronteira eficiente para portfólios, de forma que o retorno de cada um deles aumenta à medida que o investidor esteja disposto a incorrer mais risco, medido através do segundo momento estatístico (variância). Tal abordagem conforme Briec e Kerstens (2007) é dependente dos dois primeiros momentos da distribuição de uma variável aleatória e só é coerente com a utilidade de von Neumann-Morgenstern quando: (i) os retornos dos ativos apresentam-se sob a forma de uma distribuição normal e (ii) os investidores apresentam funções utilidades do tipo quadráticas. No entanto, alguns estudos, a exemplo de Estrada (2002) e Ballestero (2005), questionam a normalidade dos retornos desses ativos. Não somente isso, os autores justificam que a medida semivariância 1 é mais plausível que a variância quando a distribuição de retornos dos ativos é assimétrica. Quando a decisão de investimento entre ativos é restrita a um intervalo de tempo finito, Samuelson (1970) mostra que a eficiência da seleção do modelo de média-variância se torna inadequada e os momentos superiores se tornam relevantes para a seleção de portfólio. Desta forma, os investidores estão preocupados com outros momentos, a exemplo do terceiro e do quarto momento, definidos, respectivamente, por assimetria e curtose. Vale ressaltar, conforme Scott e Horvath (1980) que os investidores são avessos ao quarto momento. A importância da assimetria é documentada na literatura financeira através dos trabalhos Arditti e Levy (1975) no modelo de precificação de ativos e por Friedman e Savage (1948) na comprar de um ticket de loteria. Arditti (1967) demonstra que a preferência do investidor por mais assimetria por menos é consistente com a noção de aversão absoluta decrescente ao 1

2 risco, porque o retorno de um ativo com assimetria positiva se refere a uma cauda alongada à direita da função densidade do retorno. Acontece que incorporar a assimetria num modelo de seleção de portfólios torna o modelo com objetivos múltiplos e conflitantes, conforme seja, maximizar o retorno e a assimetria e, ao mesmo tempo, minimizar a variância. Como os objetivos são múltiplos e conflitantes a resolução do modelo de seleção se dá através do julgamento subjetivo do investidor e das suas preferências relativas, por retorno e assimetria. Visando incorporar essas preferências, Lai (1991) demonstrou que a seleção de portfólio com assimetria é determinada através da solução de um problema de programação de objetivo 2 polinomial no qual as preferências do investidor por retorno e assimetria são incorporadas. Após o trabalho de Lai (1991) outras pesquisas, a exemplo de Chunhachinda et al (1997), Prakash et al. (2003), Sun e Yan (2003) e Canela e Collazo (2007), aplicaram para seleção de portfólios a assimetria. Além da assimetria a existência de um prêmio de risco para curtose tem sido explorada em outros trabalhos, a exemplo de Fang e Lai (1997) e Dittmar (2002), nos modelos de precificação de ativos. Da mesma forma, a seleção de portfólios com curtose tem atraído a mesma atenção na literatura, a exemplo dos trabalhos de Davies, Kat e Lu (2005) e Lai, Yu e Wang (2006). Utilizando a programação de objetivo polinomial os trabalhos demonstram que a seleção de portfólios com base na média-variância-assimetria pode ser melhorada pela inclusão da curtose. Sob a existência de uma assunção de ativos bem diversificados e livres de riscos, variância unitária, venda curtas e empréstimos com base na taxa livre de risco os dois trabalhos fornecem um modelo para definir portfólios ótimos com ativos de risco. Acontece que à medida que a preferência do investidor em relação ao risco se apresentar mais próximo do conceito assimétrico, a seleção de portfólios, buscando a minimização da semivariância, coloca-se em nível de superioridade em relação à seleção que faz uso da variância, conforme Andrade (2006, p.35). Isto acontece porque a semivariância proporciona uma proteção em relação ao risco assimétrico à esquerda. Assim, a seleção de portfólios com base na semivariância apresenta-se mais eficiente, uma vez que para o mesmo nível de retorno apresenta um menor risco, quando comparada com a fronteira eficiente com base na variância. Desta maneira, o propósito deste artigo é demonstrar que uma seleção de portfólio com curtose é determinada através da solução de um problema de programação de objetivo polinomial no qual as preferências e objetivos do investidor, em relação ao retorno e a curtose, são incorporados, sob a condição da semivariância ser igual a semivariância do mercado. Uma característica importante da programação de objetivo polinomial é a existência da solução ótima porque as soluções viáveis sempre existem. Conseqüentemente, um portfólio ótimo pode ser obtido ao resolver uma programação de objetivo polinomial. As outras características da programação de objetivo polinomial são sua flexibilidade de incorporar preferências do investidor e sua relativa simplicidade da necessidade de computacional Seleção de Portfólios com Base na Assimetria Para Lai (1991, p.295) a seleção de portfólio ideal considerando a assimetria tem por base os seguintes pressupostos: (i) os investidores são avessos ao risco e ao mesmo tempo buscam maximizar sua riqueza ao final do período, (ii) existem ativos e o ativo é considerado como o ativo livre de risco, (iii) os ativos são perfeitamente divisíveis, (iv) as 2

3 taxas de aplicação e de empréstimo são iguais as taxas de retorno do ativo livre de risco, (v) o mercado de capital é perfeito e não existem taxas nem custos de transação e (vi) são permitidas vendas curtas e ilimitadas de todos os ativos. A média, a variância e a assimetria dos retornos sobre os ativos existem para todo ativo de risco, considerando. A matriz de variância-covariância, representada por é obtida através dos retornos dos ativos. Além disso, Lai (1991, p.295) definiu como a matriz transposta dos componentes do portfólio, onde é a porcentagem da riqueza investida nos ativos com risco e a porcentagem investida no ativo livre de risco é determinada por, com representando o vetor de para cada componente do portfólio. Além das considerações acima, Lai (1991, p.295) definiu a matriz transposta para como, cujo retorno médio para cada ativo é dado por ; representando o retorno esperado do portfólio; como o retorno do ativo livre de risco; representando o vetor do retorno esperado em excesso além do valor esperado pelo investidor em relação à assimetria. A escolha de deve seguir um caminho capaz de maximizar o retorno esperado como também maximizar a assimetria e simultaneamente minimizar a variância. Acontece que, como esses objetivos são conflitantes, a resolução depende do julgamento subjetivo do investidor e das suas preferências. Com base no trabalho de Tobin (1958) a seleção de portfólios, através da definição da porcentagem da riqueza investida nos ativos com risco e livre de risco é obtida pelo maior quociente entre o retorno esperado em excesso e o desviopadrão que satisfaz as condições do problema. Assim, quando Lai (1991) sugere que a escolha do portfólio seja restrita sobre o espaço da variância unitária, isto é não há necessidade de maximizar o quociente entre o retorno esperado em excesso e o desvio-padrão, mas apenas de maximizar o retorno esperado em excesso sujeito à condição de variância unitária. Como a solução simples do problema multiobjetivo proposto por Lai (1991) não satisfaz os objetivos simultaneamente, o resultado para o problema envolve um procedimento em duas etapas. Na primeira etapa, um conjunto de soluções independentes das preferências do investidor é definido. Na segunda etapa, as preferências do investidor são incorporadas através dos valores atribuídos a essas preferências. Assim, dada a preferência do investidor pelo retorno esperado e pela assimetria, a solução da programação de objetivo é definida conforme os desvios entre os objetivos que podem ser alcançados entre a primeira e segunda etapa, dado um conjunto de restrições. Como os objetivos apresentam o mesmo nível de prioridade, o valor relativo do objetivo é sempre positivo porque os desvios serão sempre positivos. 3. Uma Proposta de Seleção de Portfólios com Base na Curtose Para o modelo proposto a média, semivariância e curtose do retorno são assumidas para todos os ativos com risco, considerando. A matriz de semivariânciacosemivariância, do tipo, é representada por. O modelo ainda considera como a matriz transposta dos componentes do portfólio, onde é a 3

4 porcentagem da riqueza investida nos ativos com risco. Além disto, o modelo requer a matriz de curtose-cocurtose, do tipo,, representada por, conforme Athayde e Flôres (2002). O retorno esperado, a semivariância e a curtose do portfólio são dados respectivamente por,, e, considerando produto de Kronecker 4. Já que o princípio da decisão de portfólio é a porcentagem relativa investida em cada ativo, a escolha do portfólio pode ser restrita a um espaço de semivariância igual a semivariância do mercado, isto é,. Sob esta condição, o portfólio ótimo é escolhido quando o retorno esperado e o inverso da curtose são maximizados. Assim, semelhante ao trabalho de Lai (1991), a seleção de portfólio pode ser formulada ao resolver o seguinte problema multiobjetivo, : No entanto, diferente do modelo proposto por Lai (1991), não são permitidas vendas a descoberto nem empréstimos com base na taxa livre de risco, conforme condição (04). Em geral, é improvável que qualquer portfólio com base na semivariância do mercado em pode maximizar ambos e, simultaneamente. Entretanto, uma solução dependendo das preferências do investidor para os objetivos pode ser determinada pela construção de uma programação de objetivo polinomial no qual os objetivos do investidor especificados são incorporados. Então, os objetivos competitivos (01) e (02) são resolvidos e uma seleção de portfólio com curtose é uma solução da programação de objetivo polinomial. Dado uma preferência do investidor entre objetivos, a programação de objetivo polinomial é expressa como, : (01) (02) (03) (04) 5 (05) (06) (07) (08) considerando e os valores extremos dos objetivos (01) e (02) sob a limitação da semivariância igual a semivariância do mercado ; ( uma variável de desvio não negativa entre ( ) e ( ; e os parâmetros específicos do investidor representando sua preferência por retorno esperado e 4

5 curtose. Para o modelo quanto maior a preferência por ( ) mais importante é o retorno esperado (curtose) para o investidor. Diferentes combinações de e correspondem a diferentes preferências por retorno esperado e curtose. Num cenário de = 1 e é possível definir, com base na restrição de semivariância igual à semivariância do mercado, que a solução para pode ser o produto de um escalar e do portfólio eficiente de média-semivariância e é o retorno esperado em excesso, depois de a semivariância ser igual à semivariância do mercado. Em outras palavras, a seleção de portfólios de média-semivariância é um caso especial do problema. Semelhante ao trabalho de Lai (1991) o índice marginal de substituição entre uma menor curtose e a expectativa do retorno esperado é usado para avaliar o desejo de renúncia à menor curtose de modo a ganhar o outro objetivo: retorno esperado. A relação entre o e os parâmetros e é representada por. Uma vez que é a inclinação negativa da curva de indiferença entre o retorno esperado e a menor curtose, a curva de indiferença do investidor pode ser definida através da variação dos parâmetros e na função objetivo (05). Um portfólio ótimo é não dominado quando nenhuma função objetivo pode ser melhorada sem a mudança de preferência subjetiva. Daí, pode-se determinar um portfólio não dominado na presença de curtose. O conjunto de portfólios eficientes com menor curtose consiste, portanto, de soluções para o problema em considerando diferentes combinações de e. Essas preferências subjetivas do investidor podem incorporar flexibilidade na função objetivo do problema de programação de objetivo polinomial. Então, se a seleção de portfólio com assimetria através da solução de uma programação de objetivo polinomial pode ser mais promissora que pela solução da função de utilidade do investidor, conforme Lai (1991), o mesmo procedimento pode ser realizado com o uso da curtose sob a condição da semivariância ser igual a semivariância do mercado. 4. Dados Utilizados Esta seção apresenta um exemplo para ilustrar o algoritmo proposto da seleção de portfólio com base na curtose. O exemplo atende a dois propósitos: (i) demonstrar a formulação da programação de objetivo polinomial desenvolvida anteriormente e (ii) ilustrar como a seleção de portfólios irá variar para os investidores conforme as diferentes estruturas de preferências, definidas pelas combinações de e. Para o propósito de simplicidade, foram utilizados cinco ativos com risco, escolhidos aleatoriamente e definido como ativo livre de risco a caderneta de poupança. Os dados históricos usados como exemplos pertencem aos cincos ativos com risco que fazem parte do grupo de ativos do índice da bolsa de valores de São Paulo IBOVESPA. Os dados históricos são usados para estimar o retorno esperado, a matriz de semivariância-cosemivariância bem como a matriz de curtose-cocurtose. O retorno do ativo livre de risco é calculado com base na remuneração da caderneta de poupança, enquanto que os retornos mensais dos cinco ativos 5

6 com risco, para o período de janeiro de 2007 a dezembro de 2008, foram obtidos do banco de dados da Consultoria Lafis Ltda. A estimativa do retorno médio do ativo com risco, da semivariância do ativo com risco, da cosemivariância dos ativos com risco e, da curtose do ativo com risco e da cocurtose dos ativos com risco,, e, das observações da amostra são calculadas respectivamente, por: (09) (10) (11) (12) (13) Durante o período de análise o retorno médio do ativo livre de risco é 0,0063 e a semivariância do mercado corresponde a 0,4288. A Tabela 1 define as variáveis de decisão do portfólio e apresenta o retorno médio calculado pela equação (09) para cada ativo com risco. A cosemivariância estimada pela equação (11) e a curtose computada pela equação (13) também são apresentadas. A Tabela 1 fornece uma variedade necessária de parâmetros para fins de exposição. Por exemplo, Petrobrás ( ) tem o menor retorno médio e a maior curtose enquanto que a Cia. Sid. Nacional ( ) a maior semivariância. Já a Souza Cruz ( ) apresenta a menor semivariância e a menor curtose. Empresa Variável Retorno Semivariância Curtose de decisão Médio Comgás 0,123 0, Souza Cruz 0,155 0, Cia. Sid. Nacional 0,252 1, Itaú 0,118 0, Petrobrás 0,0091 1, Tabela 1 Resultados para retorno médio, semivariância e curtose dos ativos com risco definidos com base em janeiro de 2007 a dezembro de Fonte: dados obtidos pelos autores Então, com base nas equações de (01) a (04) e considerando que a semivariância do mercado é igual a 0,4288, os valores ótimos para e são, respectivamente iguais a 0,0135 e 6

7 0, Em seguida, substituindo-se esses valores para e nas equações (05) a (07) sob as condições (04) e (08), as soluções da programação de objetivo polinomial, conforme diferentes combinações para e são apresentadas na Tabela 2. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5943 0,4148 0,5713 0,4693 0,5943 0,5559 0,4057 0,3006 0,3973 0,3447 0,4057 0,3911 0,0000 0,2846 0,0312 0,1859 0,0000 0,0530 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0135 0,0114 0,0133 0,0122 0,0135 0,0135 0,4288 0,4288 0,4288 0,4288 0,4288 0, Tabela 2 Solução ótima e resultados para retorno esperado, semivariância e curtose do portfólio. Fonte: dados obtidos pelos autores A Tabela 2 relata as diferentes combinações para e. Desta maneira, Souza Cruz ( ), com a menor curtose está presente em todos os portfólios. Mesmo apresentando uma curtose elevada a Cia. Sid. Nacional ( ) assegura sua participação em todos os portfólios pelo fato de apresentar o maior retorno. A seleção de portfólio com base na média-semivariância (quando = 1 e ) acaba concentrando os investimentos nesses dois ativos com risco. Quando a menor curtose é preferida pelo investidor os portfólios contam com uma maior participação da Souza Cruz ( ). Por conta das semivariâncias elevadas, quando comparada com a semivariância do mercado, Comgás ( ) e Petrobrás ( ) não fazem parte dos portfólios formados. Com base na Tabela 2 percebe-se que a incorporação da curtose na seleção de portfólios provoca uma mudança na seleção do portfólio eficiente, uma vez que para o mesmo retorno e risco foi possível reduzir a curtose quando = 2 e. Com isso, um portfólio de médiasemivariância ineficiente pode ser um portfólio eficiente ao considerarmos a médiasemivariância-curtose. Uma implicação importante deste exemplo na performance de portfólio é que um portfólio pode ter performance na ferramenta de média-semivariânciacurtose mesmo que apresente subperformance na ferramenta de média-semivariância. Desta maneira, para medir a performance de portfólio propriamente, é necessário especificar a redução da curtose como objetivo e definir o índice marginal de substituição entre a menor curtose e a expectativa do retorno esperado na decisão de investimento, considerando que a eficiência do portfólio é definida pela presença na menor curtose. 5. Conclusões da Pesquisa Quando o investidor apresenta aversão ao risco o uso da curtose num modelo de seleção de portfólio é importante. Um portfólio de média-semivariância ineficiente pode ser um portfólio ótimo ao considerar a média-semivariância-curtose. Assim, neste artigo, foi explorada a seleção de portfólio com curtose. Por ser improvável que a seleção de portfólios possa resolver os múltiplos objetivos competitivos e conflitantes, tal como, maximizar retorno 7

8 esperado e o inverso da curtose e minimizar a semivariância, a seleção de portfólio com base na curtose passa a depender das preferências do investidor entre retorno e curtose. Desta forma a programação de objetivo polinomial é usada para incorporar as preferências do investidor entre múltiplos objetivos e para resolver objetivos conflitantes. Uma vez que a solução do problema de programação de objetivo polinomial sempre existe e as rotinas para resolver a programação não linear são disponíveis, uma seleção de portfólio ótimo com curtose deve existir e ser solucionável. Utilizando cinco ativos com risco e o ativo livre de risco, para o mercado brasileiro, foi possível, com base em diferentes combinações entre preferências por retorno e curtose, verificar que o portfólio de média-semivariância ineficiente pode ser um portfólio ótimo ao considerar a média-semivariância-curtose. A eficiência deste portfólio é especificada pela presença na menor curtose. Então, o objetivo é o de definir o índice marginal de substituição (MRS) entre a menor curtose e a expectativa do retorno esperado na decisão de investimento. Agora, embora o investidor esteja de acordo com o portfólio definido através da programação de objetivo polinomial, em razão da volatilidade dos retornos dos ativos com risco, a rotina deve ser refeita de forma que o portfólio seja revisado periodicamente. As características da aplicação de programação por objetivo polinomial na seleção de portfólio com curtose sob a condição da semivariância ser igual a semivariância do mercado são: (i) existência de uma solução ótima; ii) flexibilidade na incorporação da preferência do investidor e iii) relativa simplicidade da computação. 6. Referências ANDRADE, F. Alocação de Ativos no mercado acionário brasileiro segundo o conceito de donwside risk. Revista de Gestão USP, v.13, p.27-36, ARDITTI, F. Risk and the required return on equity. Journal of Finance, v. 22, p.19-36, ARDITTI, F.D., LEVY, H. Portfolio efficiency analysis in three moments: the multiperiod case. Journal of Finance, v. 30, p , ATHAYDE, G. M., FLÔRES, R. G. On certain geometric aspects of portfolio optimisation with higher moments. Working Paper EPGE, BALLESTERO, E. Mean-semivariance efficient frontier: A downside risk model for portfolio selection. Applied Mathematical Finance, v.12, n.1, p.1-15, BRIEC, W., KERSTENS, K. Portfolio selection in multidimensional general and partial moment space. Working Paper IESEG, CANELA, M., COLLAZO, E. Portfolio selection with skewness in emerging market industries. Emerging Markets Review, v.8, p , CHUNHACHINDA, P., DANDAPANI, K., HAMID, S., PRAKASH, A. Portfolio selection and skewness: Evidence from international stock markets. Journal of Banking and Finance, v. 21, p ,

9 DAVIES, R. J., KAT, H. M., LU, S. Fund of hedge funds portfolio selection: A multipleobjective Approach. Cass Business School Research Paper, DITTMAR, R. Nonlinear pricing kernels, kurtosis preference, and evidence from the crosssection of equity returns. Journal of Finance, v. 57, p , ESTRADA, J. Systematic risk in emerging markets: the D-CAPM. Emerging Markets Review, v.3, p , FANG, H., LAI, T. Co-kurtosis and capital asset pricing. The Financial Review, v. 32, p , FRIEDMAN, M., SAVAGE, L.J. The utility analysis of choices involving risk. The Journal of Political Economy, v. 56, p , HU, C., TENG, C., LI, S. A fuzzy goal programming approach to multi-objective optimization problem with priorities. European Journal of Operational Research, v.176, p , LAI, K. K., YU, L. WANG, L. Mean-variance-skewness-kurtosis based portfolio optimization. International Multi-Symposiums on Computer and Computational Sciences, v. 2, p , LAI, T. Portfolio selection with skewness: A multiple-objective approach. Review of Quantitative Finance and Accounting, v.1, p , MARKOWITZ, H. Portfolio selection. Journal of Finance, p , NAWROCKI, D. Brief of history of downside risk measures. The Journal of Investing, p. 9-26, PRAKASH, J., CHANG, C., PACTWA, T. Selecting a portfolio with skewness: recent evidence from US, European, and Latin American equity markets. Journal of Banking and Finance, v. 27, p , SAMUELSON, P.A. The fundamental approximation theorem of portfolio analysis in terms of means, variances and higher moments. Review of Economic Studies, v. 37, p , SCOTT, R.C., HORVATH, P.A. On the direction of preference for moments of higher order than the variance. Journal of Finance, v. 35, p , SUN, Q., YAN, Y. Skewness persistence with optimal portfolio selection. Journal of Banking and Finance, v. 27, p , TOBIN, J. Liquidity preference as behavior toward risk. The Review of Economic Studies, v. 25, p ,

10 Notas de Final de Texto 1. Markowitz (1959, apud Nawrocki, 1999, p.10) forneceu, para as pesquisas em Finanças, duas sugestões para a semivariância. A primeira é computada em relação ao retorno médio e a segunda em relação ao retorno alvo. Estrada (2002) e Ballestero (2005) em suas pesquisas propõem o uso do retorno alvo. Para esta pesquisa será considerada a semivariância do mercado levando em consideração o retorno médio. 2. Hu, Teng e Li (2007, p.1319) explicam que a programação por objetivos foi inicialmente introduzida por Charnes e Cooper no início dos anos 60, constituindo-se num método útil para o tomador de decisão considerar simultaneamente muitos objetivos para uma solução satisfatória. 3. O gradiente reduzido generalizado é usado para resolução do problema multiobjetivo, proposto pela programação por objetivos e, utilizado na resolução dos problemas de seleção de portfólios descritos nesta pesquisa. Com o uso do Lingo vários vetores são utilizados para evitar o problema das soluções de ótimo local em detrimento do ótimo absoluto. 4. Este produto é útil para resolver equações lineares em que a incógnita é uma matriz. Através das propriedades deste produto, dadas duas matrizes e, o produto de Kronecker de por, denotado por é dado conforme: 5. Sun e Yan (2003) modificaram a função objetivo, conforme Lai (1991), pela função. A razão para isso deve-se a possibilidade de. Assim, ao assumir que é maior que, por exemplo, e, para qualquer investidor, quando, as funções objetivo definidas por Sun e Yan (2003) bem como por Lai (1991), apresentam o mesmo resultado. Entretanto, quando, a função objetivo de Lai (1991) sugere o oposto. 6. Isto deve-se ao fato de que, nas equações (02) e (07), ao contrário de minimizar o valor da curtose, foi maximizado o inverso da curtose, o que acaba implicando no mesmo objetivo. Como as funções objetivo e são maximizadas, é possível, em seguida minimizar os desvios entre obtidos em e. 10